Università degli Studi di Milano. Corso di Laurea in Informatica. Anno accademico 2013/14, Laurea Triennale FISICA. Lezione n.

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1 Università degli Studi di Milano Corso di Laurea in Informatica Anno accademico 2013/14, Laurea Triennale FISICA Lezione n. 1 (4 ore) Unità di misura e calcolo dimensionale Flavia Maria Groppi (A-G) & Carlo Pagani (H-Z) Dipartimento di Fisica Laboratorio LASA Via F.lli Cervi 201, Segrate (Milano) web page: flavia.groppi@unimi.it & carlo.pagani@unimi.it

2 Schema del corso Lezioni: 12 settimane, in ognuna delle quali si tengono due ore di lezione e due ore di esercizi (parte integrante delle lezioni, con la finalità non solo di preparare allo scritto d esame ma di formare al problem solving ). Argomenti delle 12 unità (ogni settimana un argomento con esempi): Unità di misura e calcolo dimensionale. Sistemi di coordinate, vettori e calcolo vettoriale. Cinematica in una dimensione, 1D. Leggi di Newton - Piano inclinato - Attrito. Moti in due dimensioni, 2D - Quantità di moto e impulso. Lavoro ed energia (cinetica, potenziale gravitazionale ed elastica). Statica e dinamica dei fluidi. Termologia, calorimetria e 1 principio della termodinamica. Trasformazioni, legge dei gas perfetti e teoria cinetica Forze elettriche, campi e potenziale elettrostatico. Capacità, resistenza, legge di Ohm e circuiti RC. Campo magnetico e forza di Lorentz - Induzione elettromagnetica. Flavia Groppi & Carlo Pagani 2

3 Orario, testi di riferimento, esame I due corsi diurni vanno, per quanto possibile, in parallelo. Lunedì e mercoledì Tutoraggio: supporto alla soluzione dei problemi con diretta partecipazione degli studenti: venerdì 8:30-10:30 David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker. Fondamenti di Fisica (Casa Editrice Ambrosiana). Jewett & Serway. Fondamenti di Fisica. Vol. I (EdiSES). Esercizi da: John R. Gordon, Ralph V. McGrew, Raymond A. Serway, John W. Jewett Jr. Esercizi di Fisica. Guida ragionata alla soluzione (EdiSES). Modalità di esame: Prova scritta + breve orale di verifica (facoltativa) Prova scritta: 4 esercizi in 2 ore. Le due prove in itinere durante il corso sono sostitutive della prova scritta Sito web: Flavia Groppi & Carlo Pagani 3

4 Che cos è la Fisica? È il tentativo dell essere umano di descrivere in maniera quantitativa i fenomeni che osserviamo L osservazione inizia attraverso i sensi e da essi è limitata. La fisica ci ha dato strumenti per estendere le osservazioni al di là dei nostri sensi, dal quark (10-19 m), all universo (10 26 m). La Fisica non può affrontare il problema ontologico Significato della fisica quantistica: zitto e calcola (Richard Feynman / D. Mermin). Flavia Groppi & Carlo Pagani 4

5 Metodo Scientifico e sue Basi Metodo scientifico: Acquisire i dati necessari a descrivere un sistema oggetto di studio. Costruire un modello matematico del sistema in esame. Utilizzare il modello per predire il comportamento del sistema. Verificare la correttezza delle previsioni (nuovo esperimento). Conoscenze necessarie Capacità di utilizzare strumentazione complessa per l acquisizione dei dati. Conoscere gli strumenti matematici necessari per la costruzione del modello e per la predizione di nuovi comportamenti. Conoscenze tecnologiche per progettare e costruire l esperimento. Conoscere la fisica... Flavia Groppi & Carlo Pagani 5

6 La fisica NON coincide con la matematica La fisica parte da osservabili alle quali associa grandezze reali (massa, lunghezza, velocità, temperatura, ecc.) che è possibile misurare. Il procedimento operativo per la misura è parte della definizione della grandezza! La matematica è il linguaggio attraverso il quale la fisica può esprimere le sue leggi e calcolare altre grandezze collegate a quelle definite. F Fisica F = - k x x allungamento della molla k costante elastica della molla F forza esercitata dalla molla x < 0 x > 0 Matematica F = - k x x variabile indipendente R k costante R F variabile dipendente R Nota: La forza esercitata da una molla è direttamente proporzionale al suo allungamento. Il coefficiente di proporzionalità, k, si dice costante elastica Flavia Groppi & Carlo Pagani 6

