D ora in avanti, pertanto, quando si parlerà di numeri razionali si sottintenderanno solo numeri razionali compresi tra 0 e 1.

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1 Premessa ovvia: Qualsiasi numero razionale Q si può scrivere come somma di un numero intero N e di un altro numero razionale Q tale che 0 Q <. D ora in avanti, pertanto, quando si parlerà di numeri razionali si sottintenderanno solo numeri razionali compresi tra 0 e. Affermazione ovvia: Qualsiasi numero razionale Q m 0 con m 0 < interi positivi (e questa è davvero l ultima volta che lo dico) si può scrivere come m 0 k + m n con n m 0, k intero positivo e m < n : si è semplicemente utilizzata la premessa. A questo punto, essendo m n ancora un numero razionale, il processo si può ripetere, ma non per più di un numero finito J di volte, al termine delle quali si giunge per forza al numero razionale m J n J. Conseguenza ovvia: Qualsiasi numero razionale Q m 0 si può scrivere come una cosiddetta frazione continua limitata del tipo m 0 k + k k J +

2 Esempio: (provare per credere, e se non si vuole provare si legga quanto segue). La precedente struttura è troppo bella e troppo regolare per essere casuale (questo, per inciso, faccia meditare profondamente sulla non casualità dell Universo); in altri termini il numero razionale 233/377 non può essere un numero razionale come qualsiasi altro. Basti pensare che aggiungendogli appena /377 (un inezia) il suo sviluppo cambia radicalmente dimezzando addirittura il numero di livelli (il valore di J). In effetti 233/377 è una delle approssimazioni razionali della sezione aurea (ecco il motivo di tanta regolarità), ossia della soluzione positiva dell equazione di secondo grado x 2 + x 0 ossia ancora del numero irrazionale 5 2 (quell equazione ce la insegnò la maestra all asilo, quando ci disse che la sezione aurea è la media proporzionale tra l unità e quello che ne resta dopo avergliela sottratta). La sezione aurea non è altro che una struttura esattamente identica a quella di 233/377, con la semplice variante che, trattandosi di un numero NON razionale... non può MAI finire! Per persuadersene si riscriva l equazione che la determina nel modo seguente x 2 + x 2

3 ossia x( + x) ossia ancora x + x Non si è fatto altro che riscrivere la stessa equazione in una forma diversa... ma in questa forma appare evidente che, al posto della x che si trova al denominatore, si potrà legittimamente sostituire l intera espressione a destra del segno uguale, ottenendo esattamente quello che si era anticipato x + + x e così via, nei secoli dei secoli. Con un minuscolo sforzo di generalizzazione si giunge abbastanza facilmente ad affermare che qualsiasi numero irrazionale che sia soluzione di un equazione di secondo grado a coefficienti interi ammette uno sviluppo in frazione continua illimitata, e con appena un po più di fatica (che qui non si affronterà) si arriva a dire che lo ammette qualsiasi numero reale, anche quelli trascendenti come π o il numero di Nepero. A questo punto, data una qualsiasi frazione continua illimitata, si definiscono le sue ridotte di ordine J come i suoi troncamenti razionali ottenuti azzerando il numeratore del livello J-esimo: a titolo di esempio la frazione continua limitata che esprime 233/377 è la ridotta di ordine 3 della sezione aurea. Ciascuna ridotta di una frazione continua illimitata è, per costruzione, un numero razionale che si usa rappresentare con la frazione M J N J essendo J l ordine della ridotta in questione e M J, N J due interi positivi. È interessante scoprire alcune rilevanti proprietà delle ridotte e per farlo si userà ancora la frazione continua della sezione aurea, per la quale tutti gli interi k J che appaiono ai successivi denominatori valgono. Azzerando il primo e il secondo numeratore si hanno le ridotte di ordine 0 e di ordine che valgono rispettivamente M 0 N 0 0 M N k. 3

