Capitolo IV CORRENTI ALTERNATE Grandezze variabili e loro rappresentazione

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1 il OENT TENTE Grndezze vribili e lr rresenzine 4... Grndezze eridiche: n ques cil si rendernn in cnsiderzine delle grndezze di nur eleric vribili nel em in md che i vlri d lr ssuni in un deermin inervll di em T de erid vengn nuvmene ssuni cn l medesim legge nei eridi successivi.- Tli grndezze rendn il nme di Grndezze eridiche.- ( T ) ( ) di che crerizzn un grndezz eridic sn: erid: T Frequenz: T lre mssim: lre medi: lre eicce: m T T 0 T 0 T ( ) d ( ) d Si deinisce cme re di rm : k m Un grndezz nche nn eridic si dice Unidirezinle se in gni isne i sui vlri hnn semre il medesim segn.- Un grndezz si dice Oscillne se i sui vlri scilln rn d un vlre di rierimen cn smeni di vlre medi null.- Un grndezz eridic si dice mulsiv se h vlre null er u il erid rnne un brevissim inervll nel qule ssume vlri nche ml elevi (lre di cres) Grndezze lernive: Un grndezz eridic si dice lerniv se i vlri che ssume nell secnd meà del erid sn esmene uguli in mdul m di segn s quelli ssuni nell rim meà del erid: T ( ) Ne segue che il vlre medi di un grndezz lerniv clcl sull iner erid è semre null.- Si ssume erciò cme vlre medi di un grndezz lerniv quell vlu in mezz erid: T ( ) m d T 0 0

2 4... Grndezze sinusidli: Un grndezz lerniv si dice Sinusidle se nel em h ndmen sinusidle: ( ) sen ω ve ω è l ulszine leg l erid e ll requenz dlle relzini: π ω π T m 0 67 π π k Si cnsideri r in un rierimen cresin un vere di lunghezz che rui inrn ll su rigine cn velcià nglre ω in sens nirri; se ll isne 0 l su direzine cincide cn il vers siiv dell sse delle x che si ssume cme sse di rierimen in un generic isne qund vrà cmiu un rzine ri ll ngl: α ω ccuerà un sizine le che l su riezine sull sse delle y (sse di riezine) srà: senω Si uò nre quindi che le riezine cinciderà isne er isne cn il vlre dell grndezz sinusidle in le isne.- Sbilend l crrisndenz r i rmeri visi sr gni grndezz sinusidle deinisce un ed un sl vere rne e vicevers d gni vere rne crrisnde un ed un sl grndezz sinusidle.- Si uò quindi ssumere i veri rni ì deinii cme rresenivi delle grndezze sinusidli: r sen ω Scegliend cme rigine dei emi un isne divers l grndezz sinusidle ssumerà un se inizile divers d zer: sen ( ω ± ) 04

3 l vere rne rreseniv srà di cnseguenz sizin ll isne inizile cn un ngl ri in nici in rird ( secnd del segn) rise l sse di rierimen.- nvenzinlmene si dirà che l grndezz sinusidle cme il su vere rreseniv risuln in nici rise l sse di rierimen d un lr grndezz se l ssmen risul siiv; in rird se l ssmen risul negiv.- n deiniiv de le due grndezze sinusidli: senω si dirà che b è in ird rise b B sen ( ω ) lr veri rresenivi srnn: De le due grndezze sinusidli: b B lr veri rresenivi srnn: senω sen ( ω ) si dirà che b è in nici rise Se l ssmen è di 0 si dirà che le due grndezze sn in se Se l ssmen è di 90 si dirà che le due grndezze sn in qudrur Se l ssmen è di 80 si dirà che le due grndezze sn in sizine n deiniiv un grndezz sinusidle è individu d r rmeri: miezz d d: ure ulszine d d: ω ure ure ω ure π m π T π ω Fse d d: Se si er cn grndezze sinusidli che er iesi hnn ue l medesim ulszine srà suiciene r rierimen ll miezz e ll se di gnun.- 05

4 4..4. Oerzini sulle grndezze sinusidli isrequenzili: De due grndezze sinusidli isrequenzili: sen ω lr Smm e Dierenz srà: ± S sen ( ω ) S ve : sen ( ) ( ω ) S S rcg ± sen ± sen ( ) ± grndezz risulne è ncr sinusidle cn l medesim ulszine e vlre medi null.- l rd delle due grndezze sinusidli di renz è: ( ) ( ω ) grndezz risulne è ncr sinusidle m h requenz di e vlre medi divers d zer.- l Quziene delle due grndezze sinusidli di renz è: ( ) sin ( ) cg ( ω ) : grndezz risulne nn è sinusidle h l medesim requenz e vlre medi divers d zer.- D l grndezz sinusidle: sen ( ω ) su Deriv rise l em è: d π ω ( ω ) ω sen ω d grndezz risulne è sinusidle cn l medesim requenz miezz w vle mggire e in qudrur nici.- l su negrle nel em è: d ( ) sen ω π ω ω ω grndezz risulne è sinusidle cn l medesim requenz miezz w vle minre e in qudrur in rird resenzine lre delle grndezze sinusidli: D l grndezz sinusidle: sen ( ω ) lei uò essere ssci un vere d miezz rne in sens nirri cn velcià w che nell isne inizile rmi cn l sse di rierimen un ngl : 06

5 n gni isne l riezine del vere rne sull sse di riezine crrisnde l vlre dell grndezz sinusidle nel medesim isne.- ern issi l sse di rierimen il sens di rzine e l velcià nglri cn le mdlià vise il vere rne deinisce cmiumene l grndezz sinusidle e vicevers; esise ciè un crrisndenz biunivc r i due.- D un secnd grndezz sinusidle: b B sen( ω ψ) isrequenzile cn l rim ess uò essere nlgmene rresen d un secnd vere rne sincrn cn il rim (hnn l medesim velcià nglre) l cui sizine diende dl vlre di ψ e ì di segui er un qulsisi lr numer di grndezze sinusidli e relivi veri rresenivi. iché ui i veri run ll medesim velcià mnengn inler l lr sizine recirc; di cnseguenz ssn essere gri in un qulsisi isne er esemi in 0 cme nell rresenzine di igur in md che rmin cn l sse di rierimen un ngl ri ll lr se ed ssumere quell sizine cme rreseniv delle crrisndeni grndezze sinusidli.- er indicre che i veri run vengn cnrssegni cn un un s suerirmene d essi.- l digrmm verile che ne risul rende il nme di Digrmm lre.- Dvend eseguire delle erzini su un insieme di grndezze sinusidli isrequenzili invece di usre le esressini rignmeriche vise l rgr recedene di lbris elbrzine si uò rresenre le grndezze medine un digrmm lre eseguire le erzini richiese sui veri e rv il vere risulne rislire d ques ll grndezz sinusidle d lui rresen che è l risulne delle erzini richiese.- De due grndezze sinusidli: sen ( ω ) ( ω ) b B sen clclrne l: 07

6 Smm: Dierenz: b B sen ( ω ) b B sen ( ω ) Deriv : negrle: d π π ω sen ω d sen ω d ω Si uò nre che: Deriv di un vere rne rreseniv di un grndezz sinusidle si iene mlilicnd il su mdul er ω e rundl di 90 in nici.- negrle di un vere rne rreseniv di un grndezz sinusidle si iene dividend il su mdul er ω e rundl di 90 in rird.- er qun cncerne il rd ess h requenz di è quindi nn è rresenbile sull sess in lre (il vere rd ru cn velcià di dei veri ri).- er qun cncerne il Quziene ess nn è sinusidle e quindi nn è rresenbile medine veri rni.- 08

