Quando si vuole aumentare il flusso termico ceduto da una parete ad un fluido, dalla legge di Newton della convezione:

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1 .1.3 Alette di raffreddamento Quando si vuole aumentare il flusso termico ceduto da una parete ad un fluido, dalla legge di Newton della convezione: ha( T p T f ) appare chiaro come si possa o aumentare il coefficiente di scamio convettivo h (per esempio utilizzando ventilconvettori, con convezione forzata, rispetto ai semplici radiatori che funzionano in convezione naturale), o aumentare la differenza di temperatura tra fluido e parete, o infine aumentare la superficie di scamio termico della parte. Tale ultima possiilità consiste nell aggiungere alla superficie in esame delle protueranze, di varia forma e disposizione, che prendono il nome di alette di raffreddamento. Nel seguito esamineremo il caso della forma più semplice di tali dispositivi, quello cioè di una arra a sezione rettangolare (o qualsiasi) costante, di lunghezza L, per cui è possiile una trattazione analitica. Scopo della trattazione è determinare l andamento della temperatura lungo la arra, e da questo il flusso termico scamiato dall aletta. Sarà poi pertanto possiile determinare di quanto viene incrementato il flusso termico scamiato dalla superficie originaria senza alette.. Q x Q. x+ Fig..1.9 Aletta di raffreddamento Trattazione analitica: prolema della arra Si supponga di avere una arra di materiale omogeneo ed isotropo, di sezione costante, con un estremo (a x) a contatto con un corpo a temperatura t costante nel tempo. La arra si trova immersa in un fluido a temperatura t f. Si fanno le seguenti ipotesi: 1 la differenza di temperatura sulla sezione della arra sono trascuraili rispetto alle variazioni sulla sua lunghezza (le sezioni della arra risultano pertanto isoterme); ci si trova in regime stazionario (non si ha dipendenza dal tempo); 3 il coefficiente di scamio convettivo h tra la parete dell aletta e il fluido è costante (il coefficiente dell estremità dell aletta può essere diverso, ma rimane dello stesso ordine di grandezza); 4 la conduttività del materiale è costante (indipendente dalla temperatura e dalla direzione). Indichiamo con : A la sezione della arra; P perimetro della sezione della arra; h coefficiente di scamio convettivo λ conduttività termica del materiale di cui è costituita la arra; t(x) la temperatura lungo l asse della arra; L la lunghezza complessiva della arra. 58

2 Consideriamo un elemento della arra compreso tra due sezioni alle distanze x e x+ dalla ase. La differenza tra il flusso termico che entra in tale elemento e quello che esce è il flusso convettivo ceduto al fluido. dt Il flusso che entra nell elemento alla distanza x è : x λa ; d dt Il flusso che entra nella sezione alla distanza x+ è: x + λa T + hp T Il flusso scamiato per convezione dalla superficie dell elemento è ( ) Il ilancio si scrive: Cioè λ A d Q!! dt d x Qx+ conv hp T ( ) ( ) T f conv T f T λ A hp T T f hp Indicando con ϑ ( T ( x) T f ) e con m si ottiene: λa d ϑ ϑ m Questa è una equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine, la cui soluzione generale è: mx ϑ Me + Ne Le costanti M e N si determinano mediante le condizioni al contorno (due, trattandosi di una equazione del secondo ordine). Una delle condizioni al contorno (quella per x) è sempre la stessa, cioè la temperatura è uguale a quella della ase, T(x)T. La seconda condizione (temperatura all estremità della arra) dipende dalle ipotesi che si fanno. Si possono assumere tre ipotesi differenti, cioè arra infinitamente lunga, arra di lunghezza finita con convezione all estremità, arra di lunghezza finita isolata all estremità. + mx.1.3. Ipotesi 1 Barra infinitamente lunga Per x, T ( x) Tf, a una distanza sufficientemente lontana dalla ase la temperatura della arra diventa uguale a quella del fluido. Le condizioni al contorno in ϑ risultano: a): ϑ T ϑ per x T f ): ϑ Tf T per x f Dalla ) si ottiene immediatamente N e dalla a) ϑ ϑ e mx Il flusso termico scamiato dalla arra è quello scamiato per conduzione alla ase (in condizioni stazionarie i due flussi coincidono), per cui: dt mx hp λ A λaϑ e ( m) λaϑm λaϑ hpλaϑ x x λa Senza aletta il flusso scamiato saree stato Q! sa haϑ per cui il rapporto mtra il flusso con l aletta e quello senza risulta: 59

