s³y(s) +40s²Y(s) + 400sY(s) =500sU(s) +1000U(s)

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1 . Assegnato l impianto P osì shematizzato: U P Y e aratterizzato dal seguente modello impliito ingressousita: d y( t) d y( t) dy( t) dt dt dt du( t) + u( t) dt si riavi la funzione di trasferimento P(s)Y(s) / U(s). Per trovare tale funzione di trasferimento devo spostarmi nel dominio operativo di Laplae, dove le operazioni di derivazione diventano operazioni algebrihe. Infatti: o L [y(t)] Y(s) o L [dy(t)/dt] s Y(s) o L [d²y(t)/dt²] s² Y(s) o L [d³y(t)/dt³] s ³Y(s) o L[u(t)] U(s) o L [du(t)/dt] s U(s) Sostituendo tali espressioni nel modello ottengo: s³y(s) +4s²Y(s) + 4sY(s) su(s) +U(s)

2 P(s) Y(s)/U(s) s s s + 4 s. Con riferimento a questo shema di ontrollo in retroazione s + s( s + ) D R + C(s) + + U P(s) Y H. Determinare C(s) e H in modo tale da soddisfare le speifihe: r(t)δ (t) y d (t)δ (t) r(t)δ (t) e A,.8 Per alolare H devo passare nel dominio operativo s. L[αδ (t)] α/s Quindi ho R(s)/s e Y d (s)/s A questo punto per trovare H sfrutto il fatto he il riferimento R(s) è proporzionale all usita desiderata Y d (s) tramite k d. In questo modo sono in grado di alolarmi il valore di k d. K d Y d (s)/r(s) Io sto ipotizzando he il trasduttore sia istantaneo ossia HH. In tal aso l unio modo he ho per rendere l errore a regime nullo o ostante è avere K d H Quindi il valore di H è: H /k d /

3 Per alolare C(s) invee devo far riferimento alla tabella seguente he evidenzia il tipo di errore he ho a regime in onseguenza ad un determinato riferimento e al numero di poli he ho in C(s). \ h k (k d R )/(k d +G ) (k d R )/G k r(t)δ (t) k r(t)δ (t) k r(t)δ (t) (k d R )/G Essendo il riferimento di ordine (k) signifia he per avere un errore a regime ostante devo avere una funzione di trasferimento di atena diretta (G(s)C(s)P(s)) on poli nell origine(ossia devo avere un sistema di tipo ). Considerando il fatto he P(s) presenta già un polo nell origine è suffiiente progettare una C(s) anh essa on un solo polo nell origine. La C(s) assume pertanto la forma: C(s) k /s Devo quindi alolare quanto vale k. Sfrutto il fatto he le speifihe mi rihiedono un errore a regime pari a.8. Ho quindi: (k d R )/G.8 ( R è il oeffiiente di R(s) ioè ) Da questa relazione si riava il valore di G he vale: G Ora poihé G lim s s C(s)P(s).k Si riava pertanto il valore di k : k /. Un ulteriore speifia rihiede he il sistema sia astatio nei onfronti dell ingresso non manipolabile

4 d(t) δ (t). Affinhé il sistema sia astatio è neessario he k<h, dove h è il numero di poli nell origine presenti in C(s) e k è pari all ordine dell ingresso non manipolabile meno uno(ossia d(t)d δ (k+) (t)). Nel mio aso quindi essendo k è neessario he C(s) abbia un polo nell origine. Tuttavia l aver dovuto soddisfare la speifia dell errore a regime pari ad.8 ha fatto sì he C(s) presenti già un polo nell origine. Quindi il sistema è già astatio. 4. Si rihiede ora l analisi delle proprietà di stabilità al variare di k del sistema a ilo hiuso ottenuto. Per studiare la stabilità di un sistema a ilo hiuso posso proedere in due modi. Posso utilizzare la tabella di Routh, oppure posso usare il riterio di Nyquist. Cominiamo on Routh. Devo innanzitutto determinare la funzione di trasferimento a ilo hiuso W(s). G( s) W ( s) + F( s) A me servono i poli di W(s), he altro non sono he gli zeri di +F(s). Se i poli di W(s) sono tutti a parte reale negativa allora il sistema a ilo hiuso è asintotiamente stabile. da ui k +F(s)+H*C(s)*P(s) + s + s s + 4s + 4s 4 s + 4s + 4s + ks + k +F(s) 4 s + 4s + 4s Per vedere se i poli di W(s) sono tutti a parte reale negativa sfruttiamo la tabella di Routh(non devo avere variazioni di segno sulla prima olonna). 4 4 k 4 k A B C D A k 6 k 4 B 4 4 k k 4

5 4 k 4 k (k 6) C 6 k 6 k k k 64 4 La tabella diventa: D Bk 4 4 k 4 k 6 k 4 k (k k 64 6) k k Affinhé tutti i poli di W(s) siano a parte reale negativa non devo avere variazioni di segno sulla prima olonna. Dato he i primi due elementi della prima olonna sono positivi anhe gli altri tre devono essere positivi. Quindi: 6k > k < 64 k (k k 64 6) 6 > k < ^ k > V k > 64 k > k > L intersezione delle tre ondizioni mi die he affinhé il sistema a ilo hiuso sia asintotiamente stabile devo avere un k he varia osi: < k < 6 (.) Quindi il sistema a ilo hiuso quando k è stabile perhé appartiene a tale intervallo. Verifihiamo tale risultato on Nyquist.

