APPUNTI DI ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA 1

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1 APPUNTI DI ISTITUZIONI DI FISICA ATEATICA 1 Alfredo arzocchi Dipartimento di atematica e Fisica N. Tartaglia, Università Cattolica del S. Cuore Indice 1. Insiemi normalizzati di perimetro finito e sottocorpi 1 2. Immersione e deformazione 3 3. Deformazioni e deformazioni omogenee 5 4. Teorema di decomposizione polare 9 5. Indifferenza materiale Rappresentazione euleriana e lagrangiana Velocità e accelerazione Formula di Eulero Teoremi del trasporto assa Potenza Calore e il primo principio della Termodinamica Entropia Fluidi perfetti Fluidostatica dei fluidi perfetti barotropici Teoremi sui fluidi perfetti Condizioni al contorno Applicazioni oti piani oti piani irrotazionali di fluidi perfetti incomprimibili Onde di superficie nei fluidi incomprimibili Fluidodinamica dei fluidi comprimibili Fluidi viscosi Elasticità Elasticità lineare Applicazioni Insiemi normalizzati di perimetro finito e sottocorpi Nei fondamenti della eccanica dei Continui è apparso centrale il concetto di legge in forma integrale. Con questo si intende una formulazione dei principi basilari della fisica basata su uguaglianze espresse fra integrali valutati su sottocorpi. Per questo conviene effettuare una scelta dell universo di sottocorpi che sia adatta alla teoria dell integrazione, o, per essere più flessibili, alla teoria della misura. Sia R n un insieme; indichiamo con = { x R n : lim r 0 + L n (B(x, r) \ ) L n (B(x, r)) } = 0.

2 2 Per esempio, se n = 2 e se = B(0, 1) [1, 2] \ [ 1, 0], dove gli intervalli si intendono sull asse x, si vede subito che = B(0, 1). I punti di si dicono essenzialmente interni a. Dall esempio riportato si vede che in generale e non sono confrontabili. Definizione 1.1. Se =, allora si dirà normalizzato. Sebbene in molti casi si abbia che = int, vi sono alcune differenze. Per esempio, se = B( 1, 1) B(1, 1), il punto (0, 0) non è interno (topologicamente) a, eppure appartiene a. La differenza fondamentale sta nella frontiera, che può essere molto grande se topologica, rispetto a quella che andiamo a definire. Definizione 1.2. Per ogni R n, chiamiamo frontiera normalizzata l insieme = R n \ ( (R n \ ) ). In questo modo, i punti della frontiera normalizzata sono tutti e soli quelli che non sono né essenzialmente interni a né essenzialmente interni al suo complementare. Facciamo notare che frontiera normalizzata è una locuzione pericolosa: non si tratta infatti del normalizzato della frontiera topologica. Il termine corretto è frontiera secondo la teoria geometrica della misura, però decisamente troppo lungo. Una buona proprietà degli insiemi normalizzati e delle frontiere normalizzate è che sono tutti boreliani. Questo permette di definire delle misure, e in particolare le misure di Lebesgue L n e Hausdorff H n 1. Definizione 1.3. Sia un insieme normalizzato. Diremo che è di perimetro finito, se H n 1 ( ) < +. Nella letteratura spesso si è discusso sulle proprietà che debbono avere degli insiemi per essere usati quali sottocorpi. Riportiamo a tal proposito queste proprietà, che si riferiscono a una coppia (P, ), dove P è un insieme e è una relazione in P con le proprietà indicate sotto. Assioma 1.4 (di ordinamento). La relazione deve essere una relazione d ordine, ossia (1) P P : P P ; (2) P, Q P : (P Q e Q P ) P = Q; (3) P, Q, R P : (P Q e Q R) P R. Assioma 1.5 (di esistenza della parte comune). Per ogni P, Q P esiste R P tale che R P e R Q e che S P : (S P e S Q) S R. R si chiama parte comune (in inglese meet) e sarà indicato con P Q. Assioma 1.6 (di esistenza della parte unione). Per ogni P, Q P esiste R P tale che P R e Q R e che S P : (P S e Q S) R S. La parte unione (chiamata in inglese join) di P e Q verrà indicata con P Q. Può darsi ora che esistano o meno in B un elemento minimo e un massimo per la relazione, ossia due elementi O e U tali che P B : O P U.

3 Se ciò non avviene, è sempre possibile modificare la definizione della relazione aggiungendo due nuovi elementi a B con le proprietà indicate. L assioma che segue richiede invece che esista il sottocorpo complementare a un dato sottocorpo. Assioma 1.7 (del complementare). Per ogni P P esiste un unico P e P tale che P P e = O, P P e = U. anca però un ultimo assioma, per quanto la struttura possa apparire completa, che è tipico della teoria dei sottocorpi. Assioma 1.8 (di separazione). Per ogni P, Q P si ha Q P e = O Q P. Siamo ora pronti a scegliere un universo di sottocorpi adatto ai nostri scopi. Definizione 1.9. Sia B un insieme normalizzato e di perimetro finito. Prendiamo come universo P di sottocorpi l insieme di tutti i sottoinsiemi di B normalizzati e di perimetro finito, come relazione l usuale relazione di inclusione, e per ogni P, Q P P Q = P Q, P Q = (P Q), P e = (B \ P ). Si può dimostrare che con questa scelta dell universo dei sottocorpi, tutti gli assiomi indicati alla sezione precedente sono soddisfatti. La proprietà comunque più importante riguarda l esistenza della normale. Si può infatti mostrare che per ogni P esiste un campo vettoriale unitario n definito H n 1 -quasi ovunque su e tale che, se v è un campo vettoriale su, valga il teorema della divergenza div v = v n dh n 1. Questo risultato è classico se v è di classe C 1, e in quel caso il primo integrale è un usuale integrale di volume, ma in realtà vale, in una maniera opportunamente estesa, anche fino al caso in cui div v sia una misura di Radon finita sui compatti. 2. Immersione e deformazione Proseguiamo ora nell enunciazione delle proprietà dei corpi continui. Sia E lo spazio euclideo n-dimensionale e sia I un intervallo della retta dei numeri reali. Supponiamo che sia assegnata una funzione invertibile π t : B E (t I) tale che ogni sottocorpo P abbia per immagine un sottoinsieme normalizzato e di perimetro finito di E. Questa funzione si chiama immersione del corpo all istante t. Per ogni sottocorpo P B, l immagine π t (P ) si chiama forma del sottocorpo. Quando poi, come nel nostro caso, i sottocorpi sono sottoinsiemi di un insieme B normalizzato e di perimetro finito, spesso si chiama configurazione del corpo l insieme π t (B). Con questa schematizzazione il corpo resta sempre lo stesso, mentre le sue varie configurazioni possono cambiare, anche se è possibile scegliere una di queste come riferimento per le altre, nel qual caso risulta naturale associare l istante zero a quest ultima. Supponiamo ora di avere due configurazioni del corpo in istanti differenti (per semplicità, e senza perdere di generalità supporremo d ora in poi che questi siano 0 e t), che indichiamo con B 0 = π 0 (B) e B t = π t (B). La configurazione B t si dirà configurazione deformata della 3

