CIRCUITI MAGNETICI GIOGO TRAFERRO COLONNA

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Gustavo Martina
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1 CIRCUITI MAGNETICI Si definisce circuito agnetico un certo sviluppo di linee di induzione tale da svolgersi prevalenteente entro ateriali ferroagnetici cioè con alta pereabilità. Le linee di induzione per esepio dovute ad un circuito elettrico risulteranno allora in buona parte confinate entro il circuito agnetico stesso. Ad esepio : _ B GIOGO TRAFERRO COLONNA In tal caso le linee di flusso sono obbligate a seguire un percorso deterinato dalla fora del nucleo agnetico (il nucleo agnetico può presentare anche dei tratti in aria chiaati TRAFERRI ), così coe una corrente elettrica (flusso di elettroni) deve seguire l andaento del circuito elettrico. Da tale analogia segue il noe di circuito agnetico. In realtà però il circuito agnetico non è rigorosaente un tubo di flusso coe invece lo è un buon circuito elettrico e ciò perché alcune linee di induzione (poche) fuoriescono dal nucleo (coe appare in figura) per chiudersi nel ezzo circostante. L insiee di tali linee prende il noe di FLUSSO DISPERSO. La ragione per cui in un circuito elettrico tutto il flusso delle cariche (corrente) è contenuto entro il circuito deriva dal fatto che ha un elevato grado di isolaento rispetto al ezzo circostante, cosa che non si ha in un circuito agnetico per la non elevata differenza fra i valori della pereabilità del circuito e del ezzo circostante. Le dispersioni saranno tanto inori quanto più il circuito avrà alta la sua pereabilità rispetto al ezzo circostante. 1

2 LEGGI DEI CIRCUITI MAGNETICI Abbiao detto che un circuito agnetico serve per creare un percorso chiuso e di facile attraversaento per le linee di induzione che sono dovute in genere ad un circuito elettrico di solito costituito da un certo nuero di spire che si concatenano con le linee di induzione stesse. Cerchiao coe sono legati tra loro i paraetri geoetrici e quelli del ateriale caratterizzante il circuito agnetico al relativo flusso e ai paraetri del circuito elettrico. A tal fine è necessario porre L IPOTESI che il circuito agnetico dato, pur potendo essere costituito da ateriali con pereabilità differente, costituisca un unico tubo di flusso cioè NON VI SIANO FLUSSI DISPERSI. Analizziao quindi il seguente circuito agnetico costituito da quattro tronchi rettilinei ciascuno con sezione e pereabilità costante. Si indichi con l 1 S 1 µ 1 rispettivaente lunghezza, sezione retta e pereabilità agnetica assorbita dal prio tronco e analogaente per gli altri tronchi. Si indichi con Φ il flusso di induzione interessante il circuito agnetico. Si otterrà che: B 1 Φ/S 1 B Φ/S B 3 Φ/S 3 dove le B sono le rispettive induzioni assunte dal ateriale nei vari tronchi. D altra parte : B 1 µ 1 H 1 B µ H B 3 µ 3 H 3 B 4 µ 4 H 4 per cui Φ Φ Φ Φ H H H H µ 1 S 1 µ S µ 3 S 3 µ 4 S 4 ora, oltiplicando abo i ebri di ciascun terine per la lunghezza del rispettivo tronco trovo : Φ l 1 Φ l Φ l 3 Φ l 4 H 1 l H l H 3 l H 4 l µ 1 S 1 µ S µ 3 S 3 µ 4 S 4 e soando ebro a ebro tutte le espressioni : l 1 l l 3 l 4 H 1 l 1 + H l + H 3 l 3 + H 4 l 4 ( ) Φ µ 1 S 1 µ S µ 3 S 3 µ 4 S 4

3 La soa dei terini H l prende il noe di Tensione Magnetica totale ed è evidenteente uguale alla f... N I. Osserviao ora che il concetto di tensione agnetica vale anche quando la linea di forza agnetica si sviluppa sia in un ezzo oogeneo con pereabilità agnetica diversa da quella del vuoto sia in un ezzo eterogeneo coe il nostro. Quindi la soa dei terini del tipo H l estesa ad una linea chiusa rappresenta sepre la tensione agnetica totale agente su quella linea e quindi tale soa corrisponde alle aperspire del circuito elettrico concatenato con quella linea. Pertanto : l 1 l l 3 l 4 N I ( ) Φ con N il nuero di spire del- µ 1 S 1 µ S µ 3 S 3 µ 4 S 4 l avvolgiento. I terini del tipo l/µ S fanno ricordare quelli del tipo ρ l / S o eglio l / γ S dei circuiti elettrici e per tale otivo vengono chiaati Resistenza Magnetica o Riluttanza (R) nel tronco considerato e si isura in Henry -1. L inverso si chiaa Pereanza pertanto: l 1 l R ; R per cui : µ 1 S 1 µ S. N I ( R 1 + R + R 3 +. ) Φ e detta riluttanza totale la soa R t R 1 + R +... si ha N I Rt Φ Φ Σ R che è la LEGGE DI HOPKINSON o legge di Oh agnetica. Tale forula è la base per il calcolo dei circuiti agnetici costituiti da più tronchi in serie tali da realizzare un unico circuito. Quando i tronchi sono in parallelo o in serie-parallelo allora si ricorre a etodi analoghi a quelli visti. In base alla legge di Hopkinson si può afferare che per i circuiti agnetici la f... rappresenta ciò che la f.e.. rappresenta per i circuiti elettrici e che il flusso agnetico e la riluttanza corrispondono alla corrente e alla resistenza elettrica di un circuito elettrico. R R3 R1 R4 N I E Φ I R R 3