7 Definizione di una Grandezza Fisica È necessario che ciò che osserviamo possa venire rappresentato in modo quantitativo Osservazione Grandezza Fisica La definizione di una grandezza fisica deve essere operativa, essa deve cioè descrivere le operazioni da compiere per misurare la grandezza in esame. Queste operazioni devono consentire di associare alla grandezza un numero [oppure un vettore: modulo(=numero) + direzione + verso], secondo operazioni fissate da regole ben precise. Il numero esprime il rapporto tra la grandezza ed un altra grandezza omogenea usata come unità di misura. 10 chilometri 27 mele 100 watt 50 barili 75 chilogrammi Flavia Groppi & Carlo Pagani 7

8 Relazioni tra grandezze fisiche Le grandezze fisiche e le loro relazioni comunicano un informazione. L informazione deve essere strutturata. Unità di Misura: fondamentali e derivate. Sistemi di unità di misura: es. Sistema Internazionale (S.I.). Si deve fornire esattamente l attendibilità di questa informazione. Cifre significative! L informazione deve essere coerente. Calcolo dimensionale. L informazione deve essere completa. massa = 57.3 kg = 573 hg = g v velocità = 72 km/ora = 20 m/s = Flavia Groppi & Carlo Pagani 8

9 Unità di Misura: Sistema Internazionale (SI) Il SI è un insieme minimo di grandezze di riferimento (7) dalle quali tutte le altre possono essere derivate attraverso relazioni coerenti. Granzezza Unità di riferimento Simbolo SI lunghezza metro m massa ( al peso se c è gravità) chilogrammo kg tempo secondo s intensità di corrente elettrica ampere A temperatura kelvin K quantità di sostanza mole mol intensità luminosa candela cd Tutte le altre grandezze fisiche possono essere espresse attraverso le grandezze fondamentali del Sistema Internazionale. Se si usa un altro sistema di grandezze di riferimento congruente le formule possono essere diverse. Se si mischiano i sistemi di riferimento il risultato che si ottiene è semplicemente sbagliato! Flavia Groppi & Carlo Pagani 9

10 Grandezze fisiche derivate Le grandezze fisiche sono molte e la loro unità di misura (SI) ha, in molti casi, associato un nome specifico: watt, joule, volt, newton, ecc. Poiché il sistema SI è coerente, tutte possono comunque essere espresse attraverso le grandezze di riferimento: m, kg, s, A, K, mol, cd. Attenzione: in tutte le relazioni tra grandezze fisiche (equazioni): Si possono sommare o sottrarre solo grandezze omogenee. In un esponenziale, l esponente deve sempre essere adimensionale, così come gli argomenti dei logaritmi e delle funzioni trigonometriche*. Moltiplicando e dividendo tra loro grandezze fisiche differenti si ottengono altre grandezze fisiche, derivate da quelle che le hanno originate. Esempi di grandezze fisiche derivate: Velocità m/s = m s -1 Accelerazione m/s 2 = m s -2 Volume m 3 Forza N (newton) kg m s -2 Energia J (joule) kg m 2 s -2 Potenza W (watt) kg m 2 s -3 Tensione V (volt) kg m 2 s -3 A -1 Nota: l angolo è sempre espresso in radianti: rad [m/m] = adimensionale. Flavia Groppi & Carlo Pagani 10

11 Il Radiante Si rammenta la definizione: data una circonferenza di raggio r, l angolo che sottende un arco lungo l misura l/r radianti (vedi figura). Conversione: α rad : α deg = 2π : 360º α rad = (α deg / 180º) π Un angolo di 90º, 180º e 360º corrisponde rispettivamente a π/2, π e 2π radianti. 1 radiante = 57,29578º = 57º 17 44,8'' Flavia Groppi & Carlo Pagani 11

