Robustezza del Regolatore Ottimo LQ. Docente Prof. Francesco Amato

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1 Robustezza del Regolatore Ottio LQ Docente Prof. Francesco Aato Ingegneria dell'autoazione Corso di Sistei di Controllo Multivariabile - Prof. F. Aato Versione 1.3 Novebre

2 Consideriao il problea di controllo ottio su orizzonte infinito: in s. a x = u ( T T ) ( ) x Qx + u Ax Bu Ru dt con Q seidefinita positiva e R definita positiva. 2

3 Fattorizzata la atrice Q=E T E, abbiao visto che sotto l ipotesi di stabilizzabilità della coppia (A,B) e rivelabilità della coppia (A,E) il problea aette soluzione dove P* è l unica soluzione definita positiva dell equazione algebrica di Riccati (ARE) A u T 1 T ( t) = R B P x( t) = : Kx( t) P + PA + Q PBR Il sistea a ciclo chiuso x 1 B T P 1 T ( A BK ) x K = R B = P risulta essere asintoticaente stabile. = 0 3

4 Il sistea a ciclo chiuso è quello rappresentato in figura, dove Φ(s)=(sI-A) -1 è la trasforata di Laplace della atrice di transizione. - u B Φ(s) x K 4

5 Si consideri ora l equazione di Riccati; cabiando segno ad abo i ebri e soando e sottraendo la quantità P*s+P*s* si ottiene 5 ( ) ( ) ( ) = + + P s P B BR P Q P A si A si P T 2 Re 1 * Preoltiplicando per B T ( (si-a) -1 )* = B T Φ*(s) e postoltiplicando per Φ(s)B abo i ebri si ha ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )B s P s s B B s P B BR P s B B s Q s B B s P B B P s B T T T T T T Φ Φ = Φ Φ + Φ Φ Φ + Φ ) 2Re( 1

6 L ultia uguaglianza può essere riscritta coe: ( s) ( 1 T ) 1 T RR B P Φ B + RR B P Φ( s) B ( 1 T R B P ( s) B) R( 1 T R B P ( s) B) + Φ Φ = ( Φ( s) B) ( 2 Re( s) P + Q) Φ( s)b Ora, ponendo M(s)=R -1 B T P*Φ(s)B e aggiungendo R ad abo i ebri, si perviene a ( ( )) ( ( )) ( ( ) ) I + M s R I + M s = R + Φ s B 2 Re( s) ( P + Q) Φ( s) ( B) Si noti che M(s) è la MdT di anello definita aprendo il ciclo in corrispondenza dell ingresso u. L equazione precedente è nota coe uguaglianza della differenza di ritorno. 6

7 L uguaglianza della differenza di ritorno verrà utilizzata in seguito per studiare le proprietà di robustezza dello schea a ciclo chiuso con regolatore LQ. Fareo pria riferiento ai sistei con un solo ingresso, che sono più iediati da trattare. Successivaente generalizzereo i risultati sulla robustezza ai sistei con più ingressi. 7

8 Robustezza del regolatore ottio LQ per sistei con un solo ingresso Coincereo con il richiaare il criterio di Nyquist. Si consideri un sistea LTI SISO nella fora: x = y = Ax + bu c T x Si consideri pria il caso in cui g(s)=c T (si-a) -1 b non possiede poli sull asse iaginario. In tal caso si chiaa diagraa di Nyquist di g(s) la rappresentazione sul piano coplesso del codoinio della funzione ( s) C ω R g = ω s j 8

9 g(s) Criterio di Nyquist. Il sistea a ciclo chiuso in figura è asintoticaente stabile se e solo se il diagraa di Nyquist di g(s) tracciato per ω da - a + circonda il punto critico -1+j0 tante volte in senso antiorario quanti sono i poli a parte reale positiva di g(s). 9

10 Se g(s) possiede poli sull asse iaginario (cosa che si verifica se l ipianto da controllare presenta un azione integrale), dobbiao far riferiento al diagraa di Nyquist generalizzato. Esso è la rappresentazione sul piano coplesso del codoinio della funzione s Ω ε g ( s) C dove Ω ε è la curva costituita dall asse iaginario indentato, in prossiità dei poli iaginari, con seicirconferenze di raggio ε sconfinanti nel seipiano sinistro. 10