4 4 B 0. Risulta molto utile in eccanica dei Continui la funzione che associa ad ogni punto o sottocorpo nella configurazione di riferimento il corrispondente punto o sottocorpo nella configurazione deformata. In altre parole, ci interessa la deformazione χ t : B 0 B t data da χ t = π t π0 1. Quindi, per ogni sottocorpo P, avremo (2.1) χ t (P ) = π 1 0 (π t (P )). Se invece P è un punto p (nella configurazione di riferimento), avremo χ t (p) = π 1 0 (π t (p)). La funzione χ t esprime la deformazione del corpo, o più semplicemente la legge che associa ad ogni punto la sua posizione dopo la deformazione. Vi sono varie richieste da fare sulla deformazione o, contemporaneamente, sulle immersioni. Una prima è che il corpo, in seguito a una deformazione, non si compenetri. Assioma 2.1 (di non compenetrabilità). Per ogni t I, la funzione χ t deve essere biiettiva. Consideriamo ora un sottocorpo P nella configurazione di riferimento. La legge t χ t (P ) rappresenta chiaramente la legge oraria del sottocorpo P. Pertanto l assegnazione di una famiglia di immersioni dà un movimento del corpo. Poi, la legge t χ t (p) sarà la legge oraria del moto del punto p, e così via. È chiaro che, per poter parlare di velocità, accelerazione ed altre quantità cinematiche è necessario che l applicazione (t, p) χ t (p) sia derivabile un certo numero di volte. Non vogliamo a questo punto enunciare alcun assioma preciso, in quanto esso avrebbe carattere non fondante ma solo tecnico: supporremo di volta in volta questa funzione derivabile quanto basta per dare senso ai discorsi che seguiranno. Un requisito avente significato fisico è invece quello che la deformazione non vari localmente l orientazione dell elemento di volume; per esempio, non deve essere possibile che un elemento di un corpo si deformi passando da una terna destra a una terna sinistra. Questo viene espresso nel seguente Assioma 2.2 (di orientazione). Per ogni t I, si deve avere det grad χ t (p) > 0 per ogni punto materiale p nella configurazione di riferimento. Fin qui non abbiamo ancora introdotto nulla sulla rappresentazione dei punti materiali nello spazio ambiente euclideo E. A seconda della carta scelta, avremo che i punti saranno individuati da elementi di R n. Indicheremo poi con V lo spazio vettoriale delle traslazioni, ossia di differenze di vettori posizione dei punti di E. Detto allora X(p) il vettore posizione del generico punto p in B 0 e x t (p) quello del punto corrispondente nella deformazione χ t (p), poniamo u(p, t) = x t X V. u si dirà spostamento; chiaramente la conoscenza di una configurazione di riferimento e quella del campo u permettono di ricostruire la deformazione. In molti casi, poi, si suole identificare p con X e χ t (p) con x t, per cui il campo di spostamento risulta essere un campo vettoriale (t, X) u(t, X). Insistiamo anche sul fatto che abbiamo deliberatamente scelto di ambientare il nostro corpo in uno spazio euclideo; avremmo potuto, più in generale, richiedere che π t (B) fosse una varietà (per esempio, per studiare il moto di un fluido che

5 scorre su una superficie curva). In questo caso il campo di spostamento avrebbe perso di senso, o comunque, qualora la varietà fosse stata immersa, di senso fisico. 3. Deformazioni e deformazioni omogenee In questa sezione, poiché tutto verrà studiato per t fissato, ometteremo la dipendenza da questa variabile. Fissato un punto arbitrario O B 0, supponendo la funzione χ regolare, possiamo svilupparla in serie di Taylor (3.1) χ(x) = χ(o) + χ (X O) + o(x O) X O dove o(z) indica, al solito, un infinitesimo rispetto a Z. Poniamo anche F = χ X = grad X χ che è lo jacobiano di χ ed è detto gradiente di deformazione. gradiente di spostamento, dato, per la formula (3.1), da L equazione (3.1) grad u = u X = F I. χ(x) = χ(o) + F(O)(X O) + o( X O ) 5 Introduciamo anche il si può interpretare anche così: preso un punto X vicino a O, per trovare il suo trasformato, a meno di infinitesimi di ordine superiore al primo in X O, basta sommare a χ(o) il vettore trasformato di X O secondo F. Una classe di deformazioni di notevole interesse è quella delle cosiddette deformazioni omogenee, nelle quali il gradiente di deformazione F è costante, ossia non dipende da Y, e di fatto l operazione sopra indicata non è approssimata. Definizione 3.1. Una deformazione χ per la quale il gradiente di deformazione F non dipende dal punto di riduzione si dirà omogenea. Proposizione Una deformazione omogenea è caratterizzata dalla formula (3.2) χ(x) = χ(o) + F(X O) dove il punto di riduzione O è arbitrario. Dimostrazione. Sia χ una deformazione omogenea. Allora si ha chiaramente F X = 0 per cui, nello sviluppo di Taylor di χ sono nulli tutti i termini di grado superiore al primo. Dalla (3.1) si trova subito allora la (3.2). Sia poi Y un arbitrario punto di B 0. Dalla (3.2) si ricava, sostituendo Y a X, χ(y ) = χ(o) + F(Y O) per cui ricavando e sostituendo χ(o) si trova χ(x) = χ(y ) + F(X Y ) che è analoga alla (3.2) con punto di riduzione Y.

6 6 Come conseguenza di questo fatto, abbiamo ad esempio che in una deformazione omogenea rette vengono sempre trasformate in rette. Infatti se X = a + tb (t R) è l equazione di una retta, avremo x = χ(x) = χ(y ) + Fa + tfb FY = c + td dove c = χ(y ) F(Y ) + Fa e d = Fb, che è l equazione di una retta. Definizione 3.3. Una deformazione si dirà traslazione se per ogni X, Y B 0 si ha (3.3) χ(x) χ(y ) = X Y. Una deformazione χ si dirà invece isometrica se per ogni X, Y B 0 χ(x) χ(y ) = X Y. Chiaramente una traslazione è una deformazione omogenea con F = I, e viceversa. Dalla formula (3.2) si vede anche che per una traslazione si ha χ(x) = X + Z con Z = χ(y ) Y, ossia che una traslazione non fa altro che sommare ad ogni vettore un vettore costante. Ogni traslazione è poi isometrica, ma non viceversa. Un sottocorpo P di B 0 si dice unito se χ(p ) = P. Se invece P è un punto tale che χ(p) = p, si dirà punto unito o fisso. Chiaramente un insieme di punti uniti è unito, mentre non è vero il viceversa. Dalla definizione di punto unito si trae subito che Y è unito se e solo se u(y ) = 0. Dimostriamo ora la principale proprietà delle deformazioni omogenee. Theorem 3.1. Per ogni deformazione omogenea χ e per ogni punto Y deformazione omogenea Λ e due traslazioni τ 1, τ 2 tali che Λ(Y ) = Y χ = τ 1 Λ = Λ τ 2. esistono una In altre parole, fissato Y, ogni deformazione omogenea si può vedere come una composizione di una deformazione omogenea con Y unito e di una traslazione. Dimostrazione. Poniamo τ 1 (X) = X + χ(y ) Y τ 2 (X) = X + F 1 (χ(y ) Y ) Λ(X) = Y + F(X Y ). Dalle prime due delle precedenti espressioni si ha, per ogni X, Z B 0, τ 1 (X) τ 1 (Z) = X Z τ 2 (X) τ 2 (Z) = X Z per cui τ 1 e τ 2 sono traslazioni. Ovviamente, poi, Λ è una deformazione omogenea e Λ(Y ) = Y, ossia lascia unito Y. Vediamo che τ 1 Λ = χ. Abbiamo τ 1 (Λ(X)) = Λ(X) + χ(y ) Y = Y + F(X Y ) + χ(y ) Y = = χ(y ) + F(X Y ) = χ(x).

