I numeri naturali. Veronica Gavagna

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1 NOTA BENE: Queste slide offrono una sintesi di alcuni temi trattati a lezione (peraltro secondo un approccio lievemente diverso). Vengono messe a disposizione degli studenti come supporto allo studio, ma non sostituiscono in nessun modo i testi indicati in bibliografia I numeri naturali Veronica Gavagna

2 Approcci al concetto di numero naturale Cardinale Ordinale Ricorsivo Geometrico Alcune considerazioni didattiche si trovano in B. di Paola, Gli approcci al numero naturale

3 Addizione in N (A1) L addizione è un operazione binaria e interna in N Proprietà associativa (A2) Dati a, b, c N a + b + c = a + (b + c) Nota bene: non esiste la «proprietà dissociativa»! 17+3 = (10+7)+3=10+(7+3)

4 Addizione in N Proprietà commutativa (A3) Dati a, b N a + b = b + a Nota bene: la proprietà commutativa non è una «verifica» dell addizione!! Esiste un elemento neutro (zero) (A4) Per ogni a N a= a + 0 = 0 + a

5 Addizione in N (A5) Legge di cancellazione a + c = b + c a = b

6 La tavola dell addizione Riuscite a «vedere» in questo grafico alcune delle proprietà prima elencate?

7 Problemi 1. Trovare un modo semplice e veloce per sommare tutti i numeri naturali da 1 a Generalizzare il risultato precedente calcolando n dove n è un numero naturale qualsiasi. 3. Si hanno a disposizione pesi da 1, 2, 4, 8 grammi (uno per sorta). Si possono pesare tutti gli oggetti il cui peso varia da 1 a 15 grammi?

8 Problemi Al termine di un torneo di 5 squadre, con partite di andata e ritorno, l organizzatore espone il seguente tabellone. Non è stato commesso alcun errore?

9 Problemi Trovare i numeri che completano il seguente quadrato magico 5 In modo che la somma delle righe, delle colonne e delle diagonali sia sempre 15.

10 Moltiplicazione in N (A6) La moltiplicazione è un operazione in N binaria e interna (A7) Proprietà associativa: Dati tre numeri naturali qualunque a,b,c a b c = a (b c) (A8) Proprietà commutativa: dati due numeri naturali qualunque a,b a b = b a

11 Moltiplicazione in N (A9) Elemento neutro: Dato un numero naturale a, si verifica che a 1 = 1 a = a (A10) Legge di cancellazione: dati a, b, c numeri naturali, con c 0, se a c = b c Allora a = b

12 Collegamenti fra addizione e moltiplicazione (A11) Proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma Dati tre numeri naturali qualunque a, b, c si ha a b + c = a b + (a c) Si noti che non vale la distributività della somma rispetto al prodotto a + b c = a + b a + c Le parentesi sono importanti!! a b + c a b + a c

13 Teorema: Qualunque sia il numero a vale a 0 = 0 Ipotesi: esistenza di un numero a naturale e dello 0 Tesi: a 0 = 0 a 1 + a 0 a a 1 = = a (1 + 0) Perché? Per A11 = a 1 Perché? Per A4 a Perché? Per A4 Per la proprietà transitiva dell uguaglianza a 1 + a 0 = a Da cui a 0 = 0 Perché? Per A5

14 Problemi(ni) Sapendo che 37x3=111, calcolare rapidamente i prodotti di 37 per i multipli di 3 fino a 27. Quale proprietà si applica?

15 La tavola pitagorica Riuscite a «vedere» alcune delle proprietà della moltiplicazione?

16 TECNICHE DI MOLTIPLICAZIONE (approfondite nella lezione del 18/4/2013 Aritmetica di Treviso, 1478 Pacioli, Summa, 1523 Pacioli, Summa, 1523 Pacioli, Summa, 1523 Pacioli, Summa, 1523

17 (Video)giochi didattici interattivi Home page>documentazione>giochi didattici (italiano, matematica, geografia, ed. musicale, fisica) 56 giochi matematici scaricabili gratuitamente Il download (matematici per le elementari e per le medie) funziona meglio dal sito pace://spacesstore/9d8ad e3-abf9-6761ad4c68c6&type=documentazione&contenttype=a ttivita&lan=it

18 Le relazioni (matematiche) Definizioni formali Dati due insiemi A e B non vuoti, si dice prodotto cartesiano e si indica AxB l insieme delle coppie ordinate (a,b) dove a e b sono rispettivamente elementi di A e B. Dati due insiemi A e B si chiama relazione (e si indica con R) ogni sottoinsieme di AxB Se a A, b Bsono in relazione, allora si scrive arb Se A=B la relazione si dice binaria.