11 Criterio di Nyquist [Caso generale]. Il sistea a ciclo chiuso in figura è asintoticaente stabile se e solo se, per ogni ε sufficienteente piccolo il diagraa di Nyquist generalizzato di g(s), ottenuto facendo variare s sulla curva Ω ε da - a +,circonda il punto critico -1+j0 tante volte in senso antiorario quanti sono i poli a parte reale positiva o nulla di g(s). In ogni caso, è ovvio che se il sistea a ciclo chiuso è asintoticaente stabile, quanto più il diagraa di Nyquist si svolge lontano dal punto critico, tanto più la stabilità a ciclo chiuso sarà preservata a fronte di odifiche della FdT dovute a perturbazioni. In effetti la distanza del diagraa di Nyquist dal punto critico può essere presa coe isura della robustezza del sistea. 11

12 Per ottenere una isura quantitativa di tale distanza si considerano alcuni punti particolari del diagraa. Indichiao con s, s g1, sg 2, i valori della variabile coplessa in corrispondenza dei quali la fase assue il valore di -180 gradi e definiao g { g( s ) g( s ), g( s )} G =, g1, g 2 g 12

13 Allora i argini di guadagno superiore ed inferiore si definiscono coe: M g g 1 [ ax{ G : < 1} ] se { G : < 1} non è vuoto : = + altrienti 1 [ in{ G : > 1} ] se { G : > 1} non è vuoto : = 0 altrienti In pratica essi rappresentano l inverso del valore di g(s) in corrispondenza degli attraversaenti dell asse reale da parte del diagraa di Nyquist iediataente a destra e a sinistra del punto critico. Coe da definizione, essi possono assuere il valore + oppure 0 rispettivaente. 13

14 Gli altri punti notevoli presi in considerazione sono quelli in corrispondenza dei quali il odulo di g(s) assue valore unitario. In particolare, con riferiento alle intersezioni del diagraa di Nyquist di g(s) con la parte al di sotto dell asse delle ascisse della circonferenza unitaria centrata nell origine, si arriva alla definizione di argine di fase. In questo contesto ci riferireo a tale argine con la dicitura argine di fase superiore. Analogaente, considerando le intersezioni del diagraa di Nyquist di g(s) con la parte al di sopra dell asse delle ascisse della circonferenza unitaria centrata nell origine, si arriva alla definizione di argine di fase inferiore. 14

15 I argini di guadagno e fase si chiaano genericaente argini di stabilità. Essi hanno una interpretazione fisica che appare chiara dalle figure seguenti. - d g(s) I argini di guadagno superiore ed inferiore rappresentano rispettivaente il liite superiore ed inferiore sull apiezza delle perturbazioni reali positive d che non destabilizzano il sistea a ciclo chiuso. 15

16 - e -jφ g(s) I argini di fase superiore ed inferiore rappresentano i liiti sull apiezza della fase dei fasori e -jφ che non destabilizzano il sistea a ciclo chiuso. 16

17 Ora si osservi che, se esiste un nuero α in ]0,1] tale che la differenza di ritorno soddisfi la condizione ( s) α Ωε 1+ g s allora il sistea a ciclo chiuso, supposto asintoticaente stabile, avrà garantiti i seguenti argini: 1 M. G. = 1 α M. F. = ± arccos 1 2 α 2 17

18 Infatti la disuguaglianza precedente garantisce che il diagraa di Nyquist di g(s) non entra ai nella circonferenza di raggio α e centro nel punto critico. I(g(s)) a -1-α -1-1+α a Re(g(s)) 18

19 Per quanto riguarda i argini di guadagno la situazione peggiore, in riferiento alla figura, è quella che corrisponde al passaggio del diagraa di Nyquist per il punto -1+α+j0 o per il punto -1-α+j0 da cui argini di guadagno garantiti. In riferiento al argine di fase, il caso peggiore è quello in cui g(s) assue odulo unitario in corrispondenza dei punti indicati con a e a. Si noti che detti (x,y) i valori assoluti delle coordinate del punto a, risulta x=(x 2 +y 2 ) 1/2 cos(m f ). È facile riconoscere che x 2 +y 2 =1, poiché il punto a appartiene alla circonferenza di raggio unitario. D altro canto, iponendo l appartenenza del punto a alla circonferenza centrata in -1+j0 di raggio α, si ricava x =1- α 2 /2. Da questo segue l asserto. 19

