Introduzione al corso

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1 Corso di Sistemi e Modelli Prof. Gianna Maria Toffolo Alessandra Bertoldo A.A Introduzione al corso 1

2 Orario LEZIONI Mercoledi aula Be Giovedi aula Be Venerdi aula Ke ESERCITAZIONI Tutor Venerdi aula Ae (inizia il 7 ottobre) ORARIO RICEVIMENTO durante il corso: Mercoledi ore poi su appuntamento tramite mail

3 Alcune informazioni Corso con due canali: Canale 1 : prof. Gianluigi Pillonetto - Mauro Bisiacco Canale 2 : prof. Gianna Maria Toffolo - Alessandra Bertoldo Comunicazioni tramite forum del corso E necessario iscriversi!!! Modalità d esame: prova scritta identica per entrambi i corsi gli studenti che hanno superato lo scritto possono-su richiesta-sostenere una prova orale integrativa, su TUTTO il programma, nello stesso appello dello scritto 26 gennaio 2017 ore febbraio 2017 ore 14 3 luglio 2017 ore 10 4 settembre 2017 ore 10 3

4 Alcune regole In tema di registrazione vale quanto definito dall Ateneo Per poter sostenere un esame, è indispensabile iscriversi su UNIWEB al corrispondente appello - ATTENZIONE: le liste si chiudono qualche giorno prima dell appello Nelle comunicazioni via , utilizzare il proprio indirizzo istituzionale nome@studenti.unipd.it (messaggi anonimi NON saranno presi in considerazione) 4

5 Testi Testi di riferimento: Mauro Bisiacco, Gianluigi Pillonetto: Sistemi e Modelli, Progetto Leonardo, Esculapio, Bologna 2014 Claudio Cobelli, Ewart Carson: Introduzione alla Modellistica in Fisiologia e Medicina, Patron, Bologna, 2012 Altro materiale sul sito del corso 5

6 Testi Testi per consultazione: L Benvenuti, A De Santis, L Farina: Sistemi Dinamici, Mc Graw Hill, 2009 JA Gubner: Probability and Random Processes for Electrical and Computer Engineers, Cambridge Univ Press, 2006 E Fornasini, G Marchesini: Teoria dei Sistemi, Libreria Progetto, Padova K Astrom, R Murray : Feedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers, Princeton University Press, Disponibile online: G Picci: Metodi Statistici per l Identificazione di Sistemi Lineari, Disponibile online : 6

7 Prerequisiti Fisica Generale 1 e Fisica Generale 2 Equazioni che regolano la dinamica di sistemi meccanici ed elettrici Segnali e Sistemi Trasformate di Fourier, Laplace e Zeta; Funzioni di trasferimento, a tempo continuo e discreto Algebra Lineare e Geometria Autovettori/autovalori, Matrici definite positive e loro diagonalizzazione Analisi dei dati Variabili aleatorie gaussiane, calcolo di media e varianza di variabili aleatorie gaussiane condizionate, regressione lineare 7

8 Sistema Gruppo o insieme di elementi riuniti da qualche interazione regolare o da una mutua dipendenza per realizzare un determinato fine (C. Shannon) il tutto è maggiore della somma delle singole parti (Aristotele) 8

9 Modello Linguaggio comune: MODELLO = OGGETTO, COMPORTAMENTO CHE SI COPIA Esempio: Proprietà: - modello in pittura; modello di virtù - completo; perfezione ideale più ricco e complesso Linguaggio scientifico: Esempio: Proprietà: MODELLO = SCHEMA TEORICO, STRUTTURA ASTRATTA, LUOGO DI SIMULAZIONE - modello di un edificio; modello dell atomo - immagine impoverita del reale ; astrazione, vengono riprodotti solo aspetti rilevanti dal punto di vista adottato più povero e schematico 9

10 Tipi di modelli Modelli mentali (rappresentazione di un fenomeno) Modelli verbali (descrizione a parole di un fenomeno) Modelli fisici (iconici; leggi della similitudine; leggi dell analogia) Modelli concettuali diagrammi, schemi (pianta città- flow chart) Modelli matematici.. 10

