POLITECNICO DI TORINO

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1 POLITECICO DI TORIO Facolà d Ingegnera I Corso d Laurea n Ingegnera Meccanca Tes d Laurea Modell croscopc per vbrazon n sse eccanc all equlbro e non Relaor : Prof. Labero Rondon Prof. Govann Rocca Canddaa: Laura Srcker Oobre

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3 A e genor

4 Rngrazaen */The research leadng o hese resuls has receved fundng fro he European Research Councl under he European Couny's Sevenh Fraework Prograe FP7/7- / ERC Gran Agreeen n.. The EC s no lable for any use ha can be ade of he nforaon conaned heren. S rconosce l conrbuo della European Reserach Councl nell'abo del seo prograa quadro della Couna' Europea, ERC Gran Agreeen n.. La Counà Europea non e' responsable per l'uso che porà esser fao delle nforazon conenue nella es.

5 SOMMARIO Il presene lavoro s propone d sudare un odello seplfcao per l evoluzone dnaca d un ssea d parcelle n condzon d equlbro e d non equlbro, edane l pleenazone d un sulaore sofware n lnguaggo Forran 9. Il odello pegao raffgura una sbarra lbera d oscllare ad un esreà e vncolaa dall alra ad una paree, consderandola coe un nsee undensonale d parcelle rgde e punfor, soggee a legg del oo reversbl e a collson bnare sananee perfeaene elasche. Le condzon d equlbro vengono realzzae edane l applcazone d una forza conservava cosane sulla parcella suaa all esreo lbero, rproducendo con queso ssea sa la forza d coesone della sbarra, sa l effeo della pressone aosferca esercaa dall abene crcosane. Le condzon d dsequlbro vengono nvece realzzae aggungendo al ssea n equlbro due erosa d osè-hoover, collocandol su due sole parcelle, rspevaene all nzo e alla fne della sbarra. el caso d equlbro s sono deerna valor d alcune propreà colleve acroscopche e croscopche del ssea lunghezza, densà lneare, energa cneca specfca, energa cneca eda per parcella, poszone del barcenro d grupp d conrollo sua n poszon dverse della sbarra. Sono sae effeuae pù sulazon, varando nuero d parcelle, condzon nzal, dsrbuzone delle asse e forze applcae. el caso del dsequlbro c s è concenra prncpalene sulle oscllazon della lunghezza della sbarra, cercando d evdenzare la loro dpendenza da paraer caraersc de erosa. Il odello presena un elevao lvello d seplfcazone, a peree counque d eere n rsalo gl aspe qualav pù sgnfcav del problea ed è perano neso coe sudo prelnare per l anals delle oscllazon dovue a ruore erco presen nel rlevaore AURIGA d onde gravazonal, nell'abo del seo prograa quadro della Counà Europea, ERC Gran Agreeen n..

6 ITRODUZIOE... Equlbro e dsequlbro... Tp d equlbro... Tp d rasforazon... Meccanca sasca... Modell... Poenzale d Lennard-Jones... 9 Modello d Fer-Pasa-Ula FPU... Defnzon... Tp d enseble... Ergodcà... Osservabl... Flusso... Bagn erc... Bagn socasc... Bagn deernsc... Applcazone d un capo eserno a ua la caena d parcelle... Confrono ra eod dvers... 7 Ressenze alle esreà... 9 I rlevaor d onde gravazonal... Le onde gravazonal... Sorgen d onde gravazonal... Rlevaor d onde gravazonal... Probleaca affronaa con l presene sudo... MODELLO...7 Collsone elasca... Caso d equlbro... Equazon del oo... Caso d dsequlbro... Terosa : pologe... Terosao d osè - Hoover... Terosao d osè - Hoover seplfcao... Proble del erosao d osè-hoover e loro soluzone Soluzon... Equazon del oo delle parcelle erosaae osè-hoover seplfcao... Quanà d oo p... Velocà &... Poszone... Rassuno equazon del oo... Equazon delle collson... 9 Dnaca delle parcelle erosaae... Terosao... Terosa e... - Velocà dscord Velocà concord:... 7

7 EQUILIBRIO...7 Flowchar generale... 7 Flowchar dnaca delle parcelle... 7 Inzalzzazone... 7 Ie_paraer... 7 Cdz_nzal... 7 Apr_fle, Apr fle_propreà, Apr _fle_propreà_ppn... 7 Dnaca delle parcelle... 7 Trova_dcoll... 7 Gesone_collsone... Sposa_pp_collsone... Trova_v_pra_coll_pp_collsone... Conrollo_collsone... Corregg_dcoll... Salva_prev... Verfca_coll... Corregg_d... Sposa_pp_... Trova_v_pra_coll_... Trova_v_dopo_coll... Trova_eo... Conroll sulle poszon delle parcelle... 7 Conrollo_copeneraz... 7 Conrollo_n... 7 Salva_prec... Conroll sulla conservazone dell energa e rnoralzzazone... Rnoralzza_v... Salva_rf_nor... 9 Propreà colleve... 9 Valor sanane... 9 Trova_n_nervall... 9 Trova_densà... 9 Trova_e_cn_grupp_... 9 Trova_g_gruppo... 9 Valor ed e scar po nel epo Trova_oen_ed_dn Trova_eda_dn Trova_oen_ed_dn_... Trova_eda_dn_... Trova_varanza_dn... Trova_scaro_po_dn... Trova_varanza_dn_... Trova_scaro_po_dn_... Salva_prec_ed... Trova_pdf_dn... Trova_pdf_dn_... Gesone_copac_begn... Trova_propreà_copac... Trova_propreà_ppn_copac... Gesone_copac_end... Oupu su schero e su fles... Scrv_oupu... Gesone_salvaaggo... Salvaaggo... 7 Salvaaggo_propreà... 7 Salvaaggo_propreà_ppn... 7 Salvaaggo_pdf_propreà, Salvaaggo_pdf_ppn... 7

8 Chud_fle, Chud_fle_propreà, Chud_fle_propreà_ppn... 7 DISEQUILIBRIO... Flowchar generale... Flowchar dnaca delle parcelle... 9 Dnaca delle parcelle... Trova_dcoll_ecceo_erosa... Gesone_collsone_ecceo_erosa... Trova_dcoll_erosa... Trova_cosane_a_ero... Verfca_coll_ero_ver... Sposa_progressva_pp_erosao... 7 Sposa_adacen_ero_... Conrollo_copeneraz_ero... Conrollo_copeneraz_ero_... Raffna_dcoll_ero_con_bsez... 9 Gesone_collsone_erosa_... Sposa_pp_... Trova_v_pra_coll_... Trova_v_dopo_coll... Conroll sulle poszon delle parcelle... Conrollo_copeneraz... RISULTATI... Equlbro... Propreà surae... Paraer delle sulazon effeuae... Adeguaezza del odello adoao... - Convergenza d eda e devazone sandard... - Coporaeno croscopco e acroscopco Gaussanà del ruore presene sugl osservabl... - Mgloraeno del odello all auenare del nuero d parcelle... - Sablà della dnaca... - Dsrbuzone della densà lungo la sbarra Curva sforzo-deforazone... 9 Dsequlbro... Faor che nfluenzano l valore edo e lo scaro po fnal della lunghezza della sbarra... Faor che nfluenzano la velocà d convergenza ad uno sao sazonaro... Influenza della eperaura sulle curve d carco... 7 COCLUSIOI...9 BIBLIOGRAFIA... APPEDICI...

9 ITRODUZIOE Equlbro e dsequlbro In Terodnaca s sudano le rasforazon de sse fsc acroscopc, dove per rasforazone s nende l cabaeno delle caraersche del ssea al passare del epo. In parcolare, la Terodnaca dell'equlbro suda l cabaeno de sse ra sa d equlbro, coè sa che, lasca perurba, resano ua nel epo. Un ssea s dce nfa n equlbro erodnaco se, allo scorrere del epo, ue le coordnae erodnache ndpenden e dpenden sono cosan [] S ha l'equlbro erodnaco d un ssea quando sono coneporaneaene verfcae le condzon d equlbro chco, eccanco e erco. - L'equlbro chco s ha qualora non v sano pù reazon chche e la quanà d aera nelle vare par non u pù nel epo. - L'equlbro eccanco s ha qualora la pressone e l volue non cabano nel epo - L equlbro erco s ha qualora la eperaura non presen varazon nel epo. La condzone d equlbro erodnaco d un corpo non plca che pressone, densà e eperaura sano unfor al suo nerno [] Feynan dava la seguene defnzone d equlbro erco: Un ssea s dce n equlbro erco se è accoppao olo debolene a un serbaoo d calore a una daa 'eperaura', se l'accoppaeno è ndefno o non precsaene noo, se l'accoppaeno è sao presene a lungo, e se ue le cose 'veloc' sono gà successe e ue quelle 'lene' non lo sono ancora. Quesa defnzone convolge dvers poran aspe:. Il ssea è accoppao con un solo serbaoo d calore o al le può essere solao.. L'accoppaeno è debole e non precsaene specfcao: s rchede coè che la naura dell'accoppaeno non nflusca sulle propreà osservae del ssea erodnaco.. La dsnzone fra le cose 'veloc' e quelle 'lene' copora la necessà d defnre una scala d ep d'osservazone, su cu le propreà del ssea non cabano n anera vsosa. La quesone d che cosa sa un "serbaoo d calore" vene po rsola un po' crcolarene dcendo che s raa d un ssea erodnaco all'equlbro secondo quesa defnzone, abbasanza grande rspeo al ssea che s vuole sudare, e la cu naura precsa non deve nflure su rsula per l puno.

10 S può eere un ssea n uno sao sazonaro ossa uno sao n cu le propreà del ssea sono ndpenden dal epo d non equlbro eendolo n conao con pù d'un serbaoo d calore o d aera o d'alro. Per esepo, se una barra eallca vene essa n conao a un'esreà con un serbaoo d calore alla eperaura T e all'alra con uno alla dfferene eperaura T, essa andrà abbasanza veloceene n uno sao sazonaro, n cu la eperaura vara lnearene fra T e T quando c s sposa lungo la barra. La caraersca del genuno equlbro erco è che le propreà del ssea non varano se lo s sola dal serbaoo d calore e lo s lasca lbero d evolvere; nvece, se s sola la barra dalle sue sorgen, essa enderà a uno sao con eperaura unfore, nereda fra T e T. Il problea cenrale della erodnaca classca è quello d predre le propreà dello sao d equlbro che vene ragguno da un ssea coposo, cosuo da soosse d cu sa noo lo sao d equlbro nzale, quando ques sse vengono ess a conao. Possao agnare quesa "essa n conao" coe la rozone de vncol che pedscono lo scabo d quanà fsche coe l'energa, l nuero d parcelle, la carca ecc. fra soosse. S può perano vedere lo sao nzale coe uno sao d equlbro che s anene ale fnché s preservano vncol e dvena uno sao d non equlbro quando vncol sono ross. Gl sa vrual sono u gl sa d'equlbro del ssea coposo copabl con vncol. La legge fondaenale della erodnaca denfca coe sao d'equlbro quello, fra u gl sa vrual, cu corrsponde l valore asso dell'enropa. In quesa forulazone srea, la erodnaca s occupa solo d sa d'equlbro. C sono sa dvers enav d esendere la erodnaca a sa d non equlbro c'è una dscplna chaaa "Terodnaca de process rreversbl", soprauo a sa vcn a sa d'equlbro, o perché n condzon d equlbro locale, o perché fluss d energa, d carca che percorrono l ssea sono pccol, n qualche senso defnble. Quese eore rchedono però d esendere la base assoaca della erodnaca, e non ne hanno la generalà. Perano, nella Meccanca Sasca, aera che s occupa d spegare fenoen del ondo acroscopco a parre dalle legg che governano l croscopo, s sa cercando d rovare coporaen unversal ne sse d non equlbro, caraerzza n parcolare o da un'evoluzone lena ver o da condzon sazonare.

11 Tp d equlbro Essono dvers p d propreà d equlbro S defnsce equlbro vero e propro lo sao d un ssea che resa nalerao nel epo se non vene perurbao. In parcolare, sse n naura presenano equlbr sabl, che vengono coè recupera quando l ssea vene debolene perurbao. Per sse erodnac l'equlbro s realzza quando valor de paraer nensv per esepo pressone, eperaura e densà nel caso d un gas sono ugual n ogn puno del ssea e ugual a valor dell'abene crcosane. Per ale ovo quesa condzone d equlbro è anche chaaa esoequlbro. S parla d endoequlbro quando paraer nensv presenano valor ugual n ogn puno del ssea, a dvers da quell dell'abene crcosane. S pens ad esepo al caso d una casa rscaldaa anenua alla eperaura d C, enre l'eserno è a C. Uno sao del genere può essere preservao uao solo edane l azone drea d una acchna erca nell esepo della casa, c'è l ssea d rscaldaeno: n al caso s parla d sao sazonaro d non equlbro. Qualora non v sa nvece l azone drea d una acchna erca, con l passare del epo paraer nensv del ssea cabano fno ad allnears con quell dell'abene eserno. Ques sa possono essere descr edane equazon d sao, coe quell d equlbro vero e propro e, d fao, solo un'anals eserna al ssea nerene coè gl scab d energa con l'abene può pereerc d dsnguere uno sao d endoequlbro da uno d esoequlbro. Ogn sao d esoequlbro è anche d endoequlbro a non è sepre vero l vceversa. S parla d equlbro locale quando paraer nensv non sono ugual ne dvers pun del ssea, a norno ad ogn puno s resce ad ndvduare un volue abbasanza pccolo da poer essere consderao n endoequlbro, a abbasanza grande da conenere un nuero elevao sascaene sgnfcavo d cosuen croscopc ao, olecole, parcelle, ecc.. Un esepo è una sanza n cu v sano de recpen conenen acqua calda e alr conenen ghacco. In al caso la eperaura coplessva non è defna, a s può parlare d eperaura locale, relava a cascun puno della sanza. Anche n queso caso lo sao d non equlbro può essere anenuo arfcalene: lascao a sé sesso l ssea evolverà nfa verso l'equlbro. on esse un'equazone d sao che valga per uo l ssea, a essa può essere applcaa a cascun volueo separaaene. Ogn sao d endoequlbro è anche n equlbro locale, a non è vero l vceversa. Da rsula sperenal e d sulazone nuerca s vede che, nella aggoranza de cas consdera fno a gorn nosr, anche parendo da sse che non soddsfano neanche la condzone d equlbro locale, ques'ulo vene ragguno n ep alene brev de ep d rlassaeno da pereerc d afferare ragonevolene che ogn ssea naurale s rova necessaraene n uno de re sa appena descr, senza uleror alernave.

12 Ogg, con lo svluppo delle nano e bo-ecnologe, queso panoraa sa gradualene uando e fenoen che esulano dalla descrzone erodnaca classca nzano ad essere osserva e copres. Tp d rasforazon ell'abo delle rasforazon ra sa d equlbro, la Terodnaca s occupa n parcolare delle cosddee rasforazon quas sache, ossa quelle n cu l ssea s rova, sane per sane, n condzon d endoequlbro. Solo una rasforazone olo lena rspeo a ep d rlassaeno può pereere ad un ssea d anenere oogene nel suo volue valor de paraer nensv. Se, olre alla condzone d endoequlbro, s realzza anche, sane per sane, quella d esoequlbro, la rasforazone può avere luogo n enrab vers e s parla perano d rasforazone reversble: poché nfa ogn sao neredo è nvarane se non perurbao, edane perurbazon nfnese possao decdere n che drezone far evolvere l uo. Le rasforazon reversbl rsulano d parcolare neresse poché u gl sa nered sono analogh a sa d equlbro uable e possono qund essere faclene descr usando poch paraer, coe avvene per ue le rasforazon quas sache. Esse possono nolre essere usae per calcolare la varazone d enropa, coè d dsordne, ra due sa d equlbro, anche se ques due sa sono n realà collega da una rasforazone non reversble. Una rasforazone rreversble è charaene una rasforazone non reversble e queso sgnfca che, durane la rasforazone, l ssea araversa sa d endoequlbro a non esoequlbro o d equlbro locale a non endoequlbro o addrura sa senza alcuna fora d equlbro Dal puno d vsa acroscopco la dfferenza è quesa, coè la presenza d dfferenze ne paraer nensv ra ssea e abene o addrura all'nerno dello sesso ssea. Se uava andao ad analzzare cosa accade all'enropa, vedao che le dfferenze crescono enoreene. Sappao che la varazone d enropa ra uno sao d equlbro ed un alro d un ssea è daa dall'negrale d Clausus eseguo su una qualunque rasforazone reversble che collegh lo sao nzale A a quello fnale B e n cu T è la eperaura dell'oggeo con cu s scaba la quanà d calore δ Q. Voglao analzzare cosa accade all'enropa oale ssea abene ne dvers p d rasforazone. In generale la varazone d enropa oale è daa dalla varazone d enropa del ssea soaa a quella dell'abene

13 In una rasforazone reversble la varazone d enropa è faclene calcolable usando propro la rasforazone n esae, essendo essa reversble. Il ssea e l'abene sono alla sessa eperaura, gl unc scab d calore che avvengono sono ra ssea e abene ed ess sono nauralene sepre ugual a d segno opposo perché uno de due cede enre l'alro assorbe. Qund l'negrale d Clausus per l ssea e quello per l'abene hanno l'negrando, passo per passo, uguale n odulo ed opposo n segno. Alla fne qund le varazon d enropa dell'abene e del ssea saranno ugual e oppose n segno. L'enropa oale dell'unverso non è cabaa. Se s resce a copere un cclo d rasforazon reversbl sa l ssea che l'abene ornano nello sao nzale. In una rasforazone quas saca non reversble le cose vanno un po' dversaene, perché savola ssea e abene non sono n equlbro ra loro e qund non s può usare la sessa rasforazone fza per calcolare le due varazon d enropa. A olo eseplfcavo, consderao un pezzo d eallo caldo che s raffredda lenaene, anenendo perano una eperaura oogenea all nerno del suo volue, fno a raggungere la eperaura abene, consderaa uable nel epo. Ques assunzone rsula ragonevole se s consdera che le elevae denson dell abene eserno non consenono che la sua eperaura s odfch n conseguenza degl scab d calore con l eallo. Per calcolare la varazone d enropa del eallo usao una rasforazone n cu l eallo sa a conao con un erosao che lenaene gl sorae calore, ranendo sepre n equlbro con esso, e porandolo dalla eperaura nzale a quella dell'abene. L'negrale d Clausus per l ssea è qund dao dalla soa d ane frazon, cascuna con un denonaore dverso, dal oeno che la eperaura vara ad ogn passo della rasforazone. D'alra pare, per calcolare la varazone d enropa dell'abene, consderao una rasforazone n cu l'abene assorbe calore da un erosao suao alla sua sessa eperaura. A dfferenza d quano avvenva con l eallo, l'negrale d Clausus dell'abene è dao dalla soa d ane frazon aven ue l edeso denonaore, poché la eperaura resa cosane ad ogn passo della rasforazone. I nueraor sono nvece ugual e oppos n segno rspeo a quell del eallo, perché anche n queso caso uno de due l'abene assorbe uo l calore ceduo dall'alro l eallo. Da quese consderazon rsula evdene che l'negrando per l'abene è sepre nuercaene pù grande dell'negrando per l eallo e qund, anche se ques'ulo è negavo, la varazone d enropa dell'abene sarà nuercaene pù grande d quella del eallo. In alre parole la dnuzone d enropa del eallo non è suffcene a copensare l'aueno d enropa dell'abene, dunque l'enropa oale dell'unverso è auenaa. S oene lo sesso rsulao se s consdera l processo speculare d un oggeo pù freddo dell'abene che s rscalda sponaneaene. Generalzzando possao dre che, copendo un cclo d rasforazon quas sache rreversbl, l ssea orna nello sao nzale per defnzone d cclo e qund la sua enropa non deve varare. Dovendo però auenare l enropa oale, necessaraene sarà auenaa quella dell'abene, che non rornerà perano nello sao nzale. In una rasforazone rreversble n cu l ssea non è neanche n endoequlbro, a solo n equlbro locale, nuovaene s nsaurano process rreversbl ra ssea e abene

14 a savola anche ra par dverse all'nerno del ssea. Abbao qund una suazone sle a quella descra sopra con la dfferenza che l'aueno dell'enropa non va valuao solo consderando gl scab d calore ra ssea e abene a anche gl scab d calore ra dvers volue n cu è necessaro suddvdere l ssea per poer defnre paraer nensv local. Tuo cò copora un aueno dell'enropa dell'unverso aggore che nel caso precedene. Coe pra, un cclo d rasforazon rreversbl non quas sache rpora l ssea nello sao nzale, enre l'abene caba sao avendo auenao la propra enropa. Queso può sebrare srano perché, nel caso n quesone, l'enropa vene prodoa anche all'nerno del ssea, a l abguà vene rsola se s consdera che l surplus d enropa prodoa vene counque scarcao nell'abene da process nern che rporano l ssea nello sao nzale. L'anals d ques ul due cas c fa dunque capre che ogn processo rreversble produce nuova enropa che s va ad aggungere a quella gà essene nell'unverso. Menre la dnuzone d enropa d un ssea può avvenre nfa solo per ravaso della sua enropa n un alro ssea, l'aueno dell'enropa può avvenre anche per la creazone d alra enropa: è queso che genera l connuo aueno dell'enropa oale e deerna la frecca erodnaca del epo. [] Meccanca sasca Uno de prncpal scop degl sud d Meccanca Sasca neren l non-equlbro è la dervazone delle legg che regolano fenoen acroscopc nelle rasforazon erodnache rreversbl, a parre da seplc odell croscopc. L approcco acroscopco a fenoen d non-equlbro è basao essenzalene sulla defnzone de coeffcen d rasporo per ezzo delle equazon cosuve. Se s pozza d essere suffceneene vcn all equlbro globale, nell esprere al defnzon s posula generalene la proporzonalà ra fluss e le forze erodnache []. Per esepo, quando abbao a che fare con l rasporo d energa n un soldo, s defnsce la conduvà κ usando la legge d Fourer: J Q κ T. Dove: J Flusso d calore Q, T, Teperaura locale

15 L equazone. vale vcno all equlbro. Pù precsaene, la defnzone del flusso d energa locale J Q, e d capo d eperaura T, s basa sull poes d equlbro locale, ossa sulla possblà d defnre una eperaura locale per un volue acroscopcaene pccolo a croscopcaene grande n ogn puno, per ogn sane. Lo scopo ulo d una eora coplea sarebbe quello d dervare un equazone po., parendo dalla conoscenza delle legg che regolano l coporaeno de coponen croscopc de sse d neresse. Tale obevo appare uora dffclene raggungble, anche se dvers sono sa enav d dare fondaeno croscopco alla legge d Fourer. S rcordno, n ero, classc sud condo da Debye e da Peerls Da un puno d vsa conceuale, c sono counque doande d base che vanno al d là del calcolo del coeffcene d rasporo. Per esepo, soo quale condzone s realzza l equlbro locale? Possao asscurare che essa un unco sao sazonaro d non-equlbro raggungble su scale d epo fscaene accessbl? A queso proposo, odell aeac seplc sono un valdo srueno eorco per fornre un fondaeno alla eora della conduvà del calore e per capre eglo le poes su cu s basa la. anche se, da un puno d vsa aeacaene rgoroso, l problea rane uora apero []. In ancanza d esep rsolvbl analcaene, è uava possble sudare ol d ques aspe sulla base d sulazon nuerche. oralene, per esgenze d seplcà, s sudano odell d ao punfor ad una o due denson, che neragscono con quell adacen edane forze non lnear. La speranza è quella d rprodurre realscaene le propreà erodnache de loro corrspev rdensonal, senza aver bsogno d fare rfereno a sruure specfche. Queso conduce alla seguene doanda: qual sono requs n perché un odello dnaco soddsf l equazone.? Queso argoeno, oggeo d dbao n leeraura sn dagl ann, non ha ancora rcevuo una rsposa defnva. Da allora, ol sono sa rsula nuerc prodo n ero, alvola anche conrasan e spesso nerprea erroneaene. In passao nfa, n assenza d un adeguaa cornce generale eorca, c era la endenza ad enfazzare eccessvaene l ruolo del caos deernsco nel garanre un norale rasporo del calore, enre n seguo s è charo che, pur essendo l ergodcà plcaa dalle dnache caoche una condzone necessara per consenre la dffusone dell energa, essa non è counque una condzone suffcene, coe s reneva dec ann fa [] S defnsce ergodco un processo sasco quando una sua raeora passa per u gl sa possbl del ssea d neresse. Quando queso avvene, le ede eporal concdono con le ede d nsee Coe rsapuo anche dalla dnaca de flud, un gran nuero d dffcolà nasce dal fao che coeffcen d rasporo ne odell a poche denson possono non essere del uo e queso plca l possblà d descrvere fenoen edane sol odell drodnac. el nosro coneso, ossa nel coneso soldo, queso s anfesa solaene con : - Un leno decadeno delle correlazon d equlbro del flusso d calore - Una dvergenza della conduvà legaa a denson fne κ,t, nel le erodnaco d, dove è l nuero d ao del capone 7

