Incontri di Matematica: coniche e trasformazioni geometriche

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1 Incontri di Matematica: coniche e trasformazioni geometriche Norberto Gavioli Dipartimento di Ingengeria e Scienze dell Informazione e Matematica Università dell Aquila Ercole Suppa e Rosanna Tupitti Liceo Scientifico A. Einstein Teramo Progetto Lauree Scientifiche Teramo Liceo Scientifico A. Einstein A.S

2 Indice 1 Introduzione alla geometria proiettiva Proiezioni centrali e proiettività

3 1 Introduzione alla geometria proiettiva La geometria proiettiva nasce dalla necessità di raffigurare in prospettiva su di un piano degli oggetti tridimensionali (es. realizzazione pittorica di un paesaggio). Si può pensare alla tela come ad un piano verticale σ dietro il quale è posto un punto di osservazione O, un punto P dello spazio viene raffigurato sul piano σ con la sua proiezione di centro O definita da P = OP σ. Se ci limitiamo Figura 1.1: Proiezione prospettica a proiettare un piano orizzontale π la corrispondenza definita dalla proiezione f(p ) = P = OP σ è una funzione iniettiva (manda punti distinti in punti 2

4 distinti) che però non è definita su tutto π, non si possono infatti proiettare da O sul piano σ tutti i punti della retta s che si ottiene intersecando π con il piano parallelo a σ passante per O. In modo analogo non tutti i punti di σ raffigurano (sono proiezioni di) punti di π; non lo sono infatti tutti i punti della retta r, chiamata linea dell orizzonte, che si ottiene intersecando σ con il piano passante per O e parallelo a π. Per ovviare a questa dissimetria ad ogni piano si aggiunge una retta chiamata retta impropria o retta dei punti all infinito ottenendo in tal modo quello che è chiamato piano proiettivo. Idealmente questa retta nel piano π è quella che corrisponderebbe alla retta r nella proiezione di centro O. Ogni altra retta t del piano π interseca la retta all infinito r del piano in un punto P chiamato punto all infinito di t. Questo diventa evidente quando rappresentiamo in prospettiva due rette parallele, nella raffigurazione si incontrano in un punto della linea dell orizzonte. Ne deduciamo idealmente che due rette nel piano sono parallele se e solo se hanno lo stesso punto all infinito. Iniziamo con il porci questa domanda: cosa succede se nel piano proietto una retta r su una retta r utilizzando una proiezione parallela ossia una proiezione che ha come centro di proiezione un punto improprio (all infinito)? Stiamo tagliando due trasversali con un fascio di rette improprio. Il Teorema di Talete afferma che tale fascio stacca sulle due trasversali classi di segmenti direttamente proporzionali. Con riferimento alla figura 1.2 questo si enuncia dicendo che la A' A B' B C' C r r' Figura 1.2: Trasversali tagliate da un fascio improprio proiezione parallela f : r r definita da f(p ) = P conserva i rapporti tra le detto anche fascio di rette parallele; si noti che un fascio improprio ha come centro un punto improprio, l unico in comune a tutte le rette del fascio 3

5 misure dei segmenti: AB AC = A B A C = f(a)f(b) f(a)f(c). (1.1) Una qualunque corrispondenza f tra due rette r ed r per la quale valga la proprietà (1.1) viene chiamata similitudine (tra rette). Abbiamo visto che una proiezione parallela tra due rette è una similitudine. Sorge quindi la domanda: è vero anche il viceversa? A A'=A'' B B'' B' C C'' r C' r' Figura 1.3: Similitudini e proiezioni parallele Domanda. È vero che ogni similitudine tra due rette è una proiezione parallela? La risposta è chiaramente no, infatti una qualunque proiezione (parallela o con centro proprio che sia) manda il punto di intersezione di r con r in sé stesso, cosa che non è in generale vera per una generica similitudine tra rette (es. il caso in cui r ed r coincidono e la similitudine è una traslazione non banale). In ogni caso è facile vedere che una similitudine tra due rette distinte tra loro non parallele si può ottenere componendo (applicando in successione) 4

