Università degli Studi di Salerno. Note per il Corso di Algoritmi e Strutture Dati II Parte B. Docente: Ugo Vaccaro

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2 Università degli Studi di Salerno Note per il Corso di Algoritmi e Strutture Dati II Parte B Docente: Ugo Vaccaro Corso di Laurea in Informatica Anno Accademico

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4 Indice Lezione 1: Definizione di algoritmo di approssimazione; Vertex Cover; Massimo Sottografo Aciclico; Maximum Cut pag. 1 Lezione 2: Set Cover; Copertura Massima pag. 9 Lezione 3: Steiner Tree; TSP pag. 17 Lezione 4: K-Centro; PTAS; FPTAS; Zaino pag. 28 Lezione 5: Algoritmi di approssimazione via arrotondamento della soluzione di sistemi di PL; Vertex Cover; Set Cover; Set Multicover; Hitting Set pag. 36 Lezione 6: Arrotondamento probabilistico; Set Cover; Max-Sat pag. 45 Lezione 7: Principio della Dualità in Programmazione Lineare; Set Cover via Dual Fitting; Hitting Set via slackness primale pag. 54 Lezione 8: Algoritmi di approssimazione via Primale-Duale; Vertex Cover; Set Cover pag. 65 Lezione 9: Algoritmi on-line; Analisi competitiva di algoritmi; Gestione della Cache; 2-competitività di LRU; Ottimalità di LRU pag. 72 Lezione 10: Accesso e Gestione di Liste dinamiche; 2-competitività di MTF; ottimalità di MTF.... pag. 81 Lezione 11: Scheduling on-line; Bin Packing on-line; Analisi competitiva del Problema dell affitto di sci e del Problema della Compravendita di azioni pag. 89

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6 ASDII:Parte B Lezione 1 1 Algoritmi e Strutture Dati II: Parte B Anno Accademico Docente: Ugo Vaccaro Lezione 1 Dalla Teoria della NP-Completezza abbiamo appreso che esiste una classe di problemi (NP-hard) per cui non è noto alcun algoritmo di soluzione di complessità polinomiale ed è inoltre molto improbabile che per tali problemi possa essere mai trovato un algoritmo di soluzione di complessità polinomiale. Tuttavia, la classse dei problemi NP completi contiene molti problemi di grande importanza pratica. Per essi è molto importante dover produrre una qualche soluzione, independentemente dal fatto che la soluzione migliore sia difficile da trovare o meno. 1 Tipicamente, ci sono tre differenti approcci che si possono seguire quando ci si trova di fronte alla necessità di trovare soluzioni accettabili in pratica per problemi NP completi. 1. Se l input al problema dettato dalla specifica situazione pratica in cui il problema sorge è piccolo, allora si può provare a trovare la migliore soluzione mediante una ricerca esaustiva, che essenzialmente genera tutte le possibili soluzioni associate all istanza di input e poi se ne sceglie la migliore. Tale approccio genera algoritmi con complessità esponenziale. Tuttavia, se l input è piccolo, in pratica può produrre soluzioni in un tempo ragionevole. 2. Il fatto che un problema sia NP completo essenzialmente implica che è molto improbabile che esista un algoritmo di complessità polinomiale che produce la soluzione desiderata in corrispondenza ad ogni possibile istanza di input. Può capitare, però, che per specifiche particolari istanze di input, un tale algoritmo possa essere trovato. Pertanto, una analisi accurata delle possibili istanze di input che possono ragionevolmente accadere in pratica, può portare alla elaborazione di algoritmi efficienti. 3. Il terzo approccio consiste nel progettare algoritmi che producano una soluzione in tempo polinomiale, per ogni possibile istanza di input, non necessariamente di valore ottimo, ma che si discosti dal valore ottimo per poco, e che tale poco sia stimabile in funzione della taglia dell input. In questo corso seguiremo il terzo approccio. Precisiamo i concetti sopra esposti. Innanzitutto diciamo che ci occuperemo di problemi di ottimizzazione. Informalmente un problema di ottimizzazione Π è definito da: un insieme I Π di possibili istanze di input; 1 Per il momento la discussione è da intendersi ad un livello molto informale, successivamente daremo un senso preciso ai termini migliore soluzione e qualche soluzione per i problemi NP completi che considereremo.

7 ASDII:Parte B Lezione 1 2 ad ogni possibile istanza di input i I Π è associato un insieme di possibili soluzioni S Π (i). É definita inoltre una funzione costo che in corrispondenza ad ogni possibile istanza di input i I Π associa ad ogni soluzione s S Π (i) un costo c(s) R +. In linea di principio, l obiettivo sarebbe di trovare in maniera efficiente, per ogni istanza di input i I Π, una soluzione di minimo costo (o massimo costo, a seconda che il problema sia di minimo o di massimo, rispettivamente), associata alla istanza i. Sia OPT Π (i) il costo di una tale soluzione. Per i problemi di ottimizzazione che studieremo in questo corso, calcolare OPT Π (i) è difficile, ovvero il corrispondente problema di decisione è NP completo (vedi ASD2 parte A). Esempio 1 Un classico esempio di problema di ottimizzazione è il problema del Minimum Spanning Tree. L insieme delle possibili istanze di input a Minimum Spanning Tree consiste di tutte le possibili coppie (G, w), dove G = (V, E) è un grafo con insieme di vertici V ed insieme di archi E, e w : E R + è una funzione peso che associa numeri non negativi agli archi nell insieme E. Per ogni possibile istanza di input i = (G, w), l insieme delle possibili soluzioni S(i) consiste di tutti i sottoalberi di G che contengono tutti i vertici in V. Ad ogni possibile soluzione s S(i) (ovvero ad ogni possibile sottoalbero T di G che contiene tutti i vertici di G) è associato come costo il valore c(s) pari alla somma dei pesi secondo la funzione w degli archi di T. Il problema di ottimizzazione consiste nel trovare per ogni i = (G, w) un albero di minimo costo in S(i). Esempio 2. Un altro classico problema di ottimizzazione è il problema del Vertex Cover. L insieme delle possibili istanze di input a Vertex Cover consiste di tutti i possibili grafi G = (V, E). Per ogni grafo G, l insieme delle possibili soluzioni ad esso associato consiste di tutti i sottoinsiemi S V tali che per ogni arco e E, almeno uno dei due vertici incidenti su e appartiene a S. Ogni tale S viene chiamato vertex cover di G. Il costo di una soluzione S V associata al grafo G corrisponde alla sua cardinalità S. Il problema di ottimizzazione consiste nel trovare per ogni grafo G un vertex cover di minima cardinalità. Informalmente, un algoritmo di approssimazione A per un problema di ottimizzazione Π produce, in tempo polinomiale ed in corrispondenza ad ogni istanza di input di Π, una soluzione di valore (costo) prossimo all ottimo, dove per prossimo intendiamo che differisce dal valore ottimo per un certo fattore, sperabilmente piccolo. Precisiamo maggiormente questi concetti, differenziando tra problemi di ottimizzazione di minimo e problemi di ottimizzazione di massimo. Definizione. Sia Π un problema di ottimizzazione di minimo, e sia ρ : N R +, con ρ(n) 1, per ogni n N. Un algoritmo A è detto essere un algoritmo di approssimazione con fattore di approssimazione ρ per il problema di ottimizzazione Π se, per ogni istanza di input i di Π l algoritmo A produce in tempo polinomiale nella taglia dell input i una soluzione s S Π (i) tale che il valore della funzione costo sulla soluzione s soddisfi c(s) ρ( i )OP T Π (i)

