Domanda individuale e domanda di mercato

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1 2 Domanda individuale e domanda di mercato Che cosa vedremo in questo capitolo? La determinazione dell insieme delle alternative all interno del quale sceglie il consumatore. La descrizione e la rappresentazione delle sue preferenze. Come si determina la scelta ottima del consumatore e come varia questa scelta al variare dei prezzi e del reddito. Il passaggio dalla domanda individuale alla domanda di mercato. Dopo avere introdotto la domanda e l offerta e averne studiato l interazione, in questo capitolo approfondiremo l analisi dell economia dal lato della domanda. Studieremo la disponibilità dei soggetti economici, siano essi considerati individualmente o in aggregato, a domandare e acquistare un bene o servizio dati alcuni parametri rilevanti tra cui il prezzo. In altri termini, richiamandoci a quanto affermato nel capitolo precedente, ci concentriamo sugli elementi che ci consentono di rispondere al quesito «in che quantità verrà acquistato un bene?» e dunque «quali beni e servizi devono essere prodotti e in quali quantità?». Per il momento lasciamo invece da parte i quesiti relativi alle modalità di produzione di beni e servizi e alla loro distribuzione una volta prodotti. Per non appesantire troppo l esposizione, useremo il termine «beni» per riferirci all insieme di beni e servizi, distinguendoli solo nel caso in cui ciò si renda necessario. Ci concentreremo sullo studio della domanda di beni destinati al consumo individuale, vale a dire utilizzati direttamente da chi li domanda per soddisfare le proprie esigenze e realizzare i propri desideri. L analisi può tuttavia essere estesa, sotto certe condizioni, allo studio della domanda di beni non destinati direttamente al consumo, ma, ad esempio, utilizzati come input intermedi nel processo di produzione di beni di consumo. L analisi sarà di tipo microeconomico: partiremo dallo studio del singolo individuo e della sua domanda. Quest ultima, una volta effettuata un opportuna aggregazione, darà origine alla domanda di mercato di un determinato bene e servizio o addirittura alla domanda dell intera economia. Chiameremo l individuo oggetto della nostra trattazione «consumatore», ma la quasi totalità dell analisi proposta rimarrebbe inalterata se considerassimo quale soggetto individuale di scelta la famiglia (ipotizzando che esistano modalità di sintesi di eventuali divergenze di opinione al suo interno) e non il suo singolo componente. Scopo di questo capitolo è capire quale sia il processo decisionale dell individuo nello scegliere quali beni domandare e in quali quantità, cioè quali siano le determinanti della domanda individuale. Vedremo poi come, sommando le domande individuali di tutti i soggetti economici che domandano un certo bene, si ricavi la domanda di mercato ditale bene. 28

2 . ECONOMIA E SCELTA RAZIONALE Come è descritto in microeconomia il problema di scelta del consumatore? Come abbiamo visto, adottare un approccio microeconomico significa studiare il comportamento degli agenti individuali. In particolare l agente, nel caso dello studio della domanda individuale di beni destinati al consumo, è il consumatore, cioè colui che prende decisioni circa quali e quanti beni consumare e, dunque, domandare. Per studiare il comportamento degli individui, l analisi microeconomica non si sofferma sulle loro azioni, ma sulle conseguenze ditali azioni, descrivendo queste ultime come variazioni nell insieme delle risorse disponibili di un individuo. In questo modo, ad esempio, l azione di acquistare un automobile a un prezzo di 0 mila euro può essere descritta come una variazione nelle disponibilità dell acquirente caratterizzata dall aumento di un unità nella sua disponibilità di automobili e dalla diminuzione di 0 mila euro nella sua disponibilità di denaro. Il comportamento degli individui viene descritto in un ottica che si dice consequenzialista. Secondo tale ottica si considera la scelta tra diverse azioni soltanto come una che da esse deriva no il comportamento del consumatore è dunque descritto come scelta tra stati alternativi della sua disponibilità di beni. Nell esempio precedente uno dei beni a disposizione del consumatore era il denaro, che però è ovviamente un bene molto particolare. Esso infatti è mezzo di scambio e unità di conto, ma non ha caratteristiche che lo rendano idoneo al consumo finale, se non per eccezioni del tutto trascurabili 2. Generalmente, per rappresentare l insieme delle allocazioni tra le quali il consumatore sceglie, non si considera esplicitamente la moneta, riconoscendo implicitamente ad essa solo valore di unità di conto, e si esprime il valore di mercato dei diversi beni in termini relativi, come se ci si trovasse in un economia di puro baratto. Ad esempio, l insieme delle alternative a disposizione di un agente dotato di una ricchezza pari a 20 mila euro sarà costituito da tutte le possibili combinazioni dei beni disponibili nel mercato che è possibile acquistare spendendo al massimo quella cifra; se i beni disponibili sono solo automobili che hanno un prezzo unitario pari a 0 mila euro e crociere che hanno un prezzo unitario per persona pari a euro, le alternative a disposizione saranno: 2 automobili e nessuna crociera, automobile e un numero di crociere non superiore a 4, nessuna automobile e un numero di crociere non superiore a 8. Se indichiamo con C le crociere e con A le automobili, l insieme delle alternative disponibili sarà: (2A, OC), (la, 4C), (la, 3C), (la, 2C), (la, C), (la, OC), (OA, 8C), (OA, 7C), (OA, 6C), (0A, 5C), (OA, 4C), (OA, 3C), (OA, 2C), (OA, C), (OA, OC). Il comportamento del consumatore è descritto dalla scelta tra queste alternative, cioè tra le dotazioni di cui è in grado di disporre a seconda dei piani di acquisto che realizza. In genere si ipotizza che un agente economico sia razionale e, quindi, che tenga un comportamento, o effettui una scelta, solo se esso è idoneo a raggiungere i suoi obiettivi individuali, comunque essi siano specificati. Dunque un consumatore che abbia un comportamento razionale sceglierà quell alternativa di acquisto che rende massima la sua soddisfazione. L analisi microeconomica e, in particolare, il problema del consumatore possono dunque essere descritti come un applicazione ai problemi economici della teoria della scelta razionale in un ottica consequenzialista. Questo approccio può essere interpretato in due modi: a) positivo o descrittivo; b) normativo o prescrittivo... Interpretazione positiva o descrittiva Consideriamo la teoria come una descrizione di ciò che farebbe un consumatore perfettamente razionale preoccupato solo delle conseguenze delle proprie azioni. Secondo questa interpretazione Una descrizione più particolareggiata della medesima azione, sempre nella stessa ottica, terrebbe conto anche del consumo di energia necessario a raggiungere il concessionario, del tempo impiegato, ecc. 2 Se si esclude il piacere perverso di chi trovi opportuno accendere il sigaro con le banconote. 29

