Capitolo 8 Istruzioni

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1 Capitolo 8 Istruzioni L ultima parte del libro presenta un introduzione ai sistemi elettro-magneto-meccanici. Alcune delle basi necessarie per questa parte (potenza in AC) sono state discusse nel cap.7; la parte sui sistemi polifase AC del Cap. 7 può essere introdotta prima del Cap. 9 o insieme con la parte sulle macchine in AC. L enfasi in questo capitolo (e nei prossimi due) è sulla preparazione degli studenti per l uso di sistemi elettro-magnetomeccanici come pratici attuatori per applicazioni industriali. Quindi, maggiore enfasi è posta nel descrivere le caratteristiche di prestazione di attuatori di movimento lineari e di macchine rotanti piuttosto che nel descrivere i dettagli costruttivi. La sezione 8.1 rivede le leggi di base dell elettricità e magnetismo, che dovrebbero essere già familiari agli studenti dai precedenti corsi di fisica. Il box Trasformatore Lineare Variabile Differenziale presenta un esempio legato ai sensori con una discussione del LVDT come trasduttore di posizione. La sezione 8.2 presenta i circuiti magnetici lineari approssimati e la definizione di riluttanza, e introduce strutture magnetiche con traferri e semplici elettro-magneti. Il box Strutture Magnetiche e Circuito Magnetico Equivalente introduce i metodi di analisi usati nella sezione. Un sensore di posizione a riluttanza magnetica è presentato nel Focus apposito e in quello sul calcolo della tensione. Le proprietà non ideali dei materiali magnetici sono presentate nella sezione 8.3, dove isteresi, saturazione e correnti disperse sono affrontate da un punto di vista qualitativo. La sezione 8.4 introduce semplici modelli per trasformatori. La sezione 8.5 è dedicate all analisi di forze e movimento in strutture elettro-magneto-meccaniche caratterizzate da movimento lineare. I Box Analisi dei Trasduttori ElettroMeccanici a ferro mobile e a bobina mobile sintetizzano i metodi di analisi usati in questa sezione. Infine, il box Trasduttore Sismico presenta l analisi dinamica di un trasduttore sismico elettromeccanico. Obiettivi di apprendimento 1. Revisione dei principi di base di elettricità e magnetismo. Sezione 1 2. Uso dei concetti di riluttanza e circuito magnetico equivalenti per calcolare flusso magnetico e correnti in semplici strutture magnetiche. Sezione Comprendere le proprietà di materiali magnetici e loro effetti sui modelli circuitali magnetici. Sezione Usare modelli circuitali magnetici per analizzare i trasformatori. Sezione 4 5. Modellare ed analizzare la generazione di forze in sistemi elettro-magneto-meccanici. Analizzare trasduttori a ferro mobile e a bobina mobile. Sezione 5 8.1

2 Sezione 8.1: Elettricità e Magnetismo Problema 8.1 Come mostrato in fig P8.1. Trovare : a) Densità di flusso nel nucleo. b) Diagrammare le linee di flusso magnetico e indicarne la direzione. c) Indicare i poli Nord e Sud del magnete Nessuna. b) visto dall alto c) vedi sopra Problema 8.2 Come in fig P8.2. se c è una forza risultante sulla singola spira. Se sì, in che direzione? Perché? Nessuna. Sì, la forza risultante sulla singola spira è diretta verso il basso. Se le spire sono pensate come elettromagneti, c è un polo nord che dalla spira più in basso attrae un polo sud dalla spira superiore. Problema 8.3 Un LVDT è connesso ad un carico resistivo RL. Le eq. LVDT 8.2

3 Nessuna. Assumi che entrambi gli avvolgimenti secondary hanno resistenza RS e induttanza LS, se MS è l accoppiamento mutuo. Abbiamo: Quindi la funzione di trasferimento è: Problema 8.4 Eq. del box su LVDT e risultati del problema 8.3. Risposta in frequenza di LVDT e range di frequenze per le quali il dispositivo avrà massima sensitività per un assegnata eccitazione. Nessuna. Dove: Quindi: 8.3