8 ASDII:Parte B Lezione 1 3 Chiaramente, più prossimo a 1 è ρ( i ) e migliore è l approssimazione prodotta dall algoritmo. Analoga è la definizione di algoritmo di approssimazione per problemi di ottimizzazione di massimo. Definizione. Sia Π un problema di ottimizzazione di massimo, e sia ρ : N R +, con ρ(n) 1, per ogni n N. Un algoritmo A è detto essere un algoritmo di approssimazione con fattore di approssimazione ρ per il problema di ottimizzazione Π se, per ogni istanza di input i di Π l algoritmo A produce in tempo polinomiale in i una soluzione s S Π (i) tale che il valore della funzione costo sulla soluzione s soddisfi c(s) OP T Π(i) ρ( i ) Per semplicità, denoteremo con SOL il valore della soluzione prodotta dagli algoritmi di approssimazione che esamineremo, e con OP T il valore della soluzione ottima. Dalla definizione di algoritmi di approssimazione discende che per provare che un algoritmo A abbia un fattore di approssimazione ρ occorre provare che il costo della soluzione trovata da A si discosta dal valore ottimo OP T della soluzione al più per un fattore ρ. Si pone il problema di come dimostrare questo fatto, visto che per i problemi che studieremo non conosciamo ovviamente a priori OP T né riusciamo a calcolarlo. Il trucco consiste nello stimare OP T con quantità di più facile calcolo. Vediamo come farlo nel seguente problema. VERTEX COVER Input: grafo G = (V, E) Output: sottoinsieme S V di minima cardinalità S tale che (u, v) E valga {u, v} S. L intuizione alla base di un algoritmo di approssimazione per il problema del Vertex Cover è la seguente. Se nel grafo G abbiamo un certo numero k di archi disgiunti, ovvero di archi in cui nessuno di essi è adiacente all altro, allora occorreranno almeno k vertici per coprirli tutti. Ora, un insieme M E di archi disgiunti viene chiamato matching. L osservazione appena fatta ci permette di trarre la seguente conclusione: ogni Vertex Cover per G deve essere grande almeno quanto ogni matching di G. Ciò vale ovviamente anche per il Vertex Cover ottimo (ovvero quello di cardinalità minima). Sia OP T la cardinalità del Vertex Cover di taglia minima. Abbiamo quindi appena dimostrato che OP T M, per ogni M matching in G. (1) Quindi la (1) ci ha permesso di ottenere una prima stima di OP T che useremo per valutare il fattore di approssimazione del nostro algoritmo. Diremo ora che un matching M è

9 ASDII:Parte B Lezione 1 4 massimale se per ogni arco e E vale che M {e} non è più un matching. L osservazione chiave è che l insieme A dei vertici che incidono sugli archi di un matching massimale formano un Vertex Cover per G. Infatti, se ciò non fosse, ovvero se esistesse un arco e E non coperto dai vertici di A, ciò vorrebbe dire che l arco e non è adiacente ad alcun arco in M, ovvero M {e} è ancora composto da archi non adiacenti, quindi M {e} è ancora un matching, contraddicendo il fatto che M è un matching massimale. Quindi, il seguente algoritmo produce un Vertex Cover. Costruisci un matching massimale M in G Output tutti i vertici che toccano gli archi di M Valutiamo ora il fattore di approssimazione dell algoritmo. Sia SOL il valore della soluzione ritornata dall algoritmo, ovvero il numero di vertici nell insieme output dell algoritmo. Abbiamo che SOL = 2 M 2OP T per la (1) e quindi l algoritmo ha un fattore di approssimazione costante pari a 2. Resta da vedere come costruire in tempo polinomiale un matching massimale in G. Ciò è semplicemente fatto mediante il seguente algoritmo. Algoritmo per la costruzione di un matching massimale M e, (e arco qualunque di E) Cancella nel grafo G tutti gli archi adiacenti a e Itera nel grafo rimanente fin a quando non diventa vuoto Output M É istruttivo chiedersi se è possibile migliorare il fattore di approssimazione 2, mediante un analisi più accurata dell algoritmo. La risposta è no. Si consideri il seguente esempio di grafo in cui l algoritmo da noi proposto produrrebbe una soluzione dal valore esattamente pari a 2OP T. Il grafo è un grafo bipartito con 2n nodi, in cui ogni nodo del lato sinistro è connesso ad ogni noto del lato destro. Un Vertex Cover di cardinalità minima è dato da uno dei due lati dei vertici, quindi OP T = n. D altra parte, l algoritmo considererebbe un matching massimale di cardinalità n (rappresentato ad esempio dagli archi di maggior spessore nella

10 ASDII:Parte B Lezione 1 5 figura di sopra) e di conseguenza la soluzione prodotta dall algoritmo avrebbe cardinalità SOL = 2n. Inoltre, esiste una classe di grafi in cui ogni matching massimale ha cardinalità esattamente pari alla metà di un Vertex Cover ottimale. Tale classe di grafi è composta da tutti i grafi completi 2 su n nodi, con n dispari. Da ciò si evince che se si insiste ad usare la tecnica del matching, non si potrà mai migliorare il fattore di approssimazione 2 appena provato. A tutt oggi, algoritmi di approssimazione per Vertex Cover con fattore di approssimazione costante inferiore a 2 non sono noti. Esercizio 1 Presentiamo un altro algoritmo di approssimazione per il problema del Vertex Cover con fattore di approssimazione pari a 2. L algoritmo consiste dei seguenti passi: Algoritmo alternativo per il calcolo del Vertex Cover Esegui una DFS sul grafo G Output: l insieme S costituito da tutti i vertici dell albero DFS tranne le foglie. Mostriamo innanzitutto che l insieme S output dall algoritmo è un Vertex Cover del grafo. Supponiamo per assurdo che non lo sia. Ciò implica che esiste un arco e = (u, v) E, con u e v entrambi foglie dell albero DFS. Senza perdita di generalità, supponiamo che u sia il primo tra i due vertici u, v ad essere stato visitato durante la visita DFS. Allora, per come la DFS opera, v diventerà figlio di u nell albero. Ciò contraddice il fatto che u è una foglia dell albero DFS. Sia S l insieme output dell algoritmo sopra esposto. Ci resta da provare che S 2OP T, dove OP T rappresenta la cardinalità di un Vertex Cover di taglia minima di G. Proviamo innanzitutto che nell albero DFS (e quindi anche in G) vi è un matching M di cardinalità almeno S /2. Costruiamo il matching M nel seguente modo, partendo dal nodo di livello 0 dell albero, ovvero dalla radice r. Scegliamo un figlio arbitrario u di 2 Si ricordi che un un grafo è completo se esiste un arco tra ogni coppia di vertici.

