Nuovi Scenari per la Matematica
|
|
- Gastone Gasparini
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Costruire la sezione aurea di un segmento Nuovi Scenari per la Matematica Salerno agosto 2012
2 FINALITÀ Riorganizzare la didattica della matematica in funzione dei risultati di apprendimento da perseguire e da raggiungere L argomento è stato affrontato dai gruppi di lavoro nel corso dei Seminari di Torino e di Bari. Entrambi i gruppi, lavorando in modo autonomo e indipendente uno dall altro, sono giunti alle stesse conclusioni, seguendo un percorso articolato in diverse fasi.
3 COSTRUIRE LA SEZIONE AUREA DI UN SEGMENTO Bari Torino: 2 lavoro di gruppo Revisione a cura di : Patrizia Gioffreda e Tania Graziosi
4 IMPOSTAZIONE Un ragazzo è stimolato ad apprendere se coinvolto emotivamente. Uno scienziato nel suo laboratorio non è soltanto un tecnico, è anche un fanciullo posto di fronte a fenomeni naturali che lo impressionano come un racconto di fate (Marie Curie) Partire da un esempio preso dalla realtà come le tessere di uso comune (tessera dello studente, sanitaria, codice fiscale, postepay, figc, etc.) e misurare il rapporto tra la dimensione maggiore e quella minore.
5 PREREQUISITI Costruzioni con riga e compasso (punto medio, perpendicolare ad una retta condotta per un suo punto,quadrato). Proporzioni. Teorema di Pitagora. Circonferenza. Numeri irrazionali. Equazioni di secondo grado
6 Collegamenti con alcuni dei risultati proposti nella lista: la divisione di un segmento in n parti proporzionali la radice di 2 è un numero irrazionale fattorizzare un trinomio di 2 grado dimostrare il teorema di Pitagora a : approssimazione numerica e costruzione geometrica
7 Organizzazione di un percorso e sua collocazione nella progettazione didattica complessiva L'argomento viene collocato nella progettazione didattica della seconda classe all interno di una unità di apprendimento che coinvolga altre discipline (scienze, italiano e, dove presenti, disegno, storia dell arte, musica, filosofia, informatica) per il raggiungimento della competenza "Confrontare ed analizzare figure geometriche individuando invarianti e relazioni" e in riferimento all'abilità di "eseguire costruzioni geometriche elementari utilizzando riga e compasso o strumenti informatici" (linee guida biennio).
8 ATTIVITÀ 1 Osservazione di una serie di rettangoli in oggetti (tessere) e immagini tratte dall arte
9 ATTIVITÀ 2 Calcolo del rapporto delle dimensioni dei rettangoli e scoperta del numero φ Prendete la carta dello studente o una qualsiasi tessera simile. Ora misurate il lato maggiore e quello minore e fate il rapporto, scoprirete che per tutti i tipi di tessere il numero ottenuto è sempre costante e corrisponde a 1,618 I rettangoli che hanno questa proprietà si chiamano rettangoli aurei. Ma perché è stata utilizzata questa proporzione sempre costante in questi rettangoli? La risposta come vedremo sta nel rapporto aureo. Tale rapporto, sin dall antichità, è stato considerato universalmente come la giusta proporzione affinché due elementi appaiano armoniosi all occhio umano. Il valore numerico che abbiamo riscontrato nei rapporti delle dimensioni delle tessere, viene chiamato numero d oro e indicato con la lettera greca φ (phi). In matematica questo valore veniva indicato fino al XX secolo con la lettera greca Ί (tau), ma fu il matematico Mark Barr a introdurre l'uso, oggi consolidato, della φ (phi), dall'iniziale dello scultore greco Fidia (in greco Φειδίας), il quale avrebbe usato il rapporto aureo nel Partenone.
10 ATTIVITÀ 3 Esempi di costruzione geometrica da effettuare con riga e compasso e/o con software a)rettangolo aureo b)sezione aurea del segmento e la matematica per interpretare il bello (dall armonia dei rettangoli alla codificazione in linguaggio matematico) prima costruzione legame con φ e il suo reciproco riflessione seconda costruzione riflessione costruzione con GeoGebra c) costruzione attraverso la piegatura di un foglio (Math 2012) d)la spirale logaritmica
11 ATTIVITÀ 3: il rettangolo aureo 1) Costruire il quadrato ADFE che ha come lato la dimensione minore di un oggetto rettangolare di uso comune tra gli studenti 2) Determinare il punto medio A del segmento DF. 3) Con centro in A e apertura di compasso uguale ad A E individuare sul prolungamento di DF il punto C. 4) Determinare sulla perpendicolare per C a DC il punto B tale che BC sia congruente ad AD. 5) Calcolare il rapporto tra le misure di AB e BC. 6) Il numero ottenuto si avvicina a 1,618 (il numero d oro). Il rettangolo ABCD è un rettangolo aureo
12 ATTIVITÀ 3: sezione aurea del segmento Fin dall antichità si è interessati al problema di dividere un dato segmento in due parti, tali che la maggiore sia media proporzionale tra l intero segmento e la parte rimanente. Proposizione 11 del libro II degli Elementi di Euclide. Dividere un segmento in modo che il rettangolo che ha per lati l intero segmento e la parte rimanente sia equivalente al quadrato che ha per lato la parte maggiore Considerato un segmento AB e un suo punto interno C, il segmento AC è la sezione aurea di AB se e solo se: AB : AC = AC : CB Definizione: si dice sezione aurea di un segmento la parte del segmento media proporzionale tra l intero segmento e la parte rimanente È possibile costruire la sezione aurea con riga e compasso? La risposta è affermativa. Vediamone alcuni esempi
13 ATTIVITÀ 3: prima costruzione 1) Dall estremo B di un segmento AB si traccia la retta r perpendicolare alla retta AB 2) Si determina il punto medio M di AB 3) Con centro in B si traccia la circonferenza passante per M e si indica con P uno dei suoi due punti di intersezione con la retta r 4) Con centro in P, si traccia la circonferenza passante per B e si indica con Q il suo punto di intersezione con il segmento AP 5) Con centro in A si tracci la circonferenza che passa per Q e si indica con C il suo punto di intersezione con il segmento AB AC è la sezione aurea di AB
14 ATTIVITÀ 3: prima costruzione giustificazione algebrica: legame con φ segue
15 giustificazione algebrica: legame con φ
16 ATTIVITÀ 3: riflessioni prima costruzione 1) Si è costruito un triangolo rettangolo APB in cui il cateto PB è la metà del cateto AB AC è la sezione aurea di AB 2) Sull ipotenusa AP si è ottenuto un segmento AQ dato dalla differenza tra l ipotenusa del triangolo costruito e il cateto PB 3) Si è riportato sul cateto AB un segmento AC congruente ad AQ segue
17 ATTIVITÀ 3: riflessioni prima costruzione
18 ATTIVITÀ 3: seconda costruzione Capovolgendo il problema e cioè volendo trovare quel segmento di cui la lunghezza AB sia la sezione aurea, si può procedere diversamente, utilizzando di fondo lo stesso metodo attraverso cui si ottiene un rettangolo aureo. Dato un segmento AB 1) si traccia la perpendicolare DB di lunghezza pari ad AB; 2) si trova il punto medio C del segmento AB 3) con apertura pari CD (ipotenusa del triangolo CBD) si riporta la lunghezza sul prolungamento di AB, trovando così BE AE è il segmento cercato, di cui AB è la sezione aurea
19 ATTIVITÀ 3: riflessioni seconda costruzione Riprendiamo la costruzione 2 Per un'agevole dimostrazione algebrica se attribuiamo al segmento AB valore unitario, cioè 1 DC, per il teorema di Pitagora, vale: sommando si ricava: che è il numero aureo.