3 la nostra teoria vale solo se l agente economico considerato è perfettamente razionale (nel modo definito in precedenza) e non consente dunque di rappresentare e analizzare comportamenti irrazionali o dettati da una razionalità non consequenzialista..2. Interpretazione normativa o prescrittiva In alternativa possiamo dare alla teoria un interpretazione prescrittiva e affermare, ad esempio, che le conclusioni alle quali arriva la teoria del consumatore ci dicono come si dovrebbe comportare, cioè come dovrebbe scegliere, un consumatore che abbia come unico obiettivo la massimizzazione della soddisfazione derivante dalle conseguenze delle sue azioni, quali che siano le sue preferenze individuali. Anche l analisi del comportamento del consumatore è dunque soggetta a queste due interpretazioni alternative. In seguito, nel tentativo di delineare una prima approssimazione della realtà e sapendo di poter fornire in questo modo un costrutto organico e coerente che descriva il funzionamento del sistema di domanda di un economia, ipotizzeremo che i consumatori siano razionali (nel senso sopra esposto) e ci riferiremo dunque a un interpretazione descrittiva della teoria della scelta razionale. 30

4 2. L INSIEME DELLE ALTERNATIVE E IL VINCOLO DI BILANCIO Come è descritto l insieme delle alternative tra le quali sceglie il consumatore? Se la teoria microeconomica, e in particolare quella del consumatore, costituisce un applicazione della teoria della scelta razionale dobbiamo innanzitutto definire l insieme delle alternative al quale si applica la razionalità del consumatore. Come abbiamo ricordato nell introduzione al capitolo l analisi della domanda tenta di dare una risposta al quesito: «quali beni devono essere prodotti e in quali quantità?». Questa domanda, riferita all approccio individualista e consequenzialista e alla scelta razionale, diventa: «di quali beni e servizi il consumatore vuole la disponibilità? In che quantità?». Dalla risposta a questo quesito si ottengono la domanda individuale per un dato bene e, per aggregazione, la domanda di mercato e quella dell intera economia. Se invece che il consumo considerassimo la produzione, il quesito analogo riguarderebbe i mezzi di produzione e le quantità di questi ultimi che il produttore desidera avere a disposizione. Otterremo la domanda, individuale e di mercato, dei mezzi di produzione. L insieme delle alternative tra le quali il consumatore sceglie è costituito dall insieme di beni e servizi almeno potenzialmente a sua disposizione. Tale insieme è necessariamente finito sia nel numero delle componenti, che è un dato dipendente dalla natura e dallo stato delle conoscenze tecnologiche, sia nella loro quantità, che dipende direttamente o indirettamente, attraverso la produzione, dalla dotazione di risorse naturali. L insieme delle alternative a disposizione del consumatore è finito: a) sia caso in Cui egli si trovi in condizioni di Completa autarchia e isolamento, cioè non possa avere alcuna relazione economica con altri agenti, come Robinson Crusoe sopravvissuto al naufragio e sbarcato su un isola deserta; ) sia nel caso in cui egli possa invece scambiare con altri agenti o, più impersonalmente, vendere e acquistare beni sul mercato. Nel primo caso il numero e la quantità di beni a disposizione del consumatore dipenderanno dalla dotazione di risorse (naturali e personali) di cui egli sia in grado di appropriarsi e dai suoi piani di produzione o trasformazione di parte ditali risorse. Nel caso invece in cui il consumatore possa acquistare o vendere sul mercato, le alternative a sua disposizione dipenderanno dalla dotazione iniziale di risorse possedute o, alternativamente, dal suo reddito (che non è altro che la valutazione in termini monetari della sua dotazione di risorse), oltre che dalle caratteristiche del mercato in cui si trova a scambiare e in particolare dai prezzi in esso prevalenti. In quel che segue considereremo questo secondo caso e ipotizzeremo che la domanda espressa dal consumatore sia trascurabile relativamente alle dimensioni del mercato così che egli non ha alcun potere sulla determinazione dei prezzi dei beni scambiati, che per lui costituiscono un dato. Partiamo dal caso più semplice e consideriamo un insieme di alternative al quale appartengano quantità diverse di due soli beni. (Si noti che ci concentreremo sul caso di due soli beni per semplicità espositiva; la quasi totalità dell analisi si estende a situazioni con un numero maggiore, ancorché finito, di beni.) Ciascuna alternativa a disposizione del consumatore è costituita da una particolare combinazione dei due beni, che è normalmente chiamata paniere. Ad esempio se i due beni a disposizione del consumatore sono latte e libri, i panieri a disposizione del consumatore potrebbero essere quelli costituiti da I litro di latte e i libro (paniere A), da 2 litri di latte e 3 libri (paniere B), da 3 litri di latte e nessun libro (paniere 0. Illustriamo questi tre panieri in un grafico che rappresenta il quadrante positivo di un sistema di assi cartesiani (fig. 2.). Se i tre panieri considerati esauriscono le alternative a disposizione del consumatore, questi si troverà a scegliere tra i punti A, B, e C nel grafico. 3

5 Il problema della scelta di consumo di latte e libri potrebbe naturalmente essere molto più articolato e prevedere più di tre alternative a disposizione del consumatore. Potremmo avere panieri che combinano diversamente le quantità già considerate di ciascuno dei beni; ad esempio un paniere con I litro di latte e nessun libro, un altro con 3 litri di latte e 3 libri, ecc. Inoltre, potremmo avere panieri caratterizzati da quantità diverse da quelle già considerate. Notiamo però un importante differenza tra i due beni in esame: mentre quantità di libri diverse da quelle considerate corrispondono a numeri interi (oltre a nessun libro, I libro e 3 libri, possiamo avere 2 libri, 04, o 3, ecc.), le alternative a disposizione per il latte sono molto più numerose, dal momento che includono anche infinite frazioni di litro (possiamo avere 4 litri e mezzo di latte, 3,2 litri, 0,03452 litri, ecc.) 3. Distinguiamo dunque tra beni indivisibili, come i libri, ma anche le automobili, le crociere, e beni divisibili, come tutti quelli che sono in genere misurati non in unità ma con misure di peso o capacità 4. Nella figura 2.2 rappresentiamo l insieme di tutti i panieri caratterizzati da un numero non superiore a 4 libri e da non più di 4 litri di latte. Come si vede l insieme dei panieri è composto da cinque segmenti rettilinei, uno per ciascun numero di libri potenzialmente a disposizione del 3 il lettore più attento alle questioni matematiche sulle prime potrebbe essere preoccupato per la correttezza di questa affermazione; si rammenti tuttavia che stiamo considerando un insieme finito di alternative. 4 Naturalmente si potrebbe obiettare che il latte è in genere venduto solo in confezioni con una capacità data e predefinita, ad esempio un litro oppure mezzo litro, ecc. In linea di principio comunque è possibile concepire transazioni per quantità di latte diverse da quelle normalmente utilizzate e ci sono ancora luoghi nei quali è possibile acquistare il latte direttamente dal produttore in qualunque quantità si desideri. 32

