(a) Disegnare il segmento di parabola e determinare le costanti a e c; (b) Disegnare schematicamente il campo di forze lungo tale percorso;

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1 1 Esercizio Una particella di massa m 90 gr si muove sul piano verticale x-. E soggetta all azione della forza peso e a quella di una forza elettrica uniforme f e f e û x con f e 50 N. 1. onsiderare il percorso descritto dal segmento di retta ax + b che va dal punto (0, 3) m al punto B (1, 5) m; (a) Disegnare il segmento di retta e determinare a e b; (b) Disegnare schematicamente il campo di forze lungo tale segmento; (c) alcolare il lavoro della forza totale F sulla particella lungo tale percorso. 2. onsiderare il percorso descritto dal segmento di parabola a x 2 + x + c che va dal punto (0, 1) m al punto D (1, 5) m; (a) Disegnare il segmento di parabola e determinare le costanti a e c; (b) Disegnare schematicamente il campo di forze lungo tale percorso; (c) alcolare il lavoro della forza totale F sulla particella lungo tale percorso.

2 2 SOLUZIONE DTI NOTI Il testo ci dice che la forza totale che agisce sulla particella è data da F x f e cost F F x u x + F u f e F mg cost mg (1) dove: m 0.9 kg g 9.81 m/s 2 f e 50 N. Il testo ci chiede di calcolare il lavoro della forza totale F lungo diversi percorsi. 1. percorso 1: segmento di retta onsideriamo il segmento di retta ax + b. (a) Le costanti a e b si determinano facilmente imponendo che la retta passi per i punti: { (x, ) (0, 3) m B (x B, B ) (1, 5) m (2) ossia { ax + b B ax B + b (3) che è un sistema di due equazioni per le due incognite a e b. Dalla prima equazione, osservando che x 0 si ricava subito Dalla seconda equazione ricaviamo b 3 m (4) e dunque a B b x B 5 m/ 3 m/ 1 m/ 2 (5) { b 3 m a 2 Ricordando che a rappresenta la pendenza e b la distanza dell origine dal punto d intersezione con l asse verticale, il segmento di retta è disegnato in Fig. 1. (b) Il campo di forze (1) ha la componente F diretta verso il basso, e la componente F x diretta verso destra. Pertanto il campo di forze F lungo tale segmento è schematicamente rappresentato dalle frecce disegnate in Fig. 1 lungo il percorso. (6)

3 3 B x Figure 1: (c) Il lavoro di F lungo il percorso B è dato da W B Possiamo calcolare il lavoro in vari modi: F d r (7) modo 1: Possiamo sfruttare il fatto che il campo di forze F (f e, mg) è uniforme in tutti i punti lungo il percorso. Pertanto W B F F d r d r r r B r F ( r B r ) (f e, mg) (x B x, B ) f e (x B x ) mg( B ) (8) W B 50 N (1 m 0 m) 0.9 kg 9.81 m (5 m 3 m) s2 50 N m kg m {{ s 2 N 32.3 J (9) modo 2 : Possiamo sfruttare la definizione di prodotto scalare e scrivere W B F d r (F x dx + F d) (10) Le variabili x e non sono tra loro indipendenti, ma sono legate tramite l equazione della retta: a x + b (11)

4 4 Se scegliamo x come variabile indipendente, l integrale (44) diventa un integrale in dx, dove: -dalla (11) abbiamo - gli estremi di integrazione vanno da x a x B. Sostituendo nella (44) otteniamo W B otteniamo d a dx (12) x (F x dx + F a dx) x (F x + F a) dx (F x + F a) dx x (F x + F a) (x B x ) [sostituisco Eq.(1), (2) e (6)] (f e 2mg ) (x B x ) (13) W B (50 N kg 9.81 m/s 2 ) (1 m 0 m) kg m 50 N {{ s 2 m N 32.3 N m J 32.3 J (14) modo 3 : Sfruttiamo ancora la definizione di prodotto scalare W B F d r (F x dx + F d) (15) Di nuovo, le variabili x e non sono tra loro indipendenti, ma sono legate tramite l equazione della retta: a x + b (16) Se ora scegliamo come variabile indipendente, l integrale (44) diventa un integrale in d, dove: -dalla (35) abbiamo x b a - gli estremi di integrazione vanno da a B. dx d a (17)