20 ATTIVITÀ 3: costruzione attraverso la piegatura di un foglio (Math 2012)
21 ATTIVITÀ 3: la spirale logaritmica Se partiamo da un rettangolo aureo e costruiamo sul lato minore un quadrato interno al rettangolo, quello che rimane è ancora un rettangolo aureo. L'operazione può continuare all'infinito, ritagliando quadrati che lasciano sempre rettangoli aurei. Tracciando in ogni quadrato un quarto di circonferenza, com'è indicato in figura, otteniamo una spirale logaritmica, nota come la "spirale d'oro". segue
22 ATTIVITÀ 3: la spirale logaritmica La spirale logaritmica, che si ritrova sovente in natura, è l'unico tipo di spirale che, allungandosi, mantiene sempre la stessa forma. Lo sviluppo armonico della forma è legato alla necessità degli esseri viventi di accrescere "secondo natura" in maniera ottimale e meno dispendiosa possibile. L accrescimento avviene in modo che l oggetto si mantenga simile a se stesso e questa proprietà è collegata al numero d oro, infatti solo in un rettangolo aureo, ritagliando il quadrato interno al rettangolo e costruito sul lato minore, si ottiene un rettangolo simile a quello originale. Per esempio, le conchiglie di alcuni molluschi (come il Nautilus), hanno proprio la forma della spirale logaritmica, forma che non cambia quando la conchiglia cresce. La loro conchiglia, sezionata, ha come contorno una spirale aurea.
23 ATTIVITÀ 4 Il triangolo aureo e i lati del decagono e del pentagono regolari inscritti in una circonferenza Un triangolo aureo è un triangolo isoscele con angolo al vertice (36 ) congruente a metà degli angoli alla base In un triangolo aureo la bisettrice di uno degli angoli alla base divide il lato opposto in due segmenti, tali che quello contenente il vertice è la parte aurea del lato obliquo. Si dimostra che in un triangolo aureo, la base è congruente alla sezione aurea del lato obliquo.
24 ATTIVITÀ 4: pentagono e decagono La sezione aurea fu studiata dai Pitagorici i quali scoprirono che il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio r è la sezione aurea del raggio e costruirono anche il pentagono regolare intrecciato, o stella a cinque punte, ottenendolo dal decagono regolare mediante la congiunzione di un vertice sì e uno no. A questa figura, che i Pitagorici chiamarono pentagramma, è stata attribuita per millenni un importanza misteriosa, probabilmente per la sua proprietà di generare la sezione aurea. I Pitagorici lo assunsero come simbolo dell armonia e loro segno di riconoscimento segue
25 ATTIVITÀ 4 Il pentagono regolare presenta due notevoli proprietà legate alla sezione aurea: il lato del pentagono regolare è la sezione aurea di una sua diagonale il punto di intersezione tra due diagonali divide l ciascuna di esse in due segmenti che stanno nel rapporto aureo In un decagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio R, il lato è congruente alla sezione aurea del raggio. Infatti, tracciando i raggi dal centro ai vertici del poligono, si formano triangoli isosceli aurei.
26 ATTIVITÀ 5: la successione di Fibonacci In matematica, il numero d oro, interviene nello studio della successione di Fibonacci: una successione in cui ogni termine è uguale alla somma dei due termini che lo precedono, dati i due termini iniziali 1 e 1. 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144 Il rapporto tra un termine della successione di Fibonacci e quello che lo precede si avvicina sempre di più a φ al crescere dei termini della successione. LA RIPRODUZIONE DEI CONIGLI Quante coppie di conigli verranno prodotte in un anno, a partire da un unica coppia, se ogni mese ciascuna coppia dà alla luce una nuova coppia che diventa produttiva a partire dal secondo mese? Fibonacci Liber Abaci Come si vede dal grafico all inizio dell esperimento si ha 1 coppia di conigli. Dopo un mese c è sempre 1 coppia di conigli. Dopo 2 mesi la femmina ha generato un altra coppia di conigli, quindi nel recinto ne abbiamo 2. Al terzo mese la prima coppia ne ha generata un altra, mentre la seconda non è stata in grado di procreare, quindi nel recinto ci sono 3 coppie di conigli. Passato un altro mese le prime due coppie generano altre due coppie mentre la terza non procrea, quindi nel recinto ci sono 5 coppie di conigli e cosi via di mese in mese.
27 ATTIVITÀ 5: la successione di Fibonacci LA SUCCESSIONE DI FIBONACCI IN BOTANICA La sequenza di Fibonacci si trova in molte piante e fiori. Ne è un esempio l Achillea ptarmica. La crescita di questa pianta segue lo schema qui disegnato. Ogni ramo impiega un mese prima di potersi biforcare. Al primo mese quindi abbiamo 1 ramo, al secondo ne abbiamo 2, al terzo 3, al quarto 5 e così via.