11 ASDII:Parte B Lezione 1 6 r e poniamo (r, u) in M. Iterando, al livello 1 prendiamo tutti i nodi non incidenti ad archi già posti in M, se esistono, e per ciascuno di essi scegliamo un figlio arbitrario e poniamo gli archi dei nodi al livello 1 ai loro figli cosi scelti nel matching M. Iteriamo fin quando tutti i nodi interni dell albero DFS non sono stati considerati. Abbiamo quindi costruito un matching M i cui archi incidono su ognuno degli S nodi in S. Ogni arco di M può incidere su al più due nodi di S, quindi M S /2. D altra parte, sappiamo che la cardinalità OP T di un minimo Vertex Cover per G soddisfa OP T M, quindi otteniamo che S 2OP T. Fino ad adesso abbiamo considerato problemi di minimo. Consideriamo ora un esempio di problema di ottimizzazione di massimo Esercizio 2 Consideriamo il seguente problema Massimo Sottografo Aciclico Input: grafo diretto G = (V, E) Output: sottoinsieme A E di massima cardinalità A tale che il grafo H = (V, A) non contiene cicli. Il problema è NP completo. Un algoritmo di approssimazione può essere il seguente. Scriviamo i vertici V = {1, 2,..., n} da sinistra a destra su di una linea. Poniamo in A tutti gli archi di G della forma (i, j) con i < j, ed in B tutti gli archi della forma (i, j) con i > j. Ovviamente, A B = E, e A B =. Di conseguenza, A + B = E, e quindi o A oppure B ha cardinalità almeno E /2. Tale insieme di cardinalità almeno E /2 sarà l output del nostro algoritmo. Esso è sicuramente una soluzione valida (ovvero è un insieme di archi senza cicli in G, in quanto gli archi vanno tutti in una stessa direzione). Detta SOL la sua cardinalità, avremo che SOL E /2 OPT /2, dato che ovviamente OP T E. Pertanto, il nostro algoritmo ha un fattore di approssimazione pari a 2. Esercizio 3 Consideriamo il seguente problema

12 ASDII:Parte B Lezione 1 7 Maximum Cut Input: grafo non diretto G = (V, E) Output: partizione dell insieme dei vertici V in due sottoinsiemi S 1, S 2, con S 1 S 2 = V, S 1 S 2 =, in modo tale che il numero di archi c(s 1, S 2 ) tra S 1 e S 2 sia massimizzato. Il problema è NP completo. Un algoritmo di approssimazione per tale problema può essere ottenuto mediante la tecnica delle ricerca locale, che consiste, data una possibile soluzione, nel tentare di migliorarla mediante piccole modifiche di tipo locale. Nel nostro caso, si parta con una arbitraria partizione di V nei due insiemi S 1 e S 2. Fin quando esiste un vertice che portato da S 1 a S 2 (o da S 2 a S 1 ) aumenta il corrente valore c(s 1, S 2 ), lo si faccia. Si termina quando non esiste alcun vertice con questa proprietà. Algoritmo per Maximum Cut Sia (S 1, S 2 ) una partizione arbitraria di V While esiste un vertice x V tale che c(s 1 {x}, S 2 {x}) > c(s 1, S 2 ) (oppure c(s 1 {x}, S 2 {x}) > c(s 1, S 2 )) do S 1 S 1 {x}, S 2 S 2 {x} (oppure S 1 S 1 {x}, S 2 S 2 {x}) Output la partizione (S 1, S 2 ) Il numero di iterazioni dell algoritmo è chiaramente al più pari a E, visto che ogni iterazione del ciclo while aumenta il valore di c(, ), e questo non può superare E. Inoltre, alla terminazione dell algoritmo, ogni vertice x V avrà almeno deg(x)/2 vertici nell altro lato della partizione, dove deg(x) è il grado di x nel grafo G. Infatti, se ciò se non fosse, allora sarebbe possibile portare x dal suo lato della partizione all altro lato della partizione ed aumentare il valore di c(s 1, S 2 ), contro l ipotesi. Quindi, usando il fatto che x V deg(x) = 2 E, otteniamo che 2c(S 1, S 2 ) = x V (numero di archi che vanno da x all altro lato della partizione) (2) x V deg(x) 2 (3)

13 ASDII:Parte B Lezione 1 8 = 1 2 E = E. (4) 2 Pertanto, il valore della soluzione S restituita dall algoritmo soddisfa SOL = c(s 1, S 2 ) E 2 OP T. 2 Può essere istruttivo generalizzare l esercizio al caso in cui si desideri trovare la partizione di V in k classi con il massimo numero di archi tra vertici appartenenti a classi differenti. Concludiamo la lezione con la prova del fatto che deg(x) = 2 E. (5) u V La (5) è ovvia, una volta che si osservi che ogni arco (u, v) viene conteggiato due volte nella somma che appare al membro sinistro della (5), la prima volta quando si somma deg(u), la seconda quando si somma deg(v).

14 ASDII:Parte B Lezione 2 9 Algoritmi e Strutture Dati II: Parte B Anno Accademico Docente: Ugo Vaccaro Lezione 2 Tra le tecniche per il progetto di algoritmi di approssimazione un ruolo importante è giocato dalla tecnica greedy. Tale tecnica produce una soluzione al problema in esame in maniera iterativa, effettuando ad ogni passo la scelta che in quel momento sembra la migliore. Detto in altri termini, se ci trovassimo di fronte ad un problema di ottimizzazione in cui occorre massimizzare una data funzione f su di un dominio D, la tecnica greedy costruirebbe in maniera iterativa una soluzione S = {s 1,..., s n } D, in maniera tale ad ogni istante i viene scelto quell elemento s i che, a paritá di condizioni 3, tra tutte le legittime scelte massimizzerebbe l incremento f(s 1,..., s i ) f(s 1,..., s i 1 ). Analogamente per problemi di minimo. Illustriamo l uso della tecnica greedy per algoritmi di approssimazione sull importante esempio del Set Cover. SET COVER Input: insieme U = {e 1,..., e n }, famiglia S = {S 1,..., S k }, con S i U, per i = 1,..., k; funzione costo c : S S c(s) R + ; Output: sottofamiglia S S di costo c(s ) = S S c(s) minimo tale che S S S U. Il problema del Set Cover include, come casi particolari, molti problemi di ottimizzazione che occorrono in pratica. Anche il problema del Vertex Cover visto nella lezione precedente è un caso particolare di Set Cover. Infatti, dato un grafo G = (V, E), se poniamo U = E, e per ogni vertice v V poniamo S v = {e E : e incide su v}, otteniamo una famiglia S = {S v : v V }, con funzione costo c(s v ) = 1, per ogni v V. È facile vedere che ogni Vertex Cover A V per il grafo G corrisponde ad una qualche sottofamiglia S = {S v : v A} S che copre tutto U. Di conseguenza, un Vertex Cover di cardinalità minima è equivalente ad un Set Cover di costo minimo per la particolare istanza sopra considerata. Un naturale algoritmo per Set Cover potrebbe essere il seguente: iterativamente, aggiungi a S l insieme S S che ha il miglior (nel senso di più basso) rapporto costo/(numero 3 tali condizioni dipenderanno ovviamente dal problema in questione