20 A questo punto torniao al sistea di controllo a ciclo chiuso progettato con tecnica LQR. In questo caso le atrici R e B diventano rispettivaente uno scalare e un vettore (r e b); allo stesso odo la MdT è in realtà una FdT e sarà denotata con (s). In riferiento alla FdT (s), il sistea a ciclo chiuso progettato con tecnica LQR si può rappresentare coe segue. Si noti che lo schea in figura è SISO. - (s)=φ(s)b 20

21 In questo caso l uguaglianza della differenza di ritorno, per s variabile sulla curva Ω ε, porge 1+ ( s) 2 = 1+ 1 r ( ( ) ) Φ s b 2 Re( s) ( P + Q) Φ( s) ( b) s Ωε Se Q è definita positiva, allora, poiché la quantità 2Re(s)P* può essere resa piccola a piacere, 2Re(s)P*+Q risulta essere definita positiva e quindi 1+ ( s) 1 s Ω ε 21

22 Se invece Q è solo seidefinita positiva, condizione sufficiente affinché 1+g(s) 1 è che A non possieda autovalori sull asse iaginario. Quindi, utilizzando il risultato precedente con α=1, possiao enunciare il seguente risultato. Teorea [robustezza del regolatore LQ nel caso SISO]. In riferiento allo schea di controllo a ciclo chiuso con un solo ingresso, in cui il regolatore con retroazione di stato è progettato con tecnica LQ, se si verifica aleno una delle seguenti possibilità La atrice Q è definita positiva A non possiede autovalori sull asse iaginario allora il sistea possiede i seguenti argini di stabilità garantiti: 1 M. G. =, 2 M. F. = ± 60 22

23 Si osservi che, per coe è definita la FdT (s), i argini di robustezza sono riferiti a perturbazioni presenti in corrispondenza dell ingresso dell ipianto. Nel seguito, passereo alla generalizzazione dei risultati sulla robustezza ai sistei con più ingressi. 23

24 Robustezza del regolatore ottio LQ per sistei con più ingressi Per poter discutere le probleatiche relative alla robustezza dei sistei ultivariabile, occorre definire i valori singolari di una atrice. Si consideri una atrice coplessa F in C nx e sia l il rango di F. La atrice F*F in C x risulta essere seidefinita positiva con rango l e di conseguenza possiede l autovalori positivi ed -l nulli. 24

25 Ordiniao gli autovalori in odo decrescente λ * * * * * ( F F ) λ ( F F ) λ ( F F ) > λ + ( F F ) = λ ( F F ) l l 1 = Le radici quadrate degli autovalori di F*F si chiaano valori singolari di F e si denotano con il sibolo σ i (F), dunque: σ In particolare i ( ) ( F = λ F F ) i =1, i ( ) : ( F ) assio valor singolare di F 1 F σ M σ = 25

26 Il assio valor singolare è una nora atriciale, infatti si può diostrare che valgono le seguenti proprietà: σ σ σ M M M n ( F ) = 0 F = 0 F C n ( αf ) = α σ M ( F ) α C F C n ( F + G) σ ( F ) + σ ( G) F, G C M Il assio valor singolare di F viene anche detta nora spettrale. Si può diostrare che tale nora è indotta dalla nora Euclidea in C σ M M ( F ) sup Fx = x = 1 x C dove. denota la usuale nora euclidea in C. 26

27 Se F è una atrice quadrata (=n) il più piccolo dei valori singolari prende il noe di inio valor singolare. Si ha σ n ( F ) : σ ( F ) = inf Fx = x = 1 x C È facile rendersi conto che il inio valor singolare è diverso da zero se e solo se F è non singolare. In questo caso σ σ ( F ) = σ M 1 1 ( F ) ( F ) σ = M σ 1 1 ( F ) ( F ) λ ( F ) σ ( F ) i =1, n i M, 27

28 Anche per il prodotto vale la proprietà suboltiplicativa: σ M ( FG) σ ( F ) σ ( G) F,G copatibili M M I valori singolari si rivelano olto utili nel oento in cui si vogliano generalizzare le proprietà dei sistei onovariabile ai sistei ultivariabile. 28