28 ATTIVITÀ 5 il numero d oro nell architettura e nella pittura La sezione aurea riconosciuta come un rapporto esteticamente piacevole è stata usata come base per la composizione di quadri o di elementi architettonici. In realtà è dimostrato che la percezione umana mostra una naturale preferenza e predisposizione verso le proporzioni in accordo con la sezione aurea; gli artisti tenderebbero dunque, quasi inconsciamente, a disporre gli elementi di una composizione in base a tali rapporti. segue
29 ATTIVITÀ 5 il numero d oro nell architettura e nella pittura Per questo il numero d'oro ha ispirato i grandi artisti, del passato come dei giorni nostri. Dagli architetti che inserirono il numero d'oro nella costruzione della piramide di Cheope, a Fidia che partecipò alla costruzione del Partenone, seguendo le auree proporzioni, a Leonardo che ebbe sempre presente le "divine proporzioni", a Dalì, insospettabile, grande cultore della matematica.
30 ATTIVITÀ 5 il numero d oro nell architettura e nella pittura Il Partenone è chiuso in un rettangolo aureo, tale cioè che il lato più lungo diviso per quello più corto è uguale al numero d'oro e nella sua struttura sono diverse le sezioni auree che si possono osservare e le stesse auree proporzioni ritroviamo nei palazzi rinascimentali, le cui finestre sono rettangoli aurei o più vicino a noi nelle costruzioni di Le Corbusier. Il rettangolo aureo è stato particolarmente apprezzato in architettura e, in generale nell arte, per le sue proporzioni. segue
31 ATTIVITÀ 5: il numero d oro nell architettura architettura greca Nella struttura del Partenone si possono riconoscere molti rettangoli aurei, alcuni dei quali sono evidenziati nella figura. architettura gotica Nell'immagine sono indicate le proporzioni auree che risultano nella struttura della cattedrale di Notre Dame di Laon, in Piccardia, fotografata nell'immagine di destra
32 ATTIVITÀ 5: il modulor di Le Corbusier Nel XX secolo l'architetto Le Corbusier ( ) ha sviluppato una scala di proporzioni che ha chiamato Le Modulor, basato su un corpo umano, la cui altezza è divisa in una sezione aurea che ha il suo punto centrale nell'ombelico. "Il Modulor è uno strumento di misura nato dalla statura umana e dalla matematica. Un uomo con il braccio alzato fornisce nei punti determinanti dell'occupazione dello spazio, il piede, il plesso solare, la testa, l'estremità delle dita, essendo il braccio alzato, tre intervalli che generano una sere di sezioni auree dette di Fibonacci. D'altra parte, la matematica offre la variazione più semplice e nello stesso tempo più significativa di un valore: il semplice, il doppio, le due sezioni auree". (da Le Corbusier: Il Modulor, 1949)
33 ATTIVITÀ 5: il rettangolo aureo nella pittura Ne L Ultima cena, Gesù,è dipinto con le proporzioni divine, ed è racchiuso in un rettangolo aureo Il volto della Gioconda è racchiuso in un rettangolo d'oro segue
34 ATTIVITÀ 5: il rettangolo aureo nella pittura Importanti anche i dipinti del pittore ottocentesco Pierre Mondrian, autore di numerosi quadri astratti in cui domina l'uso di rettangoli aurei Tra i disegni sulla spirale mirabile, spicca la bellissima costruzione Vortici dell artista e matematico olandese M. C. Escher ( )
35 ATTIVITÀ 5: la sezione aurea in natura Cosa hanno in comune una galassia, l'accrescimento biologico di alcune specie animali, la spaziatura tra le foglie lungo uno stelo e la disposizione dei petali e dei semi di girasole? Tutti presentano schemi riconducibili a quello della sezione aurea e dei numeri di Fibonacci.
36 ATTIVITÀ 5: la sezione aurea in natura Ecco qui rappresentata una serie di esempi in cui l espressione matematica della sezione aurea si manifesta nella bellezza e dell eleganza della natura. L'elemento comune di tutte figure è rappresentato dalla spirale logaritmica detta anche "spirale aurea", attraverso la quale l accrescimento avviene in modo che l oggetto si mantenga simile a se stesso.
37 ATTIVITÀ 5: rapporto aureo e corpo umano L'uomo ha acquisito nel corso del tempo un concetto di bellezza che si credeva fosse dovuto ad un puro istinto Se andiamo ad esaminare un volto che definiamo "bello" è facile scoprire come le distanze tra gli elementi che compongono il viso sono strettamente legati alla proporzione aurea. segue
38 ATTIVITÀ 5: rapporto aureo e corpo umano Se misuriamo le dita della nostra mano, noteremo che i rapporti tra le lunghezze delle falangi del dito medio e anulare sono aurei. Così come è aureo il rapporto tra la lunghezza del braccio e l'avambraccio, tra la lunghezza della gamba e la sua parte inferiore. segue
39 VERIFICA Costruire la sezione aurea
40 Esercizio 1 Verifica che nella Donna scapigliata la testa è racchiusa in un rettangolo aureo ed il volto è in proporzione aurea rispetto alla fascia dei capelli.
41 Esercizio 1 Verifica che nella Donna scapigliata la testa è racchiusa in un rettangolo aureo ed il volto è in proporzione aurea rispetto alla fascia dei capelli.