11 Modelli Matematici insieme di relazioni matematiche che descrivono i legami tra le grandezze del sistema reale, quindi una rappresentazione della realtà con un certo grado di approssimazione/astrazione/semplificazione 11

12 Sistemi e modelli dinamici Evolvono nel tempo Sono causali, cioè le uscite al tempo t dipendono dalla storia passata degli ingressi Sono tipicamente modellizzati tramite equazioni differenziali dxt ( )/ dt= f ( x( t), u( t), t) y( t) = h( x( t), u( t), t) x(0) = x0 12

13 PROCESSO DI MODELLIZZAZIONE SISTEMA Metodologie modellistiche SCOPO MODELLO 13

14 Perché un modello? SISTEMA X??? Quesito Q x 14

15 Definizione operativa di modello Risposte R X Risposte R M 4 3 SISTEMA X 1 Quesiti Q x M è un modello di X, per un osservatore, se esso può utilizzare M per rispondere a domande su X Quesiti Q M MODELLO M 2 SCOPI DESCRIVERE es.legge di Ohm V = R x I INTERPRETARE se si misurano in due dispositivi un diverso legame I-V, si deduce che i valori di R sono diversi PREDIRE come sarà V se applico un ingresso I sinusoidale? 15

16 Classi di modelli: Modelli di Sistema Descrivono il funzionamento interno del sistema sulla base di principi fondamentali della scienza (fisica, biologia, chimica ecc) e di ipotesi sulla struttura del sistema (livello di approssimazione dettato da conoscenze a priori e natura delle ipotesi) Danno informazione sui meccanismi interni del sistema White box/gray box Ingresso farmaco eliminazione k 01 1 plasma y = concentrazione del farmaco k 21 k 12 2 tessuti Si parla di scatola bianca (trasparente) se struttura e parametri del modello sono noti q& ( t) = ( k 1 q& ( t) = k 2 y( t) = k q ( t) / V 1 21 ) q q ( t) k 12 1 ( t) + k q ( t) 2 12 q ( t) + u( t) 2 q q 1 2 (0) (0) = = 0 0 Si parla di scatola grigia se i parametri non sono noti-devono essere identificati dai dati Parametri p=[k 01, k 12, k 21, V 1 ] T 16

17 PROCESSO DI MODELLIZZAZIONE Modelli di Sistema SISTEMA DATI Conoscenze a priori Metodologie modellistiche Assunzioni STRUTTURA STIMA PARAMETRICA MODELLO 17

18 Classi di modelli: Modelli di Dati Descrivono la relazione ingresso-uscita del sistema senza nessuna (minime) ipotesi sulla struttura Non danno informazione sui meccanismi interni del sistema ingresso-uscita, black box CONCENTRAZIONE y( t, p) = 2 A i e α i= 1 i t Utili se non ci sono conoscenze sul sistema e comunque se interessa solo il comportamento ingresso-uscita, da inferire a partire dai dati sperimentali TEMPO

19 PROCESSO DI MODELLIZZAZIONE Modelli di Dati SISTEMA DATI Metodologie modellistiche RELAZIONE INGRESSO-USCITA STIMA PARAMETRICA MODELLO 19

20 Identificazione PROGETTO DELL ESPERIMENTO ESPERIMENTO INGRESSO SISTEMA USCITA CONOSCENZE A PRIORI ASSUNZIONI STRUTTURA DEL MODELLO Spesso (gray box/black box) è necessario stimare il valore dei parametri del modello dai dati STIMA PARAMETRICA MODELLO 20

21 Validazione PROGETTO DELL ESPERIMENTO ESPERIMENTO INGRESSO SISTEMA USCITA CONOSCENZE A PRIORI ASSUNZIONI STRUTTURA DEL MODELLO IDENTIFICAZIONE ANALISI DEI DATI Il modello e' adeguato per lo scopo per cui e' stato costruito? Qual è il suo dominio di validità? STIMA PARAMETRICA VALIDAZIONE MODELLO FINALE 21