29 Il criterio di Nyquist per sistei ultivariabile Per discutere l estensione del criterio di Nyquist ai sistei ultivariabile, è opportuno ettere in risalto i punti essenziali della diostrazione nel caso SISO. Consideriao una funzione coplessa di variabile coplessa h(s), razionale fratta con grado del nueratore uguale a quello del denoinatore. 29

30 Sia Ω ε la solita curva sul piano coplesso costruita in odo tale da evitare gli eventuali zeri e poli di h sull asse iaginario. Indichiao con N z (N p ) il nuero di zeri (poli) di h a parte reale positiva o nulla. Allora il teorea dell Indicatore Logaritico affera che N z N p = R dove R rappresenta il nuero di rotazioni in senso orario intorno all origine del piano coplesso del vettore h(s) quando s percorre la curva Ω ε da - a +. 30

31 g(s) Consideriao ora lo schea a ciclo chiuso in figura dove g(s) = n(s)/d(s) e n(s) e d(s) sono polinoi di variabile coplessa. Supponiao inoltre che il sistea sia strettaente proprio e quindi che il grado di n(s) sia inferiore a quello di d(s). 31

32 La funzione di trasferiento a ciclo chiuso risulta essere w( s) = n( s) n( s) + d( s) Ora applichiao il teorea dell Indicatore Logaritico alla funzione h( s) : = 1+ g( s) = n( s) + d( s) d( s) che è una funzione avente nueratore e denoinatore con lo stesso grado. 32

33 È chiaro che: Gli zeri di 1+g(s) coincidono con i poli a ciclo chiuso I poli di 1+g(s) coincidono con gli zeri del polinoio d(s) che sono i poli a ciclo aperto Quindi utilizzando il teorea dell Indicatore Logaritico si ottiene che: nu. poli a ciclo chiuso a parte reale positiva o nulla nu. poli a ciclo aperto a parte reale positiva o nulla = rotazioni orarie di 1+g(s) intorno allo 0. Quindi se si vuole che il sistea a ciclo chiuso sia asintoticaente stabile occorre che il nuero di poli a ciclo aperto a parte reale positiva o nulla eguagli il nuero di rotazioni antiorarie di g(s) intorno al punto -1+j0. 33

34 Il punto chiave della diostrazione consiste nel fatto che la funzione 1+g(s) può scriversi coe rapporto tra il polinoio caratteristico a ciclo chiuso e quello a ciclo aperto. Il prossio lea generalizza questo risultato ai sistei ultivariabile. Si faccia riferiento alla figura dove il sistea possiede cicli di reazione. G(s) 34

35 Lea. Vale la seguente uguaglianza I + G( s) = P P cc ca ( s) ( s) Dove P cc (s) e P ca (s) denotano rispettivaente il polinoio caratteristico a ciclo chiuso e quello a ciclo aperto del sistea in figura. Da questo Lea, applicando il teorea dell Indicatore Logaritico, discende il criterio di Nyquist per sistei ultivariabile. 35

36 Teorea [Criterio di Nyquist per sistei ultivariabile] Il sistea a ciclo chiuso in figura è asintoticaente stabile se e solo se il diagraa di Nyquist generalizzato di I+G(s), tracciato per s variabile sulla curva Ω ε da - a +, circonda l origine tante volte in senso antiorario quanti sono i poli a parte reale positiva o nulla di G(s). Analogaente a quanto fatto nel caso SISO, attraverso il criterio di Nyquist ultivariabile si diostra la proprietà sui argini di stabilità per sistei ultivariabile. 36

37 Teorea [Margini di stabilità garantiti per sistei MIMO]. Si consideri il sistea a ciclo chiuso in figura supposto asintoticaente stabile; allora se esiste un nuero positivo α tale che σ ( I + G( s) ) α s Ωε il sistea presenta i seguenti argini di stabilità garantiti 1 M. G. = 1 α 2 α M. F. = ± arccos 1 2 siultaneaente su ogni canale. 37

38 Inoltre per ogni in {1,,} tutte le perturbazioni Δ in C x inserite coe in figura e aventi la struttura 38 G(s) Δ ( ) ( ) α σ α σ < = < = X C X I X I X C X I X I M M ) ( ) ( 0 oppure 0 non destabilizzano il sistea.