6 consumatore, incluso il caso in cui il consumatore non abbia alcun libro. In corrispondenza di ciascun numero di libri, la quantità di latte può invece variare in maniera continua, data la perfetta divisibilità ditale bene. Per semplicità e comodità espositiva considereremo beni perfettamente divisibili. Ciò non costituisce in sé un limite fondamentale per la nostra analisi, poiché i principi che guidano le scelte del consumatore nel caso di beni divisibili valgono anche nel caso di beni indivisibili. Tuttavia considerare beni indivisibili impedisce l utilizzo del calcolo differenziale, il che può costituire un limite quando si voglia dare prova rigorosa dei risultati ottenuti. Consideriamo ora la rappresentazione grafica dei vincoli fisici ed economici cui è soggetto l insieme dei panieri a disposizione del consumatore. I vincoli fisici sono determinati direttamente dalla dotazione delle risorse, mentre quelli economici dipendono non solo dall entità di tale dotazione ma anche dal mercato, vale a dire dalle possibilità del consumatore di scambiare con altri agenti economici. 2.. Vincoli fisici Si pensi alla scelta del menù quotidiano di un navigatore solitario, vincolato dalla provvista che ha caricato all inizio del viaggio, o al caso di Robinson Crusoe al quale si è fatto cenno in precedenza. In realtà, tuttavia, i vincoli fisici alle possibilità di consumo sono molto comuni e per proporre esempi non è affatto necessario ricorrere a situazioni così estreme. Un esempio di vincolo fisico all insieme dei panieri a disposizione del consumatore con il quale ciascuno di noi si confronta quotidianamente è quello dato dal tempo a disposizione. Se si considera un insieme di beni composto da ore di tempo libero e litri di latte consumabili in un giorno, è ovvio che la quantità di ore di tempo libero non potrà eccedere le 24, come mostra la figura Vincoli economici Accanto a quelli fisici ci sono poi i vincoli economici al consumo individuale. Il consumatore potrà consumare solo quanto già possiede o è in grado di acquistare dato quanto già possiede, cioè dato il suo reddito. Consideriamo ad esempio il caso in cui un consumatore abbia un reddito di 0 euro e abbia una dotazione costituita esclusivamente da latte e pasta. I prezzi di mercato di latte e pasta, sui quali il consumatore non può influire giacché la sua dimensione è trascurabile rispetto al mercato, sono rispettivamente di euro al litro (P L = ) e 0,5 euro al chilo (p p = /2). Se il consumatore decide di consumare solo latte, ne ottiene 0 litri; se sceglie di domandare solo pasta, ottiene 20 chili di pasta; se sceglie di dividere equamente le sue disponibilità di reddito tra i due beni, avrà 5 litri di latte e 0 chili di pasta, e così via. I tre punti descritti sono rappresentati nella figura 2.4 come punti A, B e C. 33

7 Se uniamo tutti i punti che identificano nel grafico le alternative disponibili che risultano da un impiego completo del reddito a disposizione del consumatore otteniamo il segmento rettilineo AB nella figura 2.5, che divide il quadrante positivo del sistema di assi cartesiani in due sottoinsiemi. Se utilizza tutto il suo reddito, il consumatore potrà scegliere un punto di tale segmento rettilineo. Tutti i punti che stanno al di sotto del segmento corrispondono a panieri di cui il consumatore può disporre senza utilizzare completamente il suo reddito, e quindi caratterizzati da quantità di almeno uno dei beni disponibili inferiore a quella ottenibile con un pieno impiego del reddito; tutti i punti che si trovano al di sopra del segmento AB corrispondono invece a panieri di cui il consumatore non può disporre, dato il suo reddito e dati i prezzi. Se indichiamo con m il reddito monetario e S la spesa del consumatore, x la quantità di latte e x 2 quella di pasta, possiamo scrivere il vincolo di bilancio: [] S = x p + x 2 p 2 m 34

8 Questa espressione ci dice, dati i prezzi di pasta (p 2 ) e latte (p ), quali coppie di quantità dei due beni possono essere acquistate dal consumatore dato il vincolo che la spesa non può eccedere il reddito monetario. Il segmento AB nella figura 2.5 rappresenta la cosiddetta retta di bilancio che esprime il vincolo di bilancio del consumatore come uguaglianza: [.a] S = x p + x 2 p 2 = m Questa equazione ci dice quali coppie di quantità dei due beni il consumatore può acquistare utilizzando completamente il suo reddito m. Una semplice trasformazione algebrica dell equazione [.a] ci consente di evidenziare la relazione tra le quantità dei due beni, espressa implicitamente dal vincolo di bilancio: m p2 [2] x = x2 p p L equazione [2] evidenzia alcune caratteristiche del vincolo di bilancio espresso come uguaglianza. Come abbiamo notato sopra, esso ha forma rettilinea ed è espresso algebricamente dall equazione di una retta. L intercetta della retta con ciascuno degli assi esprime il reddito del consumatore in termini reali, e in particolare in termini del bene la cui quantità è misurata su tale asse. Si noti infatti che per x = 0 il vincolo di bilancio interseca l asse che misura la quantità di pasta (x 2 ) ad un valore pari a m/p 2, mentre per x2 = 0 l intercetta è pari a m/p. In altri termini, le intercette della retta di bilancio esprimono la quantità massima dei due beni che è possibile acquistare, dati i prezzi e il reddito monetario. Dato che le intercette esprimono il reddito del consumatore in termini reali, un aumento del reddito monetario, a prezzi costanti, sposta il vincolo di bilancio verso l alto, come mostrato in figura 2.6, nella quale è rappresentata una variazione di reddito da m a m_ per m < m_. La retta di bilancio, espressa dall equazione [2], ha pendenza pari al rapporto tra i prezzi dei due beni preso con segno negativo: il rapporto tra i prezzi, ovvero il prezzo relativo del bene 2 rispetto al bene (p 2 /p ), ci dice, per ciascuna variazione unitaria nel consumo di pasta, di quanto deve variare il consumo di latte per mantenere costante la spesa (che nell equazione [2] è pari all intero reddito). Se vogliamo che il nostro consumatore utilizzi completamente il suo reddito, a ogni variazione unitaria di x deve corrispondere una variazione di segno opposto di x 2 pari a p /p 2. In altri termini il prezzo relativo esprime quante unità del bene i posso acquistare rinunciando a (o «spendendo») un unità del bene 2. 35

