Tutoraggio Scienza e tecnologie dei Media; Calcolo I, A.A Docente Prof. Picardello dettaglio esercizi svolti

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1 Tutoraggio Scienza e tecnologie dei Media; Calcolo I, A.A Docente Prof. Picardello dettaglio esercizi svolti 10/10/ , aula T6 Esercizio 1.9 c, Esercizio 1.10 a),c),d) Esercizio 1.11 c), f), j), l), m) log 3 (ln 1/ ( 1)) > 0, log 3 (log (log 1/ ( + ))) < 1, 16/10/ , aula T6 Esercizio.11 a) 17/10/ , aula T6 k, k, Esercizio.11 a),c) Esercizio.10 a), Esercizio.16 s), + 10 > + 5, Senza fare calcoli si stabilisca quale delle seguenti disequazioni non è equivalente alla disequazione 3 > 5 i) 6 4 > 10, ii) > 5, iii) > 5 iv) < 1 > 4, v) ( 3) > 5( 3) 4/10/ , aula T6 k, tramite induzione Esercizio.16 f), t), 1.14) b) Sull insieme A = { = 1n }, n N e sull insieme A = { = 1n }, n N {0} domande topologiche (punti di accumulazione, frontiera, aperto, chiuso etc.) Dinostrazione che Q = R 07/11/ , aula T6 Correzione test 07/11/ , aula T6 (lezione al posto di Massimo) Esercizio 3.13 f), 3.18), 3.17) a) ( lim ) n (, lim n + n n + n ) n 08/11/ , aula T6 (lezione al posto di Massimo) Esercizio 3.10 h), 3.11) g) h), esercizio 3.1) (solo con γ = 1), 3.6) a) 0 1 cos(1 cos ) 4 14/11/ , aula T6, 1/marzo/013; esclusivamente per uso personale, è vietata ogni forma di commercializzazione 1

2 Esercizio 4.1 b) c), 3.4 a), 3.11 e), 3.16, (cos + 1 cos ) 0/11/ , aula T6 (lezione al posto di Massimo) Dimostrazione che O( ) = (1 + o(1)) Esercizio 5.3 a), b), c) 5.5 a), 5.7 a), Esempio 5.8 k) 1/11/ , aula T6 Esercizio 3.15 c, d), 4.4 d), 4.3 b), ln( + e 1 ) (1 1 cos 1 ) ( + 1)e 1 + e 8/11/ , aula T6 Esercizio 5.1) d), 5.7) h) Discutere per β > 0 il carattere della serie 1 n ln β n n + 1 Calcolare lim (1 + / cos ) tan ln(1 + ) Assumendo i limiti lim 0 da questo far vedere che lim y 1 +(y 1) ln(ln y) = 0 = 1, e lim 0 ln = 0 si dimostri che Dimostrare che la serie e k k! k k è divergente usando il rapporto a k+1 a k 05/1/ , aula T6 4.1) c, 4.14) c), 4.13) d), 4.16) ( ) n ln(1 + e n ( 1) n ), n 5/ 1 cos ( 1)n n n=1 n=1 19/1/ , aula T6 lim t t(eet 1) = 0 e Correzione esercizi del test del 1/1/01. Detto m il mese di nascita di ciascun studente 1) Stabilire l ordine di infinitesimo per 0 della funzione 1 m+3 cos usando il fatto che (1 + t) a = 1 + at + o(t) per t 0 (la formulazione originale è leggermente diversa) ) Calcolare lim + (m m 1) 3) Calcolare lim (m m 1) 4) Stabilire la convergenza della serie 1 (n n)(ln n) m 5) Stabilire la convergenza della serie 1 (n n)(ln m 5 )n Esempio 7.16), pag.193, Esempio 7.17), pag.194, sin(ln ln ) derivata di e ln Si trovi { per quale valore di a e b è derivabile per ogni la seguente funzione a + (log ( )) > 3 f() = e + b 3 1/marzo/013; esclusivamente per uso personale, è vietata ogni forma di commercializzazione

3 Contare, con dimostrazione, le soluzioni nell intervallo [0, ] della equazione sin =. 09/01/ , aula T6 7.13) e), 7.14) b), d), 7.9) d), f), Calcolo della derivata in = della funzione calcolando il limite del rapporto incrementale (chiesto dagli studenti) 16/01/ , aula T6, Test Domanda num. Trovare il numero delle radici dell equazione sin = 1/ nell intervallo [ 4, 4]. Sia data la funzione g() = 1 sin per 0. Abbiamo g () = 1 cos, g () = + sin. 3 Sia 0. Fra e chiaramente non ci sono soluzioni. Abbiamo lim g() = +, 0 + g( ) = 1 < 0, g() = 1 > 0. Dalla continuità della funzione ed in particolare dal teorema dei valori intermedi, la funzione g() ha almeno due soluzioni, una nell intervallo [0, /] ed una nell intervallo [/, ]. Dobbiamo far vedere non ce ne sono altre. Sappiamo che lim g () =, g () = > 0 e g () = + sin > 0. Dunque 3 nell intervallo la derivata prima è crescente passando da valori negativi a valori positivi. La funzione quindi decresce fino al punto di minimo che si trova oltre / per poi risalire fra l ascissa del minimo ed il valore = ed escludendo la possibilità di una terza soluzione. Nell intervallo [3, 4] non ci sono soluzioni. Nell intervallo [, 3] vi sono altre due soluzioni. Si possono rifare gli stessi calcoli con l unica 1 sostanziale differenza che al posto di lim g() = +, c è g() = 0 + > 0. 1/(4) sin(4) 3 1/marzo/013; esclusivamente per uso personale, è vietata ogni forma di commercializzazione 3

4 1/ sin / 3/ 3 4 Domanda num.3 Tracciare il grafico della funzione f() = cos + ln. Dominio: l insieme > 0. La funzione è continua e derivabile tutte le volte che vogliamo (C (R + )). Il grafico è certamente contenuto all interno della regione racchiusa dai due grafici delle funzioni ln ± 1 ed è anche facile immaginarselo: un andamento oscillante, il coseno, che tocca alternativamente i grafici delle due funzioni ln ± 1. lim f() =, lim f() = +, lim f() parte l asintoto verticale per 0 +. = 0 per cui non vi sono asintoti di sorta a f () = sin + 1, f () = cos 1. In (0, ) la funzione è crescente. Sulla falsariga di quanto detto sopra, la derivata prima è positiva in (0, 1 ], con 1 (, 3 ), negativa ( 1, ) dove ( 3, ). Ne segue che 1 è un punto di massimo e di minimo. In [, 3] la derivata è positiva In [3, 4] succede quello che succede in [, ], al posto dei punti 1 e vi sono i punti 3 e 4 con la differenza che 3 3 < 1 e 4 4 <. L stessa cosa si ripete nell intervallo [n, (n + 1)] e si può osservare che i punti in cui la derivata si annulla, benché mai uguali ai valori per cui sin = 0, tendono ad essi per + a causa del fatto che 1/ tende a zero. 1/marzo/013; esclusivamente per uso personale, è vietata ogni forma di commercializzazione 4

5 cos(4) + ln(4) ln ln 4 1 3/01/ , aula T6 Calcolare al variare di n = 0, 1,, 3 la quantità ( ) 1/ (16) k e stimare il resto della k k=0 funzione 1 + al fine di stimare 17. Disegnare il grafico della funzione f() = cos + ln. tan sin Calcolare il limite lim ln(1 ) 1/marzo/013; esclusivamente per uso personale, è vietata ogni forma di commercializzazione 5