In una progressione geometrica : i termini sono tutti o positivi o tutti negativi i termini sono di segno alternato

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1 Progressioni geometriche FORMULARIO Una progressione geometrica è una successione numerica tale che il quoziente tra ogni termine e il suo precedente è costante. Tale rapporto costante è detto ragione, e si indica con q. In una progressione geometrica di ragione q 0, ogni termine è uguale al suo precedente moltiplicato per la ragione. In una progressione geometrica : se > 0 se < 0 Una progressione geometrica di ragione q è : i termini sono tutti o positivi o tutti negativi i termini sono di segno alternato > 0 < < 0 < < > Il termine generale di una progressione geometrica è : con La relazione fra due termini di una progressione geometrica è : Il prodotto dei primi termini della progressione geometrica è : La somma dei primi termini della progressione geometrica di ragione è : Matematica

2 ESERCIZI Esempio Calcola la ragione di una progressione geometrica di 5 termini i cui estremi sono, nell ordine, e 8. ; ; ; ;. Esempio 2 Calcola il numero dei termini di una progressione geometrica di ragione, primo termine termine. ; ; ; ; ed n-esimo 27 3 ; 3 3 ; Esempio 3 Calcola il primo termine di una progressione geometrica di ragione 2 e quarto termine 92. ; ; ;. Esempio 4 Calcola il quinto termine di una progressione geometrica di ragione e primo termine 6. ;. Esempio 5 Calcola il settimo termine di una progressione geometrica di ragione 2 e quarto termine 8 2. ; Esempio 6 Calcola il quarto termine di una progressione geometrica di ragione 3 e settimo termine 39. ; ; ;. Matematica 2

3 Esempio 7 Inserisci fra i termini 2 e 8 2 quattro numeri in modo da formare una progressione geometrica. Determiniamo la ragione: ; ; 8 2 ; 2 ; 4 2 ; 2 5 ; 2. I termini della progressione geometrica sono: 2, 2 2, 4, 4 2, 8, 8 2. Esempio 8 Calcola il prodotto dei primi cinque termini di una progressione geometrica il cui primo termine è quinto è 8. e il ; Esempio 9 Calcola il prodotto dei primi sei termini di una progressione geometrica di ragione 2 e primo termine 2. Calcoliamo il sesto termine: ; ; Esempio 0 Calcola la somma dei primi cinque termini di una progressione geometrica avente ragione 3 e il cui primo termine è. ;. Esempio Calcola la somma delle prime dieci potenze di 2 con esponente diverso da zero. ;. Esempio 2 Determina il numero dei termini di una progressione geometrica avente ragione 2, somma 5 e il cui primo termine è. ; 5 ; ; ; ;. Matematica 3

4 Esempio 3 Determina la somma della seguente progressione geometrica ;. Esempio 4 Determina il numero dei termini di una progressione geometrica avente ragione, secondo termine uguale a 6 ed n-esimo termine uguale a. ; ; 2 2 ; ;. 8 2 ; ; Esempio 5 Il primo termine di una progressione geometrica è 2, il sesto è 0,0625. Quanto vale il quinto termine. Calcoliamo la ragione: ; ; 0,0625 ; Calcoliamo il quinto termine: 6 ; 32 ; 2. 2 ; 0, ; 2 0,0625 0,25. Esempio 6 Le lunghezze degli spigoli di un parallelepipedo rettangolo sono numeri interi e formano una progressione geometrica di ragione 2. Quale delle seguenti misure può rappresentare il volume del solido? nessuna delle precedenti Le misure degli spigoli sono del tipo:,. Il volume del parallelepipedo è quindi: Il volume del solido deve essere rappresentato da un numero dato dal prodotto di 8 con un numero cubo perfetto. Le misure idonee sono: 8 8, , , Pertanto nessuna delle precedenti misure può rappresentare il volume del solido. Matematica 4

5 Esempio 7 La somma fra il primo e il secondo termine di una progressione geometrica è 30, mentre la differenza fra il terzo e il primo è 5. Determina la ragione della progressione. + + ma e Esempio 8 Un quadrilatero convesso ha le misure degli angoli in progressione geometrica e l angolo più piccolo misura 24. Calcola la misura degli altri angoli Ricordando che la somma degli angoli interni di un quadrilatero è 360 si ha: ; ; ; ; ; Pertanto: ±; ±2; ±7; ± Esempio 9 Per quale valore di i tre numeri 3,, + 4 sono in progressione geometrica? Determina il settimo termine di questa progressione. + ; + ; + ;. ; ; Calcoliamo il settimo termine: ; 9 9.

6 Esempio 20 Considera il triangolo equilatero in figura in cui è il punto medio di BC,,,. Dimostra che i lati della poligonale sono in progressione geometrica e calcola la sua lunghezza. In un triangolo equilatero la mediana coincide con la bisettrice e l altezza. Pertanto, nel triangolo equilatero ABC si ha: nel triangolo equilatero si ha: nel triangolo equilatero si ha: AM AB BM M M M M M M I lati della poligonale sono in progressione geometrica di ragione, infatti: M M AM M M M M La lunghezza della poligonale è: ; M M M M

7 Esempio 2 La somma di tre numeri in progressione geometrica crescente è 2. Trova i tre numeri, sapendo che la somma dei loro reciproci è. Poniamo,, si ottiene il seguente sistema , Otteniamo le due terne di soluzioni: , Essendo la progressione geometrica crescente, è accettabile la prima terna, cioè: 3, 6, Poniamo,, si ottiene il seguente sistema x + qx + q x 2 x + qx + q x 7 2 q q q + q x + q + q 2 q + + q x 7 2 q q 7 2 x 2 + q + q 4q q 4 q q 4q q 0 4q q Matematica 7

8 4q q ; ; ; 2 0 ; 2 0 ; ;, ± non accettabili perché entrambe negative Esempio 22 Calcola la somma dei primi sei termini della progressione geometrica 3 5, con. 3 5 Siccome, il valore parte da zero termine 2 termine 3 termine 4 termine 5 termine 6 termine ; ; ; ; 5 ; 5 ; ; Esempio 23 Calcola la somma dei primi sette termini della successione: 3, 2, 48, 92,... Si tratta di una progressione geometrica di ragione: e primo termine 3. Pertanto: ; Matematica 8

9 Esempio 24 Il primo termine e il centesimo termine di una progressione geometrica sono 3 e Quanto vale il prodotto del quarto termine con il novantasettesimo? Il prodotto del quarto termine con il novantasettesimo vale: Esempio 25 Calcola la somma delle prime n potenze di 2 con esponente maggiore di zero. La prima potenza di 2 con esponente maggiore di zero è 2 2. L n-esima potenza di 2 è 2. Applicando la formula della somma dei termini di una progressione geometrica si ottiene: ;. Esempio 26 Calcola la somma delle prime n potenze di La somma è : con esponente maggiore di zero. La prima potenza di con esponente maggiore di zero è. L n-esima potenza di è Applicando la formula della somma dei termini di una progressione geometrica si ottiene: ; Esempio 27 Calcola la seguente somma: Si tratta di una progressione geometrica di ragione 2. I termini di questa somma sono +. Applicando la formula della somma dei termini di una progressione geometrica si ottiene: ; Matematica 9

10 2 È sufficiente aggiungere alla somma delle prime n potenze di nell esempio precedente. con esponente maggiore di zero, calcolata Esempio 28 Calcola la seguente somma: Si tratta di una progressione geometrica di ragione. I termini di questa somma sono +. Applicando la formula della somma dei termini di una progressione geometrica si ottiene: ;. 2 ; Matematica 0