7 7 Vediamo ora che Λ τ 2 = χ. Abbiamo stavolta Λ(τ 2 (X)) = Λ(X + F 1 (χ(y ) Y )) = = Y + F(X + F 1 (χ(y ) Y ) Y ) = = Y + FX + χ(y ) Y FY = χ(y ) + F(X Y ) = χ(x). Vediamo ora alcuni esempi di deformazioni omogenee. Per il teorema precedente, possiamo sempre pensare di avere un punto fisso che supporremo essere l origine. Definizione Una deformazione omogenea si dice rotazione pura attorno a Y se Y è fisso e se F = R, con R ortogonale e a determinante positivo, mentre si dice deformazione pura attorno a Y, se Y è fisso e se F = U, con U simmetrica e a determinante positivo. Una rotazione pura è isometrica; infatti χ(x) χ(y ) = Y + R(X Y ) Y = R(X Y ) = X Y per le note proprietà di isometria delle rotazioni. La più semplice deformazione pura è la dilatazione. In tale deformazione si ha F = U = δi. Dovendosi avere det F > 0, si ricava subito che deve essere δ > 0. Se δ = 1, abbiamo la deformazione identica (a meno di una traslazione, come abbiamo visto sopra), se δ > 1 si ha la cosiddetta espansione uniforme, mentre se 0 < δ < 1 si ha una compressione uniforme. Dall espressione (2.1), prendendo Y = 0 unito, abbiamo allora χ(x) = δx che mostra come ogni vettore X venga trasformato in un vettore parallelo, di lunghezza aumentata se δ > 1 e ridotta se 0 < δ < 1. 0 è l unico punto unito di questa trasformazione. Tutte le rette per l origine sono unite (come rette). Un interessante osservazione, collegata all indipendenza dal punto di riduzione osservato sopra, è che in questa deformazione, sebbene paia a prima vista che l origine sia privilegiata, nessun punto in realtà è privilegiato (come accade in tutte le deformazioni omogenee). Questo spiega, ad esempio, come il modello di espansione uniforme dell universo sia in accordo con l arbitrarietà del punto di osservazione. Ricordiamo la definizione di prodotto diadico di due vettori. Definizione 3.5. Sia V uno spazio unitario ( 1 e siano u, v V. Indichiamo con u v Lin(V ) la trasformazione lineare tale che (u v)w = (v w)u w V. Ricordiamo anche che {e i } (i=1,...,n) è una base ortonormale di V, allora {e i e j } (i,j=1,...,n) è una base Lin(V ). Definizione 3.6. Siano a un versore e ν R. Diremo estensione nella direzione a la deformazione pura data da F = U = I + (ν 1)a a. ( 1 ) Ricordiamo che uno spazio vettoriale si dice unitario se è dotato di prodotto scalare.

8 8 In coordinate cartesiane, scelto per comodità a = e 1, troviamo per la matrice di U l espressione ν da cui, ricordando il fatto che det F > 0, si trova ν > 0. Ricaviamo il campo di spostamento u. Si ha, prendendo Y = 0 fisso, u(x) = χ(x) X = UX X = X + (ν 1)(a a)x X = (ν 1)(a X)a. In questo modo vediamo che tutti i punti del piano X a = 0 sono uniti (in quanto per essi si ha u = 0), e che lo spostamento di ogni punto non unito avviene sempre nella direzione a, con verso uguale se ν > 1 e opposto se 0 < ν < 1. Dunque sono uniti anche tutti i piani e tutte le rette parallele ad a. Poiché a = 1, abbiamo che, se prendiamo per riferimento a = e 1, u = a X = X 1. Dunque lo spostamento di un punto è tanto più alto quanto più il punto dista dal piano passante per l origine e perpendicolare ad a. Questo tipo di deformazione rende l idea di una estensione omogenea, per esempio di un filo elastico. Definizione 3.7. Siano a, b due versori mutuamente ortogonali e λ R. Diremo scorrimento simmetrico rispetto alla coppia di direzioni a la deformazione pura data da F = U = I + λ(a b + b a). In coordinate cartesiane, posto a = e 1, b = e 2, abbiamo che la matrice di U è 1 λ 0 λ per cui abbiamo det F = 1 λ 2 > 0 da cui si ricava che deve essere λ < 1. Il corrispondente campo di spostamento è u(x) =χ(x) X = X + λ(a b + b a)x X = = λ[(b X)a + (a X)b]. Per esempio, posto a = e 1, b = e 2, troviamo u(x) = σ(x 2 e 1 + X 1 e 2 ). Un esempio di deformazione non pura è invece lo scorrimento non simmetrico (detto anche shear), definito da F = I + 2σa b. In coordinate cartesiane F ammette matrice 1 2σ per cui stavolta non vi sono limiti a σ, avendosi sempre det F = 1 (deformazione isocora).

9 Il campo di spostamento è stavolta, espresso come prima in coordinate cartesiane, u(x) = (b X)a = 2σX 2 e 1. Ne segue, riferendoci per semplicità al piano, che l asse delle ascisse è unito punto per punto mentre sono unite tutte le rette parallele ad esso (in quanto rette). Ogni retta della forma X 2 = mx 1 viene trasformata invece nella retta x 2 = m/(1 + 2mσ)x 1. Infatti l equazione parametrica della prima retta è { X1 = t X 2 = 2mt per cui, dopo la trasformazione, usando la formula x = X + u, troviamo la retta { x1 = X 1 + σx 2 = t + 2σmt che corrisponde proprio alla retta x 2 = X 2 = mt x 2 = 4. Teorema di decomposizione polare m 1 + 2mσ x 1. Il fatto che il gradiente di deformazione F = grad χ t abbia determinante positivo porta con sé delle importanti conseguenze. Richiamiamo dapprima alcuni noti concetti e risultati di Algebra Lineare. Definizione 4.1. Sia T Lin(V ) una trasformazione lineare su uno spazio vettoriale V su un campo di scalari e siano λ i i suoi autovalori con la rispettiva molteplicità. La traccia di T è lo scalare dato da n tr T = λ i. Se V è unitario, l operazione di traccia verifica poi l identità, per ogni u, v V i=1 tr(u v) = u v. Definizione 4.2. Sia T Lin(V ) una trasformazione lineare su uno spazio unitario V. La trasformazione lineare aggiunta di T è definita da u T T v = Tu v. Se T = T T, allora T si dirà simmetrica o autoaggiunta. Se T = T T, allora T si dirà antisimmetrica. Useremo anche la notazione T T per (T T ) 1 = (T 1 ) T Rispetto a una base ortonormale, la matrice di T T è la trasposta della matrice di T, mentre la matrice di una trasformazione rispettivamente simmetrica o antisimmetrica è rispettivamente simmetrica o antisimmetrica. È immediatamente verificabile che l insieme di tutte le trasformazioni simmetriche su uno spazio V è un sottospazio vettoriale di Lin(V ), che indicheremo con Sym(V ), e così pure l insieme Skw(V ) delle trasformazioni antisimmetriche. Inoltre ogni T Lin(V ) si decompone in modo unico nella somma di una parte simmetrica T s = (T + T T )/2 e di una parte antisimmetrica T w = (T T T )/2, cosicché Lin(V ) = Sym(V ) Skw(V ). Infine, se T, U Lin(V ), ponendo T : U = tr(tu T ) 9