7 4..6. resenzine simblic delle grndezze sinusidli: S immgini il in di Guss nel qule l sse rele cincid cn l sse di rierimen e l sse immginri cn l sse di riezine; gni vere nel in di Guss è rresen d un numer cmless leg l mdul e ll se del vere dlle relzini: b b b g b sen isul esserci un crrisndenz biunivc r veri e numeri cmlessi; cme si è già vis esise nche un crrisndenz biunivc r grndezze sinusidli e veri rni: si uò quindi sbilire un crrisndenz biunivc nche r numeri cmlessi e grndezze sinusidli.- D l grndezz sinusidle: v sen ω ll isne 0 lei crrisnderà il numer cmless: ( ) sen (*) D il numer cmless: b ll isne 0 d ess crrisnderà l grndezz sinusidle: v b b sen ω rcg b b rcg b sen esressine (*) iuisce l Frm rignmeric dell rresenzine simblic dell grndezz sinusidle d.- rresenzine simblic e le relive erzini che su di ess si esegun sn vlide sln qund risuln veriice le cndizini generli se in renz: : e grndezze sulle quli si er devn essere isrequenzili : e grndezze devn essere rierie d un medesim rigine dei emi.- e erzini che si rnn eseguire srnn quindi sln quelle di Smm Dierenz Derivzine ed negrzine Smm e Dierenz di grndezze sinusidli isrequenzili: De due grndezze sinusidli: v sen ( ω ) v sen ( ω ) quese sn rresene in rm simblic rignmeric d sen b sen b 09

8 Eseguend l smm l dierenz delle grndezze in rm simblic si ricv: ( ) ( ) ± ± b ± b ques grndezz risulne esress in rm simblic crrisnderà l grndezz risulne in rm sinusidle: b ( ) ( ) ± b v ± ± v b b sen ω rcg ± b rd e quziene di grndezze sinusidli er grndezze sclri. D un grndezz sinusidle: sen( ω ) l su rd quziene er un erre sclre k (ne nel em) si uò vlure usnd le diverse rme di rresenzine dell grndezz sinusidle: n rm sinusidle: k k sen ( ω ) sen ( ω ) k k n rm rignmeric: k k k sen sen sen k k k me si uò nre mlilicnd dividend un grndezz sinusidle er un erre sclre ne l su se rimne inler menre il su mdul vlre mssim viene mlilic divis er le re rd e quziene di grndezze sinusidli er l erre : D un grndezz sinusidle: sen ( ω ) l su rd quziene er l erre simblic si uò vlure usnd l rresenzine rignmeric dell grndezz sinusidle: sen sen sen 0

9 Osservnd l esressine di si n che h er cmneni reli e immginrie i vlri e sen menre il vere h er cmneni riseivmene sen e ; semlici cnsiderzini gemeriche rn rilevre che il vere risul ugule in mdul m in qudrur nici rise.- nlgmene si uò vedere che il vere risul ugule in mdul m in qudrur rird rise.- Usnd l erre si l deriv si l inegrle ssn essere cilmene rreseni imiegnd l esressine simblic dell grndezz sinusidle d: d d d ω ω ω rd di un vere rne er un erre cmless: l rd di un grndezz sinusidle rresen d un vere rne cn un erre cmless vene mdul e se rcg è d d: ( ) l vere rd è l smm di due veri: un ri d in se cn e mdul vle mggire l lr ri in qudrur nici cn e mdul vle mggire.- Semlici cnsiderzini gemeriche ermen di cnsre che il mdul del vere risulne è: ( ) ( ) menre l ssmen r il vere rne dell erre cmless.- ed il vere rd è ugule ll se n cnclusine: mlilicnd un vere rne er un erre cmless si iene ncr un vere rne vene mdul ri l rd dei lr mduli e ss in nici rise l vere dell ngl di se dell erre.-

10 4..0. Equilibri nei circuii in regime vribile llrché d un circui iui d resisenze indunze e ccià viene lic un ensine cmunque vribile nell nlisi dell siuzine d equilibri bisgn enere cn degli eei sul circui sess delle vrizini del cm eleric e mgneic generi dll vrizine dell ensine e dell crrene.- ndunz ( ): in ssenz di merili errmgneici l vrizine di dell crrene gener nel circui i ci dell indunz un Frz elermrice d d : v di d cià ( ) : in resenz di un ensine vribile il cndensre è sgge d un regime ermnene di cric e scric cnseni dll cninu vrizine dell crrene.- Se q è l cric ll isne sulle sue rmure l ensine i ci del cndensre risul: q v i d esisenz ( ) : in gni isne l cdu di ensine i ci dell resisenz risul er l legge di Ohm rrzinle l vlre dell crrene che l rvers: v i n generle licnd un ensine vribile v d un circui cnenene un resisenz un indunz ed un cndensre l crrene che circl risul leg ll ensine lic dll relzine: v v v v (l smm delle ensini imresse deve essere ugule in gni isne ll smm delle cdue di ensine).- Ssiuend: v di id i d nche derivnd rise il em: dv d d i di d d i ircuii in regime sinusidle Si cnsideri un circui rm d un resisenz un indunz un ccià rigrsmene ni e vi si lichi un ensine sinusidle.- D un cer em (erid rnsiri) l crrene si sbilizzerà ed ssumerà (cme srà dimsr in segui) un ndmen sinusidle ed isrequenzile cn l ensine lic m ss rise ques di un ngl diendene di vlri dei rmeri del circui.- ssumend cme grndezz di rierimen (vene se inizile zer) l crrene risulerà: i senω v sen( ω ) equzine generle d equilibri: v di id i d

11 in nzine simblic srà: & & d d & & d & ω & & & ω & ω & ω l ceiciene er il qule risul mlilic l crrene è un erre cmless (ne nel em) che rende il nme di Oerre d imedenz : ω er cui l relzine r ensine e ω crrene diven: & & n regime sinusidle l relzine r ensine e crrene in un circui uò essere esress in rm nlg quell vis er l legge di Ohm urché ll ne ( ) si ssiuisc l erre imedenz.- & & nvenzinlmene si ssume cme vers dei veri che rresenn nei circuii delle grndezze sinusidli (che in relà cmbin vers gni semierid) quell delle relive grndezze nel lr semierid siiv.- erre cmless d imedenz viene chim semlicemene medenz; il su mdul vle: ω ω l ceiciene dell re immginri: ω rende il nme di enz ω enre: w rende il nme di enz induiv rende il nme di enz cciiv ω ω ω l se dell' imedenz vle : rcg rende il nme di ngl crerisic ngl di se dell imedenz