4 Per determinare la massima sensitività della tensione di uscita rispetto all eccitazione potremmo calcolare la derivata di rispetto ad s, imporre e risolvere per s. Imponendo questa procedura fornirà la frequenza di eccitazione per la quale la sensitività dell uscita è massima. Può, comunque, essere più utile calcolare la risposta in frequenza accettabile. numericamente, per visualizzare il range di frequenze per il quale la sensitività è Problema 8.5 a) Energia, co-energia e induttanza incrementale. b) Tensioni sui terminali dell induttore. Nessuna. a) La corrente è: L energia è: La co-energia è: L induttanza incrementale è b) 8.4

5 Per calcolare la tensione, dobbiamo aggiungere il contributo della tensione sulla parte resistiva dell induttore più quella generata dall induttanza: È importante osservare che questa è le tensione terminale dell induttore solo per valori di flusso nell intorno di Problema 8.6 a) Energia, co-energia e induttanza incrementale. b) Tensioni sui terminali dell induttore. Nessuna. a) La corrente è: L energia è: La co-energia è: 8.5

6 L induttanza incrementale è b) Per calcolare la tensione, dobbiamo aggiungere il contributo della tensione sulla parte resistiva dell induttore più quella generata dall induttanza: È importante osservare che questa è le tensione terminale dell induttore solo per valori di flusso nell intorno di Problema 8.7 Diagramma della caratteristica mostrato in Fig P 8.7. a) Energia e induttanza incrementale per. b) Tensioni sui terminali dell induttore quando. Nessuna. a) Il diagramma è mostrato sotto: 8.6

7 Wm è l area alla sinistra della curva come mostrato L induttanza incrementale è: b) Problema 8.8 Struttura della figura Riluttanza della struttura Ciascuna gamba è lunga 0.1 m. Percorso magnetico medio corre attraverso il centro esatto della struttura. Calcolo del percorso medio: usando l assunzione che il percorso magnetico medio corre attraverso il centro esatto della struttura, e poiché la struttura è quadrata, il percorso medio è determinato usando la seguente figura: 8.7

8 Calcolo della riluttanza 8.8

9 Sezione 8.2: Circuiti Magnetici Punto sulla Metodologia: Strutture Magnetiche e Circuiti Magnetici Equivalenti Problema Diretto Dati Struttura geometrica e parametri dell avvolgimento. Calcolare Flusso magnetico nella struttura. 1. Calcolare la fmm. 2. Determinare la lunghezza e la sezione trasversale del percorso magnetico per ciascun ramo continuo o sezione del percorso. 3. Calcolare la riluttanza equivalente di ciascuna gamba. 4. Generare il diagramma del circuito magnetico equivalente, e calcolare la riluttanza totale equivalente. 5. Calcolare il flusso, densità di flusso e intensità del campo magnetico, a seconda delle necessità. Problema Inverso Dati Flusso desiderato o densità di flusso e struttura geometrica. Calcolare La corrente necessaria nell avvolgimento e numero di spire. 1. Calcolare la riluttanza totale equivalente della struttura dal flusso desiderato. 2. Determinare il diagramma del circuito magnetico equivalente. 3. Determinare la fmm richiesta per stabilire il flusso desiderato. 4. Scegliere la corrente nell avvolgimento e il numero di spire necessarie per stabilire la desiderata fmm. Problema 8.9 a) Riluttanza del circuito magnetico b) Forza magnetizzante in unità SI Nessuna 8.9

10 Problema 8.10 Come mostrato in Fig. P8.10 a) Valori di riluttanza e circuito magnetico quando b) Induttanza del dispositivo c) Nuovo valore di induttanza quando un traferro di 0.1 mm è tagliato nella gamba d) Valore limite dell induttanza quando il traferro è aumentato in lunghezza. trascura flussi dispersi ed effetti di bordo. Il circuito è mostrato sotto 8.10

