01 INSIEMI E NUMERI NATURALI

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1 01 INSIEMI E NUMERI NATURALI Obiettivi didattici - Saper rappresentare un insieme. - Conoscere il simbolismo insiemistico e saperlo usare correttamente. - Saper operare sugli insiemi. - Conoscere le principali proprietà dell insieme dei numeri naturali. - Conoscere le proprietà delle operazioni tra numeri naturali. - Saper calcolare correttamente il valore di un espressione aritmetica. - Saper scomporre un numero in fattori primi. - Saper calcolare M.C.D. e M.C.M. di due o più numeri. - Conoscere le principali proprietà dei sistemi di numerazione usati. Paragrafi 1. IL LINGUAGGIO DELL INSIEMISTICA 2. I NUMERI NATURALI 3. SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI 4. SISTEMI DI NUMERAZIONE 1 IL LINGUAGGIO DELL INSIEMISTICA 1.1 GLI INSIEMI Il termine insieme trasferisce in matematica l idea che, nel linguaggio comune, è resa da termini come gruppo, comitiva, cerchia, aggregato, collezione ed altri. Ad esempio, un gruppo di automobili è un insieme di automobili, una comitiva di turisti è un insieme di turisti, una cerchia di amici è un insieme di amici, una collezione di francobolli è un insieme di francobolli. Ognuno di questi insiemi è costituito da elementi (automobili, turisti, amici, francobolli) della stessa natura. In generale, un insieme può essere costituito da elementi di natura diversa. Ad esempio una classe della vostra scuola è un insieme di alunni, mentre la vostra scuola può essere pensata come un insieme di classi. Nel seguito, per comprendere meglio da quali elementi sono formati, considereremo insiemi i cui elementi sono tutti appartenenti ad uno stesso insieme più ampio, che chiameremo insieme ambiente o insieme universo. Nel seguito indicheremo gli insiemi con lettere maiuscole (A, B, ) ed i generici elementi con lettere minuscole (a, b, ); indicheremo di solito con U l insieme universo.

2 Dato un insieme A, formato da elementi di un fissato insieme universo U, ed un generico elemento x di U, si deve verificare sempre una ed una sola delle due seguenti eventualità: 1. x è un elemento di A; in tal caso diciamo anche che x appartiene ad A e scriviamo x A; 2. x non è un elemento di A ; in tal caso diciamo anche che x non appartiene ad A e scriviamo x A Come facciamo ad indicare quali sono gli elementi che appartengono ad un certo insieme A? Il modo più semplice è quello di elencarli tra parentesi graffe, separandoli con virgole (rappresentazione tabulare), o scriverli all interno di una linea chiusa (rappresentazione grafica o diagramma di Eulero-Venn). Tali modi di procedere, però, risultano poco idonei qualora il numero degli elementi sia elevato o addirittura infinito. In questi casi è preferibile usare un altra rappresentazione, detta rappresentazione caratteristica, che si effettua indicando tra parentesi graffe una o più proprietà che contraddistinguono tutti e soli gli elementi dell insieme. Tali proprietà non devono essere soggettive; bisogna pertanto evitare espressioni del tipo l insieme dei 10 quadri più belli di Picasso, che è soggettiva, perché le mie valutazioni di bello potrebbero essere diverse da quelle di un altra persona. ESEMPIO 1. L insieme A delle cifre può essere rappresentato in forma tabulare A = { 0,1, 2,3, 4,5,6,7,8,9} in forma caratteristica A { x: x è una cifra} oppure con un diagramma di Venn. =, A L insieme dei numeri naturali N, che già conoscete, ma sul quale torneremo successivamente, si N = x: x è un numero naturale può rappresentare in forma caratteristica { } o anche in forma tabulare, indicando con dei puntini la successione infinita dei numeri naturali N = { 0,1, 2,3,... }. Possiamo anche pensare che un insieme sia privo di elementi; tale insieme si chiama insieme vuoto e si indica con il simbolo o anche con {}. Pertanto, per indicare che l insieme A è privo di elementi, scriviamo A =. 1.2 I SOTTOINSIEMI In questo paragrafo introduciamo i concetti di sottoinsieme e di insieme delle parti. 2

3 DEFINIZIONI (sottoinsiemi, insiemi uguali, insieme delle parti) Siano A e B due insiemi formati da elementi di un insieme universo U. Diciamo che A è un sottoinsieme di B se e solo se ogni elemento di A è anche elemento di B; in simboli scriviamo A B, che leggiamo anche A è incluso in B o A è contenuto in B o A è parte di B. Se A B ed esiste un elemento di B che non appartiene ad A, diciamo che A è strettamente incluso in B e scriviamo A B. Diciamo che due insiemi A e B sono uguali e scriviamo A = B se tutti gli elementi di A sono anche elementi di B e viceversa, ossia se si verifica contemporaneamente che A B e B A. Diciamo che due insiemi A e B sono diversi e scriviamo A B se esiste almeno un elemento di uno dei due insiemi che non appartiene all altro. Si è soliti distinguere i sottoinsiemi di un insieme B in due tipi: propri ed impropri. I sottoinsiemi impropri di B sono sempre solo due: l insieme vuoto e l insieme B stesso. Tutti gli altri eventuali sottoinsiemi sono propri; questi sono quindi caratterizzati dal fatto che ad essi appartiene almeno un elemento di B, ma non tutti. Si chiama insieme delle parti di B e si indica con P(B) l insieme che ha per elementi tutti i PB ( ) = A: A B =,, B sottoinsiemi di B ; in simboli { } { } OSSERVAZIONE È bene notare che la scrittura A B equivale alle scritture A B e A B. L inclusione gode di un importante proprietà, che per ora enunciamo soltanto. Siano A, B e C tre sottoinsiemi inclusi nello stesso insieme universo U, se A B e B C, allora A C. Questa proprietà è chiamata proprietà transitiva. Essa vale anche per l inclusione stretta. Si può dimostrare che, se l insieme A è formato da n elementi, il numero dei suoi sottoinsiemi è 2 n ESEMPI 1. Sia A = { 1, 2, 3, 4 } e B = { x : x è una cifra } ; poiché 1, 2, 3 e 4 sono cifre, ossia sono elementi di B, risulta A B; A è un sottoinsieme proprio di B, poiché non è vuoto e non gli appartengono tutti gli elementi di B. B Possiamo illustrare graficamente la situazione 2. Sia A { aei,, } = e B = { x : x è una vocale di aperti } ; ovviamente A = B. L insieme delle parti di A è A

