Misure meccaniche e termiche

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1 1 CORO di Misure meccaniche e termiche Bozza delle esercitazioni Copyright Ulrico Hoepli Editore.p.A. 008

2 Introduzione I temi proposti per le esercitazioni si riferiscono alla prima parte del testo concernente l incertezza e la caratteristica statica. In particolare sono trattati i seguenti argomenti: 1) Rappresentazione di funzioni su abachi. i richiede l applicazione dei criteri di scelta delle scale più opportune per la rappresentazione di osservazioni sperimentali e funzioni su abachi. ) Applicazione del criterio di Chauvenet e determinazione degli intervalli fiduciari. L esercitazione oltre alla applicazione ad un caso reale del criterio di Chauvenet introduce alla valutazione degli intervalli fiduciari relativi al valor medio di una popolazione. 3) Calcolo dell incertezza combinata estesa. Costituisce una verifica dell acquisizione del metodo di valutazione dell incertezza combinata con riferimento alla determinazione della velocità impiegando un tubo di pitot ed un semplice manometro ad U. 4) Valutazione dell incertezza con il metodo Monte Carlo. Viene presentata una soluzione che attraverso il metodo Monte Carlo permette di definire la distribuzione della grandezza misurata indirettamente attraverso la conoscenza delle distribuzioni delle grandezze indipendenti ad essa correlate. 5) Determinazione della caratteristica statica di un trasduttore di posizione. i richiede di determinare la caratteristica statica di un trasduttore di posizione potenziometrico e di calcolare i principali parametri metrologici da essa derivabili. Tutte le esercitazioni devono essere svolte attraverso l impiego di un foglio di calcolo la cui impostazione è stata predefinita mediante un esempio. Copyright Ulrico Hoepli Editore.p.A. 008

3 3 Prima esercitazione Rappresentazione di funzioni su abachi Tema: 1) Impiegando il programma Excel si rappresentino, dapprima su un abaco a scale aritmetiche, quindi su un abaco semilogaritmico le seguenti funzioni: y 5x + 8 nel campo 0< x < 1000 y 4 x nel campo 0< x < i lascia all allievo la scelta delle scale secondo quanto appreso nel corso delle lezioni. ) ervendosi del programma Excel si costruisca l abaco di Gauss normalizzato e si tracci la retta di Hirn. uggerimenti. A) Dovendo rappresentare funzioni e non osservazioni sperimentali i punti utilizzati per l individuazione delle curve non devono essere visibili. B) Le curve devono occupare tutta l area del diagramma. C) Le dimensioni dei caratteri devono essere leggibili quando stampati nel formato di interesse. D) Le suddivisioni (le griglie) devono rispettare i criteri di rappresentazione. E) La scala logaritmica va impiegata secondo i criteri analizzati a lezione. Nella Tabella E1.1 viene riportato il quadro di impostazione del foglio di calcolo. Risultati da ottenere: Asse y Asse x Figura 1 Diagramma lineare Copyright Ulrico Hoepli Editore.p.A. 008

4 ,9 0,8 0,7 Asse y Asse y 0,6 0,5 0, ,3 0, 0, Asse x Figura 3 emilogaritmico:diagramma quadratico Asse x Figura 4 Abaco di Gauss: retta di Hirn 1 0,9 0,8 0,7 Asse y 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, Asse x Figura 5 Abaco di Gauss: retta di Hirn L abaco va completato inserendo successivamente i valori relativi alla scala funzionale delle ordinate. Copyright Ulrico Hoepli Editore.p.A. 008

5 5 Tabella E1.1 Quadro di impostazione del foglio di calcolo A B C D E F G 1 Valori di z DITR.NORM (A 1;0;1;1) Retta di Him E 5*D^+8 G 4*F^ ,1671E ,8 7,34800E ,6 0, ,4 0, , 0, , ,8 0, ,6 0, ,4 0, , , ,8 0, ,6 0, ,4 0, , ,8 0, ,6 0, ,4 0, , 0, , , 0, ,4 0, ,6 0, ,8 0, ,0 0, , 0, ,4 0, ,6 0, ,8 0, ,0 0, , 0, ,4 0, ,6 0, , ,0 0, , 0, ,4 0, ,6 0, , ,0 0, Copyright Ulrico Hoepli Editore.p.A. 008