12 Prefissi SI ed esempi di lunghezze Prefissi delle unità SI Fattore Prefisso Simbolo Esempio exa- E peta- P petawatt = W tera- T terawatt = W 10 9 giga- G gigawatt = 10 9 W 10 6 mega- M megajoule = 10 6 J 10 3 kilo- k kilometro = 10 3 m 10 2 etto- h ettolitro = 10 2 litri 10 1 deca- D decametro = 10 1 m 10-1 deci- d decimetro = 10-1 m 10-2 centi- c centimetro = 10-2 m 10-3 milli- m millimetro = 10-3 m 10-6 micro- micrometro = 10-6 m 10-9 nano- n nanosecondo = 10-9 s pico- p picosecondo = s femto- f femtosecondo = s atto- a attosecondo = s Lunghezze, ordini di grandezza Quark m Elettrone m Protone/Neutrone m = 1 fm Atomo m = 1 Å Cellula m Essere umano 10 0 m Terra 10 7 m Sole 10 9 m = 1 Gm Sistema solare m = 10 Tm Via lattea m Universo m Flavia Groppi & Carlo Pagani 12

13 Unità di misura del tempo, s Per misurare un tempo è necessario un orologio, cioè un oggetto che conta qualcosa (es.: le oscillazioni di un fenomeno periodico) Strumento Errore di misura Pendolo (un secondo per anno) Rotazione della terra (1 ms ogni giorno) Oscillatore a quarzo (1 s ogni 10 anni) Orologio atomico Cs (1 s ogni anni) 1 secondo vibrazioni della radiazione emessa dal cesio Limiti sperimentali: Direttamente è possibile misurare intervalli di tempo fino a qualche ps (10-13 e s raggiunti recentemente) In fisica entrano in gioco circa 40 ordini di grandezza Fenomeni nucleari Vibrazioni dei solidi Un anno Vita dell Universo Flavia Groppi & Carlo Pagani s s s s = 15 miliardi di anni (Big bang)

14 Unità di misura della lunghezza, m Per misurare una lunghezza è necessario un metro campione Esempi storici: Il metro è la 1/ parte della circonferenza della terra all Equatore Il metro è la lunghezza di una barra di Platino-Iridio conservata a Parigi La barra di Parigi non è un campione sufficientemente preciso (~10-7 ) Le copie hanno un errore maggiore (~10-6 ) Definizione attuale: 1 m Lunghezza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo pari a 1/ di secondo (c m s -1 valore esatto) Limiti sperimentali: Direttamente è possibile misurare lunghezze fino a qualche nm In fisica entrano in gioco più di 40 ordini di grandezza m Dimensione di un quark m Dimensione di un nucleone (protone). 1 fm m Dimensione atomica. 10 nm, 1 Angstrom m Raggio medio della terra. 6.4 Mm m Un anno luce m Distanza tra la Terra e la Quasar più lontana Flavia Groppi & Carlo Pagani 14

15 Unità di misura della massa, kg Per misurare una massa è necessaria una massa campione Esempi storici: 1 kg = la massa di un dm 3 di acqua 1 kg la massa del cilindro di Platino-Iridio conservato a Parigi Il cilindro di Parigi è un campione unico Le copie hanno un errore che porta ad una precisione insufficiente (~10-8 ) Una definizione sostitutiva e soddisfacente non c è ancora In fisica nucleare/particelle si usa l unità di massa atomica u u 1/12 della massa di un atomo di 12 C La definizione di kg come un certo numero di u sarebbe ottima (vedi s e m ) Il problema è che u è noto con solo 4 cifre significative: u = kg Nota: in Fisica le masse sono 2: inerziale e gravitazionale La massa inerziale ha una definizione dinamica La massa gravitazionale ha una definizione gravitazionale F m in a m F G 1, gr 2, gr 2 r m La teoria della relatività generale ha come ipotesi di partenza che la massa inerziale m in e quella gravitazionale m gr siano esattamente la stessa cosa Flavia Groppi & Carlo Pagani 15

16 Precisione e Cifre significative - 1 In fisica è sempre necessario fornire l errore, cioè una stima ragionata dell incertezza della misura che è stata effettuata (spesso è legata alla sensibilità dello strumento (righello, cronometro, termometro, ecc.) Il risultato di una misura NON consiste SOLO nel valore fornito dallo strumento, ma anche di un errore e di una unità di misura (la mancanza di uno di questi termini rende gli altri inutili) Esprimere il risultato con più cifre di quelle che conosciamo con certezza non ne migliora la qualità. E solo sbagliato! Le cifre che utilizziamo per esprimere un risultato devono essere limitate a quelle di cui abbiamo certezza: cifre significative Esempi: Misura di una massa con una bilancia con precisione di 1 g Massa = 874 ± 1 [g] = 8.74 ± 0.01 [hg] = ± [kg] Misura di un tavolo con un metro a nastro (precisione del millimetro) Lunghezza = 181 ± 0.1 [cm] = 1810 ± 1 [mm] = 1.81 ± [m] Flavia Groppi & Carlo Pagani 16