22 TIPI DI MODELLI Modelli Statici/Dinamici Modelli Deterministici/Stocastici Modelli Tempo-Invarianti/Varianti Modelli a Parametri Concentrati/Distribuiti Modelli Lineari / Non Lineari Modelli a Tempo Continuo / Discreto Osservazione: Tutte le combinazioni sono possibili, ad es.: - Modelli dinamici, deterministici, a parametri concentrati, a tempo continuo; - Modelli dinamici, stocastici, tempo-varianti, a parametri distribuiti, non lineari, a tempo continuo. 22

23 Ricapitolando : i modelli matematici. Descrivono in modo non ambiguo gli aspetti essenziali del sistema Includono semplificazioni e astrazioni Sono riproducibili Soddisfano uno scopo Permettono (spesso) un analisi quantitativa del sistema Sono accessibili, quindi è possibile modificare e testare il modello Sono universali: utilizzati in tutte le aree della scienza e dell ingegneria 23

24 ma: le regole d oro Non esiste il modello, tutti i modelli sono approssimazioni della realtà Pertanto è necessario: definire il dominio di validità di un modello e non forzarne l uso al di fuori confrontare le predizioni del modello con dati indipendenti da quelli usati per l identificazione progettare il modello in modo aperto in modo da potervi includere nuove conoscenze progettare il modello in modo trasparente in modo da poter consentire facilmente la sua falsificazione restare critici e flessibili : avere sempre un modello più semplice ed uno più complesso di quello proposto In pratica tutti i modelli sono sbagliati, ma alcuni sono utili (G.Box) 24

25 Programma del corso Modelizzazione di sistemi dinamici tramite equazioni matematiche Analisi qualitativa e quantitativa di sistemi dinamici regolati da equazioni differenziali Identificazione gray-box dei parametri incogniti di un sistema dinamico a partire da dati fisici (misure) e identificazione black-box di modelli di dati tramite 25 deconvoluzione

26 Modellizzazione Esempi di sistemi dinamici in vari ambiti (ingegneria, biologia, economia, metereologia, ecc) Definizioni di classi di modelli matematici per sistemi dinamici

27 Analisi - 1 Sistemi Lineari Autonomi a Tempo Continuo Soluzione con esponenziale di matrice Forma di Jordan Analisi modale Traiettorie e punti di equilibrio Stabilità: metodo di Lyapunov dx( t)/ dt( t) = Ax( t) y( t) = Cx( t) x(0) = xo Sistemi NON Lineari Linearizzazione Estensione del metodo di Lyapunov 27

28 Analisi-2 Sistemi non autonomi lineari Evoluzione libera e forzata Funzioni di trasferimento Punti di equilibrio dx( t)/ dt( t) = Ax( t) + Bu( t) y( t) = Cx( t) + Du( t) x(0) = xo Sistemi a tempo discreto Analisi modale Funzione di trasferimento (ZT) x( k + 1) = Ax( k) + Bu( k) y( k) = Cx( k) + Du( k) x(0) = xo Modelli compartimentali Definizioni Proprietà fondamentali 28

29 Identificazione Identificabilità a priori L esperimento è sufficientemente informativo, ovvero consente di identificare in modo univoco i parametri del modello? Stimatori: definizioni e proprietà Stima parametrica Stima ai minimi quadrati Stima a massima verosimiglianza Sulla base dei dati sperimentali disponibili, quali sono i valori dei parametri e qual è la confidenza che possiamo associare a tali parametri? Validazione Il modello (struttura & valore/precisione dei parametri) è adeguato allo scopo?

30 Programma del corso Modellizzazione di sistemi dinamici tramite modelli matematici (prof. G.Toffolo) slides Analisi qualitativa e quantitativa di sistemi dinamici descritti da equazioni differenziali e alle differenze (prof. G. Toffolo) M. Bisiacco, G. Pillonetto: Sistemi e Modelli Identificazione dei parametri incogniti di un sistema dinamico a partire da dati fisici (misure) attraverso l uso di stimatori ai minimi quadrati e di massima verosimiglianza (prof. A.Bertoldo) M. Bisiacco, G. Pillonetto: Sistemi e Modelli C. Cobelli, E. Carson: Introduzione alla Modellistica. Esercitazioni in orario di lezione + Tutoraggio extra orario di lezione 30