PARTE A: Elementi di Meccanica dei Corpi Continui

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1 Corso d Larea n Ingegnera Cvle per l Ambente ed l errtoro Appnt del corso d Scenza delle Costrzon I - A. A. 4/5 Prof. Fernando Fraternal PAR A: lement d Meccanca de Corp Contn INDIC A: Anals della deformazone d n corpo contno A.. Deformazone globale e locale... A.. Deformazone fnta e deformazone nfntesma d n ntorno d matera... 6 A.. Msre geometrche della deformazone... 8 A.4. Deformazon prncpal e drezon prncpal d deformazone... 4 A.5. Spostament rgd nfntesm... 5 A.6. Stato d deformazone, deformazon omogenee... 8 A.7. serczo proposto... 7 A : Anals della tensone A.. Moto ed eqlbro de corp, forze d massa e d sperfce, legg d lero A.. Vettore tensone s n elemento orentato d sperfce.... A.. Il teorema del tetraedro d Cachy... 6 A.4. Le eqazon ndefnte d eqlbro... 8 A.5. enson prncpal e drezon prncpal d tensone... 4 A.6. Il cercho d Mohr per gl stat pan d tensone A.7. Arbelo d Mohr A.8. Confgrazone attale e confgrazone d rfermento A.9. serczo proposto... 5 A : Il legame elastco lneare A.. Introdzone Il tensore d elastctà... 5 A.. Il legame elastco-lneare sotropo A.. Sgnfcato fsco de coeffcent elastc d n materale sotropo A.4 I legam ortotropo e trasversalmente sotropo A4 : qlbro de corp elastc A4.. Il problema elastco d n corpo contno A4.. Il prncpo de lavor vrtal per corp deformabl A4.. nerga d deformazone elastca A4.4. I teorem fondamental dell elastctà lneare... 76

2 Parte A: Anals della deformazone d n corpo contno Corso d Larea n Ingegnera Cvle per l Ambente ed l errtoro Appnt del corso d Scenza delle Costrzon I - A. A. 4/5 Fernando Fraternal Parte A : Anals della deformazone d n corpo contno INDIC A.. Deformazone globale e locale... A.. Deformazone fnta e deformazone nfntesma d n ntorno d matera... 6 A.. Msre geometrche della deformazone... 8 A.4. Deformazon prncpal e drezon prncpal d deformazone... 4 A.5. Spostament rgd nfntesm... 5 A.6. Stato d deformazone, deformazon omogenee... 8 A.7. serczo proposto... 7

3 Parte A: Anals della deformazone d n corpo contno A.. Deformazone globale e locale. (torna all ndce) Corpo contno Inseme d nfnte partcelle (o pnt materal) che possono essere messe n corrspondenza con na regone regolare dello spazo D (nseme aperto connesso la c frontera è formata dall none d n nmero fnto d sperfc regolar). S consder n moto (ovvero na trasformazone qas-statca) d n dato corpo contno sotto l azone d assegnate forze esterne. La regone regolare dello spazo che rappresenta la poszone del corpo ad n certo stante s dce confgrazone del corpo n corrspondenza d qell stante. Il passaggo da na confgrazone all altra s dce nvece deformazone (o trasformazone) del corpo. S sottolnea che con l termne deformazone non s ntende necessaramente na trasformazone che comport na varazone d forma. Qest ltma sarà detta nel segto deformazone pra o deformazone n senso stretto. Le de confgrazon n fgra sono de confgrazon generche che l corpo pò occpare drante l processo deformatvo (dnamco o qas-statco) n esame. S ntrodca n sstema d rfermento cartesano {, e, e e } O., S convene d denotare con X vettor poszone delle partcelle della confgrazone ndeformata (I) e con vettor poszone nella confgrazone deformata (II). S convene noltre d denotare con X, X, X e con,, rspettvamente le component d X e le component d rspetto al sstema d rfermento prescelto (coordnate cartesane ndeformate e deformate).

4 Parte A: Anals della deformazone d n corpo contno La fnzone ( X ) χ, che descrve la deformazone da I a II (detta anche campo della deformazone), deve osservare le segent propretà: a) deve essere nvertble, per escldere compenetrazon d matera (non pò accadere che de partcelle dstnte n I possano concdere nella confgrazone deformata II, ossa ad ogn X deve corrspondere na ed na sola ); b) deve essere contna con la sa nversa, per escldere dstacch e/o frattre all nterno del corpo (a partcelle nfntamente vcne nella confgrazone I devono corrspondere partcelle nfntamente vcne nella confgrazone II e vceversa). La deformazone pò anche essere decrtta attraverso la fnzone spostamento del corpo (o campo dello spostamento o anche campo d spostament): ( ) Χ Per le potes a) e b), la fnzone deve essere contna, anche se non necessaramente nvertble (a pnt dstnt n I debbono sì corrspondere pnt dstnt n II, ma cò non mplca che pnt dvers debbano presentare necessaramente spostament dvers: ad esempo, na traslazone è na deformazone che soddsfa le propretà a) e b), pr comportando spostament gal da pnto a pnto). Pù che la deformazone del corpo nel so nseme (deformazone globale) nteressa, salmente, la deformazone locale, ovvero la trasformazone degl ntorn d matera. Infatt, n campo tecnco, è d fondamentale mportanza la conoscenza dello stato d tensone del corpo, l qale, come s vedrà pù avant, dpende essenzalmente dal modo n c camba la poszone relatva delle partcelle (trasformazone degl ntorn), pttosto che dalla deformazone globale. Allo scopo d ntrodrre la nozone d deformazone locale, s spponga che le component della fnzone sano dervabl rspetto alle varabl X k e che tal dervate sano contne, ovvero che 4

5 Parte A: Anals della deformazone d n corpo contno C slla confgrazone ndeformata (le component d spostamento la fnzone sa d classe sano coè dervabl parzalmente con contntà rspetto alle varabl Se qesta potes è soddsfatta, esstono dfferenzal d spostamento: d d d dx dx dx dx dx dx dx dx dx dx dx dx X k ). In partcolare, le qanttà (dervate parzal delle component d spostamento) rappresentano le j component d n tensore del ordne, che d dce gradente d spostamento e s ndca con l smbolo (o grad ). In termn d tale tensore s pò scrvere: d ( ) dχ j n forma ndcale, ovvero j d d Χ n forma assolta o tensorale Il tensore assoca al dfferenzale d poszone d X l dfferenzale d spostamento d. S vedrà d q a poco che esso caratterzza la deformazone locale, nello stesso modo n c la fnzone spostamento caratterzza la deformazone globale. S rcav nfatt d n fnzone d d X, ottenendo: Χ d d X d d X d X I d (.) ( ) X essendo I l tensore dentco ( I v v, per ogn vettore v ). La (.) descrve le deformazon degl ntorn nfntesm d matera ed è na legge locale che pò varare da pnto a pnto. È n partcolare na legge lneare, che fa corrspondere segment nfntesm rettlne a segment rettlne, element pan nfntesm a pan, element d volme nfntesm a forma d paralleleppedo a parallelepped, ecc. ssa mette n evdenza che la deformazone degl ntorn nfntesm d matera è caratterzzata dal tensore F I, ovvero eqvalentemente, a meno d na traslazone ( cost ), dal tensore. Passando alle dfferenze fnte d poszone, s pò generalzzare la (.) scrvendo: ( I ) X O( X ), (.) dove l secondo termne a secondo membro è na fnzone vettorale che tende a zero pù O( X ) rapdamente del modlo d X ( ) lm. Χ X La (.) descrve la varazone della poszone relatva d partcelle arbtrare del corpo (partcelle con dstanza relatva non necessaramente nfntesma). 5

6 Parte A: Anals della deformazone d n corpo contno Rassmendo: deformazone globale: χ( X ), oppre X ( X ) ; deformazone locale: d d X d X ( I ) d X. A.. Deformazone fnta e deformazone nfntesma d n ntorno d matera. (torna all ndce) La deformazone pra (o varazone d forma) d n ntorno ( P) I d n generco pnto P consste n na varazone della poszone relatva delle partcelle appartenent all ntorno stesso. Per analzzare n dettaglo qesto concetto, s prenda n esame n segmento nfntesmo d matera nella confgrazone ndeformata e se ne std la trasformazone. Il segmento abba nzalmente lnghezza ds e sa dsposto lngo na drezone arbtrara d versore N. A deformazone avventa esso avrà n generale na dfferente lnghezza ds e sarà dsposto n na drezone d versore n, non necessaramente concdente con N. d ds n d Χ ds N S pò caratterzzare la deformazone pra dell ntorno ntrodcendo la qanttà admensonale ds ds. Infatt, se per almeno na scelta del versore N tale qanttà rslterà dversa da zero, ds l ntorno avrà sbto na deformazone n senso stretto. Svlppando calcol, s ottene: 6

7 Parte A: Anals della deformazone d n corpo contno 7 ( ) ( ) ( ) ( ) N N ds ds d X d X d X d X d X d X ds d X d X d X d X d X d X ds d X d X d X d X d d ds d X d X ds In defntva rslta qnd: ( ) N N ds ds ds. Se ne dedce che la deformazone pra dell ntorno s pò caratterzzare attraverso l tensore: ( ) detto salmente tensore della deformazone fnta o tensore d Green Sant Venant. Il tensore è smmetrco. Infatt rslta: ( ) ( ), avendo tento presente che ( ) A B B A, per ogn coppa d tensor A e B. Le se component ndpendent d sono dette component della deformazone. Svolgendo calcol s trovano ad esempo, per ed, le segent espresson: ( ) ; X X X X X X X X k k k k ( ). X X X X X X X X X X X X k k k k Se almeno na delle se component ndpendent d non è nlla, essterà qalche versore N per l qale la qanttà ds ds ds è dversa da zero. Una semplfcazone notevole nello stdo della trasformazone degl ntorn d matera s ottene passando alla cosddetta teora lneare o nfntesma della deformazone.