42 Esercizio 2 Disegna un rettangolo aureo e, all interno di esso, un quadrato con lato uguale al lato minore del rettangolo; il rettangolo differenza sarà anch esso un rettangolo aureo. Ripeti l operazione per almeno cinque volte al fine di avere un effetto visivo adeguato. Puntando il compasso sul vertice del quadrato che giace sul lato lungo del rettangolo, traccia l arco che unisce gli estremi dei due lati che formano l'angolo scelto. Ripeti l'operazione per ogni quadrato disegnato in modo da creare una linea continua. Verifica che gli archi successivi, collegati fra loro, formino una spirale che riproduce la forma del Nautilus
43 Esercizio 3 Dimostra che il segmento DC è sezione aurea del lato AC ordinando la sequenza dei passaggi N.B. La sequenza proposta è quella corretta 1. Costruisci il segmento AB 2. Costruisci l angolo BAB =72 3. Costruisci l asse del segmento AB 4. Interseca la semiretta AB con l asse del segmento AB 5. Congiungi i punti C e B 6. Considera il triangolo ABC 7. Considera la bisettrice dell angolo CBA 8. Indica con D il punto di intersezione della bisettrice con il lato AC
44 ALTRI ESERCIZI 4. Dato un quadrato di lato 10 cm determina l altra dimensione del rettangolo aureo associato al quadrato. 5.Determina le dimensioni del rettangolo aureo di area 50 6.Determina la sezione aurea del segmento AB = 1 7.Traccia una circonferenza di raggio r. Riporta un segmento congruente al raggio e costruisci la sua sezione aurea. Successivamente utilizza questa per inscrivere nella circonferenza un decagono regolare. 8.Calcola il valore del numero aureo con l'approssimazione alla quarta cifra decimale utilizzando un foglio di calcolo e l'algoritmo babilonese
GIORNATE MATEMATICHE La matematica nel primo biennio
GIORNATE MATEMATICHE La matematica nel primo biennio Bologna, 29 novembre 2012 Donatella Martini IT Baldini RAVENNA TAVOLA DEGLI APPRENDIMENTI Risultati di apprendimento a conclusione del primo biennio
DettagliSuccessione di Fibonacci e Sezione Aurea. Maura Roberta Orlando a.s Zingarelli Bari
Successione di Fibonacci e Sezione Aurea Maura Roberta Orlando a.s. 2017-18 Zingarelli Bari Partenone di Atene Grande Piramide Pentagramma Villa Savoye a Poissy, nei dintorni di Parigi, celebre realizzazione
DettagliSuccessione di Fibonacci (Fibonacci numbers)
Successione di Fibonacci (Fibonacci numbers) Opera di Mario Merz ( il volo dei numeri ), Mole antonelliana, Torino, 1998. Si dice successione di Fibonacci la successione 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,
DettagliLa sezione aurea nelle sue molteplici
La sezione aurea nelle sue molteplici applicazioni Nella geometria piana il rapporto aureo trova molteplici applicazioni. Se prendiamo un segmento AB =, la sua parte aurea AD vale circa 0,68 (Figura ).
DettagliDato un segmento AB ed un suo punto interno S, si dice che S divide AB secondo la sezione aurea se: (AS) 2 = AB SB. M = AS, m = SB, a = AB.
La teoria delle proporzioni, che è alla base di tutta l arte e l architettura greca, ha radici molto profonde che probabilmente risalgono all antica civiltà egizia. Nel mondo greco l ideale di bellezza
DettagliIl Rinascimento: approfondimenti sul rapporto aureo
Il Rinascimento: approfondimenti sul rapporto aureo Lo studio degli antichi da parte dei nuovi artisti rinascimentali si sviluppa e si approfondisce notevolmente. Essi infatti sono particolarmente affascinati
DettagliPrincipali Definizioni e Teoremi di Geometria
Principali Definizioni e Teoremi di Geometria Segmento (definizione) Si dice segmento di estremi A e B l insieme costituito dai punti A e B e da tutti i punti della retta AB compresi tra A e B. Angolo
DettagliLeonardo Fibonacci Lo Sviluppo della Serie,somma di Numeri La Spirale logaritmica La Sezione Aurea in Natura Bibliografia
La Successione di Fibonacci Leonardo Fibonacci Lo Sviluppo della Serie,somma di Numeri La Spirale logaritmica La Sezione Aurea in Natura Bibliografia Leonardo Fibonacci Leonardo Fibonacci, figlio di Guglielmo
DettagliSEZIONE AUREA. A.S. 2016/2017 Classe 2C Scuole secondarie di primo grado MORUZZI Casalecchio di Reno
SEZIONE AUREA A.S. 2016/2017 Classe 2C Scuole secondarie di primo grado MORUZZI Casalecchio di Reno INDICE.Introduzione.Successione di Fibonacci.La sezione aurea nella natura.la sezione aurea dell uomo.la
DettagliNUMERI, SCIENZE E ARTE - LA SUCCESSIONE DI FIBONACCI
NUMERI, SCIENZE E ARTE - LA SUCCESSIONE DI FIBONACCI AUTORI= Carlo Malavasi, Sara Sandoni, Elena Natoli, Serena Mignani, Erik Demian, Giacomo Buscemi Scuola Secondaria di I Grado IC2 Zanotti Classe 3 a
DettagliIL TEOREMA DI PITAGORA
IN CLASSE IL TEOREMA DI PITAGORA Preparazione Per questi esercizi con GeoGebra dovrai utilizzare i seguenti pulsanti. Leggi sempre le procedure di esecuzione nella zona in alto a destra, accanto alla barra
Dettagliintersezione di due oggetti semicirconferenza - per due punti circonferenza - per tre punti retta - per due punti
IN CLASSE IL CERCHIO E Preparazione Per questi esercizi con GeoGebra dovrai utilizzare i seguenti pulsanti. Leggi sempre le procedure di esecuzione nella zona in alto a destra, accanto alla barra degli
DettagliCostruzioni geometriche. (Teoria pag , esercizi )
Costruzioni geometriche. (Teoria pag. 81-96, esercizi 141-153 ) 1) Costruzione con squadra e riga. a) Rette parallele. Ricorda: due rette sono parallele quando.... oppure quando hanno la stessa. Matematicamente
DettagliProgetto Matematica in Rete - Geometria euclidea - La similitudine. La similitudine. Figure simili
Figure simili Se consideriamo due triangoli equilateri di lato diverso, due quadrati di lato diverso intuitivamente diciamo che hanno la stessa forma. Ma cosa comporta avere la stessa forma? Se osserviamo
DettagliLa misura delle grandezze
GEOMETRIA EUCLIDEA La misura delle grandezze Una classe di grandezze geometriche è un insieme di enti geometrici in cui è possibile: - il confronto tra due qualsiasi elementi dell insieme; - l addizione,
DettagliTeoremi di geometria piana
la congruenza teoremi sugli angoli γ teorema sugli angoli complementari Se due angoli sono complementari di uno stesso angolo α β In generale: Se due angoli sono complementari di due angoli congruenti
DettagliElementi di Geometria euclidea
Proporzionalità tra grandezze Date quattro grandezze A, B, C e D, le prime due omogenee tra loro così come le ultime due, queste formano una proporzione se il rapporto delle prime due è uguale al rapporto
DettagliCostruzione 1 Condurre la perpendicolare ad un retta data, passante per un punto della retta stessa.
