POLITECNICO DI TORINO

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1 POLITECICO DI TORIO Facolà d Ingegnera I Corso d Laurea n Ingegnera Meccanca Tes d Laurea Modell croscopc per vbrazon n sse eccanc all equlbro e non Relaor : Prof. Labero Rondon Prof. Govann Rocca Canddaa: Laura Srcker Oobre

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3 A e genor

4 Rngrazaen */The research leadng o hese resuls has receved fundng fro he European Research Councl under he European Couny's Sevenh Fraework Prograe FP7/7- / ERC Gran Agreeen n.. The EC s no lable for any use ha can be ade of he nforaon conaned heren. S rconosce l conrbuo della European Reserach Councl nell'abo del seo prograa quadro della Couna' Europea, ERC Gran Agreeen n.. La Counà Europea non e' responsable per l'uso che porà esser fao delle nforazon conenue nella es.

5 SOMMARIO Il presene lavoro s propone d sudare un odello seplfcao per l evoluzone dnaca d un ssea d parcelle n condzon d equlbro e d non equlbro, edane l pleenazone d un sulaore sofware n lnguaggo Forran 9. Il odello pegao raffgura una sbarra lbera d oscllare ad un esreà e vncolaa dall alra ad una paree, consderandola coe un nsee undensonale d parcelle rgde e punfor, soggee a legg del oo reversbl e a collson bnare sananee perfeaene elasche. Le condzon d equlbro vengono realzzae edane l applcazone d una forza conservava cosane sulla parcella suaa all esreo lbero, rproducendo con queso ssea sa la forza d coesone della sbarra, sa l effeo della pressone aosferca esercaa dall abene crcosane. Le condzon d dsequlbro vengono nvece realzzae aggungendo al ssea n equlbro due erosa d osè-hoover, collocandol su due sole parcelle, rspevaene all nzo e alla fne della sbarra. el caso d equlbro s sono deerna valor d alcune propreà colleve acroscopche e croscopche del ssea lunghezza, densà lneare, energa cneca specfca, energa cneca eda per parcella, poszone del barcenro d grupp d conrollo sua n poszon dverse della sbarra. Sono sae effeuae pù sulazon, varando nuero d parcelle, condzon nzal, dsrbuzone delle asse e forze applcae. el caso del dsequlbro c s è concenra prncpalene sulle oscllazon della lunghezza della sbarra, cercando d evdenzare la loro dpendenza da paraer caraersc de erosa. Il odello presena un elevao lvello d seplfcazone, a peree counque d eere n rsalo gl aspe qualav pù sgnfcav del problea ed è perano neso coe sudo prelnare per l anals delle oscllazon dovue a ruore erco presen nel rlevaore AURIGA d onde gravazonal, nell'abo del seo prograa quadro della Counà Europea, ERC Gran Agreeen n..

6 ITRODUZIOE... Equlbro e dsequlbro... Tp d equlbro... Tp d rasforazon... Meccanca sasca... Modell... Poenzale d Lennard-Jones... 9 Modello d Fer-Pasa-Ula FPU... Defnzon... Tp d enseble... Ergodcà... Osservabl... Flusso... Bagn erc... Bagn socasc... Bagn deernsc... Applcazone d un capo eserno a ua la caena d parcelle... Confrono ra eod dvers... 7 Ressenze alle esreà... 9 I rlevaor d onde gravazonal... Le onde gravazonal... Sorgen d onde gravazonal... Rlevaor d onde gravazonal... Probleaca affronaa con l presene sudo... MODELLO...7 Collsone elasca... Caso d equlbro... Equazon del oo... Caso d dsequlbro... Terosa : pologe... Terosao d osè - Hoover... Terosao d osè - Hoover seplfcao... Proble del erosao d osè-hoover e loro soluzone Soluzon... Equazon del oo delle parcelle erosaae osè-hoover seplfcao... Quanà d oo p... Velocà &... Poszone... Rassuno equazon del oo... Equazon delle collson... 9 Dnaca delle parcelle erosaae... Terosao... Terosa e... - Velocà dscord Velocà concord:... 7

7 EQUILIBRIO...7 Flowchar generale... 7 Flowchar dnaca delle parcelle... 7 Inzalzzazone... 7 Ie_paraer... 7 Cdz_nzal... 7 Apr_fle, Apr fle_propreà, Apr _fle_propreà_ppn... 7 Dnaca delle parcelle... 7 Trova_dcoll... 7 Gesone_collsone... Sposa_pp_collsone... Trova_v_pra_coll_pp_collsone... Conrollo_collsone... Corregg_dcoll... Salva_prev... Verfca_coll... Corregg_d... Sposa_pp_... Trova_v_pra_coll_... Trova_v_dopo_coll... Trova_eo... Conroll sulle poszon delle parcelle... 7 Conrollo_copeneraz... 7 Conrollo_n... 7 Salva_prec... Conroll sulla conservazone dell energa e rnoralzzazone... Rnoralzza_v... Salva_rf_nor... 9 Propreà colleve... 9 Valor sanane... 9 Trova_n_nervall... 9 Trova_densà... 9 Trova_e_cn_grupp_... 9 Trova_g_gruppo... 9 Valor ed e scar po nel epo Trova_oen_ed_dn Trova_eda_dn Trova_oen_ed_dn_... Trova_eda_dn_... Trova_varanza_dn... Trova_scaro_po_dn... Trova_varanza_dn_... Trova_scaro_po_dn_... Salva_prec_ed... Trova_pdf_dn... Trova_pdf_dn_... Gesone_copac_begn... Trova_propreà_copac... Trova_propreà_ppn_copac... Gesone_copac_end... Oupu su schero e su fles... Scrv_oupu... Gesone_salvaaggo... Salvaaggo... 7 Salvaaggo_propreà... 7 Salvaaggo_propreà_ppn... 7 Salvaaggo_pdf_propreà, Salvaaggo_pdf_ppn... 7

8 Chud_fle, Chud_fle_propreà, Chud_fle_propreà_ppn... 7 DISEQUILIBRIO... Flowchar generale... Flowchar dnaca delle parcelle... 9 Dnaca delle parcelle... Trova_dcoll_ecceo_erosa... Gesone_collsone_ecceo_erosa... Trova_dcoll_erosa... Trova_cosane_a_ero... Verfca_coll_ero_ver... Sposa_progressva_pp_erosao... 7 Sposa_adacen_ero_... Conrollo_copeneraz_ero... Conrollo_copeneraz_ero_... Raffna_dcoll_ero_con_bsez... 9 Gesone_collsone_erosa_... Sposa_pp_... Trova_v_pra_coll_... Trova_v_dopo_coll... Conroll sulle poszon delle parcelle... Conrollo_copeneraz... RISULTATI... Equlbro... Propreà surae... Paraer delle sulazon effeuae... Adeguaezza del odello adoao... - Convergenza d eda e devazone sandard... - Coporaeno croscopco e acroscopco Gaussanà del ruore presene sugl osservabl... - Mgloraeno del odello all auenare del nuero d parcelle... - Sablà della dnaca... - Dsrbuzone della densà lungo la sbarra Curva sforzo-deforazone... 9 Dsequlbro... Faor che nfluenzano l valore edo e lo scaro po fnal della lunghezza della sbarra... Faor che nfluenzano la velocà d convergenza ad uno sao sazonaro... Influenza della eperaura sulle curve d carco... 7 COCLUSIOI...9 BIBLIOGRAFIA... APPEDICI...