4 { { } { } { } { } { } { } } PA ( ) =, a, b, c, ab,, ac,, bc,, A che ha 8 elementi, che coincide con 3 2, essendo 3 il numero di elementi di A. 3. L insieme delle parti dell insieme vuoto è P( ) = { }. L insieme delle parti dell insieme A = { x } è PA ( ) {,{ x} } A fianco il diagramma di P(A). =. { x} P( A) 4. Siano A { bcz,, } =, B = { x : x è una consonante di imbarcazione } e C = { x : x è una lettera di imbarcazione }. Essendo B = { m, b, r, c, z, n} e C = { i, m, b, a, r, c, z, o, n, e }, si ha che A B e B C e A C come ci aspettavamo in virtù della proprietà transitiva. La figura illustra la situazione. B C b c z r i A d f g m a h l n e p q s o t u v U 1.3 UNIONE ED INTERSEZIONE Vediamo ora come, partendo da due insiemi, possiamo costruirne degli altri. DEFINIZIONI (unione, intersezione, insiemi disgiunti) Siano A e B due insiemi inclusi nello stesso insieme universo U. Si chiama unione di A con B e si indica con A B l insieme degli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi; quindi un generico elemento x di U appartiene all unione di A con B se x appartiene ad A oppure x appartiene a B. In simboli { : o } A B= x U x A x B Si chiama intersezione tra A e B e si indica con A B l insieme degli elementi che appartengono ad entrambi gli insiemi; quindi un generico elemento x di U appartiene all intersezione di A con B se x appartiene sia ad A che a B. In simboli { : e } A B= x U x A x B Se A e B non hanno elementi comuni, ossia la loro intersezione è vuota, si dicono disgiunti ; in tal caso scriviamo A B=. Per indicare invece che A e B hanno almeno un elemento in comune scriviamo A B 4

5 ESEMPI 1. Sia A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 6, 8, 10, 12} ; l unione è A B= { 1, 2,3, 4,5, 6,8,10,12} e l intersezione è A B= { 2, 4} A B A B 12 La figura a fianco illustra la situazione. 2. Sia A = {x : x è una vocale di remo } e B = { x : x è una consonante di auto } ; abbiamo {,, } A B= eot, A B= quindi A e B sono insiemi disgiunti. 3. Sia A = {1, 3, 5} e B = {1, 2, 3, 4, 5}; l unione è B t e o A a b c d f g h i l m n p q r s u v z U { 1, 2,3, 4,5} A B= = B e l intersezione è A B= A B A U OSSERVAZIONI La figura dell esempio 1 evidenzia graficamente che A B A e A B B A A B e B A B. L esempio 3 è un caso particolare di una proprietà generale : se A B, allora A B= B e A B= A. In particolare, indicando con U l insieme universo, abbiamo A U = U e A U = A A = A e A =. 5

6 Inoltre potete verificare che, presi due insiemi qualunque A e B A B= B A e A B= B A. Se consideriamo e come simboli che indicano operazioni tra insiemi, le ultime due uguaglianze si interpretano dicendo che l unione e l intersezione godono della proprietà commutativa. Esse godono anche della proprietà associativa e di quella distributiva dell una rispetto all altra. Provate a verificare la proprietà associativa dell unione ( A B) C = A ( B C) e dell intersezione ( A B) C = A ( B C) utilizzando i diagrammi di Venn. Provate a verificare la proprietà distributiva dell unione rispetto all intersezione A B C = A B A C e dell intersezione rispetto all unione ( ) ( ) ( ) A ( B C) = ( A B) ( A C) utilizzando i diagrammi di Venn. 1.4 DIFFERENZA E COMPLEMENTARE Introduciamo ora dei nuovi insiemi. DEFINIZIONI (differenza, complementare, differenza simmetrica) Siano A e B due insiemi inclusi nello stesso insieme universo U. Si chiama differenza tra A e B e si indica con A B l insieme contenente gli elementi di A che non appartengono a B; quindi un generico elemento x di U appartiene alla differenza A B se x appartiene ad A e x non appartiene a B. In simboli { : e } A B= x U x A x B. Si chiama complementare di A e si indica con A la differenza U A tra l insieme universo e l insieme A; quindi un generico elemento x di U appartiene al complementare di A se x non appartiene ad A. In simboli { : } A= x U x A. Si chiama differenza simmetrica tra A e B e si indica con A B l insieme degli elementi che appartengono ad uno solo dei due insiemi ; quindi un generico elemento x di U appartiene alla differenza A B se x appartiene ad A ma non appartiene a B oppure se x appartiene a B ma non appartiene ad A. In simboli { : e oppure e } A B= x U x A x B x A x B. ESEMPI 1. Sia A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}; la differenza tra A e B è A B { 1,3,5} la differenza tra B ed A è B A= { 6,8,10,12} pertanto le due differenze sono diverse. =, mentre 6

7 A A-B 2 4 B-A B 2. Sia A = {x : x è una vocale di albero } e B = {x : x è una consonante di ramo }; la differenza A B= lbem,,, B A= lbem,,,. simmetrica tra A e B è { } ; la differenza simmetrica tra B ed A è { } 3. Sia A = {1, 3, 5, 8} e U = {x : x è una cifra} ; il complementare di A è A = { 0, 2, 4,6,7,9} A A U OSSERVAZIONI L esempio 1 evidenzia che la differenza, considerata come operazione tra insiemi, non è commutativa. La differenza simmetrica invece è commutativa. Infine la figura del terzo esempio mette in luce che gli insiemi A e il suo complementare A sono disgiunti. Si può verificare che il complementare del complementare di un insieme A è A stesso; in simboli A= A e che A B= ( A B) ( B A). Inoltre valgono le seguenti uguaglianze, note come leggi di De Morgan: A B= A B A B= A B 1.5 PRODOTTO CARTESIANO Consideriamo i due insiemi A = {x, y} e B = {y, x}, dove x ed y sono due generici elementi dell insieme universo U. È facile convincersi che A = B, poiché hanno gli stessi elementi, anche se sono scritti in ordine diverso. Se però, parlando di due oggetti x ed y, intendiamo dare una sorta di precedenza ad x rispetto ad y, dobbiamo introdurre un nuovo concetto, quello di coppia ordinata, che indichiamo con (x,y). 7