16 Un alro argoeno che era aenzone è l accoppaeno con bagn erc, poché è solano dopo aver opporunaene defno l nerazone ra l ssea d neresse e serbao d calore che s può essere scur che s è ragguno un rege d non-equlbro fscaene sgnfcavo. Idealene, un bagno erco è un ssea doao d nfn grad d lberà, n odo ale che ognuno d ess possa sa assorbre che rlascare energa senza cabare apprezzablene l propro sao. Sforunaaene un ale po d bagno erco è olo dffcle da raare analcaene e rchede roppo epo con le sulazon nuerche. Modell S nroducono odell per l caso ono-densonale, poché la generalzzazone al caso bdensonale è abbasanza auoaca e, per esgenza d seplcà, s consderano solo le nerazon ra ao adacen La pra classe d odell che s prende n consderazone è defna da un Halonana nella fora: H p V. Dove: p V Energa cneca della parcella -esa p & Energa poenzale dovua all nerazone ra la parcella -esa e la parcella -esa Bsogna specfcare le condzon al conorno, defnendo e. Scele pche a ale proposo sono la scela perodca, esreà fsse o esreà lbere. Dal oeno che sono presen solo forze nerne, le qual dpendono solo dalle poszon relave, la quanà d oo oale s conserva

17 Poenzale d Lennard-Jones A dsanze neraoche o nerolecolar olo pccole le nub eleronche s sovrappongono generando forze repulsve olo nense, caraerzzae da un raggo d'azone olo coro e dal fao che crescono rapdaene all'avvcnars delle olecole. Per esse non esse un'equazone rcavaa eorcaene e valda generalene che le descrva. Perano, per descrvere l'nerazone neraoca ed nerolecolare, è necessaro fare rcorso ad alcune funzon poenzal eprche. Il poenzale d Lennard-Jones 9 è l pù noo d ques poenzal eprc Esso coprende sa la pare repulsva predonane per basse dsanze ra le parcelle, sa la pare arava dovua all'nerazone d van der Waals predonane ad elevae dsanze e la sua forulazone è la seguene: Dove: a a V z ε. z z a dsanza ra le parcelle all equlbro ε profondà della buca d poenzale z dsanza ra le parcelle Fg.. Andaeno del poenzale nerolecolare con la dsanza 9

18 Modello d Fer-Pasa-Ula FPU Il odello classco d Fer-Pasa-Ula FPU è cosuo da una caena d asse ugual, neragen non lnearene a pr vcn, ossa accoppae ra loro edane olle non lnear [] e può essere vso coe una dealzzazone d un soldo crsallno onodensonale Lo scopo orgnale d Fer e de suo collaboraor era quello d nvesgare ep d rlassaeno del ssea una vola poso n condzon d non equlbro. Tale quesone s lega a fondaen della eccanca sasca e cò plca la necessà d consderare quesa classe d sse nel le erodnaco, ovvero per valor d olo grand, evenualene enden all nfno, con una energa specfca ε E del ssea fna. Fg..: Modello FPU. u n è lo sposaeno relavo rspeo alla poszone d equlbro della assa n. Le due esreà della caena sono assune fssae: u u Il poenzale del odello FPU è esprble coe:. g g g V z a z a z a z Dove: g, g, g cosan d accoppaeno z a dsanza ra le parcelle dsanza ra le parcelle n condzon d equlbro La. può essere pensaa coe rsulane da un espansone d V vcno alla sua poszone d equlbro z a. La seplcà della sua fora algebrca, rende queso odello olo convenene dal puno d vsa copuazonale.

19 Vale la pena d enzonare due cas parcolar poran: l poenzale quadraco e cubco g e quello quadraco e quarco g. Il pro è sorcaene conoscuo con l noe d FPU-α e rchede che s consder una cosane d accoppaeno g e/o energe suffceneene pccole per evare l nsablà dvergene delle raeore. Il secondo è conoscuo con l noe d FPU- β Defnzon Tp d enseble Sa la grandezza O un osservable o funzone d fase ale che : O : M IR Dove : M [p, q] IR Spazo delle fas Insee de nuer real Per surare O, s ee lo srueno d sura a conao con l corpo o con l ssea cu s rfersce l osservable e s aspea che ques raggungano una condzone d equlbro. Lo srueno d sura non fornrà, n usca, un valore sananeo d O, bensì una eda nel epo de suo valor assoca a dvers sa croscopc, che s alernano con scale eporal croscopche: O l O. τ s dτ Dove: s τ O Valore d O lungo la raeora nello spazo delle fas τ s : M M Operaore che fa evolvere nello spazo delle fas, secondo l equazone del oo: M & G, L espressone della eda nel epo sopra forulaa descrve la fsca del ssea a non è cooda da aneggare, n praca. C s doanda perano se non sa possble calcolare quella eda usando una qualche dsrbuzone d probablà f defna su M, scrvendo coè: f O O d. M

20 Dove : f Funzone d dsrbuzone d probablà f d Probablà d avere un valore ncluso nell nervallo, d e sse all equlbro n generale essono re cas n cu queso è possble. Enseble crocanonco S ha quando sao n presenza d un ssea solao, ossa che non scaba energa né aera con l abene crcosane In al caso s pozza che la funzone d dsrbuzone d probablà essa e abba la fora : f d M Dove: d Volue dello spazo delle fas cosane M Quesa assunzone n praca funzona sepre La eda d enseble crocanonco ha la seguene espressone: O μ M d M O d. Enseble canonco S ha quando sao n presenza d un ssea chuso a eperaura T, coè che non scaba aera a può scabare energa con l abene crcosane f H k B T H k B T e M e d

21 Dove: H k B T e M d cosane d noralzzazone, dea funzone d parzone canonca. Enseble gran-canonco S ha quando sao n presenza d un ssea apero a eperaura T, con poenzale chco μ, coè che scaba sa aera che energa con l abene crcosane f H μ k B T M e e H μ k B T Dove: nuero d parcelle del ssea d Ergodcà Un processo casuale o deernsco s dce ergodco se, per ogn osservable O, la eda eporale calcolaa su qualsas realzzazone concde con la eda sasca d enseble. Quando sussse quesa condzone, è perano possble esprere la eda eporale edane l espressone. La condzone d ergodcà plca che le ede eporal sano ndpenden dalle condzon nzal, a pare condzon eccezonal d probablà nulla Osservabl Teperaura Il pro problea da rsolvere per nerpreare le sulazon d dnaca olecolare n un oca erodnaca è la defnzone della eperaura n ern d varabl dnache. L approcco radzonale è basao sul eorea del vrale: T u H μ Dove:

22 u veore che soddsfa la condzone u ndca la eda μ -canonca crocanonca d nsee μ Qu, le unà d sura sono scele n odo ale che la cosane d Bolzann sa k B. Le ede μ - canonche sono le pù approprae quando s vuole sudare dal puno d vsa nuerco un ssea solao, a non appena l ssea è esso a conao con uno o pù bagn erc, bsogna consderare le ede canonche oppure, se l ssea raggunge uno sao sazonaro d dsequlbro, ede che non sono sae a uogg charaene deernae S rcord che, n generale, la eda canonca d una funzone f è defna coe: f f z e βh z e βh z dz dz.7 Dove: H z Halonana; ndca l energa della confgurazone β k B T z [ p, q ] Puno apparenene allo spazo delle fas L espressone.7 s può consderare coe una eda esegua rspeo ad un parcolare nsee sasco, ale che pun rappresenav sono dsrbu su uo lo spazo delle fas con densà proporzonale a e βh. Un nsee sasco d queso po è chaao canonco e l espressone.7 è dea eda canonca. Forunaaene è rsapuo, benché solo parzalene dosrao, che ne cas d equlbro le ede delle osservabl local sono ndpenden dall nsee scelo, nel le erodnaco. Cò nonosane, quando s lavora con sse fn, bsogna essere consapevol dell essenza d correzon d densone fna, coe afferao nel faoso sudo d Lebowz e al. [] Inolre, nelle sulazon d dnaca olecolare, è pù convenene calcolare le ede seguendo le sngole raeore nel epo. Queso non cosusce un problea ogn qualvola rsul possble nvocare l ergodcà, poché quesa garansce l equvalenza ra le ede d nsee e le ede eporal. Cò nonosane, s è rsconrao che le ede nel epo d quanà corrsponden agl osservabl erodnac convergono alle ede d nsee aese anche n sse non ergodc n senso sreaene aeaco coe ad esepo l odello FPU- β e persno quando le fluuazon norno al valore edo non sono coeren con le predzon d equlbro.

23 Queso suggersce che l equvalenza delle ede eporal e d nsee degl osservabl fscaene rlevan possa essere garana da una condzone pù debole dell ergodcà. Un possble canddao porebbe essere l crero d ergodcà debole, proposo da Khnchn [9], che equvale ad assuere un decadeno suffceneene veloce nel epo delle funzon d correlazone eporale, aleno per osservabl erodnacaene rlevan, coe eperaura, energa nerna, calore specfco, ecc.. In accordo con la.7, sono possbl ole defnzon d eperaura, fscaene equvalen a foralene dfferen. Per esepo, la scela d p p u,...,,,..., pora alla defnzone couneene adoaa nell nsee canonco T p μ u pora alla defnzone locale d eperaura: Menre la scela,...,, p,,..., T p μ L denfcazone d una defnzone oale d eperaura da adoare negl sud nuerc è sreaene collegaa alle propreà d convergenza delle ede eporal. In queso senso s è osservao che le defnzon che convolgono solo le quanà d oo, coe quelle soprasan, convergono abbasanza rapdaene, quando la dnaca è abbasanza caoca, enre quelle che convolgono una dpendenza esplca dalle coordnae spazal possono convergere su scale eporal olo pù lunghe. [] Flusso La defnzone d flusso d calore rchede cauela perché plca la rasforazone d una defnzone esoscopca plca n una defnzone croscopca ulzzable. Per esgenze d seplcà, s dscue l problea facendo rfereno a sse onodensonal con nerazon ra ao adacen, dal oeno che l esensone ad un caso pù generale è ecncaene pù coplcaa, a conceualene equvalene. In al caso, l flusso d calore, all sane nella poszone spazale, non è nen alro che la correne d energa, plcaene defna dall equazone d connuà:

24 dh,, d. Dove: h, Densà d energa E porane precsare che, n generale, l flusso d energa defno nella. non concde con l flusso d calore, dal oeno che l pro nasce anche dal oveno acroscopco []. Tuava, ne sold e ne flud onodensonal non può esserc oveno sazonaro, perano due fluss concdono e possao usare due no n odo nercabable Con rfereno ad un nsee d parcelle che neragscono ra loro, possao scrvere la densà d energa croscopca coe la soa de conrbu sola colloca nella poszone sananea d ogn parcella. h, h δ Dove: δ Dsrbuzone d Drac h Conrbuo energeco della parcella -esa L energa assocaa alla parcella -esa può a sua vola essere espressa coe: p h.9 U [ V V ] Dove: p Energa cneca assocaa alla parcella -esa U Energa poenzale assocaa con la possble nerazone con un capo eserno [ V V ] Meà dell energa poenzale assocaa all nerazone della parcella -esa con le due adacen

25 Analogaene, s può esprere l flusso d calore coe soa d conrbu localzza, δ Il problea s rconduce perano al dare una defnzone del flusso locale d calore. S no,. che quesa quanà non ha la sessa densone fsca d - el le d pccole oscllazon norno alla poszone d equlbro, le fluuazon della densà possono essere rascurae e h può essere espresso coe : h h a Dove: a dsanza ra una parcella e l alra h densà d energa Dalla.7, la dervaa nel epo d h è : dh d & && & [ & & F & & F ] U Dove : U du d V F Dalle equazon del oo dervae dalla. s ha: & F F U Perano: dh d [ & & F & & F ] 7

26 Quesa equazone può essere rscra coe : dh d a Dove: def aφ a & F &. che può così essere nerpreao coe l flusso d calore locale. - Pù n generale, se le fluuazon della densà non possono essere rascurae, bsogna segure un approcco dverso per deernare un espressone ule per. Lo svluppo de calcol conduce all espressone : & & F & h. el le d pccole oscllazon rspeo alla dsanza ra le parcelle a, l secondo erne della. può essere rascurao e s può consderare a, n odo ale che l equazone. s rduce alla defnzone... Un alra classe d sse per cu le fluuazon d energa possono essere rascurae è quella per la quale la varable canonca non descrve l oveno longudnale lungo la caena, a corrsponde a dfferen grad d lberà es: oscllazon rasversal o roazone. In u ques cas, la poszone dove s localzza l energa h è fssa nel epo e, consegueneene, non può esserc nessun erne proporzonale a h nella. La aggor pare de odell non lnear che rano alla caraerzzazone d sruure con coporaeno soldo sono sa reda facendo rfereno alla devazone dalla poszone d equlbro q : q a Dove: q devazone della parcella -esa dalla poszone d equlbro poszone assolua della parcella -esa a poszone d equlbro della parcella -esa

27 Queso è, ad esepo, l caso de odell FPU. che possono essere vs coe rsulao del roncaeno dell espansone n sere dell energa poenzale nelle poenze d q q. Il rsulao dell nroduzone dello scaro rspeo all equlbro q e dell elnazone della poszone effeva è che le dsanze fsche scopaono dal odello e la spazaura a ra le parcelle dvena un valore arbraro. Coe conseguenza, se s scegle un valore d a roppo pccolo, s possono avere parcelle che, conraraene alla fsca del problea, s copenerano pur conservando ancora le edese parcelle adacen. Un nerpreazone sgnfcava d al odell s oene solo assocandol ad una spazaura a suffceneene grande e calcolando così l flusso d calore a parre dalla defnzone.. Voglao nfne nrodurre un espressone per eno serca a pù copaa, che possa essere oenua sfruando l uguaglanza: q q rege sazonaro V &, che vale n condzon d Parendo dalle equazon del oo e svluppando con [] s oene che : def. Il flusso d calore edo locale è dunque cosane lungo la caena, coe prevso. Alle esreà s rova che, qualunque sa la scela del bagno erco, l flusso d calore uguagla l flusso d energa verso l corrspondene bagno. Queso s può vedere seplceene scrvendo l equazone d equlbro per l energa cneca della pra ula parcella della caena. Il flusso oale d calore è dao da: J Dalla defnzone., s rcava che, n rege sazonaro: J Dalla., s vede coe J sa la versone onodensonale dell espressone generale [] J V & h & & F. valda per ogn sao della aera 9

28 Bagn erc Gl sud eorc e nuerc d sse eccanc sasc sono generalene basa su un opporuna odellzzazone dell nerazone con rserve erche. All equlbro, queso s realzza solaene usando eod collauda qual la dnaca olecolare cro-canonca e le sulazon Mone Carlo. Fuor dall equlbro, la ancanza d una cornce eorca generale cosrnge a defnre nerazon sgnfcave con bagn erc araverso dvers eod, la cu valdà è laa a cas specfc per qual sono sa svluppa. L poranza d ale approcco nelle sulazon de process d rasporo ne sold crsalln è ora rconoscua da decenn [] Conceualene, l odo correo d procedere rchede d consderare sa d non-equlbro d sse nfn. S porebbe ad esepo agnare d avere una caena nfna con condzon nzal al che u gl ao a desra e a snsra d un soonsee delao che ndvdua l ssea d neresse sano n equlbro a dverse eperaure. Ad ogn odo, l unco caso specfco n cu un ale approcco può essere effevaene pleenao è quello d un ssea aronco [-]. Infa n quel caso è possble rcavare grad d lberà corrsponden alla dnaca de bagn e, coe rsulao, s può dosrare l essenza d sa sazonar d non-equlbro e deernare le propreà erodnache rlevan. Quando subenrano gl effe non-lnear, nvece, non s può pù rcondurre l evoluzone de bagn d calore ad un odello raable. Cò nonosane le caene non lnear possono essere sudae, assuendo che la non lnearà sa laa al ssea d neresse, enre s consderano solo nerazon lnear per le parcelle apparenen alle caene se-nfne che corrspondono a bagn. Seguendo queso approcco, s sono oenu ol rsula []. In parcolare, n analoga a quello che può essere la conservazone dell energa per l equlbro, è saa receneene provaa l essenza d un unca sura nvarane d probablà non noa esplcaene nel non-equlbro, n caene d oscllaor accoppa alaene non lnear sogge a graden d eperaura arbraraene grand []. Bagn socasc Un odo radzonale per pleenare l nerazone con bagn consse nell nrodurre sulaneaene forze casual e dsspazone n accordo con la prescrzone generale del eorea d fluuazone-dsspazone. Consegueneene, bagn non sono nfluenza dalla dnaca del ssea. el caso seplce d una caena con parcelle aven asse ugual, s oene l seguene nsee d equazon d Langevn: q& q q q F q q ξ λ q& δ ξ λ q& δ F. Dove:

29 ξ λ q& δ, ξ λ q& δ λ q& δ, λ q& δ forze presen sulla parcella ed forze d rallenaeno ξ, ξ process d Wener forze socasche ndpenden con eda zero e varanza λ± T± k B λ, λ coeffcene d dsspazone I process d Wener sono process socasc con eda nulla, varanza proporzonale a e dsrbuzone d probablà gaussana. In praca, anche queso odello può essere raao solo nuercaene, per forze non lnear. Una vola che s è ragguna la condzone d sao sazonaro d non-equlbro, s valua l flusso edo, defno dalla. e s sa la conduvà erca κ coe: κ L Δ T Dove: κ conduvà erca Δ T T T gradene d eperaura ra la parcella e la parcella L dsanza ra la parcella e la parcella Il flusso edo s può oenere anche dreaene dal proflo d eperaura. Infa, l calcolo socasco dreo osra che la quanà eda d energa scabaa ra la pra parcella e la reservor calda con essa a conao, ossa l flusso d calore o correne, è : λ, T T λ. Un espressone equvalene vale all alro esreo. Quesa forula sablsce che l flusso d calore è proporzonale alla dfferenza ra la eperaura cneca della parcella a conao con l bagno erco e la eperaura del bagno sesso. Un pleenazone croscopca che è saa largaene usaa consse nell agnare ogn reservor coe un gas deale onodensonale d parcelle d assa M ± che neragscono con la caena araverso collson elasche []

30 Una sraega seplce consse nel selezonare una sequenza casuale d san, n cu ogn aoo erosaao collde con una parcella del corrspondene bagno. Una scela naurale W τ degl nervall τ ra collson consecuve sarebbe la Possonana per la dsrbuzone Dove: W τ τ τ τ e τ epo edo d collsone La cneaca della collsone plca un cabaeno della velocà della parcella, da pra a dopo la collsone, espresso dalla seguene: q & q& M M v q& per l bagno snsro un espressone analoga vale per quello desro. La velocà v delle parcelle d gas è una varable casuale dsrbua secondo la dsrbuzone Mawellana: P M πk T M v kbt v e B el caso d M ±, la procedura s rduce ad assegnare la velocà dopo la collsone uguale alla varable casuale v le parcelle s scabano le velocà. el caso le M ± <<, nvece, l nerazone con bagn d calore dvena del po ± Langevn, coe nell equazone., con λ ± M τ Queso eodo è copuazonalene olo seplce, perchè eva l problea d raare con equazon dfferenzal socasche l negrazone può nfa essere effeuaa per ezzo d algor convenzonal ed è fscaene apprezzable perchè lo sorzaeno non è ncluso a pror nel odello, a generao nrnsecaene dalla dnaca. Uno schea collegao a dfferene consse nel deernare ep d collsone dall nerazone con ur erc adeguaaene colloca alle esreà della caena. Queso eodo ha l vanaggo d pereere d ncludere gl effe della pressone nella sulazone della dnaca olecolare. In queso caso, la velocà delle parcelle erosaae è resa casuale ogn vola che esse raggunge l uro. Menre l segno della coponene norale al uro deve essere scela n odo da asscurare che sa rflessa, l suo odulo deve essere dsrbuo secondo una dsrbuzone Mawellana cenraa sulla eperaura del uro []

31 Bagn deernsc el enavo d fornre una descrzone auo-conssene de process d non-equlbro, s sono nrodo dvers p d bagn d calore deernsc [9]. Queso è sao anche ovao dalla necessà d superare le dffcolà nconrae nel raare con process socasc. Applcazone d forze alle esreà della caena Lo schea che ha oenuo l aggor consenso nella counà che s occupa dello sudo della dnaca olecolare è l cosddeo erosao d osè-hoover [],[7] Con ale po d erosao, l evoluzone delle parcelle a conao erco con l bagno α è governaa dall equazone: q&& F ζ q& se S. ζ q& se S q q F q q Dove: ζ q& ζ q& se se n S n S Terne d bagno per le parcelle agl esre ζ ± Varabl bagno erco ossa due varabl auslare che odellzzano l azone croscopca del erosao S ± Due grupp d ± F q q, F parcelle rspevaene all nzo e alla fne della caena, a conao con le reservor q q Forze che, nel nosro odello, sono pulsve coè ugual a quese per le parcelle nerne alla caena La dnaca d ζ ± è governaa dall equazone: Dove: & ζ ± q& Θ.7 ± k BT± ± S ± K,, k T B ± ± Energa cneca d rfereno nel nosro odello equvale a RIF K,RIF Θ ± Tep d rsposa del erosao

32 Consderao l azone del erosao. Se la eperaura cneca delle parcelle apparenen a S ± è, ad esepo, aggore d T ±, allora ζ ± auena fno a dvenare posvo. Perano la varable auslara agsce coe una dsspazone nell equazone.. Se la eperaura nvece scende al d soo d T ±, accade l conraro. Tuo queso rappresena dunque un feedback sablzzane norno alla eperaura prescra. La gusfcazone rgorosa della valdà d queso schea è daa n Rf. [7],[], dove è sao dosrao che esso rproduce la dsrbuzone canonca d equlbro alla eperaura desderaa el caso le d Θ l odello s rduce al cosddeo erosao Gaussano socneco: l energa cneca s conserva esaaene e l azone del bagno erco è adeguaaene descra senza bsogno d nrodurre un ulerore varable dnaca, poché ζ dvena una funzone esplca della q& ± [ F q q F q q ] q& ζ ± S ± q&. S ± Ques ulo schea d erosao può essere dervao da eod varazonal dopo aver poso vncol anolono che esprono la conservazone dell energa cneca [9] Pù genercaene s è vso che le equazon dnache d ua quesa classe d erosa deernsc possedono una sruura halonana n uno spazo delle fas opporunaene allargao. Una propreà neressane che è preservaa dalla proezone sullo spazo delle fas consueo è la reversblà nel epo. Infa, una seplce anals delle equazon rvela che esse sono nvaran rspeo all nversone eporale q& q&,..., ζ ± ζ ± Tale propreà rappresena la ragone prncpale del successo d quesa classe d erosa, dal oeno che la dsspazone non è nclusa a pror, a derva nrnsecaene dall evoluzone dnaca. In parcolare, all equlbro ζ ±, cosa che ndca che l azone del bagno non dsrugge la reversblà acroscopca, enre fuor dall equlbro ζ ζ > e queso valore è collegao alla produzone d enropa

