Un caso particolare di funzione reale si ottiene quando il dominio è un sottoinsieme J, proprio o improprio, dei numeri naturali:

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1 Pi Luree Scietiiche s / pputi dell lezie del Pr Ste De Mrchi del // cur del Pr Ferd D gel Itrduzie Fuzii reli di vribile rele Citim izitutt l deiizie clssic dvut Dirichlet u vribile rele y si dice uzie di u vribile rele x i u dmii D sttisieme prpri imprpri dei umeri reli se esiste u legge di tur qulsisi che cci crrispdere d u qulsisi x del dmii u ed u sl vlre di y Qud l uzie h u «espressie litic» si us l scrittur y (x) i cui il simbl rppreset le perzii mtemtiche c le quli d u geeric x pprteete l dmii si ttiee l crrispdete immgie y L tzie mtemtic di u uzie è pertt () D R x y ( x) U cs prticlre di uzie rele si ttiee qud il dmii è u sttisieme J prpri imprpri dei umeri turli () Esempi () J N R y N R y I quest cs i vlri di y s umerbili e il gric è cstituit d puti islti (si ved il gric lt) y x Quest tip di uzie viee dett cmuemete successie e si utilizz u tzie sitetic del tip (4) N l pst dell scrittur più cmplet () Esempi di successii geerte dll ppliczie del metd di bisezie Il metd di bisezie csete di trvre i md pprssimt gli zeri di u uzie Vedim cme Csiderim l equzie (5) cs x x Tle equzie pst ell rm equivlete di u sistem y cs x y x può essere studit gricmete (si ved il gric lt) e si può dre gevlmete u stim dell uic rdice rele α α

2 D ltr prte deiit l uzie x () x cs x rislvere l equzie (5) è equivlete trvre l zer rele dell uzie ( x) ciè il vlre α i cui ( α ) tl ie si può usre il metd di bisezie Si idividu u itervll [ i cui l uzie è deiit e ctiu e ssume vlri ppsti gli estremi (7) ( ) ( b ) b Nel cs dell uzie () ptrebbe dr bee l itervll [ (si ved l igur lt) Si prcede divided l itervll [ i due prti uguli e clcld l uzie ell sciss del put medi del segmet di estremi x M b b Se b llr x M b b b b b b è l rdice cerct ltrimeti tr i due itervlli sceglim quell i cui l uzie ssume vlri di seg ppst Suppst che [ b b b si quell i cui l uzie ssume vlri di seg ppst l si può idicre c e ripetere i md lg il prcedimet Per l uzie () (si ved il gric) [ b [ [ b [ 5 Prceded i tl md si ttiee l successie di itervlli icpsulti (gi itervll è iclus el precedete) [ b [ b [ b [ b b le cui mpiezze dte dll rmul b divet sempre più piccle I vlri dell successie { } { } 4 I vlri dell successie { b } { b b b b } L successie { } pprssim per diett il vlre dell rdice α b4 pprssim per eccess il vlre dell rdice α è crescete limitt L successie { b } è decrescete limitt Le successii mmett l stess limite che è il vlre dell rdice dell equzie ( x)

3 Deiizie Si x R e r Si deiisce itr circlre del put () I ( r x ) { x R x x r} x R di rggi r il seguete sttisieme pert dei umeri reli Ntzii uste requetemete I ( r x ) ( x r x r) ( r x ) [ I x r x r dve il circlett vut pst spr l itervll chius esclude gli estremi Esempi I ( ) { x R x } ( ) ( 99 ) Deiizie Si x e () si deiisce itr di (9) I( ) { x R x } ( ) il seguete sttisieme pert dei umeri reli (b) si deiisce itr di il seguete sttisieme pert dei umeri reli I x R x ) () { } ( (c) si deiisce itr circlre di () I ( ) { x R x x } ( ) ( ) Esempi N () N 4 il seguete sttisieme pert dei umeri reli Osservzie qud divet mlt grde l dded l demitre divet trscurbile e " mlt grde" i ltre prle per mlt grde i vlri ted Redim quest put rigrs l sservzie precedete Pssim scrivere () lim lim se (4) N (si legge limite per tedete più iiit di _c_ ugule ) (si legge per gi epsil psitiv esiste u umer iter _c_epsil tle che per gi iter mggire di tle umer i crrispdeti vlri _c_ dierisc d u i vlre sslut me di espil )

4 Veriichim Pst bbim prvt che Osservzie C l tzie [ x si idic l uzie prte iter di x [ R Z x [ x esempi [ 4 [ 9 [ 4 lt il crtteristic gric grdi Si sservi che tle uzie h u umer iiit umerbile di puti di disctiuità di prim specie I geerle vle l deiizie Deiizie Si dice che l successie cverge l limite iit l per se (5) N l Vedim dess u ltr esempi Esempi N 4 5 N Per mlt grde l demitre l dded 4 è trscurbile Prvim dess i md rigrs che () lim lim 4 5 pplicd l deiizie (5) N l N se è mlt grde y x Osservim che

5 Pertt qud m Pst dess 5 si vede che mggir rgie risult 4 5 e duque l () è veriict 4 5 Successii cvergeti Esempi N (7) N Tbulim lcui vlri 4 9 Vglim prvre che i quest cs () lim lim Dbbim izitutt mdiicre l deiizie (5) Deiizie 4 Si dice che l successie diverge per se (9) N pplicd l (9) ll successie (7) si trv cilmete che Pst dess [ si vede che e duque l () è veriict Esempi N 4 () N Vglim dimstrre che l successie () è divergete L smm dei primi umeri iteri csecutivi si può clclre utilizzd l rmul di Guss () ( ) Dimstriml Si sservi izitutt che essed per l prprietà cmmuttiv 5

6 pssim che scrivere D Smmd membr membr ( sscitiv prprietà ) e duque QED llr l () si può riscrivere el md seguete () N Vglim prvre dess che () lim lim pplicd l (9) ll successie () si trv ± Pst dess si vede che e duque l () è veriict Esempi di successii idetermite Esempi N 5 (4) N --- Esempi N (5) N dispri pri Etrmbe le successii (5) e () s idetermite itti esiste il lim

7 Di tevle imprtz è il seguete terem che risce u cdizie suiciete per l cvergez di u successie Premess U successie si dice mtò crescete (i ses lt) se () Terem Si u successie mtò crescete () se l successie è superirmete limitt ciè se (b) se l successie è illimitt llr diverge b R b llr lim Sup{ } Esempi N 7 pplichim quest terem ll studi dell successie () È cile prvre che l successie è crescete ciè che ( ) ( )( ) L successie è limitt itti N Iltre l estrem superire vle ( ) ( )( ) { } Sup{ } Per il terem precedete lim lim Sup{ } Esempi N Csiderim dess l successie tevle (7) N {} N ( ) ( ) Tle successie è crescete e limitt e cverge l umer di Neper e Per ulteriri dettgli su quest successie si ved il ile http//wwwwebliceit/erddgel/pdf/slidespd 7