6 6 econda esercitazione Applicazione del criterio di Chauvenet Tema: Estratto un campione casuale della popolazione (ritenuta infinita) degli studenti maschi della Facoltà di Ingegneria, se ne misuri la massa. 1. i verifichi l'appartenenza degli elementi del campione alla popolazione mediante il criterio di Chauvenet;. i calcolino la media campionaria (m x ), la varianza campionaria (s x ) e lo scarto standard (s x ) ; 3. i valutino gli intervalli fiduciari per il valore medio μ x della popolazione al 95,4 e al 99,7% di probabilità. Nella Tabella E.1, si riporta un quadro per elaborare manualmente i dati. Tabella E.1. Quadro per la raccolta e l'elaborazione dei dati. volgimento: Numero Misurando N elementi carti (x-m x ) progressivo [kg] d x-m x l 3 4 n omma omma M omma/n Varomma/(n-l) s Var 1. Applicazione del criterio di Chauvenet La prima verifica riguarda il rigetto dei dati che non soddisfano il criterio di Chauvenet, applicato facendo uso della Tabella E. degli scarti massimi adimensionali. La Tabella va impiegata nel modo seguente: si determina lo scarto massimo ammissibile moltiplicando il valore di colonna per lo scarto tipo stimato, in corrispondenza della riga rappresentante il numero degli elementi del campione considerato. Occorrerà rigettare gli eventuali valori di x il cui scarto, d, valutato rispetto alla media del campione, supera lo scarto ammissibile. L'operazione va compiuta una sola volta. Eventualmente andranno rivalutati i parametri elaborando i dati rimanenti. ul foglio di calcolo andrà eliminata la riga relativa alla cella contenente il dato scartato. Copyright Ulrico Hoepli Editore.p.A. 008

7 7 Tabella E.. Dati per l'applicazione del criterio di Chauvenet. 1 n d max /σ , , Calcolo della media e della varianza ed impostazione del foglio di calcolo. Per il calcolo della media campionaria e della varianza si fa riferimento alla definizione ed agli stimatori corretti puntuali. ^ ( x m ) ^ x ( x m s n 1 s n 1 Con il consueto significato dei simboli. Nella Figura E.1 si riporta l'istogramma di frequenza per dati raggruppati. i sono scelti 8 intervalli con ampiezza 4. x ) Copyright Ulrico Hoepli Editore.p.A. 008

8 8 Il foglio di calcolo può essere impostato secondo la Tabella E.3. Tabella E.3. impostazione del foglio di calcolo. A B C D E F G H Massa studenti [kg] Frequenza D x-m x (x-m x ) s x d max σ c [kg] Dati raggruppati Frequenza ,6 1,5, ,6 1,, ,6 1,0, ,6 0,8, ,6 0,1, ,6 0,4, ,6 0,4, ,6 0,1, ,6 0,0, ,4 0,0,57 71 Media camp [kg] 70, ,4 0,0,57 74 carto tipo [kg] 1,5 75 4,4 0,4,57 75 m x ,4 0,5, , ,4 0,6, ,4 0,8, , ,8,57 Nc 50 Nc Calcolo degli intervalli fiduciari Per la valutazione degli intervalli fiduciari, se gli elementi del campione sono > 30 si applicherà la teoria dei grandi campioni, altrimenti si farà riferimento alla distribuzione di tudent. Per definire gli intervalli fiduciari centrati sul valore medio campionario è necessario fissare il livello di fiducia e determinare il corrispondente coefficiente z dalla Tabella E.4. In corrispondenza dell'area pari a 0,477 si trova z e per 0,4987 z 3. Gli intervalli fiduciari rimangono fissati nel modo seguente: econdo livello μ 68 ± 18 [kg] Terzo livello μ 68 ± 7 [kg] Copyright Ulrico Hoepli Editore.p.A. 008