8 Parte A: Anals della deformazone d n corpo contno ssa s fonda sll potes che le qanttà admensonal dell ntà: j sano n valore assolto molto mnor j << (dell ordne d - -5 ) ovvero che le varazon d spostamento tra le vare partcelle del corpo sano n modlo molto mnor delle dstanze tra le partcelle stesse. k k In qesta potes, termn del tpo, che compaono nelle espresson delle component j d, sono trascrabl (n qanto nfntesm d ordne sperore) rspetto a termn. j Qest ltm, pr essendo per potes pccol rspetto all ntà, non possono essere trascrat a loro volta, per non cadere nel caso banale., In defntva, nella teora nfntesma, l tensore s pò rdrre al tensore ( ) ovvero alla parte smmetrca del gradente d spostamento. Per qesta ragone, qest ltmo tensore s dce salmente tensore della deformazone nfntesma. Se rappresenta la deformazone pra d n ntorno d matera, nell ambto della teora nfntesma, è logco aspettars che la parte complementare d ω ( ) : rappresent nvece, nell ambto della stessa teora, na rotazone pra dell ntorno. Al tensore ω s dà nfatt l nome d tensore della rotazone nfntesma. Rassmendo: deformazone fnta: ( ) deformazone nfntesma: ( ). rotazone nfntesma: ω ( ). ; A.. Msre geometrche della deformazone. (torna all ndce) Qesto paragrafo esplora l sgnfcato geometrco delle component della deformazone nell ambto della teora nfntesma. S vedrà che le component d par ndc del tensore (,, ) esprmono dlatazon lnear (o allngament percental) e che qelle d ndc mst (,, ) esprmono nvece scorrment 8

9 Parte A: Anals della deformazone d n corpo contno angolar (o varazon d angolo). S vedrà noltre che la tracca d ( tr ( ) ) esprme la dlatazone volmetrca (o varazone percentale d volme) del generco ntorno d matera. a) Dlatazon lnear. Per comncare la dscssone, s prenda n esame n segmento nfntesmo nell ntorno ndeformato, lngo la drezone dell asse Χ. Sa ds dx la lnghezza nzale del segmento e ds la sa lnghezza fnale (a deformazone avventa). Nello sprto della teora nfntesma, trascrando termn del tpo ordne) rspetto a qell del tpo k k (termn del prmo ordne), s pò scrvere: k j (termn del secondo ds dx dx dx dx dx, e anche: ds. dχ dx 9

10 Parte A: Anals della deformazone d n corpo contno Rslta qnd: ds ds ds Qest ltmo rsltato mette n evdenza che la componente del tensore esprme l rapporto tra la varazone d lnghezza d n segmento nfntesmo nzalmente dsposto lngo l asse X e la lnghezza nzale del segmento stesso. S tratta, evdentemente, d na qanttà admensonale, che s dce salmente dlatazone lneare nella drezone X. Sgnfcato del ttto analogo hanno le component e (dlatazon lnear nelle drezon X e X, rspettvamente). È tle osservare che la dlatazone è fnzone solo della varazone della componente d spostamento nella drezone dell asse X. Pertanto, nell ambto della teora nfntesma, n segmento che conserv nella deformazone la sa proezone lngo l asse X, non sbsce dlatazone lngo tale drezone. a) Dlatazone lneare lngo na drezone N arbtrara. Bsogna tener presente, tttava, che qesta consegenza della teora nfntesma è accettable solo qando dfferenzal d spostamento sono effettvamente molto pccol rspetto a dfferenzal d poszone. Ad esempo, nel caso della fgra a lato, qalora l dfferenzale d spostamento d sa reale e non semplcemente amplfcato per ragon d rappresentazone grafca, pr rsltando d e qnd, non s pò evdentemente confondere ds con ds. S consder n segmento nfntesmo nell ntorno ndeformato, qesta volta lngo na drezone arbtrara d versore N. Denotando con ds la lnghezza nzale del segmento e con ds la sa lnghezza fnale, alla qanttà: N ds ds ds s dà l nome d dlatazone lneare nella drezone N. Non è dffcle verfcare che rslta: N N N

11 Parte A: Anals della deformazone d n corpo contno b) Scorrment angolar S std ora la qanttà: Χ Χ e s ponga γ. Χ Χ Per attrbre n sgnfcato geometrco alla qanttà γ, s prenda n esame, nell ntorno ndeformato, na coppa d segment nfntesm avent l orgne n no stesso pnto P: no lngo la drezone X e l altro lngo la drezone X. vdentemente, l angolo nzale tra qest segment ( θ n ) è par a π. Sa θ fn l angolo che formano trasformat de sddett segment nell ntorno deformato (angolo a deformazone avventa). θ ds ds ( ) dx ( ) dx θ Nello sprto della teora nfntesma, con smbol della fgra precedente, s pò scrvere: dx γ tg γ ; ( ) dx dx γ tg γ. Rslta qnd: ( ) dx θ n θ fn γ γ γ,

12 Parte A: Anals della deformazone d n corpo contno l che mette n evdenza che l doppo della componente d rappresenta la varazone d angolo (angolo nzale meno angolo fnale) tra segment nfntesm dspost nzalmente lngo le drezon X e X. Per qesta ragone, alla qanttà γ s attrbsce comnemente l nome d scorrmento angolare tra le drezon X e X. Analogo sgnfcato hanno le qanttà γ e γ (scorrment angolar tra le drezon X X e X X, rspettvamente). Al par delle dlatazon lnear, anche gl scorrment angolar sono qanttà admensonal. b) Scorrmento angolare tra de drezon N e M arbtrare. S prendano ora, nell ntorno ndeformato, de segment nfntesm dspost lngo de drezon arbtrare d versor N e M, non necessaramente ortogonal. S denot con θ n l angolo nzale formato da N e M e con θ fn l angolo formato da trasformat d N e M (vettor n e m ). Alla qanttà: γ NM θ θ N M n m n fn s attrbsce l nome d scorrmento angolare tra le drezon N e M. È possble verfcare che rslta: γ N M M N γ NM MN θ θ c) Dlatazone volmetrca S esamn n conclsone n ntorno della confgrazone ndeformata a forma d paralleleppedo retto, con lat parallel agl ass del rfermento cartesano prescelto. Sano dx, dx e dx le msre de lat d tale paralleleppedo, che a deformazone avventa s trasformerà, n generale, n n paralleleppedo non retto d lat d, d e d, per effetto degl scorrment angolar ntercors tra le drezon X e X e X.

13 Parte A: Anals della deformazone d n corpo contno Dett dv e dv rspettvamente l volme del paralleleppedo ndeformato ( dv dχ dχ dχ ) ed l volme del paralleleppedo deformato, osservando che lo Jacobano del cambamento d varabl, X X, è l determnante della matrce I (ved la.) e operando da { X } a { },, nello sprto della teora nfntesma m h n k << j s pò scrvere: dv det ( I ) dx dx dx det dv ( )dv dx dx dx Pertanto, alla tracca del tensore s pò attrbre l sgnfcato geometrco d dlatazone volmetrca, ossa l sgnfcato d varazone percentale d volme dell ntorno: ( ) e tr dv dv dv Il rsltato precedente mette n evdenza che la qanttà e è del ttto ndpendente dalla scelta del rfermento d partenza. Infatt, è noto dall Algebra che la tracca d n tensore è na qanttà nvarante rspetto a cambament d rfermento (al varare del rfermento cartesano, cambano sngolarmente le qanttà, e, ma la loro somma rmane nvarata). S pò anche verfcare agevolmente che s gnge alla stessa espressone d e anche partendo da n ntorno ndeformato d forma qalsas (ntorno sferco, clndrco, ecc.).

14 Parte A: Anals della deformazone d n corpo contno A.4. Deformazon prncpal e drezon prncpal d deformazone. (torna all ndce) Nell ambto della teora nfntesma della deformazone, s dcono dlatazon prncpal e drezon prncpal d deformazone rspettvamente gl atovalor λ e gl atovettor N del tensore della deformazone nfntesma, ossa vettor N non nll e gl scalar λ che soddsfano l eqazone vettorale: N λ N In vrtù della smmetra d, come è noto dall Algebra, sssstono segent notevol rsltat: a) ammette atovalor real λ, λ, λ (non necessaramente dstnt tra loro); b) gl atovettor N e N j corrspondent a de atovalor dstnt λ e λ j sono tra loro ortogonal, ossa s ha N N j se λ λ j ; N, N N. c) con gl atovettor d s pò costrre na base ortonormale { }, Dal pnto d vsta geometrco, la base delle drezon prncpal d deformazone (base prncpale d ) ndvda na terna d drezon ortogonal che restano ortogonal a deformazone avventa, ossa na terna d drezon tra le qal non s verfcano scorrment. Le dlatazon prncpal rappresentano le dlatazon lnear che nvece possono svlppars lngo le drezon prncpal d deformazone: N N λ N N λ ( non sommato) N La fgra che sege mostra la deformazone d n ntorno a forma d paralleleppedo con gl spgol parallel a versor della base delle drezon prncpal d deformazone. Il paralleleppedo s mantene retto a deformazone avventa, anche se so lat s dlatano rspettvamente d λ, λ eλ. Pr restando ortogonal, è charo che le drezon N, N e N possono rotare soldarmente drante la trasformazone dell ntorno, trasformandos n drezon dverse n, n e n. 4

15 Parte A: Anals della deformazone d n corpo contno ds ds ds ( λ ) ds ( λ ) ds ( λ ) ds La matrce assocata a rspetto alla base prncpale è la segente matrce dagonale: * λ λ λ A.5. Spostament rgd nfntesm. (torna all ndce) Pò accadere che n dato campo d spostament abba n ogn pnto, solo la parte antsmmetrca del gradente ( ( X ), X ). Un campo d spostament d qesto tpo s dce campo d spostament rgd nfntesm e s pò dmostrare agevolmente che la parte antsmmetrca del so gradente è gale da pnto a pnto ( ω cost ). 5

16 Parte A: Anals della deformazone d n corpo contno Infatt non è dffcle renders conto del fatto che n eventale varazone d ω ndrrebbe necessaramente la presenza d n campo d tensor non dentcamente nllo, contraramente all potes fatta (essendo ω e de part complementar dello stesso tensore, na varazone d ω s tradce n na varazone d e vceversa). Un campo d spostament rgd nfntesm s rappresenta nella forma: ( X ) ( X ) ω ( X X ) ( X ) ϕ ( X ) X dove ϕ è l vettore assale del tensore antsmmetrco ω, ed l termne ( X ) caratterzza na traslazone del corpo. Nella relazone precedente, l pnto P d poszone X s dce polo del campo d spostament rgd nfntesm, mentre ϕ s dce vettore della rotazone del corpo ntorno a P. In defntva, l campo d spostament sddetto è d tpo roto traslatoro. Cambando l polo da X a X, camba l vettore traslazone, mentre l vettore rotazone ϕ rmane nvarato. S pò scrvere nfatt: ( X ) ( X ) ϕ ( X ) dove: X ( X ) ( X ) ϕ ( X ) X In vrtù delle propretà del prodotto vettorale, non è dffcle renders conto del fatto che la parte rotatora d n campo d spostament rgd nfntesm comporta spostament ortogonal sa alla drezone del vettore rotazone che alla drezone della congngente l generco pnto Q del corpo con l polo P (ved fgra che sege). 6

17 Parte A: Anals della deformazone d n corpo contno Il vettore applcato ( P,ϕ ) ndvda n asse che contene pnt del corpo che non sbscono ) solo spostament da traslazone. Per qesta ragone, alla drezone d ϕ s attrbsce salmente l nome d asse del campo d spostament da rotazone, ma bensì (se ( X ) spostament rgd nfntesm (s not l analoga con l concetto d asse d n atto d moto rgdo, o asse d Mozz, ben noto dalla Meccanca Razonale). 7