9 Se il prezzo del bene 2 aumenta, dato il prezzo del bene, aumenta anche l inclinazione del vincolo di bilancio, mentre, se diminuisce, si riduce anche l inclinazione. L opposto naturalmente vale per variazioni del prezzo del bene dato il prezzo del bene 2. Nella figura 2.7a mostriamo l effetto sul vincolo di bilancio di un aumento del prezzo del bene 2 da p 2 _ a p 2 con p 2 > p 2 _ ; nella figura 2.7b mostriamo invece l effetto di una variazione del prezzo del bene da p _ a p, con p > p _. Notiamo che la variazione del prezzo di un bene determina una modifica dell intercetta della retta di bilancio con l asse sul quale è misurata la quantità di quel bene. In altri termini in seguito a una variazione del prezzo di uno dei due beni la retta di bilancio ruota su se stessa avendo come fulcro l intercetta con l asse che misura la quantità del bene il cui prezzo non è cambiato. L interpretazione di questo spostamento è abbastanza ovvia. Al crescere del prezzo di un bene la quantità massima ditale bene che può essere acquistata dal consumatore, a reddito invariato, diminuisce. Notiamo che fa apparentemente eccezione il caso in cui il bene il cui prezzo varia è prodotto dal consumatore. Tuttavia non si tratta di una reale eccezione: a un aumento del prezzo corrisponde infatti anche un aumento del reddito del consumatore, dal momento che i suoi prodotti sono valutati sul mercato per un importo maggiore. L esempio è illustrato nella figura 2.8, nella quale si mostra l effetto di un incremento del prezzo del latte sulla retta di bilancio di un produttore di latte a parità di quantità prodotta. Alla variazione del prezzo da p L _ a p L corrisponde una rotazione del vincolo di bilancio verso l esterno attorno all intercetta con l asse sul quale è misurata la quantità di latte. Se il consumatore decide di tenere per sé tutto il latte che produce la sua situazione non cambia qualunque sia il prezzo del latte; se invece decide di vendere parte del latte prodotto, la sua capacità di acquisto di pasta aumenta all aumentare del prezzo del latte, dal momento che può ricavare di più dalla vendita del latte. Dunque, a eccezione del caso in cui consumi solo latte, il nostro produttore di latte può consumare una quantità maggiore di pasta. Questo spiega la rotazione del vincolo di bilancio. 36

10 3. PREFERENZE E LORO RAPPRESENTAZIONE: LE CURVE DI INDIFFERENZA Come si rappresentano le preferenze del consumatore? Quali condizioni devono essere soddisfatte da tale rappresentazione? Una volta descritto l insieme delle alternative a disposizione del consumato- re, delimitato dal suo vincolo di bilancio, dobbiamo ora studiare come egli scelga tra le alternative disponibili. La teoria propone almeno due diversi approcci a questo problema. Il primo si basa direttamente sul comportamento, cioè sull osservazione delle scelte del consumatore, imponendo il rispetto di vincoli di coerenza come presupposto della sua razionalità: il consumatore è razionale e quindi non farà scelte incoerenti, cioè in contraddizione tra di loro. Secondo questo approccio le motivazioni delle scelte compiute non hanno rilevanza; ci si limita a considerare ciò che è osservabile, cioè le scelte degli individui, in un ottica comportamentalista che, secondo alcuni, in realtà non richiede nemmeno che l individuo abbia obiettivi propri e li persegua deliberatamente e nella quale, alla fine, sembra addirittura dissolversi il concetto stesso di scelta individuale. Il secondo approccio si basa invece sull analisi delle prefrenze del consumatore. Si ipotizza che il consumatore abbia obiettivi propri che si riassumono in una relazione di preferenza, la quale costituisce I oggetto primitivo dell analisi. Si impongono poi alcune restrizioni alle caratteristiche ditale relazione di preferenza, che riflettono l ipotesi fondamentale di razionalità degli agenti. Questo secondo approccio ha il limite di avere come oggetto di indagine qualcosa di non osservabile, cioè gli obiettivi, le preferenze individuali (mentre l approccio precedente aveva il pregio di avere come oggetto di osservazione il comportamento del consumatore); tuttavia, esso sembra descrivere in modo più efficace la sovranità e l autodeterminazione del soggetto che sceglie. Nella presentazione che segue si privilegia, non solo per ragioni di comodità espositiva, questo secondo approccio, più tradizionale. Partiamo dunque considerando una relazione di preferenza che consenta al consumatore di ordinare i panieri di beni a sua disposizione, cioè di dire, per ciascuna coppia di panieri, se ne preferisce uno all altro o se è indifferente tra i due. Ad esempio, prendiamo in esame le preferenze di un consumatore che abbia a disposizione i panieri A e B. Se il consumatore preferisce strettamente A a B, scriviamo A > B; se invece il consumatore è indifferente tra i due panieri scriviamo A ~ B; se infine il consumatore preferisce debolmente A a B, cioè se per lui A è almeno tanto buono quanto B, scriviamo A B. Queste tre relazioni di preferenza sono tra loro correlate, giacché se è contemporaneamente vero che A B e B A, ciò implica che A~B; d altra parte se A B ma sappiamo che non è vero che A~B, allora sarà vero che A>B. Per rappresentare in modo adeguato i criteri di scelta di un consumatore razionale, queste relazioni di preferenza devono soddisfare i due seguenti assiomi. 3.. Completezza Innanzitutto si richiede che il consumatore sia in grado di ordinare tutte le alternative a sua disposizione, cioè che per ogni coppia di panieri disponibili A e B, o A è debolmente preferito a B, o B è debolmente preferito ad A o entrambe, vale a dire che il consumatore è indifferente tra A e B. Formalmente, o A B o B A o entrambe e dunque A~B. Questo assioma, apparentemente abbastanza ragionevole, è in realtà molto forte se preso alla lettera, giacché richiede una capacità di ordinamento sulla generalità delle alternative disponibili. Nei fatti esistono numerose situazioni in cui è difficile poter ordinare le alternative a disposizione; più in generale, la scoperta delle proprie preferenze individuali sembra essere un esercizio esistenziale di ampio respiro che per certi oggetti richiede molto tempo. L assioma diventa più facilmente accettabile se se ne restringe il campo di applicazione a insiemi di alternative semplici come molte di quelle considerate negli esempi proposti. In ogni caso l assioma di completezza ha un fondamentale ruolo di semplificazione dell analisi e viene quindi in genere imposto anche per ragioni di comodità. 37