8 Osserviamo che, dovendo tenere conto dell ordine, la coppia ordinata (x,y) è diversa da quella (y,x), in cui si dà precedenza ad y rispetto ad x. Per quanto detto, due coppie ordinate (x,y) ed (x,y ) sono uguali se e solo se x = x ed y = y. Il primo elemento x della coppia si chiama prima coordinata, il secondo elemento y seconda coordinata. Siamo ora in grado di dare la seguente DEFINIZIONE (prodotto cartesiano) Siano A e B due insiemi inclusi nell insieme universo U. Si chiama prodotto cartesiano tra A e B, si indica con A B e si legge A cartesiano B, l insieme di tutte le coppie ordinate il cui primo elemento appartiene ad A ed il secondo a B; in simboli: {(, ) : e } A B= xy x A y B Quando l insieme A è uguale a B, invece di scrivere A A, si può scrivere due. 2 A, che si legge A ESEMPI 1. Siano A = {1, 3} e B = {3, 1} due insiemi; ovviamente A = B ; invece ( 1, 3) ( 3,1). 2. Siano A = {a, b}, B = {1, 2, 3}; il prodotto cartesiano tra A e B è l insieme {(,1),(, 2),(,3),(,1),(, 2),(,3)} A B= a a a b b b, mentre il prodotto cartesiano tra B ed A è l insieme {( 1, a), ( 1, b), ( 2, a), ( 2, b), ( 3, a), ( 3, b) } B A =. OSSERVAZIONI L esempio 2 evidenzia che A B B A, ossia il prodotto cartesiano, considerato come operazione tra insiemi, non è commutativo, in quanto, ad esempio, la coppia (a,1) è diversa dalla coppia (1,a). Per quanto riguarda la proprietà associativa, a rigore essa non vale; si può invece dimostrare che il prodotto cartesiano è distributivo sia rispetto all unione che all intersezione di insiemi. Il prodotto cartesiano tra due insiemi si può rappresentare graficamente, oltre che con un diagramma di Eulero-Venn, anche con una tabella a doppia entrata o con un diagramma cartesiano, come illustrato nel successivo ESEMPIO Rappresentare con un diagramma cartesiano e con una tabella a doppia entrata il prodotto cartesiano tra A = {x, y} e B = {a, b, c}. 8

9 B c A B a b c b x a y x y A 2 I NUMERI NATURALI I naturali sono i primi numeri che avete incontrato ed imparato a conoscere sin dalle scuole elementari, spesso partendo dagli insiemi: insiemi formati da nessun elemento (insieme vuoto), da un elemento (un albero, un quaderno, una penna, ecc.), da due elementi (due penne, due matite, due libri, ecc.) e così via. Il numero 0, il numero 1, il numero 2, ecc., vengono quindi introdotti per indicare che certi insiemi hanno una qualità comune, chiamata appunto numero degli elementi. La figura seguente illustra il processo di astrazione che, partendo da alcuni esempi concreti di insiemi, porta al concetto di numero 0, di numero 1, di numero Si può procedere oltre, aumentando di volta in volta di uno il numero degli elementi degli insiemi considerati, ottenendo così qualunque numero naturale. Ad esempio, partendo da 3 otteniamo 4, da 4 otteniamo 5, e così via. Diciamo pertanto che 3 precede 4 o che 3 è il precedente di 4 o anche che4 è il successivo di 3. I numeri naturali risultano pertanto ordinati in una successione infinita. 2.1 L INSIEME DEI NUMERI NATURALI L insieme dei numeri naturali si indica con N e si può rappresentare in forma tabulare N = {0, 1, 2, 3,... } o anche N = {0, 1, 2, 3,..., n,... }, oppure in forma caratteristica N = {n : n è un numero naturale }, oppure con un diagramma 9

10 N n... Poiché i numeri naturali costituiscono una successione ordinata ed infinita, possiamo rappresentare graficamente N anche facendo corrispondere ogni numero naturale ad un punto di una semiretta orientata verso destra. Cosicché associamo il numero 0 all origine della semiretta, il numero 1 ad un punto a destra dell origine e che dista da essa un unità di misura (ad esempio un quadratino del vostro quaderno a quadretti) e così via, associando ogni numero successivo ad un punto spostato a destra di una unità rispetto al precedente, come illustrato nella seguente figura Questa rappresentazione grafica di N suggerisce le seguenti DEFINIZIONI (minore, maggiore) Siano a e b due numeri naturali; diciamo che a è minore di b e scriviamo a < b se, nella rappresentazione grafica, il numero a si trova a sinistra di b; in tal caso si può dire che b è maggiore di a e scrivere b > a. Diciamo inoltre che a è minore o uguale di b e scriviamo a b se a < b oppure a = b; in tal caso possiamo dire che b è maggiore o uguale di a e scrivere b a Osserviamo che i concetti di minore e di maggiore, essendo stati ricavati dalla rappresentazione grafica, si basano su quelli di numero successivo e di numero precedente, che hanno consentito di associare un numero naturale ad un determinato punto della semiretta, partendo dall origine. DEFINIZIONI (ordinamento crescente, decrescente) Due o più numeri naturali a, b,..., n si dicono ordinati in senso crescente se risulta a< b<... < n si dicono ordinati in senso decrescente se risulta n<... < b< a Nel caso di tre numeri a, b, c, se accade che a < b < c, si dice che b è compreso tra a e c. 10