18 Parte A: Anals della deformazone d n corpo contno A.6. Stato d deformazone, deformazon omogenee. (torna all ndce) S dce stato d deformazone d n corpo contno la specfcazone pnto per pnto del tensore della deformazone nfntesma (teora nfntesma) ovvero del tensore della deformazone fnta (teora fnta). Restando nell ambto della teora nfntesma, na prma classfcazone degl stat d deformazone s effetta slla base del nmero d atovalor d (dlatazon prncpal) dvers da zero. S possono dstngere segent cas: c) stato d deformazone trassale: le dlatazon prncpal sono ttte dverse da zero; d) stato d deformazone bassale: na dlatazone prncpale è nlla (ad esempo λ ) e le altre de sono dverse da zero ( λ e λ ); e) stato d deformazone nassale: de dlatazon prncpal sono nlle (ad esempo λ λ ) e la terza è dversa da zero ( λ ). In partcolare, nel secondo caso, l pano ndvdato dalle de drezon prncpal assocate alle dlatazon prncpal non nlle (sano esse da esempo N e N ) s dce pano della deformazone e lo stato d deformazone s dce anche pano. Rspetto ad na qalsas base ortogonale { e, e, e N } ( e, e content nel pano della deformazone ma non necessaramente concdent con N, N ), la matrce assocata al tensore è del tpo segente: γ γ Stat d deformazon pan s ncontrano n molt problem d nteresse tecnco, che convolgono tpcamente cosddett sold rpettv. S dcono tal sold clndrc che abbano no svlppo longtdnale molto maggore della maggore dmensone della sezone retta e che sano carcat da forze contente nel pano della sezone retta e costant lngo l asse (mr d sostegno, rvestment de tnnel, tbazon n pressone, ecc.). 8

19 Parte A: Anals della deformazone d n corpo contno Sezone corrente d n mro d sostegno. Sezone corrente del rvestmento d n tnnel. In qesto caso, l campo d spostament esbto dal soldo è contento nel pano { e,e }, e rslta ovnqe. Va tttava precsato che cò è vero a rgore se e solo se l soldo è ndefntamente lngo. Nel caso pù realstco d n soldo rpettvo d lnghezza fnta, la condzone è soddsfatta con bona approssmazone solo nella sa porzone centrale (stato d deformazone pano), mentre spostament longtdnal non nll possono verfcars n prossmtà delle zone termnal (stato d deformazone trassale). Un secondo tpo d classfcazone degl stat d deformazone s effetta slla base del nmero d dlatazon prncpal gal tra loro (radc mltple dell eqazone agl atovalor d ). S dce, n partcolare, clndrco no stato d deformazone che abba de dlatazon prncpal gal tra loro (assm, ad esempo, λ λ λ ). S dce nvece sferco no stato d deformazone che abba ttte e tre le dlatazon prncpal gal tra loro ( λ λ λ λ ). In qest ltmo caso, qalsas drezone dello spazo è na drezone prncpale d deformazone e la dlatazone lneare è costante e vale λ. Inoltre, sempre nel caso sferco, la matrce assocata a rspetto a qalsas base ortogonale è la segente matrce dagonale: 9

20 Parte A: Anals della deformazone d n corpo contno λ λ λ Qando l campo de tensor è costante da pnto a pnto d n corpo contno ( cost ), la deformazone che esso esbsce è partcolarmente semplce e s dce omogenea. Un esempo d deformazone omogenea s ha evdentemente nel caso d n campo d spostament rgd nfntesm ( ovnqe). Pù n generale, assmendo cost e ω cost (se è costante, anche ω deve essere necessaramente costante, ved le consderazon svolte nel paragrafo precedente), l campo d spostament assocato ad na deformazone omogenea è del tpo segente: ( X ) ( X ) ( X X ) ϕ ( X ) (6.) X essendo X l vettore poszone d n pnto arbtraro della confgrazone ndeformata (polo del campo d spostament), ( X ) lo spostamento d tale pnto e ϕ l vettore assale d ω. ndvda na traslazone del corpo, mentre l termne ϕ ( X X ) ω( X ) Il termne ( ) X ndvda na rotazone nfntesma ntorno a deformazone pra nfntesma del corpo. X ed l termne ( X ) Volendo separare qest tre termn, s pò rscrvere la (6.) nella forma segente: ( X ) ( X ) ( X ) ( X ) X X ndvda na (6.) dove ( X ) denota la parte del campo d spostament da deformazone pra: ( ) ( ) ( X X ) X X ( ) ( ) ( ) ( X X ) ( ) ( ) ( X X ) ( X X ) ( X X ) ( ) ( ) ( ) ( X X ) ( X X ) ( X X ) ( X ) ( X X ) (6.) mentre ( X ) denota la parte da rotazone pra: ( ) ( ) ( X X ) ϕ ( X X ) ( ) ( ) ( X X ) ϕ ( X X ) ( ) ( ) ( X X ) ϕ ( X X ) ϕ ( X ) ω( X X ) ϕ ( X X ) ϕ (6.4) ϕ

21 Parte A: Anals della deformazone d n corpo contno Cas notevol d deformazon omogenee sono segent: - dlatazone semplce lngo la drezone X : cost (6.5) - scorrmento semplce tra X e X : cost (6.6) In manera del ttto analoga s defnscono dlatazon semplc lngo X e lngo X e scorrment semplc tra X e X e tra X e X. Volendo rappresentare grafcamente le deformazon omogenee descrtte dalle (6.5) (6.6), s facca rfermento ad n corpo a forma d paralleleppedo, s dentfch X con l barcentro del corpo, s ponga n tal pnto l orgne del sstema cartesano d rfermento e s spponga, per semplctà, ( X ) e ϕ. Gl spostament de vertc del paralleleppedo s ottengono sosttendo rspettvamente la (6.5) e la (6.6) nella (6.). S lasca al lettore la cra d verfcare che le drezon prncpal d deformazone N, N, N de de cas n esame corrspondono a qelle ndcate nelle fgre che segono, e che nel prmo caso rslta: λ, λ λ (stato d deformazone nassale), mentre nel secondo caso rslta: λ λ λ (stato d deformazone pano)., Vsta nel pano e,e. Vsta assonometrca. Campo d spostament da dlatazone semplce lngo e.

22 Parte A: Anals della deformazone d n corpo contno π/ Vsta nel pano e,e. Vsta assonometrca. Campo d spostament da scorrmento semplce tra e e e. In partcolare, nel caso dello scorrmento semplce, le fbre d matera dsposte parallelamente alla drezone prncpale N (rotata d 45 rspetto a e ), s dlatano postvamente d na qanttà par alla componente d deformazone, ossa d na qanttà par alla metà dello scorrmento angolare γ tra le drezon cartesane e e e ( λ γ ). Le fbre parallele alla drezone prncpale N s dlatano nvece negatvamente (ovvero s contraggono) della stessa qanttà ( λ γ ). Le rappresentazon delle de fgre precedent debbono ntenders ottente attraverso n opportna amplfcazone grafca delle component d deformazone e, che q s stanno spponendo nfntesme. Cò corrsponde a moltplcare le component d deformazone real (ovvero le component d spostamento real) per n fattore d amplfcazone α (dell ordne d 5 ). Un caso pù generale de de precedent, che l comprende come stazon partcolar, è qello d na deformazone omogenea caratterzzata dalla segente matrce delle component rspetto alla e, e e : base cartesana d rfermento { }, cost (6.7) S tratta d no stato d deformazone bassale nel pano { e,e }. È mmedato verfcare, nfatt, che N e è na drezone prncpale d deformazone assocata ad na dlatazone λ nlla (applcando l tensore n esame al versore e, s ottene n vettore con component par agl element della terza colonna della matrce e qnd rslta: e e ). Applcando tale stato d deformazone omogeneo ad n corpo a forma d paralleleppedo d lat L, L e L, operando le semplfcazon precedentemente ntrodotte ( X, ( X ), e, s possono ϕ ) e facendo rfermento alla sezone rettangolare del corpo nel pano { } calcolare le component d spostamento de vertc A, B, C e D sosttendo la (6.7) nelle (6.). S ottene:,e

23 Parte A: Anals della deformazone d n corpo contno pnto A ( L,, L ) pnto B ( L,, L ) L L L L L L L L C L pnto ( L L, ), pnto D ( L, L, ) L L L Una rappresentazone grafca della deformazone n esame è rportata nella fgra che sege (s è assnto nel dsegno ; L L ): Vsta nel pano e,e. Vsta assonometrca. Le de dlatazon prncpal λ,λ s calcolano agevolmente dall eqazone agl atovalor della restrzone d al pano della deformazone, che è n tensore pano caratterzzato dalla segente matrce : S ottene l eqazone d secondo grado:

24 Parte A: Anals della deformazone d n corpo contno det ( λ) ( λ) ( λ) ( λ) λ λ, la qale ammette le segent radc (s ponga al solto γ ): ( ± ) λ, λ γ, S passa ora a determnare la drezone prncpale N α e β e, assocata a λ, tlzzando l eqazone agl atovettor d : ( λ ) γ γ γ ( λ ) γ ( γ ) α α ( γ ) γ ( λ ) α α β γ α λβ β β β S è ottento n sstema d de eqazon lnearmente dpendent (è agevole verfcare che la γ seconda eqazone s ottene dalla prma moltplcandola per ), che fornsce: γ β tg θ α ( γ ) γ ( ) avendo ndcato con θ l angolo d c è nclnato N rspetto a e. Una volta che s è ottento N, la determnazone d N è mmedata, n vrtù della propretà d ortogonaltà delle drezon prncpal d deformazone ( N α e β e ). La rappresentazone grafca d N e N (per γ tg θ θ, 5 ) è mostrata nella fgra che sege. Come nel caso dello scorrmento semplce, lngo N s ha na dlatazone postva ( λ è certamente maggore d zero, se s esclde l caso banale γ ), mentre lngo N s ha na dlatazone negatva ( λ ). 4

25 Parte A: Anals della deformazone d n corpo contno θ In conclsone, s vole mprmere na rotazone rgda nfntesma all elemento deformato ntorno all asse prncpale N e, ossa na rotazone ϕ del tpo ϕ ϕe, essendo ϕ ϕ na qanttà scalare molto mnore dell ntà. Gl spostament de vertc dovt alla rotazone s calcolano partcolarzzando le (6.4) nella forma segente: ϕ X ϕ X ϕx ϕx ϕ X ϕx ϕx ϕ X essendo X le coordnate a deformazone avventa, ossa: X X X L X X X L X X X L Passando a rappresentare grafcamente la rotazone dell elemento deformato, nelle (6.8) s moltplcheranno le component d deformazone per l fattore d amplfcazone grafca α e nelle (6.7) s moltplcherà ϕ per n lterore fattore d scala β (anch esso dell ordne d 5 ), scelto n modo da poter apprezzare grafcamente la rotazone. 5