Costruzioni Costruzioni di rette, segmenti ed angoli Costruzione 1 Condurre la perpendicolare ad un retta data, passante per un punto della retta stessa. Costruzione. Consideriamo la retta r ed un punto
DettagliProporzioni tra grandezze
Definizione Due grandezze omogenee A e B (con B 0) e altre due grandezze omogenee C e D (con D 0) si dicono in proporzione quando il rapporto tra le prime due è uguale al rapporto tra la terza e la quarta
DettagliLa successione di Fibonacci
La successione di Fibonacci Figura 1 Sulla Mole Antonelliana si accende la successione di Fibonacci ( ideazione dell architetto Mario Merz ) La relazione ricorsiva F n = F n-1 + F n-, n 3, unitamente alle
DettagliPunti notevoli di un triangolo
Punti notevoli dei triangoli - 1 Punti notevoli di un triangolo Particolarmente importanti in un triangolo sono i punti dove s intersecano specifici segmenti o semirette. Questi punti sono detti punti
DettagliCostruzioni geometriche. ( Teoria pag , esercizi 141 )
Costruzioni geometriche. ( Teoria pag. 81-96, esercizi 141 ) 1) Costruzione con squadra e riga. a) Rette parallele. Ricorda ; due rette sono parallele quando.... oppure quando hanno la stessa. Matematicamente
DettagliGeometria euclidea. Alessio del Vigna
Geometria euclidea Alessio del Vigna La geometria euclidea è una teoria fondata su quattro enti primitivi e sulle relazioni che tra essi intercorrono. I quattro enti primitivi in questione sono il punto,
DettagliProblemi di geometria
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 In un triangolo rettangolo l altezza relativa all ipotenusa è lunga 16 cm e la proiezione sull ipotenusa di un cateto è lunga 4 cm. Calcola l area del triangolo. [544 cm
DettagliApplicazioni dei teoremi di Pitagora ed Euclide
Utilizzando le misure di segmenti e superfici si possono riscrivere i teoremi di Pitagora ed Euclide per il triangolo rettangolo: Teorema di Pitagora: 1 + c i c = 1 Teorema di Euclide: c p i 1 = 1 c =
DettagliProblema Un triangolo rettangolo ha l angolo =60. La bisettrice dell angolo msura 6. Calcola il perimetro del triangolo.
SIMILITUDINE Problemi Problema 8.179 Un triangolo rettangolo ha l angolo =60. La bisettrice dell angolo msura 6. Calcola il perimetro del triangolo. La bisettrice divide l angolo =60 in due angoli di 30,
DettagliPoligoni e triangoli
Poligoni e triangoli Def: I poligoni sono figure geometriche formate da una spezzata chiusa semplice e dalla parte di piano che essa delimita.. I punti A, B, C, D, E sono i vertici del poligono. I segmenti
DettagliGeometria euclidea. Alessio del Vigna. Lunedì 15 settembre
Geometria euclidea Alessio del Vigna Lunedì 15 settembre La geometria euclidea è una teoria fondata su quattro enti primitivi e sulle relazioni che tra essi intercorrono. I quattro enti primitivi in questione
DettagliIl ruolo della bellezza nella matematica LA SEZIONE AUREA
Il ruolo della bellezza nella matematica LA SEZIONE AUREA φ La Sezione Aurea «Il rapporto Aureo è una dimostrazione meravigliosa del fatto che l uomo creatore e la natura si servono degli stessi strumenti
DettagliALCUNE LINEE GUIDA PER LA DIMOSTRAZIONE DEI TEOREMI
ALCUNE LINEE GUIDA PER LA DIMOSTRAZIONE DEI TEOREMI LE RELAZIONI FRA GLI ELEMENTI DI UN TRIANGOLO 1) La somma degli angoli interni di un triangolo è 180 γ Consideriamo il triangolo ABC. Tracciamo la parallela
DettagliEsercizi sulle rette nello spazio
1 Esercizi sulle rette nello spazio 1) Sono dati quattro punti non complanari, tre di essi possono essere allineati? 2) Sono dati quattro punti non complanari, quanti piani generano? 3) Quante coppie di
DettagliLiceo Classico Alexis Carrel. La sezione aurea. per la 3 K del Liceo Classico Alexis Carrel
La sezione aurea per la 3 K del Liceo Classico Alexis Carrel 1 Sezione aurea o rapporto aureo o proporzione divina E un particolare rapporto fra due lunghezze disuguali, delle quali la maggiore è media
DettagliCostruzioni con riga e compasso. Liceo Scientifico Statale S. Cannizzaro - Palermo Prof.re E. Modica
Costruzioni con riga e compasso Liceo Scientifico Statale S. Cannizzaro - Palermo Prof.re E. Modica I 5 postulati di Euclide Si postula che: 1) Per due punti distinti qualsiasi sia possibile tracciare
DettagliProblemi sulla circonferenza verso l esame di stato
Problemi sulla circonferenza verso l esame di stato * * * n. 0 pag. 06 a) Scrivi l equazione della circonferenza γ 1 di centro P ; ) e passante per il punto A0; 1). b) Scrivi l equazione della circonferenza
Dettagliɸ= 1,61803398874989484820458683436..
Sezione Aurea o Numero Aureo o Rapporto Aureo E un numero decimale infinito non periodico, indicato con la lettera greca ɸ (si legge fi ), che arrotondato al centesimo è 1,62. ɸ= 1,61803398874989484820458683436..
DettagliLiceo G.B. Vico Corsico a.s
Liceo G.B. Vico Corsico a.s. 2018-19 Programma svolto durante l anno scolastico Classe: 2^B Materia: Matematica Insegnante: Tommaseo Paola Testo utilizzato: Matematica multimediale.blu con TUTOR vol. 1
DettagliPoligoni. Def: I poligoni sono figure geometriche formate da una spezzata chiusa semplice e dalla parte di piano che essa delimita.