17 Precisione e Cifre significative - 2 Il numero (dimensionale) associato a una misura è una informazione E necessario conoscere la precisione e l accuratezza dell informazione. La precisione di una misura è contenuta nel numero di cifre significative fornite o, se presente, nell errore di misura. Il numero di cifre significative, o l errore, forniscono le potenzialità ed i limiti dell informazione a disposizione. Non deve dipendere dalle unità di misura scelte, o dalla notazione scelta (ad esempio, esponenziale). Una manipolazione numerica non può né aumentare né diminuire la precisione di una informazione: è una grave scorrettezza Il numero di cifre significative si calcola contando le cifre, a partire dalla prima cifra non nulla, da sinistra verso destra. Esempi 187.3= cifre significative cifre significative cifre significative 1 1 cifra significativa cifre significative cifra significativa Flavia Groppi & Carlo Pagani 17

18 Precisione e Cifre significative - 3 Un semplice esempio per capire Problema: Faccio una torta con questi ingredienti 310 g di farina 310 ± 1 g 5 uova (1 uovo pesa 75 ± 5 g) 375 ± 25 g 150 g di zucchero 150 ± 1 g 15 grammi di lievito 15 ± 1 g TOTALE 850 ± 28 g La divido in 6 fette: quanto pesa una fetta? La torta non perde peso in cottura, è un cilindro perfetto e io la taglio con una macchina perfetta (850 ± 28) [g] / 6 = ± [g] = 142 ± 5 g In un caso più realistico, tagliando la torta con cura (850 ± 28) / 6 ± 5 10 % = 140 ± 10 g già la 2 cifra è poco significaiva Nel caso più realistico avremo che la fetta peserà g In tutti i casi definire il peso con la precisione del grammo è sbagliato Flavia Groppi & Carlo Pagani 18

19 Coerenza dimensionale Ogni Equazione DEVE essere dimensionalmente coerente I metri si possono sommare solo ai metri Non posso sommare due grandezze dimensionalmente incoerenti Gli argomenti delle funzioni trascendenti* devono essere adimensionali (numeri puri) * funzione esponenziale e logaritmo, funzioni trigonometriche Esempio: Legge di Newton ( Lunghezza [m] Massa [kg] Tempo [s] ) F = ma Forza (F ) = massa (m) x accelerazione (a) F [N], m [kg], a [m s -2 ], [N] = [kg m s -2 ] F [N] = m[kg] a[ms -2 ] posso sommare e uguagliare soltanto grandezze dimensinalmente coerenti prima di fare i conti devo convertire le grandezze che non lo sono: 1 litro = 1 dm 3 = 10-3 [m 3 ] 1 ora = 60 minuti = [s] 1 pollice 25.4 mm = [m] 100 km/ora = 10 5 [m] / [s] = 27.8 [m/s] = 27.8 [m s -1 ] 50 C = [K] = [K] Flavia Groppi & Carlo Pagani 19

20 Equazioni dimensionali Supponiamo che io non conosca una legge fisica, ma che immagini per semplicità che una quantità ignota sia esprimibile come un monomio formato con quantità note (elevate ad opportuna potenza). Esempio: il pendolo Le uniche quantità che possono intervenire sono: m, l, g m [kg], l [m], g [ms -2 ] La formula monomia è: g x l y m z = periodo del pendolo = T [s] Nota: Le dimensioni a destra e sinistra devono essere coerenti! Quindi, per la coerenza dimensionale: (ms -2 ) x m y kg z = s = m 0 s 1 kg 0 l m x+y s -2x kg z = m 0 s 1 kg 0 Soluzione: x+y=0, -2x=1, z=0 x = -1/2, y =1/2, z =0 T = (l/g) 1/2 m mg Nota: quella ottenuta è una relazione di proporzionalità, l analisi dimensionale non può determinare le eventuali costanti, e vedremo che T = 2π (l/g) 1/2. La costante adimensionale si può determinare sperimentalmente Flavia Groppi & Carlo Pagani 20