33 Un alro procedeno può essere defno cobnando l dea d un erosao che agsce rae le collson a bord della caena con quella d una regola deernsca e reversble per le collson sesse. Il pro coneso dove uno schea d queso po è sao nrodoo con successo è quello de flud n oo rasversale [] enre, pù receneene, van Beeren ha proposo un pleenazone adaa per sse onodensonal. L dea è olo sle a quella del uro erco precedeneene dscusso con l porane dfferenza che la velocà v dopo la collsone è una funzone deernsca e reversble della velocà nzale v ; vale coè la seguene: v Φ v Dove: v velocà della parcella del bagno erco dopo la collsone v velocà della parcella del bagno erco pra della collsone Φ rasforazone reversble dove una classe d rasforazon reversbl Φ è defna n odo ale che Φ GRG, con R R Un ulerore vncolo è che la dsrbuzone d equlbro sa lascaa nvaraa soo la rasforazone Φ. La scela adoaa nel Rf.[] consse nel fssare: v kbt e G v R In accordo con quesa scela, G rasfora la dsrbuzone Mawellana n una dsrbuzone unfore sull nervallo unaro che, n copenso, è lascao nvarao da R. Benché quesa e le preceden scele d erosa reversbl non corrspondano a nessun eccanso fsco reale, esse offrono una cornce d lavoro convenene per l applcazone de conce de sse dnac e negl ann s sono dosrae olo effcac nella rappresenazone d nueros fenoen d rasporo

34 Applcazone d un capo eserno a ua la caena d parcelle e eod soprasan, l ssea è condoo fuor dall equlbro dall applcazone d opporune forze alle esreà: un approcco che è neso a rprodurre condzon sperenal. Una dversa flosofa [9] consse nell applcare un capo eserno che agsce sul nucleo nerno del ssea per anenerlo sazonaraene fuor dall equlbro. Il vanaggo prncpale d queso approcco è la possblà d lavorare con sse oogene con, ad esepo, una eperaura unfore lungo l nero capone. In parcolare, s possono forzare condzon a bord perodche n odo da rdurre ulerorene gl effe della densone fna. Il noe con cu c s rfersce a queso procedeno è, solaene, algoro d flusso del calore d Evans ; esso è sao applcao alla conduzone del calore n un recolo ono-densonale [],[7],[] Pù precsaene, s aggunge all equazone del oo d ogn parcella -esa un capo d calore fzo F ed e, per sablzzare la dnaca ad una eperaura prescra, s applca una regola erosao. L equazone del oo che ne rsula è : q& q q F q q Fe D ζq& F.9 Una defnzone d D spesso pegaa è [] D [ F q q F q q ] F q q! S consdera nolre un erosao d Gauss: ζ K q& [ F q q F q q F D ] e Dove: K q& S no che, a dfferenza degl sche preceden, l erosao agsce su ue le parcelle queso è possble dal oeno che, s rcord, la eperaura è unfore La conduvà erca può essere deernaa dal rapporo ra l flusso d calore e l capo d calore applcao κ l e TF F e

35 Dove: eda d oe: rappresena sa una eda nel epo, sa una eda su un opporuno nsee Il le F e è deao dalla necessà d asscurare la valdà della eora della rsposa lneare che è plcaene conenua nelle assunzon nzal. Queso requso è a aggor ragone pù sgnfcavo se s consderano le dffcolà nconrae lavorando con cap d calore olo grand []. In cera sura queso vale anche per l eodo d osè-hoover precedeneene descro [] Confrono ra eod dvers In u gl sche de bagn erc c è aleno un paraero che conrolla la forza accoppaa alla parcella che neragsce con esso: defnaolo genercaene g. Esso può essere, ad esepo, l epo edo che nercorre ra due collson successve o la velocà d dsspazone λ nell equazone d Langevn, o l nverso della cosane d epo Θ nello schea d osè-hoover. Fssare g è una quesone praca che d solo s rsolve eprcaene asscurando che scele dverse non odfchno apprezzablene rsula delle sulazon. In ern general, s dovrebbe nconcare sceglendo g dell ordne d alcune frequenze pche del ssea [7] Sorge edaaene un neressane doanda rguardo alla dpendenza del rasporo d calore da g ne var sche. el caso d bagn socasc, l flusso d calore s annulla sa nel le d accoppaeno debole λ, sa nel le d accoppaeno fore λ La pra plcazone segue abbasanza faclene dalla. e dall osservazone che T T non può superare T T pù precsaene, c s aspea che T T T per λ, dal oeno che l proflo dovrebbe dvenare va va pù pao. Il caso opposo è eno banale: speghao qua d seguo perché lo sesso coporaeno qualavo può essere rovao n due dvers sche d bagno d calore. Consderao nnanz uo un bagno che agsca per ezzo d collson separae da nervall casual τ. In queso caso, la cosane d accoppaeno g è daa dall nverso del epo d collsone τ. Per pccol τ, c s può basare su un approcco perurbavo e s può scrvere l energa cneca K della pra parcella, al epo τ, dopo la collsone coe : K v F τ 7

36 Dove: v velocà nzale, casuale F τ varazone d v dovua all accelerazone pressa dalla forza F Coe rsulao, K, n eda, caba d una quanà proporzonale a τ. Per avere l flusso d energa, s deve olplcare queso conrbuo per l nuero τ r d collson per unà d epo. In accordo con queso, rovao che l flusso va a zero coe g nel le dell accoppaeno fore. E neressane noare che la dpendenza quadraca dell energa può anche essere dedoa dall nvaranza delle equazon croscopche rspeo all nversone del epo: dopo una collsone non c dovrebbe essere dfferenza ra la scela d percorrere l asse del epo n avan o ndero; coe rsulao dobbao aspearc perano un coporaeno quadraco. Abbasanza sle è l anals de bagn erc d po Langevn. In queso caso, per λ grand, q& può essere elnaa adabacaene, dando orgne a : ξ F q & λ λ Ancora, s può vedere che l valore edo della eperaura cneca deva d a quello d equlbro. O rspeo λ Il odo pù seplce per cobnare l coporaeno del flusso edo nel le d accoppaeno fore e debole è araverso la forula eursca: aλ b λ b λ λ che presena la dpendenza da λ aesa sa nel le λ che nel le λ. Il proflo d eperaura che s oene per una caena FPU a conao con bagn d calore socasc d Langevn è va va pù pao per λ. Meno ovva è la endenza a dvenare pao anche nel le d accoppaeno fore. Infa, c una pccola a crucale dfferenza ra la eperaura della pra e dell ula parcella. Per λ, la eperaura delle parcelle esree ovvaene ende ad essere uguale a quella nel cenro; al conraro, per λ, al eperaure convergono alla eperaura del bagno. In alre parole, l salo d eperaura è osservao ra la parcella a bord e la sua vcna.

37 Se rpeao la sessa anals usando erosa d osè-hoover, rovao un coporaeno sle nel le d accoppaeno fore. Il flusso d calore s annulla quando l epo d rsposa Θ ende a zero. Queso è l caso le d un bagno sreaene socneco e, perano, s può concludere che ale po d bagno d calore non è adao a sosenere l rasporo d calore fnano che una sola parcella è eralzzaa a cascuna esreà. Forse pù sorprendene è l opposo caso le, dal oeno che possao vedere che l flusso d calore non va a zero benché l azone de bagn d calore dven sepre pù lena. Una coprensone parzale d queso coporaeno naeso vene dall osservazone che la varable ζ, benché lenaene, raggunge gl sess valor asnoc per cosan d epo Θ arbraraene grand. Ploando l sograa de valor d ζ, ossa la sua PDF per dvers valor d Θ, s vede che enrabe le curve sono charaene gaussane e cenrae aorno al edeso valore edo, a con devazon sandard dfferen. In parcolare, le devazon sandard dfferscono ra loro del edeso faore che s ha ra le cosan d epo. In praca, queso c nduce a dre che, nel caso le d Θ, la dsrbuzone de valor d ζ dvena una funzone δ dela d Drac cenraa su un valore fssao d dsspazone che dpende solo dalla lunghezza della caena, dall energa e dal gradene d eperaura. Queso rsulao sebrerebbe essere n dsaccordo con l eorea d dsspazone-fluuazone e sebra suggerre che, per Θ, le fluuazon scopaono enre la dsspazone rane fna. In realà, bsogna noare che, per oenere una sura correa del valore delle fluuazon, s deve negrare su un epo suffceneene lungo da lascar decadere le correlazon: la dvergenza della cosane d epo asscura ancora la valdà del eorea d fluuazone-dsspazone. Coe rsulao d quesa anals, possao concludere che l valore d Θ d ordne nelle prescele unà d sura densonal sano scele oal per le sulazon nuerche, poché pccol valor plcano pccol fluss d calore, enre valor aggor rchederebbero ep d sulazone pù lungh per poer asscurare l decadeno delle correlazon Ressenze alle esreà Le dsconnuà d eperaura solaene appaono quando l flusso d calore è anenuo araverso un nerfacca ra due sosanze. Quesa dsconnuà è l rsulao d una ressenza al conorno, solaene denoaa col noe d ressenza d Kapza. La sua orgne rsale al dsaccoppaeno fononco ra due sosanze adacen []. Tale fenoeno è nvarablene presene nelle sulazon e può rdurre l accuraezza delle sure. L La conduvà, valuaa coe κ eff rappresena un coeffcene d rasporo effevo ΔT che nclude le ressenze sa a bord, sa al cenro. In praca, s può fare rfereno ad una soocaena abbasanza dsane dalle esreà e calcolare una conduvà legaa al cenro coe rapporo ra J e l reale gradene d eperaura nella soocaena. S no, counque, che l vanaggo della rduzone degl effe alle esreà può essere parzalene rdoo dall auenaa dffcolà d avere a che fare con dfferenze d eperaura olo pccole 9

38 La dfferenza d eperaura posa s può esprere coe: ΔT δ T δt L d T Dove: Δ T T T dfferenza d eperaura posa δ T ± sal d eperaura alle esreà e L S esprano ora sal δ T± coe [] δ T ε T. ± l ± ± Dove: T valore del gradene d eperaura esrapolao sul bordo, L ± l ± cano lbero edo alla eperaura corrspondene ε cosane fenoenologa e densonale che sura la forza d accoppaeno ra erosa e l ssea δt La. è saa esaa nuercaene ploando l rapporo l n funzone d T per dvers erosa [,] Dalla pendenza delle vare curve, s è rovao che nel odello FPU- β l paraero d accoppaeno ε può varare da ε., per erosa adoa nel Rf [], a ε per erosa d osè-hoover, a ε per rserve socasche, coe evdenzao dagl ap sal d eperaura. Queso rflee l fao eprco che la fora del proflo d eperaura, per assegna T ±, può dpendere dalla scela de erosa. Ad ogn odo la scala è ndpendene da quesa scela In un rege d quas-equlbro, possao assuere che sa: δ T δt l l l T ± T cosane oenendo : εl L T ΔT

39 Da quesa abbao: κ eff ΔT L κ εl L Dove: κ conduvà della pare cenrale T L densone del ssea Quando l cano lbero è olo aggore della densone del ssea, coè l >> L le d Casr [], l energa flusce quas lberaene araverso l ssea, s ha dspersone al conorno, l ssea è quas aronco con κ effαl e s ha un proflo d eperaura pao. el caso opposo, ossa l << L, s ha : κ κ eff e nfa s esana l nerazone del nucleo cenrale della caena.

40 I rlevaor d onde gravazonal Le onde gravazonal La gravà è la pù debole delle nerazon fondaenal ra corp, a è la forza donane ne sse asrofsc. In parcolare, due asse esercano ra loro una forza arava nversaene proporzonale al quadrao della loro dsanza che, coe uo cò che agsce nello spazo, non può propagars con velocà aggore d quella della luce c. Quando l capo gravazonale d un ssea subsce delle varazon, quese s propagano nello spazo a velocà fna e l nforazone nerene al cabaen è rasporaa dalle onde gravazonal. L essenza d radazone gravazonale è naene legaa all essenza d un le alla velocà d rasssone dell nforazone. ella eora della gravazone d ewon, dove vale l prncpo d azone a dsanza, non esse nfa l conceo d onde gravazonal, enre la eora della Relavà Generale d Ensen e alre oderne eore della gravà ne prevedono l essenza coe propro corollaro eorco. Le dverse eore concordano sulla velocà d propagazone della radazone gravazonale c, conferaa anche da osservazon sperenal sulle aree, a sono n dsaccordo su alre propreà ad essa correlae Un capo gravazonale s propaga nello spazo n senso radale, enre le dsorson che esso provoca localene sono perpendcolar alla sua drezone d propagazone. A parre dagl nz del oveceno sono sae forulae svarae eore per deernare la eccanca d quese dsorson. La eora della gravazone d Ensen era d po ensorale: prevedeva onde a caraere quadrupolare, e rchedeva, per descrvere l capo gravazonale n un puno dello spazo, un nsee d dec valor, chaa poenzal gravazonal. La eora scalare, al conraro, necessava d un solo valore per ogn puno dello spazo, ndpendene dal ssea d rfereno dell osservaore. Alre eore applcavano po delle odfche alla eora d Ensen, con una escolanza d forze scalar e ensoral. [] Il odello eorco uora pù accredao rane counque quello d Ensen, a sruura sreaene ensorale. Esso prevede che la quanà d radazone gravazonale eessa da un corpo dpenda dal grado d dsoogeneà nella dsrbuzone della sua assa n ern d devazone del corpo dalla sera sferca; la grandezza fsca che sura quesa dsoogeneà è l oeno d quadrupolo Q, defno coe: Q ρ d Quando l oeno d quadrupolo d un corpo d grande assa subsce varazon olo rapde vene eesso un gran nuero d onde gravazonal, d nensà e quanà proporzonal alla velocà delle varazon. La cosa pù porane è che la sorgene deve uovers con rapdà n odo ale da accenuare la sua coponene non sferca; per esepo,

41 una sella ovale che ruo norno all asse aggore non produce onde gravazonal, a se ruoa norno all asse nore dvena un nensa eene. La eora d Ensen vede le onde gravazonal coe onde rasversal rappresenabl non edane una quanà scalare es.: h apezza dell onda, bensì edane una arce h conenene le nforazon sulla dsorsone dello spazo-epo ndoa dal passaggo delle onde sesse. Il passaggo d un onda gravazonale copora sulla aera un effeo d copressone e sraeno. Se s consdera ad esepo un anello d parcelle, s ha una dsorsone nella separazone fra le parcelle, che può aver luogo n due od dvers, corrsponden a due possbl sa d polarzzazone ndpenden d un onda gravazonale. Tal sa d polarzzazone corrspondono alle due possbl drezon lungo le qual l capo può oscllare durane la propagazone dell'onda e sono solaene denona croce e pù" [] Fg.. Deforazone d un anello d parcelle al passaggo d un onda gravazonale Fn dagl ann Cnquana sono sa effeua var esperen allo scopo d rlevare le onde gravazonal. In passao s è cercao d rprodurle n laboraoro, oenendo però uno scarso successo, poché l essone d queso po d onde da pare d asse da laboraoro, è esreaene debole e sascaene probable. Perano enav d rlevaeno s sono sposa su radazon eesse da asse grandsse, dell ordne d quelle delle selle o delle galasse.

42 Sorgen d onde gravazonal S conoscono ole possbl sorgen d onde gravazonal: sse bnar d selle, pulsar, esploson d supernovae, buch ner n vbrazone e galasse n forazone; per ognuna d quese fon l po d segnale eesso dovrebbe possedere un bro caraersco che ndvdu unvocaene l po d fone e la causa dell essone. Un ssea sellare bnaro, forao coè da due selle che orbano norno ad un coune cenro d assa, dovrebbe produrre onde gravazonal connue; l perodo fondaenale d quese onde sarebbe par a eà del perodo dell orba delle due selle. Quando un ssea bnaro uore, le selle che lo copongono cadono rapdaene verso l cenro seguendo una raeora a sprale, fno a che colldono o s dsnegrano, eeendo onde gravazonal. el caso che l ssea sa forao da due selle d neuron, enrab gl even collsone o dsnegrazone dovrebbero produrre un pulso d onde gravazonal olo pù nenso, a causa del aggore quanavo d assa presene nel ssea. Anche la nasca d una sella d neuron dall esplosone d una supernova, dovrebbe essere annuncaa dalla rasforazone d crca lo,% della assa nzale n onde gravazonal d po pulsao. Il loro rlevaeno pereerebbe d conferare la prevsone d Ensen sulla loro velocà: se le onde gravazonal e quelle lunose venssero rlevae sulaneaene, avreo una confera drea che le onde gravazonal s propagano alla velocà della luce. Un ulerore vanaggo nello sudo del collasso sellare provene dal fao che la radazone eleroagneca durane l collasso vene bloccaa dagl sra esern della sella, che nascondono alla vsa le fas pù volene dell esplosone; le onde gravazonal, che neragscono così debolene con la aera da poer araversare senza aenuazon l aosfera d una sella, porebbero nvece svelare deagl pù fn del collasso. Una sella d neuron guna alla aurà può essere anch essa una sorgene d onde gravazonal se la sua assa non è dsposa sercaene rspeo al suo asse d roazone. In queso caso, coe per sse bnar, le onde sono connue; l loro perodo fondaenale è uguale al perodo d roazone della sella. Le nforazon rcevue darebbero nforazon sulla sruura nerna d quese sorgen, ancora non copleaene conoscua. Un alra possble fone d onde gravazonal è l Bg Bang. Le osservazon pù poran sull unverso prordale c vengono dall osservazone del fondo cosco d croonde, reso della radazone erca che pervadeva l unverso a suo nz. Il rlevaeno d un fondo ruore cosco d onde gravazonal svelerebbe nuov aspe del Bg Bang. Le onde gravazonal prodoe nelle suazon descre avrebbero counque un pao esreaene debole ed effero quando nvesono la Terra. el glore de cas, le asse de rvelaor verrebbero appena sollecae, con uno sposaeno nelle loro poszon d appena er un loneso del daero d un proone per ogn ero d separazone; per queso ovo ol scenza sono uora scec rguardo la possblà d rlevare onde gravazonal ne pross decenn

43 Rlevaor d onde gravazonal Fg.. Rlevaore d onde gravazonal Il rlevaore AURIGA è un progeo dell IF per l rlevaeno dreo d onde gravazonal d orgne asrofsca. A causa della rdoa densone della sezone d uro ra la radazone gravazonale e la aera, l rlevaore deve essere progeao con cura per asszzare l rapporo segnaleruore SR sgnal-nose-rao e auenare le possblà d rlevaeno. Il rlevaore AURIGA è d po rsonane: queso sgnfca che la sensblà aggore s ha n condzon d rsonanza eccanca del rlevaore, dove l assorbeno d energa dal passaggo delle onde gravazonal è asso. Il rlevaore è coposo d un corpo che enra n rsonanza eccanca, ossa una sbarra d alluno pesane. onnellae, lunga e avene daero d c. Il odo corrspondene alla rsonanza che neressa sudare è l pro odo longudnale. S prevede nfa che le onde gravazonal coprano e dlano la sbarra. Il aerale d cu è coposa la sbarra e le sue denson sono scele coe buon coproesso ra coso e vncol lega alla frequenza segnal aes sono d crca khz. Inolre, la assa del rlevaore, a cu è proporzonale la sezone d uro con l onda gravazonale, non può essere roppo grande dal oeno che la capacà d raffreddaeno de frgorfer è laa La frequenza d rsonanza del pro odo longudnale, che è quello onorao per rlevare le onde gravazonal, è d crca khz

44 Per rlevare le vbrazon della sbarra e delle sue facce, che avvengono a crca Hz, un alra assa d crca Kg è fssaa elascaene ad una d esse. Dal oeno che è cosrua per vbrare alla sessa frequenza e che è olo pù leggera della sbarra, la seconda assa acqusa n odo rsonane le vbrazon della sbarra con un apezza olo aggore. Queso secondo rsonaore eccanco è chaao rasduore rsonane. Po, dal oeno che queso rsonaore è pare d un condensaore carcao ad alo volaggo, le vbrazon sono rasforae n oscllazon d correne n un crcuo elerco, sono aplfcae, dgalzzae e nvae ad un copuer per essere analzzae. Persno dalle sorgen pù for del coso, coe buch ner, le vbrazon aese della sbarra provocae dalle onde gravazonal sono esreaene pccole, dell ordne d - : queso sgnfca che sono dello sesso ordne d grandezza dell ncerezza quanoeccanca della poszone della sbarra nella sua condzone d rposo. Perano, la vbrazone ndoa dalle onde gravazonal porebbe essere faclene confusa con le vbrazon ndoe dal ruore eccanco dell abene e dall onnpresene ruore erco sponaneo della aera. Per rdurre enrab ques ruor, la sbarra è sospesa nel vuoo e raffreddaa a eperaure basssse, una frazone d grado sopra lo zero assoluo. In quese condzon l rlevaore ha funzonao per ann, aspeando l arrvo d un segnale abbasanza fore da essere separao dal ruore [] Probleaca affronaa con l presene sudo Le superfc dell anenna gravazonale hanno una vbrazone a lvello croscopco per effeo della eperaura vbrazon d equlbro. Quando passa un onda gravazonale, esse vengono odfcae. S pone dunque l problea d separare l segnale dal ruore. E noo dalla leeraura che l ruore, n condzon d equlbro, è d po gaussano, a non s sa coe sa fao fuor dall equlbro. In queso sudo vene nrodoo un odello d dnaca olecolare, quale dealzzazone del fenoeno delle vbrazon d lunghezza, n condzon d equlbro e n condzon d dsequlbro. Il realà, l problea vbrazonale da no affronao è un problea d neresse ecnologco generale. Poché lo sudo d un recolo d alluno reale rsula counque possble, per l eccessvo lvello d coplessà copuazonale che esso copora, s è prefero adoare la assa seplfcazone possble, n odo da poer condurre un anals olo deaglaa. Queso può far nascere l dubbo che l odello preso n consderazone non sa suffceneene realsco. In effe, sulla valdà d qualsas odello non è possble pronuncars a pror. D alra pare, queso procedeno è couneene adoao n Meccanca sasca e gode del conforo dell esperenza. La Terodnaca è nfa una descrzone così foreene rdoa de sse parendo da ole varabl, ne rduce l nuero a due; ad es. pressone e eperaura, che non s neressa ano al deaglo fne. Perano, quello che una descrzone olo rdoa fornsce può rsulare adeguao agl scop. In quesa prospeva dao l va alla nosra anals

45 MODELLO Fg.. Collsone ra due parcelle Il odello pleenao è un odello a parcelle dure, n cu coè la collsone non copora la deforazone delle parcelle neressae e avvene sananeaene. Corollaro dreo d quese assunzon è l poes della naura elasca delle collson, naura che plca la conservazone della quanà d oo. Quesa propreà verrà pegaa per rcavare le condzon dnache delle parcelle subo dopo l uro S pozza nolre che le collson sano solo d naura bnara, ovvero che possano neressare solo due parcelle per vola, e che presenno una dnaca onodensonale. La sbarra vene raffguraa coe un nsee d parcelle punfor dspose su un unca lnea, ndvduae dalla loro coordnaa e aven velocà v, orenaa lungo. Le sulazon sono d po even-drven: l avanzaeno nel epo procede per sep successv, d duraa varable, ndvdua dagl san n cu avvengono le collson. La generca condzone che ndvdua una collsone è daa dall espressone:. ± ± r r Dove: epo coordnaa che ndvdua la poszone della parcella 7

46 ± coordnaa che ndvdua la poszone della parcella adacene alla parcella r, r ± ragg delle due parcelle Poché le parcelle sono consderae punfor r, la. dvena: r ± ± per, Rsolvendo quese equazon rspeo a, s rova l valore dell sane n cu s avrà la collsone. In parcolare: > La collsone avrà luogo nel fuuro La collsone ha luogo nell sane presene < La collsone ha avuo luogo nel passao Collsone elasca In una collsone elasca s ha: v G v G. v, rel v, rel. v, rel v, rel.bs Dove : la v G, vg' Velocà del cenro d assa, rspevaene pra e dopo collsone

47 v, rel v, rel, Velocà relava della parcella, nel ssea del cenro d assa, pra e dopo la collsone v, rel v, rel, Velocà relava della parcella, nel ssea del cenro d assa, pra e dopo la collsone Dosrazone della. Dalla conservazone della quanà d oo: v v v v v v Dalla defnzone d barcenro: v v v G v G' c.v.d. Dosrazone della. e.bs v v G v, rel. v v G v, rel.bs v, rel v v G v, rel v G v, rel v, rel v v v v v v, rel v v v v v 9

48 Da cu:,, v v rel rel. Conservazone della quanà d oo e dell energa: v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v. Sosusco le.,.bs nella.: rel G rel G rel G rel G v v v v v v v v, ',, ', rel rel rel rel v v v v,,,, Dalla.:,,,,,, v v v v v v rel rel rel rel rel rel rel rel v v,, c.v.d.