26 Parte A: Anals della deformazone d n corpo contno 6

27 Parte A: Anals della deformazone d n corpo contno A.7. serczo proposto. (torna all ndce) S consder n elemento d volme a forma d paralleleppedo d lat L, L e L e lo s rfersca ad n sstema d rfermento ortonormale { O, e, e, e }, avente l orgne O n corrspondenza del barcentro G e gl ass parallel a lat dell elemento. S assegn all elemento no stato d deformazone nfntesmo d tpo omogeneo descrtto dalla segente matrce delle component rspetto alla base cartesana {, e e } e :, γ γ γ γ γ γ S rchede: a) d determnare n campo d spostament corrspondente allo stato d deformazone assegnato (s spponga nlla la rotazone nfntesma dell elemento e s assma che l pnto O rmanga fsso); b) d rappresentare grafcamente tale campo d spostament, adottando n opportno fattore d amplfcazone delle component d deformazone (ad esempo, n fattore α par a ); c) d calcolare con metodo analtco ed attraverso la costrzone del cercho d Mohr le dlatazon prncpal e le drezon prncpal d deformazone; d) d mprmere na rotazone ϕ - radant all elemento deformato, ntorno alla drezone prncpale assocata alla dlatazone prncpale nlla, e d rappresentare grafcamente tale rotazone, amplfcando opportnamente nel dsegno l valore d ϕ. Dat nmerc: L n (nmero d lettere del nome) cm L c (nmero d lettere del cognome) cm L ( n ) / cm c per m, o 4 n 4 c 4 m γ γ γ per m 4, 5 o 6 4 m 4 n 4 γ c γ γ per m 7, 8 o 9 4 c 4 m 4 γ n γ γ (m ltma cfra sgnfcatva del nmero d matrcola). 7

28 Parte A: Anals della tensone Corso d Larea n Ingegnera Cvle per l Ambente ed l errtoro Appnt del corso d Scenza delle Costrzon I - A. A. 4/5 Fernando Fraternal Parte A : Anals della tensone INDIC A.. Moto ed eqlbro de corp, forze d massa e d sperfce, legg d lero A.. Vettore tensone s n elemento orentato d sperfce.... A.. Il teorema del tetraedro d Cachy... 6 A.4. Le eqazon ndefnte d eqlbro... 8 A.5. enson prncpal e drezon prncpal d tensone... 4 A.6. Il cercho d Mohr per gl stat pan d tensone A.7. Arbelo d Mohr A.8. Confgrazone attale e confgrazone d rfermento A.9. serczo proposto

29 Parte A: Anals della tensone A.. Moto ed eqlbro de corp, forze d massa e d sperfce, legg d lero. (torna all ndce) S defnsce moto d n corpo contno C n applcazone del tpo: ( P t) χ,, P C, t [t, t ], (A.) che assoca ad ogn partcella P del corpo l so vettore poszone all stante t. L mmagne d C medante χ, e coè l nseme χ (C,t), rappresenta la confgrazone occpata da C al generco stante t (Fg. A.). Analogamente, l nseme χ (P,t) χ (C,t) rappresenta la confgrazone occpata all stante t da n arbtrara parte P del corpo. La (A.) s dce descrzone materale dell eqazone del moto, poché assme come varabl ndpendent drettamente le partcelle d matera del corpo. Fg. A. χ χ Spesso a tale descrzone se ne prefersce n altra, comnemente detta referenzale o Lagrangana, nella qale s dentfcano le partcelle P con loro vettor poszone X n na fssata confgrazone (confgrazone d rfermento). Qest ltma pò concdere con la regone occpata dal corpo all stante nzale del moto, oppre con na qalnqe altra confgrazone d comodo, scelta opportnamente per rappresentare l corpo. Nel segto s farà mplctamente rfermento alla descrzone referenzale e s mpegherà l smbolo C per ndcare sa l corpo che la confgrazone d rfermento prescelta. La descrzone referenzale condce a scrvere l eqazone del moto nella forma segente: ( X t) χ,, X C, t [t, t ]. Fg. A. χ χ Una propretà fondamentale de corp è che ess sono dotat d massa. Nella Meccanca classca s assme che la massa d ogn parte P d n corpo sa na qanttà scalare ndpendente dalla confgrazone occpata dal corpo (prncpo d conservazone della massa). S assme noltre che 9

30 Parte A: Anals della tensone essa tenda a zero al tendere a zero del volme della parte e dvenga n partcolare nlla se l volme d P è nllo. Qest ltma propretà (assolta contntà della massa rspetto al volme) asscra l esstenza d na fnzone denstà d massa ρ (,t), defnta slla confgrazone attale del corpo, tale che la massa della parte P s possa esprmere attraverso l segente ntegrale d volme: m(p) χ ( P, t ) ρ dv. (A.) Il prncpo d conservazone della massa mpone evdentemente che la fnzone ρ verfch la relazone: χ ( P, t ) (, t ) χ ( P, t ) (, t ) ρ dv ρ dv, (A.) nella qale t e t sono de arbtrar stant del moto e P è na parte qalsas del corpo. Per analzzare l moto de corp è necessaro ntrodrre degl ent matematc, che sano n grado d caratterzzare le nterazon tra l corpo n esame e l ambente che lo crconda. al ent s classfcano n forze a dstanza e forze d contatto. Le prme, dette anche forze d massa o d volme, agscono sgl element d massa d n corpo e dervano dalla nterazone a dstanza tra corp. In altr termn, esse sono le azon che corp s eserctano gl n sgl altr, ndpendentemente dal fatto che sano o meno n contatto tra loro. S assme che tal forze sano n rapporto con la massa de corp, con la propretà che la forza d massa agente s d na generca parte P tenda a zero al tendere a zero della sa massa. Qesta propretà (assolta contntà delle forze a dstanza rspetto alla massa) comporta l esstenza d na fnzone denstà della forza a dstanza (per ntà d volme) b (, t), defnta slla confgrazone attale del corpo, tale che la forza a dstanza complessva agente slla generca parte P sa esprmble attraverso l ntegrale d volme: f m (P) χ ( P, t ) b dv. (A.4) In partcolare, la qanttà vettorale b dv rappresenta la forza d massa agente sll elemento d volme nfntesmo dv. In generale, b vara da pnto a pnto del corpo e da stante a stante del moto. Fortnatamente, però, n molte applcazon, tale fnzone pò essere consderata costante sa nello spazo che nel tempo. È qesto, ad esempo, l caso della forza d gravtà (o forza peso) f, per la qale la denstà b concde con l prodotto della denstà d massa ρ per l accelerazone d gravtà g : p f p (P) χ ( P, t ) ρ g dv. (A.5) Pù complessa è nvece l espressone della fnzone ( ) b, t nel caso delle forze d massa d orgne magnetca, elettrca o chmca, che d altra parte esorbtano dagl scop d qesto corso.

31 Parte A: Anals della tensone S accetta comnemente l potes che sano trascrabl le forze a dstanza eserctate slla generca parte P dalle altre part dello stesso corpo. Le forze d contatto, o forze d sperfce, sono nvece qelle azon che corp, o dvers element d no stesso corpo, s eserctano gl n sgl altr per l fatto che sono tra loro a contatto. S d esse s ammette l potes d assolta contntà rspetto all area d contatto, ossa s ammette che al tendere a zero dell area d contatto d na parte P del corpo con altr corp, o con altre part dello stesso corpo, tenda a zero la forza d contatto agente s d essa. Cò consente d ntrodrre na fnzone denstà d forza d contatto t, detta tensone, sl c sgnfcato c s soffermerà pù n dettaglo nel paragrafo sccessvo. La formlazone delle legg fondamental del moto de corp contn rchede che sano ntrodotte de lteror qanttà: la qanttà d moto ed l momento della qanttà d moto d n corpo. S dce qanttà d moto della parte P all stante t la qanttà vettorale: q(p, t) χ ( P, t ) ρ v dv, (A.6) v denota l vettore veloctà della generca partcella. t S dce nvece momento della qanttà d moto d P all stante t, rspetto ad n dato pnto O nella qale v(, t) (ndvdato dal vettore poszone ), la qanttà: h (P, t) ( ) ρ v dv. χ ( P, t ) (A.7) Cò premesso, s possono ora enncare le eqazon cardnal della dnamca de corp contn o legg d lero. S tratta d de postlat fondamental, che stablscono che ad ogn stante del moto e per ogn parte P del corpo, le dervate temporal della qanttà d moto e del momento della qanttà d moto debbano gaglare rspettvamente l rsltante f d ttte le forze agent s P (forze d massa e forze d sperfce) ed l momento rsltante m d tal forze (rspetto al pnto O). In smbol: q& (P, t) f (P, t) ( a legge cardnale della dnamca), (A.8a) h & (P, t) m (P, t) ( a legge cardnale della dnamca). (A.8b) Le legg sddette rappresentano l estensone a corp contn delle ben note legg d Newton della dnamca de sstem d pnt materal. La qanttà d moto ed l momento della qanttà d moto non sono grandezze ndfferent rspetto ad n cambamento d osservatore. Per charre meglo l senso d tale affermazone, s premette che per osservatore s ntende l nseme d n certo nmero d corp rgd a dstanza nvarable tra d loro (ad esempo le paret d n laboratoro, le stelle fsse, ecc.), detto sstema d rfermento, e d n orologo per msrare l tempo. De osservator dvers msrano n manera dfferente l moto d no stesso corpo n consegenza del fatto che ess, n generale, sono n moto rgdo relatvo tra d loro.

32 Parte A: Anals della tensone Una grandezza vettorale s dce ndfferente rspetto ad n cambamento d osservatore se le osservazon d tale grandezza, fatte ad ogn stante da de osservator qalsas n moto rototraslatoro tra d loro, sono semplcemente rotate l na rspetto all altra. In Meccanca s postla, ad esempo, che le forze sano grandezze vettoral ndfferent. Cò posto, s pò dmostrare che la qanttà d moto ed l momento della qanttà d moto d n corpo non verfcano la sddetta propretà d ndfferenza (ad esempo, rspetto ad n osservatore soldale alle stelle fsse e ad n osservatore soldale alla terra). Cò rchede che s specfch n sstema d rfermento preferenzale nel qale postlare legg d lero. sso s dce sstema d rfermento nerzale o galleano ed è salmente dentfcato con l sstema delle stelle fsse. S passa a consderare ora l problema d n corpo che, sotto l azone d forze assegnate, raggnga na certa confgrazone e non s allontan pù da essa. ale confgrazone s dce confgrazone d eqlbro del corpo. La partcolarzzazone delle legg d lero a tale problema porta a rchedere che, nella confgrazone d eqlbro, sano nll l rsltante d ttte le forze agent s d na qalsas parte P ed l momento rsltante delle stesse forze rspetto ad n arbtraro pnto O. In smbol: f(p) ( a legge cardnale della statca), (A.9a) m (P) ( a legge cardnale della statca). (A.9b) In altr termn, l sstema complessvo d forze agent slla generca parte dovrà essere eqvalente a zero. Le (A.9) s dcono anche eqazon cardnal della statca de corp contn. A.. Vettore tensone s n elemento orentato d sperfce. (torna all ndce) S consder na confgrazone χ (C) occpata da n corpo contno C ad n certo stante t del so moto, ovvero na confgrazone d eqlbro d tale corpo (Fg. A.). S prenda n esame, n dettaglo, na porzone S d na sperfce S, che contenga n dato pnto d χ (C). S denotno con n l versore della normale a S n corrspondenza d e con f la forza d contatto agente s S. Se l elemento S gace slla frontera d χ, s convene d orentare n verso l esterno del corpo: n tal caso la forza f derverà dal contatto d C con altr corp. Fg. A. Se, nvece, l elemento na facca postva far concdere parte d S gace all nterno d χ (C), na qalsas scelta del verso d n ndvderà S d S (stata dalla parte d n ) ed na facca negatva S : s convene d f con la forza d contatto eserctata, attraverso S, dalle partcelle state dalla S slle partcelle state dalla parte d S (Fg. A.).