Poligoni I poligoni sono figure geometriche formate da una spezzata chiusa semplice e dalla parte di piano che essa delimita. I punti A, B, C, D, E sono i VERTICI del poligono I segmenti AB BC CD DE AE
DettagliTEOREMA DI PITAGORA. Francobollo greco dedicato al celebre teorema
Francobollo greco dedicato al celebre teorema Livello scolare: 1 biennio Abilità interessate:!conoscere le caratteristiche generali dei poligoni!saper confrontare ed operare con segmenti ed angoli!conoscere
DettagliCirconferenza e cerchio
Cerchio e circonferenza - 1 Circonferenza e cerchio La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un unico punto detto centro. Il cerchio è l insieme costituito dai punti appartenenti
DettagliAssumendo 1 u = 1 cm, calcola il perimetro e l area del quadrilatero ABCD.
Esercizio 1a Disegna un piano cartesiano ortogonale ed in esso inserisci i punti che seguono, poi uniscili nell ordine dato: Secondo te che tipo di quadrilatero hai ottenuto? Perché? Quali sono le sue
DettagliGEOMETRIA. Congruenza, angoli e segmenti
GEOMETRIA Per affermare che un triangolo è isoscele o rettangolo oppure che un quadrilatero è un parallelogramma o un rettangolo o un rombo o un quadrato o un trapezio o un trapezio isoscele, c è sempre
DettagliGEOMETRIA EUCLIDEA I teoremi di Euclide e Pitagora
GEOMETRIA EUCLIDEA I teoremi di Euclide e Pitagora Vediamo tre importanti teoremi che riguardano i triangoli rettangoli e che si dimostrano utilizzando l equivalenza delle superfici piane. Primo teorema
DettagliLa somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a un angolo piatto (180 ).
Il triangolo (UbiLearning) - 1 Triangoli Un triangolo è un poligono formato da tre lati. Rappresenta la più semplice figura piana formata dal minimo numero di lati utili a chiudere una superficie piana.
DettagliQuesto teorema era già noto ai babilonesi, ma fu il matematico greco Pitagora, intorno al 500 a.c., a darne una descrizione precisa.
IL TEOREMA DI PITAGORA Questo teorema era già noto ai babilonesi, ma fu il matematico greco Pitagora, intorno al 500 a.c., a darne una descrizione precisa. ENUNCIATO: la somma dei quadrati costruiti sui
DettagliC9. Teorema di Talete e similitudine - Esercizi
C9. Teorema di Talete e similitudine - Esercizi ESERCIZI SU TEOREMA DI TALETE, TEOREMA DELLA BISETTRICE Si consideri la seguente figura e si risponda alle domande che seguono. 1) Se AB=2, BC=4 e EF=3 trovare
DettagliProblemi di geometria
criteri di similitudine sui triangoli 1 Dimostra che le altezze di un triangolo sono inversamente proporzionali ai relativi lati. 2 Dimostra che due triangoli rettangoli sono simili se hanno ordinatamente
DettagliAppunti di Matematica 2 - Geometria euclidea - La similitudine GEOMETRIA EUCLIDEA. La similitudine
Appunti di Matematica GEOMETRIA EUCLIDEA Se consideriamo due triangoli equilateri di lato diverso, due quadrati di lato diverso intuitivamente diciamo che hanno la stessa forma. Ma cosa comporta avere
Dettaglies. 1 Tracciare con le squadre rette parallele e perpendicolari
ESERCIZI es. 1 Tracciare con le squadre rette parallele e perpendicolari es. 2 Data una retta ed un punto A esterno alla retta, tracciare la perpendicolare passante per A es. 3 Data una semiretta con origine
DettagliI TRIANGOLI. Geogebra l Triangoli COSTRUZIONE DEL TRIANGOLO ISOSCELE
I TRIANGOLI COSTRUZIONE DEL TRIANGOLO ISOSCELE Come sai il triangolo isoscele ha due lati della stessa lunghezza. Costruiamo il triangolo isoscele a partire dal lato disuguale. 1. Apri il programma Geogebra
DettagliLa parallela tracciata dal punto medio di un lato di un triangolo a uno degli altri due lati incontra il terzo lato nel suo punto medio.
TEOREMA DI TALETE Piccolo Teorema di Talete Dato un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali, a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull altra trasversale.
DettagliProblemi sui teoremi di Euclide e Pitagora
Appunti di Matematica GEOMETRIA EUCLIDEA Problemi sui teoremi di Euclide e Pitagora Utilizzando le misure di segmenti e superfici si possono riscrivere i teoremi di Pitagora ed Euclide per il triangolo
DettagliGli enti geometrici fondamentali
capitolo 1 Gli enti geometrici fondamentali 1. Introduzione 1 2. La geometria euclidea come sistema ipotetico-deduttivo 2 Teoremi e dimostrazioni, 3 3. Postulati di appartenenza 4 4. Postulati di ordinamento
DettagliCostruzioni geometriche elementari Esercitazioni
Costruzioni geometriche elementari Esercitazioni Università Mediterranea di Reggio Calabria Facoltà di Architettura Corso di DISEGNO 1 Prof. Franco Prampolini Unità didattica n. 3 Alcune brevi esercitazioni
DettagliCostruzioni inerenti i triangoli
Costruzioni inerenti i triangoli D ora in poi indicheremo con a, b e c i tre lati del triangolo di vertici A, B e C, in modo che a sia opposto al vertice A, b al vertice B e c al vertice C Costruzione
DettagliProblemi di geometria
1 2 6 7 9 Calcola la misura dell ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti misurano 11,2 cm e 1 cm. [1,7 cm] In un triangolo rettangolo l ipotenusa misura cm, un cateto è dell ipotenusa. Calcola
DettagliLe coniche come luoghi: un percorso costruttivo
Livello scolare: 2 biennio Le coniche come luoghi: un percorso costruttivo Abilità interessate Realizzare semplici costruzioni di luoghi geometrici. Risolvere semplici problemi riguardanti rette, circonferenze,
DettagliPoligoni con riga e compasso
Poligoni con riga e compasso Affrontiamo alcuni problemi di costruzione con riga e compasso, che ci aiuteranno a ricordare le principali relazioni tra le circonferenze e le rette, gli angoli inscritti,
DettagliPrincipali Definizioni e Teoremi di Geometria
Principali Definizioni e Teoremi di Geometria Segmento (definizione) Si dice segmento di estremi A e B l insieme costituito dai punti A e B e da tutti i punti della retta AB compresi tra A e B. Angolo
DettagliEquivalenza delle figure piane
Capitolo Equivalenza Poligoni equivalenti - erifica per la classe seconda Teoremi di Pitagora ed Euclide COGNOME............................... NOME............................. Classe....................................