49 Caso d equlbro Fg.. Modello del ssea d parcelle n condzon d equlbro Il odello prevedere l nroduzone d una forza cosane F, che agsce solo sull ula parcella e che rappresena sa la pressone esercaa sulla barra dall ara dell abene eserno, sa la forza d coesone ra le parcelle. Tale forza è pensaa coe seplfcazone del odello d Fer-Pasa-Ula n alernava all nroduzone d forze elasche ra le parcelle Perano s pozza che F sa conservava e che presen perano un poenzale Equazon del oo Le equazon che governano l oo delle parcelle sono l equazone del oo unfore e l equazone del oo unforeene accelerao In ern dscre: Dove: Indce che ndvdua la parcella Indce che ndvdua l sane d epo, F per & & Δ Δ Δ, coll F per coll coll & &

50 Δ coll Tepo necessaro per l nsorgenza d una collsone La naura conservava della forza F e l assenza d dsspazon nel oo delle parcelle, così coe ne loro process collsonal, coporano la conservazone dell energa oale del ssea. In al senso, ossa n senso erodnaco, s dce che l ssea è n equlbro Caso d dsequlbro Fg.. Modello del ssea d parcelle n condzon d dsequlbro S voglono sudare gl effe dell nroduzone d un gradene d eperaura. A al scopo s applcano due erosa d osè-hoover seplfca a due parcelle, rspevaene all nzo e alla fne della sbarra, affnché l area d scabo del calore sa suffceneene esesa. Terosa : pologe Genercaene parlando, erosa sono ogge aeac che pongono de vncol non conservav anolono al oo delle parcelle e essono d dvers p; pù conoscu sono l erosao d Gauss e quello d osè- Hoover - Terosao d Gauss Ipone la conservazone della quanà K p sane per sane, dove p è l odulo della quanà d oo della parcella a cu vene applcao. La forulazone generale d ale vncolo è daa dall espressone: r p&r r F α p.7

51 Dove: r p F r r r p v quanà d oo della parcella forza eserna applcaa alla parcella α p r forza applcaa dal erosao alla parcella r r α α,, v espressone non cosane nel Caso parcolare: densone Il vncolo pone: p K. Dove: K cos Dervando la. rspeo al epo s oene: p p&.9 Dalla.7, olplcando abo ebr per p, s avrà: p p& p F α p Per la.9, sarà: p F α p Da cu: p F p F α. p K

52 Sosuendo la. nella.7, s oene: p& F p F K p p& F F. Dalla. s vede coe, nel caso onodensonale, la forulazone generale s rduca ad un espressone banale: l unca possblà per avere la conservazone del odulo della quanà d oo della parcella è nfa quella che la quanà d oo edesa s conserv. Queso è possble solo se la forza rsulane applcaa alla parcella è par a. Il erosao dovrà dunque esercare su d essa una forza cosane nel epo, uguale e conrara alla forza eserna F. Terosao d osè - Hoover Ipone la conservazone della quanà K p, dove p è l odulo della quanà d oo della parcella a cu vene applcao l erosao, enre l sbolo ndvdua una eda nel epo. La forulazone generale d ale vncolo è daa dall espressone:. p& F ζ p Dove: ζ ζ p Terne d bagno per Varable bagno erco La dnaca d ζ è governaa a sua vola dall equazone:. & p ζ θ k BT S Dove:

53 K rf k B T Energa cneca d rfereno per seplcà possao chaarlo θ Tepo d rsposa del erosao uero del gruppo d parcelle S a conao con l bagno erco Se la parcella erosaaa è una sola, avreo:. & p ζ θ Terosao d osè - Hoover seplfcao S oene dalla., ponendo che la parcella - esa sa essa sessa bagno erco. Perano s pone : ζ p Su una scala eporale d valore θ, queso erosao fa endere la quanà p ad un valore K rf, dove p è l odulo della quanà d oo della parcella a cu vene applcao l erosao. Il segno d p non vene odfcao. La sua forulazone generale s presena nella fora: p& p F θ K rf p. Dove: θ Tepo caraersco d rlassaeno scala d epo per raggungere K rf K rf K d rfereno p rf cosane Sgnfcao Trascurao l effeo della forza F e consderao solo l secondo erne.

54 L espressone : θ K p rf p ndvdua la forza che l erosao applca alla parcella. Dall anals densonale s deduce che θ rappresena un nervallo d epo, enre K p rf p Δp rappresena la varazone d quanà d oo che l erosao pre alla parcella n ale nervallo. Consderando var cas che s possono presenare: - Se p < K rf ossa p K rf p > Δp p& p cos p < Δp p& p cos p Δp p& p cos Queso ee n evdenza coe la quanà K rf rappresen un valore le per p. Il suo raggungeno copora nfa un annullaeno della dervaa p& che, a sua vola, preclude la possblà d fuure varazon d p. - Se p > K rf ossa p > K rf p Δp < p& < p > p Δp > p& > p <

55 p p > K rf K rf p < Fg. Andaeno d p nel epo A. - Se p < K rf ossa p < K rf p Δp > p& > p > p Δp < p& < p < p Δp p& p cos 7

56 p K rf p > p < K rf Fg.. Andaeno d p nel epo A - La onoona delle espresson d l andaeno d p nel epo, ee n evdenza coe l segno d odfcao dal erosao Δ p, concordeene con grafc che rappresenano p non possa essere - Se p K rf ossa p K rf p > Δp p& p cos p < Δp p& p cos p Δp p& p cos Per quano concerne θ, valgono le seguen consderazon: θ p& p K rf pù lenaene θ p& p K rf pù veloceene In parcolare, avreo coe caso le:

57 θ p& p K rf sananeaene ossa l erosao d osè- Hoover annovera coe caso parcolare l erosao d Gauss Proble del erosao d osè-hoover e loro soluzone Il erosao d osè- Hoover è n grado d fare un lavoro nfno e queso può porare l ssea a dvergere. Dosrazone Se applchao l secondo erosao alla parcella, la. dvenerà: Consderao ora l equazone: p& ossa: p F p. θ K ref Traandos d un equazone d erzo grado, essono valor d p che soddsfano la.: p, p,, p,., Se p assue uno d al valor n un dao sane, da quel oeno n po non varerà pù, pochè s avrà p&. p& p F θ Kref Se l valore d p n quesone è aggore d, con l rascorrere del epo la sbarra enderà ad allungars ndefnaene, poché la forza pressa dal erosao alla parcella, non ruscrà pù a vncere la forza eserna F. In forule: p se p p p p p p. c. p&,, p > S avrà perano: E F po c.v.d. 9

58 Soluzon Per ovvare a queso problea ed evare che l ssea dverga, dverse soluzon sono possbl: - Inroduzone d una paree suppleenare, n odo da bloccare l volo lbero dell ula parcella ad un le fssao Fg.. Modello con erosa e paree conenva - Alernanza ra parcelle d asse dverse es:,, dspose n odo ale che vcno all ula parcella erosaaa ve ne sa una d assa aggore, che sul gl effe conenv d una paree suppleenare Fg..7 Modello con erosa e asse alernae el nosro caso s è scelo d adoare l secondo accorgeno, per poer effeuare un confrono sgnfcavo con l caso dell equlbro precedeneene esanao. In va cauelava s è nolre decso d collocare la seconda parcella erosaaa arreraa d rspeo alla fne della sbarra parcelle parcelle

59 Equazon del oo delle parcelle erosaae osè-hoover seplfcao Quanà d oo p S consder la generca espressone del oo d una parcella cu venga applcao un erosao d osè-hoover: p p& F p.7 θ K rf Poché nel nosro caso l erosao non vene a applcao all ula parcella, avreo: F. Perano la.7 dvena: p p& p θ K rf dp d p p θ K rf dp d K p p rf θ K rf. La. vene rasforaa edane separazone delle varabl: K dp p p d θ rf K rf p dp d K p rf p p θ K rf p dp K p θ rf p p rf K.9 Scoponendo la.9, s oene:

60 rf p p rf K dp p K B p A θ. Dove A e B dovranno essere al da soddsfare la seguene: rf rf rf rf K p Ap B K A Ap B p K A p B p A K Sosuendo valor d A e B nella.: rf p p rf rf K dp p K p p K θ θ dp K p p p p p rf θ log log K p p p p rf [ ] θ log log K p p p p rf log log log log K p p K p p rf rf θ log p K p K p p rf rf θ Ponao:

61 A p K p rf &. Da cu: log K p p A rf θ rf e K p p A θ. Sgnfcao della. S no che, concordeene con quano dosrao precedeneene, l segno d [ ] K rf p non caba all auenare d, poché: > > e p A,, cos θ rf K cosusce nolre un valore le per p, poché : rf K p Dalla.: A e e K p e K A e p K p e p A rf rf rf ± θ θ θ θ θ

62 Da cu: p ± e K rf θ e θ A. Poché l erosao non può cabare l segno d p, la. dvenerà: p p e e K θ K rf rf θ e e θ A θ A se se p p > <. Velocà & Dalla., applcando la defnzone d quanà d oo p: p & oenao: θ K rf e & ±. θ e A In parcolare:

63 & & Dono d & : K K rf rf e e θ e e θ θ θ A A se se & & > <. e θ A > A < e θ In generale s ha : θ e perché rf < A p K p perché alren avre: p K rf p e queso non può essere poché K > rf Perano, & è sepre defna Poszone Poché & rsula sepre defna, è possble negrare la., separando le varabl, oenendo: d ± K rf e e θ θ A d.7 Effeuao la seguene sosuzone d varabl :

64 y e θ θ log y θ log y La.7 dvena: θ d dy y d ± K rf y y θ A dy θ ± K rf y y A dy θ ± K rf y A y A dy Effeuao l cabaeno d varabl: y A & z dy dz A oenendo: θ ± K rf y A z A dz θ z[ y ] rf ± K z dz z

65 θ rf z[ y ] ± [ sech z ] z K θ K rf z[ y ] ± [ log z z ] z θ rf ± log θ ± K K rf log y A A y y A A y y A y θ K rf y log ± y A A y [ A ] θ K log rf ± log y y A e θ θ rf θ θ ± log e e A log A K Infne s pervene all equazone del oo della generca parcella erosaaa: θ rf θ θ ± log e e A log A K. In parcolare, s avrà: 7

66 < > log log log log se A A e e K se A A e e K rf rf & & θ θ θ θ θ θ.9 Rassuno equazon del oo p K p p rf θ &. A e e K p rf ± θ θ. A e e K rf ± θ θ &. ± log A A e e K rf θ θ θ. Dove: < p K p A rf &

67 Segno da usare: se se & & > < Equazon delle collson Le equazon delle collson delle parcelle erosaae, analogaene alle alre equazon delle collson, s oengono uguaglando l espressone delle poszon delle due parcelle neressae ero ± ero se ero, ero se ero el nosro caso, poché : ero ero - avreo coe equazon delle collson: ero θ ± K rf, ero log e θ e θ A A. ero θ ± K rf, ero e log θ e θ A A ero & ero. ero θ ± K rf, ero e log θ e θ A A ero± & ero±. 9

68 Equazone. La. ha soluzone analca. Se > & :.7 Ponendo: [ ] Δ z C e A K rf & &, θ θ la.7 dvena: [ ] [ ],,,,, log log A e e e A A e e e A A A e e e A A e e K A A e e K K K K rf rf rf rf rf Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ

69 A e e C z z Se < & : s pervene sepre alla edesa equazone, a la cosane C assue un sgnfcao dverso. In al caso s avrà nfa: [ ] Δ z C e A K rf & &, θ θ Rassuendo, l equazone della collsone s presena nella fora: A e e C z z. Dove: Essenza della soluzone della. La. può essere rscra coe: [ ] [ ] < >,, se A e e e A se A e e e A z z K z z K rf rf & & θ θ [ ] [ ] < >,, se e A C se e A C rf rf K K & & & & θ θ

70 [ ] [ ] < > > <,, se e A e e A se e A e e A z z D K z z D K rf rf & & θ θ All sane nzale: [ ] z z e A e A z Man ano che s procede nel epo : [ ] z z e A e z a resano, cosan: [ ] [ ] [ ] [ ] < > > <,, se A e A se A e A rf rf K K & & θ θ poché: < > > <,, se D e se D e rf rf K K & & & & θ θ Perano, connuando a far crescere z, s avrà che : [ ] [ ] > / > z z K z z K e A e e A c z se e A e e A c z se rf rf,,.... θ θ & &

71 Queso c dce che, nel caso d & >, non esse a una soluzone posva per la., enre, nel caso d & <, quesa esse sepre al le è daa da Tal consderazon eorche hanno rsconro nella consderazone fsca che l erosao non è n grado d far cabare la drezone della velocà della parcella cu è applcao. Poché l uro è poszonao all esreo snsro della caena, rsula evdene coe una parcella con velocà nzale orenaa verso desra non possa counque colldere con queso all avanzare del epo. Al conraro, una parcella con velocà nzale orenaa verso snsra, pra o po dovrà necessaraene nconrare la paree Soluzone della. Elevando al quadrao enrab ebr della. s oene: C C z z z C e e e A z C e A e z C A C C A z log C Rsosuendo l espressone d z, s pervene alla soluzone cercaa: Δ C A coll θ log.9 C Dove: C C & & [ A ] [ A ] e e θ θ K K rf, rf, se se & & > <

72 Equazon. e.7 Le. e.7 non presenano soluzone analca poché sono equazon rascenden. Consderao n parcolare la.. Se > & :. Ponendo: [ ] [ ] Δ z E K D e A rf K rf & & & &,, θ θ la. dvena : z E z z e D A e e. Se > & : vale un ragonaeno analogo. [ ] [ ] [ ] [ ] K K K K rf rf rf rf rf rf rf e e A A e e e e A A e e K K A A e e A A e e K Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ,,,,,,, log log & & & & θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ

73 Rassuendo, s avrà: e z z e Aero Eero z D e ero. Dove: D D ero ero & & [ A ] ero [ A ] ero e e θ θ ero ero K rf, ero K rf, ero [ ] ero± [ ] ero± ero ero se se & ero & ero > < E E ero ero & & K rf, K rf, & & se se & ero & ero > < Δ & θ z Per rsolvere l equazone oenua, convene far rcorso al eodo d bsezone

74 Dnaca delle parcelle erosaae Terosao. Equazone. Coe dosrao precedeneene, la. ha soluzon posve solo nel caso n cu s &. abba < - soluzon > Δ coll & ero > - soluzone > Δ coll & ero < Terosa e. Equazon.,.7

75 - Velocà dscord & & ero adacene < - soluzone > Δ coll sgn [ & ] sgn & adacene adacene ero adacene ero adacene < Δ coll > - soluzon sgn [ & ] sgn & adacene adacene ero adacene ero adacene > - Velocà concord: & ero & adacene > - soluzone, soluzon > Δ coll 7

76 sgn & ero [ & ] sgn adacene > & adacene adacene ero adacene ero & adacene < In parcolare avreo : soluzon & > adacene K rf ero soluzone & < adacene K rf ero Il erosao fa dnure la velocà della parcella a cu è applcao fno ad un valore d velocà nore d quello della parcella ad essa adacene. A quel puno la parcella adacene resce a raggungere quella erosaaa e la collsone può avere luogo sgn & ero [ & ] sgn adacene < & adacene adacene ero adacene ero & adacene > In parcolare avreo : soluzon soluzone & > adacene K rf ero & < adacene K rf ero

77 Il erosao fa auenare la velocà della parcella a cu è applcao fno ad un valore d velocà aggore d quello della parcella ad essa adacene. A quel puno la parcella erosaaa resce a raggungere quella adacene e la collsone può avere luogo - soluzon, soluzone, soluzon > Δ coll [ & ] sgn sgn adacene & < & ero adacene In parcolare avreo : adacene ero adacene ero & adacene < soluzon & < adacene K rf ero Il erosao fa auenare la velocà della parcella a cu è applcao, fno ad un valore d velocà aggore d quello della parcella ad esso adacene, che vene ragguno pra che esse colldano soluzone & > adacene K rf ero Il erosao fa endere la velocà della parcella a cu è applcao ad un valore d velocà nore d quello della parcella ad esso adacene 9

78 soluzon & < adacene K rf ero Inzalene la parcella erosaaa ha velocà nore d quella adacene, che la raggunge dando orgne ad una collsone. Idealene, le due parcelle proseguono nella loro raeora, nvere d poso. el fraepo, l erosao fa auenare la velocà della parcella a cu è applcao fno ad un valore d velocà aggore d quello della parcella ad esso adacene. A quel puno ha luogo una seconda collsone, ossa una nuova nversone d poszone delle parcelle, analcaene rlevable coe seconda soluzone dell equazone della collsone, a fscaene non acceable. Poché le sulazon sono even drven, s è nfa scelo d consderare sepre solo la pra soluzone posva sgn & ero [ & ] sgn adacene > & In parcolare avreo : adacene adacene ero adacene ero & adacene > soluzon & > adacene K rf ero Il erosao fa dnure la velocà della parcella a cu è applcao, fno ad un valore d velocà nore d quello della parcella ad esso adacene, che vene ragguno pra che esse colldano soluzone & < adacene K rf ero 7

79 Il erosao fa endere la velocà della parcella a cu è applcao ad un valore d velocà aggore d quello della parcella ad esso adacene soluzon & > adacene K rf ero Inzalene la parcella erosaaa ha velocà aggore d quella adacene, perano la raggunge dando orgne ad una collsone. Idealene, le due parcelle proseguono nella loro raeora, nvere d poso. el fraepo, l erosao fa dnure la velocà della parcella a cu è applcao fno ad un valore d velocà nore d quello della parcella ad esso adacene. A quel puno ha luogo una seconda collsone, ossa una nuova nversone d poszone delle parcelle, analcaene rlevable coe seconda soluzone dell equazone della collsone, a fscaene non acceable. Poché le sulazon sono even drven, s è nfa scelo d consderare sepre solo la pra soluzone posva 7

80 EQUILIBRIO Flowchar generale START Inzalzzazone Dnaca delle parcelle: - esegu collsone -sposa parcelle Conroll sulle poszon delle parcelle: - copenerazone parcelle - lunghezza o sbarra Conrollo sulla conservazone dell energa ogn pass d epo YES E o E o rf O Rscala v e corregg Conroll sulle poszon delle parcelle: - copenerazone parcelle - lunghezza o sbarra Trova propreà colleve: - acroscopche - croscopche Trova ede e scar po delle propreà colleve: - dall sane all sane correne - su grupp d san copac ED 7

81 Flowchar dnaca delle parcelle START Inzalzzazone Calcola u possbl ep d collsone: d Deerna l no epo d collsone > : d coll Corregg d coll Muov le parcelle neressae dalla collsone O d coll YES O d coll n[d ] YES Esegu collsone Muov ue le parcelle ED 7

82 Inzalzzazone Ie_paraer Acqussce da fle seguen da: p assa d rfereno delle parcelle v velocà d noralzzazone f forza applcaa dall'eserno sulla parcella l lunghezza d rfereno della sbarra epo o epo oale d negrazone, su cu guardao la dnaca delle parcelle Cdz_nzal Rcavo le asse delle parcelle, n base alla conforazone del ssea, che può essere: - A asse cosan, ue ugual : p per, - A asse alernae : p C p per, k,. per, k,. Dove : C cosane es.: C / Rcavo poszon e velocà nzal, dsrbuendole casualene su un range deernao dalle condzon nzal da no sable:. Parcelle dsrbue unforeene su un nervallo d lunghezza da a l : 7

83 d drand d per, v. drand v per, Dove: drand nuero casuale n doppa precsone, copreso ra e d nervallo d equspazaura che avre se le parcelle fossero ugualene dsrbue d l v nuero oale delle parcelle velocà d noralzzazone. Parcelle aucchae all nzo della sbarra dsrbue unforeene su un nervallo d lunghezza da a l conc, con la sessa energa oale del caso. Dove: dconc drand dconc conc d conc nervallo d equspazaura che avre se le parcelle fossero ugualene dsrbue d conc l conc l conc X conc l X conc frazone d sbarra n cu dsrbusco le parcelle < X conc < es: X conc l conc lunghezza n cu concenro le parcelle l lunghezza d rfereno della sbarra v conc v caso V conc per, _ 7

84 Dove: V conc cosane con cu rscalo ue le velocà del caso ΔE po conc cn E caso _ V po po E E caso _ conc po ΔE po E F conc conc Dosrazone: cn po ETOT E E caso _ cn po ETOT E E conc conc caso _ conc caso _ po ETOT v E caso _ po ETOT v E conc conc caso _ conc caso _ Per hp: E TOT caso E TOT _ conc po po v E v E caso_ conc caso_ conc 7

85 po po [ v v ] caso_ conc E E conc caso_ po [ v v ] ΔE caso_ conc Per hp: ue le velocà del caso hanno un edeso faore d scala rspeo a quelle del caso v V v conc conc caso_ V conc v V caso_ po [ ] ΔE conc po [ V ] v ΔE conc caso_ po conc V cn E ΔE caso_ c.v.d.. Parcelle aucchae all nzo della sbarra dsrbue unforeene su un nervallo d lunghezza da a l conc, con la sessa energa cneca del caso. d conc conc drand d conc per, v. drand v per, 77

86 Apr_fle, Apr fle_propreà, Apr _fle_propreà_ppn Apro fle su cu verranno scr da n usca Dnaca delle parcelle Trova_dcoll Trova u ep d collsone ra le parcelle, uguaglando le equazon del oo delle parcelle a due a due, ossa rsolvendo le equazon delle collson rspeo a : ± per, Le equazon del oo delle parcelle che copaono nelle equazon delle collson, sono rappresenae dalle seguen espresson: & & Δ Δ coll coll F Δ coll per, Dove: Indce che ndvdua la parcella Indce che ndvdua l sane d epo Δ coll Tepo necessaro per l nsorgenza d una collsone 7

87 Perano le equazon delle collson assuono la fora: & & & d d d F & d d & d per, Da cu: d d d & & &, F & & ± & & F per.a.b.c Dove: d nervallo d epo che deve rascorrere dall sane presene perchè avvenga la collsone ra la parcella e la parcella -. In parcolare: d > La collsone avrà luogo nel fuuro d La collsone ha luogo nell sane presene d < La collsone ha avuo luogo nel passao Gl unc valor d d che rvesono neresse allo scopo d deernare la coppa d parcelle che andrà nconro alla prossa collsone sono quell posv. Perano, nella.c, la soluzone con l segno è da escluders a pror, poché sepre negava. 79

88 S oerrà perano : d d d & & F &, & & & & D u gl nervall d > che ndvduano possbl collson nel fuuro, s rova quello pù pccolo, ossa quello corrspondene alla pra collsone che avrà luogo, a parre dall sane correne F per F n d > d coll oa: ell probable caso v sano due collson coneporanee, s consdera solo la pra, ossa quella corrspondene all coll nore Gesone_collsone Rleva evenual error nuerc neren la poszone delle parcelle che colldono e corregge l d n odo da elnarl. Verfca po che, dopo le correzon effeuae, l coll d coll rsul sepre l nore ra d >, ossa quello corrspondene alla pra collsone che ha luogo. In caso conraro, ndvdua l nuovo d coll e rpee la procedura per la nuova coppa d parcelle. In usca vengono forn valor delle poszon e delle velocà delle parcelle che colldono per pre, subo pra che la collsone abba luogo. Procedura adoaa dalla subroune d gesone della collsone: - Sposa le parcelle che colldono e rova la loro velocà prevsa pra della collsone Subroune Sposa_pp_collsone, Trova_v_pra_coll_pp_collsone - Conrolla se c è un errore nel calcolo d d coll, verfcando che le parcelle che s suppone abbano collso per pre abbano la sessa nell sane prevso per la collsone: d coll Subroune Conrollo_collsone

89 - Corregge l d coll : a parre dalle poszon prevse per le parcelle che colldono, rcava l d corr necessaro a colare la dsanza d che nercorre ra loro. A al scopo, s rsolvono nuovaene le equazon delle collson rspeo a, usando però, coe poszon nzal quelle prevse, rcavae precedeneene Subroune Corregg_dcoll - Dopo averl corre, salva valor prevs d poszone e velocà delle parcelle che colldono, subo pra della collsone. Rpee po l cclo d correzone fno ad un asso d vole. Subroune Salva_prev - Verfca che le parcelle che colldono sano sepre quelle prevse pra d correggere d coll, ossa che l d coll correo sa sepre l nore de d >. Se non è così, applca l cclo d gesone della collsone alla nuova coppa d parcelle neressae dalla collsone Subroune Verfca_coll - el caso sa ancora presene un errore nella poszone delle parcelle, d, nonosane l procedeno d raffnaeno effeuao su d coll, queso vene correo agendo dreaene sulla poszone delle parcelle Subroune Corregg_d oa: Gl error ges dalla subroune Gesone_collsone sono d naura nuerca e rsulano parcolarene rlevan nel caso n cu la collsone avvenga ra la parcella e la parcella -. Il valore d d, vene nfa rcavao rsolvendo un equazone d secondo grado, operazone che plca l calcolo d una radce quadraa: poché l copuer esegue ale operazone servendos d un espansone n sere, rsula evdene l ovo per cu la precsone glora, qualora s oper su d progressvaene decrescen n odulo, coe prevso dalla procedura d correzone adoaa Sposa_pp_collsone Sposa le parcelle che colldono fno all'sane n cu avvene la pra collsone, applcando le loro equazon del oo: coll coll & coll d coll per coll, coll coll & coll d coll F coll d coll per coll

90 & d per coll coll coll coll coll, oa Al fne d glorare la precsone nuerca, s è lascaa la possblà d effeuare lo sposaeno della parcella n pù rprese, dvdendo l d coll n pass d avanzaeno pù pccol. L applcazone d queso procedeno ha senso solo per quano concerne la parcella, perché essa è l unca sulla quale s possono avere benefc evden. In realà, s è però vso che la odfca n quesone non copora gloraen al da gusfcare l aggor dspendo copuazonale. Subroune Sposa_progressva_ppn Trova_v_pra_coll_pp_collsone Trova la velocà che avranno le parcelle che colldono, all sane, ossa al epo d, subo pra della collsone coll & coll pra _ coll & coll per coll, F & & d per coll coll pra _ coll coll coll coll & & per coll coll pra coll coll, _ Conrollo_collsone Conrolla che le parcelle neressae dalla collsone abbano la sessa al oeno prevso per la collsone d coll coll prev per coll, d per coll coll prevl Dove: d dsanza ra le parcelle che colldono, nell'sane n cu avvene la collsone. Se d coll è sao scelo bene, dovreo avere d. Se queso non avvene, sgnfca che dobbao correggere d coll

91 Corregg_dcoll Rcava la correzone da applcare a d coll al fne d rdurre a l d ra le parcelle che colldono, nell sane prevso per la collsone. Per deernare l d corr necessaro a colare la dsanza d, rsolve le equazon delle collson pegando coe poszon e velocà nzal quelle prevse da calcol preceden d corr d & prev d corr & prev d & prev per, prev prev prev prev d & & & & d corr F F F Dove: prev prev d dsanza delle parcelle che colldono all sane d coll, subo pra della collsone & & velocà delle parcelle e - prevse all sane prev prev, d coll, subo pra della collsone Aggorna po l d coll : d coll dcoll dcorr correo Sono sa nser de conroll sul segno d prev d corr : - se: d < deve essere: d corr < perché le parcelle s sono scabae d poso - se: d > deve essere: d corr > perché le parcelle non s sono ancora raggune Inolre, nel caso n cu s abba d a d corr, l cclo d raffnaeno del d coll rsula del uo nule; perano, s passa alla correzone drea delle poszon delle parcelle che colldono.