11 2.2 ADDIZIONE E SOTTRAZIONE Nell insieme N dei numeri naturali sono definite alcune operazioni, ossia dei procedimenti di calcolo che, partendo da due numeri, detti genericamente operandi, consentono di ottenere un numero detto risultato dell operazione; di volta in volta operandi e risultato assumeranno nomi particolari. La prima operazione che si introduce in N è l addizione. Alla sua definizione si può arrivare per via insiemistica o mediante il passaggio al successivo. Se vogliamo addizionare due numeri naturali a e b, prendiamo due insiemi disgiunti S e T, il primo con a elementi ed il secondo con b elementi. La somma a + b è il numero di elementi dell insieme S T. La seguente figura illustra il procedimento insiemistico per eseguire l addizione di 3 con = 5 Se ricorriamo al concetto di successivo, al numero a + b arriviamo partendo da a ed eseguendo b volte il passaggio al successivo (eventualmente nessuna volta se b = 0). La sottrazione è l operazione inversa dell addizione, nel senso che eseguire la sottrazione a b del numero b dal numero a equivale a chiedersi quale numero devo addizionare a b per ottenere a?. Ovviamente, per avere una risposta, dev essere a b, poiché partendo da b ed eseguendo il passaggio al successivo un certo numero di volte (o nessuna volta se a= b), si ottiene un numero maggiore di b (o uguale a b). Al numero a b possiamo arrivare partendo da a ed eseguendo b volte il passaggio al precedente (eventualmente nessuna volta se b = 0). ESEMPIO Partendo da 7 ed eseguendo 4 passaggi al precedente, si arriva a 7-4 = 3. Anche al concetto di sottrazione si può arrivare per via insiemistica, considerando la differenza insiemistica tra un insieme S con a elementi ed un suo sottoinsieme T con b elementi, come di seguito illustrato. 11

12 5-3 = 2 Possiamo quindi dare le seguenti DEFINIZIONI (addizione, somma, sottrazione, differenza) Dati due numeri naturali a e b, indichiamo con il simbolo + l operazione di addizione, che dà come risultato il numero a + b, chiamato somma, ottenuto con uno dei due procedimenti visti prima ; gli operandi a e b sono detti addendi. Dati due numeri naturali a e b, con a b, indichiamo con il simbolo l operazione di sottrazione, che dà come risultato il numero a b, chiamato differenza, ottenuto con uno dei due procedimenti illustrati precedentemente; il numero a si chiama minuendo, b si chiama sottraendo. OSSERVAZIONI Se consideriamo l addizione tra un numero a ed il numero 1, per calcolare la somma a + 1 dobbiamo effettuare un passaggio da a al successivo, quindi a + 1 è il successivo di a. Analogamente la differenza a 1 tra a ed 1 si ottiene partendo da a ed effettuando un passaggio al precedente, quindi a 1 è il precedente di a. L interpretazione insiemistica dell addizione evidenzia in modo immediato che tale operazione è commutativa ed associativa. Possiamo dire che, presi tre numeri naturali a, b, c, risulta : a + b = b + a (proprietà commutativa) ; a + (b + c) = (a + b) + c (proprietà associativa). Dalla definizione data risulta inoltre che, qualunque sia il numero a : a + 0 = a. Si può infine dimostrare che, se a, b, c, d sono quattro numeri naturali tali che a < c e b d, allora si ha : a + b < c + d (proprietà di monotonia); in particolare, per b = d si ha : a + b < c + b ; inoltre 12

13 a + b = c + b se e solo se a = c (proprietà di cancellazione). Per quanto riguarda la sottrazione, non ha senso considerare l inversione degli operandi, tranne che nel caso in cui a = b, né chiedersi se, in generale, valga la proprietà associativa, poiché l operazione potrebbe essere priva di significato nell insieme dei naturali. Ad esempio (18 16) 5 non ha significato, poiché = 2 e non si può eseguire la sottrazione 2 5; invece 18 (16 5) = = 7 ha significato. Sussiste invece una proprietà analoga a quella di monotonia dell addizione. Infatti, se a, b, c, d sono quattro numeri naturali tali che a < c, b d, a b e c d, allora si ha: a b< c d (proprietà di monotonia); in particolare, per b = d si ha : a b< c b inoltre a b= c b se e solo se a = c (proprietà di cancellazione). Per la sottrazione vale anche la proprietà invariantiva, ossia, dati tre numeri a, b, c, con a b, risulta che: a b= ( a+ c) ( b+ c) e, se b c, risulta anche a b= ( a c) ( b c). Ricordiamo infine che nelle espressioni numeriche le operazioni di addizione e sottrazione si eseguono nell ordine in cui sono scritte e che, in presenza di parentesi, si eseguono prima le operazioni nelle tonde, poi quelle nelle quadre, quindi quelle nelle graffe ed infine quelle fuori parentesi. 2.3 MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE Introduciamo ora la moltiplicazione. Possiamo arrivare a definirla partendo dall addizione o dal prodotto cartesiano, come precisato nelle seguenti DEFINIZIONI (moltiplicazione, prodotto, multiplo) Dati due numeri naturali a e b, indichiamo con o con l operazione di moltiplicazione, che dà un risultato chiamato prodotto, indicato con a b o con ab o anche con ab, dato dal numero di elementi del prodotto cartesiano S T tra l insieme S, di a elementi, e l insieme T, di b elementi; gli operandi a e b sono chiamati fattori. 13

14 Se b > 1, il prodotto ab si può pensare anche come il risultato dell addizione di a con se stesso b volte; in simboli : ab = a + a a. b volte Se c= ab, allora c si chiamo multiplo di a secondo b; ovviamente c è anche multiplo di b secondo a. Come l addizione, anche la moltiplicazione gode delle proprietà commutativa e associativa. Infatti, presi tre numeri naturali a, b, c, risulta: ab = ba (proprietà commutativa) ; a ( bc ) = ( ab ) c (proprietà associativa). Dalla definizione di prodotto per via insiemistica, risulta inoltre evidente che, per ogni a naturale, si ha : a 1 = a e a 0= 0. Inoltre, se a, b, c, d sono quattro numeri naturali tali che a ab < cd (proprietà di monotonia) ; se poi b = d > 0, allora ab < cb, ab = cb se e solo se a = c (proprietà di cancellazione). Di particolare importanza è la legge di annullamento del prodotto: < c e 0 < b d, allora un prodotto è nullo se e solo se è nullo almeno uno dei fattori della moltiplicazione; in simboli, indicando con a e b due numeri naturali: ab = 0 se e solo se a = 0 oppure b = 0 oppure a = b = 0. La moltiplicazione e l addizione sono legate dalla proprietà distributiva, per la quale, dati tre numeri naturali a, b, c, risulta : a ( b+ c) = ab + ac Vale la convenzione di eseguire nelle espressioni, in mancanza di parentesi, prima moltiplicazioni e divisioni nell ordine in cui si trovano, poi addizioni e sottrazioni, sempre nell ordine. 14