9 ITRODUZIOE Equlbro e dsequlbro In Terodnaca s sudano le rasforazon de sse fsc acroscopc, dove per rasforazone s nende l cabaeno delle caraersche del ssea al passare del epo. In parcolare, la Terodnaca dell'equlbro suda l cabaeno de sse ra sa d equlbro, coè sa che, lasca perurba, resano ua nel epo. Un ssea s dce nfa n equlbro erodnaco se, allo scorrere del epo, ue le coordnae erodnache ndpenden e dpenden sono cosan [] S ha l'equlbro erodnaco d un ssea quando sono coneporaneaene verfcae le condzon d equlbro chco, eccanco e erco. - L'equlbro chco s ha qualora non v sano pù reazon chche e la quanà d aera nelle vare par non u pù nel epo. - L'equlbro eccanco s ha qualora la pressone e l volue non cabano nel epo - L equlbro erco s ha qualora la eperaura non presen varazon nel epo. La condzone d equlbro erodnaco d un corpo non plca che pressone, densà e eperaura sano unfor al suo nerno [] Feynan dava la seguene defnzone d equlbro erco: Un ssea s dce n equlbro erco se è accoppao olo debolene a un serbaoo d calore a una daa 'eperaura', se l'accoppaeno è ndefno o non precsaene noo, se l'accoppaeno è sao presene a lungo, e se ue le cose 'veloc' sono gà successe e ue quelle 'lene' non lo sono ancora. Quesa defnzone convolge dvers poran aspe:. Il ssea è accoppao con un solo serbaoo d calore o al le può essere solao.. L'accoppaeno è debole e non precsaene specfcao: s rchede coè che la naura dell'accoppaeno non nflusca sulle propreà osservae del ssea erodnaco.. La dsnzone fra le cose 'veloc' e quelle 'lene' copora la necessà d defnre una scala d ep d'osservazone, su cu le propreà del ssea non cabano n anera vsosa. La quesone d che cosa sa un "serbaoo d calore" vene po rsola un po' crcolarene dcendo che s raa d un ssea erodnaco all'equlbro secondo quesa defnzone, abbasanza grande rspeo al ssea che s vuole sudare, e la cu naura precsa non deve nflure su rsula per l puno.

10 S può eere un ssea n uno sao sazonaro ossa uno sao n cu le propreà del ssea sono ndpenden dal epo d non equlbro eendolo n conao con pù d'un serbaoo d calore o d aera o d'alro. Per esepo, se una barra eallca vene essa n conao a un'esreà con un serbaoo d calore alla eperaura T e all'alra con uno alla dfferene eperaura T, essa andrà abbasanza veloceene n uno sao sazonaro, n cu la eperaura vara lnearene fra T e T quando c s sposa lungo la barra. La caraersca del genuno equlbro erco è che le propreà del ssea non varano se lo s sola dal serbaoo d calore e lo s lasca lbero d evolvere; nvece, se s sola la barra dalle sue sorgen, essa enderà a uno sao con eperaura unfore, nereda fra T e T. Il problea cenrale della erodnaca classca è quello d predre le propreà dello sao d equlbro che vene ragguno da un ssea coposo, cosuo da soosse d cu sa noo lo sao d equlbro nzale, quando ques sse vengono ess a conao. Possao agnare quesa "essa n conao" coe la rozone de vncol che pedscono lo scabo d quanà fsche coe l'energa, l nuero d parcelle, la carca ecc. fra soosse. S può perano vedere lo sao nzale coe uno sao d equlbro che s anene ale fnché s preservano vncol e dvena uno sao d non equlbro quando vncol sono ross. Gl sa vrual sono u gl sa d'equlbro del ssea coposo copabl con vncol. La legge fondaenale della erodnaca denfca coe sao d'equlbro quello, fra u gl sa vrual, cu corrsponde l valore asso dell'enropa. In quesa forulazone srea, la erodnaca s occupa solo d sa d'equlbro. C sono sa dvers enav d esendere la erodnaca a sa d non equlbro c'è una dscplna chaaa "Terodnaca de process rreversbl", soprauo a sa vcn a sa d'equlbro, o perché n condzon d equlbro locale, o perché fluss d energa, d carca che percorrono l ssea sono pccol, n qualche senso defnble. Quese eore rchedono però d esendere la base assoaca della erodnaca, e non ne hanno la generalà. Perano, nella Meccanca Sasca, aera che s occupa d spegare fenoen del ondo acroscopco a parre dalle legg che governano l croscopo, s sa cercando d rovare coporaen unversal ne sse d non equlbro, caraerzza n parcolare o da un'evoluzone lena ver o da condzon sazonare.

11 Tp d equlbro Essono dvers p d propreà d equlbro S defnsce equlbro vero e propro lo sao d un ssea che resa nalerao nel epo se non vene perurbao. In parcolare, sse n naura presenano equlbr sabl, che vengono coè recupera quando l ssea vene debolene perurbao. Per sse erodnac l'equlbro s realzza quando valor de paraer nensv per esepo pressone, eperaura e densà nel caso d un gas sono ugual n ogn puno del ssea e ugual a valor dell'abene crcosane. Per ale ovo quesa condzone d equlbro è anche chaaa esoequlbro. S parla d endoequlbro quando paraer nensv presenano valor ugual n ogn puno del ssea, a dvers da quell dell'abene crcosane. S pens ad esepo al caso d una casa rscaldaa anenua alla eperaura d C, enre l'eserno è a C. Uno sao del genere può essere preservao uao solo edane l azone drea d una acchna erca nell esepo della casa, c'è l ssea d rscaldaeno: n al caso s parla d sao sazonaro d non equlbro. Qualora non v sa nvece l azone drea d una acchna erca, con l passare del epo paraer nensv del ssea cabano fno ad allnears con quell dell'abene eserno. Ques sa possono essere descr edane equazon d sao, coe quell d equlbro vero e propro e, d fao, solo un'anals eserna al ssea nerene coè gl scab d energa con l'abene può pereerc d dsnguere uno sao d endoequlbro da uno d esoequlbro. Ogn sao d esoequlbro è anche d endoequlbro a non è sepre vero l vceversa. S parla d equlbro locale quando paraer nensv non sono ugual ne dvers pun del ssea, a norno ad ogn puno s resce ad ndvduare un volue abbasanza pccolo da poer essere consderao n endoequlbro, a abbasanza grande da conenere un nuero elevao sascaene sgnfcavo d cosuen croscopc ao, olecole, parcelle, ecc.. Un esepo è una sanza n cu v sano de recpen conenen acqua calda e alr conenen ghacco. In al caso la eperaura coplessva non è defna, a s può parlare d eperaura locale, relava a cascun puno della sanza. Anche n queso caso lo sao d non equlbro può essere anenuo arfcalene: lascao a sé sesso l ssea evolverà nfa verso l'equlbro. on esse un'equazone d sao che valga per uo l ssea, a essa può essere applcaa a cascun volueo separaaene. Ogn sao d endoequlbro è anche n equlbro locale, a non è vero l vceversa. Da rsula sperenal e d sulazone nuerca s vede che, nella aggoranza de cas consdera fno a gorn nosr, anche parendo da sse che non soddsfano neanche la condzone d equlbro locale, ques'ulo vene ragguno n ep alene brev de ep d rlassaeno da pereerc d afferare ragonevolene che ogn ssea naurale s rova necessaraene n uno de re sa appena descr, senza uleror alernave.