15 ASDII:Parte B Lezione 2 10 di elementi di U coperti da S e non ancora coperti), rimuovi da U tutti gli elementi ricoperti da S e continua fin quando non abbiamo coperto tutto U. Più formalmente, possiamo elaborare il seguente algoritmo Algoritmo Greedy per Set Cover 1. C, S % (S è il cover che vogliamo costruire, C è l insieme degli elementi di U finora coperti) 2. While C U do Trova l insieme S S con il valore c(s)/( S C ) minimo Sia α c(s)/( S C ) tale valore minimo Per ogni e S C poni prezzo(e) α Poni S S {S}, C C S 3. Output S Analizziamo ora le performances dell algoritmo. Numeriamo gli elementi di U nell ordine in cui l algoritmo li copre per la prima volta e sia e 1, e 2,..., e n tale ordinamento. Proviamo innanzitutto il seguente risultato. Lemma 1 Per ogni k {1, 2,..., n} vale che prezzo(e k ) OPT n k + 1 dove OPT è il costo della soluzione ottima a Set Cover, ovvero il costo della famiglia di minimo costo che copre tutto U. Dim. Consideriamo il momento in cui viene assegnato il prezzo all elemento e k, ovvero il momento in cui viene coperto e k per la prima volta. Ciò vuol dire che all istante precedente l elemento e k non era ancora coperto, ovvero si era in una situazione del tipo e 1,..., e s, e }{{} s+1,..., e k, e k+1,... e n. }{{} C U C (6) Tutti gli insiemi della soluzione ottima non presi e messi in S dall algoritmo greedy, copriranno tutto U C (visto che tutti gli insiemi della soluzione ottima coprono tutto U), ad un costo al più OPT. Siano S 1,..., S t tali insiemi. Vogliamo innanzitutto mostrare che esiste un i {1,..., t} tale che c(s i ) S i C OPT U C.

16 ASDII:Parte B Lezione 2 11 Infatti, se ciò non fosse, avremmo che per ogni i vale la diseguaglianza da cui t OPT c(s i ) > i=1 c(s i ) S i C > OPT U C, OPT U C Ricordiamo ora che per gli insiemi S 1,..., S t vale che ovvero da cui Ritornando alla (7) otteniamo che il che è ovviamente assurdo. t S i U C i=1 t (S i C) U C i=1 t t S i C (S i C) U C. i=1 i=1 OPT > OPT U C t S i C. (7) i=1 t S i C > OPT i=1 Riassumendo, abbiamo quindi dimostrato che esiste un insieme S i non ancora scelto dall algoritmo greedy per cui vale che c(s i ) S i C OPT U C. L algoritmo greedy sceglie ad ogni passo un insieme S che ha il miglior rapporto c(s)/( S C ). Pertanto, l algoritmo sceglierà sicuramente un insieme S che copre e k per cui c(s) S C OPT U C. D altra parte, quando e k verrà coperto per la prima volta, C contiene meno di k elementi (vedi la (6)), ovvero U C n k + 1. Pertanto prezzo(e k ) = c(s) S C OPT U C OPT n k + 1.

17 ASDII:Parte B Lezione 2 12 Usando questo risultato, possiamo provare che l algoritmo greedy per Set Cover ha un fattore di approssimazione pari a H n = 1 + 1/2 + 1/ /n, ovvero produce una soluzione del valore SOL per cui SOL H n OPT. (8) Ricordiamo che ogni qualvolta mettiamo un insieme S nella soluzione, il suo costo viene ripartito uniformemente tra i nuovi elementi che S copre, ponendo prezzo(e) = c(s)/( S C ), per ogni e S C, e quindi vale anche da cui e S C prezzo(e) = c(s) n prezzo(e i ) = c(s) = SOL. i=1 S S Ma prima avevamo mostrato che prezzo(e k ) OPT /(n k + 1), da cui otteniamo n SOL = prezzo(e i ) OPT n i=1 i=1 Abbiamo quindi provato la (8). 1 (1 n i + 1 = OPT ) = OPT H n. n Valutiamo ora la somma H n = n i=1 1/i in termini di quantità più familiari. Si ha H n = }{{} }{{ 3} }{{ 7} }{{ 15} n. gruppo 1 gruppo 2 gruppo 3 gruppo 4 In ciascun gruppo la somma degli elementi è maggiore di 1/2 e sicuramente al più 1. Nel gruppo i-esimo ci sono 2 i elementi. Quanti gruppi possiamo avere? Ne posso avere t + 1, dove t è il più piccolo intero per cui t n, ovvero per cui 2 t+1 1 n. Da cui segue che t + 1 = log(n + 1) < log n + 1. Abbiamo quindi t + 1 gruppi, ciascuno di essi con somma al più 1, quindi in totale al somma degli elementi in tutti i gruppi è al più log n + 1, ovvero H n < log n + 1. Possiamo quindi concludere che la soluzione proposta dall algoritmo greedy per Set Cover ha un valore SOL per cui SOL < (1 + log n)opt. Presentiamo ora un esempio di una istanza di Set Cover su cui l algoritmo greedy produce una soluzione che si discosta dall ottimo per un fattore pari a log n. Da ciò

18 ASDII:Parte B Lezione 2 13 discenderà che l analisi prima fatta dell algoritmo greedy non è migliorabile in generale. Sia U = {e 1,..., e n }, S = {{e 1 },..., {e n }, {e 1,..., e n }}. Inoltre, valga c({e 1 }) = 1 n, c({e 2}) = 1 n 1,..., c({e n}) = 1, c({e 1,..., e n }) = 1 + ɛ. Eseguendo l algoritmo greedy su questa istanza, l output sarà composto dagli n insiemi di cardinalità 1 ciascheduno, di costo totale pari a 1 + 1/ /n = H n, mentre la soluzione ottima ha ovviamente costo pari a 1 + ɛ. Concludiamo (per il momento) la nostra analisi del problema del Set Cover menzionando due fatti: 1. un analisi che tenga in conto di altri parametri permetterebbe di dimostrare che il valore SOL della soluzione prodotta dall algoritmo greedy soddisfa la diseguaglianza SOL < H d OPT dove d = max{ S : S S}, il che, in certi casi, è migliore della (8); 2. esistono fondate ragioni che inducono a sospettare che algoritmi di approssimazione per Set Cover con fattore di approssimazione del tipo (1 ɛ) log n, non esistono, qualunque sia il valore del parametro ɛ. Algoritmo Greedy per il problema della Copertura Massima Vediamo ora un applicazione dell algoritmo greedy a problemi di ottimizzazione massimo. Consideriamo il cosiddetto problema della Copertura Massima. Copertura Massima Input: insieme U = {u 1,..., u n }, famiglia S = {S 1,..., S m }, con S i U per i = 1,..., m; funzione profitto w : u U w(u) R + ; intero k > 0; Output: k insiemi S i1,..., S ik in S di profitto totale w(s i1... S ik ) = u S i1... S ik w(u) massimo.