11 d) Man mano che il traferro aumenta, aumenterà e come caso estremo il circuito è fatto di e in serie; quindi Problema 8.11 Flusso e densità di flusso in ciascuna delle gambe del circuito magnetico trascura flussi dispersi e gli effetti di bordo. Assumi trascurabile la riluttanza del nucleo magnetico. Calcola la riluttanza in ciascun traferro Assumi che la riluttanza del materiale possa essere trascurata quando confrontata con la riluttanza dei traferri; il circuito analogo è mostrato in basso 8.11

12 Problema 8.12 Corrente necessaria per stabilire il flusso. nessuna La riluttanza per ciascun materiale è calcolata come segue La totale riluttanza della struttura è somma delle riluttanze di ciascun materiale Dalla tab. 8.1 Ferro di fusione Acciaio di fusione Nota che l acciaio di fusione è meno permeabile del ferro di fusione 8.12

13 Riluttanza totale Problema 8.13 come mostrato in fig Flusso magnetico nessuna Problema 8.14 Il materiale è un foglio di acciaio corrente richiesta per stabilire il flusso confrontare la caduta di fmm sul traferro con quella sul resto del circuito magnetico e discutere i risultati usando il valore di per ciascun materiale. nessuna Analysis: a) Assumi che il materiale sia acciaio di fusione 8.13

14 Problema 8.15 foglio di acciaio Il materiale è un valore di I necessario per stabilire il flusso. nessuna 8.14

15 Problema 8.16 attuatore di fig. P 8.16,, il traferro è fissato. a) la corrente nell avvolgimento b) l energia immagazzinata nei traferri c) l energia immagazzinata nell acciaio. Nessuna. a) Il circuito equivalente è: Dalla tab. 8.1, la permeabilità relativa del foglio di acciaio è

16 b) Problema 8.17 a) corrente necessaria a produrre nella gamba centrale b) corrente necessaria a produrre nella gamba centrale Nessuna. 8.16

17 b) Poiché la corrente è direttamente proporzionale a B, la corrente sarà duplicata. Sezione 8.4: Trasformatori Problema 8.18 a) costruisci il circuito magnetico equivalente e trova la riluttanza associata con ciascuna parte del circuito b) Auto- e mutua-induttanza per la coppia di avvolgimenti. Nessuna. a) Il circuito analogo è indicato sotto: Le reattanze individuali sono: 8.17

18 b) le reattanze possono essere calcolate come Problema 8.19 Carico resistivo da Formula riportato al primario è a) Rapporto spire b) Tensione di ingresso, corrente, potenza ed efficienza quando il trasformatore eroga 12 W ad un carico da a frequenza di perdite nel nucleo trascurabili 8.18

19 Circuito equivalente Problema 8.20 Un trasformatore ha 50 spire sul lato di bassa tensione. a) Numero di spire sul lato di alta tensione 8.19

20 nessuna b) Rapporto spire quando è usato come trasformatore abbassatore c) Rapporto spire quando è usato come trasformatore elevatore a) il primario ha b) per il trasformatore abbassatore c) per il trasformatore elevatore Problema 8.21 Il lato alta-tensione del trasformatore ha 750 spire e quello di bassa 50 spire. Il lato di alta è connesso ad una tensione nominale di 120V. Un carico di 40 A è connesso al lato di bassa. a) Rapporto spire b) Tensione sul secondario c) Resistenza del carico nessuna caduta di tensione sulle impedenze interne del trasformatore Problema 8.22 Trasformatore usato per accoppiare un altoparlante da con una linea audio di. 8.20