12 imedenz e l renz hnn le dimensini isiche di un resisenz: rd sec ω sec rd [ ω] Ω sec [ Ω] [ Ω] Dll nlisi dell relzine & & si deduce che: l vere rreseniv dell ensine si ricv dl vere rreseniv dell crrene rundl dell ngl (in nici se è siiv in rird se è negiv) e mlilicndne l lunghezz er il mdul dell imedenz.- & Nei circuii ve si necessri usre l relzine: & & risul uile cnsiderre l erre cmless Y che rende il nme di mmeenz. Y G rende il nme di ndunz B rende il nme di Suscenz Y G B Y G B B rcg rcg rcg G ngl crerisic dell mmeenz è ugule in vlre sslu quell dell reliv imedenz m di segn s.- l ringl rengl che h er cei ed e er ienus rende nme di Tringl crerisic dell Oerre medenz: g sen l ringl rengl che h er cei G e B e er ienus Y rende il nme di Tringl crerisic dell Oerre mmeenz. Y G B G B g * G Y * B Y sen * 4

13 ircuii elemenri Nell relà gni circui eleric è rm d un insieme di resisenze indunze e ccià; nche se lvl un di quese uò essere revlene sulle lre quese ulime sn semre reseni nche se in misur icclissim.- er vlure l relzine esisene r ensine e crrene in ciscun di esse s immgini di sudire srmene un circui iui d un sl degli elemeni visi esisenz ur : licnd un ensine sinusidle: v sen ω d un resisenz l crrene che isne er isne vi circl è leg ll ensine er l legge di Ohm dll relzine: v i senω senω vend s: dividend er si engn i vlri eicci: regime in un resisenz l ensine lic e l crrene che l rvers sn in se r lr ed il vlre eicce dell crrene è ugule quell dell ensine divis er.- v i senω senω & & rblem 4.0 Un ensine sinusidle vene vlre mssim 0 e requenz 50 Hz è lic d un resisenz di Ω.- lclre l crrene che vi circl.-. sluzine si uò rvre cend rierimen i vlri isnnei i vlri eicci: ulszine dell ensine vle: ω π π 50 4rd sec l vlre isnne dell ensine è: v sen ω 0 sen4 0 er cui l crrene circlne risul: i senω sen4 5sen4 vlri eicci dell ensine e crrene srnn: in se r lr.- 5

14 4.4.. ndunz ur : l quesi che ci si ne è il seguene: qule ensine bisgn licre d un indunz inché vi circli un crrene i sen ω is l deinizine di l crrene i ercrrendl genererà un luss cncen cn l indunz sess ri : c i sen ω essend le luss cncen vribile nel em indurrà nell indunz un F.E..: d c di d senω e ω ω d d d er l egge di enz l e si rrà l ssggi dell crrene i quindi bisgnerà licre un ensine v le d cmensre isne er isne l e : v e 0 π π v e ω ω ω sen ω sen ω nrnnd i vlri isnnei dell ensine e dell crrene si deduce che l ensine deve essere in qudrur nici rise l crrene ( l crrene in qudrur rird rise l ensine) menre i relivi vlri mssimi risuln legi r lr dll relzine: ω e dividend er : ω (vlri eicci) regime in un indunz l crrene è in qudrur rird rise ll ensine che l circlre ed il su vlre eicce è ugule l rr del vlre eicce dell ensine cn l renz induiv dell.- v i senω π sen ω 6

15 rblem 4.0 Un ensine sinusidle del vlre di 0 eicci requenz 50 Hz è lic d un indunz di 00 H. lclre l crrene che vi circl.- l rblem si uò rislvere cend rierimen i vlri isnnei quelli eicci: ulszine dell ensine vle: ω π π 50 4 rd sec l vlre mssim dell ensine è: l vlre isnne dell ensine e: v sen ω 8 8 sen 4 renz induiv è: ω Ω er cui il vlre isnne dell crrene è: i sen ω π 8 8 sen 4 π 9 sen 4 π 4 lcl il vlre dell renz induiv: ω Ω l vlre eicce dell crrene risul: crrene risulerà in qudrur rird rise l ensine (rndsi di un ur indunz) cià ur : l quesi che ci si ne è il seguene: qule crrene circl in un cndensre di ccià l qule si s lic un ensine v sen ω licnd un ensine v l cndensre ess si cric cn un cric q: q v sen ω (Nel rim qur di erid qund l ensine ende d umenre il cndensre si cric nel secnd qur qund l ensine dl vlre mssim ende zer il cndensre si scric nel erz qur di erid il cndensre si cric nuvmene m cn lrià s er scricrsi durne l ulim qur del erid qund l ensine ende nuvmene zer) inché l cric q ss essere scmbi r il generre ed il cndensre deve circlre un crrene ri : dq d ( senω ) π i ω ω sen ω d d nrnnd i vlri isnnei dell ensine e dell crrene si deduce che l ensine deve essere in qudrur rird rise l crrene ( l crrene in qudrur nici rise l ensine) menre i relivi vlri mssimi risuln legi r lr dll relzine: ω e dividend er : ω ω (vlri eicci) 7

16 regime in un cndensre l crrene è in qudrur nici rise l ensine che l circlre ed il su vlre eicce è ugule l rr del vlre eicce dell ensine cn l renz cciiv del.- v i senω sen ω π & & rblem 4.0 Un ensine sinusidle vene vlre mssim 00 e requenz 50 Hz è lic d un cndensre di ccià 00 µf.- lclre l crrene che vi circl.- l rblem si uò rislvere cend rierimen i vlri isnnei quelli eicci: ulszine dell ensine vle: ω π π 50 4 rd sec l vlre isnne dell ensine è: v senω 00 sen 4 renz cciiv vle: 6 ω Ω l vlre mssim dell crrene è: l vlre isnne dell crrene è: 00 i sen ( ω π ) sen ( 4 π ) 6 8( sen4 π ) 5 9 lcl il vlre dell renz ed il vlre eicce dell ensine: 5 9 Ω 6 ω

17 l vlre eicce dell crrene è: crrene risulerà in qudrur nici sull ensine (rndsi di un ur cci) ircuii ni cncenre - llegmen serie: Nrmlmene nei circuii l esisenz ndunz e cià sn disribuie lung u l svilu (qulsisi r di circui iui d un il vrà l su resisenz; essend rvers d crrene rdurrà un luss che si cncenerà cl circui sess e quindi vrà un indunz; cme cndure ser medine un islne d lri cnduri vrà rise quesi un ccià).- n ric er semliicre i clcli i re rmeri - - s immginernn revlenemene cncenri in lcuni uni (sni cncenre) e cllegi cn cnduri ideli rivi di resisenz lussi cnceni e ccimeni cciivi.- Si deinisce du di ensine i ci di un elemen d imedenz l ensine esisene i sui esremi qund è rvers dll crrene : Si cnsideri r un circui iui d un resisenz un indunz e un ccià in serie r lr (rversi ciè dll medesim crrene) limen d un ensine sinusidle : e cdue di ensine i ci di srnn riseivmene: & & & & ω& & & & ω iché le cdue di ensine che si lclizzn gli esremi dell hnn si diverse rise l medesim crrene risulernn r lr sse.- n gni isne l ensine lic ll serie srà ugule ll smm dei vlri isnnei delle cdue di ensine sui singli elemeni quindi rresennd li ensini cn i lr veri rresenivi risulerà: & & & & E ssiuend i vlri rvi er le esressini delle cdue di ensine: & & & & & & [ ( )] e erre cmless e rende il nme di medenz ed h cme mdul e se riseivmene: e ( ) rcg 9