19 Relazione d equivalenza Proprietà riflessiva (ogni elemento di A è in relazione con se stesso) ara Proprietà simmetrica (Se a è in relazione con b, anche b è in relazione con a) Se arb allora bra Proprietà transitiva (Se a è in relazione con b e b è in relazione con c, allora a è in relazione con c) Se arb e brc, allora arc

20 Esempi di relazioni di equivalenza Verificare se le seguenti sono relazioni d equivalenza essere padre di essere fratello (o sorella) di aver lo stesso peso di essere perpendicolare essere uguale

21 Relazione d ordine (largo) Proprietà riflessiva (ogni elemento di A è in relazione con se stesso) ara Proprietà antisimmetrica (Se a è in relazione con b e b è in relazione con a, allora a e b sono uguali) Se arb e bra allora b=a Proprietà transitiva (Se a è in relazione con b e b è in relazione con c, allora a è in relazione con c) Se arb e brc, allora arc

22 Esempi di relazioni di ordine Verificare se le seguenti sono relazioni d equivalenza essere padre di essere maggiore di essere minore o uguale di essere perpendicolare essere uguale

23 Maggiore/ Maggiore o uguale Una precisazione Come possiamo definire in maniera precisa quando un numero a è maggiore di un altro numero b? Diciamo che a è maggiore di b (e scriviamo a>b) se e soltanto se esiste un numero c non nullo, tale che a = b + c Diciamo che a è maggiore o uguale di b (e scriviamo a b) se e soltanto se esiste un numero c, tale che a = b + c

24 Ordinamento di N Se consideriamo la relazione «maggiore o uguale» ( ) all interno dell insieme dei numeri naturali, possiamo dire che è ordinato rispetto a questa relazione. E l unica relazione d ordine possibile in N? Consideriamo N senza il numero 0 (N 0 ) e prendiamo in esame la relazione «essere multiplo». E una relazione di ordine? «Mette in ordine» i numeri naturali nello stesso modo?

25 Ordinamento di N La relazione si dice relazione d ordine totale perché, dati due qualsiasi numeri naturali a e b è possibile dire se a b o b a La relazione > si dice relazione d ordine totale e stretto perché, dati due qualsiasi numeri naturali a e b è possibile dire se a b o b a supponendo inoltre a b (Attenzione! La relazione d ordine stretto non è più riflessiva, ma antiriflessiva) Possiamo dire che la relazione d ordine «essere multiplo» è una relazione d ordine totale? Rappresentazione grafica dell ordinamento dei numeri naturali: la linea dei numeri

26 La sottrazione in N Dati due numeri naturali a e b esiste un numero c tale che a=b+c? Esiste sempre una soluzione? Non esiste mai? Esiste qualche volta? A quali condizioni? Quante sono le soluzioni? Prima osservazione: se il problema ammette una soluzione questa è unica. Infatti.

27 Teorema: Se a=b+c e a=b+c allora c=c Possiamo dire che b+c = b+c Per la proprietà simmetrica e transitiva di = e quindi c=c Per la legge di cancellazione A5

28 La sottrazione in N Il problema della sottrazione ammette soluzione quando a b. Il numero c tale che a = b+c si chiama differenza tra a e b e si scrive c=a-b. L operazione che ad ogni coppia di numeri (a,b) con a b associa c=a-b si chiama sottrazione. Possiamo considerare la sottrazione un operazione in N? A rigore no, perché l operazione non è definita per tutte le coppie (a,b), ma per abuso di linguaggio la si considera tale.

29 Proprietà della sottrazione in N Proprietà invariantiva Dati tre numeri a, b, h (con a b) si ha a b = a + h (b + h) Lo zero è un elemento neutro? E vero che a-0=a ma non il viceversa (se a 0) Quindi si dice che lo zero è un elemento neutro solo a destra.

30 Tavola della sottrazione (e del )

31 Problema Da un secchio pieno d acqua un bambino vuole estrarre 3 litri d acqua, poi 2, poi 1, però dispone solo di un recipiente da 8 litri e di uno da 5 litri. Può farcela? Vedi anche il gioco Acquamatica (sito Iprase)

32 Il problema della divisibilità Data una coppia di numeri naturali a e b con b>0, esiste una coppia di numeri naturali q ed r con 0 r<b tali che Es. a=15, b=2 15=2x7 + 1 (q=7, r=1) a= bq + r? Senza la limitazione (0 r<b, cioè 0 r<2) si avrebbero molte possibilità e non una sola 15=2x1+13, 15=2x4+7, 15=2x5+5, 15= 2x6+3.