15 Potete anche verificare geometricamente la proprietà distributiva a a b c b c osservando che l area dei rettangoli disegnati nelle due figure è la stessa. Prestate attenzione al fatto che non tutte le calcolatrici tascabili rispettano questa convenzione. Se ad esempio la vostra calcolatrice tascabile, eseguendo il calcolo vi dà, premendo il pulsante del dopo quello del 3, il risultato parziale 5 e poi il risultato finale 20, vuol dire che non ha rispettato tale convenzione, poiché ha eseguito prima l addizione e poi la moltiplicazione, perciò non ha, come talvolta si dice, un sistema operativo algebrico. Se invece la vostra calcolatrice, eseguendo il calcolo indicato, non vi dà risultati parziali, ma solo il risultato finale 14, allora vuol dire che ha rispettato la convenzione citata, perché ha un sistema operativo algebrico. In tal caso la calcolatrice viene solitamente chiamata scientifica. Passiamo ora alla divisione. Tale operazione nasce dall esigenza di determinare un fattore, chiamiamolo q, conoscendo il prodotto a e l altro fattore b. Se a è multiplo di b ed è b 0, possiamo determinare q (per esempio con le tabelline) in modo unico, ossia esiste un unico numero q tale che a = bq. La condizione b 0 è indispensabile, perché se si considera a = b = 0, ogni numero naturale q verifica l uguaglianza 0 = 0q, quindi vi sono infinite risposte alla domanda: Qual è il numero che moltiplicato per b dà come prodotto a?. Se invece si considera a 0 e b = 0, non c è alcun numero q che verifica l uguaglianza a = 0q, quindi non vi sono risposte alla domanda precedente. Se a non è multiplo di b ed è b 0, indichiamo con q il più grande numero il cui prodotto per b è bq < a < b q + 1. minore di a; si dimostra che esso è unico, ossia esiste un unico numero q tale che ( ) Queste considerazioni consentono di dare le seguenti DEFINIZIONI (divisione, quoziente, resto, divisibilità) Dati due numeri naturali a e b, con b 0, indichiamo con : l operazione di divisione tra a, detto dividendo, e b, detto divisore; chiamiamo quoziente q il più grande numero naturale che, moltiplicato per b, dà un prodotto minore o uguale ad a, ossia tale che bq a. Questa disuguaglianza consente di considerare la differenza r = a bq, che è chiamata resto della divisione; si può dimostrare che r < b. 15

16 Se il resto r è nullo, la divisione a : b si dice esatta ed il quoziente q si chiama quoto o quoziente esatto; solo in tal caso si può scrivere a : b = q e dire che a è divisibile per b o che b è divisore o sottomultiplo di a o che b divide a. In caso contrario si dice che la divisione è approssimata e che a non è divisibile per b. È bene tenere presente che l affermazione a non è divisibile per b non significa quindi che la divisione a : b non si può eseguire, ma che essa non è esatta. Anche la divisione si può definire a partire da operazioni insiemistiche, ma rinunciamo per brevità a presentare questa ulteriore definizione. OSSERVAZIONI In conclusione il quoziente q della divisione a : b è il più grande numero tale che a = bq + r r < b con b 0. Se r = 0, non solo b è divisore di a, ma lo è anche il quoziente q, poiché a = bq si può scrivere anche come a = qb, ossia b si può pensare come il quoziente di a : q. L uguaglianza a = bq evidenzia pure che se b è divisore di a, allora a è multiplo di b. Ovviamente il numero 1 è divisore di tutti i numeri, poiché a : 1 = a, essendo a= a 1. Inoltre ogni numero è divisore di se stesso, essendo a : a = 1, poiché a= a 1. Alla scrittura a : 0 non si dà alcun significato. Inoltre l uguaglianza r = a bq suggerisce il fatto che il quoziente q si può definire come il massimo numero di volte che b si può sottrarre da a; tale definizione evidenzia il fatto che dev essere r < b, perché, se cosi non fosse, b si potrebbe sottrarre almeno un altra volta. ESEMPI 1. Calcoliamo mediante sottrazioni successive il quoziente della divisione 47 : 6. Abbiamo 47-6 = 41 ; 41-6 = 35 ; 35-5 = 29 ; 29-6 = 23 ; 23-6 = 17 ; 17-6 = 11 ; 11-6 = 5. A questo punto non possiamo più sottrarre 6, quindi il resto è 5 ed il quoziente è 7, cioè il numero di volte che abbiamo sottratto 6 da 47. Notare che + verificata l uguaglianza 47 = Verificare che 15 È divisibile per 5 ma non per 6. Risulta che 15 : 5 dà quoziente 3 e resto 0, mentre 15 : 6 dà quoziente 2 e resto 3. Vediamo ora le principali proprietà della divisione. Innanzitutto osserviamo che essa non gode nè della proprietà commutativa, nè di quella associativa, 16