12 Ogg, con lo svluppo delle nano e bo-ecnologe, queso panoraa sa gradualene uando e fenoen che esulano dalla descrzone erodnaca classca nzano ad essere osserva e copres. Tp d rasforazon ell'abo delle rasforazon ra sa d equlbro, la Terodnaca s occupa n parcolare delle cosddee rasforazon quas sache, ossa quelle n cu l ssea s rova, sane per sane, n condzon d endoequlbro. Solo una rasforazone olo lena rspeo a ep d rlassaeno può pereere ad un ssea d anenere oogene nel suo volue valor de paraer nensv. Se, olre alla condzone d endoequlbro, s realzza anche, sane per sane, quella d esoequlbro, la rasforazone può avere luogo n enrab vers e s parla perano d rasforazone reversble: poché nfa ogn sao neredo è nvarane se non perurbao, edane perurbazon nfnese possao decdere n che drezone far evolvere l uo. Le rasforazon reversbl rsulano d parcolare neresse poché u gl sa nered sono analogh a sa d equlbro uable e possono qund essere faclene descr usando poch paraer, coe avvene per ue le rasforazon quas sache. Esse possono nolre essere usae per calcolare la varazone d enropa, coè d dsordne, ra due sa d equlbro, anche se ques due sa sono n realà collega da una rasforazone non reversble. Una rasforazone rreversble è charaene una rasforazone non reversble e queso sgnfca che, durane la rasforazone, l ssea araversa sa d endoequlbro a non esoequlbro o d equlbro locale a non endoequlbro o addrura sa senza alcuna fora d equlbro Dal puno d vsa acroscopco la dfferenza è quesa, coè la presenza d dfferenze ne paraer nensv ra ssea e abene o addrura all'nerno dello sesso ssea. Se uava andao ad analzzare cosa accade all'enropa, vedao che le dfferenze crescono enoreene. Sappao che la varazone d enropa ra uno sao d equlbro ed un alro d un ssea è daa dall'negrale d Clausus eseguo su una qualunque rasforazone reversble che collegh lo sao nzale A a quello fnale B e n cu T è la eperaura dell'oggeo con cu s scaba la quanà d calore δ Q. Voglao analzzare cosa accade all'enropa oale ssea abene ne dvers p d rasforazone. In generale la varazone d enropa oale è daa dalla varazone d enropa del ssea soaa a quella dell'abene

13 In una rasforazone reversble la varazone d enropa è faclene calcolable usando propro la rasforazone n esae, essendo essa reversble. Il ssea e l'abene sono alla sessa eperaura, gl unc scab d calore che avvengono sono ra ssea e abene ed ess sono nauralene sepre ugual a d segno opposo perché uno de due cede enre l'alro assorbe. Qund l'negrale d Clausus per l ssea e quello per l'abene hanno l'negrando, passo per passo, uguale n odulo ed opposo n segno. Alla fne qund le varazon d enropa dell'abene e del ssea saranno ugual e oppose n segno. L'enropa oale dell'unverso non è cabaa. Se s resce a copere un cclo d rasforazon reversbl sa l ssea che l'abene ornano nello sao nzale. In una rasforazone quas saca non reversble le cose vanno un po' dversaene, perché savola ssea e abene non sono n equlbro ra loro e qund non s può usare la sessa rasforazone fza per calcolare le due varazon d enropa. A olo eseplfcavo, consderao un pezzo d eallo caldo che s raffredda lenaene, anenendo perano una eperaura oogenea all nerno del suo volue, fno a raggungere la eperaura abene, consderaa uable nel epo. Ques assunzone rsula ragonevole se s consdera che le elevae denson dell abene eserno non consenono che la sua eperaura s odfch n conseguenza degl scab d calore con l eallo. Per calcolare la varazone d enropa del eallo usao una rasforazone n cu l eallo sa a conao con un erosao che lenaene gl sorae calore, ranendo sepre n equlbro con esso, e porandolo dalla eperaura nzale a quella dell'abene. L'negrale d Clausus per l ssea è qund dao dalla soa d ane frazon, cascuna con un denonaore dverso, dal oeno che la eperaura vara ad ogn passo della rasforazone. D'alra pare, per calcolare la varazone d enropa dell'abene, consderao una rasforazone n cu l'abene assorbe calore da un erosao suao alla sua sessa eperaura. A dfferenza d quano avvenva con l eallo, l'negrale d Clausus dell'abene è dao dalla soa d ane frazon aven ue l edeso denonaore, poché la eperaura resa cosane ad ogn passo della rasforazone. I nueraor sono nvece ugual e oppos n segno rspeo a quell del eallo, perché anche n queso caso uno de due l'abene assorbe uo l calore ceduo dall'alro l eallo. Da quese consderazon rsula evdene che l'negrando per l'abene è sepre nuercaene pù grande dell'negrando per l eallo e qund, anche se ques'ulo è negavo, la varazone d enropa dell'abene sarà nuercaene pù grande d quella del eallo. In alre parole la dnuzone d enropa del eallo non è suffcene a copensare l'aueno d enropa dell'abene, dunque l'enropa oale dell'unverso è auenaa. S oene lo sesso rsulao se s consdera l processo speculare d un oggeo pù freddo dell'abene che s rscalda sponaneaene. Generalzzando possao dre che, copendo un cclo d rasforazon quas sache rreversbl, l ssea orna nello sao nzale per defnzone d cclo e qund la sua enropa non deve varare. Dovendo però auenare l enropa oale, necessaraene sarà auenaa quella dell'abene, che non rornerà perano nello sao nzale. In una rasforazone rreversble n cu l ssea non è neanche n endoequlbro, a solo n equlbro locale, nuovaene s nsaurano process rreversbl ra ssea e abene

14 a savola anche ra par dverse all'nerno del ssea. Abbao qund una suazone sle a quella descra sopra con la dfferenza che l'aueno dell'enropa non va valuao solo consderando gl scab d calore ra ssea e abene a anche gl scab d calore ra dvers volue n cu è necessaro suddvdere l ssea per poer defnre paraer nensv local. Tuo cò copora un aueno dell'enropa dell'unverso aggore che nel caso precedene. Coe pra, un cclo d rasforazon rreversbl non quas sache rpora l ssea nello sao nzale, enre l'abene caba sao avendo auenao la propra enropa. Queso può sebrare srano perché, nel caso n quesone, l'enropa vene prodoa anche all'nerno del ssea, a l abguà vene rsola se s consdera che l surplus d enropa prodoa vene counque scarcao nell'abene da process nern che rporano l ssea nello sao nzale. L'anals d ques ul due cas c fa dunque capre che ogn processo rreversble produce nuova enropa che s va ad aggungere a quella gà essene nell'unverso. Menre la dnuzone d enropa d un ssea può avvenre nfa solo per ravaso della sua enropa n un alro ssea, l'aueno dell'enropa può avvenre anche per la creazone d alra enropa: è queso che genera l connuo aueno dell'enropa oale e deerna la frecca erodnaca del epo. [] Meccanca sasca Uno de prncpal scop degl sud d Meccanca Sasca neren l non-equlbro è la dervazone delle legg che regolano fenoen acroscopc nelle rasforazon erodnache rreversbl, a parre da seplc odell croscopc. L approcco acroscopco a fenoen d non-equlbro è basao essenzalene sulla defnzone de coeffcen d rasporo per ezzo delle equazon cosuve. Se s pozza d essere suffceneene vcn all equlbro globale, nell esprere al defnzon s posula generalene la proporzonalà ra fluss e le forze erodnache []. Per esepo, quando abbao a che fare con l rasporo d energa n un soldo, s defnsce la conduvà κ usando la legge d Fourer: J Q κ T. Dove: J Flusso d calore Q, T, Teperaura locale