11 3.2. Transitività Si richiede poi che se il consumatore considera un alternativa almeno tanto buona quanto un altra e quest ultima almeno tanto buona quanto una terza, allora considererà anche la prima almeno tanto buona quanto la terza. Formalmente, considerando tre alternative a disposizione A, B e C, se A B e B C allora anche A C. Abbiamo formulato l assioma di transitività in termini di preferenza debole; tuttavia, completezza e transitività insieme implicano che anche le relazioni di preferenza forte e di indifferenza siano transitive. Questo assioma sostanzialmente impone coerenza alle preferenze del consumatore: una sua violazione implicherebbe infatti preferenze cicliche, per cui A è preferito a B che è preferito a C, che è preferito ad A, e così via. Come per il precedente, anche questo assioma sembra dare una rappresentazione realistica delle preferenze individuali in molte circostanze, ma la sua validità generale sembra opinabile, soprattutto se si considerano alternative molto distanti dall esperienza quotidiana del decisore. Tuttavia in mancanza di questo assioma, ancor più che del precedente, gran parte della costruzione analitica che ci consente di studiare il problema del consumatore verrebbe meno e dunque accettarne la validità generale è comunque necessario per semplificare l analisi. Come abbiamo notato i due assiomi precedenti rappresentano le fondamenta per la costruzione analitica della teoria del consumatore. Oltre ad essi, per comodità espositiva, è utile ipotizzare che le preferenze individuali soddisfino almeno un altra proprietà, che, pur essendo del tutto ragionevole nel contenuto, non è però altrettanto necessaria dal punto di vista analitico. Si tratta dell ipotesi di monotonicità Monotonicità L ipotesi di monotonicità richiede che tra due panieri A e B, che contengano la stessa quantità di alcuni beni e una quantità diversa di altri beni, in modo tale che A contiene una quantità maggiore di ciascuno di questi ultimi, il consumatore preferisca sempre A a B. Questa ipotesi implica che il consumatore preferisce avere a disposizione una maggiore quantità di beni. Ad esempio, tra due panieri che contengano ciascuno 20 fragole, ma dei quali il primo contenga 0 grammi e il secondo 50 grammi di panna, se vale l ipotesi di monotonicità, il consumatore preferirà il secondo al primo. In altri termini è come dire che ciascun bene è un «bene», cioè è desiderabile; quindi, maggiore è la quantità di esso disponibile meglio è. Questa ipotesi non vale nel caso in cui i panieri contengano anche elementi che abbiano una natura che li rende sgradevoli al consumatore, cioè che siano in realtà «mali» e non beni. Tuttavia, riformulando il problema in modo equivalente e ridefinendo tali componenti del paniere come assenza del male considerato, l ipotesi di monotonicità torna a valere. 38

12 Se valgono completezza, transitività e monotonicità è abbastanza semplice (almeno nel caso di due beni, fin qui considerato) costruire una rappresentazione grafica delle preferenze del consumatore, che, insieme al vincolo di bilancio, che rappresenta l insieme delle alternative disponibili per il consumatore, consente di individuarne la scelta ottima e dunque di illustrarne il comportamento razionale. Consideriamo il paniere A nella figura 2.9, che contiene una quantità l A, ad esempio 4 litri, di latte e una quantità r A, ad esempio 3 chili, di riso. Data l ipotesi di monotonicità tutti i panieri che si trovano a nord-est di A sono preferiti ad A, giacché contengono una quantità maggiore di entrambi i beni. Per la stessa ipotesi sono preferiti ad A anche tutti i panieri che contengono la stessa quantità di uno dei beni e una quantità maggiore dell altro bene. L insieme di questi panieri è rappresentato dall area ombreggiata nel grafico, comprese le due semirette che ne costituiscono i margini. Dunque ad esempio i panieri B, con 7 chili di riso e 5 litri di latte, e C, con la stessa quantità di riso di A e 0 litri di latte, sono preferiti ad A. Sempre come conseguenza della monotonicità, A è preferito a tutti i panieri che sono a sud-ovest di A e a tutti quelli che contengono la stessa quantità di uno dei due beni e una quantità minore dell altro (area tratteggiata nel grafico). Ad esempio il consumatore preferisce A sia a D sia a E. Tutti gli altri panieri che si trovano nel quadrante positivo non sono immediatamente ordinabili rispetto ad A, dal momento che contengono una quantità maggiore di uno dei due beni, ma una quantità minore dell altro. Consideriamo ad esempio F: contiene poco più riso rispetto ad A, ma molto meno latte. E probabile che l aumento nella disponibilità di riso non riesca a compensare la riduzione nella disponibilità di latte. Consideriamo poi G. Sembra probabile che tale paniere risulti preferito ad A, giacché a una modesta riduzione della quantità di latte corrisponde, rispetto ad A, un notevole aumento nella disponibilità di riso. Muovendo da F verso G, cioè per incrementi via via maggiori di riso e decrementi via via minori di latte, incontriamo prima o poi un paniere che risulta indifferente rispetto ad A. Un paniere indifferente rispetto ad A potrebbe verosimilmente essere il paniere H, che contiene circa 2 litri di latte e circa 6 chili di riso. E possibile individuare moltissimi altri panieri con composizione diversa da A rispetto ai quali il consumatore è indifferente, per esempio L o M. Se congiungiamo tutti i punti che corrispondono ai panieri che per il consumatore sono indifferenti rispetto ad A, otteniamo una curva che viene chiamata curva di indifferenza (fig. 2.0). Tale curva sarà decrescente, poiché sia il riso che il latte sono desiderati dal consumatore, cioè sono «beni». In presenza di una riduzione nella dotazione di riso del consumatore, è necessario che aumenti in qualche misura la dotazione di latte, e viceversa, affinché egli rimanga indifferente tra i due panieri. Tutti i panieri che corrispondono ai punti in alto e a destra della curva sono preferiti dal consumatore rispetto a quelli che si trovano sulla curva di indifferenza, mentre tutti i panieri corrispondenti ai punti sotto e a sinistra della curva di indifferenza sono considerati peggiori. 39