21 a) Rapporto spire del trasformatore b) Tensione al primario e al secondario quando viene fornita una potenza audio di 10W all altoparlante l altoparlante è un carico resistivo e il trasformatore ideale. Problema 8.23 Trasformatore abbassatore. I lati alta e bassa tensione hanno 800 e 1000 spire, rispettivamente. Una tensione di 240 V in AC è applicata al lato di alta. L impedenza del lato di bassa è a) Tensione e corrente al secondario b) Corrente al primario c) Impedenza di ingresso al primario dal rapporto di tensione e corrente al primario d) Impedenza di ingresso al primario nessuna 8.21

22 Problema 8.24 Trasformatore elevatore. Tutti gli altri sono quelli del problema Rapporto di trasformazione nessuna Problema 8.25 Trasformatore. Ha una fem indotta di a) Numero di spire del lato alta tensione e del lato di bassa b) Corrente nominale del lato di alta c) Rapporto di trasformazione quando il dispositivo è usato come trasformatore elevatore. è un trasformatore ideale a) 8.22

23 Sezione 8.5: Trasduttori elettromeccanici a) Punto sulla Metodologia: Analisi di trasduttori elettromeccanici a ferro mobile a. Calcolo della corrente necessaria per una data forza 1. Determina un espressioen per la riluttanza della struttura, come funzione dell estensione del traferro R(x). 2. Esprimi il flusso magnetico nella struttura in funzione della fmm (cioè della corrente, I) e della riluttanza R(x): 3. Calcola l espressione per la forza usando le espressioni note per flusso e riluttanza 4. Risolvi l espressione in 3. e ricava la corrente incognita, I. b. Calcolo della forza generata da una certa geometria del trasduttore ed Problema 8.26 Elettromagnete dell esempio 8-9 (fig. 6.38) a) Corrente richiesta per mantenere la barra in posizione b) Corrente per sollevare il magnete se la barra è inizialmente a 0.1m dall elettromagnete a) Il traferro diventa nullo e la riluttanza del ferro non può essere trascurata b) Trascura la riluttanza del ferro a) per calcolare la corrente abiamo bisogno di determinare un espressione per la forza nel traferro. Senza trascurare la riluttanza del ferro, possiamo scrivere l espressioen della riluttanza come segue: Dove L è la totale lunghezza del percorso magnetico nel ferro (escludendo il traferro). Conoscendo la riluttanza possiamo calcolare il flusso magnetico nella struttura in funzione della corrente nel nucleo: Quindi, l intensità della forza nel traferri è data come: 8.23

24 Man mano che x tende a zero, possiamo calcolare la forza come: E la corrente per mantenere tale forza è: Assumendo che la totale lunghezza del percorso magnetico sia e che, possiamo calcolare il valore di corrente b) poiché la barra è inizialmente distante 0.1m dalla struttura, la riluttanza dell aria prevale sulla riluttanza della struttura. La riluttanza si calcola come: Conoscendo la riluttanza possiamo calcolare il flusso magnetico nella struttura in funzione della corrente nel nucleo: Quindi, l intensità della forza nel traferri è: Infine, la corrente richiesta vale: Nota che la corrente ottenuta nella parte a) è molto più piccola di quella richiesta per sollevare la barra dalla distanza iniziale di 0.1m. Problema 8.27 a) energia immagazzinata nel campo magnetico per b) la forza magnetica per nessuna 8.24

25 a) La corrente è: Il segno meno indica che la forza f è in direzione opposta a quella indicata in figura. Problema 8.28 solenoide dell esempio 8.10 (fig. 8.40) Migliore combinazione dell intensità di corrente e diametro del filo per ridurre il volume della bobina del solenoide. Questo volume minimo fornisce la resistenza minima possibile? Come cambia la potenza dissipata sulla bobina al cambiare del filo e della corrente? usa un cavo in rame per il solenoide Per valutare gli effetti del diametro del cavo e dell intensità della corrente su volume, resistenza e potenza dissipata è necessario considerare le espressioni matematiche per ciascuna variabile. Volume: La lunghezza dell avvolgimento è data dalla circonferenza Area dell avvolgimento: Dall es. 8.10, la relazione tra corrente e numero di spire è: 8.25