9 9 Tabella E.4. Valori dell'area sottesa dalla normale standard. z ,0,0000,0040,0080,010,0160,0199,039,079,0319,0359 0,1,0398,0438,0478,0517,0557,0596,0636,0675,0714,0753 0,,0793,083,0871,0910,0948,0987,106,1064,1103,1141 0,3,1179,117,155,193,1331,1368,1406,1443,1480,1517 0,4,1554,1591,168,1664,1700,1736,177,1808,1844,1879 0,5,1915,1950,1985,019,054,088,13,157,190,4 0,6,57,91,34,357,389,4,454,486,517,549 0,7,580,611,64,673,703,734,764,794,83,85 0,8,881,910,939,967,995,303,3051,3078,3106,3133 0,9,3159,3186,31,338,364,389,3315,3340,3365,3389 1,0,3413,3438,3461,3485,3508,3531,3554,3577,3599,361 1,1,3643,3665,3686,3708,379,3749,3770,3790,3810,3830 1,,3849,3869,3888,3907,395,3944,396,3980,3997,4015 1,3,403,4049,4066,408,4099,4115,4131,4147,416,4177 1,4,419,407,4,436,451,465,479,,49,4306,4319 1,5,433,4345,4357,4370,438,4394,4406,4418,449,4441 1,6,445,4463,4474,4484,4495,4505,4515,455,4535,4545 1,7,4554,4564,4573,458,4591,4599,4608,4616,465,4633 1,8,4641,4649,4656,4664,4671,4678,4686,4693,4699,4706 1,9,4713,4719,476,473,4738,4744,4750,4756,4761,4767,0,477,4778,4783,4788,4793,4798,4803,4808,481,4817,1,481,486,4830,4834,4838,484,4846,4850,4854,4857,,4861,4864,4868,4871,4875,4878,4881,4884,4887,4890,3,4893,4896,4898,4901,4904,4906,4909,4911,4913,4916,4,4918,490,49,495,497,499,4931,493,4934,4936,5,4938,4940,4941,4943,4945,4946,4948,4949,4951,495,6,4953,4955,4956,4957,4959,4960,4961,496,4963,4964,7,4965,4966,4967,4968,4969,4970,4971,497,4973,4974,8,4974,4975,4976,4977,4977,4978,4979,4979,4980,4981,9,4981,498,498,4983,4984,4984,4985,4985,4986,4986 3,0,4987,4987,4987,4988,4988,4989,4989,4989,4990,4990 Copyright Ulrico Hoepli Editore.p.A. 008

10 10 Terza esercitazione Calcolo dell incertezza combinata estesa copo dell esercitazione è quello di verificare le conoscenze acquisite dagli allievi in merito alle leggi di propagazione dell incertezza combinata. Tema L esercitazione concerne la determinazione della misura della velocità locale di una corrente effettuata mediante un tubo di pitot. Il trasduttore secondario è costituito da un comune manometro ad U che impiega come fluido operativo acqua distillata. La temperatura dell ambiente di prova non è controllata e varia durante la sperimentazione fra 18 e C. i chiede di calcolare l incertezza sulla valutazione della pressione e della velocità. Le relazioni da impiegare sono: Δp ρ g h e v espresso in m/s Δp in Pa ρ in kg/m 3 v Δp ρ sostituendo si ottiene: ρgh v gh ρ Essendo g 9,80665 [m/s ] l accelerazione di gravità ed h il dislivello manometrico ottenuto dalle 0 misurazioni riportate nella Tabella E1. i supponga che l incertezza limite con cui si conosce g sia pari a 0,004 [m/s ]. Copyright Ulrico Hoepli Editore.p.A. 008

11 11 Tabella E3.1. Determinazioni sperimentali. h [mm] ,3 34,1 34,6 34, 36, 37, 5 36,8 34,8 36,4 36, ,5 34,7 34,0 35, 36, 37, 0 36, 34,4 34,7 36,5 Per la massa volumica dell acqua distillata si può fare riferimento ai dati della Tabella E3.. Tabella E3.. Massa volumica dell acqua distillata. Temperatura [ C] Massa volumica [kg/m 3 ] , , , ,0 997,80 A titolo di esempio e di ausilio per l allievo si fornisce il quadro della Tabella E3.5 che definisce la varianza per alcune funzioni differenti da quella di interesse e che deve essere completato mediante l inserimento della varianza della funzione esaminanda. volgimento: I dati vanno inseriti in un foglio di calcolo che fornisce la media e lo scarto tipo del campione delle h. Nell esempio: M h 35,4 mm s h 1 mm s M h s h n 1 0 0,[ mm ] Per la massa volumica il valor medio da adottare vale: M ρ 998,3 [kg/m 3 ] La funzione di distribuzione di probabilità per la massa volumica si considera definita dal diagramma della Figura E3.1. Copyright Ulrico Hoepli Editore.p.A. 008