39 diag(d 1 d 2 d ) G(s) Ora chiariao coe si interpreta questo teorea. Per quanto riguarda i argini di guadagno, supponiao di porre su ogni anello del ciclo un guadagno variabile d i. Allora il generico d i può variare indipendenteente dagli altri tra 1/(1+α) e 1/(1- α) senza che il sistea diventi instabile. Un discorso analogo si può ripetere per i argini di fase sostituendo i d i con e -jφi 39

40 Questo tipo di perturbazioni sono di natura non incrociata, nel senso che il generico d i interessa il solo canale i-esio, pur potendo i d i variare conteporaneaente. La seconda parte del teorea prende in esae perturbazioni di natura puraente incrociata. Per diostrare il teorea c è bisogno del seguente lea. Lea. Date due atrici quadrate G e Θ tali che I+G e Θ siano non singolari, condizione sufficiente affinché I+G Θ 0 è σ ( Θ 1 I ) < σ ( I G) M + 40

41 Per diostrare il teorea si noti che per Δ=I il sistea a ciclo chiuso è asintoticaente stabile. Per Nyquist ultivariabile, facendo variare con continuità Δ intorno al valore I, il sistea continua ad essere asintoticaente stabile fin quando Δ non assue un valore Δ c tale che esista un s c in Ω ε tale che I ( ) = 0 + G s c c Per il lea tale condizione non si verifica se Δ soddisfa la condizione σ M ( 1 I ) < σ I + G( s) ( ) s Ωε 41

42 Nell ipotesi in cui ci troviao l ultia condizione è garantita se ( 1 I ) α σ < M Per il calcolo dei argini di guadagno si pone = diag ( d d d ) d > 0 i = 1, 1 2 i, Per il calcolo dei argini di fase = diag ( jϕ j j ) 1 ϕ2 ϕ e e e Per il calcolo delle perturbazioni incrociate = I X I 0 oppure = 0 I X I 42

43 A partire da questo risultato è possibile estendere il teorea sulla robustezza del regolatore LQ ai sistei con più ingressi. È necessario però supporre che R=ρI, con ρ>0. Calcolando il inio autovalore delle espressioni a prio e secondo ebro dell uguaglianza della differenza di ritorno si ottiene: σ 2 ( I + M ( s) ) = λ I + ( Φ( s) B) 2Re( s) = 1+ 1 in 1 λ ρ in 1 ρ ( B) ( P + Q) Φ( s) ( Φ( ) ) ( 2Re( ) + )( Φ( ) )) s B s P Q s B 43

44 Facendo ragionaenti analoghi a quelli del caso SISO si arriva al seguente teorea. Teorea [Robustezza del regolatore LQ nel caso MIMO] In riferiento allo schea di controllo a ciclo chiuso con più ingressi, in cui il regolatore con retroazione di stato è progettato con tecnica LQ, dove R=ρI, ρ>0, se si verifica aleno una delle seguenti possibilità La atrice Q è definita positiva A non possiede autovalori sull asse iaginario allora il sistea possiede siultaneaente su ogni canale in ingresso i seguenti argini di stabilità garantiti: 1 M. G. =, 2 M. F. = ± 60 44

45 Inoltre il sistea a ciclo chiuso non è destabilizzato da perturbazioni del tipo 45 ( ) ( ) 1 0 oppure 1 0 ) ( ) ( < = < = X C X I X I X C X I X I M M σ σ inserite in corrispondenza dell ingresso.

46 Nel teorea precedente una ipotesi forte è che la atrice dei pesi di ingresso R sia, a eno di un fattore di scala, pari alla atrice identità. Poiché, in generale, la atrice R è scelta in base ad altre specifiche, è interessante vedere cosa succede negli altri casi. Il caso più coune è quello in cui R ha una struttura diagonale: R = diag ( r r r ) r > 0 i = 1, 1 2 i, In questo caso i argini di guadagno e fase su ogni canale sono gli stessi del teorea precedente. 46

47 Per quanto riguarda le perturbazioni incrociate, sono tollerate perturbazioni del tipo 47 ( ) { } { } ( ) { } { } 2 1/ 1 1 ) ( 2 1/ 1 1 ) (,, ax,, in 0 oppure,, ax,, in 0 < = < = + + M M r r r r X C X I X I r r r r X C X I X I σ σ Se R non ha una struttura diagonale non può dirsi nulla in generale.