Calcolo differenziale

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1 ANALISI MATEMATICA T-B (L-Z) (C.d.L. Ing. Gestionale) Università di Bologna - A.A Prof. G.Cupini A.A Prof. G.Cupini Calcolo differenziale (Grazie agli studenti del corso che comunicheranno eventuali errori) Esercizio. Studiare il dominio, le curve di livello, il segno di f e la continuità, la derivabilità e la differenziabiltà di f in (0, 0) e in (, 2). Se in (0, 0) o in (, 2) la funzione risulta differenziabile, determinare il piano tangente al grafico in tale punto. f(x, y) = 3 (y x) 2. Esercizio 2. Studiare la continuità, la derivabilità e la differenziabiltà in (0, 0): Esercizio 3. f(x, y) = x y 4 x 6 (x 2 + y 2 ) 2 se (x, y) (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0). Studiare il dominio, il segno di f e, in (0, 0), la continuità, la derivabilità e la differenziabiltà di f: f(x, y) = (y x) 3 x 2 + y 2 + x 2 y 2 se (x, y) (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0). Esercizio 4. Si consideri la funzione f(x, y) = 3 x3 y yx + 3 y2. Determinarne le derivate direzionali. Esercizio 5. Data la funzione f : R 2 R, f(x, y) = x 2 (y 2), (a) determinare le curve di livello di f e disegnarle su un piano cartesiano,

2 (b) studiare il segno di f, (c) deteminare i punti critici di f, e, tra questi, i punti di massimo e di minimo relativi. (d) studiare la continuità, la differenziabilità di f, (e) determinare le derivate direzionali f (x λ 0, y 0 ), per (x 0, y 0 ) R 2 e per qualunque direzione λ, (f) determinare il piano tangente al grafico nel punto (, 2, f(, 2)) Esercizio 6. Siano f : R 2 R e g : R R derivabili. Derivare le seguenti funzioni composte rispetto alla variabile t: ) f(t, t 3 ), 2) f(log t, sin t), 3) f(g(t), t 2 ), 4) f( t, g 2 (t)), 5) f(cos(g(t)), arctan t), 6) f(g(2t), g 2 (t)), 7) f( + g( + 3t), Esercizio 7. Sia f(x, y) = x 2 cos(xy) sin(y 2 ) y. g( t) ), 8) f(t + g(t), log 2 t). Determinare il piano tangente al grafico di f in (0, 0, f(0, 0)) e il polinomio di Taylor del second ordine di f in (0, 0), Esercizio 8. Siano f : R 3 R 2, f(x, y, z) = (x 2 z, y 2 xz), e g : R 2 R 4, g(x, y) = (x 2, x sin(y),, y). Dire se sono differenziabili e, se sì, determinare le matrici Jacobiane di f in (x, y, z), di g in (x, y) e di g f in (x, y, z). E possibile calcolare la matrice Jacobiana di f g? Esercizio. [Sol.: Dominio: R 2. Suggerimenti e/o soluzioni Linee di livello: L c = se c < 0, L 0 = {(x, y) : y = x}, L c = {(x, y) : y = x + c 3/2 } {(x, y) : y = x c 3/2 } se c > 0. f è chiaramente continua in (0, 0) ma non è derivabile in (0, 0), infatti non esiste la derivata parziale rispetto a x, non esistendo il seguente ite f(h, 0) f(0, 0) h 0 h h 2/3 = h 0 h Non essendo derivabile in (0, 0), la f non è neppure differenziabile. = h 0 h /3. In (, 2) la f è di classe C. Ciò implica che f è differenziabile, derivabile, continua. Si ha che f(, 2) = ( 2 3, 2 3 ). Il piano tangente al grafico di f nel punto (, 2, f(, 2)) è z = 2 3 (x )+ 2 3 (y 2).] Esercizio 2. [Sol.: f è continua e derivabile e f(0, 0) = (0, 0) (v.file precedente di esercizi su continuità e derivabilità).

3 Differenziabilità: non è differenziabile, infatti f(h, k) [f(0, 0) + f x (0, 0)h + f y (0, 0)k] = h 2 + k 2 Scegliendo k = h ottengo: h 5 h 6 h 5 ( h ) h 0 2 5/2 h 5 = h 0 2 5/2 h 5 = 2 e tale ite non è 0; anzi neppure esiste.] Esercizio 3. [Sol.: Dominio: R 2. La funzione è positiva in e vale 0 in {(x, y) R 2 : y = x}. {(x, y) R 2 : y > x} h k 4 h 6 (h 2 +k 2 ) 2 h 2 + k 2 = 5/2 h 0 ( ) h 5 h h k 4 h 6 (h 2 + k 2 ) 5/2. E continua e derivabile e f(0, 0) = (, ) (v.file precedente di esercizi su continuità e derivabilità). Differenziabilità: non è differenziabile, infatti f(h, k) [f(0, 0) + f x (0, 0)h + f y (0, 0)k] = h 2 + k 2 (k h) 3 h 2 +k 2 +h 2 k 2 + h k h 2 + k 2 Tale ite non è 0, anzi non esiste, come si può verificare restringendosi alla retta k = 2h.] Esercizio 4. [Sol.: f è un polinomio, dunque è differenziabile e vale la formula f λ (x, y) = f(x, y), λ. Siccome f(x, y) = (y(x 2 ), 3 x3 x + 2 3y), ne segue che, posto λ = (α, β), f λ (x, y) = (y(x2 ), 3 x3 x + 2 y), (α, β) =...] 3 Esercizio 5. [Sol.: (a) Fissato c R, le curve di livello L c = {(x, y) R 2 : f(x, y) = c} = {(x, y) R 2 : y = 2 + c x 2 }. (b) f(x, y) = 0 se e solo se (x, y) è punto dell asse y o della retta y = 2. f(x, y) > 0 se e solo se (x, y) è punto del semipiano y > 2 ma non sta sull asse y. f(x, y) < 0 se e solo se (x, y) è punto del semipiano y < 2 ma non sta sull asse y.