33 Parte A: Anals della tensone S consder a qesto pnto na sccessone d element d sperfce S, S, S, K, che appartengano ttt a S e sano tal che la sccessone delle loro aree A, A, A, K tenda a zero per k tendente all nfnto, nseme alla sccessone de loro dametr (cò asscra che la sccessone de S k s rdca nel lmte esattamente al pnto e non pttosto ad na lnea o ad na crva). Ad ogn elemento della seqenza S k corrsponderà na dversa forza d contatto f. k In partcolare, le sccessve forze f dfferranno, n generale, non solo per l modlo, ma anche k per la drezone ed l verso. S ammette tttava che essta e sa fnto per l lmte k della sccessone delle forze per ntà d sperfce f A. ale lmte s dce tensone slla sperfce S nel pnto e s ndca con t : k k t f k lm. (A.) k Ak L esstenza e la fntezza del lmte (A.) dscendono dalla potes ntrodotta nel paragrafo precedente crca la assolta contntà delle forze d contatto rspetto all area d contatto. La grandezza t è n genere fnzone del pnto, della forma della sperfce S e del tempo t. S ammette salmente, tttava, che essa dpenda dalla forma d S solo attraverso la normale orentata n (potes o postlato d Cachy): (, n t) t t,. (A.) Cò comporta che, ad ogn stante t, sano gal tra loro vettor tensone n s ttte le sperfc che v sono dotate della stessa normale n (Fg. A.4). Fg. A.4

34 Parte A: Anals della tensone S ntrodca ora, nell ntorno d, n elemento d volme a forma d paralleleppedo con le facce parallele a pan d n fssato rfermento cartesano { O, e, e, e } (Fg. A.5). S denot con t ( ) la tensone agente nel barcentro della facca che ha come normale l versore e (,,). Le component d t () saranno d segto ndcate con (,, ), qelle d t ( ) con (,, ) e ( ) qelle d t con (,, ) (Fg. A.6). Con rfermento, ad esempo, al vettore tensone t ( ), qando le qanttà (,, ) sono postve, () component d t hanno gl stess vers degl ass del sstema d rfermento. La componente s dce n partcolare tensone normale slla facca d normale e (o ) ed è postva se d trazone, mentre le component, s dcono tenson tangenzal slla stessa facca. Denomnazon analoghe s attrbscono alle component de vettor tensone slle facce d normale e ed e. Fg. A.5 Fg. A.6 Nella Fg. A.5, tre vettor tensone t ( ) ( ), t e t ( ) sono rfert a tre pnt dfferent ( barcentr delle facce dell elemento d volme consderato). Se s mmagna, però, che l elemento d volme preso n esame s deform progressvamente, fno a degenerare nel pnto, l generco vettore tensone t ( ) tenderà nel lmte al vettore tensone agente n sgl element d sperfce avent come normale e. Le component de tre vettor tensone () t, ( ) t e ( ) t rfert al pnto sono salmente ordnate nella segente matrce :, (A.) d modo che la j-esma colonna della matrce raccolga le component del vettore tensone n slle sperfc d normale e j. In altr termn, l elemento d posto j della matrce fornsce la componente lngo della tensone agente slle gactre d normale j. 4

35 Parte A: Anals della tensone S vedrà nel paragrafo sccessvo che rappresenta la matrce assocata ad n tensore del secondo ordne rspetto alla base { e, e, e }. ale tensore è detto tensore delle tenson o tensore d Cachy, è fnzone solo del pnto e del tempo, ed assoca ad ogn versore n l vettore tensone agente slla gactra d normale n. In smbol: () ( ) ( ) (, t) t (, n, t) n t n t n t. (A.) essendo, n, n e, e, e. Spesso, per semplctà d notazone, s omette d ndcare la dpendenza d dal pnto e dall stante t. In defntva, l vettore tensone agente n s n qalsas elemento d sperfce è completamente ndvdato dalle component del tensore delle tenson rspetto ad na base assegnata. La determnazone d n n pnto d n corpo contno n n certo stante t s dce anche stato d tensone n relatvo all stante t. Nella letteratra tecnca, le component normal del tensore delle tenson vengono salmente denotate con la lettera greca σ e con n solo ndce: σ σ n le component d n rspetto alla base { }, σ σ y, σ σ z, (A.4) Le component tangenzal vengono nvece spesso denotate con la lettera greca τ e con de ndc: τ τ y, τ τ z, τ τ yz, τ, τ τ z, τ τ zy. τ y (A.5) L ntà d msra della tensone nel Sstema d Msra Internazonale è l Pascal o Pa ( Pa N/m ). So mltpl sono l MPa ( MPa 6 Pa) ed l GPa ( GPa 9 Pa). Nel Sstema ecnco, nvece, le component d tensone s msrano n kg/m, oppre n kg/cm, t/m, ecc.. La tabella che sege mostra fattor d conversone fra alcne delle ntà d msra freqentemente mpegate n campo tecnco. Pa (N/m ) kg/m kg/cm t/m ps Pa (N/m ), -, -5, -4,45-4 kg/m 9,87-4 -,4 - kg/cm 9,87 4 4,4 t/m 9,87 -,4 ps 6,895 7, 7, - 7, - 5

36 Parte A: Anals della tensone A.. Il teorema del tetraedro d Cachy. (torna all ndce) C s rfersca al problema d eqlbro d n corpo contno C. Fg. A.7 S consder nella confgrazone d eqlbro χ (C) n elemento d volme a forma d tetraedro, avente tre facce parallele a tre pan coordnat e la qarta facca d orentazone qalsas n. ale elemento sa preso nell ntorno d n dato pnto e sa nfntesmo, n modo da poter assmere la fnzone tensone costante s ogn facca e la fnzone denstà delle forze d massa costante all nterno del tetraedro (esso è rappresentato n scala esagerata n Fg. A.7). In vrtù della prma legge cardnale della statca, deve rsltare nllo l rsltante d ttte le forze agent s τ. Ossa: () ( ) ( ) b dv t ds t ds t ds t ds, (A.6) avendo posto: () t(, n e ); ( ) t(, n e ) ( ) t(, n e ) t t t t t(, n). ; ; D altra parte, è facle verfcare che rslta: ds ds n e ; ds ds n e ; ds ds n e ; dv h ds dv ds h. (A.7) 6

37 Parte A: Anals della tensone Dvdendo la (A.6) per ds e tenendo conto delle (A.7), s ottene: () ( ) ( ) h b t n t n t n t, da c, trascrando la qanttà nfntesma ordne fnto, s dedce: h b al prmo membro rspetto agl altr termn d () ( ) ( ) t t n t n t n. (A.8) La (A.8) dmostra che l vettore tensone n slla facca d normale n è combnazone lneare de vettor tensone slle altre tre facce del tetraedro. Introdotto qnd l tensore tale che: e e e t () ; ( ) t ; ( ) t ; (A.9) dalla (A.8) dscende: ( n e n e n e ). t n (A.) e n e n e n S prenda ora n esame na sperfce S nterna alla confgrazone χ (C), e s denotno con P e P le de part del corpo separate da tale sperfce (Fg. A.8). La tensone t agente, n n arbtraro pnto d S, sl so lato postvo, ovvero la tensone eserctata da P s P, è par a: Fg. A.8 t n. (A.) D altra parte, la tensone agente, nello stesso pnto, sl lato negatvo d S, ovvero la tensone eserctata da P s P, è par a: ( n ) n t n t. (A.) La (A.) esprme l cosddetto prncpo d azone e reazone (o terza legge d Newton o anche lemma d Cachy). S pò osservare che tale relazone non rappresenta n lterore postlato della Meccanca, ma bensì na dretta consegenza della prma legge d lero (da c dscende l teorema del tetraedro d Cachy). Utlzzando la (A.) nelle (A.9), s dedce che vettor () t agent slle gactre d normale scente e ( ( ) ( ) rappresentano vettor tensone e t t ), e qnd che l tensore a prmo 7

38 Parte A: Anals della tensone membro della (A.) è assocata la matrce defnta dalla (A.). Ad esso, come s è gà detto, s attrbsce l nome d tensore delle tenson. A.4. Le eqazon ndefnte d eqlbro. (torna all ndce) S fornscono n qesto paragrafo delle espresson pntal delle eqazon cardnal della statca (A.9), che chamano n casa l tensore delle tenson e le forze d massa agent s n corpo n eqlbro. S consder n elemento d volme P a forma d paralleleppedo, con le facce parallele a pan d n fssato rfermento cartesano, all nterno della confgrazone d eqlbro del corpo (Fg. A.6). S denotno con,, le msre de lat del paralleleppedo e con A, B e C pnt central delle se facce che hanno come normal scent gl oppost de versor { e, e, e }. Slle facce del paralleleppedo agscono le tenson ndcate nella fgra che sege, mentre al so nterno agscono le forze d massa b. Fg. A.9 Rslta n partcolare: t t t () () ( e ) t ( ) A () t A ( ), ( ) ( ( ) ) e t ( ) B ( ) t B ( ), ( ) ( ( ) ) e t ( ) C ( ) t C ( ), (A.) sono degl nfntesm d ordne sperore rspetto a,, dove ( ), ( ), ( ). S scrva ora l eqazone cardnale (A.9a), con rfermento alla componente secondo l asse del rsltante d ttte le forze (d sperfce e d massa) agent sll elemento n esame. 8

39 Parte A: Anals della tensone ( ) ( ) ( ) Fg. A. Rferendos a valor med delle component d tensone ndcate nella fgra precedente (Fg. A.), ed al valore medo n P della qanttà b, l eqazone sddetta s scrve nella forma: b ( ) ( ), ( ). (A.4) da c, semplfcando, dvdendo per e passando al lmte per,,, s ottene l eqazone dfferenzale: b. (A.5a) Analogamente, dalle altre de proezon della (A.9a) lngo gl ass e, è possble dedrre le de segent eqazon dfferenzal: b b, (A.5b). (A.5c) Le (A.5), dette salmente eqazon ndefnte d eqlbro del corpo, debbono essere verfcate n ogn pnto nterno d na confgrazone d eqlbro. Ad esse è possble attrbre la segente notazone compatta: dv b, (A.6) 9

40 Parte A: Anals della tensone dove dv denota la dvergenza del campo tensorale, ossa l campo vettorale avente come - esma componente la qanttà: ( dv ) j. (A.7) j S prenda n esame ora l eqazone cardnale (A.9b) e la s proett lngo l asse, assmendo come polo de moment lo spgolo P ndcato n Fg. A.. È facle verfcare che tale eqazone scalare chama n casa le sole component d tensone mostrate nella fgra che sege (Fg. A.), dove, per semplctà d notazone, s è omesso d ndcare le qanttà ( ). Fg. A. Facendo attenzone a bracc delle forze ndcate n fgra ed al segno de moment (la componente secondo d n vettore momento è postva se n osservatore dsposto nel verso postvo d vede l momento portare s n verso antoraro), s ottene: 4

41 Parte A: Anals della tensone 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b. (A.8) Semplfcando, dvdendo per e passando al lmte per,,, dell eqazone precedente s dedce:. (A.9a) Consderazon analoghe a qelle fn q svolte portano a dedrre dalle altre de proezon dell eqazone cardnale (A.9b) (lngo gl ass e ) segent lteror rsltat:, (A.9b). (A.9c) Le (A.9) dmostrano che l tensore delle tenson è smmetrco, ossa che rslta:. (A.) Cò comporta che le component tangenzal d sono a de a de gal tra loro. In partcolare, le tenson tangenzal agent slle facce ortogonal d n elemento d volme cbco nfntesmo concorrono o dvergono entrambe dagl spgol dell elemento (ved Fg. A.6). S è dmostrato qnd che le legg d lero, nel caso statco, eqvalgono n forma locale alle eqazon dfferenzal d eqlbro (A.5) ed alla smmetra del tensore delle tenson. Qest ltmo rsltato, n partcolare, vale anche nel caso d n corpo n movmento, come s pò agevolmente dmostrare. In tal caso, la smmetra d deve essere verfcata ad ogn stante del moto.