17 come potete facilmente verificare. Vale invece la proprietà distributiva rispetto all addizione ed alla sottrazione, ma solo a destra e solo se tutte le divisioni da eseguire sono esatte ; in formule : ( ) ( ) a+ b : c= a: c+ b: c a b : c= a: c b: c con a, b, c numeri tali che le operazioni indicate abbiano significato. La divisione gode anche della proprietà invariantiva. Essa afferma che moltiplicando sia il dividendo che il divisore per uno stesso numero non nullo o dividendoli per un divisore comune, il quoziente non cambia, ossia, dati quattro numeri a, b, c, d, con b e c diversi da zero e d divisore sia di a che di b, risulta che le divisioni a : b ( ac) :( bc) ( a : d ) :( b : d ) hanno lo stesso quoziente; osserviamo, però, che non hanno lo stesso resto; infatti, detti nell ordine r, r ed r i resti delle tre divisioni, risulta r = rc e r = r : d, da cui r = r : c e r = r d. 2.4 ELEVAMENTO A POTENZA Abbiamo già osservato che la moltiplicazione si può ricondurre all addizione, poiché il prodotto ab si può pensare come il risultato di un addizione in cui a compare come addendo b volte; analogamente si può introdurre una nuova operazione a partire dalla moltiplicazione: l elevamento a potenza. DEFINIZIONI (potenza, base, esponente) Dati due numeri naturali a e n, con n 2, chiamiamo elevamento alla n-esima potenza l operazione n che dà un risultato detto potenza n-esima di a, indicato con a e dato dal prodotto di una moltiplicazione in cui a compare n volte come fattore; in simboli : n a = a a... a n volte Il numero a si dice base, il numero n si dice esponente. Poniamo inoltre, per definizione, qualunque sia a 1 a = a e, per ogni a 0, 0 a = 1. 17

18 Alla scrittura 0 0 non si attribuisce alcun significato. Vediamo ora le proprietà dell elevamento a potenza. Osserviamo innanzitutto che è immediato verificare con qualche esempio come non valgano le proprietà commutativa ed associativa, ossia in generale: a b a b b e ( a ) c ( b c ) a con a, b, c numeri tali che le operazioni indicate abbiano significato. Vale invece la proprietà distributiva a sinistra, sia rispetto alla moltiplicazione che alla divisione esatta; in simboli : ( ) n n n ab = a b e ( ) n n n a: b = a : b con a, b, c numeri tali che le operazioni indicate abbiano significato e la divisione a: b. Sussistono, inoltre, le seguenti proprietà : m n m n a a = a + (prodotto di potenze con la stessa base), m n m n a : a = a (quoziente di potenze con la stessa base), m ( a ) n mn = a (potenza di potenza), con a, m, n numeri tali che le operazioni indicate abbiano significato. OSSERVAZIONI Le regole per il prodotto ed il quoziente di potenze con la stessa base consentono di giustificare le seguenti definizioni : 1 a = a qualunque sia a e a. 0 a = 1 per ogni 0 Infatti, per giustificare la prima definizione, osserviamo che = = = m m 1 a a a a a a a a a + m volte m+ 1 volte. m 1 m 1 D altra parte, per la regola del prodotto di potenze con la stessa base, abbiamo a a = a +, quindi m 1 m 1 deve aversi a a = a a e, per la proprietà di cancellazione della moltiplicazione, a = a. Per giustificare la seconda, partiamo dalla regola del quoziente di potenze con la stessa base, con m m m m 0 m= n, ossia a : a = a = a. m m D altra parte il quoziente di un numero non nullo con se stesso è 1, ossia a : a = 1, quindi deve 0 aversi a = 1. 18

19 Ricordiamo infine che, per convenzione, nelle espressioni si eseguono, in mancanza di parentesi, prima gli elevamenti a potenza, poi moltiplicazioni e divisioni nell ordine in cui si trovano, poi addizioni e sottrazioni, sempre nell ordine. In presenza di parentesi, come già sapete, si eseguono prima le operazioni racchiuse da tonde, poi quelle tra quadre, poi quelle tra graffe ed infine quelle fuori da parentesi. 3 I NUMERI PRIMI Passiamo ora ad esaminare un altro aspetto dell aritmetica, introducendo delle nuove DEFINIZIONI (numero pari, dispari, primo, composto) Un numero naturale a si dice pari se è divisibile per 2, altrimenti si dice dispari. Un numero naturale a si dice primo se è maggiore di 1 ed è divisibile solo per 1 e per se stesso, si dice composto se è maggiore di 1 e non è primo. Per i numeri primi sussiste il seguente TEOREMA Esistono infiniti numeri primi. ESEMPI 1. Il numero 0 è pari, poiché la divisione 0 : 2 dà quoziente 0 e resto 0, quindi è esatta. Ovviamente sono numeri pari anche 2 stesso, 4, 6, e così via. 2. Il numero 1 è dispari, poiché la divisione 1 : 2 dà quoziente 0 e resto 1, quindi non è esatta. Ovviamente sono numeri dispari anche 3, 5, e così via. 3. Il numero 2 è primo, poiché è divisibile solo per 1 e per se stesso. Ovviamente sono numeri primi anche 3, 5, 7, 11 e così via. 4. I numeri 0 ed 1 non sono né primi né composti, perché non sono maggiori di 1; sono invece numeri composti 4, 6, 8, 9,..., perché sono maggiori di 1 ed ammettono almeno un divisore diverso da 1 e da se stessi (4 è divisibile per 2, il 9 per 3, e così via). OSSERVAZIONE Dalla definizione data si desume che ogni numero naturale a > 1 o è primo o è composto. Nel primo caso a si può pensare in un solo modo come prodotto, cioè a 1; se invece è composto, vuol dire che ammette almeno un divisore b > 1, che dà un quoziente esatto q, pertanto a si può pensare come prodotto di b per q, ossia a= bq. A loro volta b e q o sono primi o sono composti; in questo secondo caso si possono scrivere come prodotto di due numeri maggiori di uno, che a loro volta o sono primi o sono composti; ripetendo tale procedimento fino a quando tutti i fattori sono numeri primi, si ottiene una scrittura del tipo a = q q q k n1 n2 1 2 n k, 19

