Metodi alle differenze finite per equazioni paraboliche in più variabili spaziali

Transcript

1 Capitolo 5 Metodi alle differenze finite per equazioni paraboliche in più variabili spaziali 5. Metodo delle linee Supponiamo di dover risolvere un equazione alle derivate parziali nelle variabili indipendenti x, y, t. Un metodo per risolvere equazioni differenziali alle derivate parziali è il metodo delle linee (Faddeeva, 949) o metodo di semidiscretizzazione in cui una o più variabili sono discretizzate, ad esempio le variabili x ed y, ed un altra, ad esempio t, è lasciata continua. Quando espressioni alle differenze sono sostituite nelle derivate x ed y, l equazione alle derivate parziali è trasformata in un sistema di equazioni differenziali ordinarie nella variabile indipendente t, cioè in una equazione differenziale alle differenze. Si considerano l equazioni paraboliche ad una ed a due dimensioni spaziali u t (x, t) = u xx (x, t) (5.) u t (x, y, t) = u xx (x, y, t) + u yy (x, y, t) (5.) Supponiamo che ad entrambi i problemi siano assegnate le condizioni iniziali e al bordo di Dirichlet (o di Neumann) nell intervallo [a, b] per l equazione (5.) e nel rettangolo [a, b] [c, d] per l equazione (5.). Per le condizioni al bordo, si suppone che la soluzione nei punti del bordo sia uguale ad una funzione assegnata dipendente da t. Si partizioni l intervallo [a, b] in N + sottointervalli di uguale ampiezza x, i.e., x i = x i + x, i =,..., N + con x 0 = a e x N+ = b. Si discretizzi il rettangolo [a, b] [c, d] in una griglia di punti (x i, y j ), i = 0,..., N +, j = 0,..., M +. I punti (x i, y 0 ), (x i, y M+ ), (x 0, y j ) e (x N+, y j ), per i = 0,..., N + e j = 0,..., M + sono i punti del bordo del rettangolo. Si discretizzano gli operatori spaziali u xx (x i, t) o u xx (x i, y j, t) + u yy (x i, y j, t) nei punti della griglia mono o bidimensionale, i =,..., N, j =,..., M, mediante le Ad esempio per l equazione (5.) si suppone u(a, t) = α(t) e u(b, t) = β(t) mentre per l equazione (5.) si suppone u(x, y, t) = g(x, y, t) per i punti (x, y) appartenenti al bordo Γ del rettangolo [a, b] [c, d]. 9

2 0CAPITOLO 5. METODI ALLE DIFFERENZE FINITE PER EQUAZIONI PARABOLICHE IN PIÙ VARIABILI SP differenze finite centrali: u xx (x i, t) = x (u(x i+, t) u(x i, t) + u(x i, t)) + O( x ) u xx (x i, y j, t) + u yy (x i, y j, t) = x (u(x i+, y j, t) u(x i, y j, t) + u(x i, y j, t))+ + y (u(x i, y j+, t) u(x i, y j, t) + u(x i, y j, t)) + O( x + y ) Le equazioni (5.) e (5.) scritte per i punti della griglia diventano u t (x i, t) = x (u(x i+, t) u(x i, t) + u(x i, t)) + O( x ) u t (x i, y j, t) = x (u(x i+, y j, t) u(x i, y j, t) + u(x i, y j, t))+ + y (u(x i, y j+, t) u(x i, y j, t) + u(x i, y j, t)) + O( x + y ) Commettendo un errore di discretizzazione sullo spazio O( x ) per il caso di una variabile spaziale e di O( x + y ) per due variabili spaziali si ha du i dt (t) = x (u i+(t) u i (t) + u i (t)) du ij dt (t) = x (u i+j(t) u ij (t) + u i j (t)) + y (u ij+(t) u ij (t) + u ij (t)) Ordinando i punti x i di [a, b] (i =,..., N) in modo sequenziale ed i punti della griglia (x i, y j ), i =,..., N e j =,..., M in modo lessicografico per righe e ponendo per i due casi u(t) = (u (t),..., u N (t)) T u(t) = (u (t), u (t),..., u NM (t)) T u (t) = (u (t),..., u N (t)) T u (t) = (u (t), u (t),..., u NM (t)) T allora le equazioni (5.) e (5.) associate alle condizioni al bordo, si riscrivono come un sistema di equazioni ordinarie u (t) = Au(t) + b(t) (5.3) dove, per il problema retto dall equazione (5.), la matrice A è una matrice tridiagonale di elementi non nulli {l i, d i, r i }, con l i = r i = / x e d i = / x, e il vettore b(t) tiene conto delle condizioni al bordo b(t) = l α(t) 0. 0 r N β(t) Per il problema retto dall equazione (5.) la matrice A è una matrice tridiagonale a blocchi con blocchi diagonali, tridiagonali, e blocchi sopra e sotto diagonali, diagonali. I cinque elementi non nulli per riga di A, {B ij, L ij, D ij, R ij, T ij }, hanno espressione B i,j = y L i,j = x R i,j = x T i,j = y D i,j = y + x