15 L equazone. vale vcno all equlbro. Pù precsaene, la defnzone del flusso d energa locale J Q, e d capo d eperaura T, s basa sull poes d equlbro locale, ossa sulla possblà d defnre una eperaura locale per un volue acroscopcaene pccolo a croscopcaene grande n ogn puno, per ogn sane. Lo scopo ulo d una eora coplea sarebbe quello d dervare un equazone po., parendo dalla conoscenza delle legg che regolano l coporaeno de coponen croscopc de sse d neresse. Tale obevo appare uora dffclene raggungble, anche se dvers sono sa enav d dare fondaeno croscopco alla legge d Fourer. S rcordno, n ero, classc sud condo da Debye e da Peerls Da un puno d vsa conceuale, c sono counque doande d base che vanno al d là del calcolo del coeffcene d rasporo. Per esepo, soo quale condzone s realzza l equlbro locale? Possao asscurare che essa un unco sao sazonaro d non-equlbro raggungble su scale d epo fscaene accessbl? A queso proposo, odell aeac seplc sono un valdo srueno eorco per fornre un fondaeno alla eora della conduvà del calore e per capre eglo le poes su cu s basa la. anche se, da un puno d vsa aeacaene rgoroso, l problea rane uora apero []. In ancanza d esep rsolvbl analcaene, è uava possble sudare ol d ques aspe sulla base d sulazon nuerche. oralene, per esgenze d seplcà, s sudano odell d ao punfor ad una o due denson, che neragscono con quell adacen edane forze non lnear. La speranza è quella d rprodurre realscaene le propreà erodnache de loro corrspev rdensonal, senza aver bsogno d fare rfereno a sruure specfche. Queso conduce alla seguene doanda: qual sono requs n perché un odello dnaco soddsf l equazone.? Queso argoeno, oggeo d dbao n leeraura sn dagl ann, non ha ancora rcevuo una rsposa defnva. Da allora, ol sono sa rsula nuerc prodo n ero, alvola anche conrasan e spesso nerprea erroneaene. In passao nfa, n assenza d un adeguaa cornce generale eorca, c era la endenza ad enfazzare eccessvaene l ruolo del caos deernsco nel garanre un norale rasporo del calore, enre n seguo s è charo che, pur essendo l ergodcà plcaa dalle dnache caoche una condzone necessara per consenre la dffusone dell energa, essa non è counque una condzone suffcene, coe s reneva dec ann fa [] S defnsce ergodco un processo sasco quando una sua raeora passa per u gl sa possbl del ssea d neresse. Quando queso avvene, le ede eporal concdono con le ede d nsee Coe rsapuo anche dalla dnaca de flud, un gran nuero d dffcolà nasce dal fao che coeffcen d rasporo ne odell a poche denson possono non essere del uo e queso plca l possblà d descrvere fenoen edane sol odell drodnac. el nosro coneso, ossa nel coneso soldo, queso s anfesa solaene con : - Un leno decadeno delle correlazon d equlbro del flusso d calore - Una dvergenza della conduvà legaa a denson fne κ,t, nel le erodnaco d, dove è l nuero d ao del capone 7

16 Un alro argoeno che era aenzone è l accoppaeno con bagn erc, poché è solano dopo aver opporunaene defno l nerazone ra l ssea d neresse e serbao d calore che s può essere scur che s è ragguno un rege d non-equlbro fscaene sgnfcavo. Idealene, un bagno erco è un ssea doao d nfn grad d lberà, n odo ale che ognuno d ess possa sa assorbre che rlascare energa senza cabare apprezzablene l propro sao. Sforunaaene un ale po d bagno erco è olo dffcle da raare analcaene e rchede roppo epo con le sulazon nuerche. Modell S nroducono odell per l caso ono-densonale, poché la generalzzazone al caso bdensonale è abbasanza auoaca e, per esgenza d seplcà, s consderano solo le nerazon ra ao adacen La pra classe d odell che s prende n consderazone è defna da un Halonana nella fora: H p V. Dove: p V Energa cneca della parcella -esa p & Energa poenzale dovua all nerazone ra la parcella -esa e la parcella -esa Bsogna specfcare le condzon al conorno, defnendo e. Scele pche a ale proposo sono la scela perodca, esreà fsse o esreà lbere. Dal oeno che sono presen solo forze nerne, le qual dpendono solo dalle poszon relave, la quanà d oo oale s conserva

17 Poenzale d Lennard-Jones A dsanze neraoche o nerolecolar olo pccole le nub eleronche s sovrappongono generando forze repulsve olo nense, caraerzzae da un raggo d'azone olo coro e dal fao che crescono rapdaene all'avvcnars delle olecole. Per esse non esse un'equazone rcavaa eorcaene e valda generalene che le descrva. Perano, per descrvere l'nerazone neraoca ed nerolecolare, è necessaro fare rcorso ad alcune funzon poenzal eprche. Il poenzale d Lennard-Jones 9 è l pù noo d ques poenzal eprc Esso coprende sa la pare repulsva predonane per basse dsanze ra le parcelle, sa la pare arava dovua all'nerazone d van der Waals predonane ad elevae dsanze e la sua forulazone è la seguene: Dove: a a V z ε. z z a dsanza ra le parcelle all equlbro ε profondà della buca d poenzale z dsanza ra le parcelle Fg.. Andaeno del poenzale nerolecolare con la dsanza 9

18 Modello d Fer-Pasa-Ula FPU Il odello classco d Fer-Pasa-Ula FPU è cosuo da una caena d asse ugual, neragen non lnearene a pr vcn, ossa accoppae ra loro edane olle non lnear [] e può essere vso coe una dealzzazone d un soldo crsallno onodensonale Lo scopo orgnale d Fer e de suo collaboraor era quello d nvesgare ep d rlassaeno del ssea una vola poso n condzon d non equlbro. Tale quesone s lega a fondaen della eccanca sasca e cò plca la necessà d consderare quesa classe d sse nel le erodnaco, ovvero per valor d olo grand, evenualene enden all nfno, con una energa specfca ε E del ssea fna. Fg..: Modello FPU. u n è lo sposaeno relavo rspeo alla poszone d equlbro della assa n. Le due esreà della caena sono assune fssae: u u Il poenzale del odello FPU è esprble coe:. g g g V z a z a z a z Dove: g, g, g cosan d accoppaeno z a dsanza ra le parcelle dsanza ra le parcelle n condzon d equlbro La. può essere pensaa coe rsulane da un espansone d V vcno alla sua poszone d equlbro z a. La seplcà della sua fora algebrca, rende queso odello olo convenene dal puno d vsa copuazonale.