6 L intervallo di k trovato on Routh trova un immediata onferma se si effettua il diagramma di Nyquist (ompleto) di F(jω). Affinhé vi sia asintotia stabilità devo avere he il diagramma ompleto di F(jω) irondi il punto ritio un numero di volte pari al numero di poli a parte reale positiva presenti in F(s). F(s) non ha poli a parte reale positiva pertanto p p. Quindi se il numero di irondamenti è zero ho asintotia stabilità. Di seguito sono riportati aluni diagrammi per k diversi: 6 k Nyquist Diagrams From: U() 4 Imaginary Axis To: Y() Real Essendo presenti in F(s) poli nell origine signifia he devo hiudere il grafio da a + in senso orario on mezzi giri(ossia un giro). Ingrandendo intorno al punto ritio ottengo: x 4 6

7 Nyquist Diagrams From: U().. Imaginary Axis To: Y().... Real Axis E evidente dall ultimo grafio ome per k sono in una situazione di asintotia stabilità. Per k devo avere instabilità seondo i risultati ottenuti on Routh. Questo è onfermato anhe da Nyquist: k Nyquist From: U().. Imaginary Axis To:.. Real Axis 7

8 In questo aso ho due irondamenti in senso orario ( ). Essendo p p ho instabilità. E hiaro quindi ome al resere di k il sistema tende verso l instabilità. Il valore massimo he k può assumere si trova prendendo l asissa dell intersezione della urva on l asse reale (K). Trovato K il k massimo è /K. Dal diagramma fatto per k si riava, grazie all ausilio del matlab, he K.9 Quindi: k max.8.9 Riavo pertanto he ho asintotia stabilità per: Possiamo pertanto affermare he il sistema a ilo hiuso presenta stabilità regolare. Ramp s Integrator s Transfer Fn s+ s +4s +4s Transfer Fn To usita Step Gain / Gain k < k <.8 8

9 E presente asintotia stabilità. k 8 9

10 6 4 E presente instabilità.. Si modifihi la C(s) in modo da soddisfare l ulteriore speifia: F(jω) : m φ 4, ω t rad/s. Per soddisfare tale speifia prendo il diagramma di Nihols di F(jω) e faio in modo he il punto aratterizzato dalla pulsazione di rad/s intersehi l asse delle fasi nella oordinata 4. Per far iò è neessario effettuare una orrezione opportuna della C(s). Tale orrezione è effettuata mediante delle reti orretrii. Tutto si ridue ora nel apire he tipo di rete devo usare. A tale sopo vado a vedere il punto di F(jω) a pulsazione rad/s dove si trova.

11 Nihols Charts From: U() OpenLoop Gain (db) To: Y() OpenLoop Phase (deg) Il punto di F(jω) a pulsazione rad/s ha una fase di 8.7 e un modulo in db di 6.8. Io devo fare in modo he abbia una fase di 4 e un modulo pari a zero (in db). La orrezione he devo effettuare è evidenziata dalla freia nera in figura. Devo amplifiare di 6.8 db(6.7 in naturali) e antiipare di 4,7. Ho bisogno quindi di una rete antiipatrie. C(s) diventa: C(s) s + ˆ τs + ατ ˆ ˆs Non mi resta he alolare αˆ e τˆ dove: τˆ ωˆ M + tg ϕ tg ϕ ˆ α + ( ωˆ ˆ) τ ωτ ˆ ˆM M Essendo M 6.7 φ 4.7 trovo

12 αˆ.94 τˆ.96 Con tali valori la C(s) modifiata è: utilizzando tale funzione la F(s) diventa: +.96 s C ( s).77 s + s F ( s) P( s) HC ( s) s s + + 4s + 4 s +.96s.77 s + s 99 s s s +.8s +.8s + 4 s effettuando il diagramma di Nihols di F (jω) ottengo: Nihols Charts From: U() OpenLoop Gain (db) To: Y() OpenLoop Phase (deg) Con il matlab ho evidenziato on un erhietto il punto a pulsazione rad/se srivendo nihols(f),hold on, nihols(f,, x ). Come si vede tale punto ha modulo zero e fase 4. La orrezione è riusita orrettamente.