10 10 si ha che : è un prodotto scalare su Lin(V ), rispetto al quale, se {e i } (i=1,...,n) è una base ortonormale, si ha (e i e j ) : (e k e l ) = δ ij δ kl dove δ ij è il simbolo di Kronecker. Date T, U Lin(v), poniamo anche TU = T U. Se {e i } (i=1,...,n) è ortonormale, si verifica anche facilmente che (4.1) (e i e i )(e j e j ) = δ ij e i e i. Theorem 4.1 (spettrale). Se T Sym(V ), allora esiste una base ortonormale {b 1,..., b n } di V fatta interamente con autovettori di T. Inoltre, detti λ i (i = 1,..., n) gli autovalori di T, si ha n T = λ i b i b i. i=1 Viceversa, se vale una formula del tipo soprascritto con e i ortonormali, allora λ i sono gli autovalori di T ed e i i rispettivi autovettori. Indicheremo infine con Sym + (V ) il sottoinsieme di Sym(V ) delle trasformazioni simmetriche definite positive, ossia per le quali v Tv > 0 v V, v 0. Proposizione 4.3 (Esistenza della radice quadrata). Sia T Sym + (V ). Allora esiste una unica U Sym + (V ) tale che U 2 = T. Dimostrazione. Dal teorema spettrale sappiamo che, presa una base ortonormale di autovettori di T, si ha n T = λ i e i e i. Poniamo allora, visto che λ i > 0 per ogni i, n U = λi e i e i. Dalla (4.1) abbiamo subito n U 2 = λi λj (e i e i ) (e j e j ) = i,j=1 i=1 i=1 n λ i e i e i = T. Vediamo ora l unicità. Supponiamo che esistano U, V Sym + (V ) tali che U 2 = V 2 = T. Sia e un autovettore di T corrispondente all autovalore λ. Allora, siccome U 2 = T, abbiamo Poniamo allora col che i=1 (U + λ)(u λ)e = (U 2 λi)e = (T λi)e = 0. v = (U λi)e, Ue = v + λe.

11 Ora, ricordando che e è autovalore di T relativo a λ, Uv = (U 2 λu)e = Te λ(v + λe) = λe. Siccome λ < 0, si deve avere v = 0, altrimenti U avrebbe autovalori negativi. a allora dalla definizione di v segue Ue = λe, e quindi e è anche un autovettore di U relativo a λ. Ripetendo lo stesso ragionamento per V, si trova che U e V hanno la stessa base di autovettori, e dunque, per il teorema spettrale, coincidono. Indicheremo la radice quadrata di T col simbolo T. Siamo ora in grado di dimostrare il principale risultato di questa sezione. Theorem 4.2 (di decomposizione polare). Sia data una deformazione con gradiente F. Allora sono univocamente determinate due estensioni pure U, V e una rotazione R tali che F = RU, F = VR. Dimostrazione. ostriamo dapprima che F T F Sym +. Chiaramente è simmetrico, poi, per ogni v V, v F T Fv = Fv Fv 0. Poi questo prodotto è zero se e solo se Fv = 0, e questo accade se e solo se v = 0, perché F è invertibile. Possiamo ora porre U = F T F Per il teorema precedente, U è univocamente determinata da F e appartiene a Sym +. Si tratta di vedere che R = FU 1 è una rotazione. Evidentemente è univocamente determinata da F. Innanzitutto è definita positiva, perché F e U lo sono (e quindi anche U 1 ). ricordando che U è simmetrica, Poniamo ora Ricordando che R è una rotazione, abbiamo R T R = (U 1 ) T F T FU 1 = U 1 U 2 U 1 = I. V = RUR 1. V T = (RUR 1 ) T = (RUR T ) T = RU T R T = RUR 1 = V. Poi, per ogni vettore v, usando sempre il fatto che R è una rotazione, Vv v = RUR 1 v = R T UR 1 v = Uw w 0 con w = R 1 v. Dalla definitezza positiva di U si ha poi che se il suddetto prodotto scalare è zero, allora R 1 v = 0, ossia che v = 0. Quindi V Sym +, è univocamente determinata da F e dalla sua definizione segue VR = RU = F. 11 Poi,

12 12 Si può poi verificare che V = FF T. Per una deformazione omogenea, il teorema di decomposizione polare implica che χ(x) = χ(o) + RU(X O). Delle deformazioni omogenee viste sopra, solo lo scorrimento non simmetrico (shear) non è una deformazione pura. Un esercizio molto istruttivo è quello di determinarne la decomposizione (nel piano). Poniamo per fissare le idee a = e 1, b = e 2. Allora e F = I + 2σe 1 e 2, F T = I + 2σe 2 e 1 F T F = I +2σ(e 1 e 2 +e 2 e 1 )+4σ 2 (e 2 e 1 )(e 1 e 2 ) = I +2σ(e 1 e 2 +e 2 e 1 )+4σ 2 e 2 e 2 essendo, come si può verificare immediatamente, (b a)(a b) = b b per ogni versore a. Dunque F T ha matrice [ ] 1 2σ 2σ 1 + 4σ 2. Si tratta ora di trovare una matrice U data da [ ] a b U = b c tale che U 2 = Questo equivale al sistema [ ] [ ] a 2 + b 2 ab + bc 1 2σ ab + bc b 2 + c 2 = 2σ 1 + 4σ 2. a 2 + b 2 = 1 b(a + c) = 2σ b 2 + c 2 = 1 + 4σ 2 Sottraendo la prima dalla terza si trova subito (c + a)(c a) = 4σ 2 e moltiplicando ambo i membri per b e usando la seconda, segue subito c = a + 2σb. La prima delle tre equazioni suggerisce ora di porre e sostituendo tutto nella terza risulta che semplificata dà Risolvendo in tg ϑ, si trova subito a = cos ϑ, b = sen ϑ sen 2 ϑ + (cos ϑ + 2σ sen ϑ) 2 = 1 + 4σ 2 σ sen ϑ cos ϑ + σ 2 sen 2 ϑ = σ 2. tg ϑ = σ

13 13 e quindi a = 1, b = σ, 1 + σ σ 2 c = 1 + 2σ2 1 + σ 2. Ora, F è isocora, per cui ha determinante 1, e dunque anche U ha determinante 1. Pertanto [ ] U σ 2 σ =. 1 + σ 2 σ 1 A questo punto per trovare la rotazione R basta fare [ ] [ ] R = FU σ 1 + 2σ 2 σ = = 1 + σ σ σ 2 [ 1 σ σ 1 ] [ cos ϑ sen ϑ = sen ϑ cos ϑ ]. 5. Indifferenza materiale Quando una quantità fisica viene rappresentata per mezzo di coordinate, esse dipendono in generale dal riferimento scelto. Se si vuole poi definire una siffatta quantità per mezzo delle sue coordinate, bisogna fare attenzione a usare combinazioni invarianti. Infatti una quantità fisica non può dipendere dal sistema di riferimento scelto. Ricordiamo che un evento è una coppia del tipo (x, t), dove x è un vettore e t R. A proposito dei sistemi di riferimento, noi ci metteremo in ambito classico e pertanto supporremo valido il seguente Assioma 5.1 (di scelta dell osservatore). Un evento descritto da (x, t) in un riferimento R e lo stesso evento descritto da (x, t ) nel riferimento R sono legati dalle relazioni (5.1) dove Q è una rotazione e a R. x = q + Q(x x 0 ) t = t + a Supponiamo che un vettore v sia definito da v = x 1 x 2 nel riferimento R. Allora, nel riferimento R, avremo v = x 1 x 2 = Q(x 1 x 2 ) = Qv. Analogamente, se T è una trasformazione lineare dello spazio delle traslazioni di E, avremo che diventerà per cui v = Tu v = Qv = QTu = QTQ T u (5.2) T = QTQ T. Per questo motivo diamo la seguente definizione.

