Dato un cono circolare retto di raggio di base r ed altezza h, sia x il raggio di base del cilindro inscritto nel cono;

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1 Quesito 1 Dato un cono circolare retto di raggio di base r ed altezza h, sia x il raggio di base del cilindro inscritto nel cono; per similitudine, si ha che, da cui l altezza del cilindro è h. Si vuole dimostrare che. h h Per trovare il volume massimo del cilindro inscritto nel cono, deriviamo: 2h 3 0. Se si ha il cilindro di volume massimo, pari a h. Poiché, la tesi è dimostrata. Livello di difficoltà Basso Medio Alto No In modo forzato In modo accettabile Sì No Ben Non è esplicitato / Non è Di solito, viene svolto? Sì No Non sempre Mai Non sempre Sempre Formulazione Scorretta Ambigua Poco Corretta Sì Solo parzialmente No Sì No Molto

2 Prova scritta di Matematica 21 giugno 2018 Quesito 2 Soluzione a cura di L. Rossi Indicata con p la probabilità che esca 4, la probabilità che esca 3 è 2p, la probabilità che esca 2 è 4p e la probabilità che esca 1 è 8p. Da =1, segue che =. La probabilità che escano due numeri uguali nel lancio dei due dadi è data dalla somma delle probabilità che escano 1 e 1, 2 e 2, 3 e 3, 4 e 4 trattandosi di eventi incompatibili. Dunque: = = ~38%. Livello di difficoltà Basso Medio Alto No In modo forzato In modo accettabile Sì No Ben Non è esplicitato / Non è Di solito, viene svolto? Sì No Non sempre Mai Non sempre Sempre Formulazione Scorretta Ambigua Poco Corretta Per la risoluzione del problema è utile usare una Sì Solo parzialmente No Sì No Molto

3 Quesito 3 Il coefficiente angolare della retta tangente deve essere uguale al valore assunto dalla derivata prima della funzione nel suo punto di tangenza ; 4 5. Si ha: 3 8. Poniamo pertanto 4 da cui si ricava e quindi le soluzioni:,, 2. Da : si ha che ; da cui, sostituendo le coordinate di T1 nell equazione della retta tangente, si ottiene. Da 2: si ha che 2;3 da cui, sostituendo le coordinate di T2 nell equazione della retta tangente, si ottiene 5. Livello di difficoltà Basso Medio Alto No In modo forzato In modo accettabile Sì No Ben Non è esplicitato / Non è Di solito, viene svolto? Sì No Non sempre Mai Non sempre Sempre Formulazione Scorretta Ambigua Poco Corretta Sì Solo parzialmente No Sì No Molto

4 Quesito 4 Il primo limite è + : lim Giustificazione Essendo 11, si ha che, quindi il numeratore tende a +. Il denominatore, per x + (non è restrittivo supporre x 0 ), è invece limitato. Per x 0 si x ha infatti: 4 < 5 + e cos x < 7 che si ottiene aggiungendo 5 alle seguenti disuguaglianze: x 1 < e cos x < 2 (con x 0 ). Queste ultime disuguaglianze si ottengono osservando che: 0 < e x 1 e 1 cos x 1, e sommandole termine a termine (sempre nell ipotesi che x 0 ). Il secondo limite vale 0: lim 0 Giustificazione. Il limite si presenta nella forma indeterminata. Applicando la regola di De l Hospital per questa forma indeterminata, si arriva a lim, con numeratore limitato per x che tende a, ma denominatore che tende all infinito, da cui il risultato. Livello di difficoltà Basso Medio Alto No In modo forzato In modo accettabile Sì No Ben Non è esplicitato / Non è

5 Di solito, viene svolto? Sì No Non sempre Mai Non sempre Sempre Formulazione Scorretta Ambigua Poco Corretta Sì Solo parzialmente No Sì No Parzialmente Molto

6 Quesito 5 Sia AM = x (raggio della semicirconferenza); l altezza del rettangolo misura con , L area della superficie da massimizzare vale: Si ha: Con le dimensioni assunte dai lati del rettangolo risultano:

7 Livello di difficoltà Basso Medio Alto No In modo forzato In modo accettabile Sì No Ben Non è esplicitato / Non è Di solito, viene svolto? Sì No Non sempre Mai Non sempre Sempre Formulazione Scorretta Ambigua Poco Corretta Sì Solo parzialmente No Sì No Molto

8 Quesito 6 La sfera ha centro generico,,. Il vettore 4; ; 1 deve essere parallelo al vettore 3, 1, 2, che a sua volta è normale al piano π. Quindi si ha:, da cui si ricava t = 1. La superficie sferica, di centro 1, 1, 1 e raggio , ha equazione: , ovvero. Livello di difficoltà Basso Medio Alto No In modo forzato In modo accettabile Sì No Ben Non è esplicitato / Non è Di solito, viene svolto? Sì No Non sempre Mai Non sempre Sempre Formulazione Scorretta Ambigua Poco Corretta Sì Solo parzialmente No Sì No Molto

9 Quesito 7 Si ha: Da si ricava 2 0 e quindi: 2 1. Livello di difficoltà Basso Medio Alto No In modo forzato In modo accettabile Sì No Ben Non è esplicitato / Non è Di solito, viene svolto? Sì No Non sempre Mai Non sempre Sempre Formulazione Scorretta Ambigua Poco Corretta Sì Solo parzialmente No Sì No Molto

10 Quesito 8 Soluzione a cura di L. Rossi e L. Tomasi Indichiamo con A e con B i due giocatori. Il numero minimo di partite da giocare affinché uno dei due giocatori vinca è n=10. Supponiamo che vinca il giocatore A. La probabilità che A vinca su n=10 partite è:. La probabilità che A vinca su n=11 partite è: 10. (non si conta il caso in cui A possa aver vinto le prime 10 partite delle 11 perché già contemplato nel caso precedente). La probabilità che A vinca su n=12 partite è: 55 (non si contano i casi in cui A possa aver vinto 10 delle prime 11 partite perché già contemplate nei casi precedenti). Quindi la probabilità che vinca il giocatore A in un numero di partite minore o uguale a 12 è: La probabilità che vinca uno dei due giocatori è: = = = =0,038574~3,9%. Livello di difficoltà Basso Medio Alto No In modo forzato In modo accettabile Sì No Ben Non è esplicitato / Non è Di solito, viene svolto? Sì No Non sempre Mai Non sempre Sempre Formulazione Scorretta Ambigua Poco Corretta Per la risoluzione del problema è utile usare una Sì Solo parzialmente No SÌ No Molto

11 Quesito 9 Dati 3,1,0, 3, 1,2 e 1,1,2: ABC è triangolo equilatero se AB = BC = AC: , , Quindi ABC è equilatero. ABC è contenuto in α : x + y + z 4 = 0 se A, B, C α A α : = 0 B α : = 0 C α : = 0 ABC è contenuto nel piano α. ABCP è tetraedro regolare se AP = BP = CP = 2 2: , da cui 0. Se 0,,, ; se,,,.

12 Livello di difficoltà Basso Medio Alto No In modo forzato In modo accettabile Sì No Ben Non è esplicitato / Non è Di solito, viene svolto? Sì No Non sempre Mai Non sempre Sempre Formulazione Scorretta Ambigua Poco Corretta Sì Solo parzialmente No Sì No Molto

13 Quesito 10 Da 2 si ricavano le derivate: 2 e 2. Sostituite nell equazione differenziale, si ha Essendo 0, si ottiene 2 460, ossia 230, da cui segue: k = 1 k = 3. Livello di difficoltà Basso Medio Alto No In modo forzato In modo accettabile Sì No Ben Non è esplicitato / Non è Di solito, viene svolto? Sì No Non sempre Mai Non sempre Sempre Formulazione Scorretta Ambigua Poco Corretta Sì Solo parzialmente No Sì No Molto