42 Parte A: Anals della tensone A.5. enson prncpal e drezon prncpal d tensone. (torna all ndce) S è vsto ne paragraf precedent che la tensone t, agente n n pnto d n corpo contno s na qalsas sperfce, dpende dalla normale scente n. In generale (ved Fg. A.), l vettore t s potrà decomporre nella somma d n vettore σ dretto come n (componente normale) e d n vettore τ gacente nel pano tangente alla sperfce (componente tangenzale). τ σ t n Fg. A. C s chede se essta na qalche drezone n tale che la tensone ( n) t, abba solo componente normale σ σ n. Una tale drezone s dce drezone prncpale d tensone n e lo scalare σ s dce tensone prncpale. Il problema n esame concde a ttt gl effett con l problema del calcolo degl atovalor e degl. sso, nfatt, è retto dall eqazone vettorale: atovettor del tensore delle tenson ( ) t n σ n, (A.) che s pò anche scrvere nella forma: ( I ) n σ, (A.) avendo ndcato con I l tensore dentco. Proettando la (A.) n n qalsas rfermento cartesano, s ottene l segente sstema d eqazon lnear: ( σ ) ( σ ) n n ( ) σ n, (A.) al qale s accompagna la condzone d normaltà: n n n. (A.4) Il sstema omogeneo (A.) ammette solzon non banal ( n ) se e solo se rslta nllo l determnante della matrce de coeffcent, ossa se e solo se rslta: det ( σ ) ( σ ) ( σ ). (A.5) 4

43 Parte A: Anals della tensone Dalla (A.5), che è n eqazone cbca n σ, è possble calcolare le tenson prncpal. Un notevole teorema dell Algebra asscra n partcolare che, essendo smmetrco, tale eqazone ammette tre radc real σ, σ, σ, eventalmente non dstnte. Svlppando l determnante a prmo membro della (A.5), è possble verfcare che tale eqazone s pò scrvere nella forma segente: σ I σ I σ I, (A.6) dove: ( ) I tr ; (A.7a) I det det det [ tr ( ) tr ( )] ; (A.7b) I det det. (A.7c) Dalle (A.7) s dedce n partcolare che coeffcent dell eqazone (A.6) (detta anche eqazone caratterstca o eqazone secolare del tensore ) sono qanttà nvarant rspetto ad n cambamento d rfermento (s rcorda che sa la tracca che l determnante d ttte le matrc assocate ad no stesso tensore sono tra loro dentche). Cò asscra che l calcolo delle tenson e delle drezon prncpal non è condzonato dalla scelta del sstema d rfermento. Le qanttà I, I, I sono salmente dette prmo, secondo e terzo nvarante del tensore delle tenson. Una volta calcolate le tenson prncpal σ, σ, σ, la sosttzone d cascna d qeste qanttà nel sstema (A.)-(A.4) consente d determnare la drezone prncpale d tensone assocata ad ogn σ. Dalla smmetra d dscende anche che le drezon prncpal assocate a de tenson prncpal dstnte sono tra loro ortogonal. Pò captare che na tensone prncpale sa radce doppa delle (A.6), ad esempo σ σ σ. In qesto caso, lo stato d tensone s dce clndrco. Se nvece accade che la (A.6) ammette n nca radce trpla σ σ σ σ, ttte le drezon dello spazo sono drezon prncpal d tensone e qnd s na qalnqe sperfce passante per l pnto n esame agsce solo na tensone normale σ σ n (ved fgra a lato). In qesto caso, lo stato d tensone s dce sferco o anche drostatco (è tale nfatt lo stato d tensone n n qalnqe pnto d n fldo n qete). 4

44 Parte A: Anals della tensone Un lterore classfcazone degl stat d tensone s pò effettare slla base del nmero d tenson prncpal dverse da zero. Se ttte le tenson prncpal sono dverse da zero ( σ, σ, σ ), lo stato tensonale s dce trassale. Dall esame della (A.6) s dedce agevolmente che condzone necessara e sffcente affnché cò accada è che rslt I. Se nvece na sola tensone prncpale è gale a zero (ad esempo σ, σ, σ ), lo stato tensonale s dce pano o bassale. Condzone necessara e sffcente affnché cò accada è che rslt I, I. Se, nfne, de tenson prncpal sono nlle (ad esempo: σ σ ; σ, ved fgra a lato), lo stato tensonale s dce nassale (o monoassale). Condzone necessara e sffcente affnché cò accada è che rslt I I. Ovvamente è stato esclso dalla trattazone precedente l caso banale σ σ σ, che caratterzza no stato tensonale nllo ( I I I ). σ σ Con le drezon prncpal d tensone s pò costrre na base ortonormale { n, n n },, che s dce base prncpale d. Rspetto ad essa, la matrce assocata a è la segente matrce dagonale: σ * σ. (A.8) σ 44

45 Parte A: Anals della tensone A.6. Il cercho d Mohr per gl stat pan d tensone. (torna all ndce) C s rfersca al caso d no stato d tensone pano e s spponga, per fssare le dee, che rslt σ. S ntrodca n sstema d rfermento ortonormale { O, e, e, e } tale che l asse e concda con la drezone prncpale assocata a σ. Nelle potes fatte, la matrce assocata al tensore rspetto alla base { e, e, e } avrà la terza colonna e la terza rga formate da element ttt par a zero:. (A.9) σ S rcorda nfatt che la terza colonna d contene le component del vettore e, che è nllo per potes ( e σ e ). Se ora s consdera na drezone qalsas dello spazo, d versore n n e n e n e, rslta: n t n n t. (A.4) n dove: t. (A.4) n n; t n n La (A.4) mostra che l vettore tensone t (, n), è sempre contento nel pano {,e } t per qalsas scelta d n ). Per tale motvo l pano { } e (rslta e s dce pano delle tenson.,e Stat tensonal pan s ncontrano, ad esempo, nelle lastre sottl, ovvero ne corp avent de dmenson prevalent rspetto alla terza, che sano carcat da forze parallele al pano medo (Fg. A.). S pò nfatt rconoscere a pror che n qesto caso rslta, con bona approssmazone, n ogn pnto del corpo. Fg. A. Nell ambto degl stat pan, è d partcolare mportanza lo stdo dell andamento del vettore tensone slle gactre che abbano come normal drezon gacent nel pano della tensone. sso pò svolgers slla base della (A.4), posto che s conoscano le component d tensone slle gactre ortogonal a versor cartesan e e e. 45

46 Parte A: Anals della tensone In alternatva, s pò rcorrere alla costrzone grafca del cosddetto Cercho d Mohr, che s passa ad llstrare. P, n, m avente l orgne S ntrodca nel pano delle tenson n sstema d rfermento ortogonale { } nel pnto P n esame, l asse n nclnato d n angolo arbtraro θ rspetto a e e l asse m orentato e ( se s porta n n modo che la coppa { m} s e, m va a fnre s e ). n, non sa sovrapponble nell ordne alla coppa { } In Fg. A.4 sono mostrat gl ass n e m, le tracca nel pano delle tenson della generca gactra d normale n e le component d tensone σ n e τ n agent s tale gactra. La (componente normale) è postva se è dretta θ come n (ovvero se d trazone), mentre la τ n σ (componente tangenzale) è postva se è dretta come m, ovvero se nsege n verso oraro la τ τ componente d tensone tangenzale agente slla gactra d normale n (convenzon d Mohr, σ ved Fg. A.4). Fg. A.4 Al varare d θ tra e π cercho d centro σ n,e, s pò dmostrare che l logo de pnt d coordnate ( ) τ σ σ, è n C,, (A.4a) e raggo: n τ n R. (A.4b) sso s dce cercho d Mohr del tensore delle tenson, relatvo al pano { e,e } (Fg. A.6). 46

47 Parte A: Anals della tensone σ θ θ τ σ θ θ Fg. A.6 La tensone normale σ n e la tensone tangenzale τ n, corrspondent al generco valore d θ, s * P P, na retta ottengono per va grafca traccando dal prmo polo del cercho d Mohr m ( ) ** parallela a m, ovvero traccando dal secondo polo P Pn (, ) na retta parallela a n. Qeste de rette ntersecano l cercho n no stesso pnto Q, che ha come coordnate propro * ** ( σ n, τ n ). Il polo P (o P m ) s dce anche polo delle gactre, mentre l polo P (o P n ) s dce anche polo delle normal. Il cercho d Mohr pò essere tlzzato n partcolare per determnare le drezon prncpal d tensone n e n che gaccono nel pano delle tenson. sse concdono con le rette che nscono ** P con pnt n c l cercho nterseca l asse σ n (pnt n c τ n ). Le gactre ortogonal a * tal drezon s ottengono nvece nendo P con gl stess pnt (Fg. A.7). Le ascsse de pnt d ntersezone del cercho con l asse σ concdono con le tenson prncpal σ e σ. n σ σ σ σ Fg. A.7 Con smbol della Fg. A.7, rslta: 47

48 Parte A: Anals della tensone σ ± σ tg ; (A.44) ϕ, (A.45) essendo ϕ l angolo d c è nclnato n rspetto a e. In effett la (A.45) fornsce ϕ ameno d 8 (perodo della fnzone tangente) e qnd ϕ a meno d 9. Qesto sgnfca che essa fornsce sa l nclnazone d n che l nclnazone d n. Per poter dstngere le de drezon è necessaro affancare a tale formla l osservazone del cercho d Mohr (Fg. A.7). S analzzano n conclsone de partcolar stat d tensone pan. Il prmo è relatvo al caso n c la restrzone del tensore d Cachy al pano delle tenson è dotata, rspetto ad n qalche rfermento {, }, della segente matrce: τ (A.46) τ La costrzone del cercho d Mohr (Fg. A.8) mette n evdenza che n qesto caso le tenson prncpal σ e σ sono opposte tra loro ed n modlo hanno lo stesso valore della tensone tangenzale agente slle gactre ortogonal agl ass e ( σ σ τ ). Le drezon prncpal d tensone sono nvece nclnate a 45 rspetto agl ass e. Uno stato tensonale d qesto tpo s dce d taglo semplce (o taglo pro). σ τ Fg. A.8 σ τ Il secondo caso è qello d no stato tensonale nassale, che n effett pò essere consderato come n partcolare stato d tensone pano. In qesto caso, l vettore tensone s qalsas gactra è sempre dretto come la drezone prncpale assocata all nca tensone prncpale dversa da zero, che s sppone essere σ ( σ σ ). Consderato no qalsas de pan che hanno come sostegno tale drezone prncpale ed ntrodotto n esso n arbtraro sstema d rfermento cartesano {, }, l cercho d Mohr relatvo a tale pano è tangente all asse delle τ n (Fg. A.9). σ σ Fg. A.9 σ 48