3 5.. METODO DELLE LINEE ed il vettore b(t) tiene conto delle condizioni al bordo (e.g., per N = 4, M = 3) B, g(x, y 0, t) + L, g(x 0, y, t) B, g(x, y 0, t) B 3, g(x 3, y 0, t) B 4, g(x 4, y 0, t) + R 4, g(x 5, y, t) L, g(x 0, y, t) b(t) = 0 0 R 4, g(x 5, y, t) T,3 g(x, y 4, t) + L,3 g(x 0, y 3, t) T,3 g(x, y 4, t) T 3,3 g(x 3, y 4, t) T 4,3 g(x 4, y 4, t) + R 4,3 g(x 5, y 3, t) La matrice A del sistema (5.3) è una matrice simmetrica e definita negativa. Quando si hanno le condizioni al bordo di Neumann omogenee u x (x, t) = 0 oppure u u n (x, y, t) = 0 dove n indica la derivata rispetto alla normale esterna, si discretizza la variabile spaziale con lo schema di integrazione a box visto nel capitolo Metodi alle differenze finite per problemi a valori al bordo per una dimensione spaziale oppure nel capitolo Metodi alle differenze finite per equazioni ellittiche per due variabili spaziali. Ad esempio, per una variabile spaziale si ha la discretizzazione dell intervallo [a, b] in N + sottointervalli [x i, x i+ ], i = 0,..., N, dove i sottointervalli [x i, x i+ ], i =,..., N, hanno ampiezza x mentre [x 0, x ] e [x N, x N+ ] hanno ampiezza x/. Usando lo schema di integrazione a box si ha u xx (x i, t) = x (u(x i+, t) u(x i, t) + u(x i, t)) + O( x ) i =,..., N u xx (x, t) = x (u(x, t) u(x, t)) + O( x ) u xx (x N, t) = x (u(x N, t) u(x N, t)) + O( x ) Sostituendo i valori nella formula (5.) valutata per i punti x i, i =,..., N, e commettendo un errore di discretizzazione sullo spazio O( x ), si ha du i dt (t) = x (u i+(t) u i (t) + u i (t)) i =,..., N du dt (t) = x (u (t) u (t)) du N dt (t) = x (u N (t) u N (t)) Si ottiene dunque il sistema della forma (5.3) (con b(t) = 0) con A matrice tridiagonale A = x u (t) = Au(t) La matrice A è la discretizzazione con le differenze finite dell operatore (con condizioni di Dirichlet al bordo) simmetrico e definito positivo u oppure u. Tale matrice è simmetrica e definita positiva. Si veda il capitolo Metodi alle differenze finite per problemi a valori al bordo oppure il capitolo Metodi alle differenze finite per equazioni ellittiche.

