Il ruolo della bellezza nella matematica LA SEZIONE AUREA

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Giuditta Rossini
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1 Il ruolo della bellezza nella matematica LA SEZIONE AUREA φ

2 La Sezione Aurea «Il rapporto Aureo è una dimostrazione meravigliosa del fatto che l uomo creatore e la natura si servono degli stessi strumenti nel creare le forme per arrivare alla bellezza.»

3 Sin dai tempi più antichi esiste una proporzione divina che è stata presa in considerazione per ottenere una dimensione armonica delle cose. È stata definita "sezione aurea", o rapporto aureo, proprio perché in architettura sembra essere il rapporto più estetico fra i lati di un rettangolo e si indica con φ (dalla lettera iniziale del nome greco dello scultore Fidia).

4 Esiste un legame tra la matematica e l idea della bellezza estetica? Ebbene si, il loro denominatore comune è un numero irrazionale :

5 Sezione aurea Consideriamo un segmento diviso in due parti tali che una di esse sia media proporzionale fra l intero segmento e la parte restante. A C B AB:AC =AC:CB AC è detta SEZIONE AUREA del segmento AB Quindi si dice sezione aurea di un segmento la parte di esso che è media proporzionale fra l intero segmento e la parte restante.

6 Soluzione algebrica Una soluzione algebrica a questo problema fu data da Luca Pacioli. Ponendo a = AB, x la misura della parte aurea AC, otteniamo a : x = x : (a-x) Applicando le proprietà della proporzioni, si ottiene x 2 = a(a-x) da cui si ottiene l equazione di secondo grado: x 2 + ax a 2 = 0 che ammette due soluzioni, di cui accettiamo solo quella positiva, essendo x una lunghezza:

7 Si chiama rapporto aureo o numero aureo, e si indica con la lettera greca φ, il rapporto tra una grandezza e la sua parte aurea. Nel caso dei segmenti precedentemente considerati, si calcola

8 Il valore di φ φ=

9 Rettangolo Aureo Il rettangolo aureo è quella particolare figura in cui il lato maggiore e il minore stanno tra loro in un rapporto pari a φ. Se si prova a sottrarre dal rettangolo di partenza un area pari al quadrato generato dal lato minore, si otterrà un nuovo rettangolo ancora una volta in proporzione aurea; togliendo ancora un quadrato dal rettangolo «figlio» con lo stesso procedimento, si otterrà nuovamente un rettangolo rimpicciolito del fattore φ. Proseguendo, si otterranno dunque una serie di rettangoli sempre più piccoli, ma tutti simili.

Spirale logaritmica Considerando il rettangolo aureo e la sua suddivisione in figure minori e simili, è possibile ottenere la creazione di questa spirale: essa è generata da archi di circonferenza

10 Spirale logaritmica Considerando il rettangolo aureo e la sua suddivisione in figure minori e simili, è possibile ottenere la creazione di questa spirale: essa è generata da archi di circonferenza che hanno come raggi i lati dei quadrati costruiti sui lati minori. La spirale si sviluppa intorno a un punto detto «occhio di Dio», ossia il punto d incontro tra le due diagonali che si intersecano in ciascuna coppia di rettangoli.

11 La sezione aurea, o rapporto divino, o come lo chiamano costante dell armonia è uno dei rapporti più antichi usati per dare proporzione agli oggetti.

12 L Arte senza la Scienza è nulla Giovanni Mignon Parigi, 1399

13 Storia

14 Sembra che già nell antico Egitto e a Babilonia si conoscesse il rapporto divino. Esso era noto anche presso i Greci, considerato come un valore proporzionale ideale.

Pitagora diceva che il principio del mondo è il numero, che il mondo consiste di opposti e che solo l armonia può portare ciò che i due contrari all unità perfetta.

15 Pitagora diceva che il principio del mondo è il numero, che il mondo consiste di opposti e che solo l armonia può portare ciò che i due contrari all unità perfetta. Il sistema delle proporzioni ideali del corpo umano è stato scoperto dallo scultore greco Fidia. Platone diceva che l Universo stesso è costruito secondo il Rapporto Aureo.

altro la divisione di un segmento in estrema e media ragione; il primo

16 Keplero considerava il rapporto aureo come un tesoro della geometria: La geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora, l altro la divisione di un segmento in estrema e media ragione; il primo può essere paragonato ad un sacco di oro, il secondo ad un gioiello prezioso.

17 Arte

18 Il corpo umano è costruito secondo il Rapporto Aureo; questa è una verità che ben conoscevano gli egiziani, i greci ed anche gli artisti del Rinascimento. Una figura umana alta circa 183 centimetri e con un braccio alzato fu inserita in un quadrato e ne vennero stabilite le dimensioni parziali. Risultato: il rapporto fra l'altezza dell'uomo e l'altezza del suo ombelico risulta esattamente uguale a.

19 Il principale esempio d impiego del Rapporto Aureo è la statua Dorifor di Policleto. Vediamo le sue proporzioni.

20 Nella Gioconda il Rapporto Aureo è stato individuato: nella disposizione del quadro nelle dimensioni del viso nell area che va dal collo a sopra le mani in quella che va dalla scollatura dell abito fino a sotto le mani.