DettagliRette perpendicolari
Rette perpendicolari Definizione: due rette incidenti (che cioè si intersecano in un punto) si dicono perpendicolari quando dividono il piano in quattro angoli retti. Per indicare che la retta a è perpendicolare
DettagliCORSO DI PREPARAZIONE AI GIOCHI DI ARCHIMEDE 2015
CORSO DI PREPARAZIONE AI GIOCHI DI ARCHIMEDE 2015 Lezione del 3 NOVEMBRE 2015 GEOMETRIA CRITERI DI CONGRUENZA FRA TRIANGOLI IL SIMBOLO indica la congruenza PRIMO CRITERIO DI CONGRUENZA: Se due triangoli
DettagliCirconferenza e cerchio
Circonferenza e cerchio è il luogo dei punti che hanno dal centro una distanza assegnata. La figura costituita da tutti i punti di una circonferenza e dai suoi punti interni si chiama Prendi uno spago,
DettagliLibro II (prime otto proposizioni) degli Elementi di Euclide
Libro II (prime otto proposizioni) degli Elementi di Euclide Il libro II può fornire molteplici spunti didattici a qualunque livello scolastico Permette infatti di rivedere parte della trattazione algebrica
DettagliC7. Circonferenza e cerchio - Esercizi
C7. Circonferenza e cerchio - Esercizi DEFINIZIONI E COSTRUZIONI 1) Dare la definizione di luogo geometrico. 2) Indicare almeno due luoghi geometrici. 3) Dare la definizione di asse di un segmento come
DettagliLiceo Scientifico G. Salvemini Corso di preparazione per la gara provinciale delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO GEOMETRIA
Liceo Scientifico G. Salvemini Corso di preparazione per la gara provinciale delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO GEOMETRIA TRIANGOLI Criteri di congruenza Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti:
DettagliProblemi di geometria
1 2 3 applicazioni al triangolo rettangolo Calcola il perimetro e l area di un triangolo rettangolo sapendo che l ipotenusa e l altezza ad essa relativa sono lunghe rispettivamente 3 cm e 16,8 cm. [8 cm;
DettagliIn un triangolo altezza mediana bisettrice asse Proprietà di angoli e lati di un triangolo
In un triangolo si dice altezza relativa a un lato il segmento di perpendicolare al lato condotta dal vertice opposto. Si dice mediana relativa a un lato il segmento che unisce il punto medio del lato
DettagliStabilire se il punto di coordinate (1,1) appartiene alla circonferenza centrata nell origine e di raggio 1.
Definizione di circonferenza e cerchio. Equazione della circonferenza centrata in O e di raggio R. Esercizi. La circonferenza e il cerchio Definizioni: dato un punto C nel piano cartesiano e dato un numero
DettagliUn famoso teorema. Una possibile costruzione del quadrato (stabile) di lato AB:
Un famoso teorema Un famoso teorema Si deve premettere: 1) Definizione di quadrato (già nota nella scuola media) 2) Prop. I.46: Costruzione del quadrato di lato il segmento dato con riga e compasso. Se
DettagliPunti notevoli di un triangolo
Punti notevoli dei triangoli (UbiLearning). - 1 Punti notevoli di un triangolo Particolarmente importanti in un triangolo sono i punti dove s intersecano specifici segmenti, rette o semirette (Encyclopedia
DettagliLa matematica dove meno te l aspetti
La matematica dove meno te l aspetti Realizzato da Elena Morano, II B Liceo scientifico P. Mazzone Roccella Jonica, a.s. 2015-2016 LA SEZIONE AUREA Assegnato il segmento AB, dicesi parte aurea di AB il
DettagliUna successione viene definita ricorrente quando un numero è una funzione costante del precedente. con
Una successione viene definita ricorrente quando un numero è una funzione costante del precedente con I coefficienti binomiali posti in un determinato ordine costituiscono il cosiddetto Triangolo di Pascal
DettagliPIANO DI RECUPERO DI MATEMATICA ANNO SCOLASTICO 2015/2016 CLASSI 3
PIANO DI RECUPERO DI MATEMATICA ANNO SCOLASTICO 0/0 CLASSI DISEQUAZIONI Risolvi le seguenti disequazioni numeriche intere. ) ) 9 ) ) 9 ( ) ) ) non esiste R non esiste R Risolvi le seguenti disequazioni
DettagliFlatlandia 7-21 Aprile 2008
FLATlandia Flatlandia 7-21 Aprile 2008 Il testo del problema: Disegnare su un cartoncino il triangolo rettangolo isoscele ABC, con l ipotenusa AB che misura 10 (cm). Disegnare quindi il triangolo equilatero
DettagliAgrobotica.it News: agroboticaitaly. La sezione aurea o proporzione divina. La sezione aurea detta.