4 A conclusione di ciò si deduce che per i circuiti agnetici coplessi valgono principi analoghi a quelli di Kirchhoff e precisaente: PRIMO PRINCIPIO :Per ciascuna porzione di spazio, ove convergono e divergono più flussi agnetici, vale la condizione per cui la soa dei flussi entranti è uguale alla soa dei flussi uscenti con positivi gli entranti e questo è il prio principio: Σ Φ 0. Per il seguente caso : - Φ A + Φ B - Φ C 0 SECONDO PRINCIPIO :Per ciascun circuito chiuso soggetto a più f... la soa algebrica di queste (ΣNI) equilibrerà tutte le cadute di tensioni agnetiche (RΦ) dei vari tronchi costituenti il circuito chiuso (eventualente con i traferri) cioè il secondo principio si scrive Σ N I Σ R φ. Esepio : per il tronco ABCDA posso scrivere : l 1 l l 7 l 6 N 1 I 1 N 7 I Φ Φ Φ Φ 1 µ 1 S 1 µ S µ 7 S 7 µ 6 S 6 con Φ 1 Φ Φ 6 e Φ 3 Φ 4 Φ 5 4

5 l ;S;µ l 3;S3;µ3 l 7;S7;µ 7 l 1;S1;µ 1 l 4;S4;µ 4 l6;s6;µ6 l 5;S5;µ5 Si ricordi che per poter scrivere tale relazione occorre stabilire un verso di percorrenza nel circuito e conoscere i versi dei flussi agnetici ed i segni da assegnare alle f... Qualora i versi dei vari flussi non siano noti questi sono posti arbitrariaente; risulteranno positive quelle f... le cui azioni sono concordi col verso di percorrenza stabilito, negative le altre. Ricordiao infine che la legge di Hopkinson ed i principi di Kirchhoff agnetici sono sufficienti a risolvere problei inerenti ai casi più coplessi. Esercizio : Deterinare la f... con il etodo delle Riluttanze e fare la verifica con il etodo della c.d.t. agnetica. Dati: Φ 0,5 S tr S + 10%. B 0,5 0,6 0,7 µ r

6 φ 0,5x10 B S 9x10 5 0,55 Tesla 9 0,1:9 0,05:x x 9x0,05 0,1 14,5 µ r ,5 185,5 R A 1,56 x10 l µ µ S r 0 6 H 37c 6 H 1,56 x10 x185,5 x9c x185,5 x9x10,096x ,64 x 10 5 H -1 36,8 R D 5,096x10 17,55 x 10 5 H -1 0, R E 6 1,56 x10 x9,9x10 0, 1,43x x 10 5 H R T ( ) 17, , , , ,09 x 10 H 86,56 x 10 5 H -1 N x I Φ x R 0,5 x 10-3 x 86,56 x 10 5 H Asp. Risolvere ora con il etodo delle tensioni agnetiche : N x I H x l 6

7 Esercizio : Si trovi il valore dell induzione agnetica nei quattro tronchi quando le 3000 spire sono percorse da una corrente di 50 A e nell ipotesi che la pereabilità relativa sia costante e pari a I A c B N 4 c 8 c 1.5 c D.5 c C c 1 c Per deterinare il flusso agnetico si ricorre alla legge di Hopkinson N x I Φ x R Si deterinano ora le riluttanze dei vari tronchi: Ø R B R A R C + NI - R D R A l µ A rµ 0 S A 8x10 1,56 x10 x3x10 1 x 10 3 H -1 7

8 R B lb µ S B 1x10 1,56 x10 x4x10 39 x 10 3 H -1 R C lc µ S C 8x10 1,56 x10 x8x10 79,6 x 10 3 H -1 ld R D µ S D 1x10 1,56 x10 x5x x 10 3 H -1 Φ R A NI + R + R B C + R D 3000x50x10 ( , )10 3 0,07 x 10-3 Noto il flusso Φ si può trovare l induzione agnetica nei vari tronchi : B A B B B C B D φ 0,07x10 3x10 S A φ 0,07x10 4x10 S B φ 0,07x10 8x10 S C φ 0,07x10 5x10 S D 0,690 Tesla ( ) 0,518 Tesla ( ) 0,59 Tesla ( ) 0,414 Tesla ( )

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