21 Nell Ultima cena Gesù, il solo personaggio veramente divino, è dipinto con le proporzioni divine ed è racchiuso in un rettangolo aureo.

22 Questo rapporto affascinò inoltre Sandro Botticelli, uno delle pietre miliari della pittura italiana rinascimentale. Il quadro in cui è più evidente l utilizzo della sezione divina è La nascita di Venere. In questa tela Botticelli cerca di rappresentare il motore che genera l Amore e la Bellezza. Botticelli non poteva fare a meno di inserire il rapporto aureo che donasse armonia alla figura della donna: infatti misurando l altezza da terra dell ombelico e l altezza complessiva il loro rapporto risulterà 0.618, il reciproco di Φ; così anche il rapporto tra la distanza tra il collo del femore e il ginocchio e la lunghezza dell intera gamba o anche il rapporto tra il gomito e la punta del dito medio e la lunghezza del braccio presentano come valore il numero divino.

Leonardo Da Vinci, figura fondamentale del Rinascimento, afferma «la pittura è la regina delle arti ed è strettamente legata alle scienze matematiche, cioè numero e misura, dette aritmetica e

23 Leonardo Da Vinci, figura fondamentale del Rinascimento, afferma «la pittura è la regina delle arti ed è strettamente legata alle scienze matematiche, cioè numero e misura, dette aritmetica e geometria, che trattano con somma verità della quantità discontinua e continua.» Questo discorso trova la sua rappresentazione migliore nel celebre Uomo vitruviano, in cui egli stabilì che la proporzione umana è perfetta solo quando l ombelico divide l uomo in modo aureo.

24 Architettura

25 La piramide egizia di Cheope, ha una base di 230 metri ed un altezza di 145: il rapporto base / altezza corrisponde a 1,58 molto vicino a 1,6. Un proverbio arabo dice : Tutto nel mondo ha paura del tempo, ma il tempo ha paura delle piramidi forse sarà per il fatto che sono costruite secondo il Rapporto Divino?

26 Nella Partenone si ritrova il rettangolo aureo sia nella pianta che nell'architrave della facciata.

27 Anche nella progettazione della Cattedrale di Notre Dame a Parigi e del Palazzo dell'onu a New York sono state utilizzate le proporzioni del rettangolo aureo.

28 Letteratura

29 L Estetismo e il culto della bellezza Per estetismo si può intendere ogni visione della realtà e della vita che si fondi sui valori estetici, o che faccia di essi un imprescindibile punto di riferimento Scriveva D'Annunzio in una pagina del Piacere «la Bellezza è l'asse interiore degli artisti e degli uomini d'intelletto, e li preserva, anche quando si abbandonano agli eccessi» Celebri i versi di Keats, che ispirarono, forse, D'Annunzio: A thing of beauty is a joy for ever.

30 Sezione aurea in natura

esprimessero qualche regola universale o legge di natura.

31 In natura era già noto sin dall antichità il rapporto aureo. Durante i millenni si radicò la convinzione che tali proporzioni esprimessero qualche regola universale o legge di natura. Gli antichi greci erano profondamente convinti dell ARMONIA GEOMETRICA DELL UNIVERSO.

Un particolare molluschio chiamato Nautilus ha una conchiglia che assume la forma della spirale logaritmica. Il nautilus è classificato come «fossile vivente».

fossile si fosse estinto al termine del periodo del Paleozolico, ma dal 1828 è stato osservato nuovamente in vita.

32 Un particolare molluschio chiamato Nautilus ha una conchiglia che assume la forma della spirale logaritmica. Il nautilus è classificato come «fossile vivente». Questa definizione indica particolari tipi di organismi, animali o vegetali, con caratteristiche morfologiche primitive e soggetti ad un processo evolutivo molto lento: infatti si pensava che questo fossile si fosse estinto al termine del periodo del Paleozolico, ma dal 1828 è stato osservato nuovamente in vita. Questo animale nella sua conchiglia aumenta di grandezza e si costruisce camere sempre più spaziose, sigillando le precedenti ormai inutilizzabili perché troppo piccole. Così, mentre la conchiglia si allunga, il raggio aumenta in proporzione,creando la particolare forma a spirale logaritmica e facendo in modo di non mutare la forma del guscio.

33 Sezione aurea nel corpo umano Anche nel corpo umano possiamo trovare numerosi rapporti aurei... alcuni esempi sono: 1) Se misuriamo le dita della nostra mano noteremo che i rapporti tra le lunghezze delle falangi del dito medio e anulare sono aurei;

34 2) Aureo è anche il rapporto tra le lunghezze di braccio e avambraccio e della gamba con la sua parte inferiore.

35 La natura ha le sue leggi, tutti noi lo sappiamo. La Scienza ha lo scopo di spiegarle e l`arte prova a mostrarle. Il Rapporto Aureo è un esempio meraviglioso dell`unità perfetta tra Scienza e Arte.

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