18 er cui enend resene il signiic del rd dell erre cmless er un vere rne si deduce che: ensine lic d un circui iui d un esisenz un ndunz ed un ci in serie risul vere se rise ll crrene che circl (ssun cme vere di rierimen cn se zer) e mdul ugule l rd dei mduli dell erre imedenz e dell crrene sess: i sen ω & & & v sen ω e ( ) lend rresenre cn un digrmm lre le grndezze in esme si ssn veriicre re csi: me si uò nre in ui i re csi: - cdu hmic è in se cn l crrene. - cdu sull indunz è in qudrur nici sull crrene. - cdu sull ccià è in qudrur rird sull crrene. - Nel rim cs qund l renz induiv revle sull renz cciiv il circui si dirà di i hmic- induiv e l crrene risulerà in rird sull ensine. - Nel secnd cs qund l renz cciiv revle su quell induiv il circui si dirà di i hmic-cciiv e l crrene risulerà in nici sull ensine. - Nel erz cs qund l renz induiv cmens esmene quell cciiv il circui si dirà di i hmic e l crrene risulerà in se cn l ensine. rblem 4.04 Un resisenz di 0 Ω un indunz di 0 Η ed un ccià di 50 µf se in serie sn limene d un ensine sinusidle vene 50 Hz e vlre eicce 00.- lclre l crrene e le cdue di ensine i ci dell.- 0Ω ω π π Ω ω π π Ω 0

19 0 0 45Ω ( ) 0 ( 4 ) rcg rcg Nel circui circlerà un crrene ri 89 eicci ss in rird di 70 sull ensine Essend > il circui equivlene risul hmicinduiv (cn l crrene in rird sull ensine).- rblem 4.05 lclre in mdul e se l crrene che circl in un circui iui d un resisenz di Ω s in serie cn un renz induiv di 4 Ω qund vi è lic un ensine sinusidle vene vlre eicce Ω rcg 5 & & Nell imedenz circlerà un crrene del vlre di 0 eicci ss in rird (cric hmic-induiv) di un ngl 5 sull ensine.- rblem 4.06 Deerminre in mdul e se il vlre dell crrene ssrbi dll imedenz iui dll serie dell resisenz 5 Ω e dell indunz 00H qund viene limen d un ensine sinusidle vene vlre eicce 0 e requenz 50 Hz.- renz vle: ω π Ω imedenz del bil è: l mdul e l se dell imedenz vlgn riseivmene: Ω rcg 4 6 5

20 relzine r ensine e crrene nell imedenz è: ssumend cme grndezz di rierimen l crrene cn reliv se ugule zer: Essend in resenz di un cric hmic-induiv l crrene risul in rird rise l ensine.- rblem 4.07 Un imedenz hmic-induiv limen cn un ensine lern 50 ;50 Hz ssrbe un crrene 5. Send che l resisenz vle 8 Ω clclre il vlre dell indunz.- l vlre dell imedenz si ricv dll relzine: 50 0 Ω 5 renz induiv vle: 6 ω π 0 09H 9 mh π 4 se dell erre imedenz vle: 6 rcg rcg esressine cmless dell erre imedenz è: Ω rblem 4.08 lclre l resisenz di un circui hmic cciiv che limen ll ensine sinusidle 00; 50Hz ssrbe un crrene 08 send che il cndensre h ccià 0µ F.- l mdul dell imedenz srà: Ω 0 8 renz del cndensre risul essere:

21 resisenz vle: 59 Ω 6 ω π Ω se dell erre imedenz è: 59 rcg esressine cmless dell erre imedenz è: ssumend cme grndezz di rierimen l crrene cn reliv se ugule zer l se dell ensine risul: Essend in resenz di un cric hmic-cciiv l crrene risul in nici rise l ensine llegmen delle imedenze medenze in serie: crrene: Si cnsiderin iù imedenze cllege in serie rverse ciè dll medesim crrene ercrrend le diverse imedenze rvc delle cdue di ensine: & & & & & & n generle essend le re imedenze diverse r lr in mdul e se (siiv negiv) li srnn nche le cdue di ensine quindi l ensine le i ci dell serie d dll smm dei vlri isnnei delle single ensini dvrà essere clcl medine un smm verile (nn cme smm rimeic dei mduli): & & & & B e ssiuend: & & & & ( ) & B

22 Deinend cme imedenz equivlene dell serie quell imedenz che limen dll medesim ensine è rvers dll sess crrene si ricv: & B e ( ) ( ) e e & e ve: e cnsidere cn i lr segni er rccire il digrmm lre di un circui serie è cnveniene ssume cme vere di rierimen quell cmune ui gli elemeni del circui in ques cs l crrene: & ( & &) ( & &) ( & & B ) Ω - Ω - Ω.- ( ) ( ) B rcg medenze in rllel: Si cnsiderin delle imedenze se in rllel limene ciè dll medesim ensine che rà circlre sulle sesse le crreni: & B & Y & & B & Y & & B & Y & B B B Nell risluzine di circuii cn imedenze in rllel risul uile l imieg dell erre cmless Y indic cn il nme di mmeenz (vedi rgr 4..0.): Y G B G è l ndunz B è l Suscenz er il rim rincii di Kirchh: 4

23 ( ) & & & & Y & Y & Y & & B B B B Y Y Y Deinend cme mmeenz equivlene del rllel quell mmeenz che limen dll medesim ensine ssrbe l sess crrene si ricv: & Ye Y Y Y ( G G G ) ( B B B ) G e B e & B G e G G G ve: { B B B B e ierendsi lle imedenze risulerà: e er rccire il digrmm lre di un circui rllel cnviene ssumere cme vere di rierimen l ensine lic essend cmune ui gli elemeni del circui sess: & G & B & G & B & G & B & ( ) ( ) ( ) B B B B B B Ω - Ω - Ω - (in iesi er il digrmm) e ( G G G ) ( B B B ) B rcg G G B B G B rblem 4.09 e imedenze 0 e 0 40 cllege r lr in serie sn limene cn un ensine sinusidle di 00 eicci - 50 Hz.- lclre l ensine i ci delle single imedenze e l crrene ssrbi; rccire il digrmm lre del circui.- miegnd er i veri e gli erri verili l nzine ì de mericn: dul Fse e Si ssume cme vere di rierimen cn se inizile zer il vere ensine: 00 0 & 00 0 & e 5

24 crrene ssrbi dl circui vle eicci ed è ss di 5 in rird sull ensine. & & & & ensine i ci dell rim imedenz vle 0 eicci ed è ss in rird di 5 in rird sull ensine d limenzine. ensine i ci dell secnd imedenz vle 8944 eicci ed è ss di 0 in nici sull ensine d limenzine.- n lerniv se nn sn richiesi i vlri degli ngli di ssmen d ver deermin l imedenz equivlene: & & & & 0 0 & & rblem 4.0 e re imedenze indice nell schem di igur sn cllege in serie ed limene dll ensine lern 00 ;50 Hz :- lclre l cdu di ensine su ciscun e rccire il digrmm lre del circui imedenz equivlene delle re imedenze in serie è: e crrene ssrbi dll serie è: 00 0 e e 0 e ensini i ci di ciscun imedenz risuln essere: 6