14 14 Definizione 5.2. Siano f, v, T dei campi rispettivamente scalari, vettoriali e tensoriali definiti su E in un riferimento R. Essi si diranno materialmente indifferenti se, detti f, v, T i loro valori nel riferimento R, si ha f (x, t ) = f(x, t) v (x, t ) = v(x, t) T (x, t ) = T(x, t) Esempi di tali campi sono, ad esempio, gli autovalori e gli autovettori di un campo tensoriale, la traccia e il determinante di un campo tensoriale, il prodotto scalare, vettoriale e tensoriale di due vettori materialmente indifferenti, la composizione e il prodotto scalare di campi tensoriali materialmente indifferenti. Un esempio di campo vettoriale non materialmente indifferente è la velocità Infatti per cui χ(x, t). χ (x, t ) = d dt (Q(t)χ(x, t)) = Q(t)χ(x, t) + Q χ(x, t) v = Qv + Q(t)χ(x, t) Qv. 6. Rappresentazione euleriana e lagrangiana Capita molto spesso di dover definire una quantità sul corpo B e di volerne valutare il valore in una sua configurazione. Questa sarà ovviamente differente al variare della configurazione scelta. Definizione 6.1. Sia X un insieme e sia f : B X una funzione. Chiameremo rappresentazione lagrangiana di f la funzione L f = f π0 1 : B 0 X, e rappresentazione euleriana di f la funzione E f = f πt 1 : B t X. In questo modo, dalla (2.1) troviamo anche che E f = L f χ 1 oppure anche, indicando, come si fa spesso, con f e F le rappresentazioni euleriana e lagrangiana di f, f(x, t) = F (χ 1 t (x)). Infatti dalla (2.1) segue π t = π0 1 χ 1 t e dunque E f = f πt 1 = f (π0 1 χ 1 t ) = (f π0 1 ) χ 1 t = L f χ 1 t. La principale differenza fra descrizione lagrangiana ed euleriana è la seguente. Nella descrizione lagrangiana tutti i campi sono definiti in funzione della configurazione di riferimento (che spesso in questi casi ha un significato particolare): per esempio, il campo di spostamento u(x, t 1 ) è un campo definito sulla configurazione B 0 e dà lo spostamento all istante t 1 della particella che occupa il posto X in quella configurazione, e in un istante successivo t 2, darà lo spostamento u(x, t 2 ) della stessa particella, ma all istante t 2.

15 Nella descrizione euleriana, i campi sono calcolati in una posizione x che sta in una configurazione deformata, ma questa non ha un particolare significato, perché non esiste una configurazione privilegiata: per esempio, il campo di velocità v(x, t 1 ) dà la velocità della particella che passa in x all istante t 1, mentre v(x, t 2 ) darà la velocità della particella che passa in x all istante t 2, che sarà in generale una particella diversa. La rappresentazione lagrangiana è tipica, ma non esclusiva, dell Elasticità, mentre quella euleriana è preferita in Fluidodinamica. 7. Velocità e accelerazione La quantità più importante che conviene esprimere in termini euleriani è la velocità v = ṗ dove p è un punto del corpo. Porremo V = L v e v = E v. Introduciamo anche il gradiente di velocità grad v (rispetto alle variabili x). Decomponiamo anche il gradiente di velocità in parte simmetrica e antisimmetrica: grad v = D + Ω = 1 2 (grad v + grad vt ) (grad v grad vt ). Il significato di D e Ω è il seguente. Nota all istante t la velocità v(o) di un punto o, la velocità di un punto x allo stesso istante t è ovviamente data da e dunque in prima approssimazione v(x, t) = v(o, t) + grad v(o, t)(x o) + o t (x o) v(x, t) v(o, t) + D(o, t)(x o) + Ω(o, t)(x o). Siccome Ω è antisimmetrica, esiste un vettore ω tale che Ωa = ω a e quindi appare evidente che per calcolare la velocità del punto x, una componente è data da una rotazione del vettore x o. Si può mostrare che ω = 1 rot v, dove rot v è il campo vettoriale che 2 div(v a) = rot v a per ogni campo costante a. Per i motivi detti sopra il vettore ω = 1 rot v viene detto vettore di vorticità. Si può 2 dimostrare inoltre che se D = 0 per ogni x e per ogni t, allora si deve avere v(x, t) = v(o) + ω (x o), cioè il moto è rigido. Il tensore D viene detto tensore velocità di deformazione e giocherà un ruolo fondamentale in seguito. Vogliamo ora introdurre l accelerazione p(t), dove p B. In rappresentazione lagrangiana, essa è data da χ t (X), ma ci interessa di più la sua espressione euleriana a(x, t) = d v(x, t). dt Qui è importante ricordare che x dipende dal tempo, per cui bisogna usare la derivata totale: a(x, t) = v t + (grad v)ẋ = v t + (grad v)v. 15

16 16 Ricordiamo ora la formula di Analisi Vettoriale grad(u v) = (grad u)v + (grad v)u + u rot v + v rot u e osserviamo che ponendo u = v troviamo 1 2 grad(v2 ) = (grad v)v + v rot v e quindi possiamo dare all accelerazione la forma (7.1) a = v t + grad 8. Formula di Eulero ( ) v 2 + rot v v. 2 In questa sezione dimostriamo una importante formula dovuta a Eulero. Data una trasformazione T Lin(R 3 ), sappiamo che il polinomio caratteristico di T ha espressione det(t λi) = λ 3 + i 1 (T)λ 2 i 2 (T)λ + i 3 (T) dove i 1, i 2, i 3 sono i cosiddetti invarianti principali di T i 1 (T) = tr T = λ 1 + λ 2 + λ 3 i 2 (T) = 1 [ (tr T) 2 tr(t 2 ) ] = λ 1 λ 2 + λ 1 λ 3 + λ 2 λ 3 2 i 3 (T) = det T = λ 1 λ 2 λ 3. dove i 1 è lineare in T, i 2 è quadratico in T e i 3 è cubico in T. Proposizione 8.1. Sia ϕ la funzione definita sull insieme delle trasformazioni invertibili di V da ϕ(t) = det T. Allora Dimostrazione. Dϕ(T)[H] = det T tr(ht 1 ). Se λ = 1, abbiamo la formula det(t + I) = 1 + tr T + o(t) per T 0. Sia allora H Lin(V ) e invertibile; abbiamo det(t + H) = det((i + HT 1 )T) = det T det(i + HT 1 ) = det T(1 + tr(ht 1 ) + o(h)) = = det T + det T tr(ht 1 ) + o(h). Poiché l applicazione H det T tr(ht 1 ) è lineare, abbiamo la tesi. Supponiamo ora che T sia una funzione derivabile di t; vale allora il Corollario 8.2. Vale la formula d ) (ṪT dt det T(t) = det T tr 1 dove Ṫ = dt/dt.