4 (c) Il gradiente di f è f(x, y) = (2x(y 2), x 2 ) che si annulla per x = 0. I punti critici sono tutti e soli i punti dell asse y. Poiché f(0, y) = 0, si deduce dallo studio svolto in (b) che sono punti di minimo relativi i punti sull asse y tali che y > 2 (che sono circondati da punti in cui f(x, y) 0); sono punti di massimo relativi i punti sull assse y tali che y < 2 (che sono circondati da punti in cui f(x, y) 0). Il punto (0, 2) è di sella. (d) f è un polinomio e quindi è differenziabile, per cui f è continua, derivabile ed esistono tutte le derivate parziali. (e) Dalla differenziabilità di f segue che, posto λ = (α, β). f λ (x 0, y 0 ) = f(x 0, y 0 ), λ = (2x 0 (y 0 2), x 2 0), (α, β) = 2αx 0 (y 0 2) + βx 2 0. (f) z = f(, 2) + f x (, 2)(x ) + f y (, 2)(y + 2) = 4 8(x ) + (y + 2) =... ] Esercizio 6. [Sol.: ) f x (t, t 3 ) + f y (t, t 3 )3t 2, 2) f x (log t, sin t) t + f y(log t, sin t) cos t, 3) f x (g(t), t 2 )g (t) + f y (g(t), t 2 )( 2t), 4) f x ( ( ) t, g 2 (t)) 2 + f t y ( t, g 2 (t))2g(t)g (t), 5) f x (cos(g(t)), arctan t) ( sin(g(t))g (t)) + f y (cos(g(t)), arctan t) +t 2, 6) f x (g(2t), g 2 (t))g (2t)2 + f y (g(2t), g 2 (t))2g(t)g (t), 7) f x ( + g( + 3t), g( t) )g ( + 3t)3 + f y ( + g( + 3t), g( t) ) g 2 ( t) g ( t) 2 t, 8) f x (t + g(t), log 2 t)( + g (t)) + f y (t + g(t), log 2 t) t log e 2.] Esercizio 7. [Sol.: f(x, y) = (2x cos(xy) x 2 y sin(xy), x 3 sin(xy) 2y cos(y 2 ) ) per cui f(0, 0) = (0, ). Essendo f(0, 0) = 0 si ha che il piano tangente a f in (0, 0) è z = y. Calcoliamo la matrice Hessiana di f: D 2 f(x, y) = 2 cos(xy) 4xy sin(xy) x2 y 2 cos(xy) 3x 2 sin(xy) x 3 y cos(xy). 3x 2 sin(xy) x 3 y cos(xy) x 4 cos(xy) 2 cos(y 2 ) + 4y 2 sin(y 2 ) Pertanto Ne segue che P 2 f(0, 0) = y + x 2 y 2 ] D 2 f(0, 0) =

5 Esercizio 8. [Sol.: f = (f, f 2 ), dove f i : R 3 R, i =, 2, con f (x, y, z) = x 2 z, f 2 (x, y, z) = y 2 xz. differenziabile, perché le sue componenti f e f 2 lo sono (sono funzioni polinomiali). Vale che Df(x, y, z) =. z 2y x Analogamente g = (g, g 2, g 3, g 4 ), dove g i : R 2 R, i =, 2, 3, 4, con g (x, y) = x 2, g 2 (x, y) = x sin y, g 3 (x, y) =, g 4 (x, y) = y. g è differenziabile, perché le sue componenti g i lo sono (sono funzioni polinomiali e funzione seno). Si ha 2x 0 sin y x cos y Dg(x, y) =. 0 La funzione g f è ben definita e D(g f)(x, y, z) = Dg(f(x, y, z))df(x, y, z), da cui 2f (x, y, z) 0 sin(f 2 (x, y, z)) f (x, y, z) cos(f 2 (x, y, z)) D(g f)(x, y, z) =. z 2y x 0 Cioè: 2x 2 z 0 sin(y 2 xz) x 2 z cos(y 2 xz) D(g f)(x, y, z) = =... z 2y x 0 Non è possibile calcolare la matrice Jacobiana di f g, dato che non è ben definita la composizione f g, essendo g(x, y) R 4 mentre il dominio di f è R 3. f è