1. Funzioni. Fig. 1. Si chiama antiimmagine o controimmagine di un elemento b dell insieme di arrivo quel

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1 .s. 00/0 Clsse DS 7/09/00 - Pr. Fernnd D Angel.. Funzini Deinizine dti due insiemi nn vuti A e B si chim ppliczine unzine d A B un crrispndenz tr i due insiemi che d gni œ A crrispndere un ed un sl b œ B (ig. ). A B b b b b (A) Si scrive Fig. A B b ( ) L'insieme A è il dmini ( cmp di esistenz insieme di deinizine) dell unzine ( ppliczine). Un qulsisi œ A h un ed un sl immgine b œ B per mezz dell. L insieme (A) si chim immgine del dmini insieme delle immgini ed è il sttinsieme prpri imprpri di B rmt dgli elementi che hnn lmen un cntrimmgine in A immgine del dmini ( A) { b B b ( ) A} B. Si chim ntiimmgine cntrimmgine di un element b dell insieme di rriv quel sttinsieme prpri imprpri del dmini indict cn dmini venti per immgine l element b cnsidert ntiimmgine ( b) { A ( ) b b B} A. ( b) cstituit dgli elementi del Fcend rieriment ll esempi di ig. di seguit lcuni esempi di us di terminlgi e simblism intrdtti ) b ( ) b è l immgine trsrmt di ; ( ) { } A b) b ntiimmgine di b ; ( ) A c) b l ntiimmgine di b è l insieme vut perché b nn è immgine trsrmt di lcun element di A. Esercizi. Si scriv sempre in relzine ll esempi di ig. l ntiimmgine di tutti gli elementi di B. Si cnsideri pi l insieme C i cui elementi sn le ntiimmgini precedentemente trvte. ) l insieme C è un sttinsieme dell'insieme delle prti di A indict P(A)? b) l insieme C è un prtizine di A? Pgin di 0

2 Sluzine. ( ) b ; ; ; ( ) { } b ( ) { } b ( ) { } b { }{ }{ } { } A P C ( ) L insieme delle prti di A indict P(A) è l insieme i cui elementi sn tutti i pssibili sttinsiemi di A ( ) { { }{ }{ }{ }{ }{ }{ } { } { } { }{ }{ }{ } { }{ }{ }{ }{ }{ }{ }{ }{ { }{ }{ }{ }{ }{ }{ } { }{ } } A P } Un prtizine dell insieme A è un migli di sttinsiemi nn vuti di A tle che () l unine dei sttinsiemi è l insieme A; (b) i sttinsiemi sn due due disgiunti. L unine degli elementi di C è l insieme A e gli elementi di C sn due due disgiunti però in C c è nche l insieme vut pertnt l insieme C nn è un prtizine di A. Il termine cdmini. In lettertur per qunt rigurd l terminlgi reltiv gli insiemi B e (A) si trvn purtrpp scelte dierenti. B insieme di rriv ; (A) immgine del dmini ; in tl cs si rinunci prevlentemente ll us dell prl cdmini qund l si us per evitre mbiguità se ne rnisce sempre nel cntest l deinizine;. B nn si utilizz un termine prticlre vlte viene genericmente indict cme il secnd insieme cinvlt nell deinizine dell ppliczine ; (A) invece è dett cdmini in tl cs dunque cdmini e immgine del dmini sn sinnimi;. B viene dett cdmini; (A) immgine del dmini insieme delle immgini. È imprtnte essere cnscenz di tli vrinti qund si cnsultn libri di test diversi qund si rntn quesiti reltivi lle unzini prvenienti d nti diverse. Nt bene gni element del dmini di un unzine deve vere un ed un sl immgine m elementi distinti del dmini pssn nche vere l stess immgine nel cs di un unzine l crrispndenz d A B è univc. Qund gli insiemi A e B di un ppliczine sn sttinsiemi prpri imprpri dell'insieme dei numeri reli si pri di unzine rele di vribile rele. Indicherem slitmente cn D il dmini cn il generic element del dmini e cn il generic element dell insieme di rriv. L nmencltur ust è œ D vribile indipendente œ vribile dipendente; gli ggettivi «indipendente» e «dipendente» sn giustiicti sservnd che in bse ll deinizine di "unzine" pres un qulsisi del dmini l su immgine () rimne cnseguentemente e univcmente determint dll unzine. Pgin di 0

