Progetto dei sistemi di controllo

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1 Dispense del corso di Progetto dei sistemi di controllo Corso di Laurea triennale in Ingegneria dell Automazione Università di Siena, Facoltà di Ingegneria Parte I Gianni Bianchini Alberto Tesi Marco Casini c Tutti i diritti riservati. Sono liberamente consentite la consultazione, la copia e la redistribuzione con qualsiasi mezzo purché non a scopo di lucro ed a condizione che questa nota sia preservata.

2 PROGETTO DEI SISTEMI DI CONTROLLO 1. Introduzione. 2. Modellistica. 3. Studio del comportamento ingresso-uscita dei sistemi. 4. Analisi dei sistemi in retroazione. 5. Il problema del controllo. 6. Metodi classici di sintesi dei controllori.

3 TESTI DI RIFERIMENTO 1. S.K. Gupta: Fondamenti di Automatica, ed. italiana di M. Innocenti, Apogeo, Milano, P. Bolzern, R. Scattolini, N. Schiavoni: Fondamenti di Controlli Automatici, McGraw-Hill Italia, Milano, A. Isidori: Sistemi di Controllo: seconda edizione, Vol. I, Siderea, Roma, G. Marro: Controlli Automatici: quarta edizione, Zanichelli, Bologna, 1992.

4 ALTRI TESTI 1. J.J. D Azzo & C.H. Houpis: Linear Control System Analysis and Design: Conventional and Modern, McGraw-hill, New York, R. Calimani & A. Lepschy: Feedback. Guida ai cicli a retroazione: dal controllo automatico al controllo biologico, Garzanti, Di Stefano, Stubberud & Williams: Regolazione Automatica, Collana Schaum, Etas Libri, Milano, R.C. Dorf: Modern Control Systems: sixth edition, Addison-Wesley, U.S.A., G.F. Franklin, J.D. Powell & A. Emani-Naeini: Feedback Control of Dynamic Systems, Addison-Wesley, U.S.A., G.F. Franklin, J.D. Powell & M.L. Workmann Digital Control of Dynamic Systems: second edition, Addison-Wesley, U.S.A., A. Lepschy & U. Viaro: Guida allo studio dei Controlli Automatici, Patron, Bologna, K. Ogata: System Dynamics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, U.S.A., A. Ruberti & A. Isidori: Teoria della Stabilità: appunti dalle lezioni, Siderea, Roma, E. Fornasini & G. Marchesini, Appunti di Teoria dei Sistemi, Edizioni Libreria Progetto, Padova.

5 INTRODUZIONE Significato del termine Controlli Automatici: da contra rotulus (oggetto per la verifica) a control (imporre un comportamento desiderato). Elementi fondamentali del problema di controllo. Sistema, processo o impianto sotto controllo. Modello matematico: sistemi dinamici. Variabili indipendenti o di ingresso: variabili di controllo e variabili incerte. Variabili dipendenti o di uscita: variabili controllate e variabili misurate. Variabili di riferimento.

6 FORMULAZIONE DEL PROBLEMA DEL CONTROLLO d y o u M y Problema del controllo: Determinare, ad ogni istante, il valore da attribuire alle variabili di controllo u in modo tale che l andamento delle variabili controllate y risulti sufficientemente prossimo a quello desiderato y o, qualunque sia, fra quelli ragionevolmente prevedibili, il valore o l andamento delle variabili indipendenti incerte d. Esempi. Controllo della temperatura di un forno. Controllo del livello di un serbatoio. Azionamento di un antenna per telecomunicazione. Controllo dell assetto di un aeromobile.

7 CONTROLLORE d m d r y o C u M y Schema di controllo ad anello aperto d m d r y o C u M y Schema di controllo ad anello chiuso (con retroazione)

8 LA RETROAZIONE Definizione (AIEE, 1951) Un sistema di controllo a retroazione è un sistema che tende a mantenere una prescritta relazione tra una variabile ed un altra per mezzo della comparazione di opportune funzioni di tali variabili e impiegando la differenza per realizzare il controllo. Moltissimi sistemi sono rappresentabili con schemi di funzionamento ad anello chiuso Fa il dentista di te stesso!!! Sono propriamente detti sistemi di controllo a retroazione quelli in cui sono presenti e fisicamente distinti un elemento sensore ed uno di confronto.