12 1 Lo scarto tipo può essere calcolato applicando la definizione relativamente alla distribuzione rettangolare. E noto che vale: Nel caso specifico a (998,6-997,80)/ 0,41 [kg/m 3 ] ne deriva s ρ 0,4 [kg/m 3 ] Allo stesso modo si calcola lo scarto tipo relativo a g: s g 0,003 [m/s ] Il valor medio calcolato per Δp M h Μ ρ M g 0,0354*998,3*9, ,5 [Pa]. Per la velocità: s a 3 M v M M * 9,80665 * 0, [ mm / s] g h Figura E3.1. Funzione di distribuzione di probabilità di ρ. Lo scarto tipo relativo alla determinazione della pressione vale: s M ρ h s g h s g s p M + g M + ρ M Δ ρ h,[ Pa ] Copyright Ulrico Hoepli Editore.p.A. 008

13 13 Lo scarto tipo relativo alla determinazione della velocità si calcola tramite la: s M v M M h g s M g M + M g h s M h 3[ mm / s] Per il calcolo dell intervallo fiduciario delle due grandezze si determina, servendosi della Tabella E3.6, il coefficiente t di tudent, alla probabilità fissata del 95%, in corrispondenza del numero di gradi di libertà. i trova t,09. Rimangono, quindi, fissate le incertezze combinate estese per le due grandezze: U MΔp,09*, 4,4 [Pa]; U Mv,09*3 6 [mm/s] Nelle Tabelle E3.3 ed E3.4 sono presentati alcuni scorci del foglio di calcolo. Tabella E3.3. Calcolo della media e dello scarto tipo dei dati. A B C E F G H I L M 1 35,3 34,1 34,6 34, 36, 37, 5 36,8 34,8 36,4 36,9 35,5 34,7 34,0 35, 36, 37, 0 36, 34,4 34,7 36,5 3 4 M h 35,4 s h 1,0. Tabella E3.4. Calcolo dello scarto tipo per il valore medio della pressione e della velocità 8 A B C D E F G H I 9 M h 0,0354 s Mh 0,0004 (M h M g s Mρ ) 4, s MΔp,0 0, M g 9,8067 s Mg 0,003 (M h Mρ s Mg ) 0, , M ρ 998,3 s Mρ 0,4 (M g Mρ s Mh ) 0, s Mv 0, Copyright Ulrico Hoepli Editore.p.A. 008

14 Copyright Ulrico Hoepli Editore.p.A Tabella E3.5. Quadro riepilogativo delle varianze della funzione F. F + - * / n 1/n F s F s F s + δ δ δ δ F + F + F F + 1) ( n F n 1) ( 1 n F n F F F ( ) + + ( ) n 1 n

15 15 Tabella E3.6. Valori della t di tudent. n l,10,05,05,01,005 l 3,078 6,314 1,706 31,81 63,657 1,886,90 4,303 6,965 9,95 3 1,638,353 3,18 4,541 5, ,533,13,776 3,747 4, ,476,015,571 3,365 4,03 6 1,440 1,943,447 3,143 3, ,415 1,895,365,998 3, ,397 1,860,306,896 3, ,383 1,833,6,81 3, ,37 1,81,8,764 3, ,363 l, 796,01,718 3, ,356 l, 78,179,681 3, ,350 1,771,160,650 3, ,345 1,761,145,64, ,341 1,753,131,60, ,337 1,746,10,583, ,333 1,740,110,567, ,330 1,734,101,55, ,38 l, 79,093,539, ,35 l, 75,086,58, ,33 l, 71,080,518,831 1,31 1,717,074,508, ,319 l, 714,069,500, ,318 1,711,064,49, ,316 1,708,060,485, ,315 1,706,056,479, ,314 l, 703,05,473, ,313 1,701,048,467, ,311 1,699,045,46, ,310 1,697,04,457, ,303 1,684,01,43, ,96 1,671,000,390, ,89 1,658 1,980,358,617 Copyright Ulrico Hoepli Editore.p.A. 008