19 Vale la pena d enzonare due cas parcolar poran: l poenzale quadraco e cubco g e quello quadraco e quarco g. Il pro è sorcaene conoscuo con l noe d FPU-α e rchede che s consder una cosane d accoppaeno g e/o energe suffceneene pccole per evare l nsablà dvergene delle raeore. Il secondo è conoscuo con l noe d FPU- β Defnzon Tp d enseble Sa la grandezza O un osservable o funzone d fase ale che : O : M IR Dove : M [p, q] IR Spazo delle fas Insee de nuer real Per surare O, s ee lo srueno d sura a conao con l corpo o con l ssea cu s rfersce l osservable e s aspea che ques raggungano una condzone d equlbro. Lo srueno d sura non fornrà, n usca, un valore sananeo d O, bensì una eda nel epo de suo valor assoca a dvers sa croscopc, che s alernano con scale eporal croscopche: O l O. τ s dτ Dove: s τ O Valore d O lungo la raeora nello spazo delle fas τ s : M M Operaore che fa evolvere nello spazo delle fas, secondo l equazone del oo: M & G, L espressone della eda nel epo sopra forulaa descrve la fsca del ssea a non è cooda da aneggare, n praca. C s doanda perano se non sa possble calcolare quella eda usando una qualche dsrbuzone d probablà f defna su M, scrvendo coè: f O O d. M

20 Dove : f Funzone d dsrbuzone d probablà f d Probablà d avere un valore ncluso nell nervallo, d e sse all equlbro n generale essono re cas n cu queso è possble. Enseble crocanonco S ha quando sao n presenza d un ssea solao, ossa che non scaba energa né aera con l abene crcosane In al caso s pozza che la funzone d dsrbuzone d probablà essa e abba la fora : f d M Dove: d Volue dello spazo delle fas cosane M Quesa assunzone n praca funzona sepre La eda d enseble crocanonco ha la seguene espressone: O μ M d M O d. Enseble canonco S ha quando sao n presenza d un ssea chuso a eperaura T, coè che non scaba aera a può scabare energa con l abene crcosane f H k B T H k B T e M e d

21 Dove: H k B T e M d cosane d noralzzazone, dea funzone d parzone canonca. Enseble gran-canonco S ha quando sao n presenza d un ssea apero a eperaura T, con poenzale chco μ, coè che scaba sa aera che energa con l abene crcosane f H μ k B T M e e H μ k B T Dove: nuero d parcelle del ssea d Ergodcà Un processo casuale o deernsco s dce ergodco se, per ogn osservable O, la eda eporale calcolaa su qualsas realzzazone concde con la eda sasca d enseble. Quando sussse quesa condzone, è perano possble esprere la eda eporale edane l espressone. La condzone d ergodcà plca che le ede eporal sano ndpenden dalle condzon nzal, a pare condzon eccezonal d probablà nulla Osservabl Teperaura Il pro problea da rsolvere per nerpreare le sulazon d dnaca olecolare n un oca erodnaca è la defnzone della eperaura n ern d varabl dnache. L approcco radzonale è basao sul eorea del vrale: T u H μ Dove:

22 u veore che soddsfa la condzone u ndca la eda μ -canonca crocanonca d nsee μ Qu, le unà d sura sono scele n odo ale che la cosane d Bolzann sa k B. Le ede μ - canonche sono le pù approprae quando s vuole sudare dal puno d vsa nuerco un ssea solao, a non appena l ssea è esso a conao con uno o pù bagn erc, bsogna consderare le ede canonche oppure, se l ssea raggunge uno sao sazonaro d dsequlbro, ede che non sono sae a uogg charaene deernae S rcord che, n generale, la eda canonca d una funzone f è defna coe: f f z e βh z e βh z dz dz.7 Dove: H z Halonana; ndca l energa della confgurazone β k B T z [ p, q ] Puno apparenene allo spazo delle fas L espressone.7 s può consderare coe una eda esegua rspeo ad un parcolare nsee sasco, ale che pun rappresenav sono dsrbu su uo lo spazo delle fas con densà proporzonale a e βh. Un nsee sasco d queso po è chaao canonco e l espressone.7 è dea eda canonca. Forunaaene è rsapuo, benché solo parzalene dosrao, che ne cas d equlbro le ede delle osservabl local sono ndpenden dall nsee scelo, nel le erodnaco. Cò nonosane, quando s lavora con sse fn, bsogna essere consapevol dell essenza d correzon d densone fna, coe afferao nel faoso sudo d Lebowz e al. [] Inolre, nelle sulazon d dnaca olecolare, è pù convenene calcolare le ede seguendo le sngole raeore nel epo. Queso non cosusce un problea ogn qualvola rsul possble nvocare l ergodcà, poché quesa garansce l equvalenza ra le ede d nsee e le ede eporal. Cò nonosane, s è rsconrao che le ede nel epo d quanà corrsponden agl osservabl erodnac convergono alle ede d nsee aese anche n sse non ergodc n senso sreaene aeaco coe ad esepo l odello FPU- β e persno quando le fluuazon norno al valore edo non sono coeren con le predzon d equlbro.

23 Queso suggersce che l equvalenza delle ede eporal e d nsee degl osservabl fscaene rlevan possa essere garana da una condzone pù debole dell ergodcà. Un possble canddao porebbe essere l crero d ergodcà debole, proposo da Khnchn [9], che equvale ad assuere un decadeno suffceneene veloce nel epo delle funzon d correlazone eporale, aleno per osservabl erodnacaene rlevan, coe eperaura, energa nerna, calore specfco, ecc.. In accordo con la.7, sono possbl ole defnzon d eperaura, fscaene equvalen a foralene dfferen. Per esepo, la scela d p p u,...,,,..., pora alla defnzone couneene adoaa nell nsee canonco T p μ u pora alla defnzone locale d eperaura: Menre la scela,...,, p,,..., T p μ L denfcazone d una defnzone oale d eperaura da adoare negl sud nuerc è sreaene collegaa alle propreà d convergenza delle ede eporal. In queso senso s è osservao che le defnzon che convolgono solo le quanà d oo, coe quelle soprasan, convergono abbasanza rapdaene, quando la dnaca è abbasanza caoca, enre quelle che convolgono una dpendenza esplca dalle coordnae spazal possono convergere su scale eporal olo pù lunghe. [] Flusso La defnzone d flusso d calore rchede cauela perché plca la rasforazone d una defnzone esoscopca plca n una defnzone croscopca ulzzable. Per esgenze d seplcà, s dscue l problea facendo rfereno a sse onodensonal con nerazon ra ao adacen, dal oeno che l esensone ad un caso pù generale è ecncaene pù coplcaa, a conceualene equvalene. In al caso, l flusso d calore, all sane nella poszone spazale, non è nen alro che la correne d energa, plcaene defna dall equazone d connuà:

24 dh,, d. Dove: h, Densà d energa E porane precsare che, n generale, l flusso d energa defno nella. non concde con l flusso d calore, dal oeno che l pro nasce anche dal oveno acroscopco []. Tuava, ne sold e ne flud onodensonal non può esserc oveno sazonaro, perano due fluss concdono e possao usare due no n odo nercabable Con rfereno ad un nsee d parcelle che neragscono ra loro, possao scrvere la densà d energa croscopca coe la soa de conrbu sola colloca nella poszone sananea d ogn parcella. h, h δ Dove: δ Dsrbuzone d Drac h Conrbuo energeco della parcella -esa L energa assocaa alla parcella -esa può a sua vola essere espressa coe: p h.9 U [ V V ] Dove: p Energa cneca assocaa alla parcella -esa U Energa poenzale assocaa con la possble nerazone con un capo eserno [ V V ] Meà dell energa poenzale assocaa all nerazone della parcella -esa con le due adacen