9 SCHEMA DI CONTROLLO d m d r y o C + A u P y T C + A: controllore + attuatore. P: Processo sotto controllo. T : Trasduttore. y o : Riferimenti. y: Variabili controllate (anche non misurate). u: Variabili di controllo. d m : Disturbi misurabili d: Disturbi non misurabili

10 CENNI STORICI Antichità Drebbel, Incubatrice per uova, 1620 circa; Watt, Regolatore per macchine a vapore, 1787; Maxwell, Analisi della stabilità del regolatore di Watt, 1868; Routh, Analisi della stabilità per sistemi lineari, 1877; Lyapunov, Analisi della stabilità per sistemi nonlineari, 1890; Black, Amplificatore operazionale retroazionato, 1927; Nyquist, Criterio di stabilità per sistemi retroazionati, 1932; Bode, Metodi basati sulla risposta in frequenza, 1938; Wiener, Progetto di filtri ottimi, 1942; Hurewicz, Sistemi a dati campionati, 1947; Nichols, Carta di Nichols, 1947; Evans, Luogo delle radici, 1948; Pontryagin, Principio del massimo, 1956; Bellman, Programmazione Dinamica, 1957; Kalman, Controllo e filtraggio ottimo, 1960; Dal 1960 ad oggi Teoria Moderna.

11 OROLOGIO DI KTESIBIOS (III sec. A.C) Scopo: mantenere l altezza nel vaso di alimentazione ad un valore di riferimento

12 REGOLAZIONE A GALLEGGIANTE (I sec. D.C) Sistema automatico per la mescita del vino (Erone)

13 REGOLATORE DI PORTATA (CINA, XII sec.) Bere troppo in fretta fa male

14 INCUBATRICE PER UOVA, DREBBEL, 1620 ca. Scopo: mantenere costante la temperatura della camera Valvola Asta Gas Galleggiante Mercurio e alcool Bruciatore

15 REGOLATORE PER MACCHINE A VAPORE, WATT, 1787 Scopo: mantenere costante la velocità di rotazione dell albero

16 ATTENUAZIONE DEI DISTURBI IN TELEFONIA, BLACK, 1927 Schema 1: senza retroazione Schema 2: con retroazione

17 SISTEMA REALE MODELLO MATEMATICO Definizione di modello matematico. Accuratezza di un modello matematico: precisione semplicità. Modelli ottenuti dalle leggi della fisica, chimica, etc.... Modelli ottenuti attraverso dati sperimentali. Modelli per i controlli automatici.

18 CLASSIFICAZIONE MODELLI Modelli dinamici e non dinamici (statici). Modelli a parametri distribuiti ed a parametri concentrati. Modelli deterministici e stocastici. Modelli a tempo-continuo, a tempo-discreto, ed a dati campionati. Modelli lineari e non lineari. Modelli stazionari (tempo-invarianti) e non stazionari (tempo-varianti). Modelli causali e non causali. Modelli scalari (SISO) e multivariabili (MIMO).

19 MODELLI DI SISTEMI ELETTRICI Elementi costitutivi dei circuiti a costanti concentrate Resistenza, Induttore, Condensatore Legge della conservazione della carica Equazioni di equilibrio ai nodi Il campo elettrostatico è conservativo Equazioni di equilibrio alle maglie Variabili di stato Tensioni sui condensatori e correnti negli induttori Relazione com l energia del sistema Calcolo della funzione di trasferimento mediante risoluzione del circuito col metodo della trasformata di Laplace (vedi corso di Elettrotecnica!)

20 MODELLI DI SISTEMI MECCANICI PSfrag replacements Accoppiamenti cinematici Ruote dentate c 1 θ 1 z 1 τ = z 1 z 2 z 2 θ 2 c 2 θ 2 = τ θ 1 C 2 = τ 1 C 1 Sfrag replacements Meccanismo di rinvio y y 2 f 2 τ = r 2 r 1 y 1 y f 1 y 2 = τ y 1 f 2 = τ 1 f 1 Sfrag replacements Accoppiamento ruota - vite senza fine C θ y = r θ Sfrag replacements r f f = r 1 C y Puleggia y C r θ y y 2 = y 1 = r θ y 1 y 2 f 1 f 2 f 2 f 1 = r 1 C