6 due proiezioni parallele. Riferendoci alla figura 1.3 cominciamo ad osservare che c è una sola similitudine f tra r ed r che associa ai punti A e B i punti A e B, infatti il punto C corrispondente al punto C in questa similitudine è univocamente determinato dalle condizioni (1.1). Per prima cosa mandiamo per il punto A la retta r parallela a r e consideriamo la proiezione parallela f 1 da r a r ottenuta proiettando parallelamente alla retta AA. Determiniamo il punto B che corrisponde a B tramite f 1. Facciamo seguire la proiezione f 1 dalla proiezione f 2, da r a r, ottenuta proiettando parallelamente alla retta B B. L applicazione in successione di f 1 ed f 2 conserva i rapporti tra i segmenti ed è pertanto una similitudine f 2 f 1 che manda A in A e B in B. Per quanto detto sul fatto che una similitudine è completamente determinata da come agisce su una coppia di punti se ne deduce che f 2 f 1 deve mandare ogni altro punto C nel suo corrispondente C = f(c), pertanto f = f 2 f 1. Esercizio. Mostrare che una similitudine tra rette può essere sempre ottenuta come composizione di al più tre proiezioni parallele. Considerare i casi r = r e r r. 1.1 Proiezioni centrali e proiettività Date due rette nel piano r ed r ed un punto O che non giace su nessuna delle due rette, la proiezione centrale di centro O da r ad r è la corrispondenza che associa ad un punto A della retta r il punto A = OP r. Come nel caso delle O A B C r A' B' C' r' Figura 1.4: Proiezione centrale o prospettività tra rette proiezioni parallele, che sono proiezioni centrali di centro improprio, ci si pone 5

7 la domanda se la composizione di due proiezioni centrali sia sempre a sua volta una proiezione centrale. Vediamo con un esempio che la risposta è, in generale, negativa. r r' P' O P O' r'' P'' Figura 1.5: Composizione di due prospettività Esempio. Si considerino nel piano cartesiano le rette rispettivamente di equazioni r : x = 1, r : x = 1 e r : y = 3 (vedasi figura 1.5). Consideriamo la proiezione centrale di centro O( 2, 1) della retta r sulla retta r. Un punto P sulla retta r è della forma P ( 1, t). La retta OP ha allora equazione y 1 t 1 = x Per ottenere il punto P corrispondente di P sulla retta r dobbiamo intersecare OP con r y =(t 1) x y = 3 ( Si ottiene quindi il punto P 2 t + 1 ) t 1, 3. Proiettiamo ora il punto P sulla retta r utilizzando come centro il punto O (2, 1). La retta O P ha equazione y = x 2 2 t + 1 t 1 2 6

8 Intersecandola con la retta r si trova il punto P corrispondente a P nella predetta proiezione (x 2)(t 1) + t y = t x =1 Si trova quindi P = O P r = (1, 1/t). La corrispondenza σ che associa al punto P il punto P si ottiene componendo due proiezioni centrali, mostriamo che σ non è una proiezione centrale. Consideriamo a tal fine la figura 1.6. Le r r' P' T P H A K Figura 1.6: circonferenza inviluppata rette r ed r sono le tangenti alla circonferenza goniometrica Γ (di raggio unitario e centrata nell origine degli assi Γ : x 2 + y 2 = 1) rispettivamente nei punti H( 1, 0) e K(1, 0).in cui essa incontra l asse delle ascisse. Da un punto P della retta r mandiamo l altra tangente a Γ e chiamiamo P l intersezione di questa con la retta r ; indichiamo con T il punto di tangenza di P P con Γ, con A(0, 0) l origine degli assi. Il triangolo P AP è rettangolo in A (perché?). Per il secondo teorema di Euclide si ha che la sua altezza AT è media proporzionale tra le proiezioni P T e P T dei cateti sull ipotenusa. Si ha quindi P T P T = AT 2 = 1. D altra parte HP = P T e KP = P T, in quanto segmenti di tangenza mandati da punti esterni ad una circonferenza. Se ne deduce che HP KP = 1 e che quindi se P ( 1, t) allora P (1, 1/t). Abbiamo mostrato che la retta che congiunge il punto P con il punto P corrispondente a P tramite σ è sempre tangente alla circonferenza Γ. Dal momento che tre rette distinte tangenti a Γ non appartengono mai allo stesso fascio si ha che σ non può essere una proiezione centrale; infatti in una proiezione di centro O le rette che congiungono punti corrispondenti appartengono al fascio di centro O. C è un modo più semplice di vederlo? Si: le proiezioni centrali fissano i punti di intersezione delle rette che mettono in corrispondenza: se P = r r allora P = OP r = P... 7