33 Esempi da risolvere solo con moltiplicazioni e sottrazioni Coppia dividendo-divisore (a,b) Coppia quoziente-resto (q,r) (32,5) (6,2) perché 32=5x6+2 (83,11) (7,6) perché 83=11x7+6 (115,7) (16,3) perché 115=7x16+3

34 La strategia Consideriamo (115,7) 1. Si cercano i multipli di 7 fino a che non si supera 115: 7, 14, 21, 28, 70,, 98, 105, 112, Il multiplo richiesto è 112, cioè 7x16 3. La differenza = =7x16+3

35 Alcuni risultati preliminari che ci serviranno tra poco (A14) Se A è un sottoinsieme non vuoto di N, allora esiste in A un elemento minimo, cioè un numero che è più piccolo di tutti gli altri numeri dell insieme A (principio del buon ordinamento) (A15) Dati due numeri naturali a e b con b>0, esiste un numero naturale n tale che nb>a (proprietà nota come Postulato di Eudosso- Archimede)

36 Teorema: Per ogni coppia ordinata (a,b) di numeri naturali con b>0, esiste una e una sola coppia ordinata (q,r) di numeri naturali, con 0 r<b tali che a=bq+r Dimostrazione dell esistenza di (q,r) Poiché b>0, per A15 esiste un numero n tale che nb>a [nell esempio di prima, n può essere 17, dato che 17x7>115 ma anche 20, 20x7>115] Consideriamo il sottoinsieme B dei numeri naturali n che verificano la relazione nb>a; per A14 il sottoinsieme B ha un minimo, che chiamiamo m.

37 Dunque m è il numero naturale più piccolo che verifica la relazione mb a [nell esempio m=17] Questo significa che mb a e che (m-1)b a [nell esempio 17x7>115 e 17x6<115] Essendo (m-1)b a, possono aversi solo 2 possibilità 1. (m-1)b=a Allora a=qb+r con q=m-1 e r=0

38 2. (m-1)b<a Ma se il numero a è maggiore del numero (m-1)b significa (per la definizione di numero maggiore vista prima) che esiste un numero r>0 tale che a=(m-1)b+r Se q=m-1 otteniamo proprio a=qb+r. Resta da far vedere che r<b. Se fosse r=b, allora a=(m-1)b+b=mb mentre è mb>a Se fosse r>b avremmo addirittura a>mb. Quindi deve essere r<b.

39 Dimostrazione dell unicità di (q,r) Si ragiona per assurdo. Si suppone, cioè, che Oltre a (q,r) esista una coppia diversa (q,r ) con le stesse caratteristiche, cioè con 0 r<b e 0 r <b. a=bq+r a=bq +r Dato che q q, deve esse q>q oppure q<q. Supponiamo che sia q>q : deve esistere h>0 tale che q= q +h

40 Allora a=bq+r diventa a=b(q +h)+r= bq + bh + r Sappiamo che a=bq +r, quindi Cioè bq +bh+r=bq +r bh+r=r r bh Poiché h è un numero naturale >0, sarà h 1 e quindi bh b, cioè r bh b ovvero r b. Ma questo è contrario a quanto avevamo supposto.

41 Ne dobbiamo dedurre che la coppia (q,r) non può essere distinta dalla coppia (q,r ) Si può vedere che anche supponendo q<q si arriva a una contraddizione. In conclusione Per ogni coppia ordinata (a,b) di numeri naturali con b>0, esiste una e una sola coppia ordinata (q,r) di numeri naturali, con 0 r<b tali che a=bq+r

42 Osservazioni Se in a=bq+r si ha r=0, cioè a=bq, allora si dice che a è divisibile per b e che b è divisore di a (a multiplo di b). In generale q si dice quoziente (quoto se r=0) tra a e b, mentre l operazione che alla coppia (a,b) con b>0, associa q si chiama divisione. Possiamo dire che la divisione sia veramente un operazione binaria e interna?

43 Osservazione La relazione b divide a (il che succede quando esiste q tale che a=bq) che si scrive b a è una relazione d ordine? E riflessiva (a a) E antisimmetrica (a b e b a solo quando a=b) E transitiva (se a b e b c allora a c) La divisibilità è una relazione d ordine in N E una relazione d ordine totale?

