ANALISI MATEMATICA T-2 Prova Totale

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1 ANALISI MATEMATICA T-2 Prova Totale Università di Bologna - A.A. 2014/ Settembre Prof. G.Cupini Ing.Automazione, Ing.En.Elettrica, Ing.Elettrica. MATRICOLA: COGNOME: NOME: (facoltativa): N.B.: Gli esercizi vanno svolti per esteso su questi fogli. Esercizio 1. (5 punti) Sia f : R 2 R, f(x, y) = x 2 (25y 2 x 2 ). SOL : (a) (2,5 punti) Studiare il segno di f. (b) (2,5 punti) Determinare i punti critici di f e classificarli (massimo, minimo relativi o punti di sella).

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3 Esercizio 2. (6 punti) Si studi la convergenza di e 5 x x α dx al variare di α 0. SOL:

4 Esercizio 3. (7 punti) Sia F : R 3 R 3, F (x, y, z) = (3xy 2, z, x 5z). Sia E = {(x, y, z) R 3 : y 2 + z 2 4x 2, 1 x 5}. Calcolare il flusso di F entrante in E. SOL:

5 Esercizio 4. (6 punti) Si consideri f : A R, f(x, y) = x 2 e y2. con A = { (x, y) R 2 : x 2 } 25 + y Utilizzando il teorema dei moltiplicatori di Lagrange, determinare i valori di massimo e di minimo assoluti. SOL:

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7 Esercizio 5. (6 punti) Calcolare, usando il cambio di variabili u = x + 5y, v = x 5y, (x + 5y) 2 e x 5y dxdy, dove D = {(x, y) R 2 : 0 x + 5y 2, 0 x 5y 2(x + 5y)}. SOL: D

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9 ANALISI MATEMATICA T-2 Prova Totale Università di Bologna - A.A. 2014/ Settembre Prof. G.Cupini Ing.Automazione, Ing.En.Elettrica, Ing.Elettrica. MATRICOLA: COGNOME: NOME: (facoltativa): N.B.: Gli esercizi vanno svolti per esteso su questi fogli. Esercizio 1. (5 punti) Sia f : R 2 R, f(x, y) = x 2 (9y 2 x 2 ). SOL : (a) (2,5 punti) Studiare il segno di f. (b) (2,5 punti) Determinare i punti critici di f e classificarli (massimo, minimo relativi o punti di sella).

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11 Esercizio 2. (6 punti) Si studi la convergenza di e 3 x x α dx al variare di α 0. SOL:

12 Esercizio 3. (7 punti) Sia F : R 3 R 3, F (x, y, z) = (3xy 2, z, x 3z). Sia E = {(x, y, z) R 3 : y 2 + z 2 4x 2, 1 x 3}. Calcolare il flusso di F entrante in E. SOL:

13 Esercizio 4. (6 punti) Si consideri f : A R, f(x, y) = x 2 e y2. con A = { (x, y) R 2 : x 2 } 9 + y Utilizzando il teorema dei moltiplicatori di Lagrange, determinare i valori di massimo e di minimo assoluti. SOL:

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15 Esercizio 5. (6 punti) Calcolare, usando il cambio di variabili u = x + 3y, v = x 3y, (x + 3y) 2 e x 3y dxdy, dove D = {(x, y) R 2 : 0 x + 3y 2, 0 x 3y 2(x + 3y)}. SOL: D

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17 ANALISI MATEMATICA T-2 Prova Totale Università di Bologna - A.A. 2014/ Settembre Prof. G.Cupini Ing.Automazione, Ing.En.Elettrica, Ing.Elettrica. MATRICOLA: COGNOME: NOME: (facoltativa): N.B.: Gli esercizi vanno svolti per esteso su questi fogli. Esercizio 1. (5 punti) Sia f : R 2 R, f(x, y) = x 2 (16y 2 x 2 ). SOL : (a) (2,5 punti) Studiare il segno di f. (b) (2,5 punti) Determinare i punti critici di f e classificarli (massimo, minimo relativi o punti di sella).

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19 Esercizio 2. (6 punti) Si studi la convergenza di e 4 x x α dx al variare di α 0. SOL:

20 Esercizio 3. (7 punti) Sia F : R 3 R 3, F (x, y, z) = (3xy 2, z, x 4z). Sia E = {(x, y, z) R 3 : y 2 + z 2 4x 2, 1 x 4}. Calcolare il flusso di F entrante in E. SOL:

21 Esercizio 4. (6 punti) Si consideri f : A R, f(x, y) = x 2 e y2. con A = { (x, y) R 2 : x 2 } 16 + y Utilizzando il teorema dei moltiplicatori di Lagrange, determinare i valori di massimo e di minimo assoluti. SOL:

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23 Esercizio 5. (6 punti) Calcolare, usando il cambio di variabili u = x + 4y, v = x 4y, (x + 4y) 2 e x 4y dxdy, dove D = {(x, y) R 2 : 0 x + 4y 2, 0 x 4y 2(x + 4y)}. SOL: D

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25 ANALISI MATEMATICA T-2 Prova Totale Università di Bologna - A.A. 2014/ Settembre Prof. G.Cupini Ing.Automazione, Ing.En.Elettrica, Ing.Elettrica. MATRICOLA: COGNOME: NOME: (facoltativa): N.B.: Gli esercizi vanno svolti per esteso su questi fogli. Esercizio 1. (5 punti) Sia f : R 2 R, f(x, y) = x 2 (4y 2 x 2 ). SOL : (a) (2,5 punti) Studiare il segno di f. (b) (2,5 punti) Determinare i punti critici di f e classificarli (massimo, minimo relativi o punti di sella).

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27 Esercizio 2. (6 punti) Si studi la convergenza di e 2 x x α dx al variare di α 0. SOL:

28 Esercizio 3. (7 punti) Sia F : R 3 R 3, F (x, y, z) = (3xy 2, z, x 2z). Sia E = {(x, y, z) R 3 : y 2 + z 2 4x 2, 1 x 2}. Calcolare il flusso di F entrante in E. SOL:

29 Esercizio 4. (6 punti) Si consideri f : A R, f(x, y) = x 2 e y2. con A = } {(x, y) R 2 : x 2 + y Utilizzando il teorema dei moltiplicatori di Lagrange, determinare i valori di massimo e di minimo assoluti. SOL:

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31 Esercizio 5. (6 punti) Calcolare, usando il cambio di variabili u = x + 6y, v = x 6y, (x + 6y) 2 e x 6y dxdy, dove D = {(x, y) R 2 : 0 x + 6y 2, 0 x 6y 2(x + 6y)}. SOL: D

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