9 Definizione. Una proiettività tra due rette è una corrispondenza (biunivoca) ottenuta componendo in successione una o più proiezioni centrali. Nota. Poiché la proiezione centrale di una retta su sé stessa coincide necessariamente con l identità, quest ultima è una particolare proiettività. a b c d Figura 1.7: Birapporto di quattro raggi Consideriamo ora quattro rette in un fascio (proprio) come in figura 1.7. Definizione. Il birapporto (a, b, c, d) di quattro rette a, b, c e d in un fascio (proprio) è definito come ( ) sen(âc) (a, b, c, d) = ( sen(âd) sen(âc) sen( bd) sen( bc) ) = sen(âd) sen( bc) sen( bd) (1.2) dove gli angoli sono intesi come angoli orientati (possono essere positivi o negativi a seconda del verso di percorrenza) Teorema. Date quattro rette distinte a, b, c e d in un fascio (proprio) e una trasversale r, poniamo A = a r, B = b r, C = c r e D = d r. Si ha allora la seguente eguaglianza: sen(âc) sen( bd) AC BD (a, b, c, d) = = sen(âd) sen( bc) AD BC dove i segmenti sono intesi come segmenti (eventualmente semirette) orientati (possono avere misura positiva o negativa a seconda del verso di percorrenza, eventualmente infinita) 8

10 O a b c d A B C D Figura 1.8: Birapporto di quattro punti Dimostrazione. Riferiamoci alla figura 1.8 e denotiamo con O il punto in comune alle rette a, b, c e d. Dal teorema dei seni si ha AC sen(âc) = AD sen(âd) = BC sen( bc) = BD sen( bd) = OC sen(ôad) OD sen(ôad) OC sen(ôbd) OD sen(ôbd) da cui sen(âc) = AC sen(ôad) OC AD sen(ôad) sen(âd) = OD Teorema dei seni 9

11 sen( bc) BC sen(ôbd) = OC sen( bd) BD sen(ôbd) = OD Sostituendo in (1.2) si ottiene come richiesto. sen(âc) sen( bd) AC BD (a, b, c, d) = = sen(âd) sen( bc) AD BC Alla luce di questo teorema è utile definire il birapporto di quattro punti allineati A, B, C e D come (A, B, C, D) = AC BD AD BC (1.3) (dove si deve sempre tener conto che i segmenti sono orientati). Il precedente teorema può essere allora riformulato come segue. Teorema. Date quattro rette distinte a, b, c e d in un fascio (proprio) e una trasversale r, poniamo A = a r, B = b r, C = c r e D = d r. Si ha allora la seguente eguaglianza: (a, b, c, d) = (A, B, C, D) Sulla base di questo risultato si ottiene subito che il birapporto è invariante per sezioni (di fasci con rette) e per proiezioni centrali: riferendosi alla figura 1.9 si ha (a, b, c, d) = (A, B, C, D) = (A, B, C, D ). In generale posto λ = (A, B, C, D) si ha (A, B, C, D) = (B, A, D, C) = (C, D, A, B) = λ (A, B, D, C) = 1 λ (A, C, B, D) = 1 λ (A, D, C, B) = λ λ 1 Vale inoltre la seguente importante proprietà: (A, B, C, D) = (A, B, C, E) D = E (1.4) Esercizio. Mostrare che il birapporto di punti allineati è invariante per proiezioni parallele. In particolare si può definire il birapporto di quattro rette distinte e parallele come il birapporto di una qualunque quaterna di punti che esse intersecano su di una trasversale. 10