25 equzine verile che gvern il circui l cui rresenzine gric rresen il digrmm lre del circui è: ssumend l crrene cme vere di rierimen cn se inizile zer: rblem 4. Deerminre il vlre dell resisenz e dell indunz iueni un imedenz hmicinduiv che limen ll ensine lern 00 ;50 Hz ssrbe un crrene 0 ; menre limen ll ensine Hz ssrbe un crrene 8.- ll requenz di 50Hz l imedenz vle: Ω 50 ( π ) 0 ( 4 ) 0 ll requenz di 75Hz l imedenz vle: Ω 75 ( π ) 5 ( 47 ) ( 47 4 ) H 4 86 Ω 7

26 rblem 4. Nel circui di igur iui d re imedenze cllege in serie si cnsce l cdu di ensine i mrsei dell ; deerminre il vlre dell ensine e crrene li e rccire il digrmm lre del circui e ( 4 ) ( 4 ) e e ssumend cme vere di rierimen cn se inizile zer l crrene cmune ue le imedenze (si è in resenz di un circui serie): ; 50 Hz rblem 4. Un resisenz 4 Ω è s in serie d un imedenz hmic-induiv ; qund l serie è limen ll ensine 50 ;50 Hz l cdu di ensine i ci dell resisenz vle 40 e quell i ci dell imedenz 80.- Deerminre l crrene ssrbi dll serie ed il vlre dell imedenz cn le sue cmneni.- equzine verile che regl il unzinmen del circui cn l su rresenzine lre risuln: 8

27 9 cn: e Ω e Ω e Essend: ) ( e isulerà: ) ( e ) ( Srend membr membr: Ω Ω rblem 4.4 Due imedenze se in rllel sn limene cn un ensine sinusidle di 50 eicci - 50 Hz.- lclre le crreni nei singli rmi e quell le; rccire il digrmm lre. ssumend cme vere di rierimen cn se inizile 0 l ensine d limenzine: Ω Ω Ω &

28 & & & 50 0 & & & & rblem 4.5 Trvre l imedenz equivlene delle due imedenze se in rllel: Y e 6 87 Y Y Y Y e Y e ircuii cn cllegmen serie-rllel: Un circui serie rllel cme quell di igur uò essere risl in diversi mdi in bse quli di vengn rnii.- Se sn rnii i vlri delle imedenze e dell ensine di limenzine: 0 & & & B & & & & & & B B

29 Se sn invece rnii i vlri delle imedenze e dell ensine i ci del rllel (iizznd hmic induiv e hmic cciiv): & & & G B B B & G & B & B B & & & & & B rblem 4.6 Deerminre l imedenz e l mmeenz equivleni del circui di igur. Ω 5Ω 5Ω Ω 5Ω Ω 4Ω 4 B4 B ( ) B B 4 e B Y e e e Ω e 4Ω G B e e 0 08Ω 0 07Ω

30 rblem 4.7 Nel circui di igur l ensine d limenzine.- i ci dell vle Hz clclre l ensine Ω 5Ω 5Ω Ω Ω 4Ω Y 0 Y 0 5 Y Y Y Y Y ssumend cme vere di rierimen: & 00 & & & & Y & Essend l ss in rird di 467 rise l sse di rierimen (sul qule si è s l ) e l ss in nici di 54 rise le sse l crrene le srà ss in rird di 6 (46754) rise l ensine.- G B G B rblem 4.8 Trvre l imedenz nel circui di igur cnscend i vlri di e :

31 imedenz equivlene del circui è rni dll esressine: e Y Y Y Y Y Y Y rblem 4.9 l circui di igur limen ll ensine di cndizini indice le segueni crreni: 0 ;50 Hz ssrbe nelle diverse Ts Ts () er er 5 er hius 6 hius er Deerminre il vlre di e l esressine di.- Nell cndizine l equzine del circui ed il reliv digrmm lre risuln: ( ) e e 0 4 Ω e 5 ( ) 4 (*) Nell cndizine il circui l su equzine ed il reliv digrmm lre risuln:

32 0 0Ω 6 0 (**) Nell cndizine il circui l su equzine ed il reliv digrmm lre risuln: 0Ω 0 0 Ω eend sisem le (*) e (**) srend membr membr e ssiuend il vlre ricv recedenemene: ( ) 0 4 ( 0 ) 76 8Ω 9 6Ω rblem 4.0 Di i vlri delle re imedenze del circui di igur deerminre l ensine d limenzine e l crrene le ssrbi cnscend il vlre dell crrene che rvers l imedenz ; 50 Hz ensine i ci del rllel vle: ssumend cme vere di rierimen l ensine 00 0 si ricv: 4

33 crrene le ssrbi dl circui vle: ensine d limenzine risul: e equzini verile che regln il unzinmen del circui e che ermen di rccirne il digrmm lre sn: G B G B rblem 4. nscend il vlre dell crrene nel circui di igur deerminre l ensine d limenzine e l crrene le ssrbi.- ensine i ci dell imedenz vle: 5 0 Ω Ω Ω 4 Ω 4 6Ω 4 6Ω 5 Ω 6 8Ω 6 0Ω ; 50 Hz 5

34 imedenz equivlene del rm vle: Y ssumend l ensine cme ensine di rierimen cn se zer: 0 0 le crreni nei re rmi in rllel risuln: Y Y Y crrene le ssrbi dl circui è: ensine d limenzine vle: ( ) enz eleric nei circuii in crrene lern enz nei circuii - ed -: Si cnsideri un circui iui d un generre ed un imedenz di cric hmic induiv; ssumend cme grndezz di rierimen l crrene circlne risulerà: i senω v sen ( ω ) enz isnne che il generre scmbi cn il circui srà : v i senω sen 6 ( ω ) sen ω sen ω ω sen ω sen sen ω ( ω ) sen sen ω ) ( ω ) sen sen ω. l rim ermine dell enz isnne: ( ) rresen un enz che vri sinusidlmene cn requenz di dell ensine e dell crrene cn vlre minim zer e mssim mnenendsi semre siiv e cn vlre

35 medi.- energi reliv le enz (re reggi) è u siiv signiicnd che v semre dl generre l cric che l rsrm inegrlmene in un lr rm d energi cedendl ll esern (in ques cs s rm di clre).- Ques enz rende il nme di enz iv rele isnne.- iché l energi ssrbi d un circui ineress dll enz isnne vribile: ( ω ) è ugule quell ssrbi dl medesim circui ineress dll enz ne ri : si ssume il vlre medi dell enz isnne cme enz iv enz rele semlicemene enz del circui: il re rende il nme di Fre di enz del circui.- Essend il re dimensinle l enz rele si misur in W cn i sui mulili e smulili.- er l enz iv vlgn le relzini: essend: e B. l secnd ermine dell enz isnne: r sen sen ω rresen un enz che vri sinusidlmene cn requenz di dell ensine e dell crrene cn vlre mssim sen e vlre medi null.- Ques enz rende il nme di enz reiv isnne (è leg ll resenz di renze nel circui).- iché l energi scmbi r generre e cric in un iner erid è null (l enz h vlre medi null) l qunià d energi che nel rim semierid il generre rnisce l cric (ll indunz) viene d ques inegrlmene resiui nel secnd semierid.- Tle energi di i cnserviv viene uilizz dll indunz er crere il cm mgneic ( W ) nell inervll di em nel qule l crrene ss dl vlre zer l vlre mssim; viene quindi 7