92 Salva_prev Salva valor prevs d coll, coll, & coll, & coll, calcola all'sane d negrazone d d coll correo, n odo da poerl usare nel cclo d raffnaeno del coll Verfca_coll Verfca che, dopo aver correo l d coll, queso sa ancora l nore de ep d collsone ra le parcelle, ossa verfca che non sa cabao coll Corregg_d Qualora l cclo d raffnaeno del d coll non fosse sao suffcene a rdurre a l d ra le parcelle che colldono, corregge le poszon d quese ule, n odo che concdano nell'sane prevso per la collsone. In parcolare, s pone: coll col prev coll prev coll d d per per coll coll,, coll per coll Dove: d prev prev Sposa_pp_ Sposa ue le parcelle fno all'sane n cu avvene la pra collsone, ossa fno al. d coll epo correo & & d d coll coll F d coll per, Per quano concerne valor d coll, coll, l assue par a quell gà precedeneene rcava ed evenualene corre con la subroune Gesone_collsone

93 Trova_v_pra_coll_ Trova la velocà che avranno le parcelle al epo d coll correo, subo pra della collsone. & F & & d per pra _ coll pra _ coll &, Per quano concerne valor d & coll, & coll, l assue par a quell gà precedeneene rcava ed evenualene corre con la subroune Gesone_collsone coll per Trova_v_dopo_coll Trova la velocà che avranno le parcelle al epo d coll correo,subo dopo la collsone. Le forule che usa sono quelle rcavae dal eorea d conservazone della quanà d oo valdo per l poes d uro elasco e dal eorea d conservazone dell energa oale, passando araverso l ssea d rfereno del cenro d assa. el ssea d rfereno del cenro d assa, pra della collsone, s ha: & G pra _ coll coll & & coll pra _ coll coll coll coll coll pra _ coll REL & & & coll pra _ coll coll pra _ coll pra _ coll REL & coll & coll & G pra _ coll pra _ coll pra _ coll G Dove: & G velocà del cenro d assa delle parcelle coll e coll - : G & & velocà relava delle parcelle coll e coll - nel ssea d REL REL coll, coll rfereno d G el ssea d rfereno del cenro d assa, dopo la collsone, s ha: & G & G dopo _ coll pra _ coll

94 REL REL & & coll dopo _ coll coll pra _ coll REL REL & coll & coll dopo _ coll pra _ coll Passando nuovaene alle velocà assolue, s oengono le velocà delle due parcelle che colldono, dopo la collsone: REL & & & coll dopo _ coll G dopo _ coll coll dopo _ coll REL & coll & G & coll dopo _ coll dopo coll dopo coll Le parcelle che non colldono conservano la velocà che avevano pra della collsone, n vrù dell poes d ur sanane. Trova_eo Trova l energa oale della parcella e l energa oale del ssea E E cn E po & F E o cn po E E & F

95 Conroll sulle poszon delle parcelle Conrollo_copeneraz Conrolla che le parcelle non s sano scabae d poso. Per farlo verfca che sa: > per, > Queso conrollo è rsulao olo porane al fne d ndvduare error nella redazone della pare d codce che pleena la dnaca delle parcelle Conrollo_n - Esegue un conrollo sull energa della parcella. Deve nfa essere: E E o - Esegue po un conrollo sulla poszone della parcella, verfcando che sa:, nv Dove: poszone della parcella all sane, poszone d nversone del oo della parcella nv, è la poszone le che avre all sane presene, se esso concdesse con l'sane nv, nv n cu l oo della parcella s nvere, ossa s passa da & > a & <., nv & F Dosrazone Per calcolare la poszone le d nversone del oo della parcella, s applca l prncpo d conservazone dell energa valdo qualora la parcella non collda ra l sane precedene - e un poeco sane presene d nversone nv 7

96 Dove: E E, nv E Energa della parcella all sane precedene - nv E F & E, Energa della parcella all poeco sane d nversone nv E, nv F, nv &, nv elle condzon d nversone, per defnzone, la parcella presena velocà &, nv. Perano: E, nv F, nv Da cu: F & F. nv. nv & F c.v.d. Salva_prec Salva valor d, &, E TOT, E, coll all'sane, n odo da poerl usare all'sane Conroll sulla conservazone dell energa e rnoralzzazone Rnoralzza_v Verfca la conservazone dell energa oale del ssea.

97 E o Eo, RIF Dove: E, Energa oale d rfereno o RIF Tale condzone fscaene è garana sepre, per l poes che l ssea sa conservavo, a nel corso delle sulazon può non esserlo a causa degl error nuerc e, n parcolare, delle approssazon copue nel calcolo d coll, coll el nosro caso, abbao scelo d effeuare l conrollo sulla conservazone dell energa oale ogn pass d epo. La condzone da verfcare rsula perano: E o E, RIF _ pass _ nor o Dove: pass _ nor pass d epo che nercorrono ra un conrollo e l alro In generale s oene: E E ΔE o o, RIF o La conservazone dell energa oale s assue verfcaa qualora sa: ΔE o < ΔE MAX o Dove: Δ E o Errore sulla conservazone dell energa oale del ssea, all sane MAX Δ E o Valore d olleranza asso acceao sulla conservazone dell energa, scelo da no es: E Δ MAX o Se queso non avvene, s correggono le velocà delle parcelle parcella A al scopo, la subroune effeua la seguene procedura: & e la poszone dell ula - Calcola conrbu % dell energa cneca e poenzale assoca alle parcelle, rspeo all energa oale, nell sane d rfereno 9

98 C cn E E cn, RIF o, RIF & E, RIF o, RIF per, C po E E po, RIF o, RIF F E, RIF o, RIF Dove: cn C Conrbuo % dell energa cneca assocaa alla parcella rspeo all energa oale d rfereno po C Conrbuo % dell energa poenzale assocaa alla parcella rspeo all energa oale d rfereno - Corregge l odulo delle velocà &, pozzando che l conrbuo energeco delle vare parcelle, n relazone all energa oale, sa raso nvarao rspeo all sane d rfereno, ossa pozzando che l errore sull energa oale, nell sane n cu s rnoralzza, sa dsrbuo secondo le percenual C che avevano var conrbu energec all'sane d rfereno &, corr & cn C ΔEo Dosrazone Esprao l energa cneca assocaa alla generca parcella all sane coe: cn & C Eo cn cn &, corr C, corr Eo, corr C, RIF Eo, RIF Dove: & Energa cneca della parcella, pra della correzone 9

99 , corr & Energa cneca della parcella, dopo la correzone Dall poes che sa : cn cn C C, RIF s oene: Δ E C ΔE cn cn o cn & corr &, C Eo Eo RIF, Da cu : &, corr & C cn ΔE o &, corr & C cn ΔE o c.v.d. - Ree l segno guso alle velocà &, ovvero quello che avevano pra della correzone - Corregge la poszone dell ula parcella, pozzando che l conrbuo dell energa poenzale ad essa assocaa n relazone all energa oale sa raso nvarao rspeo all sane d rfereno, corr C F po ΔE o Dosrazone Esprao l energa poenzale assocaa alla parcella all sane coe: F C po E o F, corr C po, corr E o, corr C po, RIF E o, RIF Dove: F Energa poenzale della parcella, pra della correzone 9

100 F Energa poenzale della parcella, dopo la correzone, corr Dall poes che sa : cn cn C C, RIF s oene: Δ E C ΔE po po o po C E E F, corr o o, RIF Da cu :, corr C F po ΔE o c.v.d. - el caso n cu la parcella coll che ha effeuao la collsone all sane sa la parcella, sposa anche la parcella - n odo che la collsone sa ancora garana. Pone coè:, corr, corr Salva_rf_nor Salva valor d, &, E TOT ed E all'sane _nor_prec, ovvero l'sane n cu, al fne d garanre la conservazone ho effeuao la rnoralzzazone precedene d & e dell energa oale. I valor salva da quesa subroune vengono pres coe rfereno per la rnoralzzazone successva 9

101 Propreà colleve Valor sanane Calcolo le propreà colleve sananee all sane, acroscopche densà lneare, energa cneca eda specfca e croscopche energa cneca eda per parcella su un nervallo d lunghezza, poszone del barcenro d grupp d conrollo Trova_n_nervall Calcola l nuero d soonervall longudnal n cu posso suddvdere la sbarra, per calcolare le vare propreà colleve. Dove: n ervall n l o d n ervall nuero d nervall longudnal n cu posso suddvdere la sbarra all sane l o lunghezza oale della sbarra all sane d n apezza degl nervall longudnal. E assegnaa da no e può essere dversa a seconda della propreà consderaa. el nosro caso, assuao d per ue le propreà che prendao n esae arroondaeno all nero successvo Così facendo, la lunghezza oale della sbarra vene sovrasaa, poché l ulo nervallo longudnale nella realà non ha lunghezza d, a è pù coro. Tale procedura è però correa, poché gl nervall longudnal possono essere pensa coe la rsoluzone d uno srueno d sura delle vare propreà Trova_densà Calcola la densà degl nervall longudnal della sbarra. Per farlo aua la seguene procedura: - Indvdua a quale nervallo longudnale k apparengono le parcelle edane la forula: 9

102 k n d Dove: k nervallo longudnale n cu è conenua la parcella poszone della parcella n arroondaeno all nero precedene - Indvduao l nervallo d apparenenza k, aggorna la assa oale e l nuero delle parcelle n esso conenue. TOT, k TOT, k k k Dove: k nuero d parcelle conenue nell nervallo longudnale k, assa oale delle parcelle conenue nell nervallo longudnale k TOT k assa della parcella 9

103 Eccezone Qualora una parcella s rov esaaene a eà ra due nervall k e k, la sua assa e la sua presenza vengono rpare equaene ra enrab: TOT, k TOT, k k k k TOT, k k TOT, k - Alla fne del cclo d collocazone delle parcelle, calcola la densà de var nervall longudnal con la forula: ρ k k d TOT, k d Dove: ρ k densà d assa dell nervallo longudnale k d lunghezza dell nervallo longudnale k 9

104 Trova_e_cn_grupp_ Calcola, per ogn gruppo d parcelle, l'energa cneca eda per parcella e l energa cneca specfca, all sane presene. Ogn gruppo ha un nuero d parcelle varable. Cò che lo ndvdua e che resa cosane nel epo è la poszone e la lunghezza d del rao d sbarra conenene al parcelle. La procedura adoaa dalla subroune è la seguene: - Indvdua a quale nervallo longudnale k apparengono le parcelle edane la forula: Dove: k n d k nervallo longudnale n cu è conenua la parcella poszone della parcella n arroondaeno all nero precedene - Indvduao l nervallo d apparenenza k, aggorna l energa oale e l nuero delle parcelle n esso conenue. E TOT, k E TOT, k E k k Dove: k nuero d parcelle conenue nell nervallo longudnale k E, energa oale delle parcelle conenue nell nervallo longudnale k TOT k E energa della parcella Eccezone Qualora una parcella s rov esaaene a eà ra due nervall k e k, la sua energa e la sua presenza vengono rpare equaene ra enrab: 9

105 E E TOT, k TOT, k k E TOT, k E k TOT, k k E E k - Alla fne del cclo d collocazone delle parcelle, calcola l energa eda per parcella e l energa specfca de var grupp conenu negl nervall longudnal k con le forule: E k k E k E TOT, k K per k, n ervall e k k E d E TOT, k d per k, n ervall Dove: E k energa eda per parcella dell nervallo longudnale k e k energa specfca dell nervallo longudnale k d lunghezza dell nervallo longudnale k k nuero d parcelle conenue nell nervallo longudnale k 97

106 Trova_g_gruppo Trova la poszone G del barcenro d un gruppo d parcelle d conrollo all'sane presene. I grupp d conrollo consdera sono sua all nzo, n cenro e alla fne della sbarra. Perano le loro poszon sono ndvduae rspevaene dalle espresson: nz GR _ IIZIO _ SBARRA nz GR _ CETRO _ SBARRA n n GR nz GR _ FIE _ SBARRA GR Dove: fnale GR nz GR GR nz GR ndce della pra parcella del gruppo d conrollo consderao fnale GR ndce dell ula parcella del gruppo d conrollo consderao GR nuero d parcelle conenue nel gruppo d conrollo. Resa cosane nel epo ed è decso da no all nzo nel nosro caso: GR nuero oale delle parcelle Per rovare poszone e velocà del barcenro de grupp d conrollo, s applca la defnzone d cenro d assa, edane le forule: G GR GR & G GR & GR 9

107 Valor ed e scar po nel epo Trova_oen_ed_dn Calcola dnacaene oen ed nel epo della generca propreà conenua nel veore X, dall sane nzale all sane correne : k X k, X k, X k, X k Per farlo, usa la subroune Trova_eda_dn Trova_eda_dn Ad ogn sane eporale, rova dnacaene l valore edo nel epo d una deernaa propreà conenua nel veore X k, usando la sua eda calcolaa all'sane precedene Dove: [ X k X k ] X k X k Meda nel epo d k X, dall sane nzale all sane k X Meda nel epo d X k, dall sane nzale all sane - X k Valore sananeo d X k, all sane Dosrazone X k X k X k X k X k X k X X k k 99

108 c.v.d. Trova_oen_ed_dn_ Calcola dnacaene oen ed nel epo della generca propreà scalare X, dall sane nzale all sane correne : X, X, X, X Per farlo, usa la subroune Trova_eda_dn_ Trova_eda_dn_ Ad ogn sane eporale, rova dnacaene l valore edo nel epo d una deernaa propreà propreà scalare X, usando la sua eda calcolaa all'sane precedene Dove: [ X X ] X X Meda nel epo d X, dall sane nzale all sane X Meda nel epo d X, dall sane nzale all sane - Trova_varanza_dn Calcola dnacaene la varanza nel epo della generca propreà conenua nel veore X, dall sane nzale all sane correne, usando la forula: k [ var X ] k X k X k Dove:

109 [ ] var k X Varanza nel epo d k X, dall sane nzale all sane k X Meda nel epo d k X, dall sane nzale all sane k X Meda nel epo d k X, dall sane nzale all sane Dosrazone [ ] var k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X c.v.d. Effeua successvaene un conrollo sul segno della varanza, che deve essere posva per defnzone. Queso può però non avvenre a causa degl error nuerc, specalene ne pr san eporal, quando valor d X e X rsulano parcolarene pross. Le condzon verfcae dal conrollo sono: [ ] [ ] [ ] < < MAX k k k X err X X var var var. Dove:

110 [ X k ] MAX err var Masso errore nuerco acceao sulla varanza nel nosro caso : [ var ] err X k MAX Qualora le. sano verfcae, la subroune corregge la varanza, ponendola par a Trova_scaro_po_dn Trova lo scaro po della generca propreà conenua nel veore all sane correne, usando la defnzone: X k, dall sane nzale Dove: [ ] var X k [ var X ] σ σ var X X k k X k [ ] X k Varanza nel epo d k k X, dall sane nzale all sane σ Scaro po nel epo d X k, dall sane nzale all sane Trova_varanza_dn_ Calcola dnacaene la varanza nel epo della generca propreà scalare X, dall sane nzale all sane correne, usando la forula: [ var X ] X X Dove: [ ] var X Varanza nel epo d X, dall sane nzale all sane X Meda nel epo d X, dall sane nzale all sane X Meda nel epo d X, dall sane nzale all sane Effeua successvaene un conrollo sul segno della varanza, che deve essere posva per defnzone. Queso può però non avvenre a causa degl error nuerc, specalene ne

111 pr san eporal, quando valor d pross. Le condzon verfcae dal conrollo sono: X e X rsulano parcolarene [ var X ] < [ var X ] < err[ var X ] MAX. Dove: [ X ] MAX err var Masso errore nuerco acceao sulla varanza nel nosro caso : [ var X ] err MAX Qualora le. sano verfcae, la subroune corregge la varanza, ponendola par a Trova_scaro_po_dn_ Trova lo scaro po della generca propreà conenua scalare X, dall sane nzale all sane correne, usando la defnzone: Dove: [ ] var X [ var X ] σ [ var ] σ X X X X Varanza nel epo d X, dall sane nzale all sane σ Scaro po nel epo d X, dall sane nzale all sane Salva_prec_ed Salva valor ed delle propreà colleve ρ k, E k, e k, G nzo rspev oen all'sane, n odo da poerl usare all'sane PDF PROBABILITY DESITY FUCTIO, G cenro, G fne e

112 Trova_pdf_dn Trovo la PDF probably densy funcon della generca propreà conenua nel veore X k La subroune aua a al scopo la seguene procedura: - Suddvde l range de possbl valor d X k n class d apezza dall ndce h Δ X k, ndvduae - Ad ogn sane d epo, colloca l valore della propreà X k n una classe h h n X ΔX k k - Aggorna l conaore non nor h PDF _, ndcane quan valor d X k s sono presena all nerno della classe h, nel corso delle sulazon Dove: PDF PDF non _ nor h non _ nor non _ nor h h PDF PDF non noralzzaa della classe h, all sane - oralzzo la PDF non noralzzaa dvdendola per l nuero oale de valor assun da X, dall sane nzale all sane presene k PDF h PDF non _ nor h Trova_pdf_dn_ Trovo la PDF probably densy funcon della generca propreà scalare X La subroune auaa a al scopo è la edesa auaa dalla subroune Trova_pdf_dn VALORI COMPACT MEDIE SU U GRUPPO DI ISTATI

113 Per sulare la sensblà d uno srueno d sura alle varazon nel epo della propreà suraa, s calcola l valore edo d ale propreà su grupp d _ san nel nosro caso: pass _ copac pass copac Gesone_copac_begn Per rsparare spazo su dsco, s è decso d non salvare su fle u valor copac oenu, a d salvarl solo ogn _ nel nosro caso: pass salvaaggo pass _ salvaaggo Quesa subroune sablsce se s devono salvare o eno le propreà copac, edae sul gruppo d _ n cu è ncluso l sane presene. Se non s devono salvare, l pass copac prograa non le calcola neeno. Trova_propreà_copac Ipacchea la generca propreà colleva, conenua nel veore X k, rovandone eda, varanza e scaro po su grupp che coprendono un nuero d san da no fssao e par a pass _ copac. Per farlo, ulzza le forule del calcolo dnaco d eda e varanza Subroune Trova_varanza_copac, Trova_scaro_po_copac Trova_propreà_ppn_copac Ipacchea la generca propreà scalare X, rovandone eda, varanza e scaro po su grupp che coprendono un nuero d san da no fssao e par a pass _ copac. Per farlo, ulzza le forule del calcolo dnaco d eda e varanza Subroune Trova_varanza_copac_, Trova_scaro_po_copac_ Gesone_copac_end Indvdua la fne del gruppo d _ san su cu s calcolano eda e scaro po pass copac delle propreà colleve, per deernare valor copac da salvare su fle

114 Oupu su schero e su fles Scrv_oupu Sapa sullo schero seguen oupu: sane d epo d coll epo rascorso dalla collsone precedene coll e coll- parcelle neressae dalla collsone poszon delle parcelle nell sane della collsone & velocà delle parcelle pra della collsone pra _ coll dopo _ coll & velocà delle parcelle dopo la collsone TOT pra coll E _ energa oale delle parcelle pra della collsone TOT dopo coll E _ energa oale delle parcelle dopo la collsone pra coll E _ energa oale della parcella pra della collsone dopo coll E _ energa oale della parcella dopo la collsone Sapa nolre evenual essagg d errore dervan da conroll effeua sull nversone delle parcelle, sull energa e sulla poszone della parcella Gesone_salvaaggo Sablsce se valor delle propreà calcola devono essere salva o eno. Il prograa ha due odalà d funzonaeno per quano concerne l salvaaggo degl oupu su fle: - Per sulazon brev : salva valor sanane ad ogn sane d epo - Per sulazon lunghe : salva valor copac ede su grupp d pass _ copac san ogn pass _ salvaaggo

115 Salvaaggo solo per sulazon brev Salva su fle valor sanane d, &, E TOT, E, coll, Salvaaggo_propreà Salva su fle valor delle propreà colleve conenue n veor, copac o sananee e ede con rspev oen e scar po : ρ k, E k, e k, nzo G, G cenro, G fne Salvaaggo_propreà_ppn Salva su fle valor delle propreà sananee e ede dell'ula parcella : e & Salvaaggo_pdf_propreà, Salvaaggo_pdf_ppn Salva su fle le PDF delle propreà colleve e delle propreà dell ula parcella Chud_fle, Chud_fle_propreà, Chud_fle_propreà_ppn Chude fle su cu vengono scr da n usca 7

116 DISEQUILIBRIO Flowchar generale START Inzalzzazone Dnaca delle parcelle: - esegu collsone -sposa parcelle Conroll sulle poszon delle parcelle: - copenerazone parcelle Trova propreà colleve: - acroscopche - croscopche Trova ede e scar po delle propreà colleve: - dall sane all sane correne - su grupp d san copac ED

117 Flowchar dnaca delle parcelle START Inzalzzazone Calcola u possbl ep d collsone ecceo per le parcelle erosaae: d Deerna l no epo d collsone: d coll Corregg d coll Sposa le parcelle convole nella collsone O d coll Caba coll SI SI d hero < O d coll n[d ] SI Esegu collsone Sposa ue le parcelle ED 9

118 Dnaca delle parcelle Il rlevaeno della collsone vene geso n due ep: dappra s consderano ue le parcelle ecceo quelle erosaae, ndvduando l no nervallo d epo necessaro perché avvenga una collsone, con procedura analoga a quella adoaa nel caso d equlbro. S verfca po, separaaene, che la collsone non abba neressao una delle parcelle erosaae. In al caso s calcola l epo d collsone corrspondene, raffnandolo edane bsezon successve I conroll sulla conservazone dell energa oale del ssea non vengono pù effeua poché, nel caso del dsequlbro, essa non è garana. Trova_dcoll_ecceo_erosa Trova l no epo d collsone ra le parcelle, rascurando quelle che possono neressare le parcelle erosaae. E analoga alla subroune Trova_dcoll del caso d equlbro Gesone_collsone_ecceo_erosa Rleva evenual error nuerc neren la poszone delle pre parcelle che colldono escluse quelle erosaae e corregge l d coll n odo da elnarl. Verfca po che, dopo le correzon effeuae, l d coll rsul sepre l nore ra d >, ossa quello corrspondene alla pra collsone. In caso conraro, ndvdua l nuovo d coll e rpee la procedura per la nuova coppa d parcelle. In usca vengono forn valor delle poszon e delle velocà delle parcelle che colldono per pre, subo pra che la collsone abba luogo. E analoga alla subroune Gesone_collsone del caso d equlbro Trova_dcoll_erosa Verfca che le parcelle erosaae non s sano scabae d poso con quelle adacen una o due vole all'sane dcoll, dove dcoll n d esclus erosa Se queso è accaduo, se ne deduce che la collsone è avvenua ra la parcella erosaaa ero e la sua adacene. Perano, calcolo l d coll esao e aggorno coll Subroune Trova_cosane_a_ero, Verfca_coll_ero_ver

119 Trova_cosane_a_ero p v ero ero ero A ero p ero p K ero rf Verfca_coll_ero_ver dcoll, la parcella erosaaa s è scabaa d poso con quella Verfca se, all'sane adacene. Se sì, deduco che hanno collso pra loro e calcolo l nuovo d coll esao Procedura adoaa dalla subroune d rlevaeno d un evenuale collsone ra una parcella erosaaa e la sua adacene: - Trovo l nuero d copenerazon possbl ra la parcella erosaaa e la sua adacene, sulla base d consderazon su odulo e drezone delle velocà Se : ero ero > & & ero adacene & adacene ero & < > adacene & & & ero ero > adacene adacene & adacene & ero > adacene & K > adacene rf < & & & ero ero < adacene adacene & adacene & ero > adacene & K > adacene rf > & & & ero ero < adacene adacene & adacene & ero < adacene & K > adacene rf < & & & ero ero > adacene adacene & adacene & ero > adacene & K > adacene rf > Allora :

120 _ possbl copeneraz Se : < ero ero & < < adacene ero adacene adacene ero & & & < < > > rf adacene adacene ero adacene adacene ero adacene ero K & & & & & & < > < > rf adacene adacene ero adacene adacene ero adacene ero K & & & & & & > < < > rf adacene adacene ero adacene adacene ero adacene ero K & & & & & & < > > > rf adacene adacene ero adacene adacene ero adacene ero K & & & & & & Allora : _ possbl copeneraz Se : < < < > rf adacene adacene ero adacene adacene ero adacene ero K & & & & & & > > > > rf adacene adacene ero adacene adacene ero adacene ero K & & & & & & Allora : _ possbl copeneraz Se _ possbl copeneraz oppure _ possbl copeneraz, s conrolla che la parcella erosaaa non s sa nvera una vola con le parcelle adacen.