19 ASDII:Parte B Lezione 2 14 Il problema può essere visto come una generalizzazione del problema dello zaino visto in ASD1. La differenza sta nel fatto che mentre nel problema dello zaino possiamo prendere un qualunque elemento di U, nel problema della Copertura Massima possiamo prendere solo gruppi di oggetti, specificati dagli insiemi in S. Un algoritmo greedy per il problema della Copertura Massima può essere quello che ad ogni passo sceglie un insieme in S che dà il maggior incremento al profitto attuale. Algoritmo per Copertura Massima 1. C 2. for i = 1 to k do seleziona S S che massimizza il valore w(c S) w(c) 3. C C S 4. Output C Osserviamo che l incremento del profitto avviene solo in relazione ai nuovi elementi di U effettivamente inseriti. Vogliamo provare che il valore w(c) della soluzione C restituita dall algoritmo greedy soddisfa la relazione w(c) > [ 1 ( 1 1 ) ] k OP T k ( 1 1 ) OP T, e dove e è il numero di Nepero, ovvero che l algoritmo greedy ha fattore di approssimazione (1 1/e) Proviamo innanzitutto il seguente risultato Lemma 2 Supponiamo che l algoritmo greedy prenda gli insiemi S 1,..., S k nell ordine. Allora, per ogni l = 1,..., k abbiamo ( l ) ( l 1 ) ( w S i w S i OPT w l 1 ) i=1 S i. k i=1 i=1 Dim. Alla fine del passo l 1-esimo dell algoritmo greedy abbiamo scelto l 1 insiemi S 1,..., S l 1 di profitto totale w( i=1 l 1 S i). Se a S 1,..., S l 1 aggiungiamo passo passo tutti i k insiemi della soluzione ottima, arriveremo ad un profitto almeno OPT. Di conseguenza, vi deve essere almeno un passo in cui l incremento al profitto è di almeno OPT w( i=1 l 1 S i). (9) k

20 ASDII:Parte B Lezione 2 15 Ovvero, deve esistere almeno un insieme che aggiunto ai precedenti aumenta il profitto almeno della quantità (9). D altra parte, nell algoritmo greedy viene scelto ad ogni passo sempre l insieme che massimizza l incremento del profitto. Ovvero, l insieme scelto dall algoritmo greedy ottiene sicuramente un incremento di profitto dato da almeno pari a (9), da cui il lemma. w ( l ) S i w i=1 ( l 1 i=1 S i ) Dal Lemma appena dimostrato otteniamo che ( l ) w S i i=1 ( OPT w l 1 ) i=1 S i = OPT k + + w ( l 1 k ( 1 1 ) ( l 1 ) w S i k i=1 i=1 S i ) (10) Lemma 3 Per ogni l = 1,..., k vale che ( l ) [ w S i 1 i=1 ( 1 1 ) ] l OPT (11) k Dim. Per induzione su l. Proviamolo innanzitutto per l = 1. In tal caso la (11) è equivalente a provare che w(s 1 ) OPT, k che risulta essere vera a causa della (10). Supponiamo ora la (11) vera per l, proviamola per l + 1. Si ha w ( l+1 i=1 S i ) ( l ) [ ( l+1 ) ( l )] = w S i + w S i w S i i=1 i=1 i=1 ( l ) ( ) w S i + OPT w li=1 S i (dal Lemma 2) k i=1 ( = 1 1 ) ( l ) w S i + OPT k k i=1 ( = 1 1 ) [ 1 k [ 1 ( 1 1 k ) l ] ( 1 1 ) ] l+1 OPT k OPT + OPT k (dall ipotesi induttiva)

21 ASDII:Parte B Lezione 2 16 A questo punto, ponendo l = k nel Lemma 3, otteniamo che ( k ) [ w S i = w(c) = SOL 1 i=1 ( 1 1 ) ] k OPT. k Ora, ricordando che ( lim 1 1 ) k = 1 k k e e che ( 1 1 ) k ( 1 1 ) k+1 1 k k + 1 e, otteniamo finalmente SOL = w(c) > ( 1 1 ) OPT. e Vale la pena di notare che in alcune applicazioni pratiche la implementazione del passo 2 dell algoritmo (ovvero la scelta di un S che massimizza la differenza w(c S) w(c)) può essere onerosa dal punto di vista computazionale. Pertanto, potrebbe essere fattibile solo la selezione di un insieme S che incrementa la differenza w(c S) w(c) di un fattore β < 1 dell incremento massimo. In tale caso non è difficile vedere, seguendo i passi dell analisi appena effettuata, che l algoritmo greedy assicura una soluzione dal valore SOL ( 1 β ) k ( OPT > 1 1 ) k e β OPT.

22 ASDII:Parte B Lezione 3 17 Algoritmi e Strutture Dati II: Parte B Anno Accademico Docente: Ugo Vaccaro Lezione 3 In questa lezione deriveremo algoritmi di approssimazione per alcuni classici problemi su grafi pesati. Iniziamo con il considerare il seguente problema Steiner Tree Input: grafo G = (V, E) funzione peso w : E R + sugli archi sottoinsieme R V Output: sottoalbero di G di minimo costo totale che copra tutti i vertici di R, dove il costo dell albero è definito come la somma dei costi dei suoi archi. Ci sono delle similitudini tra questo problema e quello di determinare lo spanning tree di peso minimo in un grafo. Infatti, se R = V allora i due problemi coincidono esattamente. Come conseguenza, il problema dello Steiner Tree è risolubile in tempo polinomiale nel caso particolare che R = V. In generale, il problema dello Steiner Tree è NP -hard. Il seguente esempio mostra in cosa il problema dello Steiner Tree differisce dal problema del Minimum Spanning Tree. Consideriamo il grafo a sinistra nella figura di sotto, in cui solo i vertici anneriti sono richiesti. La figura immediatamente a destra mostra un Minimum Spanning Tree sui vertici richiesti, di costo totale pari a 4. All estremità destra è invece mostrato un albero di Steiner che fa uso anche di vertici non richiesti (nel caso in questione, quello centrale), di costo totale pari a Quindi, includere dei nodi non necessariamente richiesti nell albero può far abbassare il costo della soluzione. Questo è in effetti il tratto che distingue il problema del Minimum Spanning Tree dal problema dello Steiner Tree. Il fatto che nel problema dello Steiner Tree si possano scegliere o meno nodi in V R fa sí che l insieme delle