36 inegrlmene resiui qund l indunz si scric nell inervll di em nel qule l crrene ss dl vlre mssim zer.- l vlre mssim dell enz reiv isnne rende il nme di enz reiv del circui: Q sen nche se l enz reiv h le medesime dimensini di quell iv (W) er disinguerl d ques viene misur in lmereeivi: (dimensinlmene quindi idenic l W).- dierenz dell enz iv che er cmres r -90 < < 90 (cric hmic induiv ed hmic cciiv) risul semre siiv nel cs dell enz reiv in resenz di un cric hmic induiv cn siiv (ensine in nici sull crrene) il sen è siiv quindi l Q risul siiv; l cnrri in resenz di un cric hmic cciiv cn negiv (ensine in rird rise l crrene) il sen è negiv quindi l Q risul negiv.- ric Ω 0 < > 90 sen > 0 Q > 0 ric Ω 90 < < 0 sen < 0 Q < 0 90 < < 90 > 0 > 0 er l enz reiv vlgn le relzini: Q sen sen essend: e sen. enz isnne scmbi dl generre cn il circui uò essere esress d: ( ω ) sen sen ω ω sen ω sen ( ) ω miezz. dell scillzine che l curv cmie rn l su vlre medi rresen sl renemene il luss dell energi nel circui che in relà è deermin sln dl vlre medi di.- Tuvi nell ric è di grnde uilià cnsiderre l miezz dell scillzine dell enz isnne rn l su vlre medi; le miezz rende il nme di enz rene: 8

37 enz rene è il vlre mssim l di s del qule si mniene l enz rele rggiun sln nel cs di crrene eremene in se cn l ensine.- enz rene h le sesse dimensini isiche dell enz iv uvi er disinguerl dgli lri due ii di enz si misur in lmere: cn i sui mulili e smulili Tringl delle enze: re rmeri rresenivi del regime energeic in un circui ve sin reseni ensine e crreni sinusidli sn: [ W ] Q sen [ ] [ ] Quesi sn legi r lr dlle relzini: Q sen g Q er cui ssn essere rreseni in un run scl cme li di un ringl rengl: e enze ssn essere clcle nche cn le esressini: Q sen sen Y G Y sen B rblem 4. Qul è l esressine cmless dell erre verile imedenz che limen ll ensine i 0 50Hz ssrbe un enz iv di 0 kw ed un enz reiv di 08 k? Essend Q > 0 l crrene & risulerà in rird sull ensine l' erre imedenz è di i Ohmic induiv. Q g sen & quindi Ω Ω sen Ω

38 rblem 4. Si deermini il ringl delle enze ssrbie d un circui che limen dll ensine v 00 sen(4 0) ssrbe l crrene i 5 sen(4 70).- ssnd di vlri isnnei lle esressini simbliche delle grndezze e cend rierimen i vlri eicci: v 00 sen ( 4 0 ) & i 5sen ( 4 70 ) & crrene risul in rird rise l ensine di : il circui risul di i hmic- induiv W Q g 89 g rincii dell cnservzine dell enz iv e eiv: Terem di Bucher: Sin re imedenze cllege in serie che limene ll ensine ssrbn l crrene.- 'equzine che leg r lr ensine e crrene esress in rm verile è: & ( )& ( )& ( )& l digrmm lre del circui risulerà: nlizznd il ringl OB si deduce: sen lilicnd mb i membri er : sen 40

39 Q Q Q Q Nel cs di iù imedenze cllege in serie risulerà: enz iv le ssrbi dl circui è ri ll smm rimeic delle enze ive ssrbie d ciscun imedenz.- enz reiv le scmbi dl circui cn il generre è ri ll smm lgebric delle enze reive scmbie d ciscun cric ssumend cme siiv l enz reiv reliv d imedenze hmic induive e negiv quell reliv d imedenze hmic cciive.- Nel cs di iù imedenze cllege in rllel si cnsiderin le lr mmeenze che limene dll ensine ssrbirnn un crrene le.- equzine che ne in relzine ensine e crrene in rm verile è: ( G B ) ( G B ) ( G B ) l digrmm lre del circui risulerà quell di igur: nlizznd il ringl OB e enend cn del vers dei segmeni: ( ) G G G sen ( ) B B B lilicnd u er e vend resene che sen(- ) -sen : G G G sen B B B Q Q Q Q nche in resenz d imedenze in rllel r le enze in gic sussisernn le medesime relzini vise er quelle in serie.- Si veriic ì il rincii di cnservzine delle enze esress dl Terem di Bucher : n un circui cmunque cmless in regime sinusidle isrequenzile l enz iv le è ri ll smm delle single enze ive ssrbie d ciscun cric menre l enz reiv è ri ll smm lgebric delle single enze reive ssegnnd segn siiv quell di nur induiv e negiv quelle di nur cciiv.- Σ i i Q Σ Q i i cn : Q Q > 0 < 0 4

40 rblem 4.4 Un line limen ll ensine di 0 50 Hz re crichi che ssrbn riseivmene: 50 80W Q lclre l enz le e l crrene di line W Q sen W Q Q Q g 80 ( 0 75) 5 sen W licnd il erem di Bucher l enz iv e reiv le risuln: W Q 85 g ( ) ( ) Q Q Q Q isul quindi che l line limen ll rriv ll ensine di 0 un cric equivlene che ssrbe un enz di 588W cn un 0955() ciè di i hmic induiv; l crrene di line srà ern: rblem 4.5 Nel circui di igur deerminre l ensine d limenzine e l crrene le cnscend il vlre dell imiegnd il med delle enze; rccire il digrmm lre ; 50 Hz er clclre le enze ssrbie dlle imedenze e cnscend l lr ensine d limenzine bisgn clclrne le mmeenze: Y ure Y

41 Y ure Y G W Q B G W Q B enz rene le reliv lle due imedenze e è: Essend: ( Ω ) ( Ω ) ( Q Q ) ( ) ( ) ( ) e enz ssrbi e scmbi dll imedenz vle: W Q ( Ω ) enz rene le reliv ll iner circui vle: ( ) ( Q Q Q ) ( ) ( ) Essend: ( ) 7088 ( Q è siiv quindi il cric nel su cmless risul di i hmic induiv: l crrene è in ird sull ensine) e equzini verili che gvernn il unzinmen del circui sn: 00 G B G B 4

42 rblem 4.6 Due imedenze se in rllel sn limene dll ensine 0 ;50 Hz.- lclre l crrene le ssrbi ed il su cn il med delle crreni e cn quell delle enze e crreni ssrbie dlle due imedenze sn: Y ed delle crreni: Si sceg l ensine d limenzine cme vere di rierimen: Y crrene le ed il su si ricvn licnd il rim rincii di Kirchh: crrene risul essere in rird sull ensine di - 0 ed delle enze (erem di Bucher): e enze ssrbie e scmbie dll due imedenze vlgn: W Q W Q 8 87 e enze li del circui srnn er il erem di Bucher: W Q Q Q Q 96 g

43 rblem 4.7 D il circui di igur ve è n l cdu di ensine i ci dell imedenz clclre il vlre dell ensine d limenzine e delle crreni nei rmi del circui. eriicre l esezz dei risuli licnd il med delle enze ; 50 Hz 6 6 ssumend cme vere di rierimen cn se inizile zer l ensine i ci dell imedenz : crrene si ririsce r le due imedenze in rllel: ensine i ci del rllel è: ensine d limenzine del circui è: eriic cn il med delle enze: Se i vlri delle crreni rvi sn esi le enze che ineressn le re imedenze sn: W Q W Q 8 W Q 95 er il erem di Bucher le enze li del circui risuln: W Q Q Q Q