3 hpλ A sa ha maggiore di ha. Pλ che è minore, uguale o maggiore di 1 secondo che sia Pλ minore, uguale o ha Ipotesi: soluzione completa Le condizioni al contorno diventano: a) per x ϑ T T f ϑ dϑ ) per xl λa Aϑ dove h L è il coefficiente di scamio convettivo all estremità (potree non essere uguale ad h). Dalla a) si ha ϑ M + N Dalla ), essendo dϑ mme mx + mne mx si ottiene ( + mme mne ) λa h A( Me Ne ) dϑ λ A Aϑ L + cioè Ricordando le definizioni dei seni e coseni iperolici: e cosh( x) x + e x e sinh( x) x e x la condizione precedente si può scrivere: [ Me ( ϑ M ) e ] h Me + ( ϑ M ) L[ e ] [ M cosh ϑ e ] h [ M sinh ϑ e ] + L e 1 + ϑ M cosh + sinh ml + e e ϑ N ϑ M h ( ) + L ( e e ) e cosh + sinh h + L 1 6

4 ϑ e + e + e e e cosh + sinh e ϑ e 1 cosh + sinh Pertanto la soluzione diventa: ϑ ϑ 1/ e m( L x) m( L x) m( L x) + e + e e cosh + sinh e la temperatura all estremità della arra risulta: m( L x) cosh m( L x) + sinh m( L x) cosh + sinh ϑl ϑ 1 cosh + sinh Il flusso termico disperso dall aletta si calcola con il solito metodo, cioè valutando quello disperso per conduzione alla ase dell aletta: dt λa x sinh cosh Aϑ cosh + sinh + tanh Aϑ 1+ tanh Le formule sopra riportate trovano applicazione in numerosi prolemi termici, ad esempio nel calcolo della distriuzione di temperatura di un filo esposto ad un flusso di aria caldo, o di una sonda cilindrica immersa in un fluido Prolema della arra (o convenienza delle alette) Non sempre aggiungere un alettatura ad una superficie comporta un aumento dello scamio termico, ma in certi casi può risultare addirittura controproducente. Per valutare se l aumento di superficie di scamio costituto dalla presenza dell aletta aumenta effettivamente lo scamio termico, occorre valutare la cosiddetta convenienza dell aletta, cioè il rapporto tra il flusso termico effettivamente scamiato dall aletta, e quello che verree scamiato dalla superficie senza alettatura. Tale confronto isogna farlo utilizzando la soluzione completa, perché il flusso scamiato senza aletta, se questa fosse isolata all estremità (ipotesi 3), saree nullo. Occorre cioè esaminare se Q! è >, o < di Q! sa Aϑ. La convenienza risulta: + tanh + tanh Aϑ C A h sa ϑ L 1+ tanh + tanh 61