3 Per le unzini reli di vribile rele è utile ricrdre nche l deinizine clssic dvut Dirichlet Deinizine un vribile rele si dice unzine di un vribile rele in un dmini D sttinsieme prpri imprpri dei numeri reli se esiste un legge di ntur qulsisi che cci crrispndere d un qulsisi del dmini un ed un sl vlre di. Nel seguit ci ccuperem sempre slv vvis cntrri di unzini che hnn un «espressine nlitic» e pertnt l scrittur () indicherà nn sl 'immgine di un vlre del dmini m nche l equzine dell unzine essend quel cmpless di perzini mtemtiche cn le quli d un generic si cstruisce l crrispndente immgine. Per brevità si sul dire nche se nn è crrett «l unzine ()» mentre ccrrerebbe dire «l unzine di equzine ()» ppure «l unzine Ø ()».... Per qunt vist per ssegnre un unzine è indispensbile indicre espressmente e in dll inizi il dmini e l insieme di rriv. Pertnt dire d esempi si cnsideri l unzine ( ) è imprpri ( ) è slmente un legge mtemtic (in tl cs è di ntur nlitic). Tle legge può dr lug d un unzine qulr si precisin il dmini e l insieme di rriv. In ltre prle l stess legge mtemtic può dr lug unzini diverse (cn prprietà diverse!!) secnd dell scelt tt per il dmini e l insieme di rriv. Ad esempi le unzini sttstnti ( ) ( ) sn diverse pur utilizznd l stess legge nlitic. Nel seguit si usernn le seguenti ntzini { 0 } { 0} { < 0} { > 0} Che sens dre llr ll rse trvre il dmini dell unzine ()? Si cnviene di cnsiderre cme dmini nturle dell unzine 'insieme di tutti i pssibili vlri reli che si pssn ttribuire ll vribile indipendente inché esist il crrispndente vlre unzine di cstruit medinte l legge. Si cnviene ciè che il dmini se nn speciict prveng dlle cndizini di esistenz dell espressine nlitic dell unzine è per tle mtiv che il dmini (simbl D) è nche chimt cmp di esistenz (simbl C.E.) insieme di esistenz (I.E.) insieme di deinizine (I.D.). L rse trvre il dmini dell unzine () ndrebbe rirmult csì. si cnsideri l legge tr numeri reli espress nliticmente dll equzine ();. si determini il più vst sttinsieme prpri imprpri D dei numeri reli ve tle legge pss essere ssegnt;. determint tle insieme D l si cnsideri il dmini di un unzine e si cnsideri cme insieme di rriv l insieme dei numeri reli;. si cnsideri inine l unzine D ( ) Pgin di 0

4 .s. 00/0 Clsse DS 7/09/00 - Pr. Fernnd D Angel.. Prprietà delle unzini - Un unzine D ( ) si dice iniettiv se (.) ( ) ( ) D vle dire se elementi distinti del dmini hnn immgini distinte nell immgine del dmini. Si cnsideri d esempi l unzine ( ) Tle unzine nn è iniettiv perché d esempi ( ) ( ) m e in tl md l prprietà () nn vle. In quest cs vlend negre l prprietà di iniettività si è tt us di un cntresempi. Più in generle si srebbe ptut ermre che ( ) ( ) se 0 m e quindi di nuv l prprietà () nn vle. Dvend invece dimstrre che per un unzine vle l prprietà di iniettività nn è pssibile rl rnend esempi è necessri pertnt ricrrere d un dimstrzine di vlidità generle. isult in tl cs spess cmd cnsiderre invece dell (.) l cndizine seguente (.) ( ) ( ) D L cndizine () è lgicmente equivlente ll () in lgic si dice che l () è l prpsizine cntrppst dell (). Pgin di 0

5 Esempi. Si cnsideri l unzine ( ) Per dimstrre che è iniettiv nel dmini ssegnt i pssggi rmli prendend in cnsiderzine l prpsizine () ptrebber essere i seguenti ( ) ( ) ( )( ) È imprtnte cnvincersi in tle esempi che mentre l sluzine è sempre ccettbile l secnd sluzine viene scrtt perché nn pprtiene l dmini cnsidert. Cn pssggi rmli si è pertnt dimstrt che ( ) ( ) vle dire che l prpsizine () vle per l unzine cnsidert. Anlgmente risult iniettiv l unzine ( ) Negli esempi cnsiderti h vlutmente cnsidert l stess legge mtemtic ssegnt in dmini diversi ciò è stt tt per entizzre il tt che restringend pprtunmente l insieme di prtenz di un unzine si può generlmente individure un dmini D in cui l legge mtemtic di lug d un unzine che gd dell prprietà di iniettività. Cpit quindi di incntrre il seguente quesit è pssibile restringere pprtunmente il dmini dell unzine per re in md che l nuv unzine deinit (dett restrizine dell ) si iniettiv?. Vedrem lezine degli esempi. Pgin di 0