26 Quindi: Resistenza: La resistenza del cavo è: dove è la resistività del cavo, assunto essere di rame con dalle precedenti: La potenza dissipata è data da: È possibile ottenere una tabella per il diametro e la portata dei cavi legati a volume, resistenza e potenza dissipata 8.26

27 All aumentare del codice, diminuiscono sia il diametro che la portata del cavo, aumenta il numero di spire mentre decresce il volume dell avvolgimento. In ogni caso, aumenta anche la resistenza. Quindi, il volume minimo non sarà quello con resistenza minima. Problema 8.29 solenoide dell esempio 8.10 (fig. 8.40) fmm, f, usando le eq e riluttanza del ferro trascurabile come l attrito. Dall es Calcola l induttanza del circuito magnetico in funzione della riluttanza (equazione 8.30): Calcola l energia magnetica immagazzinata Usiamo l espressione 8.46 per scrivere l espressione della forza magnetica: Si ritrova il risultato dell esempio 8.10 usando la relazione tra flusso magnetico, riluttanza della struttura e forza magnetica. Il calcolo per la fmm è identico all esempio Problema 8.30 Solenoide dell esempio 8.11 (fig 8.40) Corrente e forza magnetica in funzione del tempo usando l eq e 8.30 in derivazione. 8.27

28 La riluttanza del ferro è trascurabile, trascura l attrito. L induttanza del solenoide è approssimativamente costante ed è uguale al valor nella parte media (spostamento dello stantuffo uguale ad a / 2) Analysis: Dall esempio 8.11: Calcola l induttanza del circuito magnetico in funzione della riluttanza (eq. 8.30) Calcola l energia magnetica accumulate: Usa l eq per scrivere l espressione della forza magnetica: Con l ipotesi che l induttanza sia costante con x = a / 2 : Dall esempio 8.11: Si ritrova il risultato dell esempio 8.11 usando la relazione tra flusso magnetico, riluttanza della struttura e forza magnetica. Le curve sono indicate in basso. 8.28

29 Problema 8.31 Solenoide dell esempio 8.11 (fig 8.40) Crea un programma di sumulazione che tiene conto del fatto che l induttanza del solenoide non è costante, m aè funzione della posizione dello stantuffo. Confronta graficamente la risposta al gradino di corrente e forza del sistema con quella ottenuta nell esempio La riluttanza del ferro è trascurabile, trascura l attrito. Trascura lo smorzamento dello stantuffo. Analysis: Dall esempio 8.11: L induttanza è funzione della posizione dello stantuffo 8.29

30 Equazione differenziale della corrente per il circuito mostrato in basso Per trovare l eq. della forza, calcola l energia magnetica accumulate in funzione della corrente Usa l eq per scrivere l espressione della forza magnetica: Si ritrova il risultato dell esempio 8.11 usando la relazione tra flusso magnetico, riluttanza della struttura e forza magnetica. Diagramma a blocchi in Simulink Confronto della risposta al gradino per induttanza costante e sistema ad induttanza variabile: 8.30

31 Nota che la risposta più veloce del sistema con induttanza variabile è dovuta all induttanza inizialmente più piccola. LA più grande induttanza costante risulta in una risposta più lenta. Problema 8.32 Relè dell esempio 8.12 (fig 8.46) Corrente di mantenimento necessaria per tener chiuso il relè. Traferri diventa zero e la riluttanza del ferro non può essere trascurata. Per calcolare la corrente abbiamo bisogno di determinare un espressione per la forza nel traferro. Senza trascurare la riluttanza del ferro, possiamo scrivere l espressione per la riluttanza come segue: Dove L è la lunghezza pel percorso magnetico nel ferro (escludendo il traferro). Conoscendo la riluttanza possiamo calcolare il flusso magnetico nella struttura in funzione della corrente nell avvolgimento: 8.31