4 da cui M 0 0, M, N k e N 0 indeterminato che nessuno può impedire di scegliere uguale a : N 0. Si osservi che le due ridotte appena scritte sono una minore e l altra maggiore della sezione aurea e che vale M N 0 M 0 N per la differenza tra i prodotti incrociati di denominatori e numeratori. Azzerando il successivo numeratore nella frazione continua si ha la ridotta di ordine 2 che vale M 2 N 2 k + k 2 k 2 k 2 k + da cui, immediatamente, M 2 k 2 e N 2 k 2 k +. Esiste forse un modo per legare M 2 e N 2 ai numeratori e denominatori delle precedenti ridotte? Se guardiamo bene ciò che è stato fatto dovrebbe apparire che valgono M 2 k 2 M + M 0 N 2 k 2 N + N 0 e che M 2 N M N 2 k 2 k k 2 k Inoltre, essendo in definitiva, con i valori presenti dei k j, M 2 N 2 2 si è tornati sotto il valore della sezione aurea, ma più vicino al suo valore vero. Sembrerebbe davvero troppa grazia che valesse la stessa ricorrenza per i numeratori e i denominatori delle ridotte e che ci sia questa specie di salterello sopra e sotto e sempre più dappresso attorno al valore vero. Magari si tratta di un colpo di fortuna legato alle nostre scelte iniziali e che vale solo per la seconda ridotta. Calcoliamo quindi la terza M 3 N 3 k + k 2 + k 3 k + k 3 k 3 k 2 + 4

5 Sorpresa sublime! Il passaggio compiuto per giungere all ultima espressione è strutturalmente identico a quello che era servito a valutare la precedente ridotta: indizio certo di ricorrenza bene avviata. Infatti, proseguendo, M 3 N 3 in cui appare chiaro come il sole che k 3 k 2 + k 3 (k 2 k + ) + k M 3 k 3 k 2 + k 3 M 2 + M N 3 k 3 (k 2 k + ) + k k 3 N 2 + N M 3 N 2 M 2 N 3 (k 3 k 2 + )(k 2 k + ) k 2 [k 3 (k 2 k + ) + k ] M 3 N nel caso presente Quindi non solo sono confermate le ricorrenze ma anche il salterello: siamo tornati sopra la sezione aurea e ancora più vicini. Per puro scrupolo valutiamo esplicitamente anche la quarta ridotta: M 4 N 4 k + k 2 + k 4 (k 3 k 2 + ) + k 2 k 4 [k 3 (k 2 k + ) + k ] + k 2 k + k 3 + k 4 Tutto è clamorosamente confermato: M 4 k 4 (k 3 k 2 + ) + k 2 k 4 M 3 + M 2 N 4 k 4 [k 3 (k 2 k + ) + k ] + k 2 k + k 4 N 3 + N 2 M 4 N 3 M 3 N 4 [k 4 (k 3 k 2 + ) + k 2 ][k 3 (k 2 k + ) + k ] [k 3 k 2 + ]{k 4 [k 3 (k 2 k + ) + k ] + k 2 k + } M 4 N nel caso presente Confortati sia dai calcoli fin qui effettuati sia dall autosomiglianza della stessa struttura della frazione continua possiamo concludere giubilando che, 5

6 date le prime due ridotte, ogni ridotta successiva si ottiene dalle due ricorrenze identiche M J k J M J + M J 2 N J k J N J + N J 2 (Inciso: nel caso della sezione aurea, in cui ogni k J vale, le precedenti due ricorrenze non sono altro che la famosissima successione di Fibonacci) Per giunta, a ogni livello, M J N J M J N J ( ) J vale a dire che la successione delle ridotte di ordine pari è monotona crescente e sempre minore del valore limite della frazione continua, mentre quella delle ridotte di ordine dispari è monotona decrescente e sempre maggiore. Il valore limite è quindi approssimato sempre meglio, alternativamente da sotto e da sopra. Tutto quanto fin qui detto consente di risolvere in modo brillante le equazioni diofantine, ossia le equazioni che determinano le intersezioni delle rette a coefficiente angolare e intercette razionali con i punti del piano di coordinate intere. È più semplice scriverle che citarle; sia Mx Ny Z l equazione di una retta con M, N e Z interi positivi (il caso di interi generici è sempre riconducibile a questo o, alla peggio, alla forma alternativa Mx+Ny Z); ci si chiede se e dove tale retta interseca punti con entrambe le coordinate intere. Notiamo subito che se (x,y ) è un tale punto, allora la retta passa anche per tutti i punti ottenibili da (x,y ) come (x +K,y +L) con K e L a loro volta interi e tali che MK NL 0 ossia tali che i due razionali M N e L K coincidano. Pertanto, se esiste una soluzione al problema, ne esiste un infinità numerabile e inevitabilmente una di queste sarà la più vicina all origine (che, per inciso, non è soluzione). 6

7 Ci proponiamo di determinare appunto questa soluzione minima, a partire dalla quale si generano tutte le altre e che non è a sua volta generata da queste: sia tale soluzione denominata (x 0,y 0 ). Balza subito all occhio che deve essere (x 0,y 0 ) Z(ξ 0,η 0 ) essendo (ξ 0,η 0 ) la soluzione minima di Mx Ny Pertanto occorre risolvere quest ultima e, per farlo, sono già stati dati tutti gli strumenti. 7