25 Analogaene, s può esprere l flusso d calore coe soa d conrbu localzza, δ Il problea s rconduce perano al dare una defnzone del flusso locale d calore. S no,. che quesa quanà non ha la sessa densone fsca d - el le d pccole oscllazon norno alla poszone d equlbro, le fluuazon della densà possono essere rascurae e h può essere espresso coe : h h a Dove: a dsanza ra una parcella e l alra h densà d energa Dalla.7, la dervaa nel epo d h è : dh d & && & [ & & F & & F ] U Dove : U du d V F Dalle equazon del oo dervae dalla. s ha: & F F U Perano: dh d [ & & F & & F ] 7

26 Quesa equazone può essere rscra coe : dh d a Dove: def aφ a & F &. che può così essere nerpreao coe l flusso d calore locale. - Pù n generale, se le fluuazon della densà non possono essere rascurae, bsogna segure un approcco dverso per deernare un espressone ule per. Lo svluppo de calcol conduce all espressone : & & F & h. el le d pccole oscllazon rspeo alla dsanza ra le parcelle a, l secondo erne della. può essere rascurao e s può consderare a, n odo ale che l equazone. s rduce alla defnzone... Un alra classe d sse per cu le fluuazon d energa possono essere rascurae è quella per la quale la varable canonca non descrve l oveno longudnale lungo la caena, a corrsponde a dfferen grad d lberà es: oscllazon rasversal o roazone. In u ques cas, la poszone dove s localzza l energa h è fssa nel epo e, consegueneene, non può esserc nessun erne proporzonale a h nella. La aggor pare de odell non lnear che rano alla caraerzzazone d sruure con coporaeno soldo sono sa reda facendo rfereno alla devazone dalla poszone d equlbro q : q a Dove: q devazone della parcella -esa dalla poszone d equlbro poszone assolua della parcella -esa a poszone d equlbro della parcella -esa

27 Queso è, ad esepo, l caso de odell FPU. che possono essere vs coe rsulao del roncaeno dell espansone n sere dell energa poenzale nelle poenze d q q. Il rsulao dell nroduzone dello scaro rspeo all equlbro q e dell elnazone della poszone effeva è che le dsanze fsche scopaono dal odello e la spazaura a ra le parcelle dvena un valore arbraro. Coe conseguenza, se s scegle un valore d a roppo pccolo, s possono avere parcelle che, conraraene alla fsca del problea, s copenerano pur conservando ancora le edese parcelle adacen. Un nerpreazone sgnfcava d al odell s oene solo assocandol ad una spazaura a suffceneene grande e calcolando così l flusso d calore a parre dalla defnzone.. Voglao nfne nrodurre un espressone per eno serca a pù copaa, che possa essere oenua sfruando l uguaglanza: q q rege sazonaro V &, che vale n condzon d Parendo dalle equazon del oo e svluppando con [] s oene che : def. Il flusso d calore edo locale è dunque cosane lungo la caena, coe prevso. Alle esreà s rova che, qualunque sa la scela del bagno erco, l flusso d calore uguagla l flusso d energa verso l corrspondene bagno. Queso s può vedere seplceene scrvendo l equazone d equlbro per l energa cneca della pra ula parcella della caena. Il flusso oale d calore è dao da: J Dalla defnzone., s rcava che, n rege sazonaro: J Dalla., s vede coe J sa la versone onodensonale dell espressone generale [] J V & h & & F. valda per ogn sao della aera 9

28 Bagn erc Gl sud eorc e nuerc d sse eccanc sasc sono generalene basa su un opporuna odellzzazone dell nerazone con rserve erche. All equlbro, queso s realzza solaene usando eod collauda qual la dnaca olecolare cro-canonca e le sulazon Mone Carlo. Fuor dall equlbro, la ancanza d una cornce eorca generale cosrnge a defnre nerazon sgnfcave con bagn erc araverso dvers eod, la cu valdà è laa a cas specfc per qual sono sa svluppa. L poranza d ale approcco nelle sulazon de process d rasporo ne sold crsalln è ora rconoscua da decenn [] Conceualene, l odo correo d procedere rchede d consderare sa d non-equlbro d sse nfn. S porebbe ad esepo agnare d avere una caena nfna con condzon nzal al che u gl ao a desra e a snsra d un soonsee delao che ndvdua l ssea d neresse sano n equlbro a dverse eperaure. Ad ogn odo, l unco caso specfco n cu un ale approcco può essere effevaene pleenao è quello d un ssea aronco [-]. Infa n quel caso è possble rcavare grad d lberà corrsponden alla dnaca de bagn e, coe rsulao, s può dosrare l essenza d sa sazonar d non-equlbro e deernare le propreà erodnache rlevan. Quando subenrano gl effe non-lnear, nvece, non s può pù rcondurre l evoluzone de bagn d calore ad un odello raable. Cò nonosane le caene non lnear possono essere sudae, assuendo che la non lnearà sa laa al ssea d neresse, enre s consderano solo nerazon lnear per le parcelle apparenen alle caene se-nfne che corrspondono a bagn. Seguendo queso approcco, s sono oenu ol rsula []. In parcolare, n analoga a quello che può essere la conservazone dell energa per l equlbro, è saa receneene provaa l essenza d un unca sura nvarane d probablà non noa esplcaene nel non-equlbro, n caene d oscllaor accoppa alaene non lnear sogge a graden d eperaura arbraraene grand []. Bagn socasc Un odo radzonale per pleenare l nerazone con bagn consse nell nrodurre sulaneaene forze casual e dsspazone n accordo con la prescrzone generale del eorea d fluuazone-dsspazone. Consegueneene, bagn non sono nfluenza dalla dnaca del ssea. el caso seplce d una caena con parcelle aven asse ugual, s oene l seguene nsee d equazon d Langevn: q& q q q F q q ξ λ q& δ ξ λ q& δ F. Dove:

29 ξ λ q& δ, ξ λ q& δ λ q& δ, λ q& δ forze presen sulla parcella ed forze d rallenaeno ξ, ξ process d Wener forze socasche ndpenden con eda zero e varanza λ± T± k B λ, λ coeffcene d dsspazone I process d Wener sono process socasc con eda nulla, varanza proporzonale a e dsrbuzone d probablà gaussana. In praca, anche queso odello può essere raao solo nuercaene, per forze non lnear. Una vola che s è ragguna la condzone d sao sazonaro d non-equlbro, s valua l flusso edo, defno dalla. e s sa la conduvà erca κ coe: κ L Δ T Dove: κ conduvà erca Δ T T T gradene d eperaura ra la parcella e la parcella L dsanza ra la parcella e la parcella Il flusso edo s può oenere anche dreaene dal proflo d eperaura. Infa, l calcolo socasco dreo osra che la quanà eda d energa scabaa ra la pra parcella e la reservor calda con essa a conao, ossa l flusso d calore o correne, è : λ, T T λ. Un espressone equvalene vale all alro esreo. Quesa forula sablsce che l flusso d calore è proporzonale alla dfferenza ra la eperaura cneca della parcella a conao con l bagno erco e la eperaura del bagno sesso. Un pleenazone croscopca che è saa largaene usaa consse nell agnare ogn reservor coe un gas deale onodensonale d parcelle d assa M ± che neragscono con la caena araverso collson elasche []