13 L esercizio che abbiamo appena concluso può essere ripetuto per ogni paniere a disposizione del consumatore: ciascun paniere, dunque, appartiene a una curva di indifferenza e le preferenze del consumatore possono essere rappresentate da un intera famiglia di curve di indifferenza come nella figura 2.. Dato un paniere, in linea di principio siamo in grado di individuare la curva di indifferenza alla quale appartiene. Per l ipotesi di monotonicità, dunque, dal momento che sia il latte che il riso sono «beni», a curve di indifferenza più a nord-est corrispondono allocazioni preferite dal consumatore. La curva di indifferenza che abbiamo denominato 4 di conseguenza, corrisponderà ad allocazioni preferite a quelle che corrispondono a 3; lo stesso vale per 3 rispetto a 2, e così via. Una proprietà fondamentale delle curve di indifferenza è che esse non si intersecano mai. Infatti, se consideriamo una situazione nella quale due curve di indifferenza si intersecano (fig. 2.2), otteniamo un risultato contraddittorio. Per l ipotesi di monotonicità A dovrebbe risultare strettamente preferito a B, dal momento che contiene una quantità maggiore di entrambi i beni. Tuttavia, se vale la rappresentazione proposta delle curve di indifferenza, sia A che B risultano indifferenti rispetto a C, poiché ciascuno ditali panieri appartiene ad una curva di indifferenza alla quale appartiene anche C, e dunque, per l assioma di transitività, A e B dovrebbero essere indifferenti tra loro (infatti se A ~ C e B ~ C allora deve essere vero che A~B). Tuttavia, A ~ B contraddice la preferenza forte di A su B ottenuta prima. Dunque se valgono transitività e monotonicità le curve di indifferenza non possono intersecarsi. 40

14 3.4. Saggio marginale di sostituzione La curva di indifferenza ci dice in che misura uno dei beni deve essere rimpiazzato dall altro affinché il consumatore sia indifferente tra i due panieri. Essa ci dice quale quantità di uno dei beni compensa esattamente il consumatore per la rinuncia a una data quantità dell altro, cioè l entità della sostituzione necessaria a compensarlo nel caso rinunci, ad esempio, a un unità di un bene, mantenendo allo stesso tempo invariato il suo benessere o, simmetricamente, a quante unità di un bene è disposto a rinunciare per ottenere un unità dell altro. Cerchiamo di comprenderne meglio il significato sulla base della rappresentazione grafica delle preferenze, considerando innanzitutto l esempio più semplice, anche se nella maggior parte dei casi irrealistico, di curve di indifferenza lineari, cioè Costituite da rette, Nella figura 2.3 è rappresentata una curva di indifferenza lineare per due generici beni x e x 2. Consideriamo il paniere A, appartenente a tale curva di indifferenza, che contiene 8 unità del bene e 2 unità del bene 2. Misuriamo di quanto deve aumentare la dotazione del consumatore del bene 2 a fronte di una riduzione unitaria del bene, affinché egli resti indifferente rispetto alla situazione di partenza: identifichiamo cioè il paniere appartenente alla curva di indifferenza rappresentata contenente 7 unità di x. Chiamiamo tale paniere B. Le variazioni nelle quantità dei due beni x e x 2 sono rappresentate in figura dai cateti del triangolo rettangolo che ha come estremi dell ipotenusa A e B. Notiamo che il rapporto tra le due variazioni x / x 2, cioè il saggio al quale il consumatore è disposto a sostituire x 2 a x per una variazione unitaria di x avendo come dotazione iniziale il paniere A, dal punto di vista geometrico corrisponde alla pendenza della retta di indifferenza. Tale rapporto è negativo giacché le variazioni nella disponibilità dei due beni debbono essere di segno opposto affinché si possano compensare tra loro. Dato che la pendenza di una retta è costante in ogni suo punto, il rapporto x / x 2 sarà costante qualunque sia l ampiezza della variazione considerata e qualunque sia il suo punto di partenza. Dunque, per compensare il consumatore di una qualsiasi riduzione data nella sua dotazione di uno dei due beni dovremo mettere a sua disposizione sempre la stessa quantità dell altro bene, qualunque sia la sua dotazione iniziale, mentre la proporzione tra le due variazioni rimarrà invariata qualunque sia la loro dimensione. Due beni per i quali valga questo tipo di relazione sono detti perfetti sostituti. Tali beni sono in grado di soddisfare il medesimo bisogno, tanto che il consumatore è disposto a privarsi completamente di uno di essi a condizione di avere una sufficiente disponibilità di quell altro. Si noti che, affinché due beni siano perfetti sostituti, non è necessario che il consumatore sia disposto a sostituirli «uno a uno», cioè che x / x 2 = -; è sufficiente che tale rapporto sia costante. Ad esempio, ipotizzando che un consumatore sia assolutamente indifferente tra pasta e riso egli sarà disposto a rinunciare al consumo di uno dei due per l altro a un saggio costante; tuttavia la diversità nella resa dei due determinerà un rapporto x / x 2 diverso dall unità. Come detto, tuttavia, il caso 4