49 Parte A: Anals della tensone A.7. Arbelo d Mohr. (torna all ndce) La costrzone d Mohr relatva agl stat pan d tensone pò essere generalzzata al caso degl stat trassal ( σ, σ, σ ), ntrodcendo tre cerch d Mohr, ognno de qal sa relatvo ad n pano ortogonale ad na drezone prncpale d tensone (cerch prncpal d Mohr). Il cercho prncpale relatvo alla drezone n fornrà le coppe ( σ n, τ n ) per { n, m} varabl nel pano ortogonale a n e consentrà, n partcolare, l calcolo delle drezon prncpal dverse da n e delle relatve tenson prncpal. È comodo rappresentare cerch prncpal n n nco rfermento ( σ n, τ n ) (Fg. A.). La regone d pano compresa tra le porzon de cerch prncpal state dalla parte delle τ n postve d dce arbelo d Mohr ed è possble dmostrare che essa contene ttte le possbl coppe ( σ n, τ n ) al varare della drezone n nello spazo. I pnt ntern d tale regone ndvdano, n partcolare, valor d σ n e τ n corrspondent a vettor n che non gaccono n no de tre pan prncpal. Il sddetto rsltato mette n evdenza che la mnma e la massma tensone prncpale rappresentano valor estrem della componente d tensone normale (al varare della gactra) ed noltre che l massmo valore d τ n (detto anche tensone tangenzale massma) è par al valore assolto della semdfferenza tra la massma e la mnma tensone prncpale (Fg. A.). Fg. A. 49

50 Parte A: Anals della tensone A.8. Confgrazone attale e confgrazone d rfermento. (torna all ndce) S è detto pù volte n precedenza che le forze, d massa e d sperfce, agscono slla confgrazone all stante corrente d n corpo n movmento, ovvero, nel caso d n problema statco, slla sa confgrazone d eqlbro. Le fnzon b, t e dpendono coè dalle coordnate spazal (poszon attal delle partcelle) e le eqazon cardnal della dnamca o della statca, nella loro formlazone ntegrale o dfferenzale, sono rferte alla confgrazone attale χ (C). ttava, n molt problem real, dette X le coordnate materal, ovvero le poszon delle partcelle nella confgrazone d rfermento C (Fg. A.), e detto (X ) l campo d spostament che porta C n χ (C), s pò spporre che rslt: / j << (, j,, ), ovvero che la deformazone da C a χ (C) sa nfntesma. In qesto caso, è possble confondere la confgrazone attale con qella d rfermento, a fn della caratterzzazone delle forze e della scrttra delle eqazon cardnal della dnamca o della statca (charamente, cò non è possble a fn dello stdo della deformazone). In altr termn, è possble sosttre le coordnate X alle coordnate nelle espresson delle fnzon b, t e (e coè rportare le forze nella confgrazone d rfermento), estendere gl ntegral d volme e d sperfce che appaono nelle legg d lero alla confgrazone d rfermento P della generca parte del corpo, ovvero dfferenzare le fnzon sddette rspetto alle coordnate materal nelle eqazon ndefnte del moto o d eqlbro. Un analoga operazone s pò effettare, qesta volta però solo fttzamente, anche nel caso n c la deformazone da C a χ (C) sa fnta (descrzone referenzale o Lagrangana delle eqazon del moto o d eqlbro), a patto d trasformare opportnamente n ent nomnal le forze e le tenson real, chamando n casa l gradente della trasformazone nversa da a X. tle precsare che l dentfcazone della confgrazone attale con qella d rfermento non è possble qando s vogla affrontare, ad esempo, lo stdo della qaltà dell eqlbro d n corpo (eqlbro stable, nstable o netro), che rchede d varare vrtalmente la confgrazone d eqlbro χ (C) e d valtare la tendenza del corpo a rtornare o meno n tale confgrazone. evdente, nfatt, che n qesto stdo non s pò confondere la confgrazone varata χ * (C) con χ (C). A.9. serczo proposto. Con rfermento al segente stato d tensone: ( N / mm MPa) (torna all ndce) s rchede la costrzone de cerch prncpal d Mohr, dell Arbelo d Mohr e la determnazone delle tenson prncpal e delle drezon proncpal d tensone. 5

51 Parte A: Il legame elastco lneare Corso d Larea n Ingegnera Cvle per l Ambente ed l errtoro Appnt del corso d Scenza delle Costrzon I - A. A. 4/5 Fernando Fraternal Parte A : Il legame elastco lneare INDIC A.. Introdzone Il tensore d elastctà... 5 A.. Il legame elastco-lneare sotropo A.. Sgnfcato fsco de coeffcent elastc d n materale sotropo A.4 I legam ortotropo e trasversalmente sotropo

52 Parte A: Il legame elastco lneare A.. Introdzone Il tensore d elastctà. Il comportamento elastco lneare è tpco d qe materal che sbscono deformazon drettamente proporzonal alle sollectazon ad ess applcate e che resttscono completamente tal deformazon, rtornando alla loro confgrazone nzale, qando le sollectazon esterne vengono rmosse. S consder, ad esempo, na molla d accao d lnghezza nzale l, alla qale sa applcata na forza d ntenstà F va va crescente (Fg. ). Per valor d F content entro na certa sogla, l esperenza nsegna che n sstema d qesto tpo (detto salmente dnamometro) sbsce allngament l drettamente proporzonal alla forza F, secondo la legge d Hooke: l η F (Robert Hooke, 678). Il coeffcente η s dce deformabltà della molla ed l so recproco k η rgdezza della molla. Fg. (torna all ndce) In segto all ntrodzone de concett d tensone e d deformazone d n corpo contno (Agstn Los Cachy, 88), la legge d Hooke f generalzzata da Gabrel Lamé (85) nella forma d na relazone lneare tra le component del tensore delle tenson e le component del tensore della deformazone nfntesma. Slla base d tale generalzzazone, n corpo contno n regme d deformazon nfntesme s dce a comportamento elastco-lneare se n ogn so pnto l tensore delle tenson è legato al tensore della deformazone nfntesma da na legge del tpo: [] C () essendo C n tensore del qarto ordne (tensore d elastctà o delle rgdezze elastche), ossa na trasformazone lneare defnta sllo spazo de tensor del secondo ordne. Proettando la () n n arbtraro rfermento cartesano, s ottengono le 9 relazon scalar: () j C jhk hk Le ()-() esprmono l cosddetto legame costttvo elastco-lneare. In partcolare, nelle (), coeffcent C jhk rappresentano le 8 component del tensore del qarto ordne C rspetto al rfermento consderato (9 qanttà per ogn relazone scalare). D esse, n realtà, solo 6 sono tra loro ndpendent. Dalla smmetra de tensor del secondo ordne e dscendono nfatt le segent relazon: C jhk C jhk ; C jhk C jkh, () che s dcono propretà d smmetra mnor del tensore d elastctà. 5

53 Parte A: Il legame elastco lneare Le 6 component ndpendent del tensore d elastctà sono dette coeffcent elastc (o rgdezze elastche) del materale nel pnto consderato. Se esse non varano da pnto a pnto l materale s dce omogeneo (n qesto caso coeffcent elastc s dcono pù specfcamente costant elastche del corpo). Rslta convenente ordnare le 6 component ndpendent de tensor e n de vettor colonna e le 6 costant elastche ndpendent n na matrce qadrata C d tpo 6 6 (matrce d elastctà o delle rgdezze elastche del materale), d modo che l legame elastco-lneare s possa esprmere nella forma pù compatta: C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C (4) In partcolare, se rslta: C jhk C hkj, (5) ovvero se la matrce d elastctà C è smmetrca, s dce che l tensore d elastctà gode della propretà d smmetra maggore, ovvero anche che l materale è perelastco. In qesto caso, le costant elastche ndpendent s rdcono da 6 a (element della parte trangolare alta o della parte trangolare bassa dc ). Qando C è nvertble, la matrce nversa d C s dce matrce delle deformabltà elastche del materale e s denota con A. Nel passaggo dal sstema d coordnate cartesane X, X, X ad n novo sstema X ', X ', X ' (ottento, ad esempo, attraverso na rotazone degl ass X, X, X ), cambano, n generale, le component del tensore d elastctà, per c l orgnara matrce delle rgdezze elastche C s trasforma n na dfferente matrce C '. Ad esempo, nel caso del legno (Fg. ), è facle ntre che la rgdezza del materale nella drezone X delle fbre (coeffcente C ) è maggore della rgdezza lngo na qalsas altra drezone X ' ( C > C ' ' ). Un comportamento analogo è esbto da materal format da na matrce plastca rrgdta con fbre d vetro o d carbono lngo drezon preferenzal (materal compost). S dce n qesto caso che l materale è elastcamente ansotropo. Fg. Rmandando al paragrafo A. l esame d qalche comportamento d tpo ansotropo, s passa ora ad esamnare n comportamento elastco d tpo pù semplce, detto sotropo. 5

54 Parte A: Il legame elastco lneare A.. Il legame elastco-lneare sotropo. (torna all ndce) Un materale elastco-lneare s dce sotropo se possede costant elastche gal n ogn rfermento cartesano ( C C per effetto d ogn rotazone ed nversone degl ass). mmedato verfcare che n tale materale possede n nmero d costant elastche ndpendent molto mnore d 6. Per renders conto d cò, s rotno, ad esempo, gl ass X, X, X d 9 ntorno a X, portando X ' a concdere con X (Fg. ). In vrtù della defnzone fornta, n n materale sotropo rslta C '' C, ovvero C C, dal momento che l asse X ' concde con X. Operando trasformazon d ass analoghe a qella precedente, s pò gngere a dmostrare che n materale sotropo possede solo de coeffcent elastc ndpendent tra loro. Fg. In partcolare, per n tale materale, le relazon scalar () s possono esplctare nella forma: ( ν) ( ν) ν ν ν ν ( ) ( ) ( ν) ν ν ( ) (6) G G γ G G γ G G γ Le (6) esprmono l legame costttvo elastco-lneare sotropo. In tal relazon compaono coeffcent,ν, G, dett rspettvamente modlo d Yong (o modlo d elastctà normale), coeffcente d Posson (o coeffcente d comprmbltà trasversale) e modlo d elastctà tangenzale. D ess, come s è gà detto, solo de sono ndpendent, ed nfatt rslta: G (7) ( ν ) 54