4 CAPITOLO 5. METODI ALLE DIFFERENZE FINITE PER EQUAZIONI PARABOLICHE IN PIÙ VARIABILI SP La matrice A è una matrice simmetrica e semidefinita negativa, dunque singolare. Nel caso di un problema parabolico con due variabili spaziali (5.) con condizioni al bordo di Neumann omogenee, la matrice A ha una struttura a blocchi come quella per il problema con condizioni al bordo di Dirichlet. Anche in questo caso la matrice A è simmetrica e semidefinita negativa. 3 Il sistema differenziale ordinario del primo ordine (5.3) può essere risolto con il metodo di Eulero (commettendo un errore sul passo temporale O( t)), con il metodo implicito (commettendo un errore sul passo temporale O( t)) o con il metodo dei trapezi (commettendo un errore sul passo temporale O( t )) ottenendo così i metodi (visti per il caso di un equazione parabolica ad una dimensione spaziale) esplicito, implicito e di Crank Nicolson rispettivamente. u n+ = (I + ta)u n + tb(t n ) A)u n+ = u n + tb(t n+ ) A)u n+ = (I + t A)u n + t (b(t n) + b(t n+ )) dove con u n si è indicato il vettore u n = (u n,..., u n N )T e u n = (u n, u n,..., u n NM )T per i casi mono e bidimensionali. 4 Nel caso di un problema parabolico con tre dimensioni spaziali x, y e z, la matrice A che si ottiene è una matrice a blocchi con sette elementi non nulli per riga: {S ijk, B ijk, L ijk, D ijk, R ijk, T ijk, N ijk }, i =,..., N, j =,..., M e k =,..., P. Se si ordinano i punti in modo lessicografico per righe nel piano x, y per ogni valore lungo l asse z, si ottiene una matrice A che ha una struttura a blocchi, dove i P blocchi diagonali (di ordine N M) hanno ciascuno la struttura a blocchi della matrice A nel caso di due variabili spaziali, e i blocchi sopra e sotto il blocco diagonale (anch essi di ordine N M ciascuno) sono matrici diagonali di elementi diagonali N ijk (quelli sopradiagonale) e S ijk (quelli sottodiagonale). La matrice A (con A della formula (5.3)) è dunque una matrice simmetrica e definita positiva se si considerano le condizioni al bordo di Dirichlet oppure è una matrice simmetrica e semidefinita positiva se si considerano le condizioni al bordo di Neumann omogenee. Per entrambe le condizioni al bordo, le matrici (I ta) e (I t/a) sono matrici simmetriche e definite positive. Si nota che anche nel caso a più dimensioni si possono scrivere i metodi θ. Osserviamo inoltre, che il sistema differenziale (5.3) può essere risolto anche con metodi di ordine elevato (ad esempio con metodi di Runge Kutta impliciti); si nota che in questo caso, l errore locale di troncamento è come t p con p > mentre la discretizzazione spaziale è stata effettuata con formule alle differenze del secondo ordine (O( x + y )). 3 Si veda il sottoparagrafo Operatore ellittico autoaggiunto dei Complementi al capitolo nel capitolo Metodi alle differenze finite per equazioni ellittiche. 4 Si può mostrare che, anche per le equazioni paraboliche in più variabili, il metodo implicito e di Crank Nicolson sono incondizionatamente stabili secondo Von Neumann e convergenti, mentre il metodo esplicito (per la stabilità e la converenza) è soggetto alla condizione t x + t y Si veda, e.g. 3. Morton K.W., Mayers D.F.: Numerical Solution of Partial Differential Equations, Second Edition, Cambridge University Press, Cambridge, 005.