20 dove q1, q2,, qk sono tutti numeri primi diversi tra loro, maggiori di 1 e minori di a. La scrittura precedente si chiama scomposizione in fattori primi di a. Sussiste il seguente TEOREMA (unicità della scomposizione in fattori primi) Ogni numero composto a ammette un unica scomposizione in fattori primi del tipo n1 n2 n a= q k 1 q2 q k, con q1, q2,, qk numeri primi maggiori di 1 e diversi tra loro. Omettiamo per brevità la dimostrazione di questo che è noto come teorema fondamentale dell aritmetica. 3.1 SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI Abbiamo visto che ogni numero composto ammette una ed una sola scomposizione in fattori primi, ottenibile mediante divisioni successive; è evidente che, se i divisori utilizzati sono numeri primi, la scomposizione cercata si ottiene più facilmente. Vediamo ora come individuare tali divisori primi mediante i noti criteri di divisibilità. TEOREMA (criteri di divisibilità) o Un numero naturale è divisibile per 2 se e solo se la cifra delle unità è pari, ossia appartiene a { 0, 2, 4,6,8 }. o Un numero naturale è divisibile per 3 se e solo se lo è la somma delle sue cifre. o Un numero naturale è divisibile per 5 se e solo se la cifra delle unità è 0 oppure 5. o Un numero naturale è divisibile per 7 se e solo se lo è la differenza tra il numero ottenuto eliminando la cifra delle unità ed il doppio della stessa (o viceversa, se il primo numero è minore del doppio del numero delle unità). o Un numero naturale è divisibile per 11 se e solo se lo è la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari (unità, centinaia, ecc.) e la somma delle cifre di posto pari (decine, migliaia, ecc.), o viceversa se la prima somma è minore della seconda. o Per stabilire se un numero è divisibile per 13, consideriamo due casi : il numero ha più di 3 cifre; in tal caso lo suddividiamo, a partire da destra, in gruppi di 3 cifre (ovviamente l ultimo gruppo a sinistra può avere 1 o 2 cifre), sommiamo il primo numero a destra così ottenuto con il terzo, il quinto, ecc., sommiamo il secondo con il quarto, ecc., quindi calcoliamo la differenza tra la maggiore e la minore di tali somme (se tale differenza 20

21 ha più di 3 cifre, possiamo ripetere il procedimento descritto); se la differenza così ottenuta è divisibile per 13, lo è anche il numero dato; il numero ha 3 cifre al massimo; in questo caso sommiamo il quadruplo della cifra delle centinaia con il triplo di quella delle decine e a tale somma sottraiamo la cifra delle unità (o viceversa, se tale cifra è maggiore della somma); se la differenza così ottenuta è divisibile per 13, lo è anche il numero dato. ESEMPI 1. Sono divisibili per 2 i numeri 10, 26, 34, 88, 102; non lo sono 15, 21, 57, 93, È divisibile per 3 il numero 54, poiché = 9, non lo è 34, perché = 7. Inoltre è divisibile per 3, perché la somma delle cifre di è 42, che è divisibile per 3, perché la somma delle sue cifre è Sono divisibili per 5 i numeri 75, 40, 1235, 790; non lo sono 51, 32, 73, 94, 16, 27, 58, È divisibile per 7 il numero 84, poiché la differenza tra 8 (numero ottenuto da 84 eliminando 4) e 8 (il doppio di 4) è 0, che è divisibile per 7; è divisibile per 7 il numero 4473, poiché = = 441, il quale è divisibile per 7, essendo a sua volta 44 2 = 42 ; lo è anche 119, poiché = = 7. Non lo è 94, poiché 9 8= = 5 5= 0, che é divisibile per 11; lo è anche 5. È divisibile per 11 il numero 154, poiché ( ) , poiché ( ) ( ) = 20 9 = 11; non lo è 87, poiché 8 7= Il numero 585 è divisibile per 13, perché ( ) 5 = ( ) 5 = 44 5 = 39, che è divisibile per 13; lo è anche , poiché 640 ( ) = = MASSIMO COMUNE DIVISORE E MINIMO COMUNE MULTIPLO Consideriamo gli insiemi A, dei divisori di 12, e B, dei divisori di 18. Potete verificare che A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} e B = {1, 2, 3, 6, 9, 18}, quindi l insieme dei divisori comuni è { 1, 2, 3, 6} A B=. Se invece consideriamo gli insiemi C, dei divisori di 15, e B, dei divisori di 16, si ha C = {1, 3, 5, 15} e D = {1, 2, 4, 8, 16}, quindi l insieme dei divisori comuni è { 1} A B=. In generale, l insieme dei divisori comuni a due numeri a, b è sempre non vuoto, poiché gli appartiene almeno il numero 1. Ovviamente tale insieme ha un numero finito di elementi, poiché ognuno di essi deve essere minore sia di a che di b, purché a e b siano diversi da zero, in quanto 0 è divisibile per qualunque numero, quindi ha infiniti divisori. Pertanto, se a e b sono non nulli, 21

22 l insieme dei divisori comuni è finito, esiste perciò un divisore comune più grande di tutti gli altri ; possiamo dare pertanto le seguenti DEFINIZIONI (massimo comune divisore, numeri primi tra loro) Dati due numeri naturali non nulli a, b si chiama Massimo Comune Divisore o, più brevemente, M.C.D. di a e b il maggiore dei loro divisori comuni, che indichiamo con mcd( a, b ); se risulta che mcd( a, b ) = 1, si dice che a e b sono primi tra loro. OSSERVAZIONE Fate attenzione che se due numeri sono primi tra loro, non è detto che siano numeri primi; ad esempio 15 e 16 sono primi tra loro, ma nessuno dei due è numero primo. Invece, due numeri che siano primi, sono anche primi fra loro, perché ammettono solo il numero 1 come divisore comune. Consideriamo ora gli insiemi A, dei multipli di 12 maggiori di 0, e B, dei multipli di 18 maggiori di 0. Risulta che A = {12, 24, 36, 48, 60, 72,... } e B = {18, 36, 54, 72,... }, quindi l insieme dei multipli comuni maggiori di 0 è { 36, 72, } A B=. In generale, l insieme dei multipli maggiori di 0 comuni a due numeri a, b è sempre non vuoto, poiché gli appartiene almeno il prodotto ab, purché a e b siano diversi da zero; ovviamente tale insieme ha infiniti elementi. Non è detto però che il prodotto ab sia il più piccolo di essi. Diamo pertanto la seguente DEFINIZIONE (minimo comune multiplo) Dati due numeri naturali non nulli a, b si chiama Minimo Comune Multiplo o, più brevemente, M.C.M. di a e b il minore dei loro multipli comuni maggiori di 0, che indichiamo con mcm( a, b ). ESEMPIO Poiché l insieme dei divisori comuni a 12 e 18 è {1, 2, 3, 6}, si ha mcd(12,18) = 6. L insieme dei loro multipli comuni maggiori di 0 è {36, 72,... }, quindi mcm(12,18)=36. Per individuare M.C.D. ed M.C.M. di due numeri ovviamente non determineremo ogni volta tutti i divisori comuni ed i primi multipli comuni. Possiamo seguire due differenti procedimenti. Il primo è giustificato dal seguente TEOREMA (sul M.C.D. di due numeri) Siano a e b due numeri non nulli, con a > b; detto r il resto della divisione a : b, risulta che mcd(a,b) = mcd(b,r). 22