44 I numeri 0 e 1 Il numero 0 è divisore di un numero non nullo a? No. Se così fosse, esisterebbe q tale che a=q0! Il numero 1 è divisore di un numero non nullo a? Sì, perché a=1. Il numero 0 è divisibile per un numero a? Sì, perché 0=a0.

45 Proprietà della divisione Proprietà invariantiva Se a, b, m sono numeri naturali con m 0 e se b a, allora a:b = (a x m): (b x m) Se poi m a e m b, si ha anche a:b = (a:m) : (b:m)

46 L algoritmo della divisione Esaminiamo ora l'algoritmo in dettaglio, anche in questo caso direttamente in un caso concreto. Cosa facciamo in realtà quando dividiamo, ad esempio, 3073 per 37? Cominciamo con il selezionare, nel numero 3037, gruppi di cifre a partire da sinistra. Otteniamo: 3, 30, 307. I primi due gruppi selezionati danno un numero minore di 37, il terzo dà invece 307, che è maggiore di 37. A questo punto, ci fermiamo, e osserviamo che 307=8x = 10x307+3

47 Allora possiamo ragionare nel modo seguente: 3073= 307 x = (8 x ) x = = 80 x = 80 x che ci darebbe quoziente 80 e resto 113. Ma 113>37, per cui proseguiamo osservando che E quindi abbiamo 113 = 3 x = 80 x x = 83 x Abbiamo così ottenuto che 3037 diviso per 37 ha quoziente 83 e resto 2.

48 L'algoritmo solito per la divisione è proprio una codifica di questo ragionamento. Cominciamo selezionando il più piccolo gruppo di cifre del dividendo, cominciando da sinistra, in modo tale da avere un numero maggiore o uguale del divisore. Nel nostro caso otteniamo 307. Dividiamo ora 307 per 37, ottenendo quoziente 8 e resto 11. Come facciamo a trovarli? Possiamo "indovinare" il quoziente 8, procedendo per tentativi, e calcolare il resto moltiplicando 37 per 8 e sottraendo il prodotto da 307.

49 In questo modo abbiamo ottenuto la prima cifra del quoziente finale, cioè 8. A questo punto "abbassiamo" la cifra del divisore, il che significa proprio moltiplicare per 10 il resto precedente e sommare 3, ottenendo 113. Dividiamo poi 113 per 37, come prima, ottenendo sempre un quoziente a una sola cifra, che è l'ultima cifra del quoziente finale, e un resto, che dà il resto finale.

50 Il procedimento che abbiamo appena visto si riassume di solito in forma grafica, ad esempio così: Questo è uno schema «a danda lunga». Spesso si usa lo schema «a danda corta» in cui non compaiono i prodotti parziali come 296 e 111.

51 Tavola della divisione

52 Il Massimo Comun Divisore (MCD) La definizione Dati due numeri naturali a e b non ambedue nulli, si definisce Massimo Comun Divisore di a e b il numero d che possiede le proprietà (1) d a e d b (2) se un numero naturale n divide a e b allora divide anche d Si indica con MCD(a,b)=d o anche solo con (a,b)=d

53 Esempio Il MCD di 60 e 40, si può indicare con (60,40) Divisori 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 Divisori 40: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 Divisori comuni: 1, 2, 4, 5, 10, 20 (60, 40)= 20 sia secondo la definizione data, sia secondo quella più comune (sono equivalenti) Es. (15,0)=? (12, 12)=?

54 Il Massimo Comun Divisore (MCD) L algoritmo euclideo Un esempio Trovare MCD(1800,326) Per il teorema di divisibilità posso scrivere: 1800 = 326 x Se un numero divide 326 divide anche 326x5. Se un numero divide 1800 e 326 divide anche 1800 e 326x5 e divide pure la loro differenze x5= 170 Quindi ogni numero che divide 1800 e 326 divide anche 326 e 170.