17 Dimostrazione. Basta ricordare il teorema di derivazione della funzione composta d f(g(t)) = Df(g(t))[ġ(t)] dt Poniamo J = det F e vogliamo calcolare J. Abbiamo Theorem 8.1. Sia F il gradiente di una deformazione derivabile nel tempo e sia J = det F. Allora dj = J div v. dt Dimostrazione. Innanzitutto J = d ) (ḞF dt det F = det F tr 1. Ora abbiamo (8.1) Ḟ = d dt grad X x(t) = grad X ẋ(t) = grad X v = grad x v grad X X = (grad v)f per cui J = d dt det F = det F tr ( (grad v)ff 1) = J tr grad v. Ricordando che tr grad v = div v, abbiamo la tesi. 9. Teoremi del trasporto Dato un campo tensoriale T di classe C 1, denotiamo con div T il campo vettoriale tale che, per ogni vettore costante a, si abbia div(t T a) = div T a. Iniziamo con un teorema di grandissima importanza per il seguito. Theorem 9.1 (del trasporto o di Reynolds). Sia ψ la rappresentazione euleriana di un campo (x, t) ψ(x, t), scalare o vettoriale, che supponiamo di classe C 1, sia P un sottocorpo di B e sia P t = π t (P ) la sua immagine all istante t. Allora valgono le relazioni ( ) d dψ (9.1) ψ dl n = dt P t P t dt + ψ div v dl n d (9.2) dt t dl n + se ψ è scalare (9.3) d dt ψ dl n ψ = P t P t ψ dl n = P t P t ψ t dl n + ψv n dh n 1 P t P t (ψ v)n dh n 1 se ψ è vettoriale. Dimostrazione. Sia B 0 = π 0 (B) una qualunque configurazione di B non dipendente dal tempo. Abbiamo ψ(x, t) dl n = P t L ψ J dl n. P 0 Osserviamo che il secondo integrale ha ora un dominio di integrazione che non dipende più dal tempo. Pertanto d ψ dl n = d L ψ J dl n = dt P t dt P 0 P 0 d dt (L ψj) dl n. 17

18 18 Ora si ha d dt (L ψj) = J dl ψ dj + L ψ dt dt e quindi, ricordando la formula di Eulero [ d ψ dl n = J dl ] ψ dj + L ψ dl n = J dt P t dt dt P 0 P 0 Osserviamo a questo punto che [ dlψ dt ] + L ψ div v dl n. d dt L ψ = d dt ψ(x, t) = ψ(x, t) = L ψ per cui in definitiva, ritornando alla configurazione attuale, d ψ dl n = J [ L dt ψ + L ψ div v ] ( ) dψ dl n = P t P 0 dt + ψ div v dl n che è la (9.1). Dalla relazione, valida per un generico campo differenziabile scalare ψ, (9.4) div(ψv) = ψ div v + grad ψ v si ricava poi dψ dt + ψ div v = ψ t + grad ψ v + ψ div v = ψ t + div(ψv) per cui la (9.2) nel caso scalare discende dal teorema della divergenza. Dalla relazione, valida per un generico campo differenziabile vettoriale ψ, si ricava poi dψ dt + ψ div v = ψ t div(ψ v) = ψ div v + (grad ψ)v P t + (grad ψ)v + ψ div v = ψ t + div(ψ v) per cui la (9.3) nel caso scalare discende dal teorema della divergenza nella forma div T dl n = Tn dh n 1. P La formula (9.2), così come la sua versione vettoriale, è particolarmente suggestiva: essa dice che la variazione della quantità ψ su P t è data da un contributo nel quale entra la variazione di ψ nel tempo su P t, più il flusso di ψ attraverso la frontiera di P t. Vediamo infine un teorema del trasporto che riguarda la circolazione di un campo vettoriale, ossia, come è noto, l integrale dove dx = (L n ) 3 e γ è una curva chiusa. γ P v dx Definition 9.2. Sia data una curva regolare γ in B. La sua immagine γ t = π t (γ) si dirà curva materiale all istante t.

19 Theorem 9.3 (del trasporto della circolazione). Sia dato un campo vettoriale v di classe C 1. Allora, per ogni curva materiale chiusa γ t, si ha d d v dx = v(x(t), t) dx. dt γ t dt Dimostrazione. per cui ddt v dx = γ t γ t Riparametrizzando opportunamente la curva, avremo 1 v dx = v(γ t (σ), t) γ t 0 σ γ t(σ) dσ 1 0 [ t (v(γ t(σ), t)) σ γ t(σ) + v(γ t (σ), t) t Osserviamo ora che, siccome la curva è materiale, t γ t(σ) = v(γ t (σ), t) e quindi 2 t σ γ t(σ) = 2 σ t γ t(σ) = σ v(γ t(σ), t). a allora, sempre per il fatto che la curva γ è materiale, avremo ] σ γ t(σ) dσ t v(γ t(σ), t) = a(γ t (σ), t) e pertanto troviamo d v dx = dt γ t 1 = a(γ t (σ), t) dx + v(γ t (σ), t) γ t 0 σ v(γ t(σ), t) dσ = a(γ t (σ), t) dx + 1 [ v 2 (γ t (1), t) v 2 (γ t (0), t) ]. γ t 2 Siccome la curva è chiusa, la dimostrazione è completa. 10. assa Vogliamo ora introdurre il primo concetto fondamentale definito su B. Una formulazione assiomatica di questo concetto richiede dapprima il seguente Assioma Esistono un sottoinsieme B m di B e una funzione : B m [0, + ] tali che P B m P e B m P, Q B m P Q B m 19 Da questo assioma è evidente che se P, Q B m, allora anche P Q B m. Inoltre si richiede

20 20 Assioma Se P, Q B m e P Q = O, allora (10.1) (P Q) = (P ) + (Q). Questa struttura non è ancora sufficiente per i nostri scopi, in quanto ci serve poter arrivare a una misura sui sottocorpi. Enunciamo allora l ultimo Assioma La funzione può essere estesa a una misura di Borel su tutti i boreliani dell insieme universo U. Questo per quanto riguarda l esistenza della massa di un sottocorpo. Osserviamo che con la nostra scelta degli insiemi normalizzati di perimetro finito, la (10.1) diviene ((P Q) ) = (P ) + (Q). L ultimo assioma ci permette di affermare che l applicazione P (P ) è una misura, che possiamo scrivere in maniera formale (P ) = dµ. Noi però ci limiteremo al caso in cui sia assolutamente continua rispetto alla misura di Lebesgue, per cui esisterà una funzione positiva ρ : B [0, + [ tale che (P ) = ρ dl n. Vale la pena osservare che con questa scelta la (10.1) è verificata. Infatti si può mostrare che se è misurabile, allora L n ( ) = 0, e quindi (P Q) = ((P Q) ) = (P Q)+((P Q) (P Q)) = (P Q) = (P )+(Q) perché è una misura (le misure non sono -additive). Da un punto di vista dinamico la prima richiesta che facciamo è la seguente. Assioma 10.4 (Indifferenza materiale della massa). Per ogni sottocorpo aventi forme P e P in due diversi riferimenti si deve avere P P (P ) = (P ). La proprietà di conservazione della massa discende ora banalmente dal fatto che è definita su B. Possiamo esprimere questo fatto rispetto a dette determinate configurazioni del corpo. Queste proposizioni prendono in generale il nome di equazioni di continuità. In particolare, indicando ancora con la massa dei sottocorpi immersi, avremo per ogni t e per ogni sottocorpo P (P 0 ) = (P ) = (P t ). Indichiamo allora con ρ 0 la densità di massa in una configurazione di riferimento B 0 e con ρ la densità in una generica deformata; avremo ρ 0 dl n = ρ dl n. P 0 P t Theorem 10.1 (Forma locale lagrangiana dell equazione di continuità). Se le funzioni ρ 0, ρ e il determinante J sono funzioni continue, allora per ogni t e per ogni x P t si ha ρ(χ t (X), t)j(x, t) = ρ 0 (X, t).