5 5.. METODO ALLE DIREZIONI ALTERNATE 3 5. Metodo alle direzioni alternate Si supponga per semplicità che l equazione (5.) sia soggetta a condizioni omogenee di Dirichlet o di Neumann. Il sistema (5.3) diventa u (t) = Au(t) la cui soluzione per t = t n+ ha espressione u(t n+ ) = e ta u(t n ) (5.4) I metodi esplicito, implicito e di Crank Nicolson possono essere visti come se si approssimasse e ta con i coefficienti rispettivamente nelle posizioni (, ), (, ) e (, ) della tabella di Padé per la funzione e ta. Si decompone la matrice A in due matrici A e A, ovvero Poiché A = A + A e ta = e t(a+a) = e ta e ta Applicando la formula di Crank Nicolson per approssimare e ta k, k =,, ovvero l elemento (, ) della tabella di Padé, 5 si ha dunque e ta = A ) (I + t A ) + O( t 3 ) e ta = A ) (I + t A ) + O( t 3 ) e ta = A ) (I + t A ) A ) (I + t A ) + O( t 3 ) (5.5) Se le matrici A e A commutano 6 si possono permutare i fattori e ta = A ) (I + t A ) A ) (I + t A ) + O( t 3 ) e ottenere allora il metodo ADI (Alternating Direction Implicit method) di Peaceman Rachford (955) del secondo ordine nel tempo (O( t )) A )u n+/ = (I + t A )u n A )u n+ = (I + t A )u n+/ (5.6) Se le matrici A e A non commutano il metodo ADI è del primo ordine nel tempo. Il metodo ADI sceglie A = H e A = V dove H e V sono le discretizzazioni di u xx e u yy rispettivamente. Le matrici H e V commutano. Il metodo alle direzione alternate al primo passo risolve il problema lungo l asse x (noti i valori lungo l asse y) e poi al secondo passo risolve il problema lungo l asse y (noti i valori lungo l asse x). Il valore intermedio u n+/ introdotto in ADI non è necessariamente un approssimazione della soluzione nel punto intermedio tra t n e t n+. Le condizioni al bordo (ad esempio di Dirichlet sul rettangolo i cui punti della griglia sul bordo sono indicati come i punti nord, sud, est e ovest) per la prima equazione coinvolgono la soluzione nei punti nord e sud al livello t = t n e la soluzione nei punti est e ovest al livello intermedio t = t n+/. Per la seconda equazione del metodo (5.6) si deve calcolare la soluzione nei punti del bordo nord e sud al livello t = t n+ e nei punti del bordo est e ovest al livello intermedio t = t n+/. In 5 Si considerano per i metodi di decomposizione e alle direzioni alternate approssimazioni di e ta k con la formula implicita e con la formula di Crank Nicolson perchè tali formule sono incondizionatamente stabili (secondo Von Neumann). 6 Due matrici A e B commutano se AB = BA. In tal caso le matrici A e B si dicono commutative.

6 4CAPITOLO 5. METODI ALLE DIFFERENZE FINITE PER EQUAZIONI PARABOLICHE IN PIÙ VARIABILI SP Mitchell A.R.: Computational Methods in Partial Differential Equations, John Wiley & Sons, London, 969. la soluzione u(x i, y j, t n+/ ) per i punti (x i, y j ) appartenenti al bordo del rettangolo (si nota che sono solo i punti est e ovest) è ottenuta in termini di valori al bordo della soluzione in t = t n e t = t n+. 7 Vi sono diversi metodi che si basano su una decomposizione della matrice A come il metodo ADI. Nella sezione Complementi al capitolo si riportano il metodo di D Yakonov, i metodi LOD, il metodo dei passi frazionari altrimenti noto come metodo della fattorizzazione approssimata e la formula di Douglas Rachford. Si osserva come il metodo ADI e gli altri metodi di decomposizione, ad ogni passo n, risolvono sistemi della forma (I τa )u = w (I τa )u = w con τ > 0 e dove la matrice A = A + A è ottenuta dalla discretizzazione di u xx + u yy. Se consideriamo, come in ADI, A = H e A = V, il sistema (I τa )u = w (5.7) ha matrice dei coefficienti che è tridiagonale ed, in particolare, è irriducibilmente diagonale dominante e simmetrica. 8 Dunque, il sistema (5.7) può allora essere risolto con il metodo di Thomas. 9 Per quanto concerne il sistema con matrice dei coefficienti I τa, si ha che la matrice dei coefficienti ha la proprietà di essere ancora irriducibilmente diagonale dominante e simmetrica; inoltre ha, al massimo, tre elementi non nulli per riga, nelle posizioni k N, k e k + N se si considera la righa k esima. Attraverso un opportuna matrice di permutazione (ortogonale) P si ottiene una matrice B = P (I τa )P T dove B è una matrice tridiagonale che gode delle stesse proprietà di I τa. Dunque, il sistema Bû = ŵ si può risolvere con il metodo di Thomas. Qui, si è indicato û = P u (dunque u = P T û) e ŵ = P w. Ad esempio per N = 4 ed M = 3, si vuole trasformare, tramite la matrice di permutazione P, il vettore u, nel vettore û, u = (u, u, u 3, u 4, u, u, u 3, u 4, u 3, u 3, u 33, u 43 ) T û = (u, u, u 3, u, u, u 3, u 3, u 3, u 33, u 4, u 4, u 43 ) T 7 La soluzione al livello n + / viene calcolata come u(x i, y j, t n+/ ) = ( u(x i, y j, t n+ ) t [ ]) u(xi, y j+, t n+ ) u(x i, y j, t n+ ) + u(x i, y j, t n+ ) y + + ( u(x i, y j, t n ) + t [ ]) u(xi, y j+, t n ) u(x i, y j, t n ) + u(x i, y j, t n ) y 8 La matrice I τa così come la matrice I τa, ha elementi diagonali positivi, elementi non diagonali negativi o nulli, è irriducibile ed è a dominanza diagonale con almeno un indice per cui vale la diagonale dominanza in senso stretto ( i.e., è irriducibilmente diagonale dominante) dunque è una M matrice; inoltre è simmetrica, dunque è simmetrica e definita positiva. 9 Si veda il capitolo Risoluzione dei sistemi alle differenze in problemi a valori al bordo.