21 MODELLI DI SISTEMI MECCANICI Leggi della dinamica newtoniana PSfrag replacements F = mẍ C = J ω Corpo rigido PSfrag replacements f m C ω y J f = m ÿ C = J ω = J θ Smorzatore (attrito viscoso) PSfrag replacements f f C θ 1 θ 2 C y y 1 y 2 f = β(ẏ 1 ẏ 2 ) C = β(ω 1 ω 2 ) = β( θ 1 θ 2 ) Molla con elasticità lineare f f y y 1 y 2 C θ 1 θ 2 C f = k (y 1 y 2 ) C = k (θ 1 θ 2 )

22 MODELLI DI SISTEMI MECCANICI Variabili di stato PSfrag replacements - Posizione delle molle e velocità delle masse - Relazione con l energia totale del sistema Esempio. k 1 f m 1 m 2 k2 y 1 y 2 β y Massa m 1 : f k 1 (y 1 y 2 ) β(ẏ 1 ẏ 2 ) = m 1 ÿ 1 Massa m 2 : k 1 (y 1 y 2 ) + β(ẏ 1 ẏ 2 ) k 2 y 2 = m 2 ÿ 2 Funzione di trasferimento tra f e y 2 PSfrag replacements G(s) = y 2(s) F (s) = β s + k 1 m 1 m 2 s 4 + β(m 1 + m 2 )s 3 + [k 1 (m 1 + m 2 ) + k 2 m 1 ]s 2 + β k 2 s + k 1 k 2 Analogo elettrico f 1 1 β 1 2 f u 1 m 1 u 2 m 2 k 1 1 k 1 2

23 ANALOGIA SISTEMI MECCANICI-SISTEMI ELETTRICI Costruzione del circuito meccanico Equivalenza degli elementi costitutivi ELEMENTO MECCANICO Corpo rigido Equilibrio di forze (coppie) al corpo rigido Forze e coppie Potenze, tempi, energie ELEMENTO ELETTRICO Nodo di rete Equilibrio di correnti al nodo Correnti Potenze, tempi, energie Circuito elettrico equivalente al sistema meccanico Conservazione topologia. Le velocità sono analoghe a potenziali. Le masse sono analoghe a condensatori con armatura a terra (C = M). Le molle sono analoghe ad induttanze (L = 1/K). Gli smorzatori sono analoghi a resistenze (R = 1/B). Le forze applicate sono analoghe a generatori di corrente (I = f) Gli accoppiamenti cinematici sono analoghi a trasformatori.

24 UN CLASSICO: IL PENDOLO INVERSO Y L mg 6 (X, Y ) θ O s X Dinamica del moto ml θ(t) = mg sin θ(t) m s(t) cos θ(t) Modello del pendolo inverso (u(t) := s(t); y(t) := θ(t)) ÿ(t) = g L sin y(t) 1 u(t) cos y(t) (1) L y(t 0 ) = y 0 (2) ẏ(t 0 ) = ẏ 0 (3)

25 SISTEMI ELETTROMECCANICI Variazione di flusso dell induzione magnetica i A M v B f h B N x x Φ = B h x Forza elettromotrice indotta v = dφ dt = B h dx dt Legge di conservazione dell energia v i = f dx dt f = B h i ag replacements Equazioni di funzionamento per macchine lineari (senza perdite) v = B h dx dt f = B h i Equazioni di funzionamento per macchine rotanti (senza perdite) ω C v a = K Φ ω, C = K Φ i a i e i a v e v a

26 MOTORE A CORRENTE CONTINUA Schema a controllo d armatura. Flusso Φ costante coppia proporzionale alla corrente d armatura i a (t) C m (t) = KΦi a (t) = K T i a (t) Equazione elettrica del circuito d armatura e a (t) R m i a (t) L m d dt i m(t) e m (t) = 0 Forza contro-elettromotrice indotta e m (t) = KΦ d dt θ(t) = K d b dt θ(t) (Idealmente K b = K T ) Equazione meccanica (con attrito viscoso + coppia resistente) J d2 dt 2θ(t) + B d dt θ(t) = C m(t) + C r (t)