23 ASDII:Parte B Lezione 3 18 possibili soluzioni al problema aumenti enormemente, rendendo difficile l individuazione della soluzione ottima. Passiamo ora a considerare il progetto di algoritmi di approssimazione per il problema dello Steiner Tree. Per prima cosa, mostriamo che è sufficiente considerare istanze del problema in cui il grafo G = (V, E) è un grafo completo, ed in esso vale la diseguaglianza triangolare, ovvero u, v, z E w(u, v) w(u, z) + w(z, v). (12) Piò precisamente, mostreremo che se siamo in grado di produrre un algoritmo di approssimazione con fattore di approssimazione ρ per il problemo dello Steiner Tree in grafi completi in cui vale la diseguaglianza triangolare, allora siamo anche in grado di produrre un algoritmo di approssimazione con lo stesso fattore di approssimazione ρ in istanze arbitrarie del problema dello Steiner Tree. Procederemo come segue. Data una istanza I = (G, R, w) arbitraria del problema dello Steiner Tree, dove G è un grafo, R è il sottoinsieme dei vertici richiesti, e w è la funzione peso sugli archi di G, trasformiamo innanzitutto I in tempo polinomiale in una istanza I = (G, R, w ), dove G è un grafo completo sugli stessi vertici di G, l insieme dei vertici R richiesto è immutato, e la funzione peso w sugli archi (u, v) di G è definita come w (u, v) = w(e), e p(u,v) dove p(u, v) è un cammino di peso totale minimo tra i vertici u e v nel grafo G. Osserviamo ora che per ogni arco (u, v) G, vale che w(u, v) w (u, v). (13) Ciò è ovvio in quanto il costo dell arco (u, v) in G è pari al costo del cammino di minimo costo tra u e v in G. Sia OP T (I) il costo della soluzione ottima in G, e sia OP T (I ) il costo della soluzione ottima in G. Come conseguenza della (13) otteniamo che OP T (I) OP T (I ). (14) Sia ora T un albero di Steiner in G, di costo minimo OP T (I ). Consideriamo il sottografo H di G composto da tutti i cammini di G che corrispondono agli archi di T. Ovviamente vale che il costo totale di H (ovvero la somma dei costi degli archi di H) è esattamente pari al costo di T. Il sottografo H non è necessariamente un albero. Eliminando da H tutti gli archi che creano cicli, otteniamo un sottoalbero A di G che copre tutti i vertici richiesti, di costo al più pari al costo di T (visto che abbiamo eliminato degli archi da T per ottenere A). Daltra parte, per definizione, il costo OP T (I) di un albero di Steiner di G è non superiore a A, pertanto otteniamo OP T (I) costo(a) costo(t ) = OP T (I ). (15) Mettendo insieme la (14) e la (15) otteniamo che OP T (I) = OP T (I ). (16)

24 ASDII:Parte B Lezione 3 19 Riassumendo, abbiamo fatto vedere che il costo di una soluzione ottima in un grafo arbitrario G è uguale al costo di una soluzione ottima in un grafo completo G facilmente ottenibile da G. Non solo, abbiamo anche fatto vedere che data una soluzione ottima in G, è semplice ottenere da essa una soluzione ottima nell istanza originale G. Di conseguenza, possiamo limitarci a progettare algoritmi per il problema dello Steiner Tree in grafi completi, in cui valga la diseguaglianza triangolare. L algoritmo di approssimazione in tali grafi è molto semplice. Algoritmo di approssimazione per Steiner Tree 1. Costruisci un Minimum Spanning Tree T sui vertici in R del grafo input G 2. Return T Dimostriamo che l algoritmo sopra esposto ha fattore di approssimazione pari a 2. Sia S uno Steiner tree di costo minimo. Sostituiamo ogni arco (u, v) di S con la coppia di archi direzionati (u, v) e (v, u) e si proceda ad una visita di tutti i nodi del grafo cosí ottenuto (si veda la figura di sotto). Il percorso relativo alla visita potrá passare per piú di una volta per uno stesso vertice, e passerá sia attraverso vertici in R che attraverso vertici non in R (denotati con un circolo vuoto nella figura di sopra). Il costo di questo percorso é pari a 2OP T, visto che usiamo ogni arco di S esattamente due volte (una volta in un verso, e la seconda nell altro verso). A questo punto, usiamo la diseguaglianza triangolare per evitare di passare due volte attraverso uno stesso vertice e per evitare di passare attraverso vertici non in R (si veda la figura di sotto). Essenzialmente, stiamo qui usando il fatto che andare direttamente da un vertice u ad un vertice v costa di meno che andarci passando attraverso un qualche vertice intermedio.

25 ASDII:Parte B Lezione 3 20 In questo modo otterremo un ciclo che attraversa tutti i vertici di R, di costo al piú 2OP T (a causa della diseguaglianza triangolare). Eliminando un qualsiasi arco da questo ciclo ci dará un albero Z che attraversa tutti e solo i vertici di R, di costo ancora inferiore, ovvero il costo di Z sará al piú 2OP T. D altra parte, il costo del Minimim Spanning Tree T (output del nostro algoritmo di approssimazione) sará per definizione inferiore al costo dell albero Z, che abbiamo prima mostrato essere inferiore a 2OP T. Otteniamo quindi che la nostra soluzione al problema dello Steiner Tree, ovvero un Minimum Spanning Tree su R, ha costo al piú 2OP T. Possiamo mostrare che esistono classi di grafi in cui il costo di un Minimum Spanning Tree é circa 2 volte il costo di uno Steiner Tree, quindi l analisi della tecnica prima esposta non puó essere essenzialmente migliorata. Consideriamo ad esempio il grafo completo G = (V, E), dove V = {1,..., n, n + 1}, insieme richiesto R = {1,..., n}, e funzione peso sugli archi w : E R + cosí definita (i, j) E w(i, j) = { 1 se i = n + 1, 2 altrimenti. Il costo della soluzione prodotta dal nostro algoritmo di approssimazione è pari al costo di un MST su R, e quindi pari a 2(n 1) D altra parte, lo Steiner Tree di costo minimo è composto da tutti gli archi dal nodo n + 1 (non richiesto) a tutti gli altri nodi del grafo. Tale Steiner Tree ha costo totale pari a n, cioè circa la metá del costo di un MST su R. Le tecniche appena sviluppate sono utili anche per la progettazione di algoritmi di approssimazione per il seguente importante problema: Problema del Commesso Viaggiatore (TSP).