5 5 Sostituendo nella (44) otteniamo W B ( F x d B ( Fx ( Fx ) a + F a d ) a + F ) d a + F d ( ) Fx a + F ( B ) (18) W B (25 N 0.9 kg 9.81 m/s 2 ) (5 m 3 m) kg m 25 N 8.83 {{ s 2 2 m N 32.3 N m J 32.3 J (19) modo 4 : Dato che la forza totale è la somma della forza peso e di quella elettrica, possiamo scomporre il lavoro nel lavoro della forza peso ed in quello della forza f e W B W B peso + W B e (20) Il lavoro della forza peso è facilmente calcolabile sfruttando il fatto che, essendo conservativa Wpeso B Ep,peso B (E p,peso (B) E p,peso ()) (mg B mg ) mg( B ) (21) Wpeso B 0.9 kg 9.81 m (3 m 5 m) s2 0.9 kg 9.81 m (3 m 5 m) s2 kg m {{ s 2 J J (22)

6 6 Il lavoro della forza f e si calcola direttamente W B e Pertanto il lavoro totale è dato da f e d r f e û x (dx û x + d û ) f e dx û x û {{ x + f e d û x û 1 0 x f e dx f e dx x f e (x B x ) (23) W B e 50 N (1 m 0 m) 50 J (24) W B Wpeso B J 2. percorso 2: arco di parabola onsideriamo ora l arco di parabola x 2 + b x + c. + We B 50 J 32.3 J (25) (a) Le costanti b e c si determinano facilmente imponendo che la retta passi per i punti: { (x, ) (0, 1) m D (x D, D ) (1, 5) m (26) ossia ax 2 + x + c D ax 2 D + x D + c (27) Dalla prima equazione, osservando che x 0, ricaviamo subito che Dalla seconda equazione ricaviamo che c 1 m (28) a D x D c x 2 D 5 m 1 m 1 m (1 m) 2 3 m 1 (29)

7 <latexit sha1_base64"qityjhntvwllmhbcmucbblbeeo8">b6hicbz7swnbembnfmb4ilralbbktzzamg01gmyb6qhgfvm5es2ds7dveectsbswusfwfsbfzv3hzkdtxg4uf3zfdzkqk6n6347k6tr6xubua389s7u3n7h4lh41qxrlnyxkovui2s6wbbgs2eou0gq2g2flkjcfugkezszstpaf/kdnqrfwrdtft+rorzbbm0px+jn/9qg1w7hq9olwrqhnexqrduemxg/o8pwjnc76qae8qgti9ti5jgqp1souiynfqnr8jy2scnmbq/oziaat2klszutpqi9ne/9rpa89dmuk9sgzlopwlqqe5pj1qthftijrhyou9zostiksqmvu3ehsfbxhkzguclz15nbdyvogzcnmj3ghlxgw6hnvggpel/dq3dvpzpvzpitdcey9r/bhzscp+ok</latexit> sha1_base64"eqm1j/ie8eq8qe7nrlv0spmg">b6hicbz7sgnbfibpxltcb1flm8ugwivdg23eybrlbmwfkixmts4my2znl5lzisx5hslrwz1yextxldxcik08yebj/8/hznnblnsrvut5vbwv1b38hv2lvbo7t7hf2dhoptsbfoyx7lvkuciawrpnm2eokkijg2gluneveepwxu9shbpj9wujgitzwrditfn2so5wzdn4cilcf9mx/mvxu4xpti+mayru06uantuov2msm0ox7hdsrumh5jh9sgbylq+dl00lfzypee8bspkgdqfu7ioruqmomjur0qo1me3m/7j2qsmlp2mistukovsotlmjy2etdnjeqnmiwoesmzmdeisek1uy1tjutrrwmjbos55a8mlssx8nmetiyzgfd86hdddqhtpqqhij3i27qxh68v6nzxmrhnpifr9fyd9wqb</latexit> D<latexit sha1_base64"k+evk9/lt2u3d2fux6x034befi">b6hicbz7swnbembnfmbzfbw0wqvbiz0uymamgzghlcos9zvzm/v2n0tqgjy21goyus/y2/nf+pmuwjibws/vm+gnzkwfvwbz/t2lpzxvtfwcxvu5tb2zm5+b7+mk0wxrljejkoruo2s6wabgq2uou0dgxww/71ok8/oni8kxdmkgiq067kewfuwkt084xvki3evkefwaf0/34heu38v6utsxgazigwjd9lzxbkrdmcr28o0ppt1arebfiwnuqfdajcmddokszz80zol+7hjswotbhnrkmjqens/g5n9zmzpretdkms0msjb9kmoemqkzb006xezymbmsxtrit1qklm2nu49gj+/mqludst+l7rr3if0hvmlyndoiit8oemsnlzag4qneifx5955dt6c92npkjproy/cj5+vwjpe</latexit> sha1_base64"g8rshblg9ljemwdbtpcrxw1n8">b6hicbz7sgnbfibpxltcb1flm8ugwivdg23eobawzgljeuynzxnxszoljozqljbdywitjqw9jbig/j5fjo4g8dh/9/dnporlolhbdbu3tlupzftzc2t7z3rt7drwnkmknxjwzyo5exgttpnszlijfhsremrsz54x6lyrg41cme/yj0bszjdpy1etooeiw3imcrfbmulz4sm+t9+70il8trsxtsmumnkivmtze+1nrgpgoy7sdqowixretgkeies8mg46ci+n0ntw5gnttnzfhrmjlbpggammio6r+wxs/pe1uh2e+rktsapr0olhycodhtvjrz0uk0g1hxogvdizq0p7rbkqzw1scwrvfuvfqj+uplfkvd1i+rkmsmbhmixehkzbibtssidpmgzdwc9wi/w67q0z8169ugprlcf9vqbq</latexit> 7 e dunque { a 3 m 1 c 1 m Ricordando che il vertice di una parabola ax 2 bx + c ha coordinata x V m 1 6 m, il segmento di parabola è disegnato in Fig. 2. (30) b 2a (b) Il campo di forze (1) è lo stesso del caso precedente ed ha la componente F diretta verso il basso, e la componente F x diretta verso destra. Pertanto il campo di forze F lungo tale segmento è schematicamente rappresentato dalle frecce disegnate in Fig. 2 lungo l arco orientato di parabola. Figure 2: (c) Il lavoro di F lungo il percorso D è sempre dato da x Possiamo calcolarlo in tre modi: W D F d r (31) modo 1: Sfruttiamo il fatto che il campo di forze è uniforme (costante in tutti i punti lungo l arco di parabola). Pertanto W D F F d r d r r r D r F ( r D r ) (f e, mg) (x D x, D ) f e (x D x ) mg( D ) (32) NOT BENE: E importante notare che il vettore r D r non è la lunghezza dell arco di parabola, bensì il vettore che connette direttamente a D.