21 Dimostrazione. segue Dall ultima equazione scritta e dal cambio di variabile negli integrali (ρ 0 (X, t) ρ(x, t)j(x, t)) dl n P 0 per ogni P. Ricordando che x = χ t (X) e prendendo P = B(X, r) si trova (ρ 0 (X, t) ρ(χ t (X), t)j(x, t)) dl n B(X,r) e passando al limite per r 0 + si giunge alla tesi. Spesso l equazione scritta sopra si abbrevia con ρj = ρ 0, nella quale però va ricordato che ρ è l espressione euleriana della densità. Theorem 10.2 (Forma locale euleriana dell equazione di continuità). Se ρ è continua e v è di classe C 1, allora per ogni x, t dρ + ρ div v = 0. dt Dimostrazione. Per ipotesi abbiamo che per ogni t e per ogni configurazione P t ρ dl n = (P ) = cost. P t Allora, dal teorema del trasporto abbiamo ( ) dρ dt + ρ div v dl n = 0 P t per ogni P t. Ponendo P t = B(x, r) e passando al limite si trova la tesi. Come corollario, applicando la (9.2) abbiamo il Corollario Se ρ è continua e v è di classe C 1, allora per ogni x, t d ρ dl n = ρv n dh n 1. dt P t P t Esso afferma che la rapidità di crescita della massa di P t è pari al flusso di massa attraverso la sua frontiera. Per concludere, dimostriamo il Theorem Se ψ è una quantità definita su B, allora per ogni parte P t d ψρ dl n dψ = dt P t P t dt ρ dl n. Dimostrazione. Pertanto Poniamo per semplicità ψ = E ψ e Ψ = L ψ. Osserviamo dapprima che ψρ dl n = ΨρJ dl n = Ψρ 0 dl n. P t P 0 P 0 d ψρ dl n = d Ψρ 0 dl n dψ = dt P t dt P 0 P 0 dt ρ 0 dl n dψ = P t dt ρ dl n. 21

22 22 Il significato di questo risultato è che ρ dl n è una misura su B, e quindi può essere considerato ininfluente nella derivazione rispetto al tempo. Anche se non è strettamente necessario per motivi fisici, supporremo sempre nel seguito che la densità ρ sia non solo strettamente positiva, ma ben staccata da zero, ossia, per ogni x, t, ρ(x, t) ρ > Potenza In questa sezione enunciamo i princìpi basilari della dinamica dei mezzi continui. Cominciamo con una definizione. Definizione Una funzione P (, v) = k j=1 T j grad (j) v dl n tale che T j siano funzioni di classe C j in x, si dirà potenza virtuale di grado k su un insieme normalizzato e di perimetro finito relativa al campo di velocità v. Nelle nostre applicazioni ci interesseranno potenze di gradiente nullo P (, v) = b v dl n e soprattutto quelle di primo gradiente P (, v) = (a v + B : grad v) dl n. Supponiamo che sia definita su B, o su un suo sottocorpo P, una distribuzione di forze per unità di volume (ossia una densità volumetrica di forze) f e sia v un campo di velocità su P. Allora l espressione P (, v) = f v dl n definisce una potenza virtuale (di ordine zero), che è chiaramente la potenza delle forze applicate. Il principio fondamentale che seguiremo è il seguente. Assioma 11.2 (Principio delle potenze virtuali). Per ogni istante t e per ogni sottocorpo, il moto di un corpo continuo è tale che la potenza virtuale totale di tutti gli sforzi applicati al sottocorpo, sia interni che esterni, è nulla qualunque sia il campo di velocità virtuale considerato. Nel caso banale di un punto materiale la potenza della forza impressa si scrive P e = F v mentre quella delle reazioni vincolari sarà chiaramente P r = Φ v. Infine, la potenza delle forze di inerzia sarà P a = ma v. Dal principio delle potenze virtuali troviamo allora (F + Φ ma) v = 0 per ogni campo di velocità virtuale v, e quindi ma = F + Φ.

23 Vediamo ora più in dettaglio il caso del corpo continuo. Quando su di un corpo continuo si esercitano delle sollecitazioni, esso si deforma e allo stesso tempo reagisce. Dunque è naturale supporre che al suo interno esistano delle sollecitazioni che spenderanno potenza su un generico campo di velocità test. Assioma La potenza P (i) degli sforzi interni è una potenza di primo gradiente. Insistiamo sul fatto che questo assioma è in realtà una modellizzazione; nessuno vieta di concepire mezzi continui di gradiente superiore. In teoria, su ogni campo di velocità test le sollecitazioni del corpo possono avere potenza non nulla. Per esempio, se un corpo è rigido, le forze che lo mettono in movimento spenderanno potenza sul campo di velocità (che sarà un atto di moto rigido, della forma v(x, t) = v(x 0 ) + ω (x x 0 )). Però, se un corpo è continuo, ci aspettiamo che dei movimenti rigidi globali non alterino la potenza degli sforzi interni (e anzi è appunto questo che caratterizza questi come sforzi interni). Definizione Un campo di velocità virtuale w tale che D[w] = 0 si dirà rigidificante (o, più semplicemente, rigido) Assioma 11.5 (delle potenze virtuali degli sforzi interni). Per ogni sottocorpo e per ogni campo di velocità virtuale rigidificante w, la potenza virtuale degli sforzi interni è zero. Questo assioma è equivalente alla richiesta che la potenza virtuale degli sforzi interni sia materialmente indifferente. Infatti supposto questo, e dato un campo di velocità rigido, si può considerare il riferimento solidale con questo campo (che è un riferimento ammissibile) e in questo riferimento il campo di velocità virtuale è zero, per cui la potenza P è nulla; essendo essa materialmente indifferente (e scalare), il suo valore deve essere lo stesso in ogni altro sistema di riferimento. Viceversa, ammesso l assioma delle potenze virtuali degli sforzi interni, avremo che in un osservatore in moto rigido rispetto a uno assegnato il campo di velocità virtuale sarà ancora rigido, e quindi la potenza sarà ugualmente zero. Dunque essa è materialmente indifferente. Vediamo ora le restrizioni che l assioma delle potenze virtuali degli sforzi interni impone alla corrispondente potenza. Theorem Esiste un campo tensoriale simmetrico T tale che la potenza degli sforzi interni relativa a un sottocorpo e a un campo di velocità v sia data da P (i) (, v) = T : D dl n. Dimostrazione. Sappiamo per ipotesi che P (i) (, v) = (f v + B : grad v) dl n. Supponiamo per assurdo che f 0 in un punto x. Poiché f è supposto continuo, esisterà un intorno U sul quale f 0 e sul quale le direzioni di f formano un angolo 23