32 Quindi, l intensità della forza nel traferro è data da: Man mano che x si avvicina a zero, possiamo calcolare la forza come: E la corrente necessaria per avere tale forza è: La lunghezza totale del percorso magnetico è: La corrente: Problema 8.33 Circuito del relè di fig 8.33 Minima tensione DC per cui il relèrealizza il contatto quando lo switch elettrico è chiuso trascura la riluttanza del ferro. Riluttanza del traferro: Flusso magnetico 8.32

33 Forza magnetica Forza che deve essere superata è la forza della molla Uguagliando le equazione delle due forze e determinando la corrente: La tensione è determinata imponendo la legge di Ohm e x = L: Problema 8.34 Rappresentazione semplificata del sensore di ruvidità della superficie mostrato in Fig P8.34. Determinare un espressione per lo spostamento x in funzione dei vari parametri del circuito magnetico e della fem misurata. Il flusso dove è una costante nota. Contatto senza attrito tra lo stantuffo e la struttura magnetica. Lo stantuffo può muoversi solo verticalmente. 8.33

34 Problema 8.35 Come mostrato in Fig P8.35. il traferro intorno allo stantuffo è uniforme e pari a 1 mm. Il diametro è d = 25 mm. La corrente di eccitazione è 7.5 A. N = 200. Forza che agisce sullo stantuffo quando x = 2mm. nessuna Analsi: L area trasversale A è: Da qui possiamo calcolare la riluttanza variabile del traferro E la forza risultante è: Problema

35 Come mostrato in Fig P8.36. il sistema elettromeccanico a doppia eccitazione si muove orizzontalmente. LA sezione trasversale della sezione è a) La riluttanza del circuito magnetico b) L energia magnetica accumulata nel traferro c) La forza sulla parte mobile in funzione della posizione. Resistenza, perdite magnetiche e attrito trascurabili. Permeabilità del nucleo molto grande. Analsi: a) La riluttanza del circuito magnetico è: b) L energia magnetica accumulata nel traferro c) La forza sulla parte mobile in funzione della posizione. Problema 8.37 Densità di flusso nel percorso dentro l acciaio di fusione è 1.1T. il diametro dello stantuffo è 10 mm. La forza tra le facce dei poli traferro trascurabile tra pareti e stantuffo. Poichè il percorso è in acciaio di fusione Formula (da tab. 8.1) Analsi: Dall eq Il flusso è determinato dalla densità di flusso e dall area 8.35

36 Poiché lo stantuffo è cilindrico e il traferro tra stantuffo e avvolgimento è trascurabile, la riluttanza è calcolata come: Dove x è lo spazio tra stantuffo parete posteriore del solenoide. La riluttanza del percorso nell acciaio può essere trascurata a causa della bassa riluttanza della struttura. La derivata della riluttanza è: L area è l area trasversale dello stantuffo Combinando tutte le equazioni in quella della forza: Problema 8.38 una forza di N è richiesta per supportare il peso. L area trasversale del nucleo magnetico è. L avvolgimento ha 1000 spire. la minima corrente che può tenere il peso senza lasciarlo cadere da x = 1.0mm. Riluttanza trascurabile per le parti in acciaio ed effetti di bordo trascurabili nei traferri. La riluttanza variabile è data da: La forza è legata alla riluttanza da Quindi 8.36

37 Problema 8.39 Il relè di controllo è fatto di acciaio in fusione. La lunghezza media del circuito magnetico è 12cm. la sezione trasversale media del circuito magnetico è di. L avvolgimento ha 250 spire e sopporta 50 ma. a) Densità di flusso B nel circuito magnetico del relè quando l avvolgimento è energizzato. b) La forza F esercitata sull armatura per chiuderlo quando l avvolgimento è energizzato nessuna a. dalla curva b. Problema 8.40 come mostrato in Fig. P8.40 Equazioni differenziali descriventi il sistema. nessuna L equazione per il sistema elettrico è: Dove L eq. per il sistema meccanico è: 8.37

