2. il risultato del punto precedente permette di stabilire se la forza è conservativa? x B x C

Transcript

1 1 Esercizio Un punto materiale soggetto all azione di un campo di forze F x, y a xy u x + a 2 x2 u y a 1 N m 2 1 si muove sul piano x, y lungo una traiettoria chiusa, come in figura. Il segmento si trova lungo la retta di equazione y 2x, e la coordinata x del punto è x 1m. 1. calcolare il lavoro compiuto dal campo di forze lungo il percorso; 2. il risultato del punto precedente permette di stabilire se la forza è conservativa? 3. Determinare, se esiste, l energia potenziale Ux, y del campo di forze F. Ripetere il problema per il seguente campo di forze: F x, y a x 2 u y a 3 N m 2 2 y x x x Dipartimento di Scienza pplicata e Tecnologia, Politecnico di Torino - Esercitazioni di Fisica I

2 2 SOLUZIONE onsideriamo il primo campo di forze F x, y a xy u x + a 2 x2 u y 3 1. Siccome il percorso consta di 3 parti, il lavoro totale è dato dalla somma dei 3 contributi W tot F d s 4 Valutiamo ora ciascuno dei contributi a Questo tratto di percorso è identificato dalla retta y 2x dy 2dx, con x che varia da a x. Pertanto d s dx u x + dy u y u x + 2 u y dx 5 W x x F d s x F x, 2x u x + 2 u y dx a x2x u x + a 2 x2 u y u x + 2 u y dx 2a x a 2 x2 dx 3a x3 3 a x 3 6 b Questo tratto di percorso è identificato dalla retta x x dx, con y che varia da a. Pertanto d s dx u x + dy u y u y dy 7 W F d s F x, y u y dy a x y u x + a 2 x2 u y u y dy a 2 x2 + a 2 x2 dy a x 3 8 c Questo tratto di percorso è identificato dalla retta y dy, con x che varia da x a. Pertanto d s dx u x + dy u y u x dx 9 Dipartimento di Scienza pplicata e Tecnologia, Politecnico di Torino - Esercitazioni di Fisica I

3 3 W x Sostituendo 6, 8 e 1 in 4 si ottiene F d s F x, ux dx x u x + a 2 x2 u y u x dx dx x 1 W tot a x 3 a x e dunque il lavoro della forza 3 sul percorso chiuso in figura è. 2. Il risultato 11, di per sé, NON ci permette di concludere che la forza F è conservativa. Infatti, per una forza conservativa il lavoro fatto lungo qualunque percorso chiuso deve essere nullo, mentre questo risultato dice che il lavoro lungo questo particolare cammino è nullo. 3. Per determinare se la forza F è conservativa occorre verificare se esiste una funzione Ux, y energia potenziale tale che F x axy U x F y a 2 x2 U x E facile vedere dalle Eq.12 che la funzione Ux, y esiste, ed è data da 12 Ux, y a 2 x2 y + const 13 Pertanto il campo di forze F è conservativo. Dipartimento di Scienza pplicata e Tecnologia, Politecnico di Torino - Esercitazioni di Fisica I

4 4 onsideriamo ora il secondo campo di forze F x, y a x 2 u y Di nuovo, il percorso consta di 3 parti, ed il lavoro totale è dato dalla somma dei 3 contributi W tot Valutiamo ora ciascuno dei contributi F d s 15 a Questo tratto di percorso è identificato dalla retta y 2x dy 2dx, con x che varia da a x. Pertanto d s dx u x + dy u y u x + 2 u y dx 16 W x x F d s x F x, 2x u x + 2 u y dx a x 2 u y ux + 2 u y dx 2a x 2 dx 2a x a x3 17 b Questo tratto di percorso è identificato dalla retta x x dx, con y che varia da a. Pertanto d s dx u x + dy u y u y dy 18 W F d s a x 2 u y uy dy a x 2 dy ax 2 F x, y u y dy 2a x 3 19 c Questo tratto di percorso è identificato dalla retta y dy, con x che varia da x a. Pertanto d s dx u x + dy u y u x dx 2 W F d s x u y u x dx x F x, ux dx dx x 21 Dipartimento di Scienza pplicata e Tecnologia, Politecnico di Torino - Esercitazioni di Fisica I

5 5 Sostituendo 17, 19 e 21 in 15 si ottiene W tot 2 3 a x3 2a x a x3 22 Sostituendo i valori, otteniamo W tot N m 2 1m3 4 N m 4 J Il risultato 22 ci permette di stabilire che la forza 14 NON è conservativa, dato che per una forza conservativa il lavoro su qualunque percorso chiuso dovrebbe essere, mentre abbiamo trovato almeno un percorso chiuso in cui il lavoro non è nullo. Pertanto non può esistere un energia potenziale per tale campo di forze. Dipartimento di Scienza pplicata e Tecnologia, Politecnico di Torino - Esercitazioni di Fisica I