30 Una sraega seplce consse nel selezonare una sequenza casuale d san, n cu ogn aoo erosaao collde con una parcella del corrspondene bagno. Una scela naurale W τ degl nervall τ ra collson consecuve sarebbe la Possonana per la dsrbuzone Dove: W τ τ τ τ e τ epo edo d collsone La cneaca della collsone plca un cabaeno della velocà della parcella, da pra a dopo la collsone, espresso dalla seguene: q & q& M M v q& per l bagno snsro un espressone analoga vale per quello desro. La velocà v delle parcelle d gas è una varable casuale dsrbua secondo la dsrbuzone Mawellana: P M πk T M v kbt v e B el caso d M ±, la procedura s rduce ad assegnare la velocà dopo la collsone uguale alla varable casuale v le parcelle s scabano le velocà. el caso le M ± <<, nvece, l nerazone con bagn d calore dvena del po ± Langevn, coe nell equazone., con λ ± M τ Queso eodo è copuazonalene olo seplce, perchè eva l problea d raare con equazon dfferenzal socasche l negrazone può nfa essere effeuaa per ezzo d algor convenzonal ed è fscaene apprezzable perchè lo sorzaeno non è ncluso a pror nel odello, a generao nrnsecaene dalla dnaca. Uno schea collegao a dfferene consse nel deernare ep d collsone dall nerazone con ur erc adeguaaene colloca alle esreà della caena. Queso eodo ha l vanaggo d pereere d ncludere gl effe della pressone nella sulazone della dnaca olecolare. In queso caso, la velocà delle parcelle erosaae è resa casuale ogn vola che esse raggunge l uro. Menre l segno della coponene norale al uro deve essere scela n odo da asscurare che sa rflessa, l suo odulo deve essere dsrbuo secondo una dsrbuzone Mawellana cenraa sulla eperaura del uro []

31 Bagn deernsc el enavo d fornre una descrzone auo-conssene de process d non-equlbro, s sono nrodo dvers p d bagn d calore deernsc [9]. Queso è sao anche ovao dalla necessà d superare le dffcolà nconrae nel raare con process socasc. Applcazone d forze alle esreà della caena Lo schea che ha oenuo l aggor consenso nella counà che s occupa dello sudo della dnaca olecolare è l cosddeo erosao d osè-hoover [],[7] Con ale po d erosao, l evoluzone delle parcelle a conao erco con l bagno α è governaa dall equazone: q&& F ζ q& se S. ζ q& se S q q F q q Dove: ζ q& ζ q& se se n S n S Terne d bagno per le parcelle agl esre ζ ± Varabl bagno erco ossa due varabl auslare che odellzzano l azone croscopca del erosao S ± Due grupp d ± F q q, F parcelle rspevaene all nzo e alla fne della caena, a conao con le reservor q q Forze che, nel nosro odello, sono pulsve coè ugual a quese per le parcelle nerne alla caena La dnaca d ζ ± è governaa dall equazone: Dove: & ζ ± q& Θ.7 ± k BT± ± S ± K,, k T B ± ± Energa cneca d rfereno nel nosro odello equvale a RIF K,RIF Θ ± Tep d rsposa del erosao

32 Consderao l azone del erosao. Se la eperaura cneca delle parcelle apparenen a S ± è, ad esepo, aggore d T ±, allora ζ ± auena fno a dvenare posvo. Perano la varable auslara agsce coe una dsspazone nell equazone.. Se la eperaura nvece scende al d soo d T ±, accade l conraro. Tuo queso rappresena dunque un feedback sablzzane norno alla eperaura prescra. La gusfcazone rgorosa della valdà d queso schea è daa n Rf. [7],[], dove è sao dosrao che esso rproduce la dsrbuzone canonca d equlbro alla eperaura desderaa el caso le d Θ l odello s rduce al cosddeo erosao Gaussano socneco: l energa cneca s conserva esaaene e l azone del bagno erco è adeguaaene descra senza bsogno d nrodurre un ulerore varable dnaca, poché ζ dvena una funzone esplca della q& ± [ F q q F q q ] q& ζ ± S ± q&. S ± Ques ulo schea d erosao può essere dervao da eod varazonal dopo aver poso vncol anolono che esprono la conservazone dell energa cneca [9] Pù genercaene s è vso che le equazon dnache d ua quesa classe d erosa deernsc possedono una sruura halonana n uno spazo delle fas opporunaene allargao. Una propreà neressane che è preservaa dalla proezone sullo spazo delle fas consueo è la reversblà nel epo. Infa, una seplce anals delle equazon rvela che esse sono nvaran rspeo all nversone eporale q& q&,..., ζ ± ζ ± Tale propreà rappresena la ragone prncpale del successo d quesa classe d erosa, dal oeno che la dsspazone non è nclusa a pror, a derva nrnsecaene dall evoluzone dnaca. In parcolare, all equlbro ζ ±, cosa che ndca che l azone del bagno non dsrugge la reversblà acroscopca, enre fuor dall equlbro ζ ζ > e queso valore è collegao alla produzone d enropa

33 Un alro procedeno può essere defno cobnando l dea d un erosao che agsce rae le collson a bord della caena con quella d una regola deernsca e reversble per le collson sesse. Il pro coneso dove uno schea d queso po è sao nrodoo con successo è quello de flud n oo rasversale [] enre, pù receneene, van Beeren ha proposo un pleenazone adaa per sse onodensonal. L dea è olo sle a quella del uro erco precedeneene dscusso con l porane dfferenza che la velocà v dopo la collsone è una funzone deernsca e reversble della velocà nzale v ; vale coè la seguene: v Φ v Dove: v velocà della parcella del bagno erco dopo la collsone v velocà della parcella del bagno erco pra della collsone Φ rasforazone reversble dove una classe d rasforazon reversbl Φ è defna n odo ale che Φ GRG, con R R Un ulerore vncolo è che la dsrbuzone d equlbro sa lascaa nvaraa soo la rasforazone Φ. La scela adoaa nel Rf.[] consse nel fssare: v kbt e G v R In accordo con quesa scela, G rasfora la dsrbuzone Mawellana n una dsrbuzone unfore sull nervallo unaro che, n copenso, è lascao nvarao da R. Benché quesa e le preceden scele d erosa reversbl non corrspondano a nessun eccanso fsco reale, esse offrono una cornce d lavoro convenene per l applcazone de conce de sse dnac e negl ann s sono dosrae olo effcac nella rappresenazone d nueros fenoen d rasporo

34 Applcazone d un capo eserno a ua la caena d parcelle e eod soprasan, l ssea è condoo fuor dall equlbro dall applcazone d opporune forze alle esreà: un approcco che è neso a rprodurre condzon sperenal. Una dversa flosofa [9] consse nell applcare un capo eserno che agsce sul nucleo nerno del ssea per anenerlo sazonaraene fuor dall equlbro. Il vanaggo prncpale d queso approcco è la possblà d lavorare con sse oogene con, ad esepo, una eperaura unfore lungo l nero capone. In parcolare, s possono forzare condzon a bord perodche n odo da rdurre ulerorene gl effe della densone fna. Il noe con cu c s rfersce a queso procedeno è, solaene, algoro d flusso del calore d Evans ; esso è sao applcao alla conduzone del calore n un recolo ono-densonale [],[7],[] Pù precsaene, s aggunge all equazone del oo d ogn parcella -esa un capo d calore fzo F ed e, per sablzzare la dnaca ad una eperaura prescra, s applca una regola erosao. L equazone del oo che ne rsula è : q& q q F q q Fe D ζq& F.9 Una defnzone d D spesso pegaa è [] D [ F q q F q q ] F q q! S consdera nolre un erosao d Gauss: ζ K q& [ F q q F q q F D ] e Dove: K q& S no che, a dfferenza degl sche preceden, l erosao agsce su ue le parcelle queso è possble dal oeno che, s rcord, la eperaura è unfore La conduvà erca può essere deernaa dal rapporo ra l flusso d calore e l capo d calore applcao κ l e TF F e