26 ASDII:Parte B Lezione 3 21 TSP Input: grafo G = (V, E) funzione costo c : E R + sugli archi Output: un ciclo di minimo costo totale che attraversa tutti i vertici di G una ed una sola volta. Il problema del TSP è NP-completo ed, in generale, è difficile da approssimare. Teorema 1 Per ogni funzione ρ(n) calcolabile in tempo polinomiale, la esistenza di un algoritmo di approssimazione con fattore di approssimazione ρ(n) per TSP implica che P = NP. Dim. Proveremo che se esistesse un algoritmo di approssimazione con fattore di approssimazione ρ(n) per TSP, allora sarebbe possibile decidere in tempo polinomiale se un grafo arbitrario G possiede un ciclo Hamiltoniano, 4 problema questo notoriamente NP -completo. Sia a tale scopo G = (V, E) un grafo arbitrario, n = V. Trasformiamo G in una istanza di TSP nel modo seguente. Sia G = (V, E ) un grafo completo sullo stesso insieme dei vertici di G. Inoltre, G ha una funzione costo c : E R + sugli archi definita nel modo seguente: { (u, v) E 1, se (u, v) E, c(u, v) = C > nρ(n), se (u, v) / E. Supponiamo di avere un algoritmo di approssimazione A per il problema del TSP, con fattore di approssimazione ρ(n). Sull input G l algoritmo A produrrá una soluzione dal valore SOL. Possono accadere due casi: volta. 1. SOL < nρ(n). Sotto questa ipotesi, e per come è definito il grafo G, possiamo dire che l algoritmo A ha trovato un ciclo che visita tutti i vertici di G ed il ciclo è composto solo da archi di costo 1. Ció implica, per come sono definiti i costi degli archi di G, che il ciclo trovato da A è composto solo da archi di G. Ovvero, possiamo concludere che G possiede un ciclo Hamiltoniano. 2. SOL nρ(n). Sotto questa ipotesi, e per come è definito il grafo G, possiamo dire che il grafo G non possiede un ciclo Hamiltoniano. Infatti, se lo possedesse, vorrebbe dire che la soluzione ottima del problema del TSP in G ha valore pari a n, contraddicendo il fatto che l algoritmo A ha fattore di approssimazione pari a ρ(n). 4 Si ricordi che un ciclo Hamiltoniano è un ciclo che attraversa tutti i vertici del grafo, una ed una sola

27 ASDII:Parte B Lezione 3 22 In conclusione, la esistenza di un algoritmo di approssimazione con fattore di approssimazione ρ(n) per TSP implica la esistenza di una procedura polinomiale per decidere se un grafo arbitrario ha un ciclo Hamiltoniano o meno, il che implicherebbe che P = NP a causa della N P -completezza del problema del ciclo Hamiltoniano. Nell ipotesi che la funzione costo sugli archi del grafo G soddisfi la diseguaglianza triangolare, è abbastanza semplice produrre un algoritmo di approssimazione per il problema del TSP con fattore di approssimazione 2. L algoritmo è simile all algoritmo di approssimazione per Steiner Tree. Algoritmo di approssimazione per TSP 1. Costruisci un Minimum Spanning Tree T del grafo input G 2. Sostituisci ogni arco (u, v) di T con la coppia di archi (u, v) e (v, u) 3. Costruisci un tour T del grafo cosí ottenuto, passando attraverso tutti i suoi archi 4. Output il ciclo C che visita i vertici di G nell ordine della loro prima apparizione nel tour T. Il seguente esempio illustra il funzionamento dell algoritmo. L albero di sotto è il Minimum Spanning Tree costruito dall algoritmo. Su di esso costruiamo il tour T rappresentato dagli archi trattegiati, più o meno come si procedeva nel caso dello Steiner Tree. Dopodichè, in accordo all algoritmo, otteniamo un ciclo che enumera i vertici dell albero in accordo all ordine in cui essi compaiono per la prima volta nel tour T.

28 ASDII:Parte B Lezione 3 23 Per la diseguaglianza triangolare, i percorsi che vanno da un vertice direttamente ad un altro senza passare per vertici intermedi, sono di costo minore e quindi non aumentano il costo del ciclo C rispetto al costo del tour T. Proviamo ora che l algoritmo ha fattore di approssimazione pari a 2. Osserviamo innazitutto che costo(mst ) OP T. (17) Infatti, se dal ciclo di costo OP T togliamo un arco, otteniamo un alberto T, di costo inferiore al ciclo, ed in piú T avrá sicuramente costo maggiore od al piú uguale a T, che è un MST. Pertanto il costo SOL della soluzione prodotta dall algoritmo di sopra sará: SOL = costo(c) costo(t ) (a causa della diseguaglianza triangolare) = 2costo(M ST ) (per costruzione) 2OP T (per la (17)), il che prova che l algoritmo ha un fattore di approssimazione pari a 2. Ci poniamo ora il problema di elaborare un algoritmo per il problema del TSP con un migliore fattore di approssimazione. A tale scopo, è utile comprendere meglio come abbiamo ottenuto il semplice algoritmo con fattore di approssimazione pari a 2. Siamo partiti con uno MST T del grafo G ed abbiamo ottenuto un tour che visita tutti gli archi di T, essenzialmente raddoppiando gli archi di T. Ció ci costa 2 volte il costo di T. Da questo tour, abbiamo ottenuto un ciclo in G prendendo delle scorciatoie nel tour. A causa delle diseguaglianza triangolare, queste scorciatoie non hanno aumentato il costo della soluzione. La prova si concludeva con l osservazione che 2 (costo di T ) è inferiore a 2 OP T. La chiave del miglioramento dell algoritmo prima esposto risiedeá nel fatto che