23 Vediamo ora come utilizzare tale teorema per determinare il M.C.D. di due numeri a e b. Se il resto r della divisione a : b è nullo, allora b è divisore di a, quindi il M.C.D. è b. Se invece r 0, calcoliamo il resto r 1 di b : r; se r 1 = 0, allora r è divisore di b, quindi mcd(b,r) = r e, per il precedente teorema, anche mcd(a,b) = r; se invece r 1 0, si calcola il resto r 2 di r: r 1, e così via, ripetendo il procedimento finché non si ottiene un resto r n = 0 ; il M.C.D. è il divisore dell ultima divisione, quella che ha dato resto nullo. Tale procedimento è noto come algoritmo di Euclide. Dal calcolo di mcd(a,b) possiamo ricavare anche il M.C.M. dei due numeri, poiché risulta: mcm(a,b) = ab : mcd(a,b). ESEMPIO Calcoliamo M.C.D. ed M.C.M. tra 72 e 30. In questo caso a = 72 e b = 30. Partiamo dal calcolo di mcd(72,30). Il resto di 72 : 30 è 12 0, quindi passiamo al calcolo di mcd(30,12). Il resto di 30 : 12 è 6 0, quindi passiamo al calcolo di mcd(12,6). Il resto di 12 : 6 è 0, quindi mcd(12,6) = 6 e, per il teorema precedente: mcd(72,30) = mcd(30,12) = mcd(12,6) = 6. Per quanto riguarda il M.C.M., si ha : mcm(72,30) = : mcd(72,30) = 2160 : 6 = 360. Le definizioni di M.C.D. e M.C.M. si possono estendere al caso di tre o più numeri a, b, c,..., intendendo sempre per M.C.D. dei numeri a, b, c,... il più grande dei loro divisori comuni e per M.C.M. degli stessi il più piccolo dei loro multipli comuni maggiori di zero. OSSERVAZIONE Il calcolo del M.C.D. di due numeri a, b, come pure quello del loro M.C.M., si può considerare un operazione. Poiché le loro definizioni si basano sull intersezione tra insiemi, che è associativa e commutativa, anche le operazioni mcd e mcm sono associative e commutative. ll M.C.D. di tre o più numeri a, b, c,... si può pertanto calcolare sfruttando la proprietà associativa, ossia calcolando prima x = mcd(a,b), poi y = mcd(x,c), e così via ; analogamente si può procedere per il M.C.M. di tre o più numeri. Tuttavia non approfondiamo tale procedimento, poiché è possibile calcolare M.C.D e M.C.M. di due o più numeri in modo più celere, ricorrendo alle scomposizioni in fattori primi, come illustrato nella seguente regola per il calcolo del M.C.D. ed il M.C.M. di due o più numeri o Il M.C.D. di due o più numeri non nulli è uguale al prodotto dei fattori comuni alle loro scomposizioni in fattori primi, presi una sola volta e con il minimo esponente ; se non vi sono fattori comuni, il loro M.C.D. si assume uguale ad 1, in base alla definizione data. 23

24 o Il M.C.M. di due o più numeri non nulli è uguale al prodotto di tutti i fattori delle loro scomposizioni in fattori primi, presi una sola volta e con il massimo esponente. 4 SISTEMI DI NUMERAZIONE Il nostro sistema di numerazione, cioè l insieme delle regole e dei simboli che utilizziamo per scrivere i numeri, È detto posizionale a base 10 o anche decimale. I simboli che usiamo per scrivere i numeri sono le dieci cifre arabe: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Il termine posizionale indica che ogni cifra, all interno di un numero, ha un valore che dipende dalla posizione occupata; la parola decimale indica che tali valori sono riferiti a potenze di 10, come chiarito nel seguente ESEMPIO La scrittura 5784 indica, in forma abbreviata, la quantità di 5 migliaia più 7 centinaia più 8 decine più 4 unità. Ognuno di questi raggruppamenti (unità, decine, centinaia, migliaia, ecc.) può essere espresso sotto forma di potenza di 10 : unità = 10, 1 decina = 10, 1 centinaio = 10, 1 migliaio = 10, e così via Quindi 5784 = , pertanto il valore della cifra 7, che occupa il terzo 2 posto da destra all interno di 5787, è di 7 10 = 700, valore ottenuto moltiplicando 7 per una potenza a base 10 il cui esponente dipende dal posto occupato dal La scrittura o, più brevemente, è detta forma polinomiale del numero Si possono avere sistemi posizionali a base diversa da 10 ; ad esempio in informatica sono usati il sistema binario o a base 2 ed il sistema esadecimale o a base 16. In geometria per indicare l ampiezza di un angolo si usa anche un sistema detto impropriamente sessagesimale, che non è a base 60, poiché in tal caso dovrebbe avere 60 simboli. I numeri che vi compaiono sono scritti in base 10, ma, come sapete, i gradi sono divisi in 60 primi, che a loro volta sono divisi in 60 secondi e questo ne giustifica il nome. ESEMPIO La scrittura '37" (che si legge 238 gradi, 43 primi e 37 secondi) ha il significato di 2 centinaia di gradi, 3 decine di gradi, 8 gradi, 4 decine di primi, 3 primi, 3 decine di secondi e 7 secondi. Analoga la situazione per il sistema di misura pratico del tempo: il giorno è diviso 24 ore, l ora in 60 minuti, il minuto in 60 secondi, ma tutte le quantità sono espresse con numeri del sistema decimale. ESEMPIO La scrittura 23g 15h 38m 41s (che si legge 23 giorni, 15 ore, 38 minuti e 41 secondi) ha il significato di 2 decine di giorni, 8 giorni, 1 decina di ore, 5 ore, 3 decine di minuti, 8 minuti, 4 decine di secondi e 1 secondo. 24