12 A B C D A' B' C' D' Figura 1.9: Invarianza del birapporto per proiezioni Per quanto appena detto abbiamo che le proiettività (che si ottengono componendo in sequenza proiezioni centrali) preservano i birapporti di quaterne di punti allineati. Domanda. Una corrispondenza biunivoca tra due rette r ed r che preservi i birapporti di quaterne di punti è sempre una proiettività? La risposta è: si. Vediamo il caso particolare in cui le due rette sono distinte e lasciamo il caso generale al lettore. Supponiamo che sia data una corrispondenza biunivoca σ tra due rette r ed r che preserva i birapporti (ci si riferisca alla figura 1.10) che associa ai punti A, B e C rispettivamente i punti A, B e C. Si prendano a caso sulla retta BB due punti O / r e O / r. Si ponga A = OA O A, C = OC O C, r = A C e B = OO r. La composizione τ della proiezione di centro O da r in r con quella di centro O da r in r. La corrispondenza τ manda A, B e C rispettivamente in A, B e C. Preso un punto P sulla retta r questo viene mandato da τ in P r e inoltre (A, B, C, P ) = (A, B, C, P ). D altra parte si deve avere anche (A, B, C, P ) = (A, B, C, P ) = (σ(a), σ(b), σ(c), σ(p )) = (A, B, C, σ(p )). Dalla condizione (1.4) si ottiene allora che σ(p ) = P = τ(p ) comunque sia scelto il punto P r. Pertanto σ coincide con la composizione τ della proiezione di centro O da r in r con quella di centro O da r in r. In modo analogo alla proiettività tra rette può essere definita proiettività tra fasci di rette o tra fasci e rette, come corrispondenze biunivoche che preservano i birapporti di quaterne (di rette/punti). Ad esempio la corrispondenza che associa ad una retta di un fascio la sua intersezione con una trasversale r fissata è una proiettività tra un fascio e una retta chiamata appunto sezione. 11

13 Figura 1.10: Corrispondenza che preserva i birapporti Un esempio di proiettività tra fasci è quella che si ottiene fissando una retta r nel piano e facendo corrispondere ad ogni retta a del primo fascio la retta a del secondo fascio tale che a r = a r. Questo tipo di proiettività viene chiamata prospettività tra fasci. Possiamo ora enunciare i Teoremi di Steiner. Teorema (diretto di Steiner). Siano r ed r due tangenti ad una conica non degenere Γ, per ogni altra tangente t a Γ si ponga P t = t r e P t = t r, allora corrispondenza che associa P t a P t è una proiettività da r in r che non è prospettività. Teorema (inverso di Steiner). Siano r ed r due rette e σ : r r una proiettività che non è una prospettività, allora al variare di P in r, le rette P σ(p ) inviluppano (sono tutte tangente ad) una conica non degenere Γ che risulta essere tangente a r ed r. Teorema (duale di Steiner). Siano F ed F due fasci i cui centri appartengono ad una ad una conica non degenere Γ, per ogni punto P Γ siano r P la retta di F che passa per P e r P la retta di F che passa per P, allora corrispondenza che associa r P a r P è una proiettività da F in F che non è una prospettività. Teorema (duale-inverso di Steiner). Siano F ed F due fasci di rette in un piano e σ : F F una proiettività che non è una prospettività, allora al variare della retta r nel fascio F, i punti r σ(r) descrivono una conica non degenere Γ che risulta passare per i centri dei due fasci. 12

14 Quest ultimo teorema viene talvolta utilizzato per la costruzione di coniche (generazione proiettiva delle coniche). 13