24 24 limitato e inferiore a π/2. È possibile prendere allora un campo di velocità costante w non ortogonale a f su U. Poiché grad w = 0, abbiamo, per una opportuna sfera B(x, r) U, P (i) (B(x, r), w) 0 che è assurdo in quanto w è un particolare campo rigido e B(x, r) un opportuno sottocorpo. Dunque f = 0. Decomponiamo ora il gradiente di velocità grad v = D + Ω e dunque la potenza assume l espressione P (i) (, v) = ( T : D + Φ : Ω) dl n. (Il segno meno è scelto per convenzione). Supponiamo per assurdo che Φ(x) 0 in un punto x. Non è restrittivo supporre che Φ sia antisimmetrico, essendo Ω pure antisimmetrico. Ora ragioniamo in componenti. Sappiamo che esistono sei funzioni φ i, ω i (i = 1, 2, 3) tali che Φ = 0 φ 1 φ 2 φ 1 0 φ 3, Ω = 0 ω 1 ω 2 ω 1 0 ω 3 φ 2 φ 3 0 ω 2 ω 3 0 e si verifica subito che Φ : Ω = tr(φω T ) = 2(φ 1 ω 1 + φ 2 ω 2 + φ 3 ω 3 ) = 2φ ω dove φ e ω sono i vettori rappresentativi di Φ e Ω. Poiché Φ è continua e non nulla in x, esisterà un intorno U di x tale che φ 0 e tale che le sue direzioni formino un angolo limitato inferiore a π/2. Scegliendo ω costante e non ortogonale a φ in nessun punto e considerando il campo di velocità rigido w = 2ω (x x 0 ) abbiamo, per una opportuna sfera B(x, r) U, P (i) (B(x, r), w) 0 che è assurdo in quanto w è un particolare campo rigido e B(x, r) un opportuno sottocorpo. Dunque Ω = 0. Infine, il campo T può essere preso simmetrico, dato che D è simmetrico. Definizione Il campo tensoriale T si chiama tensore degli sforzi di Cauchy. Definizione Una potenza di primo gradiente tale che a = div B si dirà potenza di contatto. Proposizione Una potenza di contatto ha espressione (11.1) P (, v) = v Bn dh n 1 e si ha che se supp v, allora P (, v) = 0. Viceversa, se una potenza ha espressione data dalla (11.1), allora P è una potenza di primo gradiente con coefficienti che verificano la relazione a = div B.

25 Dimostrazione. Abbiamo P (, v) = (a v + B : grad v) dl n = Dall identità vettoriale (11.2) div(b T v) = div B v + B : grad v segue, usando il teorema della divergenza, P (, v) = div(b T v) dl n = (div B v + B : grad v) dl n. B T v n dh n 1 = v Bn dh n 1. Infine, se supp v, si ha v = 0 su e quindi P (, v) = 0. Viceversa, se P soddisfa la (11.1), allora applicando il teorema della divergenza, abbiamo P (, v) = (div B v + B : grad v) dl n e quindi ponendo a = div B, abbiamo la tesi. Supporremo ora che sul corpo agisca un sistema di sollecitazioni esterne associato a una potenza P (e), di primo gradiente. Dunque essa si scrive nella forma (11.3) P (e) (, v) = (f v + C : Ω + Ψ : D) dl n. Il significato dei vari termini presenti nella (11.3) è il seguente: il campo f rappresenta un campo di densità volumetrica di forze ordinarie (come ad esempio la forza di gravità); il campo C è un campo di densità volumetrica di coppie; infatti una coppia di momento m ha potenza m ω, dove ω è il vettore velocità angolare, che è analogo al termine ottenuto sopra. Infine il campo Ψ rappresenta una densità volumetrica di doppie forze simmetriche, che sono limiti per h 0 + di coppie di forze di braccio h e intensità 1/h, sulle quali non insistiamo. Per semplicità, supporremo nulle anche le coppie di volume. Ricordiamo che nel termine f possono comparire anche le forze d inerzia ρa. a non sono queste le uniche sollecitazioni che agiscono sul sottocorpo. Dobbiamo postulare che esista una potenza di contatto che renda ragione delle forze che agiscono sulla superficie di. Poniamo allora P (c) (, v) = t v dh n 1. La scelta di non fare comparire derivate di v nella potenza di contatto è motivata dal fatto che, applicando il teorema della divergenza, in presenza di derivate di v, si sarebbero ottenute derivate di ordine superiore al primo in v, non presenti in alcun altro termine di potenza. Dal principio delle potenze virtuali troviamo allora per ogni e v, ossia P (i) (, v) + P (e) (, v) + P (c) (, v) = 0 (T : D + f v) dl n + t v dh n 1 = 0 25

26 26 e usando l identità (11.2), troviamo (11.4) (div T + f) v dl n + (t Tn) v dh n 1 = 0. Possiamo ora dimostrare il risultato centrale della nostra sezione. Theorem 11.2 (Equazione di bilancio della quantità di moto). Condizione necessaria e sufficiente affinché valga il principio delle potenze virtuali è che (11.5) div T + f = 0 su Tn = t su. Dimostrazione. Supponiamo che sia valido il principio delle potenze virtuali. Allora vale l equazione (11.4) (div T + f) v dl n + (t Tn) v dh n 1 = 0. Prendiamo per v un campo di classe C tale che supp v = N. Allora la parte sul bordo è nulla e (div T + f) v dl n = 0 N per ogni N e per ogni v. Supponendo T C 1 e f C 1 abbiamo immediatamente div T + f = 0 su tutti i punti di N, e quindi di. Quindi la (11.4) si scrive in realtà (t Tn) v dh n 1 = 0. Prendiamo ora per v un campo di classe C tale che supp v = N = U. Allora (t Tn) v dh n 1 = 0 per ogni U e per ogni v. Da qui segue, analogamente a sopra, U Tn = t sui punti di. Viceversa, se sono verificate le (11.5), abbiamo che, per ogni e per ogni campo di velocità test v, P (i) (, v) + P (e) (, v) + P (c) (, v) = 0 cioè proprio il principio delle potenze virtuali. Naturalmente è possibile applicare il principio delle potenze virtuali anche a B stesso; in questo caso il vettore t ha il significato di campo di vettore assegnato sul bordo B. Da quanto detto emerge anche il cosiddetto Theorem 11.3 (di Cauchy sugli sforzi interni). Si ha, per ogni x e per ogni t, t(n) = Tn e quindi lo sforzo specifico superficiale è lineare nella normale.

27 In molti casi è comodo mettere in evidenza la densità di forza b per unità di massa, cosicché, introducendo anche la forza d inerzia f = ρ(b a) Le equazioni sopra dette si chiamano equazioni di bilancio della quantità di moto perché storicamente esse si possono dimostrare dalla conservazione della quantità di moto, che ora è un teorema. Theorem 11.4 (Conservazione della quantità di moto). Vale l equazione di bilancio d ρv dl n = ρb dl n + t dh n 1. dt Dimostrazione. Dal teorema (10.3) e dalle equazioni di bilancio della quantità di moto abbiamo d ρv dl n = ρa dl n = (ρb + div T) dl n = ρb dl n + Tn dh n 1 = dt = ρb dl n + t dh n 1. Anche il bilancio del momento della quantità di moto si deduce dalle considerazioni sin qui fatte. Theorem 11.5 (Conservazione del momento della quantità di moto). Vale l equazione di bilancio d ρv (x x 0 ) dl n = ρb (x x 0 ) dl n + t (x x 0 ) dh n 1. dt Dimostrazione. Dal teorema (10.3) e dalle equazioni di bilancio della quantità di moto abbiamo d ρv (x x 0 ) dl n = ρ d dt dt (v (x x 0)) dl n = = ρ (a (x x 0 ) + v v) dl n = ρa (x x 0 ) dl n = = ρb (x x 0 ) dl n + div T (x x 0 ) dl n. Serve ora la formula di Analisi vettoriale div T u = div(t u) Skw[T grad u] dove abbiamo definito (T u) Lin(V ) mediante (T u)w = Tw u e dove Skw T indica la parte antisimmetrica di T. Poiché però qui u = x x 0, abbiamo grad u = I e quindi, siccome T è simmetrico, Skw T = 0, cioè div T u = div(t u). 27