13 6. Con riferimento al sistema in retroazione ottenuto onsiderando la C(s) modifiata, si valuti on l ausilio dei legami globali la sovraelongazione perentuale, il tempo di salita, il tempo di assestamento, il tempo all emivalore e il periodo della prima osillazione onseguenti ad un ingresso a gradino. Per poter appliare i legami globali ho bisogno di trovare una serie di parametri he si possono leggere dal diagramma di Bode di W(jω) normalizzato al guadagno statio W(j). Ho bisogno pertanto di W(s). W ( s ) P ( s ) C ( s ) + F ( s ) + s +.96 s s + 4 s + 4 s.77 s + s + F ( s) 98 s s s +.8 s +.8 s + 4 s 99 s s s +.8 s +.8 s + 4 s ( 98s + 896s + W s) 4.77s +.8s +.8s + 9s + 448s + A me serve W(s) / W(): W() W ( s) W ().77 s 99 s s s +.8s + 9 s s + Effettuando il diagramma di Bode di tale funzione ottengo:

14 Bode Diagrams From: U() Phase (deg); Magnitude (db) To: Frequeny (rad/se) Osserviamo he i legami globali si possono utilizzare quando F(s) ha un numero di poli ompreso tra e di ui al massimo nell origine e inoltre W(s) presenta un solo massimo. Io quindi sono proprio al limite perhé ho grado e poli nell origine,ma ho massimi relativi; Bode Diagrams From: U() Phase (deg); Magnitude (db) To: Y() Frequeny (rad/se) La presenza di massimi relativi porterà ad una disordanza tra i risultati he riaverò on i legami 4

15 globali e quelli letti direttamente dalla risposta indiiale. Dall analisi del diagramma di Bode si riava: Bode Diagrams Phase (deg); Magnitude (db) From: U() To: Y() Frequeny (rad/se) riporto di seguito i valori trovati, tramite il matlab, per ω, ω 6, ω,φ, ω : [modulo,fase]bode(w,.) } modulo.77 (db) ω. rad/s fase 74.8» [modulo,fase]bode(w,6.7) } modulo.4989 (6dB) ω rad/s fase 7.97 }» [modulo,fase]bode(w,6.8) ω 6.8 rad/s modulo. (db) φ 8.4 fase 4.6 Sempre on l ausilio del matlab ho trovato he il modulo di risonanza M r vale 4. db. Il valore di ω è la pulsazione in orrispondenza della quale sono seso di db rispetto al modulo di risonanza,; quindi il modulo in orrispondenza di ω deve valere. db (. in naturali)

16 » [modulo,fase]bode(w,8.7) modulo.7 fase.97 } ω 8.7 rad/s Ora devo onvertire tutte le pulsazioni in frequenze e devo esprimere M r in naturali. B ω /π.7 s B 6 ω 6 /π.84 s B ω /π 4.7 s M r.6 φ 8.4 Sostituendo tali valori nei legami globali trovo: s % [.4 ln(mr B /B 6 ) +.8]* 4. % t r.4 / B 6.77s B r t a % (.6.4).48 s 6 M t e. φ / B 6.7 s T. / B.7 s B B 6 6

17 E possibile ora mediante la risposta indiiale andare a verifiare i parametri trovati on i legami globali. Step.96s+.77s +s Transfer Fn s+ s +4s +4s Transfer Fn / Gain To risposta Gain / Gain Nei diagrammi di seguito riportati sono evidenziati i nostri parametri: 7

18 Come è ben evidenziato dalle figure il tempo in ui la risposta indiiale ha raggiunto. è ira.7 seondi. Essendo il gradino appliato in t s ho he t e.7 (in aordo on i legami globali). Per quel he riguarda il periodo T ho trovato he vale ira.7 s.(in aordo on i legami globali) Come si vede il tempo di salita è in aordo on quanto visto on i legami globali(.77s) mentre la sovraelongazione no, infatti risulta essere pari al.8% quando on i legami globali avevo 4.%. L ultimo parametro è il tempo di assestamento: Il tempo di assestamento risulta essere ira.4 seondi quando on i legami globali mi era venuto.48 seondi. Ho soperto he gli unii due parametri he non rispehiano quanto visto on i legami globali sono s% e t a. Se osserviamo bene i aorgiamo he entrambi,e solo loro, dipendono da M r. Da iò si può dedurre he l errore è legato proprio a M r. Il motivo è quello a ui faevo riferimento già in preedenza, ossia la presenza di due massimi relativi he si oppone alle ipotesi neessarie per poter usare i legami globali. 8

19 In onlusione evidenzio la orrettezza del lavoro effettuato simulando il sistema nel dominio del tempo: Gain Ramp s Integrator.96s+.77s +s Transfer Fn s+ s +4s +4s Transfer Fn To usita Step Gain / 9

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