16 16 Quarta esercitazione Valutazione dell incertezza con il metodo Monte Carlo copo dell esercitazione è quello di verificare le conoscenze acquisite dagli allievi in merito all applicazione del metodo Monte Carlo per la valutazione dell incertezza. Tema: i chiede di determinare la velocità locale per lo stesso esperimento analizzato durante la quarta esercitazione applicando il metodo Monte Carlo. La relazione di interesse è definita dall espressione precedentemente determinata : (E1) v espresso in m/s, g 9,80665 [m/s ] l accelerazione di gravità ed h il dislivello manometrico ottenuto dalle 0 osservazioni sperimentali riportate nella Tabella E4,1. i supponga che l incertezza limite con cui si conosce g sia pari a 0,004 [m/s ]. Tabella E4.1. Determinazioni sperimentali. h [mm] ,3 34,1 34,6 34, 36, 37, 5 36,8 34,8 36,4 36, ,5 34,7 34,0 35, 36, 37, 0 36, 34,4 34,7 36,5 volgimento: ρgh v gh ρ E necessario definire le funzioni di distribuzione cumulativa della probabilità per le due grandezze g ed h. Copyright Ulrico Hoepli Editore.p.A. 008

17 17 Per l elaborazione dei dati si può impiegare il foglio di calcolo già predisposto per l esercitazione precedente, da cui dedurre la media campionaria, lo scarto tipo del campione delle h e lo scarto tipo della distribuzione: M h 35,4 mm, s h 1 mm. Ipotizzando una distribuzione Gaussiana con media 35,4 e scarto 1 si può costruire la funzione di distribuzione F(h) riportata nella Figura E4.1. Figura E4.1. Funzione di distribuzione del dislivello h. Anche per l accelerazione di gravità si ipotizza una distribuzione normale (Figura E4.) con media Mg 9,80665 e scarto s g 0,003 [m/s ] Figura E4.. Funzione di distribuzione dell accelerazione di gravità g. Copyright Ulrico Hoepli Editore.p.A. 008

18 18 Per l applicazione del metodo Monte Carlo si rende necessario fare riferimento ad una funzione generatrice di numeri casuali quale ad esempio la: CAUALE,TRA(NUM1;NUM) La quale si applica per generare sia numeri compresi tra 33,0 e 37,6 che rappresentano valori campionabili per h, sia valori compresi tra 9,80300 e 9,8100 a rappresentare g. I numeri vengono memorizzati nelle colonne A e B. A1 CAUALE,TRA(330;376)/10h B1 CAUALE,TRA(980300;98100)/ Con i dati campionati si genera il corrispondente valore della velocità applicando la relazione (E1). C1 RADQ(*A1*B1/1000)*1000 La generazione si deve ripetere per un numero di volte molto grande che, per ovvie ragioni, si limita nell esempio a 100, eseguendo la media e lo scarto standard. i ripete l operazione per 0 volte riportando i risultati nelle colonne D ed E rispettivamente; si eseguono, infine, le medie. i ottengono in questo modo il valore medio della velocità: M v 834,4 [mm/s] ed il relativo scarto tipo: s v 7, [mm/s] che, riferito alla distribuzione delle medie, andrebbe diviso per radice di n, fornendo s Mv 1,5 [mm/s] i era trovato: M v 833 [mm/s] e s Mv 3 [mm/s] Nella Tabella E4.3 si fornisce una sintesi dell impostazione del foglio di calcolo. Copyright Ulrico Hoepli Editore.p.A. 008

19 19 Tabella E4.3. Impostazione del foglio per l applicazione del metodo Monte Carlo. A B C D E F G Velocità [mm/s] 1 34,5 9, ,5 834,3 3,4 35,7 9, ,7 833,1 0, ,6 9, ,8 831,0 11, ,3 9, ,4 835, 19, ,4 9, ,0 83,3 1, ,3 9, ,3 834,3 4,9 7 33,8 9, , 835,7 3,3 8 34,8 9, ,3 831,0, , 9, ,9 837,6 17,10 Media Campionaria carto tipo 10 34,7 9, ,0 836,1 0,59 834,4 7, 11 36,4 9, ,0 835,7 3, ,4 9, ,8 836,0, ,6 9, ,7 835,5 1, ,3 9, ,1 835,4 0, ,9 9, ,7 834,4 5, ,4 9, ,3 835,0 10, ,3 9, ,1 83,0 3, , 9, ,1 834,6 1, ,7 9, ,7 834, 3, ,4 9, ,8 835,1 6, ,1 9, ,1 35,8 9, ,8 3 37,3 9, ,3 4 36,5 9, ,0 5 36,4 9, , ,5 9, , , 9, , ,3 9, , ,0 9, ,6 Copyright Ulrico Hoepli Editore.p.A. 008