38 dove Fm è la forza magnetica di spinta. Per calcolare questa forza usiamo la seguente equazione: where the magnetic pull force. To calculate this force we use the following equation: dove Wm è l energia accumulate nel campo magnetico. Siano e la forza magnetica agente sulla struttura e la sua riluttanza, rispettivamente; quindi: Le equazioni differenziali che governano il sistema sono: Il sistema di equazioni potrebbe essere risolto con la simulazione numerica, essendo nonlineare. Problema 8.41 Come mostrato in Fig. P8.41 il solenoide ha una sezione trasversale di a) Forza agente sullo stantuffo quando la distanza x = 2 cm e la corrente è 5 A. N = 100turns. Permeabilità relativa del materiale magnetico e del manicotto non magnetico sono 2000 e 1. b) Individua una set di equazioni differenziali che descrivano il comportamento del solenoide. Trascurabili effetti di bordo e dispersione. a. 8.38

39 Il circuito è mostrato in basso Poiché 8.39

40 b. subsistema elettrico subsistema meccanico Riluttanza Flusso Forza magnetica Induttanza 8.40

41 Sostituendo le espressioni per fm e L(x) nelle due equazioni differenziali, abbiamo la risposta finale. subsistema elettrico subsistema meccanico Nota che queste equazioni sono fortemente non lineari! Problema 8.42 Relè mostrato in Fig. P8.42 Equazioni differenziali (elettriche e meccaniche) per il relè. L induttanza è funzione di x. La riluttanza del ferro è trascurabile. subsistema elettrico subsistema meccanico Possiamo calcolare la forza magnetica e l induttanza in funzione di x Riluttanza Flusso Forza magnetica Induttanza 8.41

42 Sostituendo le espressioni per fm e L(x) nelle due equazioni differenziali, abbiamo la risposta finale. subsistema elettrico subsistema meccanico Nota che queste equazioni sono fortemente non lineari! b) Trasduttori a bobina mobile Punto sulla Metodologia: Analisi di trasduttori elettromeccanici a bobina mobile 1. Apply KVL to write the differential equation for the electrical subsystem, including the back emf, e = Blu, term. 2. Apply Newton s Second Law to write the differential equation for the mechanical subsystem, including the magnetic force f = Bli, term. 3. Laplace transform the two coupled differential equations to formulate a system of linear algebraic equations, and solve for the desired mechanical and electrical variables. 1. Applica la LKT per scrivere l equazione differenziale per il subsistema elettrico, includendo il termine della fcem 2. Applica la seconda legge di Newton per scrivere l equazione differenziale per il subsistema meccanico, includendo il termine della forza magnetica 3. Trasforma secondo Laplace le due equazioni differenziali accoppiate per ottenere un sistema di equazioni algebriche lineari e risolvi nelle variabili meccaniche ed elettriche di interesse. Problema 8.43 Lunghezza del filo = 20 cm; densità di flusso = 0.1T. La posizione del filo è Fem indotta sulla lunghezza del filo in funzione del tempo. Nessuna Da abbiamo 8.42

43 Problema 8.44 ; lunghezza del secondo ; posizione del secondo filo Fem indotta definita dalla differenza nelle fem e Nessuna abbiamo Problema 8.45 Intensità e direzione della forza indotta sulla barra conduttrice Nessuna La forza sarà a sinistra se la corrente fluisce verso l alto Problema 8.46 Intensità e direzione della tensione indotta sul filo Nessuna 8.43