5 a + L espressione sopra scritta è del tipo,dove tutti i termini (a,,k) sono positivi. Risulta a + k chiaro che se k h, cioè L, è maggiore di uno, la convenienza è minore di uno, cioè non c è convenienza a mettere un aletta su una superficie per aumentarle lo scamio termico con un fluido. h Viceversa se L <1, allora l alettatura è conveniente. Se si suppone che il coefficiente di scamio convettivo sia lo stesso lungo l aletta e all estremità (cioè h L h), anche se tale fatto è verificato solo il prima approssimazione (il fluido con cui si scamia calore è lo stesso, ma l orientazione è differente), si ottiene: h h λa ha λm λ hp λp A/P rappresenta una lunghezza caratteristica. Se l aletta è lunga e stretta, come succede per lo più, di spessore δ (cfr. fig..1.1) δ L Z si ha : ha hδz hδ A δz ; P 4δ + Z Z ; Bi, numero di Biot con λp λz λ lunghezza caratteristica metà dello spessore dell aletta. In definitiva se Bi<1 l aletta aumenta il flusso termico scamiato. Questo succede quando il materiale è uon conduttore (λ elevato), o l aletta è sottile, oppure ancora se il coefficiente di scamio convettivo è piccolo. Ma se Bi >1, la presenza dell aletta può non essere conveniente, o addirittura dannosa, come succede nel caso di convezione forzata a forte velocità, o nel caso dei liquidi. Infatti non vengono mai alettati internamente tui che portano acqua Ipotesi 3: aletta isolata all estremità E il caso un po semplificato rispetto a quello precedente, ma comunemente utilizzato perché il flusso scamiato dall estremità dell aletta è notevolmente inferiore a quello scamiato dalla superficie laterale, e può essere in prima approssimazione trascurato, cioè l aletta può senza grosso errore nella maggior parte dei casi essere considerata isolata all estremità. Le condizioni al contorno risultano ora: a) per x ϑ T T f ϑ ) per xl dϑ mx + mx dalla ϑ Me + Ne si ottiene ϑ M N e mme + mne Me + ϑ ( M ) e + ϑe M e + e 6 e N ϑ e + e

6 Per cui in definitiva: m( L x) m( L x ϑ e + e ) cosh m( L x) ϑ e + e cosh L eccesso di temperatura all estremità dell aletta risulta: ϑ ϑ ( x L) cosh E il flusso termico disperso dalla ase: dt λa λahpϑ tanh x [ m( L x) ] msinh λaϑ cosh x Aϑ tanh / / λ A hp ϑ tanh / λa/ Efficienza delle alette Si definisce efficienza d aletta il rapporto tra il flusso termico effettivamente ceduto dall aletta al fluido e quello che verree scamiato se tutta la superficie dell aletta si trovasse alla temperatura della ase. Dalla stessa definizione si ricava l espressione: reale λamϑ tanh mtanh tanh Ω ideale PLhϑ m L L andamento è riportato in fig Ω Fig..1.11: Andamento dell efficienza d aletta per le alette piane Si vede come l efficienza d aletta è tanto maggiore quanto l aletta è meno sporgente (minore L), quanto più grande è il suo spessore δ, e quanto maggiore è la conduttività termica λ, e quanto è più h piccolo h., essendo L λδ Il flusso totale ceduto dall aletta si può scrivere: Q! reale Ω ideale Ωϑ Aa h dove A a è la superficie totale esterna dell aletta. Le alette a sezione costante non sono quelle di caratteristiche migliori. Quelle a sezione variaile, ad esempio paraolica (cfr. fig..1.1), a parità di lunghezza risultano più efficienti. 63

7 Fig..1.1: Aletta a sezione paraolica Quando le alette vengono usate su tui, spesso sono circolari (cfr. fig..1.13). In tal caso l efficienza d aletta diminuisce più rapidamente all aumentare della quantità rispetto a quelle di forma rettangolare (cfr. fig..1.14, notare che l aletta su superficie piana corrisponde a r /r i 1). Nel caso di atterie di alette, si definisce l efficienza dell intera atteria di scamio A, composta dalla superficie del tuo A, più quella dell aletta A a, come: * flussotermico reale ( ΩAa + At ) hϑ Aa Ω 1 ( 1 Ω) flusso termico ideale Ahϑ A Si noti che anche per i più asi impieghi di A a /A (circa,85) e di Ω (circa,75), la differenza tra Ω e Ω * non supera il 5%. Fig..1.13: Alette su tui, longitudinali e radiali. 64

8 Fig..1.14: Efficienza delle alette radiali. 65