29 ASDII:Parte B Lezione 3 24 sará possibile ottenere un tour che attraversa tutti i vertici di G ad un costo inferiore a 2 (costo di T ). A tale scopo abbiamo bisogno di introdurre il concetto di Tour Euleriano di un grafo. Un Tour Euleriano di un grafo G consiste in un percorso nel grafo G con vertice di partenza e vertice di arrivo coincidenti, e che attraversa tutti gli archi di G una ed una sola volta. La similaritá di questo problema con quello del ciclo Hamiltoniano è solo apparente. Mentre infatti il problema di stabilire se un grafo possiede o meno un ciclo Hamiltoniano è NP -completo, stabilire se un grafo possiede un tour Euleriano è un problema risolubile in tempo polinomiale. Possiamo infatti provare il seguente risultato. Teorema 2 Il grafo G possiede un tour Euleriano se e solo se G non ha vertici di grado dispari. Dim. Proviamo innazitutto che se G = (V, E) possiede vertici di grado dispari allora G non ammette un tour Euleriano. Supponiamo quindi che G possieda un vertice x di grado dispari e scegliamo x come ipotetico punto di partenza e di arrivo del tour Euleriano. Osserviamo che ogni volta che con questo percorso usciamo da x e vi ritorniamo, usiamo due archi incidenti su x. Non saremmo quindi in grado di visitare tutti gli archi incidenti su x una ed una sola volta con un percorso che parte e ritorna in x, in quanto tali archi sono in numero dispari. La prova che è possibile costruire un tour Euleriano di G se G ha solo vertici di grado pari la si effettua per induzione sul numero di archi E. Se E = 1 non vi è nulla da provare. Assumiamo il teorema vero per tutti i grafi con E k, per qualche k 1, e sia G un grafo con E = k + 1. Prendiamo un arbitrario vertice x in G e scegliamolo come punto di partenza ed iniziamo a visitare il grafo, con l accortezza di non passare mai due volte su di uno stesso arco. Poichè il grado di ogni vertice v è pari, ogni volta che entriamo in un vertice v ne possiamo anche uscire. Poichè il grafo G finito, prima o poi ritorneremo nel vertice x. Se abbiamo visitato tutti gli archi di G, allora abbiamo trovato il tour Euleriano che cercavamo. Altrimenti abbiamo trovato solo un percorso che parte ed arriva in x e che ogni qualvolta è entrato in qualche vertice v ne è anche uscito. In altre parole, questo percorso ha visitato, per ogni vertice v, un numero pari di archi incidenti su v. Togliamo gli archi di tale percorso da G, rimane un grafo G con un numero di archi k, ed ogni vertice di G ha ovviamente grado pari. Il grafo G ammette quindi un tour Euleriano per ipotesi induttiva. Il tour prima trovato congiunto al tour di G formano ovviamente un tour che parte e arriva in x e che visita tutti gli archi di G una ed una sola volta. Diciamo che un grafo G è Euleriano se in G vi è un tour Euleriano. A questo punto dovrebbe essere anche chiaro perchè raddoppiavamo tutti gli archi del Minimum Spanning Tree T nel primo algoritmo di approssimazione per TSP prima di trovare un tour nel grafo: raddoppiando tutti gli archi ottenevamo infatti un grafo con tutti i nodi di grado pari e quindi il tour Euleriano esisteva sicuramente. Non è detto peró che questo sia il modo piú economico per ottenere da T un grafo Euleriano. Anzi, in generale non lo è.

30 ASDII:Parte B Lezione 3 25 Banalmente, se un nodo ha giá grado pari in T non vi è alcuna necessitá di raddoppiare il suo grado. In virtú del teorema precedente, sono solo i vertici di grado dispari che sono fonte di problemi. Questi problemi li possiamo far scomparire aggiungendo un arco a ciaschedun nodo di grado dispari, ottenendo quindi un grafo con tutti i vertici di grado pari in cui costruire un tour Euleriano e poi, usando le scorciatoie e la diseguaglianza triangolare, ottenere un ciclo che attraversa tutti i vertici una ed una sola volta. Ricordiamo la seguente relazione, che abbiamo provato nella prima lezione: deg(x) = 2 E. (18) u V Immediata conseguenza della (18) è che il numero di vertici in G che hanno grado dispari è pari, visto che la quantitá al membro destro della (18) è pari. Pertanto, dato un generico grafo G, per trasformare G in un grafo Euleriano basta individuare il sottoinsieme dei vertici V di grado dispari, dividerlo in due sottoinsiemi disgiunti di cardinalitá V /2 ciascheduno, ed aggiungere un matching tra tali due sottoinsiemi. Abbiamo quindi il seguente nuovo algoritmo di approssimazione per TSP. Algoritmo di approssimazione per TSP fattore di approssimazione 3/2 1. Costruisci un Minimum Spanning Tree T del grafo input G 2. Calcola un matching perfetto M di minimo costo sui vertici di grado dispari di T. Aggiungi M a T per ottenere un grafo Euleriano 3. Costruisci un tour euleriano T del grafo ottenuto al passo precedente 4. Output il ciclo C che visita i vertici di G nell ordine della loro prima apparizione nel tour T. Analizziamo il costo della soluzione prodotta dall algoritmo. A causa della diseguaglianza triangolare, il costo SOL della soluzione prodotta non sará superiore al costo del grafo Euleriano ottenuto al passo 2 dell algoritmo, ovvero SOL costo(t ) + costo(m). Giá sappiamo che costo(t ) OP T, valutiamo quindi il costo di M. A tale scopo, effettuiamo le seguenti osservazioni. Consideriamo la soluzione ottima al problema dello TSP, ovvero il ciclo C che attraversa tutti i vertici del grafo con un costo totale OP T. Tale ciclo C attraverserá anche tutti i vertici dell insieme V (composto dai vertici di grado dispari nel MST T usato nel passo 1 dell algoritmo), in un qualche ordine. Numeriamo i vertici di V con i numeri 1, 2,..., V secondo quest ordine di attraversamento (si veda la figura di sotto). Ora, il ciclo C per andare dal vertice 1 al vertice 2 seguirá un certo percorso (rappresentato dalla linea tratteggiata tra 1 e 2 nella figura di sopra) che, a causa della diseguaglianza

31 ASDII:Parte B Lezione V triangolare, avrá un costo del costo dell arco tra 1 e 2. Stesso discorso per il percorso che C effettuerá per andare da 2 a 3, e cosí via. In conclusione, la somma dei costi dei percorsi del ciclo C tra i vertici di {1, 2,...} = V, comprensivo del ritorno al vertice 1 sará della somma dei costi degli archi diretti tra i vertici {1, 2,...} = V. Facendo attenzione, si puó comprendere che gli archi tra i vertici di V si possono decomporre in due matching disgiunti (nella figura di sopra sono rappresentati con archi di differente spessore). Possiamo quindi dire che il costo OP T del ciclo ottimo C sará della somma dei costi dei percorsi del ciclo C tra i vertici di {1, 2,...} = V che, a sua volta, è del costo dei due matching tra i vertici di V. Almeno uno dei due matching avrá quindi costo OP T/2. A maggior ragione, il matching di costo minimo M aggiunto tra i vertici di V nel passo 2 dell algoritmo avrá costo OP T/2. Riassumendo otteniamo SOL costo(t ) + costo(m) OP T OP T 3 OP T, 2 il che conclude (finalmente) l analisi dell algoritmo. La seguente figura mostra che l analisi dell algoritmo non puó essere migliorata, ovvero esistono istanze di input su cui l algoritmo produce effettivamente una soluzione di costo pari a 3/2OP T. Il Minimum Spanning Tree trovato al Passo 1 dell algoritmo è rappresentato da archi di maggior spessore. Notiamo che ha solo due vertici di grado dispari, pertanto il matching di minimo peso che viene aggiunto tra di essi è dato dall arco di peso n/2. Abbiamo quindi che l algoritmo produce un ciclo di peso totale SOL = (n 1) + n/2.

32 ASDII:Parte B Lezione n/2 D altra parte, è facile vedere che il ciclo ottimo nel grafo di sopra ha peso esattamente n. Da cui segue che nel grafo di sopra il nostro algoritmo è forzato a produrre una soluzione di costo 3/2OP T.