8 8 W D 50 N (1 m 0 m) 0.9 kg 9.81 m (5 m 1 m) s2 50 N m kg m {{ s 2 N 14.7 J (33) modo 2: Sfruttiamo la definizione di prodotto scalare W D F d r (F x dx + F d) (34) Le variabili x e non sono tra loro indipendenti, ma sono legate tramite l equazione della retta: a x 2 + x + c (35) In questo caso è decisamente più semplice usare x come variabile indipendente. -dalla (35) abbiamo - gli estremi di integrazione vanno da x a x D. Sostituendo nella (34) otteniamo d (2a x + 1) dx (36) W D x (F x dx + F (2a x + 1) dx) x (F x + F + 2 af x) dx (F x + F ) x dx + 2 af x x dx (F x + F )(x D x ) + 2 af ( x 2 D 2 x2 2 (F x + F )(x D x ) + af ( x 2 D x 2 ) [sostituisco Eq.(1), (26)] (f e mg)(x D x ) a mg ( x 2 D x 2 ) ) (37) e ricordando Eq.(30) otteniamo W D (50 N 0.9 kg 9.81 m s 2 ) (1 m 0 m) 3 m 0.9 kg 9.81 m s 2 (1 m2 0 m 2 ) N m kg m {{ s 2 N 14.7 J (38) che coincide col risultato ottenuto col primo modo.

9 9 modo 3 : Dato che la forza totale è la somma della forza peso e di quella elettrica, possiamo scomporre il lavoro nel lavoro della forza peso ed in quello della forza f e W B W B peso + W B e (39) Il lavoro della forza peso è facilmente calcolabile sfruttando il fatto che, essendo conservativa Wpeso D Ep,peso D (E p,peso (D) E p,peso ()) (mg D mg ) mg( D ) (40) Wpeso D 0.9 kg 9.81 m (3 m 5 m) s2 Il lavoro della forza f e si calcola direttamente W D e Pertanto il lavoro totale è dato da 0.9 kg 9.81 m (1 m 5 m) s2 kg m {{ s 2 J J (41) f e d r f e û x (dx û x + d û ) f e dx û x û {{ x + f e d û x û 1 0 x f e dx f e dx x f e (x D x ) (42) W D e 50 N (1 m 0 m) 50 J (43) W D Wpeso D J + We D 50 J 14.7 J (44)