27 MOTORE A CORRENTE CONTINUA Funzioni di trasferimento Θ(s) = 1 K T E a (s) s (Js + B)(L m s + R m ) + K b K T lacements + 1 s L m s + R m (Js + B)(L m s + R m ) + K b K T C r (s) Approssimazione L m trascurabile: funzioni di trasferimento G(s) = Θ(s) E a (s) = ( s 1 + KT K b K T +R m B ) = JR m K b K T +R m B s G Cr (s) = Θ(s) C r (s) = R m K T G(s) Servomeccanismo di posizione in corrente continua C r (t) K M s(1 + τ m s) R m K T θ 0 (t) _ C(s) E a (t) G(s) θ(t) Problema di controllo: progettare C(s) in modo che l andamento di θ(t) insegua θ 0 (t) minimizzando l effetto della coppia di disturbo (incognita!) C r (t).

28 MOTORE A CORRENTE CONTINUA Schema a controllo di campo. Corrente d armatura i a costante, flusso proporzionale alla corrente i e (t) C m (t) = KΦ(t)i a = K t i e (t) Equilibrio elettrico del circuito di campo Equazione meccanica Funzione di trasferimento G(s) = Θ(s) E f (s) = e f (t) R e i e (t) L e d dt i e(t) = 0 J d2 dt 2θ(t) + B d dt θ(t) = C m(t) + C r (t) Kt R e B s(1 + J B s)(1 + L e R e s) = K m s(1 + τ M s)(1 + τ e s)

29 z 4 z 5 MODELLI DI SISTEMI IDRAULICI Liquidi incomprimibili, privi di viscosità interna e attrito con le pareti dei condotti ed in moto stazionario: legge di Bernoulli p + ρ g h ρ v2 = costante p: pressione, ρ: densità, v: velocità del liquido PSfrag replacements Carico totale idraulico y = p ρ g + h + v2 2 g = costante Viscosità: perdita di carico idraulico in funzione della portata q = A v (A: sezione della condotta). τ 1 τ 2 τ 3 τ 4 τ 5 q z 1 z 2 z3 q Perdita di carico in un tratto di condotta PSfrag replacements y i = y i+1 y i = f i (q) Linearizzazione: y i = R i q + Y i, R: resistenza idraulica del tratto di condotta [ ] s m 2 y i linearizzazione 1 y i linearizzazione 2 q q Y i

30 placements MODELLI DI SISTEMI IDRAULICI Moto vario: portata non costante nel tempo: q = q(t) Modello di un tratto di una condotta A i m i p i v i p i+1 A i : sezione della condotta x i x i : lunghezza tratto condotta m i = ρ A i x i : massa liquido v i = q/a i : velocità Legge della dinamica per il fluido nel tratto (quota altimetrica costante) m i v i = A i (p i p i+1 ) p i p i+1 = ρ x i A i q y i = p i p i 1 ρ g L i : inerzia idraulica del tratto di condotta = x i g A i }{{} [ L i ] s 2 m 2 q Serbatoio PSfrag replacements z A q 1 q 2 Conservazione della massa: q 1 q 2 = A ż Eq. di Bernoulli al pelo libero: p costante, v 0 ż = ẏ q 1 q 2 = A ẏ A: capacita idraulica [ m 2]

31 MODELLI DI SISTEMI IDRAULICI Esempio di circuito idraulico Pressione atmosferica come pressione di riferimento Primo serbatoio q i q 1 = A 1 ẏ 1 Primo tratto di condotta y 1 y 2 = R 1 q 1 Secondo serbatoio q 1 q 2 = A 2 ẏ 2 Secondo tratto di condotta (uscita fluido a pressione atmosferica) y 2 0 = R 2 q 2

32 MODELLI DI SISTEMI IDRAULICI Equivalente elettrico Equivalenza generale tra circuiti idraulici ed elettrici ELEMENTO IDRAULICO Portata Carico idraulico Capacità idraulica Resistenza idraulica Inerzia idraulica ELEMENTO ELETTRICO Corrente Tensione Capacità Resistenza elettrica Induttanza

33 PSfrag replacements Valvola ad apertura variabile MODELLI DI SISTEMI IDRAULICI τ 2 τ 1 z 1 z2 q ϑ q y = y 2 y 1 Y 0 + R q λϑ Y 0 : costante di linearizzazione R : resistenza idraulica media ϑ : angolo di apertura λ : coefficiente di comando