55 Il Massimo Comun Divisore (MCD) L algoritmo euclideo Un esempio Quindi MCD(1800, 326)=MCD(326,170) 326= 170x Quindi MCD(326,170)=MCD(170, 156) 170=156x1+14 MCD(170, 156)=MCD(156,14) 156= 14 x MCD(156,14)=MCD(14,2) 14= 7x2 + 0 MCD(14,2)=MCD(2,0)=2

56 Il Massimo Comun Divisore (MCD) L algoritmo euclideo In simboli Dati a e b con a>b e b>0 a=bq+r con 0 r<b b=rq 1 +r 1 con 0 r 1 <r r=r 1 q 2 +r 2 con 0 r 2 <r 1. r n-2 =r n-1 q n +r n con 0 r n <r n-1 r n-1 =r n q n+1 +0 Allora MCD(a,b)=r n

57 Nota bene Se si applica l algoritmo euclideo (Elementi VII.2) l ultimo resto diverso da zero è il Massimo Comun Divisore. L algoritmo euclideo si basa solo sulla nozione di divisibilità. A differenza dell algoritmo più comune, non richiede la conoscenza della fattorizzazione in primi, la cui esistenza e unicità si basa sul Teorema fondamentale dell Aritmetica

58 Il teorema fondamentale dell aritmetica Ogni numero naturale maggiore o uguale a 2 si scompone, in maniera unica, in un prodotto di potenze di numeri primi.

59 I numeri primi La definizione formale Un numero naturale p>1 si dice primo se ha due soli divisori: 1 e p; altrimenti si dice composto. Questa definizione divide i numeri in tre insiemi 1. I numeri 0 e 1 2. I numeri primi 3. I numeri composti

60 Quanti sono i numeri primi? La proposizione IX.20 degli Elementi di Euclide afferma che «i numeri primi sono più di qualsiasi moltitudine assegnata», cioè dato un insieme di numeri primi è sempre possibile trovare un numero primo che non appartiene a quell insieme. Spesso oggi questo teorema, che si dimostra per assurdo, si formula così

61 Teorema: L insieme dei numeri primi è infinito Un esempio Sia A = 2, 3, 5 Considero n = 2 x 3 x = è un numero primo che non sta in A

62 Teorema: L insieme dei numeri primi è infinito Sia A un insieme che contiene un numero finito di numeri primi A= 2, 3, 5, 7, 11. p dove p è il più grande dei numeri primi. Consideriamo un nuovo numero n= 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x... x p + 1 Sicuramente n>p ed è un numero diverso da quelli contenuti in A. Se n è un numero primo siamo giunti a una contraddizione perché avevamo supposto che p fosse il numero primo più grande.

63 Teorema: L insieme dei numeri primi è infinito Se n non è un numero primo, allora è un numero composto. Se n è un numero composto, ammetterà tra i suoi divisori almeno uno dei numeri primi contenuti in A. Supponiamo che questo divisore primo sia h. Dunque h n e h 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x... x p Essendo n= 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x... x p + 1 n (2 x 3 x 5 x 7 x 11 x... x p) = 1

64 Teorema: L insieme dei numeri primi è infinito si deve necessariamente concludere che h 1, il che è impossibile. La conclusione a cui siamo arrivati partiva dall ipotesi che l insieme A contenesse un numero finito di elementi. Dal momento che la conclusione è «assurda» si deduce che siamo partiti da un ipotesi sbagliata e dunque l insieme A deve contenere un numero infinito di elementi.

65 Come si trovano i numeri primi? Scheda Prof.Dolcetti Consigli di lettura: H.M. Enzensberger, Il mago dei numeri, pp La voce «crivello di Eratostene» su Wikipedia fornisce una rappresentazione dinamica del funzionamento.

66 Materiali Parte di questa presentazione è tratta da L.Bazzini, M.Ferrari, Il mondo dei numeri naturali, Torino, SEI Gli argomenti della presentazione sono trattati in maniera molto simile (ma più concisa) anche in L.Bazzini, A.Scimone, F.Spagnolo, Il mondo dei numeri. Teoria e didattica, Palumbo 2006, Capitolo 1 Oppure F.Speranza, D. Medici Cafarra, P. Quattrocchi, Insegnare la Matematica nella scuola elementare, Zanichelli, Bologna, 1986, Capitolo 3 Aritmetica razionale (in parte)

67 Materiali Dal sito del Liceo Scientifico Vallisneri è scaricabile gratuitamente: Aritmetica, Quaderno UMI n.23, ritm.pdf M.Ferrari, Aritmetica, pp L.Cannizzaro, Introduzione al concetto di numero, pp.34-66

68 Materiali per la didattica Sito dell Unione Matematica Italiana (UMI) In fondo, nella sezione Materiali per la Scuola, scaricare il file pdf corrispondente a Matematica Contiene proposte didattiche relative a «numero, spazio e figure, relazioni, dati e previsioni, argomentare, misurare, problemi»