121 Per farlo: - S sposano la parcella erosaaa e quelle adacen usando l no d coll > rovao fno a quel oeno Subroune Sposa_progressva_pp_erosao, Sposa_adacen_ero_ - S conrolla che la parcella erosaaa e quelle adacen non s sano scabae d poso una vola Subroune Conrollo_copeneraz_ero_ - Se le parcelle s sono scabae, coè se d <, s prende coe d coll d pra approssazone l precedene valore dcoll a dcoll appro d coll Se, s conrolla che la parcella erosaaa non s sa nvera due copeneraz _ possbl vole con le parcelle adacen. Per farlo, non s può usare seplceene l crero del d < dopo l nervallo d epo d coll, poché la doppa nversone copora un d >, non dsnguble da quello dovuo all assenza d nversone ra le parcelle. Perano s fa rcorso alla seguene procedura: - S calcola la soluzone d dell'equazone: & ero & adacene & ero è onoona e rappresena l nervallo d epo n cu avvene la pra collsone. Tale soluzone è unca perchè Svluppando analcaene con, dalle equazon del oo delle due parcelle neressae,. e s oene: & & ero adacene K ± ero e ± C rf d θ e d θ A K rf e e d d θ θ A C ero

122 d θ K C e A C rf ero ero e d θ A K rf ero ero C C d θ A log ero C ero C K rf θ A eroc d log eroc K rf Grafcaene esep Fg. Collsone ra parcella erosaaa e adacene : caso sgn & & ero [ & ] sgn adacene adacene < & adacene K > rf ero adacene ero adacene ero & adacene <

123 & ero & ero d K rf ero collsone collsone Fg.. Andaeno nel epo delle velocà della parcella erosaaa e della sua adacene: caso Fg. Collsone ra parcella erosaaa e adacene : caso sgn & & ero [ & ] sgn adacene adacene > & adacene K > rf ero adacene ero adacene ero & adacene >

124 & ero & ero collsone collsone K rf ero d Fg.. Andaeno nel epo delle velocà della parcella erosaaa e della sua adacene: caso - S sablsce se possono essere avvenue due collson, nell nervallo d epo d coll Se d dcoll copenerazon Se, all sane d coll d dcoll, all sane d coll non possono esserc sae due possono esserc sae due copenerazon. - Se c è la possblà che all sane d coll sano avvenue due collson, s guarda se è accaduo e s deerna l nervallo d epo n cu ha avuo luogo la pra delle due. Per farlo: S sposano la parcella erosaaa e quelle adacen usando coe nervallo d epo l d calcolao Subroune Sposa_progressva_pp_erosao, Sposa_adacen_ero_ θ A eroc d log eroc K rf S conrolla che la parcella erosaaa e quelle adacen non s sano scabae d poso una vola, all sane d. S guarda coè se d < Subroune Conrollo_copeneraz_ero

125 Se le parcelle s sono scabae, coè se d <, s prende coe d coll d pra approssazone l valore d dcoll a d appro Indpendeneene dal nuero oale d possbl collson, se s è rlevao che la parcella erosaaa s è nvera con una delle adacen nell'nervallo d epo d coll a, poché la pra collsone è avvenua lì, s caba coll e s raffna appro d coll a appro Subroune Raffna_dcoll_ero_con_bsez Sposa_progressva_pp_erosao ero ero θ ± K ero rf e log d coll θ d coll θ e A A Dove: A & p p K rf oa Segno da usare: se se & & > < Al fne d glorare la precsone nuerca, s è lascaa la possblà d effeuare lo sposaeno della parcella erosaaa n pù rprese, dvdendo l d coll n pass d avanzaeno pù pccol. In realà, s è però vso che la odfca n quesone non copora gloraen al da gusfcare l aggor dspendo copuazonale. 7

126 Sposa_adacen_ero_ ero ero ero ero ero & & ero ero d d coll coll per per per ero ero ero ero _ ero _ ero _, ero _ Conrollo_copeneraz_ero Conrolla che le parcelle erosaae non s nverano con quelle adacen Serve a rlevare se, nell nervallo d coll o d, sono avvenue delle collson che hanno neressao le parcelle erosaae. A al scopo, s guarda se: d < Dove: d è calcolao dalla subroune Trova_d_ero coe: d ero adacene se adacene ero d adacene ero se adacene ero Conrollo_copeneraz_ero_ Conrolla che le parcelle erosaae non s nverano con quelle adacen. A dfferenza della subroune Conrollo_copeneraz_ero, quesa è usaa nel cclo d raffnaeno del d edane bsezone, quando so gà su qual parcelle ho l'errore coll

127 Raffna_dcoll_ero_con_bsez Raffna l d coll d pra approssazone, applcando correzon dervan da successve bsezon, fno al raggungeno della olleranza desderaa su d oppure del no valore ule d correzone del d. Il cclo d correzone prevede seguen sep: coll - S sposano le parcelle neressae dalla copenerazone: coll e adacene, facendole avanzare per un nervallo d epo d coll Subroune Sposa_progressva_pp_erosao, Sposa_adacen_ero_ - S calcola la dsanza ragguna dalla parcella erosaaa e dalla sua adacene dopo l nervallo d coll Subroune Trova_d_ero - S calcola la correzone su d coll coe : k k k d d se d d corr corr k > k k k k d d se d d < corr corr Dove: k è l ndce che ndvdua l nuero dell erazone del cclo d correzone - S corregge l d coll : k k d d d k coll coll S esce dal cclo quando vene ragguna una delle due condzon sulla precsone d d o sul valore assoluo d d corr d n corr d corr n 9

128 In parcolare, la condzone sul no valore acceable d soo d ale valore, uleror correzon sul d corr vene posa perché, al d d coll non conducono necessaraene all effeo aeso d rduzone o d aueno del d. Da lì n po, nfa, l d nza ad oscllare a causa degl error nuerc. Gesone_collsone_erosa_ è appurao che la pra collsone ad avere luogo ha neressao una parcella erosaaa, la s effeua e s rcavano poszon e velocà delle parcelle subo pra d essa. Evenualene s corregge la poszone delle parcelle subo dopo la collsone, n odo da oenere d, qualora le bsezon preceden non sano basae. Il procedeno adoao è analogo a quello che s ha per collson ra parcelle non erosaae. Subroune Sposa_pp_collsone_erosa, Trova_v_pra_coll_pp_collsone_erosa, Conrollo_collsone, Corregg_d_ero Sposa_pp_ Calcola la poszone delle parcelle nel nuovo sane d epo d coll. Quesa subroune è analoga alla subroune Sposa_pp del caso d equlbro. & θ K ± & d rf Δ coll e log coll d coll θ F Δ d θ e A A coll coll per per, ero _ ero _,, ero _ ero _

129 Trova_v_pra_coll_ Calcolo le velocà delle parcelle nel nuovo sane d epo d coll, subo pra dell'uro. Quesa subroune è analoga alla subroune Trova_v_pra_coll equlbro. del caso d & & & pra _ coll pra _ coll pra _ coll & ± & ero F e K rf d θ d coll e A d θ per per, ero _ ero _,, ero _ ero _ Trova_v_dopo_coll Trova la velocà che avranno le parcelle al epo d coll, subo dopo la collsone. E uguale alla subroune Trova_v_dopo_coll del caso d equlbro. Conroll sulle poszon delle parcelle Conrollo_copeneraz Conrolla che le parcelle non s sano scabae d poso. Per farlo verfca che sa: > per, > Queso conrollo è analogo a quello che s aveva nel caso d equlbro oa el caso del dsequlbro, la conservazone dell energa oale del ssea non è pù garana. Perano, conroll sulla poszone le dell ula parcella così coe quell sulla conservazone dell energa oale non vengono pù effeua.

130 RISULTATI Equlbro Propreà surae S è onorao l andaeno nel epo d valor ed e devazon sandard all sane e su grupp d san d alcune propreà acroscopche e croscopche della sbarra In generale, s può pensare che le ede su grupp d san copac odellzzno la rsoluzone eporale del generco srueno d sura. Quando s rleva l valore d un osservable, nfa, non s oene a l valore della sua fluuazone sananea, bensì una eda su un cero nuero d san, poché lo srueno d sura deve avere l epo d porars n condzon d equlbro con l oggeo della surazone Le ede spazal calcolae su nervall longudnal della sbarra odellzzano nvece la rsoluzone spazale del generco srueno d sura. on è nfa possble pensare d rlevare valor punual d una deernaa quanà. Cò che lo srueno rleva sarà una eda su porzon d lunghezza defne Propreà acroscopche - Lunghezza oale della sbarra: - Densà lneare: ρ k k d TOT, k d - Energa cneca specfca : Δl k ekn k k & Dove: k ndce dell eleeno longudnale della sbarra k nuero d parcelle nell eleeno della sbarra k

131 Propreà croscopche - Energa cneca eda : k Ekn k k & - Poszone del cenro d assa d grupp d conrollo d parcelle all nzo, al cenro e alla fne della sbarra: G G G Dove: k ndce dell eleeno longudnale della sbarra k nuero d parcelle nell eleeno della sbarra k G ndce del gruppo d parcelle d conrollo G nuero d parcelle nel gruppo G

132 Paraer delle sulazon effeuae S sono consdera cas dvers per: nuero d parcelle : - parcelle - parcelle Condzon nzal : - Parcelle unforeene e casualene dsrbue su una lunghezza d l u.n. unà naural del ssea, con energa oale rfereno cnz _ E o E _ cn E cnz cnz _! po cnz _! S è vso che ale condzone nzale corrsponde ad un elongazone d rspeo al valor edo fnale sazonaro Δ - Parcelle unforeene e casualene dsrbue su una lunghezza d rfereno: e energa oale: l l cnz _ cnz _ E o E cnz _ o cnz _ S è vso che ale condzone nzale corrsponde ad una copressone d rspeo al valor edo fnale sazonaro Δ - Parcelle unforeene e casualene dsrbue su una lunghezza d rfereno : l l cnz _ cnz _ e energa cneca: E cn E cnz _ cn cnz _

133 S è vso che ale condzone nzale corrsponde ad un elongazone d rspeo al valor edo fnale sazonaro. Δ Masse delle parcelle : - Masse ue ugual : - Masse alernae :, Forze applcae: - F u.n. : caso base - F.,, 7.,.,, 7.,,. u.n. : forze applcae per sudare l elascà

134 Adeguaezza del odello adoao - Convergenza d eda e devazone sandard Dalla Meccanca Sasca, c s aspea che, n condzon d equlbro, s abba una convergenza nel epo sa del valore edo sa della devazone sandard all sane della generca propreà P P P [ P P ] [ σ ] var P P [ ] P [ P ] Dove: P σ P Valore edo d P all sane Valore della devazone sandard d P all sane Da rsula oenu s vede che queso avvene n un epo relavaene breve elongazone σ X Fg..: Convergenza d valor edo e scaro po d Paraer: parcelle, epo oale, F cosane, alernae, condzone nzale elongazone

135 - Coporaeno croscopco e acroscopco Il ssea è: - croscopcaene eccancaene conservavo poché non v è nessuna dsspazone, dal oeno che, per poes, non c è nessuno scabo d energa con l eserno, le collson avvengono elascaene e la dnaca delle parcelle è d po reversble - acroscopcaene erodnacaene rreversble poché evolve n odo rreversble verso una edesa condzone d equlbro dnaco sasco, ndvduao da valor d eda e devazone sandard Tale condzone non dpende né dal po d condzon nzal elongazone o copressone rspeo alla lunghezza eda fnale della sbarra, né dal loro valore n ern quanav odulo dello scaro nzale rspeo al valore edo fnale. I paraer che la nfluenzano sono uncaene l nuero d parcelle e l energa oale del ssea E o Ques apparene conraddzone è n realà n lnea con quano avvene couneene ne sse suda dalla Meccanca Sasca. S pens, a al proposo, all evoluzone del gas conenuo n una bobola: quando s apre l rubneo, le parcelle d gas fuorescono uovendos con legg del oo che, rascurando le dsspazon, possono essere consderae reversbl. Cò nondeno, l gas s spande nella sanza n odo rreversble, raggungendo una nuova condzone d equlbro. In lnea del uo eorca esso porebbe anche rornare nella bobola, a a lvello praco queso s rene possble poché, per le legg della probablà, un ale rorno alle condzon nzal rchederebbe epsche alene lunghe da rsulare fscaene nosservabl. 7

136 Condzone nzale elongazone Condzone nzale copressone σ X, eda e scaro po Paraer della sulazone: parcelle, epo oale, F cosane, alernae Fg.. Lunghezza della sbarra: eda su grupp d san σ X all sane

137 Fg.. : La fgura llusra l evoluzone nel epo della lunghezza della sbarra, a parre da due dverse condzon nzal. Paraer della sulazone: parcelle, epo oale, F cosane, alernae A snsra, s è assegnaa una condzone nzale d sovraelongazone rspeo al valore edo d convergenza successvaene ragguno, poché all sane s è arbuo a l valore, eccedene d Δ rspeo alla eda n condzon sazonare,. La devazone sandard, parendo da un valore nzale par a, converge po al valore σ. X A desra, nvece, è presenao l caso d condzone nzale d copressone. All sane, s è nfa assegnao valore alla lunghezza della sbarra. Il valore edo converge nuovaene a a, poché lo scaro nzale era aggore n odulo Δ, l epo pegao per raggungere ale condzone è aggore rspeo a quello del caso precedene. La devazone sandard, nzalene par a., sulla scala eporale della sulazone, scende fno a.7. Eseguendo un faggo s è vso che essa ende però a converge al edeso valore del caso precedene: σ. X 9

138 - Gaussanà del ruore presene sugl osservabl Dagl sud d Meccanca Sasca è rsapuo che, n condzon d equlbro, l ruore presene sulle sure de var osservabl caraerzzan l ssea ha una dsrbuzone gaussana.queso peree d forulare un poes d pra approssazone sul valore asso raggungble dalle loro oscllazon. Se s consdera, ad esepo, la lunghezza della sbarra, soo l poes d noralà della sua dsrbuzone nel epo, l 99.7 % de valor s concenrerà nell nervallo ± σ. Perano una pra sa della assa oscllazone sarà daa da: saa σ a Δ. S è vso che l valore sperenale della assa oscllazone rlevaa dalle sulazon non concde con l valore aeso espresso dalla., a è nore d esso ossa: a Δ < a Δ osservaa saa Queso è counque copable con l poes d gaussanà de rsula oenu, poes che s può verfcare anche esanando la fora delle PDF delle vare propreà

139 copressone e kn k % % % Condzone nzale elongazone Condzone nzale % % % PDF % PDF % % % % % % % e_cn_gruppo_spec e_cn_gruppo_spec Fg. PDF dell energa cneca specfca dell nervallo longudnale k nzo sbarra copressone Condzone nzale elongazone Condzone nzale ρ k % % % % % % PDF % PDF % % % % % % 7 7 % 7 7 ro ro Fg. PDF della densà lneare dell nervallo longudnale k cenro sbarra

140 Fg. PDF dell energa cneca specfca dell nervallo longudnale k Paraer della sulazone: parcelle, epo oale, F cosane, alernae I grafc rappresenano le PDF Probably densy funcons dell energa cneca specfca del pro nervallo longudnale della sbarra, ne cas d condzone nzale d elongazone Δ e d copressone Δ rspeo alla lunghezza eda. Le dsrbuzon sono gaussane n enrab cas, cenrae sul edeso valore cenrale Fg. PDF della densà dell nervallo longudnale k Paraer della sulazone: parcelle, epo oale, F cosane, cosan I grafc rappresenano le PDF della densà dell nervallo longudnale k della sbarra, ne cas d condzone nzale d elongazone Δ e d copressone Δ rspeo alla lunghezza eda. Le dsrbuzon sono gaussane n enrabe cas, cenrae sul edeso valore cenrale

141 - Mgloraeno del odello all auenare del nuero d parcelle Auenando l nuero d parcelle, l odello rsula pù adeguao a descrvere la fsca della sbarra, poché l enà delle oscllazon delle vare propreà dnusce. Se consderao ad esepo la lunghezza oale della sbarra, a parà d valore d rfereno l, auenando l nuero d parcelle da a, avreo : < l _ < pp _ pp σ σ _ pp _ pp L uguaglanza nuerca degl scar po ne due cas non deve supre poché ess danno un dea del valore della assa oscllazone σ, n ern assolu. Cò che cona, a fn della valuazone dell adeguaezza del odello alla fsca della sbarra, sono valor relav d al oscllazon, che rsulano essere: σ σ _ pp _ pp > _ pp _ pp Al le, per, dovreo vedere fera agl occh d un osservaore eserno σ _ pp _ pp poché la sbarra fsca appare

142 parcelle parcelle σ X Fg.. Dfferenze ra un odello con parcelle e uno con parcelle: lunghezza della sbarra Paraer d sulazone : epo oale, F cosane, alernae, condzone elongazone

143 - Sablà della dnaca Per sse con un elevao nuero d parcelle e ep d sulazone lungh, s ha un equvalenza forale ra energa cneca per parcella e energa cneca per unà d lunghezza, a eno d una cosane. Quesa relazone può essere espressa rae la forula: e C E kn k k σ e C kn k k σ Ekn k kn k. Dove: e kn k energa cneca specfca eda sulla lunghezza E kn k energa cneca eda eda sul nuero d parcelle C k cosane che dpende da k Queso sgnfca che k ha fluuazon rapde e pccole aorno al suo valor edo; perano la dnaca è abbasanza sable Dosrazone k k k E kn nk k E l k E l k E k e kn k E k k Dove: n k l k k cos Con l poes d ssea caoco ossa con un errore avene dsrbuzone Gaussana e kn k E k k e e kn k kn k.

144 Se è grande, s può rascurare rspeo ad, nella., oenendo: E ekn k E E k k e kn k k In parcolare avreo: kn n k k n C k k l k k c.v.d. % % % PDF % % % %...9. e_cn_gruppo e kn % % % PDF % % % % e_cn_gruppo_spec E kn Fg.. Fg.. Confrono ra le PDF dell energa cneca eda per parcella e dell energa cneca eda per unà d lunghezza energa cneca specfca del gruppo k al cenro della sbarra. Paraer della sulazone: parcelle, epo oale, F cosane, alernae, condzone nzale copressone S vede che la PDF dell energa cneca specfca ha eda par a e approssavaene: σ, enre la PDF dell energa cneca eda per parcella ha eda par a. e approssavaene σ.. Coe prevso, l faore d scala ra una dsrbuzone e l alra è par al nuero d parcelle conenue edaene n cascun nervallo longudnale, ossa

145 - Dsrbuzone della densà lungo la sbarra Al procedere delle sulazon nel epo, la pendenza della densà alla fne della sbarra dnusce. Queso è confore con la fsca del problea e, n parcolare, con l assenza d una paree conenva al fondo della sbarra. Pag. seguene: Fg..7 I grafc rappresenano la dsrbuzone della densà eda nel epo lungo la sbarra, n dvers san, parendo da condzon nzal d sovraelongazone o d copressone. In parcolare, s guarda cosa accade all nzo, a eà e alla fne della sulazone. Paraer d sulazone: parcelle, F cosane, cosan Inzalene la curva della densà ha valore cosane su ua la sbarra, per le assunzon d unforà da no fae sulla dsrbuzone nzale delle parcelle, e pendenza olo elevaa al fondo, poché v è una nea defnzone de conorn dell oggeo fsco. Coe ragonevole aenders, nel caso d sovraelongazone, la densà nzale nella pare cenrale della sbarra ρ è nore d quella fnale caraersca della condzone sazonara, enre nel caso d copressone è aggore e par ρ Il valor edo fnale sazonaro della densà lungo la sbarra è l edeso ne due cas e par a ρ.7. Lo sesso s dca per l apezza della fasca d oscllazone, cu l sono calcola coe ρ ±, dove σ. σ ρ ρ La eda e lo scaro po a eà della sulazone, ossa n condzon d ransoro, sono nvece noevolene dvers ne due cas. Parendo dalla condzone d sovraelongazone Δ, le oscllazon per raggungere lo sao sazonaro occupano una fasca olo nore rspeo a quelle del caso d copressone d. Δ Anche l valor edo, durane l ransoro, non è counque unfore su ua la sbarra e presena delle oscllazon lungo l asse. In parcolare, la sua pendenza al fondo rsula nore sa d quella nzale, sa d quella fnale, poché le oscllazon nel epo coporano una rarefazone dell esreà lbera. Queso effeo è aggorene evdene nel caso d copressone, a causa del aggor valore assoluo dello scaro nzale 7

146 ρ Condzone nzale l ρ Condzone nzale ro _ e ro _ e ρ ρ ro _ e ro _ e ρ ρ ro _ e ro _ e Fg.7 Dsrbuzone d densà lungo la sbarra, n re dvers oen della sulazone nzo: assegnao, eà: ransoro, fne: condzon sazonare. La banda conenene le possbl oscllazon nel epo è ndvduaa da l: ρ ± σ ρ

147 - Curva sforzo-deforazone La sbarra presena un grafco sforzo-deforazone d fora analoga a quella che s oene per sbarre real soopose a prove d razone Per raccare al curve, s è consderao un nervallo d forze cosan copreso ra l valore. e l valore.. In corrspondenza d ogn forza, s è andao a leggere l valore della lunghezza oale eda della sbarra, una vola ragguno lo sao sazonaro. Poché le forze da no applcae sono forze d copressone, enre la leeraura rpora, per var aeral, rsula neren prove d razone, per poer confronare grafc s è consderaa coe condzone d barra scarca quella n cu s aveva la assa forza applcaa F.. Le alre forze s sono così poue consderare forze d razone. l l e l s F F F Dove: F Forza d copaazone che corrsponde alla condzone d sbarra scarca l Lunghezza oale corrspondene alla condzone d sbarra scarca I grafc che s oengono dalle sulazon sono analogh a quell real per aeral eallc, presen n leeraura,. V è nfa un pro rao con coporaeno elasco lneare, seguo da un rao n cu copare la deforazone plasca. 9

148 Forza F cos n edo Sforzo s Deforazone e Tab.. Cclo d prove d carco Prove d carco: caso d equlbro.. s e Fg..: Confrono ra la curva sforzo-deforazone oenua con l nosro odello n alo e una pca curva sforzo-deforazone ver per un aerale eallco n basso K, n cosan caraersche del aerale; Y le elasco

149 Dsequlbro el caso del dsequlbro, la propreà d neresse a fn dello sudo delle anenne gravazonal rsula essere la lunghezza oale della sbarra Faor che nfluenzano l valore edo e lo scaro po fnal della lunghezza della sbarra Valor edo delle energe cneche ovvero eperaure ede d rfereno de due erosa E E E cn RIF _ cn RIF _ cn RIF In generale, l valore fnale edo della lunghezza della sbarra auena all auenare d E cn RIF. Poché l energa cneca è legaa alla eperaura, queso equvale a dre che la lunghezza della sbarra cresce al crescere della eperaura, l che è confore alla fsca del problea Fg..9 Dpendenza della lunghezza eda della sbarra dalla eperaura cu essa vene anenua. In ques cas è sao applcao un gradene ΔT e valore edo T va va crescene. La lunghezza cresce all auenare della eperaura

150 Fg.. Dpendenza della scaro po della lunghezza della sbarra dalla eperaura cu essa vene anenua. E sao applcao un gradene ΔT e valore edo T va va crescene. A dfferenza d quano avvenva per la eda, lo scaro po ende sepre a convergere, a l suo valore non ha andaeno onoono all auenare della eperaura. S no che la convergenza pù rapda s ha nel caso d aggor raffreddaeno n alo a snsra, enre quella pù lena s ha nel caso d aggor rscaldaeno n basso a desra e che non c è sera ra cas d raffreddaeno e quell d rscaldaeno, n ern d relazone ra valor assolu d sovraelongazone / copressone rspeo a eda fnale e scaro po. Valore delle cosan d rlassaeno θ, θ Dnuendo le cosan d rlassaeno, l valore edo e lo scaro po della lunghezza della sbarra convergono verso un valor pù eleva Fg.., Fg..