15 di curve di indifferenza lineari è molto particolare. Per la maggior parte dei beni, infatti, sembra improbabile che la rinuncia a una data quantità possa essere compensata sempre da variazioni di ugual misura nella dotazione di un altro bene. Per fare solo un esempio, se possiedo 2 chili di ciliegie, rinunciare a una ciliegia è indubbiamente molto meno oneroso rispetto al caso in cui ne possieda una soltanto: dunque le variazioni compensative per lasciarmi indifferente dovranno essere di entità ben diversa nei due casi. L intuizione che ci viene suggerita da questo esempio (compatibile con il buon senso) è che l ipotesi più naturale sia che le necessità di compensazione aumentino al diminuire della dotazione iniziale. Quanto più ridotta è la dotazione di un certo bene, tanto più questo diventa prezioso agli occhi del consumatore, il quale richiederà dunque quantità crescenti di un altro bene se gli si chiede di rinunciare al primo. Ciò si traduce in termini grafici in curve di indifferenza effettivamente curvilinee con la convessità rivolta verso l origine come nella figura 2.4. Si noti che con curve di indifferenza di questo tipo il rapporto x / x 2 è molto sensibile al punto di 2 x x 2 2 partenza e dunque > ; infatti x = ma 2 2 x 2 x > x 5, cioè l aumento nella dotazione x x 2 2 di x che il consumatore richiede per essere compensato del tutto per una riduzione unitaria di x 2 è molto maggiore quando la disponibilità iniziale di x 2 è più bassa. Inoltre, a differenza del caso lineare, il valore del rapporto x / x 2 varia in questo caso anche al variare dell ampiezza di x 2 rispetto a un medesimo punto di partenza, come mostra la figura 2.5. Si noti come i due triangoli corrispondenti a due diverse variazioni in x 2 e dunque in x, a partire dallo stesso paniere A abbiano forma diversa e dunque il rapporto tra i loro cateti sia differente. Dunque, con curve di indifferenza non rettilinee, da un lato il rapporto x / x 2 varia al variare del punto corrispondente al paniere di partenza, dall altro anche con uno stesso punto di partenza le differenze possono essere notevoli a seconda dell ampiezza delle variazioni considerate. La soluzione a entrambi questi problemi è data dall uso di una misura puntuale: rilevare cioè il valore di x / x 2 in ogni punto appartenente alla curva di indifferenza, calcolandone il valore per variazioni infinitesime, cioè piccolissime, di x 2. Tale valore è noto come saggio marginale di sostituzione (SMS), che è dunque il valore di x / x 2 per x 2 tendente a 0. 5 Per il lettore che non abbia familiarità con la notazione matematica, ricordiamo che una grandezza riportata tra due barre verticali viene considerata in valore assoluto, ignorandone cioè il segno (positivo o negativo). 42

16 Lo stesso concetto può essere espresso con una notazione matematica: SMS = lim x2 0 x x 2 dx = dx 2 Dal punto di vista geometrico il valore del SMS è la pendenza della curva di indifferenza nel punto in cui viene calcolato. Dunque, muovendoci lungo curve di indifferenza non rettilinee, così come varia la pendenza varia anche il SMS. L analisi del saggio marginale di sostituzione è giustificata nel caso in cui i beni considerati abbiano tra loro almeno un certo grado di sostituibilità e le curve di indifferenza corrispondenti abbiano dunque un andamento regolare, senza punti angolosi. Ipotizzare tale regolarità sembra una buona approssimazione della realtà in moltissimi casi. Un importante eccezione è tuttavia quella di beni la cui natura impone che siano consumati insieme come ad esempio sci e attacchi o computer e mouse. Questi beni sono detti perfetti complementi. Il consumatore può trarre beneficio dal loro consumo solo se ne ha disponibilità contemporanea in una proporzione data: avere più di un paio di attacchi è inutile se si possiede solo un paio di sci, così come avere molti mouse e un solo computer. Le curve di indifferenza per beni di questo, tipo sono rappresentate nella figura 2.6. Esse sono caratterizzate dalla presenza di un punto angoloso che corrisponde all unica proporzione tra le disponibilità dei due beni che ne consente un consumo proficuo. Muovendo da uno dei punti angolosi verso destra o verso l alto si modifica la quantità di uno dei beni senza che cambi quella dell altro. Tali variazioni lasciano indifferente il consumatore e infatti si resta sulla stessa curva di indifferenza. Beni perfetti complementi violano dunque l ipotesi di monotonicità stretta. Affinché un incremento nel consumo di uno dei due beni consenta al consumatore di raggiungere un paniere da lui preferito a quello originario, è necessario che tale incremento sia accompagnato da un aumento in proporzione data della disponibilità dell altro bene: preferisco avere due paia di attacchi anziché uno solo se la mia disponibilità di sci aumenta da un paio a due paia; in presenza di un incremento unitario nella mia disponibilità di paia di sci sono invece indifferente tra tutte le variazioni positive nella mia disponibilità di attacchi, incluso l incremento unitario. Una variazione in proporzione data della disponibilità di entrambi i beni corrisponde nel grafico a uno spostamento su una curva di indifferenza più elevata. 43

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18 4. L OTTIMO DEL CONSUMATORE Come si determina e che caratteristiche ha la scelta ottima del consumatore? In questo paragrafo raccoglieremo i frutti dall apparato analitico costruito nei due paragrafi precedenti, in cui abbiamo definito l insieme delle alternative e le preferenze del consumatore. Studieremo quale sia la scelta ottima del consumatore e come questa si caratterizzi. L insieme delle alternative ci dice tra quali panieri il consumatore debba scegliere, le preferenze e la loro rappresentazione attraverso le curve di indifferenza forniscono il criterio di scelta. Consideriamo un insieme di scelta delimitato da un vincolo di bilancio del tipo di quello rappresentato nella figura 2.5 e sovrapponiamo ad esso la più comune mappa di curve di indifferenza simile a quella rappresentata nella figura 2.. Otteniamo così la figura 2.7. Innanzitutto notiamo che la scelta ottima del consumatore si collocherà sulla retta di bilancio e non al di sotto di essa. Infatti, a qualunque paniere appartenente all area delimitata dal vincolo di bilancio corrisponde almeno un paniere rappresentato da un punto sulla retta di bilancio che contiene quantità maggiori di entrambi i beni e quindi, per l ipotesi di monotonicità, sarà preferito dal consumatore. In altri termini, il consumatore allo scopo di massimizzare il proprio benessere, avendo a disposizione un determinato reddito rappresentato dal vincolo di bilancio, lo utilizzerà tutto. Tra tutti i panieri che si trovano sul suo vincolo di bilancio quale verrà scelto? Abbiamo visto che nella formulazione standard del problema del consumatore il benessere aumenta se ci spostiamo su curve di indifferenza via via più a nord-est, cioè più lontane dall origine. Il consumatore cercherà dunque di scegliere il paniere a sua disposizione che gli consenta di raggiungere la curva di indifferenza più lontana possibile dall origine. Questo elimina dalla rosa dei candidati all ottimo punti come B o C nella figura 2.7. Trattandosi di punti appartenenti alla retta di bilancio, a nord-est di B e C non ci sono panieri raggiungibili dal consumatore; tuttavia B e C sono indifferenti a moltissimi panieri, tutti quelli appartenenti alla curva di indifferenza di cui essi fanno parte, che hanno invece a nord-est panieri raggiungibili e dunque preferiti dal consumatore. Questi ultimi, per l assioma di transitività, saranno preferiti anche a B e C che non risultano dunque ottimi. L ottimo corrisponderà al punto A nella figura 2.7, cioè al punto della retta di bilancio che appartiene contemporaneamente anche alla curva di indifferenza più a nord-est. Nessun paniere ottenibile dal consumatore, infatti, si trova a nord-est di A né di alcun paniere appartenente alla curva di indifferenza alla quale appartiene A. A è l unico paniere ottenibile dal consumatore tra quelli appartenenti alla sua curva di indifferenza. La curva di indifferenza che passa per il punto di ottimo, A, è tangente alla retta di bilancio, cioè ha in comune con essa solo un punto, che è appunto quello di ottimo. L analisi matematica ci insegna che due funzioni tangenti hanno la stessa pendenza nel punto di tangenza, dunque la curva di 45