.it News: agroboticaitaly La sezione aurea o proporzione divina La sezione aurea detta anche rapporto aureo, numero aureo, costante di Fidia o proporzione divina, è il rapporto fra due lunghezze disuguali,
DettagliCOMPITI VACANZE ESTIVE 2017 MATEMATICA Scuola Media Montessori Cardano al Campo (VA)
COMPITI VACANZE ESTIVE 017 MATEMATICA Scuola Media Montessori Cardano al Campo (VA) Nel presente documento sono elencati gli esercizi da svolgere nel corso delle vacanze estive 017 da parte degli studenti
DettagliPostulati e definizioni di geometria piana
I cinque postulati di Euclide I postulato Adimandiamo che ce sia concesso, che da qualunque ponto in qualunque ponto si possi condurre una linea retta. Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una
DettagliIl rettangolo aureo Divisione di un segmento in media ad estrema ragione
Il rettangolo aureo Divisione di un segmento in media ad estrema ragione La forma dei rettangoli e numero aureo - Molti oggetti rettangolari di uso quotidiano, come le tessere, hanno dimensioni simili
DettagliRette perpendicolari
Rette perpendicolari Definizione: due rette incidenti (che cioè si intersecano in un punto) si dicono perpendicolari quando dividono il piano in quattro angoli retti. Per indicare che la retta a è perpendicolare
DettagliI quadrilateri Punti notevoli di un triangolo
I quadrilateri Capitolo Quadrilateri 1 erifica per la classe prima COGME............................... ME............................. Quesiti 1.a ero o falso? 1. La somma degli angoli interni di un ottagono
DettagliRette perpendicolari e parallele
GEOMETRIA EUCLIDEA Rette perpendicolari e parallele Rette perpendicolari Definizione: due rette incidenti (che cioè si intersecano in un punto) si dicono perpendicolari quando dividono il piano in quattro
DettagliProprietà di un triangolo
Poligono con tre lati e tre angoli. Proprietà di un triangolo In un triangolo : I lati e i vertici sono consecutivi fra loro; La somma degli angoli interni è 180 ; La somma degli angoli esterni è 360 Ciascun
DettagliLA CIRCONFERENZA e IL CERCHIO
LA CIRCONFERENZA e IL CERCHIO La circonferenza è un poligono regolare con un numero infinito di lati Bisogna fare innanzitutto una distinzione: la circonferenza è la misura del perimetro; C (se sono più
DettagliDato un triangolo ABC, è il segmento che partendo dal vertice opposto al lato, incontra il lato stesso formando due angoli retti.
Anno 2014 1 Sommario Altezze, mediane, bisettrici dei triangoli... 2 Altezze relativa a un vertice... 2 Mediane relative a un lato... 2 Bisettrici relativi a un lato... 2 Rette perpendicolari... 3 Teorema
DettagliSOLUZIONI DEI QUESITI PROPOSTI
SOLUZIONI DEI QUESITI PROPOSTI Manca di mentalità matematica tanto chi non sa riconoscere rapidamente ciò che è evidente, quanto chi si attarda nei calcoli con una precisione superiore alla necessità QUESITO
DettagliGEOMETRIA EUCLIDEA. segno lasciato dalla punta di una matita appena appoggiata sul foglio. P
GEOMETRIA EUCLIDEA 1) GLI ENTI FONDAMENTALI: PUNTO, RETTA E PIANO Il punto, la retta e il piano sono gli ELEMENTI ( o ENTI ) GEOMETRICI FONDAMENTALI della geometria euclidea; come enti fondamentali non
DettagliPoligoni. Def: I poligoni sono figure geometriche formate da una spezzata chiusa semplice e dalla parte di piano che essa delimita.
Poligoni Def: I poligoni sono figure geometriche formate da una spezzata chiusa semplice e dalla parte di piano che essa delimita. I punti A, B, C, D, E sono i VERTICI del poligono I segmenti AB, BC, CD,
DettagliIL TRIANGOLO. Teorema di Pitagora. Il triangolo è un poligono avente tre lati.
IL TRIANGOLO Il triangolo è un poligono avente tre lati. FORMULE AREA: Il triangolo è equivalente a metà parallelogramma. A = (b x h) : da cui: b= A : h e h= A : b TRIANGOLO RETTANGOLO (a, b cateti; c
DettagliPIANO CARTESIANO. NB: attenzione ai punti con una coordinata nulla: si trovano sugli assi
PIANO CARTESIANO Il piano cartesiano è individuato da due rette perpendicolari (ortogonali) che si incontrano in un punto O detto origine del piano cartesiano. Si fissa sulla retta orizzontale il verso
DettagliI TRIANGOLI AB < AC + BC
I TRIANGOLI Il triangolo è un poligono formato da tre angoli e da tre lati: rappresenta la figura più semplice in assoluto, in quanto 3 è il numero minimo di segmenti necessari per delimitare una superficie
Dettaglik l equazione diventa 2 x + 1 = 0 e ha unica soluzione
a B 3 Compito del Q 8 maggio 009 A) Equazioni con parametro. Data l equazione ( k + k ) + k + 0 determinare il valore di k in ciascuno dei seguenti casi. L equazione si abbassa di grado (risolvere l equazione
DettagliPoligoni. Enti geometrici fondamentali. Formati dei fogli. Squadratura del foglio
Poligoni Enti geometrici fondamentali Gli enti geometrici fondamentali sono le rette e le curve. I segmenti sono frammenti di retta, mentre gli archi sono frammenti di curva. Un angolo esprime l inclinazione
DettagliLiceo Scientifico G. Galilei Trebisacce Anno Scolastico Prova di Matematica : La retta + Pitagora e Euclide Alunno: Classe: 2 B
Liceo Scientifico G. Galilei Trebisacce Anno Scolastico 011-01 Prova di Matematica : La retta + Pitagora e Euclide Alunno: Classe: B 9.03.01 prof. Mimmo Corrado A. Dato il triangolo di vertici: 3, 1 4,
DettagliTesti verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009
Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009 1) Sono assegnati i punti A(- 1; 3) C(3; 0) M ;1 a) Ricavare le coordinate del simmetrico di A rispetto a M e indicarlo con B. Verificare che il segmento congiungente
DettagliPoligoni. Def: I poligoni sono figure geometriche formate da una spezzata chiusa semplice e dalla parte di piano che essa delimita.
Poligoni Def: I poligoni sono figure geometriche formate da una spezzata chiusa semplice e dalla parte di piano che essa delimita. I punti A, B, C, D, E sono i VERTICI del poligono I segmenti AB BC CD
DettagliUnità Didattica N 36 La similitudine
Unità Didattica N 36 La similitudine 1 Unità Didattica N 36 La similitudine 01) Definizione di poligoni simili 0) Definizione di triangoli simili 03) Primo criterio di similitudine dei triangoli 04) Secondo
Dettagli1. costruzione di un TRIANGOLO ISOSCELE di assegnati lati
LABORATORIO DI GEOMETRIA COSTRUZIONI DI BASE DI POLIGONI 1. costruzione di un TRIANGOLO ISOSCELE di assegnati lati Si costruisce un segmento AB, base del triangolo, ed un segmento CD, lato obliquo. Si
DettagliLA CIRCONFERENZA, I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI
LA CIRCONFERENZA, I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI Realizzato da: Ballatore Alessia, D Aquila Michele, Di Guardo Chiara, Formosa Sara, Santuccio Anastasia. Classe: III A LA CIRCONFERENZA E IL CERCHIO
Dettagli