Specificare una settimana per la prova orale:

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1 Specificare una settimana per la prova orale: ANALISI MATEMATICA Prova scritta //3 COGNOME e Nome firma uando lo spazio lasciato a disposizione lo consente (Es. e ), riportare i passaggi salienti.. [5 pt] Trovare i punti di massimo e di minimo della funzione f : R R f(x, y) = x + y +, nell insieme G = { (x, y) R : 3x xy + 3 } 4 y 4.. [8 pt] Siano := { (x, y, z) R 3 : x [, π/], y [, π/], z = }, Σ la piramide avente base e vertice P = (π/4, π/4, ), F (x, y, z) := ( sin(x + z) sin(y), cos(x + z) cos(y), log( xy + e) ), Calcolare il flusso di F uscente dalla superficie totale di Σ Calcolare il flusso del rotore di F uscente dalla superficie totale di Σ Calcolare il flusso del rotore di F attraverso, diretto verso l alto.

2 3. [5 pt] Siano f : R 3 R 3 e g : R 3 R le funzioni definite da f(x, y, z) = ( xy 3, (z + x), 5xyz ), g(u, v, w) = ( e u cos(v), sin(e w ) ). ual è la dimensione della matrice Jacobiana di h = g f? Calcolarne la prima colonna 4. [5 pt] ( Sia data la regione R = {(u, v) R : u π, v π, }, il punto P = +, +, ) e la superficie σ : R R 3 definita da σ(u, v) = ( ( + cos v) cos u, ( + cos v) sin u, sin v ). Calcolare: I parametri u, v tali che σ(u, v ) = P : (u, v ) = il piano tangente a σ nel punto P : Π(u, v) = 5. [4 pt] Data la serie di potenze n= (x ) n, determinarne il raggio n 3 n log(n) di convergenza R =. Detto I l intervallo di convergenza, determinare l insieme I (, ] =. 6. [3 pt] Domanda di teoria: enunciare il criterio di convergenza assoluta.

3 . [5 pt] Trovare i punti di massimo e di minimo della funzione f : R R, f(x, y) = x + y +, nell insieme G = {(x, y) R : 3x xy y 4}. Soluzione: f(x, y) = (, ) quindi non ci sono punti critici interni a G. Per studiare il comportamento sulla frontiera di G usiamo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange: { = λ(6x y) f = λ g = λ ( 3 g = y x) g(x, y) = dove g(x, y) = 3x xy y 4. Troviamo e sostituendo nell ultima equazione 3x y = 3 y x x = y, 3x x + 3x 4 = x = ±, y = ±. Dato che i coefficienti di f son positivi, (, ) è un massimo assoluto e (, ) è un minimo assoluto.. [8 pt] Siano := { (x, y, z) R 3 : x, y π e z = }, Σ la piramide avente base e vertice P = (π/4, π/4, ), F (x, y, z) := ( sin(x + z) sin(y), cos(x + z) cos(y), log( xy + e) ). Calcolare il flusso di F uscente dalla superficie di Σ. Soluzione. Utilizziamo il teorema di Gauss: F n = Σ dove n è il versore normale entrante. Σ div F, div F = F x + F y + F 3 z = cos(x + z) sin(y) cos(x + z) sin(y) + =. Il flusso del rotore attraverso la superficie totale è zero, come conseguenza del teorema della divergenza o di quello di Stokes. Per esempio, il teorema della divergenza ci dice che rot F n = div( rotf ), Σ Σ e la divergenza di un rotore è sempre nulla. 3

4 Calcolare il flusso del rotore di F attraverso, diretto verso l alto. Soluzione. Dato che n = (,, ), (ponendo l = π/) ( F rot F n = x F ) y l l dx dy z= = sin(x) cos(y) dx dy ( l ) ( l ) = sin(x)dx cos(y) dy = (cos(l) ) sin(l) =. Alternativamente, grazie al teorema di Stokes (o di Green), si poteva calcolare F τ sui lati del quadrato, ottenendo rot F n = l + F (x,, ) (,, ) dx + l = + cos(l) l F (x, l, ) (,, ) dx + l che dà, naturalmente, lo stesso risultato. cos(y) dy sin(l) 3. [5 pt] Siano f : R 3 R 3 e g : R 3 R le funzioni definite da F (l, y, ) (,, ) dy l l F (, y, ) (,, ) dy sin(x) dx l cos(y) dy, f(x, y, z) = ( xy 3, (z + x), 5xyz ), g(u, v, w) = ( e u cos(v), sin(e w ) ). Soluzione: la funzione composta h(x, y, z) = g f(x, y, z) = ( ) e xy3 cos(x + z), sin(e 5xyz ), è definita da R 3 a R, quindi la matrice Jacobiana ha dimensione 3. La prima colonna contiene le derivate parziali rispetto a x delle due componenti, e si può scrivere (in orizzontale, per comodità) (y 3 e xy3 cos(z + x) e xy3 sin(z + x) (z + x), 5 cos(e 5xyz )yze 5xyz ). 4. [5 pt] Sia data la regione R = {(u, v) R : u π, v π, } e la superficie σ : R R 3 definita da Calcolare le seguenti quantità P = σ(π/4, π/4). σ(u, v) = ( ( + cos v) cos u, ( + cos v) sin u, sin v ). 4

5 il piano tangente a σ nel punto P = ( +, +, ) Soluzione: Calcoliamo intanto u σ(u, v) = ( ( + cos v) sin u, ( + cos v) cos u, ) v σ(u, v) = ( sin v cos u, sin v sin u, cos v ). Usiamo la formula Π(u, v) = σ(π/4, π/4) + u σ(π/4, π/4)(u π/4) + v σ(π/4, π/4)(v π/4) = P + ( /, + /, )(u π/4) + ( /, /, /)(v π/4). 5. [4 pt] Data la serie di potenze l insieme di convergenza. n= (x ) n, determinarne il raggio di convergenza e n 3 n log(n) Soluzione: poniamo y = (x )/3 e studiamo la serie n= y n n log(n). Usiamo il criterio del rapporto (ma si può usare anche quello della radice) lim a n+ n a n = lim (n + ) log(n + ) n n log(n) = lim n + n n lim log(n + ) n log(n) =. uindi, il raggio di convergenza della serie a n y n è. Per il criterio di Leibniz, la serie converge in y =. In conclusione, il raggio di convergenza è 3 e il punto x = appartiene all intervallo di convergenza, e quindi I (, ] = [, ]. 6. Riguardo alla domanda di teoria, notare che la definizione di convergenza assoluta, per una serie numerica, non coincide con il criterio di convergenza assoluta (per la stessa serie). Si confrontino la Definizione. e il Teorema.4 del libro di testo (Canuto-Tabacco, Analisi Matematica II). 5