151 Faor che nfluenzano la velocà d convergenza ad uno sao sazonaro Valor edo delle energe cneche d rfereno ovvero delle eperaure de due erosa Sudando cas dvers con gradene applcao nullo, s rleva che la convergenza s ha solo per un deernao range d eperaure Fg..9 Valore assoluo del gradene d eperaura Δ T T RIF T _ RIF _ A parà d eperaura eda, graden nor porano ad una convergenza pù rapda sa del valor edo, sa dello scaro po: hanno coè una funzone sablzzarce, coe leco è aenders dalla fsca del ssea. on ha nvece rlevanza l segno del gradene Fg... Valore delle cosan d rlassaeno θ, θ A parà d energe cneche d rfereno corrsponden ad esepo ad un rscaldaeno della sbarra, consderando cas con θ θ, s vede che dnuendo le cosan d rlassaeno, la lunghezza eda converge con velocà aggore, verso un valore pù elevao Fg.. L aueno della velocà d convergenza al dnure d θ, θ può faclene essere spegao pensando al sgnfcao della cosane d rlassaeno. Essa rappresena nfa la scala eporale necessara alla parcella perché la sua quanà d oo s unfor al valore cosane K RIF, n assenza d collson. L aueno del valore della lunghezza eda, nvece, s può coprendere pensando che, per far endere la quanà d oo della parcella erosaaa a K RIF n ep nor, sarà necessaro prerle una forza aggore, dunque anche un energa aggore. Analogaene anche lo scaro edo, sura dell apezza delle oscllazon, converge pù rapdaene a ende ad un valore aggore quando s hanno cosan d rlassaeno pccole. S no che, n al caso, l nsablà nzale è aggore, a essa renra n ep nor, rovandos l erosao a dover colare pù rapdaene un aggor dslvello energeco. Fg... E leco dunque dre che la dnuzone delle cosan d rlassaeno, ponendo vncol pù for sulle velocà v. erosao d Gauss, produce oscllazon pù ape a pù regolar. e cas con θ θ non è nvece possble rarre concluson d po generale da rsula, nè sao n grado d prevedere l effeo dell asera erca nrodoa dalla vcnanza con la paree cu è soggeo l pro erosao

152 Fg. Lunghezza oale eda nel epo, al varare delle energe cneche d rfereno de erosa. I valor fnal della lunghezza eda e del suo scaro po non sono nfluenza dalla dfferenza de graden, a l epo pegao per raggungere la convergenza lo è: nel caso d gradene nullo è nore

153 Fg.. : Effe della varazone delle cosan d rlassaeno della sbarra θ sulla lunghezza eda θ Paraer della sulazone: parcelle, epo oale, F, alernae, condzon nzal, v v. ossa. e. RIF _ RIF _ e, 7 cn RIF _ cn RIF _

154 Fg.. : Effe della varazone delle cosan d rlassaeno sbarra θ sullo scaro po della θ Paraer della sulazone: parcelle, epo oale, F, alernae, condzon nzal, v v. ossa. e. RIF _ RIF _ e, 7 cn RIF _ cn RIF _

155 Influenza della eperaura sulle curve d carco Molo neressane è l rsulao oenuo dalle prove effeuae con forze dverse, n analoga a quano fao nel caso dell equlbro. Rscaldando coplessvaene la sbarra e ponendo un gradene d eperaura ra due esre dsequlbro s sono rovae curve analoghe a quelle presen n leeraura per pù coun aeral eallc. Queso suggersce che eccans araverso cu aeral ncrudscono per accuulo delle dslocazon, rendendo dffcolosa un ulerore deforazone, e po rprendono a deforars agevolene qualora venga loro sonsrao del calore sano eccans nrnsec de sse socasc d parcelle. Anche n un seplce odello onodensonale è nfa possble che s creno accuul localzza e che, araverso la sonsrazone d calore, ovvero energa dall eserno, ques accuul vengano rdsrbu pereendo una deforazone ulerore Forza F cos n edo Sforzo s Deforazone e Tab.. Cclo d prove d carco nel caso d dsequlbro con v rf v rf. ossa e. 9, e. cn RIF _ cn RIF _ 7

156 Sforzo-deforazone.. s. Equlbro Dsequlbro. 7 e Fg.. Confrono ra le curve che s rovano n leeraura per sforzo-deforazone de aeral eallc all auenare della eperaura e le curve rcavae con l nosro odello, n caso d equlbro e n caso d dsequlbro, con nnalzaeno della eperaura coplessva della sbarra

157 COCLUSIOI Le sulazon condoe sul caso d equlbro hanno peresso d verfcare la coerenza del odello adoao, sa co rsula aes dagl sud d Meccanca Sasca, sa con l coporaeno fsco acroscopco del ssea n esae. S è nfa rsconraa una convergenza d valor ed e devazon sandard delle prncpal propreà acroscopche e croscopche colleve, n ep relavaene brev. Il ssea, croscopcaene ovvero eccancaene conservavo per le poes adoae, ha presenao un coporaeno rreversble soo l proflo acroscopco erodnaco: parendo da condzon nzal dsne, esso s è nfa evoluo verso un nuovo sao coune d equlbro dnaco sasco, dpendene solo dal nuero d parcelle e dalla loro energa oale. Sl rsula sono coun quando s raano sse caoc d parcelle. Il ruore presene sugl osservabl è rsulao copable con l poes d gaussanà posulaa dagl sud eorc su sse all equlbro. Per quano concerne l anenza alla fsca del ssea n esae, s è noaa una dnuzone delle oscllazon degl osservabl, dunque un gloraeno del odello, all auenare del nuero d parcelle, coe aeso. Facendo dealene endere l nuero d parcelle a nfno, c s aspea nfa che le quanà osservabl lunghezza, ecc non presenno pù oscllazon, n conforà con quano avvene nella realà. La dsrbuzone della densà lungo la sbarra s è dosraa coerene con l assenza d una seconda paree conenva, ponendo n evdenza una rarefazone dell esreo lbero al procedere delle sulazon nel epo. Per quano concerne l dsequlbro, s è avua confera della supposzone nzalene faa, n conraso con la leeraura correne: qualora s abba una sbarra con gradene d eperaura applcao ra gl esre coe avvene nel rlevaore d onde gravazonal AURIGA, non è approprao l'uso delle sasche d equlbro per descrverne l coporaeno. Le sulazon condoe sul caso d dsequlbro s sono concenrae sullo sudo della lunghezza fnale della sbarra, ponendo n evdenza la dpendenza del suo valor edo e dell apezza delle sue oscllazon dalla eda delle eperaure d rfereno de due erosa. In parcolare, una eperaura eda nore corrsponde ad un nor valore sa della lunghezza fnale, sa delle sue oscllazon. Il raggungeno d uno sao sazonaro non è però sepre garano e s ha solo all nerno d un deernao range d eperaure ede, al d là del quale la lunghezza della sbarra ende a dvergere oppure a collassare. Queso evdenza l enro qual l odello può reners sgnfcavo. A parà d eperaura eda ra erosa, la velocà d convergenza è nfluenzaa dal valore assoluo de graden: graden nor porano ad una convergenza pù rapda sa l valor edo, sa lo scaro po; hanno coè una funzone sablzzarce, coe è leco aenders dalla fsca del ssea. Rsula nvece rrlevane l segno del gradene sesso 9

158 S è nolre rsconrao che la velocà d convergenza del odello vara al varare delle cosan d rlassaeno de erosa. el caso n cu quese sano ugual, un loro ncreeno copora una dnuzone della velocà d convergenza, coe aeso dall anals delle equazon de erosa. Qualora sano dverse, nvece, la dpendenza ra al faor resa ancora da charre. S rcorda che a valor nor d quese cosan corrsponde una aggore effcenza de erosa. Infne, paono parcolarene neressan rsula oenu varando la forza applcaa all esreo lbero, sa n condzon d equlbro, sa n condzon d dsequlbro, n quano rsulano penaene confor alle curve sforzo - deforazone real rcavae dalle prove d carco de aeral eallc e presen n leeraura. Tale analoga non è solo anene alla fora generale delle suddee curve, a rguarda anche l odo n cu s odfcano all auenare della eperaura. Queso evdenza l'adeguaezza del odello alla rappresenazone d dverse propreà delle sbarre eallche, qual l'anenna gravazonale AURIGA e gusfca l'ndcazone, fnora assene n leeraura, che le vbrazon d ale sbarra vengano analzzae alla luce della fsca de fenoen d dsequlbro.

159 BIBLIOGRAFIA [] K. Aok, D. Kusnezov, Phys. Le. A. [] K. Aok, D. Kusnezov, Phys. Rev. Le. 9. [] F. Boneo, J. Lebowz, L. Rey-Belle, n: A. Fokas, A. Grgoryan, T. Kbble, B. Zegarlnsk Eds., Maheacal Physcs, Iperal College, London,. [].Calì, P. Gregoro, Terodnaca, vol., Esculapo, Bologna, 99 [] A. Casher, J.L. Lebowz, J. Mah. Phys []. Chernov, J.L. Lebowz, J. Sa. Phys [7] F.D. D Tolla, M. Ronche, Phys. Rev. E [] J.-P. Eckann, C.-A. Plle, L. Rey-Belle, Coun. Mah. Phys [9] D.J. Evans, G.P. Morrss, Sascal Mechancs of onequlbru Lquds, Acadec Press, San Dego, 99. [] E. Fer, Terodnaca, Borngher, Torno, 9 [] E. Fer, J. Pasa, S. Ula, n: E. Fer Ed., Colleced Papers, Vol., Unversy of Chcago Press, Chcago, Vol., 9, p. 7. [] A. Flppov, B. Hu, B. L, A. Zelser, J. Phys. A [] P.L. Garrdo, P.I. Hurado, B. adrowsk, Phys. Rev. Le.. [] C. Gardnà, R. Lv, J. Sa. Phys [] M.J. Gllan, R.W. Holloway, J. Phys. C 9 7. [] hp:// [7] W.G. Hoover, Phys. Rev. A 99. [] O.Jepps,.Rondon,J.Phys.A: Mah.Gen.9 - [9] Khnchn A I 99 Maheacal Foundaons of sascal Mechancs ewyork:dover [] R. Kubo, M. Toda,. Hashsue, Sascal Physcs II, n: Sprnger Seres n Sold Sae Scences, Vol., Sprnger, Berln, 99. [] J. Lebowz, J.K. Percus, L. Verle, Phys. Rev. 97. [] S. Lepr, R. Lv, A. Pol, Phys. Rep. 77 [] E.L. Lfshz, L.P. Paevsk, Physcal Knecs, Pergaon Press, ew York, 9. [] M.E. Lupkn, W.M. Saslow, W.M. Vsscher, Phys. Rev. B [] R.A. MacDonald, D.H. Tsa, Phys. Rep. 97. [] J. Maddo, aure ;

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161

162 APPEDICI

163 APPEDICE I: Rsula caso d equlbro Paraer delle sulazon: parcelle Tepo oale u.n. unà naural Forza cosane F u.n. Masse cosan, alernae Condzon nzal d po,, Appendce I - pag.

164 Lunghezza oale della sbarra, n sananea : confrono PDF % % % % % % PDF % PDF % % % % % % 7 9 n pp, _o fcos, cos, cnz % 7 9 n pp, _o fcos, al, cnz % % % % % % PDF % PDF % % % % % % 7 9 n pp, _o fcos, cos, cnz % 7 9 n pp, _o fcos, al, cnz % % % % % % PDF % PDF % % % % % % 7 9 n pp, _o fcos, cos, cnz % 7 9 n pp, _o fcos, al, cnz Appendce I - pag.

165 Energa cneca della parcella n sananea : confrono PDF % % % % PDF % % PDF % % % % %...9. e_cnn pp, _o fcos, cos, cnz %...9. e_cnn pp, _o fcos, al, cnz % % % % PDF % % PDF % % % % %...9. e_cnn pp, _o fcos, cos, cnz %...9. e_cnn pp, _o fcos, al, cnz % % % % PDF % % PDF % % % % %...9. e_cnn pp, _o fcos, cos, cnz %...9. e_cnn pp, _o fcos, al, cnz Appendce I - pag. 7

166 Energa cneca eda per parcella del gruppo sananea : confrono PDF % % % % % % PDF % PDF % % % % % %...9. e_cn_gruppo pp, _o fcos, cos, cnz %...9. e_cn_gruppo pp, _o fcos, al, cnz % % % % % % PDF % PDF % % % % % %...9. e_cn_gruppo pp, _o fcos, cos, cnz %...9. e_cn_gruppo pp, _o fcos, al, cnz % % % % % % PDF % PDF % % % % % %...9. e_cn_gruppo pp, _o fcos, cos, cnz %...9. e_cn_gruppo pp, _o fcos, al, cnz Appendce I - pag.

167 Energa cneca eda per parcella del gruppo sananea : confrono PDF % % % % % % PDF % PDF % % % % % %...9. e_cn_gruppo pp, _o fcos, cos, cnz %...9. e_cn_gruppo pp, _o fcos, al, cnz % % % % % % PDF % PDF % % % % % %...9. e_cn_gruppo pp, _o fcos, cos, cnz %...9. e_cn_gruppo pp, _o fcos, al, cnz % % % % % % PDF % PDF % % % % % %...9. e_cn_gruppo pp, _o fcos, cos, cnz %...9. e_cn_gruppo pp, _o fcos, al, cnz Appendce I - pag. 9

168 Energa cneca eda per parcella del gruppo 9 sananea : confrono PDF % % % % PDF % % PDF % % % % %...9. e_cn_gruppo 9 pp, _o fcos, cos, cnz %...9. e_cn_gruppo 9 pp, _o fcos, al, cnz Energa cneca eda per parcella del gruppo sananea : confrono PDF PDF 9% % % % % % %...9. e_cn_gruppo pp, _o fcos, cos, cnz PDF 9% % % % % % %...9. e_cn_gruppo pp, _o fcos, al, cnz Appendce I - pag.

169 Energa cneca specfca sananea del gruppo : confrono PDF % % % % % % PDF % PDF % % % % % % e_cn_gruppo_spec pp, _o fcos, cos, cnz % e_cn_gruppo_spec pp, _o fcos, al, cnz % % % % % % PDF % PDF % % % % % % e_cn_gruppo_spec pp, _o fcos, cos, cnz % e_cn_gruppo_spec pp, _o fcos, al, cnz % % % % % % PDF % PDF % % % % % % e_cn_gruppo_spec pp, _o fcos, cos, cnz % e_cn_gruppo_spec pp, _o fcos, al, cnz Appendce I - pag.

170 Energa cneca specfca sananea del gruppo : confrono PDF % % % % % % PDF % PDF % % % % % % e_cn_gruppo_spec pp, _o fcos, cos, cnz % e_cn_gruppo_spec pp, _o fcos, al, cnz % % % % % % PDF % PDF % % % % % % e_cn_gruppo_spec pp, _o fcos, cos, cnz % e_cn_gruppo_spec pp, _o fcos, al, cnz % % % % % % PDF % PDF % % % % % % e_cn_gruppo_spec pp, _o fcos, cos, cnz % e_cn_gruppo_spec pp, _o fcos, al, cnz Appendce I - pag.

171 Energa cneca specfca sananea del gruppo 9: confrono PDF % % % % % % PDF % PDF % % % % % % % e_cn_gruppo_spec 9 e_cn_gruppo_spec 9 pp, _o fcos, cos, cnz pp, _o fcos, al, cnz Energa cneca specfca del gruppo sananea : confrono PDF % % % % % % PDF % PDF % % % % % % e_cn_spec % e_cn_spec pp, _o fcos, cos, cnz pp, _o fcos, al, cnz Appendce I - pag.

172 Densà sananea del gruppo : confrono PDF % % % % % % PDF % PDF % % % % % % 7 7 ro9 % 7 7 ro pp, _o fcos, cos, cnz pp, _o fcos, al, cnz % % % % % % PDF % PDF % % % % % % 7 7 ro % 7 7 ro pp, _o fcos, cos, cnz pp, _o fcos, al, cnz % % % % % % PDF % PDF % % % % % % 7 7 ro % 7 7 ro pp, _o fcos, cos, cnz pp, _o fcos, al, cnz Appendce I - pag.

173 Densà sananea del gruppo : confrono PDF % % % % % % PDF % PDF % % % % % % 7 7 ro pp, _o fcos, cos, cnz % 7 7 ro pp, _o fcos, al, cnz % % % % % % PDF % PDF % % % % % % 7 7 ro pp, _o fcos, cos, cnz % 7 7 ro pp, _o fcos, al, cnz % % % % % % PDF % PDF % % % % % % 7 7 ro pp, _o fcos, cos, cnz % 7 7 ro pp, _o fcos, al, cnz Appendce I - pag.

174 Densà sananea del gruppo 9: confrono PDF % % % % % % PDF % PDF % % % % % % 7 7 ro9 % 7 7 ro9 pp, _o fcos, cos, cnz pp, _o fcos, al, cnz % % % % % % PDF % PDF % % % % % % 7 7 ro9 % 7 7 ro9 pp, _o fcos, cos, cnz pp, _o fcos, al, cnz Appendce I - pag.

175 G sananea del gruppo all nzo : confrono PDF % % % % % % PDF % PDF % % % % % % 7 9 % 7 9 G gruppo nzo G gruppo nzo pp, _o fcos, cos, cnz pp, _o fcos, al, cnz % % % % % % PDF % PDF % % % % % % 7 9 % 7 9 G gruppo nzo G gruppo nzo pp, _o fcos, cos, cnz pp, _o fcos, al, cnz % % % % % % PDF % PDF % % % % % % 7 9 % 7 9 G gruppo nzo G gruppo nzo pp, _o fcos, cos, cnz pp, _o fcos, al, cnz Appendce I - pag. 7

176 G sananea del gruppo al cenro: confrono PDF % % % % % % PDF % PDF % % % % % % 7 9 % 7 9 G gruppo cenro G gruppo cenro pp, _o fcos, cos, cnz pp, _o fcos, al, cnz % % % % % % PDF % PDF % % % % % % 7 9 % 7 9 G gruppo cenro G gruppo cenro pp, _o fcos, cos, cnz pp, _o fcos, al, cnz % % % % % % PDF % PDF % % % % % % 7 9 % 7 9 G gruppo cenro G gruppo cenro pp, _o fcos, cos, cnz pp, _o fcos, al, cnz Appendce I - pag.

177 G sananea del gruppo alla fne: confrono PDF % % % % % % PDF % PDF % % % % % % 7 9 % 7 9 G gruppo fne G gruppo fne pp, _o fcos, cos, cnz pp, _o fcos, al, cnz % % % % % % PDF % PDF % % % % % % 7 9 % 7 9 G gruppo fne G gruppo fne pp, _o fcos, cos, cnz pp, _o fcos, al, cnz % % % % % % PDF % PDF % % % % % % 7 9 % 7 9 G gruppo fne G gruppo fne pp, _o fcos, cos, cnz pp, _o fcos, al, cnz Appendce I - pag. 9

178 n eda all'sane : confrono pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz n edo 9 7 n edo X X pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz n edo 9 7 n edo X X pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz n edo 9 7 n edo 9 7 X Appendce I - pag. X.E 7

179 Scaro po d n all'sane : confrono pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz.. scaro po d n.. scaro po d n X X pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz.. scaro po d n.. scaro po d n.... X X pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz.. scaro po d n.. scaro po d n.... X Appendce I - pag. X.E 7

180 n edaa su soogrupp san, salva ogn : confrono pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz.. n copac n copac X X pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz.. n copac n copac X X pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz.. n copac n copac X Appendce I - pag. X.E 7

181 Scaro po d n copac soogrupp: san, salva: ogn : confrono pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz.. scaro po d n copac... scaro po d n copac... X X pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz.. scaro po d n copac... scaro po d n copac... X X pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz.. scaro po d n copac... scaro po d n copac... X Appendce I - pag. X.E 7

182 e_cnn eda all'sane : confrono pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz.. e_cnn eda.. e_cnn eda.... X X pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz.. e_cnn eda.. e_cnn eda.... X X pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz.. e_cnn eda.. e_cnn eda.... X Appendce I - pag. X.E 7

183 e_cnn edaa su soogrupp san, salva ogn : confrono pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz e_cnn copac.. e_cnn copac.. X X pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz e_cnn copac.. e_cnn copac.. X X pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz e_cnn copac.. e_cnn copac.. X Appendce I - pag. X.E 7

184 Scaro po d e_cnn copac soogrupp: san, salva: ogn : confrono pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz scaro po d e_cnn copac.. scaro po d e_cnn copac.. X X pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz scaro po d e_cnn copac.. scaro po d e_cnn copac.. X X pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz scaro po d e_cnn copac.. scaro po d e_cnn copac.. X Appendce I - pag. X.E 7

185 g_grupp copac soogrupp: pp, salva: ogn pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz 9 9 g_gruppo_nz 7 g_gruppo_nz 7 9 X X pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz 9 9 g_gruppo_nz 7 g_gruppo_nz 7 9 X X pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz 9 9 g_gruppo_nz 7 g_gruppo_nz 7 X Appendce I - pag. X.E 77

186 g_grupp copac soogrupp: pp, salva: ogn pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz g_gruppo_cenro 9 7 g_gruppo_cenro X X pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz g_gruppo_cenro 9 7 g_gruppo_cenro X X pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz g_gruppo_cenro 9 7 g_gruppo_cenro 9 7 X Appendce I - pag. X.E 7

187 g_grupp copac soogrupp: pp, salva: ogn pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz g_gruppo_fne 9 7 g_gruppo_fne X X pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz 9 9 g_gruppo_fne 7 g_gruppo_fne 7 9 X X pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz 9 9 g_gruppo_fne 7 g_gruppo_fne 7 X Appendce I - pag. X.E 79

188 Scaro po g_grupp copac soogrupp: pp, salva: ogn pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz.. scaro po g_gruppo_nz... scaro po g_gruppo_nz... 9 X X pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz.. scaro po g_gruppo_nz... scaro po g_gruppo_nz... 9 X X pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz.. scaro po g_gruppo_nz... scaro po g_gruppo_nz... X Appendce I - pag. X.E

189 Scaro po g_grupp copac soogrupp: pp, salva: ogn pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz.. scaro po g_gruppo_fne... scaro po g_gruppo_fne... 9 X X pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz.. scaro po g_gruppo_fne... scaro po g_gruppo_fne... 9 X X pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz.. scaro po g_gruppo_fne... scaro po g_gruppo_fne... X Appendce I - pag. X.E

190 Scaro po g_grupp copac soogrupp: pp, salva: ogn pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz.. scaro po g_gruppo_cenro... scaro po g_gruppo_cenro... 9 X X pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz.. scaro po g_gruppo_cenro... scaro po g_gruppo_cenro... 9 X X pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz.. scaro po g_gruppo_cenro... scaro po g_gruppo_cenro... X Appendce I - pag. X.E

191 Energa cneca grupp copac: confrono pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz e_cn_gruppo copac.... e_cn_gruppo copac X X pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz e_cn_gruppo copac.... e_cn_gruppo copac X X pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz e_cn_gruppo copac.... e_cn_gruppo copac.... X Appendce I - pag. X.E

192 Energa cneca grupp copac: confrono pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz e_cn_gruppo copac.... e_cn_gruppo copac X X pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz e_cn_gruppo copac.... e_cn_gruppo copac X X pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz e_cn_gruppo copac.... e_cn_gruppo copac.... X Appendce I - pag. X.E

193 Energa cneca grupp copac: confrono pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz e_cn_gruppo copac.... e_cn_gruppo copac X X Appendce I - pag.