20 0 Quinta esercitazione Caratteristica statica Tema In questa esercitazione si richiede di determinare la caratteristica statica di un trasduttore di posizione potenziometrico. A tale fine si faccia riferimento al set-up della Figura E5,1 costituito da un basamento porta strumenti, B, sul quale sono assemblati con lo stesso asse il trasduttore di posizione, T, ed il micrometro, M. Figura E5,1 et-up di sperimentazione: V voltmetro digitale, T trasduttore potenziometrico, M micrometro. Il trasduttore, del quale nella Figura E5, si riporta una fotografia, è alimentato ad una tensione di 3500 mv, Poiché la resistenza del potenziometro è di 3500 Ω la corrente risulta essere di 1 ma, valore che assicura il contenimento dei fenomeni di deriva termica. Figura E5, Fotografia dei trasduttori potenziometrici impiegati. Copyright Ulrico Hoepli Editore.p.A. 008

21 1 L esperienza viene condotta portando il micrometro a contatto del palpatore e procedendo con passo costante pari a 5 mm fino a fine corsa e ritorno. In ciascuna posizione si effettua la lettura della tensione d uscita mediante il multimetro a 5 ½ digit in configurazione voltmetrica, al fine della compilazione della tabella E1. Tabella E5,1 Quadro riepilogativo delle misure. [mm] 0 5,0 10,0 15,0 0,0 5,0 30,0 35,0 V[mV] Per incrementi V[mV] Per decrementi [mm] 40,0 45,0 50,0 55,0 60,0 65,0 70,0 V[mV] ,51 Per incrementi V[mV] Per decrementi ,51 I dati sono elaborati mediante un foglio di calcolo che permette di determinare la retta caratteristica ed i parametri deducibili dal diagramma. In particolare la deriva di zero, la sensibilità, la linearità e l isteresi. Nel caso specifico si sono determinati i valori seguenti : La deriva di zero DZ 7 mm La sensibilità 45,7 [mv/mm] La linearità, valutata sul fondo scala L 8% L isteresi sul fondo scala I < % Nella Figura E5,3 si riporta la curva caratteristica con i punti sperimentali. Figura E5,3 Curva caratteristica del trasduttore di posizione. Copyright Ulrico Hoepli Editore.p.A. 008

22 L equazione della retta vale: s 0,0*V-7 [mm] con V in [mv] (E1) Nella tabella E5, calcolata mediante il foglio di calcolo si riportano i valori degli spostamenti dedotti mediante l equazione (E1) in corrispondenza delle tensioni sperimentali, unitamente agli errori assoluti e percentuali nelle due situazioni. L errore massimo percentuale sul fondo scala risulta inferiore al 1 %. Tabella E5, Elaborazioni. A B C D E F 1 post Inc post Dec Err Inc Err Inc % Err Dec Err Dec % 1,1 0,1 0,1 0,1 1,1 1,6 3 8,4 9,8 4,8 6,9 3,4 4,8 4 15,7 18,1 8,1 11,5 5,7 8,1 5 1,9,7 7,7 11,0 6,9 9,8 6 4,9 6,7 6,7 9,5 4,9 7,0 7 30,6 31,6 6,6 9,4 5,6 8,0 8 37,1 38,3 8,3 11,8 7,1 10, 9 41,6 41,7 6,7 9,5 6,6 9, ,6 45,5 5,5 7,9 3,6 5, ,8 50, 5, 7,4 4,8 6,8 1 5,8 53,7 3,7 5,,8 4, ,4 57,7,7 3,9,4 3, ,8 61,7 1,7,4 0,8 1, 15 64,3 64,6 0,4 0,6 0,7 1, ,9 69,9 0,1 0,1 0,1 0,1 Copyright Ulrico Hoepli Editore.p.A. 008