7 5.3. COMPLEMENTI AL CAPITOLO 5 Si ha P u = û se si prende P = Si osserva che la matrice P è tale che P AP T è la matrice di discretizzazione di u xx + u yy considerando l ordinamento dei punti in modo lessicografico per colonne. 5.3 Complementi al capitolo Se A e A commutano, permutando i fattori in (5.5) si ottiene il metodo di D Yakonov (963) del secondo ordine nel tempo A )u n+/ = (I + t A )(I + t A )u n A )u n+ = u n+/ Considerando A = H e A = V come per il metodo ADI, la soluzione nei punti del bordo per t = t n+/ può essere calcolata come: u(x i, y j, t n+/ ) = u(x i, y j, t n+ ) t [ ] u(xi, y j+, t n+ ) u(x i, y j, t n+ ) + u(x i, y j, t n+ ) y Dalla formula e ta = e ta e ta Applicando la formula implicita (elemento (, ) della tabella di Padé) e la formula di Crank-Nicolson (elemento (, ) della tabella di Padé) per approssimare e ta k, k =,, si possono ottenere i metodi LOD (Local One Dimensional method) A )u n+/ = u n (5.8) A )u n+ = u n+/ e A )u n+/ = (I + t A )u n A )u n+ = (I + t A )u n+/ (5.9) Il metodo LOD (5.9) è del secondo ordine 0 nella variabile t. I metodi (5.8) e (5.9) possono essere generalizzato al caso di più variabili spaziali; ad esempio per tre dimensioni si ha e ta = e t(a +A +A 3 ) = e ta e ta e ta 3 0 Si suppone che le matrici A e A commutino. Il metodo LOD (5.8) è del primo ordine nella variabile t.