194 Densà edaa su soogrupp san, salva ogn : confrono pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz 7 7 ro copac ro copac 9 X X pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz 7 7 ro copac ro copac 9 X X pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz 7 7 ro copac ro copac X Appendce I - pag. X.E

195 Densà edaa su soogrupp san, salva ogn : confrono pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz 7 7 ro copac ro copac 9 X X pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz 7 7 ro copac ro copac 9 X X pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz 7 7 ro copac ro copac X Appendce I - pag. X.E 7

196 Densà edaa su soogrupp san, salva ogn : confrono pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz 7 7 ro9 copac ro9 copac 9 X X pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz 7 7 ro9 copac ro9 copac 9 X X Appendce I - pag.

197 Scaro po della densà copac soogrupp: san, salva:ogn : confrono pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz scaro po ro copac scaro po ro copac 9 X X pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz scaro po ro copac scaro po ro copac 9 X X pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz scaro po ro copac scaro po ro copac X Appendce I - pag. X.E 9

198 Scaro po della densà copac soogrupp: san, salva:ogn : confrono pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz scaro po ro copac scaro po ro copac 9 X X pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz scaro po ro copac scaro po ro copac 9 X X pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz scaro po ro copac scaro po ro copac X Appendce I - pag. X.E 9

199 Scaro po della densà copac soogrupp: san, salva:ogn : confrono pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz scaro po ro9 copac scaro po ro9 copac 9 X X pp, _o, fcos, cos, cnz pp, _o, fcos, al, cnz scaro po ro9 copac scaro po ro9 copac 9 X X Appendce I - pag. 9

200 Energa cneca grupp eda pp, _o, fcos, al, cnz e_cn_gruppo edo... e_cn_gruppo edo... e_cn_gruppo edo X X X e_cn_gruppo edo... e_cn_gruppo edo... e_cn_gruppo edo X X X e_cn_gruppo7 edo... e_cn_gruppo edo... e_cn_gruppo9 edo X X X Appendce I - pag. 9

201 Energa cneca grupp eda pp, _o, fcos, al, cnz.. e_cn_gruppo edo.... X Appendce I - pag. 9

202 Energa cneca grupp eda pp, _o, fcos, al, cnz e_cn_gruppo edo... e_cn_gruppo edo... e_cn_gruppo edo X X X.. e_cn_gruppo edo.... X Appendce I - pag. 9

203 Energa cneca grupp eda pp, _o, fcos, al, cnz e_cn_gruppo edo... e_cn_gruppo edo... e_cn_gruppo edo X.E X.E X.E.. e_cn_gruppo edo.... X.E Appendce I - pag. 9

204 Energa cneca grupp eda pp, _o, fcos, cos, cnz e_cn_gruppo edo... e_cn_gruppo edo... e_cn_gruppo edo X X X e_cn_gruppo edo... e_cn_gruppo edo... e_cn_gruppo edo X X X e_cn_gruppo7 edo... e_cn_gruppo edo... e_cn_gruppo9 edo X X X Appendce I - pag. 9

205 Energa cneca grupp eda pp, _o, fcos, cos, cnz. e_cn_gruppo edo X Appendce I - pag. 97

206 Energa cneca grupp eda pp, _o, fcos, cos, cnz e_cn_gruppo edo... e_cn_gruppo edo... e_cn_gruppo edo X X X.... e_cn_gruppo edo... e_cn_gruppo edo X X Appendce I - pag. 9

207 Energa cneca grupp eda pp, _o, fcos, cos, cnz e_cn_gruppo edo... e_cn_gruppo edo... e_cn_gruppo edo X X X.. e_cn_gruppo edo.... X Appendce I - pag. 99

208 g_grupp ed e scaro po d g_grupp pp, _o, fcos, al, cnz g_gruppo_nz edo 9 7 scaro po g_gruppo_nz X X g_gruppo_cenro edo 9 7 scaro po g_gruppo_cenro X X 9 g_gruppo_fne edo 7 scaro po g_gruppo_fne X Appendce I - X pag.

209 g_grupp ed e scaro po d g_grupp pp, _o, fcos, al, cnz g_gruppo_nz edo 9 7 scaro po g_gruppo_nz X X g_gruppo_cenro edo 9 7 scaro po g_gruppo_cenro X X 9 g_gruppo_fne edo 7 scaro po g_gruppo_fne X Appendce I - X pag.

210 g_grupp ed e scaro po d g_grupp pp, _o, fcos, al, cnz 9 g_gruppo_nz edo 7 X.E X.E g_gruppo_cenro edo scaro po g_gruppo_nz 9 7 X.E X.E g_gruppo_fne edo scaro po g_gruppo_cenro 9 7 X.E Appendce I - pag. X.E scaro po g_gruppo_fne

211 g_grupp ed e scaro po d g_grupp pp, _o, fcos, cos, cnz g_gruppo_nz edo 9 7 scaro po g_gruppo_nz 9 X 9 X g_gruppo_cenro edo 9 7 scaro po g_gruppo_cenro 9 9 X X 9 g_gruppo_fne edo 7 scaro po g_gruppo_fne 9 X 9 Appendce I - X pag.

212 g_grupp ed e scaro po d g_grupp pp, _o, fcos, cos, cnz g_gruppo_nz edo 9 7 scaro po g_gruppo_nz 9 X 9 X g_gruppo_cenro edo 9 7 scaro po g_gruppo_cenro 9 9 X X 9 g_gruppo_fne edo 7 scaro po g_gruppo_fne 9 X 9 Appendce I - X pag.

213 g_grupp ed e scaro po d g_grupp pp, _o, fcos, cos, cnz g_gruppo_nz edo 9 7 scaro po g_gruppo_nz X X g_gruppo_cenro edo 9 7 scaro po g_gruppo_cenro X X 9 g_gruppo_fne edo 7 scaro po g_gruppo_fne X Appendce I - X pag.

214 Densà eda pp, _o, fcos, cnz, al ro ro ro X X X ro ro ro X X X ro 7 ro ro 9 X X X Appendce I - pag.

215 Densà eda pp, _o, fcos, cnz, al ro X Appendce I - pag. 7

216 Densà eda pp, _o, fcos, cnz, al ro ro ro X X X ro ro ro X X X ro 7 ro ro 9 X X X Appendce I - pag.

217 Densà eda pp, _o, fcos, cnz, al ro ro X X Appendce I - pag. 9

218 Densà eda pp, _o, fcos, cnz, al ro ro ro X.E X.E X.E ro ro X.E X.E Appendce I - pag.

219 Densà eda pp, _o, fcos, cnz, cos ro eda ro eda ro eda X X X ro eda ro eda ro eda X X X ro7 eda ro eda ro9 eda X X X Appendce I - pag.

220 Densà eda pp, _o, fcos, cnz, cos ro eda ro eda X X Appendce I - pag.

221 Densà eda pp, _o, fcos, cnz, cos ro ro ro X X X ro ro ro X X X ro 7 ro ro X X X Appendce I - pag.

222 Densà eda pp, _o, fcos, cnz, cos ro ro ro X X X Appendce I - pag.

223 Densà eda pp, _o, fcos, cnz, cos ro ro ro X X X ro ro ro X X X Appendce I - pag.

224 Scaro po della densà pp, _o, fcos, al, cnz scaro po ro scaro po ro scaro po ro X X X scaro po ro scaro po ro scaro po ro X X X scaro po ro7 scaro po ro scaro po ro9 X X X Appendce I - pag.

225 Scaro po della densà pp, _o, fcos, al, cnz scaro po ro X Appendce I - pag. 7

226 Scaro po della densà pp, _o, fcos, al, cnz scaro po ro scaro po ro scaro po ro X X X scaro po ro scaro po ro scaro po ro X X X scaro po ro7 scaro po ro scaro po ro9 X X X Appendce I - pag.

227 Scaro po della densà pp, _o, fcos, al, cnz scaro po ro scaro po ro X X Appendce I - pag. 9

228 Scaro po della densà pp, _o, fcos, al, cnz scaro po ro scaro po ro scaro po ro X.E X.E X.E scaro po ro scaro po ro X.E X.E Appendce I - pag.

229 Scaro po della densà pp, _o, fcos, cos, cnz scaro po ro scaro po ro scaro po ro X X X scaro po ro scaro po ro scaro po ro X X X scaro po ro7 scaro po ro scaro po ro X X X Appendce I - pag.

230 Scaro po della densà pp, _o, fcos, cos, cnz scaro po ro scaro po ro 9 9 X X Appendce I - pag.

231 Scaro po della densà pp, _o, fcos, cos, cnz scaro po ro scaro po ro scaro po ro X X X scaro po ro scaro po ro scaro po ro X X X scaro po ro7 scaro po ro scaro po ro X X X Appendce I - pag.

232 Scaro po della densà pp, _o, fcos, cos, cnz scaro po ro scaro po ro scaro po ro X X X Appendce I - pag.

233 Scaro po della densà pp, _o, fcos, cos, cnz scaro po ro scaro po ro scaro po ro X X X scaro po ro scaro po ro scaro po ro X X X Appendce I - pag.

234 PROVE DI CARICO Paraer delle sulazon: parcelle Tepo oale u.n. unà naural Forza F cosane Masse alernae Condzon nzal d po Appendce I - pag.

235 n edo pp, _fnale, fcos, al, cnz, equlbro: ecn_eda., ecn_eda9. : confrono forze applcae dverse f. f 7 7 n edo 9 7 n edo X.E X f 7. f 7 7 n edo 9 7 n edo X X f. f 7 7 n edo 9 7 n edo X.E... Appendce I - pag. X.E 7

236 n edo pp, _fnale, fcos, al, cnz, equlbro: ecn_eda., ecn_eda9. : confrono forze applcae dverse f 7. f 7 7 n edo 9 7 n edo X.E.... X.E f. 7 9 n edo X.E Appendce I - pag.

237 n edo pp, _fnale, fcos, al, cnz, equlbro: ecn_eda., ecn_eda9. : confrono forze applcae dverse f. f n edo 9 7 n edo X.E X f 7. f n edo 9 7 n edo X X f. f n edo 9 7 n edo X.E... Appendce I - pag. X.E 9

238 n edo pp, _fnale, fcos, al, cnz, equlbro: ecn_eda., ecn_eda9. : confrono forze applcae dverse f 7. f n edo 9 7 n edo X.E.... X.E f. n edo X.E Appendce I - pag.

239 Scaro po d n pp, _fnale, fcos, al, cnz, equlbro: e_cn_rf., e_cn_rf. : confrono forze applcae dverse f. f.. scaro po d n.. scaro po d n.... X X f 7. f.. scaro po d n.. scaro po d n.... X X f. f.. scaro po d n.. scaro po d n X.E.... Appendce I - pag. X.E

240 Scaro po d n pp, _fnale, fcos, al, cnz, equlbro: e_cn_rf., e_cn_rf. : confrono forze applcae dverse f 7. f.. scaro po d n.. scaro po d n X.E X.E f.. scaro po d n X.E Appendce I - pag.

241 n copac pp, _fnale, fcos, al, cnz, equlbro: ecn_eda., ecn_eda9. : confrono forze applcae dverse f. f 9 9 n copac 7 9 n copac X X f 7. f 9 9 n copac 7 9 n copac X X f. f 9 9 n copac 7 9 n copac X.E.... Appendce I - pag. X.E

242 n copac pp, _fnale, fcos, al, cnz, equlbro: ecn_eda., ecn_eda9. : confrono forze applcae dverse f 7. f 9 9 n copac 7 9 n copac X.E X.E f. 9 n copac X.E Appendce I - pag.

243 APPEDICE II: Rsula caso d non-equlbro Paraer delle sulazon: parcelle Tepo oale u.n. unà naural Forza cosane F u.n. Masse alernae Condzon nzal d po,, Appendce II - pag.

244 VARIAZIOE DEI K RIF Cosan d rlassaeno : θ θ u.n. Appendce II - pag.

245 n edo _fnale, pp, fcos, al, cnz : confrono equlbro-dsequlbro Equlbro ecn_eda_., ecn_eda_9. v_rf., v_rf. ecn_rf_., ecn_rf_.7 n edo 9 7 n edo 9 7 X X v_rf., v_rf. ecn_rf_.9, ecn_rf_.7 v_rf., v_rf. ecn_rf_.7, ecn_rf_. n edo 9 7 n edo 9 7 X... X.E v_rf, v_rf ecn_rf_., ecn_rf_.7 v_rf, v_rf ecn_rf_, ecn_rf_.7 n edo 9 7 n edo X.E X Appendce II - pag. 7

246 n edo pp, _fnale, al, cnz : confrono equlbro / dsequlbro Equlbro ecn_eda_., ecn_eda_9. n edo 9 7 X ecn_rf, ecn_rf. ecn_rf., ecn_rf. n edo 9 7 n edo X.E X.E ecn_rf., ecn_rf ecn_rf., ecn_rf. n edo 9 7 n edo X.E Appendce II - pag. X.E

247 n edo all'sane pp, _fnale, fcos, al, cnz : confrono equlbro-dsequlbro Equlbro ecn_eda_., ecn_eda_9. ecn_rf., ecn_rf. ecn_rf., ecn_rf. 9 n edo 7 n edo 9 7 n edo X X.E X.E ecn_rf, ecn_rf. ecn_rf., ecn_rf ecn_rf.7, ecn_rf.7 9 n edo 9 7 n edo 9 7 n edo 7 X X X ecn_rf, ecn_rf. ecn_rf., ecn_rf ecn_rf, ecn_rf n edo 9 7 n edo 9 7 n edo X.E X.E X Appendce II - pag. 9

248 n edo all'sane pp, _fnale, fcos, al, cnz : confrono equlbro-dsequlbro Equlbro ecn_eda_., ecn_eda_9. 9 n edo 7 X ecn_rf., ecn_rf.7 ecn_rf.7, ecn_rf. 9 9 n edo 7 n edo 7 X X ecn_rf., ecn_rf.7 ecn_rf.7, ecn_rf. 9 9 n edo 7 n edo X.E X.E Appendce II - pag.

249 n edo all'sane pp, _fnale, fcos, al, cnz : confrono equlbro-dsequlbro Equlbro ecn_eda_., ecn_eda_9. k_rf., k_rf. ecn_rf., ecn_rf. n edo 9 7 n edo 9 7 X X k_rf., k_rf. ecn_rf., ecn_rf. k_rf., k_rf. ecn_rf., ecn_rf. n edo 9 7 n edo 9 7 X.E X.E Appendce II - pag.

250 Scaro po d n all'sane _fnale, pp, fcos, al, cnz : confrono equlbro-dsequlbro Equlbro ecn_eda_., ecn_eda_9. v_rf., v_rf. ecn_rf_., ecn_rf_.7.. scaro po d n.. scaro po d n.... X X v_rf., v_rf. ecn_rf_.9, ecn_rf_.7 v_rf., v_rf. ecn_rf_.7, ecn_rf_... scaro po d n.. scaro po d n.... X... X.E v_rf, v_rf ecn_rf_., ecn_rf_.7 v_rf, v_rf ecn_rf, ecn_rf.7.. scaro po d n.. scaro po d n X.E X Appendce II - pag.

251 Scaro po d n all'sane _fnale, pp, fcos, al, cnz : confrono equlbro-dsequlbro Equlbro ecn_eda_., ecn_eda_9. v_rf., v_rf. ecn_rf_., ecn_rf_.7.. scaro po d n.. scaro po d n.... X X v_rf., v_rf. ecn_rf_.9, ecn_rf_.7 v_rf., v_rf. ecn_rf_.7, ecn_rf_... scaro po d n.. scaro po d n.... X... X.E v_rf, v_rf ecn_rf_., ecn_rf_.7 v_rf, v_rf ecn_rf, ecn_rf.7.. scaro po d n.. scaro po d n X.E X Appendce II - pag.

252 Scaro po n all'sane _fnale, pp, fcos, al, cnz : confrono equlbro-dsequlbro Equlbro ecn_eda_., ecn_eda_9.. scaro po d n... X ecn_rf., ecn_rf ecn_rf, ecn_rf... scaro po d n.. scaro po d n X.E... X.E ecn_rf., ecn_rf. ecn_rf., ecn_rf... scaro po d n.. scaro po d n X.E..... X.E Appendce II - pag.

253 Scaro po d n edo pp, _fnale, fcos, al, cnz : confrono equlbro-dsequlbro Equlbro ecn_eda_., ecn_eda_9. ecn_rf., ecn_rf. ecn_rf., ecn_rf scaro po d n. scaro po d n. scaro po d n X X.E X.E ecn_rf, ecn_rf. ecn_rf., ecn_rf ecn_rf.7, ecn_rf scaro po d n. scaro po d n. scaro po d n.... X X X ecn_rf, ecn_rf. ecn_rf., ecn_rf ecn_rf, ecn_rf scaro po d n. scaro po d n. scaro po d n X.E X.E Appendce II - pag. X.E

254 Scaro po d n edo pp, _fnale, fcos, al, cnz : confrono equlbro-dsequlbro Equlbro ecn_eda_., ecn_eda_9... scaro po d n.. X ecn_rf., ecn_rf.7 ecn_rf.7, ecn_rf..... scaro po d n. scaro po d n... X X ecn_rf., ecn_rf.7 ecn_rf.7, ecn_rf..... scaro po d n. scaro po d n X.E X.E Appendce II - pag.

255 Energa cneca gruppo eda _fnale, pp, fcos, al, cnz : confrono equlbro-dsequlbro Equlbro ecn_eda_., ecn_eda_9. v_rf., v_rf. ecn_rf., ecn_rf.7.. e_cn_gruppo eda..... e_cn_gruppo eda..... X X v_rf., v_rf. ecn_rf.9, ecn_rf.7 v_rf., v_rf. ecn_rf.7, ecn_rf... e_cn_gruppo eda..... e_cn_gruppo eda..... X... X.E v_rf, v_rf ecn_rf., ecn_rf.7 v_rf, v_rf ecn_rf, ecn_rf.7.. e_cn_gruppo eda..... e_cn_gruppo eda X.E X Appendce II - pag. 7

256 Energa cneca gruppo9 eda _fnale, pp, fcos, al, cnz : confrono equlbro-dsequlbro Equlbro ecn_eda_., ecn_eda_9. v_rf., v_rf. ecn_rf., ecn_rf.7.. e_cn_gruppo9 eda..... e_cn_gruppo9 eda..... X X v_rf., v_rf. ecn_rf.9, ecn_rf.7 v_rf., v_rf. ecn_rf.7, ecn_rf... e_cn_gruppo9 eda..... e_cn_gruppo9 eda..... X... X.E v_rf, v_rf ecn_rf., ecn_rf.7 v_rf, v_rf ecn_rf, ecn_rf.7.. e_cn_gruppo9 eda..... e_cn_gruppo9 eda X.E X Appendce II - pag.

257 VARIAZIOE DELLE COSTATI DI RILASSAMETO θ e.,. 7 cn RIF _ e K rf cosan cn RIF _ Appendce II - pag. 9

258 n edo all'sane _fnale, pp, fcos, al, cnz, v_rf., v_rf. : confrono equlbro-dsequlbro Equlbro ecn_eda_., ecn_eda_9. hea., hea. n edo 9 7 n edo 9 7 X X hea., hea. hea., hea. n edo 9 7 n edo 9 7 X X hea, hea hea, hea n edo 9 7 n edo 9 7 X X Appendce II - pag.

259 n edo all'sane _fnale, pp, fcos, al, cnz, v_rf., v_rf. : confrono equlbro-dsequlbro Equlbro ecn_eda_., ecn_eda_9. hea., hea hea, hea n edo 7 n edo 7 n edo 7... X X X.E hea, hea. hea, hea. hea, hea n edo 7 n edo 7 n edo X.E X.E X hea., hea hea., hea hea., hea n edo 7 n edo 7 n edo 7 X X X Appendce II - pag.

260 Scaro po d n pp, _fnale, fcos, al, cnz, equlbro: v_rf., v_rf. : confrono equlbro-dsequlbro Equlbro ecn_eda_., ecn_eda_9. hea., hea... scaro po d n.. scaro po d n.... X X hea., hea. hea., hea... scaro po d n.. scaro po d n.... X X hea, hea hea, hea.. scaro po d n.. scaro po d n.... X Appendce II -X pag.

261 PROVE DI CARICO Paraer delle sulazon: parcelle Tepo oale u.n. unà naural Forza F cosane Masse alernae Condzon nzal d po e. 9,. cn RIF _ e K rf cosan cn RIF _ Cosan d rlassaeno : θ θ u.n. Appendce II - pag.

262 n edo pp, _fnale, fcos, al, cnz, equlbro: v_rf., v_rf. : confrono forze applcae dverse f. f 7 7 n edo 9 7 n edo X X f 7. f 7 7 n edo 9 7 n edo X.E... X.E f. f 7 7 n edo 9 7 n edo X.E Appendce II - pag. X.E

263 n edo pp, _fnale, fcos, al, cnz, equlbro: v_rf., v_rf. : confrono forze applcae dverse f 7. f 7 7 n edo 9 7 n edo X.E X.E f. 7 n edo X.E Appendce II - pag.

264 Scaro po d n pp, _fnale, fcos, al, cnz, dsequlbro: v_rf., v_rf. : confrono forze applcae dverse f. f scaro po d n scaro po d n 7 X X f 7. f scaro po d n scaro po d n X.E X f. f scaro po d n scaro po d n... X.E.... Appendce II - pag. X.E

265 Scaro po d n pp, _fnale, fcos, al, cnz, dsequlbro: v_rf., v_rf. : confrono forze applcae dverse f 7. f scaro po d n scaro po d n..... X.E X.E f. scaro po d n X.E Appendce II - pag. 7

266 n copac pp, _fnale, fcos, al, cnz, v_rf., v_rf. : confrono forze applcae dverse f. f 9 9 n copac 7 9 n copac X X f 7. f 9 9 n copac 7 9 n copac X.E X f. f 9 9 n copac 7 9 n copac X.E Appendce II - pag. X.E

267 n copac pp, _fnale, fcos, al, cnz, v_rf., v_rf. : confrono forze applcae dverse f 7. f 9 9 n copac 7 9 n copac X.E X.E f. 9 n copac X.E Appendce II - pag. 9