21 Obiettivi esercizi Lezione 1 Capire come in fisica spesso si possa costruire un modello relativamente semplice, schematizzando in modo opportuno la realtà. Capire con quante cifre significative rappresentare una misura fisica, e con quante cifre rappresentare il risultato di un operazione tra grandezze fisiche. Saper gestire cambiamenti di unità di misura (per esempio da m a cm, da kg a g, ecc.). Saper utilizzare elementi di calcolo dimensionale (per esempio: ricavare le dimensioni di una costante o verificare la correttezza dimensionale di una relazione tra grandezze fisiche. Flavia Groppi & Carlo Pagani 21

22 Esescizi Lezione 1 1. Un cubo molto preciso ha il lato pari ha 5.35 cm e la massa m = 856 g. Determinare la densità del cubo in unità SI. [ kg/m 3 ] Nota: la densità è la massa per unità di volume. Nel sistema SI [kg/m 3 ] 2. Determinare quanti secondi ci sono in un giorno, in un anno normale e in un anno bisestile. [86400 s, s, s] 3. Un'unità astronomica (UA) vale 150 milioni di Km, un anno luce è la distanza percorsa dalla luce in un anno. Quanti anni luce vale 1 UA? Cifre significative e stime. [ ] 4. Determinare la massa della terra sapendo che il suo diametro e la sua densità sono rispettivamente: D = km, = kg/dm 3. [ kg] 5. Determinare nelle unità di misura del sistema SI le seguenti velocità: 130 km/ora [36.1 m/s o anche 36 m/s] 20 miglia/minuto (1 ml = km = 1609 m) [536 m/s non m/s] pollici/ora (1 in 2.54 cm = m) [1.1 m/s non m/s] 6. Determinare nell unità di misura [miglia/ora] le seguenti velocità: 130 km/ora (1 m = 1/1609 ml = ml) [80.8 ml/h o anche 81 ml/h] 20 miglia/minuto [ ml/h] pollici/ora (1 m = 1/ in = in) [2.37 ml/h o meglio 2.4 ml/h] 7. Determinare nell unità di misura [iarde/s] le seguenti velocità: Nota: 1 miglio 1760 iarde, 1 iarda 3 piedi, 1 piede 12 pollici, 1 pollice 25.4 mm 130 km/ora (1 ya = m) [39.5 ya/s o anche 40 ya/s o anche 39 ya/s] 20 miglia/minuto (1 ml = 1760 ya) [587 ya/s o meglio 590 ya/s pollici/ora (1 in = 1/36 ya = ya) [1.16 ya/s o meglio 1.2 ya/s] Flavia Groppi & Carlo Pagani 22

23 Esescizi Lezione 1 - continua 8. Sapendo che F[N] = m[kg] a[m/s 2 ], cioè che la forza è uguale alla massa moltiplicata per l accelerazione, si determini quale forza si deve applicare ad un corpo di massa pari a 10kg perché subisca un accelerazione pari a 5g. [490 N = 490 kg m s -2 ] Nota: g è l accelerazione di gravità sulla superficie della terra e vale: g = 9.83 m/s 2 9. Sapendo che la legge di gravitazione universale è la seguente: m m F G r determinare le unità di misura della costante G [G] = [N m 2 kg -2 ] Nota: F è la forza gravitazionale con cui le due masse m 1 e m 2 si attraggono, r è la loro distanza [G] = [m 3 kg -1 s -2 ] 10. Utilizzando il risultato dell esercizio 4. e la legge di gravitazione, in cui G = [N m 2 kg -2 ], determinare il valore della forza e dell accelerazione a cui è sottoposto un corpo di massa m = 10 3 kg che si trovi a 10 4 km dal centro della terra. [F = N ; a = 4.00 m/s 2 ] 11. Discutere brevemente i risultati degli esercizi precedenti sulla base delle cifre significative dei dati. Nota: di ogni dato si suppone che tutte le cifre indicate siano significative. In generale, se non è indicato esplicitamente l errore, si suppone che l ultima cifra sia stata approssimata alla cifra più vicina al vero, per eccesso o per difetto ( , ) 12. Ripetere l esercizio 4. usando come dati del diametro della terra e della sua densità i valori: D = km, = 5.5 kg/dm 3. Confrontare i risultati e discutere il significato delle cifre significative [ kg kg o anche kg] Flavia Groppi & Carlo Pagani 23