34 PSfrag replacements SERVOMOTORE OLEODINAMICO p in out in out x q 1 q 2 A f p 1 p 2 x p Equazioni delle valvole di ingresso e di uscita (linearizzate) y in y 1 Y + R in q 1 λ in x y 2 y out Y + R out q 2 λ out x q 1 = q 2 = q Bernoulli: il fluido nelle due camere ha stessa quota e velocità p 1 p 2 = ρg(y 1 y 2 ) Uscita fluido a pressione atmosferica (presa come pressione di riferimento) y out = 0 Pressione sul pistone p = p 1 p 2 k 1 x k 2 q

35 SERVOMOTORE OLEODINAMICO Dinamica del pistone PSfrag replacements mẍ p = A p f βẋ p m: massa pistone, β: coefficiente di attrito viscoso Portata q = A ẋ p Schema a blocchi PSfrag replacements x k 1 f + p A + 1 β + sm ẋ p 1 s x p k 2 u q A x G(s) + 1 s x p f G d (s) G(s) = k 1 A β c + m s, G d (s) = 1 β c + m s, β c = β + k 2 A 2

36 UN ALTRO CLASSICO: MODELLO DI UN SERBATOIO Attuatore idraulico riferimento q A i Valvola d Condotta h A i q i S Serbatoio galleggiante A u q u Modello del serbatoio e della condotta. Principio di conservazione della massa q i q u = S dh dt Bernoulli (velocità pelo trascurabile, pressione atmosferica) ρgh = 1 2 ρ q2 u A 2 u

37 MODELLO DI UN SERBATOIO Modello del serbatoio. d dt h(t) = A u 2g 1 h(t) + S S q i(t) Modello della condotta. q i (t) = q(t T ) Modello condotta+serbatoio (u(t) := q(t); y(t) := h(t)) d dt y(t) = A u 2g 1 y(t) + u(t T ) S S (4) y(t 0 ) = y 0 (5) (6)

38 MODELLO DI UN SERBATOIO q i Valvola d Condotta h A i S Serbatoio A u q u Schema a blocchi modello non lineare. q i (t) ritardo S 1 D 1 da iˆq 1 h(t) A u S 1 2g( ) Schema a blocchi modello linearizzato ( h e q i sono le variazioni). q i (t) ritardo S 1 D 1 da iˆq 1 h(t) A 2 us 1 gˆq 1

39 MODELLI DI SISTEMI TERMICI I fenomeni termici (es. conduzione del calore) sono in genere rappresentati da equazioni alle derivate parziali. Ipotesi di temperatura costante spazialmente costanti concentrate Corpi di piccole dimensioni e fluidi perfettamente mescolati PSfrag replacements Capacità termica PSfrag replacements Q = C T C = C s M C Q C PSfrag replacements Q: calore scambiato, T : variazione temperatura, C s : calore specifico. C Q Conservazione dell energia (trasformazione isocora) q = dq dt = C dt dt = du dt q q: potenza termica, U: energia interna La temperatura T è una variabile di stato T, C Modello di conduzione a costanti concentrate (resistenza termica) q = 1 R (T 0 T ) T, C T R Q q q T 0

40 ESEMPIO: TERMOMETRO A MERCURIO g replacements T, C R T 0 q R = resistenza termica del bulbo C = capacità termica del bulbo T = temperatura del bulbo T 0 = temperatura del liquido q = 1 R (T 0 T ) (conduzione) q = C dt dt (conservazione energia) R C dt dt = T 0 T T = 1 RC T + 1 RC T 0 s T (s) = 1 RC T (s) + 1 RC T 0(s) G(s) = T (s) T 0 (s) = s C R Analogo elettrico PSfrag replacements R T 0 C T

41 ESEMPIO: SCALDABAGNO PSfrag replacements T a q a Conservazione dell energia q i + q = q t + q a + q 0 T i, q i T q t q C R T o, q o q t = C dt dt q 0 = n C s T q i = n C s T i q a = T T a R q t = calore assorbito dall acqua R = resistenza termica dell acqua n = flusso d acqua in transito C s = calore specifico dell acqua eplacements C T + n c s (T T i ) + T T a R T = 1 C ( n C s + 1 ) R T = q T + n C s C T i } {{ } ingresso + 1 R C T a } {{ } ingresso R + 1 C q }{{} ingresso 1 q C n C s T a T i