55 Parte A: Il legame elastco lneare Invertendo le (6) s ottene l legame sotropo nverso: [ ν ( )] [ ν ( )] [ ν ( )] G γ G (8) G γ G G γ G A.. Sgnfcato fsco de coeffcent elastc d n materale sotropo (torna all ndce) Volendo attrbre n sgnfcato fsco a coeffcent e ν, s consder n elemento d volme a forma d paralleleppedo sollectato da no stato d tensone monoassale d ntenstà lngo la drezone X (Fg. 4). Dalle (8) dscende che l elemento n esame, nell potes d comportamento elastco sotropo del materale, esbsce le segent component d deformazone: ν Fg. 4 ν ; ν ; (9) Le (9) mostrano che l modlo d Yong s pò defnre come l coeffcente d proporzonaltà tra tensone normale applcata e corrspondente dlatazone lneare, n no stato tensonale 55

56 Parte A: Il legame elastco lneare monoassale ( ). ale coeffcente ha evdentemente le dmenson d na tensone ( è na qanttà admensonale), ossa le dmenson d na forza dvso na sperfce. sso s msra salmente n MPa, n GPa ( Pa N/m ; MPa 6 Pa; GPa 9 Pa) o n N/mm, nel sstema nternazonale, ed n kg/cm o ps ( ps lbbra s pollce al qadrato) nel sstema tecnco. natrale aspettars che a sollectazon nassal d n certo segno corrspondano dlatazon longtdnal dello stesso segno, ed nfatt l modlo è sempre maggore d zero n ttt materal real. Il coeffcente d Posson s pò defnre nvece come l opposto del rapporto tra le dlatazon (gal) nelle drezon ortogonal all asse d sollectazone e la dlatazone ( ν ). sso è qnd n parametro admensonale. L esperenza nsegna che a dlatazon longtdnal postve (d allngamento) corrspondono dlatazon trasversal negatve (d contrazone) e vceversa. Infatt, l coeffcente ν è maggore d zero (o al pù prossmo a zero) nella stragrande maggoranza de materal sotrop real. tle osservare che, n n materale sotropo, no stato tensonale nassale non prodce scorrment angolar tra la drezone della sollectazone applcata e le drezon ortogonal ad essa. ttava, la presenza delle dlatazon trasversal (per ν ) fa sì che ad n tale stato d tensone non corrsponda no stato d deformazone nassale. Rsltat del ttto analogh s ottengono applcando stat d tensone nassal lngo na qalsas altra drezone d sollectazone. I valor d e ν d alcn materal ngegnerstc, che s possono schematzzare come elastc lnear ed sotrop entro opportn lmt d sollectazone, sono rportat n ab.. Materale Modlo d Yong Coeffcente (kn/mm GPa) d Posson ν Accao 7. Allmno 7.5 Calcestrzzo Ghsa Vetro 7.5 ab. S consder ora no stato d tensone d taglo pro nel pano X X (solo, Fg. 5). Dalle (8) dscende che, sotto n tale stato tensonale, n materale sotropo esbsce solo no scorrmento angolare γ G. S pò qnd defnre l modlo d elastctà tangenzale come l coeffcente d proporzonaltà tra la tensone tangenzale applcata ed l corrspondente scorrmento angolare ( Gγ ), n no stato d tensone d taglo pro. Al par d, anche G ha le dmenson d na forza per ntà d sperfce. I valor d G de materal elencat n ab. s possono dedrre facendo so della relazone (7), che lega G a coeffcent e ν. γ π/ γ Fg. 5 γ Affnché a sollectazon tangenzal d n certo segno corrspondano scorrment d par segno, com è lecto attenders, deve rsltare evdentemente G >, ovvero, facendo so della (7): ν > () 56

57 Parte A: Il legame elastco lneare l che s rscontra salmente, dal momento che, come s è gà osservato, ν è tpcamente maggore d zero. In conclsone, s prenda n esame l effetto d no stato d tensone sferco s n materale sotropo ( σ; per j ). Dalle (8) s rcava che la matrce delle deformazon d n j ( ν) materale sotropo è n qesto caso sferca ( σ; j per j ). In partcolare, rcordando che la tracca del tensore ( tr ( ) e ) rappresenta la dlatazone volmetrca degl ntorn d matera, dalle (8) s dedce: σ e () K avendo ntrodotto l modlo d comprmbltà volmetrca (o modlo d blk): K () ( ν) Il reqsto, rrnncable dal pnto d vsta fsco, che ad na tensone sferca d n certo segno corrsponda na dlatazone volmetrca d par segno, s tradce nella lmtazone: ν < () Il caso lmte ν / corrsponde al vncolo d ncomprmbltà volmetrca del materale ( K ), che talvolta forzosamente s ntrodce n alcn modell costttv (ad esempo nel caso de fld ncomprmbl). Le lmtazon: > < ν < (4) s dcono restrzon a pror s coeffcent elastc d n materale sotropo. sse rappresentano condzon d ammssbltà fsca del legame sotropo, verfcate da ttt materal real. S lasca al lettore la cra d verfcare che n n materale elastco-lneare ed sotropo le drezon prncpal d tensone concdono sempre con le drezon prncpal d deformazone. 57

58 Parte A: Il legame elastco lneare A.4 I legam ortotropo e trasversalmente sotropo (torna all ndce) Un comportamento elastco pù complesso d qello sotropo è qello cosddetto ortotropo. sso è caratterzzato dal fatto che la rsposta elastca del materale non è pù dentca al varare della drezone d sollectazone, ma possede bensì qalche propretà d ansotropa. Nel caso ortotropo, esste, n partcolare, n rfermento cartesano X ', X ', X ', detto rfermento natrale del materale, rspetto al qale l legame elastco assme la forma segente: [ ν ν ] [ ν ν ] [ ν ν ] G γ G (5) G γ G G γ G Nelle (5), che generalzzano le (8), compaono nove coeffcent elastc ndpendent e coè: - tre modl d Yong,,, de qal cascno è relatvo ad n partcolare asse natrale del materale (asse X ', X ' o X ' ); - tre coeffcent d Posson ν, ν, ν ; - tre modl d elastctà tangenzale G (o G ), G (o G ), G (o G ). Infatt, assmendo n comportamento perelastco, restant coeffcent d Posson ν, ν, ν, che appaono a secondo membro delle (5), sono legat a precedent coeffcent elastc dalle segent relazon d smmetra (maggore): ν ν ν ν ν ν ; ;. (6) 58

59 Parte A: Il legame elastco lneare S pò osservare che tra le (5) e le (8) sssste n effett qalche analoga formale. Dalle (5) emerge, n partcolare, che l legame ortotropo, qando vene rferto agl ass natral, possede le propretà che a sollectazon nassal corrspondono solo dlatazon lnear (longtdnal e trasversal) e vceversa che a sollectazon d taglo pro corrspondono solo scorrment angolar, al par del caso sotropo. ttava, a dfferenza d n materale sotropo, n materale ortotropo perde qeste propretà d ortogonaltà tra sollectazon normal e tangenzal n n rfermento cartesano non concdente con qello natrale. Un lterore dfferenza tra l caso ortotropo e qello sotropo consste nel fatto che, nel prmo caso, le rgdezze elastche del materale varano da drezone a drezone ( tre modl d Yong,, possono essere sensblmente dvers tra loro, così come tre coeffcent d Posson ν, ν, ν ed tre modl d elastctà tangenzale G, G e G ). I coeffcent d Posson d n materale ortotropo sono generalmente maggor d zero, ma esstono tttava alcn partcolar materal ortotrop per qal alcn d tal coeffcent sono negatv. Il comportamento ortotropo è caratterstco de materal compost rnforzat con de ordn d fbre ortogonal fra loro (compost con fbre bdrezonal). In tal materal, de de tre ass natral X ', X concdono con le drezon delle fbre, mentre l terzo concde con l asse ortogonale a X ' ' de ordn d fbre. I modl d Yong nelle drezon delle fbre sono ovvamente sensblmente maggor d qello nella drezone ortogonale alle fbre. I prm de sono nfatt dello stesso ordne d grandezza del modlo d Yong del materale che compone le fbre (vetro, carbono, ecc.), mentre l terzo è dello stesso ordne d grandezza del modlo d Yong del materale che compone la matrce del composto (resna epossdca, fenolca, ecc). I modl del composto s possono determnare a partre da modl degl element component (fbre e matrce) nvocando consderazon d mcromeccanca e tenendo conto, n partcolare, delle frazon masscce o volmetrche delle fbre all nterno del composto. In Fg. 6 è mostrata la rsposta elastca nel pano X ', X ' d na lamna n Glass/poy (resna epossdca rnforzata con fbre d vetro). La lamna è sollectata da no stato d tensone monoassale lngo na drezone X rotata d n angolo ϑ rspetto alla drezone delle fbre X '. S pò osservare che, per ϑ dverso da e da 9, la lamna sbsce no scorrmento angolare tra l asse della sollectazone X e l asse X ad esso ortogonale, pr essendo sollectata n manera nassale. S pò osservare, noltre, che essa sbsce na dlatazone tanto pù grande qanto pù l asse d sollectazone s dscosta dall asse delle fbre (rgdezza maggore nella drezone delle fbre). 59

60 fbre ν Parte A: Il legame elastco lneare 7.7GPa;.; G 5.98GPa.78GPa σ ' ' σ ' ' ' ' ϑ ϑ5 ϑ ' ' ' ' ' ' ϑ 45 ϑ6 ϑ9 Fg. 6: Rsposta elastca nel pano d na lamna n glass/epoy al varare dell angolo ϑ tra l asse d sollectazone e la drezone delle fbre 6

61 Parte A: Il legame elastco lneare Un comportamento ntermedo tra l ortotropo e l sotropo è qello cosddetto trasversalmente sotropo. sso s pò descrvere come n partcolare comportamento ortotropo, nel qale de ass natral, assm ad esempo X ' e X ', sono lber d varare n n pano π ed coeffcent elastc n tale pano rspettano le gaglanze: ; ν ν ; G G ; G. (7) ( ν ) S tratta, n defntva, d n comportamento d tpo sotropo n n partcolare pano ed ansotropo al d for d tale pano. In vrtù delle (7), coeffcent elastc ndpendent d n materale trasversalmente sotropo s rdcono da nove (caso ortotropo) a cnqe. Rspetto ad n qalnqe rfermento cartesano X ', X ' X ', che abba l asse pano d sotropa del materale, l legame elastco s scrve nella forma segente: X ' ortogonale al [ ν ν ] L [ ν ν ] L L G [ ν ( )] L L γ G L (8) G L γ G L G γ G avendo posto: ; ν ν (coeffcent elastc trasversal a X ' ); L, ν ν, G L G G ; G. (9) ( ν ) Il comportamento trasversalmente sotropo è tpco, ad esempo, de materal compost rnforzat con n solo ordne d fbre (compost con fbre ndrezonal). In qest materal l asse X (o asse L) concde con la drezone delle fbre ed l pano d sotropa elastca concde con l pano ortogonale alle fbre (nel pano d sotropa, le propretà elastche d tal compost sono rcondcbl essenzalmente a qelle del materale matrce). ' 6

62 Parte A: Il legame elastco lneare In conclsone s fornscono de tabelle, che mostrano n confronto tra le propretà fscomeccanche d alcn tpc materal compost (materal con matrce n resna epossdca e fbre n grafte, kevlar o vetro), dell accao e dell allmno (ab. ), nonché n confronto tra rapport rgdezza/peso e resstenza/peso d tal materal (ab. ). ab. ab. 6