44 l si ricv di vlri delle enze: Q g ensine d limenzine deve quindi essere: inee di rsmissine dell energi eleric me già vis in crrene cninu nche in crrene lern un generre s d un cer disnz dll uilizzre viene clleg ques medine un ci di cnduri iueni un ine biilre vene un rri resisenz ed indunz disribuie su u l su lunghezz (rndsi di linee mnsi generlmene cre e unzinni cn ensini ineriri l miglii di vl si ssn rscurre ccià e cndunz rsversli).- er semlicià di clcl l resisenz e l renz di u l line s immginn cncenre in un unic un cn vlre riseivmene: D ρ Ω lg0 0 S d km ve: è l lunghezz dell line - S l sezine dei cnduri di line - D l disnz r i cnduri d il dimer dei cnduri - ρ l resisivià del merile di cui sn i i cnduri - (l requenz di ree si ssume ri 50 Hz). & & & & & & & verile Si deinisce cme cdu di ensine verile dell line l dierenz verile r l ensine in renz e quell in rriv.- Si deinisce cme cdu di ensine sclre indusrile dell line l dierenz lgebric r l ensine in renz e quell in rriv.- & & & er cui riseivmene: verile & & & verile & & i cnscenz dell cdu di ensine indusrile ermee di clclre cilmene l ensine in renz dell line d quell in rriv e vicevers senz dver ricrrere clcli verili.- er il clcl dell cdu di ensine indusrile su un line viene nrmlmene us un rmul rssim.- Si rcci il digrmm lre dell line: 46 i & Trcci un rc di circnerenz cn cenr in O e rggi l rssimzine cnsise nel rienere

45 rscurbile il segmen B rise in cnseguenz del che in ric.- i O O B D DB B sen sen i ( sen ) i ensine in renz uò essere clcl esmene usnd l esressine: ( ) ( sen ) ssmen r ensine e crrene in renz vle: cdu di ensine ercenule di line viene cnvenzinlmene rieri ll ensine in rriv: i i % 00 rblem 4.8 Un line vene 0Ω e 0 Ω limen ll ensine di 0 50 Hz un cric iui d due imedenze in rllel 0 45 e lclre l cdu di ensine ercenule in line l ensine ed il in renz.- Y Y Y e Y Y e Y e ( sen ) 9 ( sen 5 9 ) 5 i i % % e ( 5 ) 47

46 l cnrn r il vlre del in renz e in rriv cnerm l iesi semliiciv nel clcl dell esressine dell cdu di ensine indusrile endimen delle linee di rsmissine dell energi eleric: me già vis un line mnse er bss ensine è crerizz dll resisenz e dll renz lngiudinli che rverse dll crrene ssrbi dl cric ( ) deerminernn si un cdu di ensine si un erdi di enz iv: l Se l enz ll rriv ssrbi dl cric vle: er il erem di Bucher l enz le rni dl generre srà ri ll smm dell enz dissi dll resisenz di line iù quell ssrbi dl cric: l Si rà ern deinire un rendimen di line: η ssegn un cer rendimen ll line si uò ricvre l resisenz che deve vere l line sess: η η η η rblem 4.9 Un line mnse limen ll ensine di 0 50 Hz un cric che ssrbe un enz 0 kw cn 08 () ; send che l line unzin cn un rendimen del 95% ed un cdu di ensine indusrile del 0% clclre l resisenz e renz di line.- crrene di line è : cdu di ensine indusrile e il rendimen di line sn riseivmene: i % 0 i 0 η resisenz di line si ricv dll esressine invers del rendimen: η Ω η renz si ricv dll esressine dell cdu indusrile di ensine:

47 i ( sen ) i sen Ω ismen Un rblem che si resen ml sess negli imini d uilizzzine dell energi eleric è quell cnness d un vlre r bss del dei crichi hmic-induivi cn l cnseguene necessià di un scmbi di ml enz reiv rise l vlre dell enz iv ssrbi e relmene uilizz.- Un bss vlre del del cric cmr quindi l ssrbimen dll ree rià di enz rele di un crrene iù elev: Tle crrene suerire quell necessri se il del cric sse qusi uniri deermin negli imini di rduzine rsr e disribuzine un surlus di erdie er ee Jule ( dis. eq ) lre enere imegni gli imini sessi.- er ridurre rià di enz iv ssrbi l crrene le di line srà suiciene rre in rllel l cric un cndensre di ccià run; le cndensre nn ssrbirà lcun enz iv (rnne le sue rscurbili erdie) m ermeerà l scmbi di un nevle qunià d energi reiv cn il cric hmic-induiv umennd in l md il equivlene e in deiniiv riducend l crrene di line.- l clcl dell ccià necessri d enere un cer ismen del cric si esegue cilmene uilizznd il erem di Bucher: rim del rismen le enze in line sn: Q sen g D il rismen le enze in line risuln: 0 Q Q g sen ω Q Q Q g ω 49

48 ssmen r ensine di line e crrene di line d il rismen risulerà: Q g ω g dll relzine vis si uò ricvre il vlre dell ccià necessri d enere l ssmen vlu: g g ω ( g g ) ω rblem 4.0 Un line vene 0 05 Ω limen ll ensine di 0 50 Hz un cric che ssrbe un enz 0 kw cn 0 4 ( ).- er ridurre le erdie in line si ris il cric in md d rre il l vlre 09.- lclre il rendimen dell line rim e d il rismen ed il vlre dell ccià del cndensre di rismen.- rim del rismen: W η % % ccià del cndensre di rismen srà: D il rismen: ' ' ' W ' 0000 η % ' % rblem 4. Un line mnse vene Ω limen ll ensine di 0;50Hz due crichi che ssrbn riseivmene 0kW 0 6( ) 0kW 0 8( ) lclre l ensine in renz dell line ed il su rendimen.- 50

49 Q.. licnd il erem di Bucher si clcl il cric equivlene ll rriv: 0000W Q g Q Q 0000W Q Q g W ( 0 75) 7500 g Q Essend: cdu di ensine indusrile in line vle: i sen ensine in renz risul quindi: i ( ) ( ) l rendimen di line è: 0000 η % % Un line vene rblem 4. limen ll ensine 500 ; 50 Hz re crichi: 0kW 0 8( ) 6kW k( Ω ) Y Send che in li cndizini di cric l line unzin cn un rendimen del 90% deerminre l ensine ed il in renz l resisenz e renz di line.- 5

50 licnd il erem di Bucher si clcl il cric le equivlene ll rriv: 0000 W Q g W Q Q Q G W Q B W Q Q Q 9500 Q 9500 g n bse l rendimen reiss er l line l resisenz dei cnduri di line risulerà: η Ω 0 4 Ω η cdu di ensine indusrile vle: i ( sen ) 7 4 ( ) 48 5 ensine in renz dell line è: i rblem 4. Un line limen ll ensine 80 ;50 Hz due crichi che ssrbn riseivmene: 70kW 0 5( ) 0kW 0 9( ) Send che in li cndizini di cric l line unzin cn un rendimen η % 95% e cn un cdu di ensine i % 0% clclre l resisenz e renz di line l ensine ed il in renz.- lend umenre il rendimen dell line si risn i crichi rnd il l vlre 095. lclre il vlre dell ccià d rre in rllel i crichi ed il nuv rendimen di line.- l cric equivlene ll rriv viene clcl licnd il erem di Bucher: 70000W Q g W Q g 0000 ( 0 484)