44 Problema 8.47 Scuotitore elettrodinamico mostrato in Fig. P8.47. sua massa, m; dimensione del traferro, d; numero di spire dell avvolgimento; costante della molla, k; resistenza dell armatura, R, e induttanza, L. a) riluttanza della struttura e densità di flusso B b) Equazioni dinamiche dello scuotitore c) Funzione di trasferimento e risposta in frequenza della velocità dello scuotitore rispetto alla tensione di ingresso, Vs. Riluttanza del ferro trascurabile come gli effetti di bordo. Nessuno smorzamento nel sistema. a. Riluttanza della struttura Calcola la densità di flusso b. Subsistema elettrico, usando la LKT Subsistema meccanico c. Trasformata di Laplace 8.44

45 Problema 8.48 Lo scuotitore elettrodinamico mostrato in Fig. P8.47 è usato per realizzare un test di vibrazione di un connettore elettrico. Il test consiste nel muovere il connettore a frequenza L ampiezza della tensione sinusoidale stabilite. richiesta per generare un accelerazione di 5 g (49 m/s) in condizioni Il connettore ha massa trascurabile rispetto alla piattaforma. Applicando la LKT al circuito dell avvolgimento: Applicando la seconda legge di Newton Per ottenere la risposta in frequenza, applichiamo la trasformata di Laplace alle due equazioni 8.45

46 Possiamo scrivere le equazioni in forma matriciale, riordinarle e risolvere con Cramer, per ottenere U(s) in funzione di V(s) con soluzione Per ottenere la risposta in accelerazione, moltiplichiamo il numeratore per s 2 Il modulo di questo numero complesso, valutato a è Quindi, per ottenere la desiderata accelerazione di 49 m/s, è necessaria un ampiezza di tensione di Problema 8.49 come descritto nell esempio 8.13 Determinare e fare lo schema della risposta in frequenza dell altoparlante nei due seguenti casi. Descrivere qualitativamente come la risposta in frequenza dell altoparlante cambia man mano che la costante k della molla aumenta e diminuisce. Trova il limite della risposta in frequenza e il tipo di altoparlante man mano che k và a zero. Nessuna a. Per la funzione di trasferimento è La risposta in frequenza è indicata in basso. 8.46

47 Questa risposta corrisponderebbe ad un altoparlante nelle frequenza medie. b. Per la funzione di trasferimento La risposta in frequenza è indicata in basso. 8.47

48 Questa risposta corrisponderebbe ad un tweteer. c. Per la funzione di trasferimento è La risposta in frequenza è indicata in basso. 8.48

49 In questo caso, l altoparlante si comporta da woofer, enfatizzando le basse frequenze. In pratica, k non può essere mai zero, cosicché la risposta reale di un woofermodifica quella di uno speaker nelle frequenze medie, spostando in avanti le frequenze più basse. Problema 8.50 Altoparlante dell esempio (Fig 8.52) modifica i parametri dell altoparlante (massa, smorzamento, e molla) in modo da ottenere un altoparlante con una risposta centrata a 400Hz. Dimostra che il tuo progetto raggiunge gli obiettivi posti, usando i diagrammi della risposta in frequenza. Nessuna Dall esempio 8.13, la funzione di trasferimento del sistema è: La risposta in frequenza è: 8.49

50 dove Usando Matlab, è facile variare i parametri meccanici uno per uno al fine di verificare l effetto di ciascun parametro sulla risposta in frequenza del sistema. Massa: aumentando la massa diminuisce la frequenza centrata della risposta in frequenza. Smorzamento: aumentando lo smorzamento diminuisce ancora la frequenza centrata, ma si allarga anche la larghezza di banda della risposta. Costante della molla: diminuendo la costante diminuisce anche la frequenza centrata Ci sono molte possibili combinazioni di parametri meccanici che potrebbero essere sostituite per generare la risposta desiderata Un possibile set di parametri è: La risposta in frequenza per questo sistema è data in basso, con risposta centrata sui 400 Hz. 8.50