6 Criteri gric per stbilire se un unzine è iniettiv men. Dispnend del gric di un unzine si può spess utilizzre il seguente criteri qulittiv Si cnsider il sci di rette del pin prllele ll sse ; se l generic rett di tle sci intersec l più il gric dell unzine in un sl punt llr l unzine è iniettiv. Tle criteri è vvimente sl qulittiv perché deve essere spess surgt d cnsiderzini nlitiche più rigrse. - Un unzine D B ( ) si dice suriettiv se ( D) B ciè se ( ) B D che si legge nel md seguente ( ) ( b) ( c) () pres un qulunque element pprtenente ll insieme di rriv (b) esiste lmen un element pprtenente l dmini (c) tle che l su immgine cincid cn l element cnsidert. Si chim ntiimmgine di un element dell insieme di rriv quel sttinsieme prpri imprpri del dmini indict cn immgine l element cnsidert ( ) { D ( ) B} D ( ) cstituit dgli elementi del dmini venti per Un md lterntiv di esprimere l cndizine di suriettività è pertnt il seguente un unzine è suriettiv qund l ntiimmgine di un qulunque element pprtenente ll insieme di rriv è divers dll insieme vut pertnt se ( ) B l unzine è suriettiv. Nt bene nn si deve cnndere nel seguit l ntzine intrdtt per l ntiimmgine cn quell che intrdurrem r pc per l unzine invers si sservi cn ttenzine l psizine del - nelle due ntzini. Esempi. L unzine ( ) ( ) nn è suriettiv perché. Invece l unzine ( ) Pgin 6 di 0

7 è suriettiv perché ( ). Esercizi. In relzine lle unzini precedentemente deinite cs rppresentn () ( 9) (b) () 9 (c) ( ) Osservzine. Se nel deinire un unzine si cnsider cme insieme di rriv prpri l immgine del dmini l unzine csì deinit è utmticmente suriettiv. L unzine D ( D) è pertnt deinit in md intrinsecmente suriettiv. Quindi si può nche dire che un vlt che si è determint l immgine del dmini di un unzine ssegnt nel cs quest nn sse suriettiv si può sempre deinire cilmente un nuv unzine che l si scegliend cme insieme di rriv prpri l immgine del dmini trvt. - Un unzine iniettiv e suriettiv si dice biettiv. Ad esempi l unzine ( ) è biettiv. Un unzine D B biettiv viene nche dett un crrispndenz biunivc tr gli insiemi D e B intti in tl cs d gni element di D crrispnde un ed un sl element di B e vicevers. Pgin 7 di 0

8 .s. 00/0 Clsse DS 7/09/00 - Pr. Fernnd D Angel.. Funzini inverse Qund un unzine è biettiv è pssibile deinire l unzine invers che viene indict cn Se è l unzine dirett è l unzine invers D B ( D) B D Si sservi che nell deinizine dell unzine invers sn cinvlti gli stessi insiemi presenti nell unzine dirett m il lr rul è invertit! Esempi. Abbim vist che l unzine ( ) è biettiv. Si può pertnt deinire l unzine invers nel md seguente e si vrà d esempi () () ( ) ( ) 8 6 ( ) ig È imprtnte cnvincersi sull bse di quest semplice esempi che le prprietà di iniettività e suriettività sn entrmbe essenzili per pter cnsentire l deinizine dell unzine invers. Osservzini.. Il gric (ig.) sprstnte ptrebbe evidentemente cnsiderrsi ll stess temp quell dell unzine dirett e quell dell unzine invers. D bitudine però rppresentim il dmini sull sse rizzntle (l sse ) e l insieme di rriv sull sse verticle (l sse ). Per tle mtiv tle gric è un p innturle per l unzine invers in qunt il dmini viene rppresentt sull sse verticle! Si us pertnt prdurre il gric dell unzine invers in md che il dmini e l insieme di rriv crrispndn rispettivmente gli ssi rizzntle e verticle cme di cnsuet. icrdnd che nell studi delle trsrmzini ini bbim incntrt l simmetri rispett ll bisettrice I-III qudrnte 0 σ ; X AX A 0 per ttenere il gric dell unzine invers che rispetti l usule cnvenzine bsterà simmetrizzre il gric dell unzine dirett rispett ll bisettrice I-III qudrnte (vedi ig b); Pgin 8 di 0

9 ig.b. Qund si deinisce l unzine invers prtire dll unzine dirett è nturle usre l vribile cme vribile indipendente dell unzine dirett e l vribile cme vribile indipendente dell unzine invers D B ( D) ( ) B D Tle precisine di ntzine nn viene sempre rispettt perché è più cmd indicre sempre cn l vribile indipendente di un unzine e quindi rppresentre il dmini dell unzine sull sse ( ) ( ) ( ) (c). (d) Pgin 9 di 0

10 Altri esempi di unzini inverse. ( ) ( ) ( ) e ( ) ( ) ln Pgin 0 di 0