19 indifferenza passante per A ha la stessa pendenza in quel punto della retta di bilancio. L inclinazione della retta di bilancio è data dal rapporto costante tra i prezzi dei due beni preso con segno negativo (par. 2.2), l inclinazione delle curve di indifferenza è data dal saggio marginale di sostituzione, che per le curve di indifferenza più comuni, cioè quelle convesse verso l origine, varia se ci muoviamo lungo la curva (par. 3.4). Dunque possiamo esprimere la condizione di tangenza per l ottimo, in precedenza descritta graficamente, nella seguente equazione [3] dx SMS = dx 2 p = p 2 In corrispondenza dell ottimo del consumatore il saggio marginale di sostituzione è uguale al rapporto tra i prezzi. Questa condizione ha una semplice interpretazione che ne evidenzia il significato economico, al di là del contenuto analitico appena illustrato. In corrispondenza della scelta ottima del consumatore, saggio marginale di sostituzione e prezzo relativo dei beni non possono essere diversi tra loro, cioè la valutazione soggettiva del consumatore circa la desiderabilità dei beni, che corrisponde al SMS, non può discostarsi da quella «oggettiva» del mercato, rappresentata dal prezzo relativo. Infatti, se il SMS eccedesse in valore assoluto il rapporto tra i prezzi, ciò significherebbe che il consumatore sarebbe disposto a cedere una certa quantità del bene i per averne una maggiore del bene 2 a un saggio maggiore di quanto richiesto dal prezzo di mercato. In altri termini, per avere una maggiore quantità del bene 2 il consumatore sarebbe disposto a spendere, in termini del bene, più del prezzo del bene 2 prevalente sul mercato. Non c è dunque ragione per cui il consumatore non si approvvigioni sul mercato di una maggiore quantità del bene 2 cedendo il bene ; dato che il SMS tende a ridursi in valore assoluto man mano che la dotazione del bene 2 aumenta, a un certo punto di questo approvvigionamento SMS e rapporto tra i prezzi si uguagliano e la condizione viene ad essere soddisfatta. Un ragionamento del tutto simile si applica al caso in cui il SMS sia inferiore in valore assoluto al rapporto tra i prezzi, anche se, in quel caso, nello scambio che il consumatore realizzerebbe con il mercato i ruoli di x 2 e x sarebbero invertiti. L altra condizione per l ottimo del consumatore è, come abbiamo visto, che il paniere scelto si trovi al margine superiore dell insieme delle alternative disponibili, cioè sulla retta di bilancio. Dal punto di vista algebrico il problema del consumatore è dunque caratterizzabile come un sistema di due equazioni, la condizione [3] e la retta di bilancio, in due incognite, le quantità scelte dei due beni. L individuazione del punto di ottimo, A nella figura 2.7, corrisponde alla determinazione delle quantità di ciascun bene che il consumatore domanda, * * cioè x e x 2. La soluzione dipende anche da variabili che sono determinate esogenamente rispetto al problema del consumatore, quali i prezzi di mercato dei due beni e il reddito del consumatore. Nei paragrafi 5 e 6 studieremo cosa accade alla scelta del consumatore al variare ditali variabili. 4.. Saggio marginale di sostituzione e utilità marginale Consideriamo un semplice esempio di formalizzazione analitica delle preferenze del consumatore utilizzando una specifica forma funzionale per le curve di indifferenza: quella lineare, illustrata in precedenza nella figura 2.3. Una sua possibile specificazione è la seguente: [4] ax +bx 2 = ū In essa ū è il livello di benessere o di utilità del consumatore per tutti i panieri che appartengono alla specifica curva di indifferenza considerata. Spostandoci da una curva di indifferenza ad un altra il valore di ū cambierà, per cui possiamo scrivere [5] ax +bx 2 = u 46

20 che ci dice, dati i valori dei parametri a e b e per determinati livelli di consumo di ciascun bene x e x 2, su quale curva di indifferenza ci troviamo, cioè qual è il livello di benessere o utilità del consumatore. Si noti che i parametri a e b esprimono le cosiddette utilità marginali rispettivamente dei beni e 2, cioè ci dicono di quanto varia l utilità del consumatore per ogni variazione unitaria della quantità consumata del bene corrispondente. Infatti, se dalla [5] ricaviamo un espressione per la variazione totale dell utilità al variare delle quantità consumate dei due beni [6] a x = b x = u 2 considerando poi solo la variazione nel consumo di uno dei beni, ad esempio il bene, e uguagliando a 0 quella dell altro, otteniamo [7] a x = u Un semplice passaggio algebrico ci consente poi di scrivere: u [8] UMG = = a x Il rapporto tra le variazioni dell utilità e del consumo del bene, cioè l utilità marginale di quest ultimo (UMG ), è pari ad a. Lo stesso naturalmente vale per x 2 e b, per cui: u [9] UMG2 = = b x Fatte queste osservazioni, ci è ora possibile individuare la relazione tra utilità marginali e saggio marginale di sostituzione, fornendo così un interpretazione alternativa del SMS. Consideriamo, infatti, due variazioni simultanee di x e x 2 che mantengano inalterata l utilità del consumatore, cioè che ci facciano muovere da un punto a un altro appartenente alla stessa curva di indifferenza. Tali variazioni devono soddisfare la seguenti equazione [0] a x + b x = u 0 2 = Dalla [0] si ricava l espressione seguente, che individua la relazione che cercavamo tra SMS e utilità marginali: 2 [] x SMS = x 2 b = a UMG = UMG 2 Il SMS tra due beni è dunque uguale al rapporto tra le loro utilità marginali considerato con segno negativo. Tale segno è spiegato dalle stesse ragioni che spiegano l inclinazione negativa delle curve di indifferenza: affinché l utilità rimanga costante, a una variazione positiva nel consumo di un bene deve corrispondere una variazione negativa in quello dell altro. È possibile dimostrare che la relazione tra SMS e utilità marginali espressa dalla [] è generale e, dunque, non vale solo in questo caso specifico. Utilizzando la [] possiamo riscrivere la condizione di equilibrio [3] come segue: 47