8 6CAPITOLO 5. METODI ALLE DIFFERENZE FINITE PER EQUAZIONI PARABOLICHE IN PIÙ VARIABILI SP il metodo (5.9) diventa )u n+/3 = (I + t A )u n A )u n+/3 = (I + t A )u n+/3 A )u n+ = (I + t A )u n+/3 Scrivendo, per A = A + A e ta = I + e t A e t A ta e calcolando u(t n+ ) = e ta u(t n ) come ũ(t n ) = e t A Au(t n ) û(t n ) = e t A ũ(tn ) u(t n+ ) = u(t n ) + tû(t n ) si può scrivere il metodo dei passi frazionari di Yanenko (968) del primo ordine O( t) (I t A )ũ n = Au n A )û n = ũ n u n+ = u n + tû n Nell ambito della fluidodinamica computazionale il metodo dei passi frazionari è noto come metodo della fattorizzazione approssimata, (approximate factorisation). Si riporta la formula di Douglas Rachford (956) variante della formula di Peaceman Rachford (5.6). Tale formula, del primo ordine O( t), è data A )u n+/ = (I + ta )u n A )u n+ = u n+/ ta u n che si estende a tre variabili spaziali A = A + A + A 3 A )u n+/3 = (I + ta + ta 3 )u n A )u n+/3 = u n+/3 ta u n A 3 )u n+/3 = u n+/3 ta 3 u n Se le matrici A e A non commutano, come ad esempio considerando la matrice A proveniente dalla discretizzazione dell operatore (σ(x, y)u x ) x e la matrice A dalla Si suppone che le matrici A e A commutino, altrimenti vale e ta = I + e t A e t A ta + O( t 3 ) Si veda 8.. in Fletcher C.A.J.: Computational Techniques for Fluid Dynamics, vol. I, Second Edition, Springer Verlag, Berlin, 99.

9 5.3. COMPLEMENTI AL CAPITOLO 7 discretizzazione dell operatore (σ(x, y)u y ) y mediante il metodo di integrazione a box dell equazione u t = div(σ u) σ = σ(x, y) > 0, allora i metodi di decomposizione e alle direzioni alternate sono, in generale, 3 di ordine O( t) nel tempo. Infatti poiché vale A = A + A e dunque e ta = e t A e ta e t A + O( t 3 ) e ta = e t A e t A e t A e t A + O( t 3 ) approssimando, ad esempio, il primo ed il terzo fattore con la formula implicita (commettendo un errore (O( t)) ed il secondo e il quarto con la formula esplicita (commettendo un errore (O( t)) si ottiene il metodo ADI (5.6). Si nota che per le equazioni paraboliche in una o più variabili spaziali associate a condizioni al bordo di Dirichlet (o di Neumann omogenee) u t = u u t = div(σ u) (5.0) discretizzate con il metodo delle linee nel sistema (5.3), la matrice A in (5.3) è una matrice simmetrica e definita (semidefinita) negativa. Nel caso in cui nelle equazioni (5.0) sia presente anche la derivata prima, i.e, u t = u + v T u u t = div(σ u) + v T u (5.) allora la matrice A è una matrice la cui parte simmetrica A s = (A + AT ) è simmetrica e definita (semidefinita) negativa. Se in (5.0) o in (5.) è presente un termine γu (γ = γ(x, y) > 0), allora la matrice A è simmetrica e definita negativa (per entrambe le condizioni di Dirichlet o di Neumann omogenee) per l equazione (5.0) ed ha parte simmetrica A s simmetrica e definita negativa (per entrambe le condizioni di Dirichlet o di Neumann omogenee) per l equazione (5.). Si nota che una matrice A la cui parte simmetrica è definita (semidefinita) negativa, ha parte reale degli autovalori negativa (negativa o nulla). Dunque la matrice A proveniente in (5.3) ha parte reale degli autovalori negativa (negativa o nulla), ovvero la soluzione in (5.4) è asintoticamente stabile in accordo con la proprietà della diffusione. 3 Per ottenere ordine due O( t ) si devono eventualmente imporre restrizioni sul passo t; per il calcolo di (I t/a k ), k =,, si fa uso del Lemma di Neumann: Sia B una matrice n n con ρ(b) < allora (I B) esiste e (I B) = I + B + B + B Per una referenza sul Lemma di Neumann, si veda, e.g., p. 6 in Ortega J.M.: Numerical Analysis: A Second Course, Academic Press, New York, 97 (ripubblicato da SIAM, Philadelphia, 990).

10 8CAPITOLO 5. METODI ALLE DIFFERENZE FINITE PER EQUAZIONI PARABOLICHE IN PIÙ VARIABILI SP