51 Q Q Q W Q 554 g Dvend l line unzinre cn un rendimen del 95% l enz in renz e le relive erdie in line srnn: W W η Essend: 0 0Ω 77 cdu di ensine indusrile in line vle: i % 0 i sen i ( ) ( ) 0 0Ω i lend rre il l nuv vlre 095 l beri di cndensri d inserire ll rriv dell line dvrà vere un cci di: ( g g ' ) ( ) ω F 807 µ F is il cric l nuv crrene di line diven: ' 49 ' l nuv rendimen dell line risulerà: η '% % ' rblem 4.4 Un line vene 0 5 Ω e 0 Ω limen in renz ll ensine 50 ; 50 Hz limen l su rriv un cric che ssrbe un enz 0 kw cn 0 8 ( ). icvre il vlre dell ensine ll rriv ed il rendimen dell line.- 5

52 e equzini di unzinmen dell line sn: sen ( ) e ssiuend l secnd nell rim: ( sen ) ( g ) ( ) ± is il vlre dell ensine in renz il vlre ccebile dell ensine ll rriv è: crrene di line vle: l rendimen dell line risul essere: 0000 η % % Un line vene rblem limen in renz ll ensine 400 ;50 Hz limen ll rriv due crichi di cui il rim ssrbe un enz 0 kw cn 0 5 ( ) ed il secnd un enz 0 kw cn 0 9 ( ); send che in li cndizini di cric l line unzin cn un rendimen del 95% deerminre l ensine ll rriv l resisenz e l renz di line.- lcl del cric equivlene ll rriv (Terem di Bucher): 0000W Q g W Q g 0000 ( )

53 55 Q Q Q W Q g l cric equivlene ll rriv risul essere: W e equzini che regln il unzinmen dell line sn: ( ) sen η η 5 0 ( ) sen η η ( ) ( ) sen sen η η η η η η ( ) ( ) sen η η Ω Ω η η

54 il SSTE OFS Sisemi Trisi Su un cilindr di merile errmgneic lmin rne in un cm mgneic unirme d induzine B si vvlgn re diversi grui di sire disse su ini ssi r lr: n ciscun gru di sire veni suericie S e numer di sire N k rni cn velcià nglre w in un cm mgneic d induzine B s indurrà un F.E..: e e e BSN BSN BSN ω senω E ω sen ω sen ( ω ) E sen ( ω ) ( ω ) E sen ( ω ) senω e F.e.m. che si ssn relevre i ci di ciscun dei re grui di sire iuiscn un Sisem rise di ensini che in generle:. Sn isrequenzili. Hnn ssmen recirc ne. Hnn vlri mssimi diversi e re ensini essend grndezze sinusidli isrequenzili ssn essere esresse in rm simblic rignmeric: E& E E& E ( sen ) E& E ( sen ) iscun ensine viene chim Fse; se si ssume cme sens ciclic delle si quell nel qule esse si succedn in sens rri l ern rende il nme di Dire Sisem simmeric di ensini risi: Se il numer delle sire e l suericie dei re vvlgimeni necessri generre il sisem rise sn uguli le re F.e.m. vrnn il medesim vlre mssim: E E E E Se le bbine sn disse in ini li che due due rmin ngli uguli risulerà: 0 40 l sisem rise che ne risul rende il nme di: Sisem rise simmeric 56

55 e E sen ω e E sen ω π 4 e E E sen ω π sen ω π e re ensini essend sinusidli ed isrequenzili ssn essere esresse in rm simblic rignmeric: E& E 0 E ( 0 sen0 ) E E& ( ( ) ( )) E 0 E 0 sen 0 E E& 40 ( ( 40 ) ( 40 )) E E sen E Se l ern viene ssun in sens ciclic (rri) rende il nme di Dire.- Un ern simmeric dire di ensini in deiniiv è iui d re ensini che hnn le segueni crerisiche: - Sn isrequenzili - Hnn l sess vlre mssim - Sn sse r lr di / di erid - Si succedn nel sens ciclic (rri) Eseguend l smm delle re ensini che iuiscn un ern simmeric si iene: E& E& E& E 0 nche cend rierimen i vlri isnnei: e e e E sen ω E sen ω 0 E ω sen0 E sen ω 40 E ω sen 40 E sen ω sen ω ω sen ω ω 0 smm dei vlri isnnei delle ensini di un ern simmeric e semre ugule zer Un ern di grndezze sinusidli che gde di le rrieà si dice ur.- 57

56 5... Sisem equilibr di crreni risi: licnd un ern di ensini risi (isrequenzili) re imedenze qulsisi quese vengn ercrse d re crreni: & & & & & & che in generle:. Srnn isrequenzili. vrnn vlre mssim e se divers in unzine dei vlri mssimi delle re ensini e dei mduli e si delle re imedenze.- Un insieme di re crreni veni li crerisiche iuiscn un Sisem rise di crreni. Nel cs riclre che l ern di ensini lice si simmeric e le re imedenze che iuiscn il ric rise sin r lr uguli iuend un cric che viene deini equilibr l ern di crreni che ne risul si deinisce Equilibr: v senω i sen ( ω ) v sen ( ω 0 ) indicnd cn: i sen( ω 0 ) v sem ( ω 40 ) i sen ( ω 40 ) Un ern equilibr di crreni in deiniiv è iui d re crreni che hnn le segueni crerisiche: - Sn isrequenzili - Hnn il medesim mdul - Sn sse r lr di / di erid e di rise l ern di ensini che le circlre - Si succedn in sens ciclic (rri) nche er l ern equilibr di crreni vle l medesim rrieà vis er l ern simmeric di ensini: & & & 0 i i i 0 smm dei vlri isnnei delle crreni di un ern equilibr è semre ugule zer.- Un ern simmeric di ensini un ern equilibr di crreni uò nche essere rresen usnd gli erri cmlessi r 0 ed r 0 ; mlilicnd un vere rne er r l si rure di 0 in rird lscindne invri il mdul; mlilicnd un vere rne er r l si rure di 0 in nici lscindne invri il mdul: r 0 r 0 r 0 r 58

57 Un ern dire simmeric equilibr uò essere indic cn: ( ;r ;r ) ; ( ;r;r ) rblem 5.0 Un ern simmeric di ensini vene vlre eicce 00 viene lic d un cric rise equilibr iui d re imedenze uguli: lclre l ern equilibr di crreni circlni.- ssumend cme vere di rierimen cn se zer l ensine : & & & Essend l ern di ensini lice simmeric e il cric rise equilibr l ern di crreni srà equilibr.- & & r r & & & Sisemi Trisi simmerici ed equilibri 5... llegmeni inersici delle ensini: me si è vis rlnd dell genesi di un sisem rise di ensini le re bbine slidli e rni ll medesim velcià ll inern di un cm mgneic unirme si cmrn cme re generri che rniscn re disine ensini veni l medesim requenz e r lr un ssmen ben recis che rimne inler.- iscun ensine chim se c due disini mrsei quindi un generre rise h in generle sei mrsei.- n ric cn degli runi cllegmeni inersici le numer di mrsei viene rid re qur.- 59