35 Dove: eda d oe: rappresena sa una eda nel epo, sa una eda su un opporuno nsee Il le F e è deao dalla necessà d asscurare la valdà della eora della rsposa lneare che è plcaene conenua nelle assunzon nzal. Queso requso è a aggor ragone pù sgnfcavo se s consderano le dffcolà nconrae lavorando con cap d calore olo grand []. In cera sura queso vale anche per l eodo d osè-hoover precedeneene descro [] Confrono ra eod dvers In u gl sche de bagn erc c è aleno un paraero che conrolla la forza accoppaa alla parcella che neragsce con esso: defnaolo genercaene g. Esso può essere, ad esepo, l epo edo che nercorre ra due collson successve o la velocà d dsspazone λ nell equazone d Langevn, o l nverso della cosane d epo Θ nello schea d osè-hoover. Fssare g è una quesone praca che d solo s rsolve eprcaene asscurando che scele dverse non odfchno apprezzablene rsula delle sulazon. In ern general, s dovrebbe nconcare sceglendo g dell ordne d alcune frequenze pche del ssea [7] Sorge edaaene un neressane doanda rguardo alla dpendenza del rasporo d calore da g ne var sche. el caso d bagn socasc, l flusso d calore s annulla sa nel le d accoppaeno debole λ, sa nel le d accoppaeno fore λ La pra plcazone segue abbasanza faclene dalla. e dall osservazone che T T non può superare T T pù precsaene, c s aspea che T T T per λ, dal oeno che l proflo dovrebbe dvenare va va pù pao. Il caso opposo è eno banale: speghao qua d seguo perché lo sesso coporaeno qualavo può essere rovao n due dvers sche d bagno d calore. Consderao nnanz uo un bagno che agsca per ezzo d collson separae da nervall casual τ. In queso caso, la cosane d accoppaeno g è daa dall nverso del epo d collsone τ. Per pccol τ, c s può basare su un approcco perurbavo e s può scrvere l energa cneca K della pra parcella, al epo τ, dopo la collsone coe : K v F τ 7

36 Dove: v velocà nzale, casuale F τ varazone d v dovua all accelerazone pressa dalla forza F Coe rsulao, K, n eda, caba d una quanà proporzonale a τ. Per avere l flusso d energa, s deve olplcare queso conrbuo per l nuero τ r d collson per unà d epo. In accordo con queso, rovao che l flusso va a zero coe g nel le dell accoppaeno fore. E neressane noare che la dpendenza quadraca dell energa può anche essere dedoa dall nvaranza delle equazon croscopche rspeo all nversone del epo: dopo una collsone non c dovrebbe essere dfferenza ra la scela d percorrere l asse del epo n avan o ndero; coe rsulao dobbao aspearc perano un coporaeno quadraco. Abbasanza sle è l anals de bagn erc d po Langevn. In queso caso, per λ grand, q& può essere elnaa adabacaene, dando orgne a : ξ F q & λ λ Ancora, s può vedere che l valore edo della eperaura cneca deva d a quello d equlbro. O rspeo λ Il odo pù seplce per cobnare l coporaeno del flusso edo nel le d accoppaeno fore e debole è araverso la forula eursca: aλ b λ b λ λ che presena la dpendenza da λ aesa sa nel le λ che nel le λ. Il proflo d eperaura che s oene per una caena FPU a conao con bagn d calore socasc d Langevn è va va pù pao per λ. Meno ovva è la endenza a dvenare pao anche nel le d accoppaeno fore. Infa, c una pccola a crucale dfferenza ra la eperaura della pra e dell ula parcella. Per λ, la eperaura delle parcelle esree ovvaene ende ad essere uguale a quella nel cenro; al conraro, per λ, al eperaure convergono alla eperaura del bagno. In alre parole, l salo d eperaura è osservao ra la parcella a bord e la sua vcna.

37 Se rpeao la sessa anals usando erosa d osè-hoover, rovao un coporaeno sle nel le d accoppaeno fore. Il flusso d calore s annulla quando l epo d rsposa Θ ende a zero. Queso è l caso le d un bagno sreaene socneco e, perano, s può concludere che ale po d bagno d calore non è adao a sosenere l rasporo d calore fnano che una sola parcella è eralzzaa a cascuna esreà. Forse pù sorprendene è l opposo caso le, dal oeno che possao vedere che l flusso d calore non va a zero benché l azone de bagn d calore dven sepre pù lena. Una coprensone parzale d queso coporaeno naeso vene dall osservazone che la varable ζ, benché lenaene, raggunge gl sess valor asnoc per cosan d epo Θ arbraraene grand. Ploando l sograa de valor d ζ, ossa la sua PDF per dvers valor d Θ, s vede che enrabe le curve sono charaene gaussane e cenrae aorno al edeso valore edo, a con devazon sandard dfferen. In parcolare, le devazon sandard dfferscono ra loro del edeso faore che s ha ra le cosan d epo. In praca, queso c nduce a dre che, nel caso le d Θ, la dsrbuzone de valor d ζ dvena una funzone δ dela d Drac cenraa su un valore fssao d dsspazone che dpende solo dalla lunghezza della caena, dall energa e dal gradene d eperaura. Queso rsulao sebrerebbe essere n dsaccordo con l eorea d dsspazone-fluuazone e sebra suggerre che, per Θ, le fluuazon scopaono enre la dsspazone rane fna. In realà, bsogna noare che, per oenere una sura correa del valore delle fluuazon, s deve negrare su un epo suffceneene lungo da lascar decadere le correlazon: la dvergenza della cosane d epo asscura ancora la valdà del eorea d fluuazone-dsspazone. Coe rsulao d quesa anals, possao concludere che l valore d Θ d ordne nelle prescele unà d sura densonal sano scele oal per le sulazon nuerche, poché pccol valor plcano pccol fluss d calore, enre valor aggor rchederebbero ep d sulazone pù lungh per poer asscurare l decadeno delle correlazon Ressenze alle esreà Le dsconnuà d eperaura solaene appaono quando l flusso d calore è anenuo araverso un nerfacca ra due sosanze. Quesa dsconnuà è l rsulao d una ressenza al conorno, solaene denoaa col noe d ressenza d Kapza. La sua orgne rsale al dsaccoppaeno fononco ra due sosanze adacen []. Tale fenoeno è nvarablene presene nelle sulazon e può rdurre l accuraezza delle sure. L La conduvà, valuaa coe κ eff rappresena un coeffcene d rasporo effevo ΔT che nclude le ressenze sa a bord, sa al cenro. In praca, s può fare rfereno ad una soocaena abbasanza dsane dalle esreà e calcolare una conduvà legaa al cenro coe rapporo ra J e l reale gradene d eperaura nella soocaena. S no, counque, che l vanaggo della rduzone degl effe alle esreà può essere parzalene rdoo dall auenaa dffcolà d avere a che fare con dfferenze d eperaura olo pccole 9