Moto browniano e analisi stocastica

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1 Moo browiao e aalisi socasica Versioe 3.3 Ulima modifica: 9 giugo 11. FRANCESCO CARAVENNA fracesco.caravea@uimib.i hp:// DIPARIMENO DI MAEMAICA E APPLICAZIONI UNIVERSIÀ DEGLI SUDI DI MILANO-BICOCCA VIA COZZI 53, 15 MILANO, IALY Sommario. Quese oe ascoo come dispese dei corsi che ho euo per la laurea magisrale i maemaica presso le uiversià di Padova (corso di Aalisi socasica, ai accademici 8/9, 9/1, 1/11) e di Milao-Bicocca (corso di Processi socasici, ao accademico 1/11). Le pari i corpo miore idicao ipicamee argomei o svoli a lezioe, o solao acceai. Le pricipali foi di ispirazioe soo sai i esi di Comes e Meyre [6], Baldi [], Karazas e Shreve [1998], Mörers e Peres [9] e Le Gall [8]. Segalazioi di errori, osservazioi, suggerimei e criiche soo molo gradii. I coperia è raffigurao u segmeo di raieoria del moo browiao el piao, oeuo come ierpolazioe lieare di ua passeggiaa aleaoria co icremei ormali (5 passi).

2 Idice Preludio Capiolo 1. Richiami di probabilià Spazi misurabili Probabilià e variabili aleaorie Legge di ua variabile aleaoria Idipedeza e misura prodoo Nozioi di covergeza Fuzioi caraerisiche Leggi ormali Quesioi eciche Capiolo. Moo browiao Processi socasici Il moo browiao Esiseza del moo browiao (Ir)regolarià delle raieorie Processi e σ-algebre Moo browiao mulidimesioale La misura di Wieer Gli spazi M e M loc Capiolo 6. Calcolo socasico e applicazioi Formula di Iô per il moo browiao Processi di Iô e formula di Iô geerale Qualche esempio Il caso mulidimesioale Moo browiao e laplaciao Il eorema di Girsaov Capiolo 7. Equazioi differeziali socasiche Defiizioi Esiseza e uicià di soluzioi fori La formula di Feyma-Kac Capiolo 8. Rimorsi Le diffusioi come processi di Marov L iegrale di Sraoovich eoremi di rappreseazioe per marigale Capiolo 3. Processi di Lévy e proprieà di Marov Processi socasici e filrazioi Processi di Lévy rispeo a ua filrazioe empi d arreso La proprieà di Marov fore Il pricipio di riflessioe Capiolo 4. Marigale Speraza codizioale Marigale a empo discreo e coiuo Variazioe quadraica di ua marigala coiua Capiolo 5. Iegrale socasico Prolugameo di isomerie L iegrale socasico i M [a, b] L iegrale socasico come processo L iegrale socasico i Mloc [a, b]

3 PRELUDIO Preludio Queso corso è cosiuio da due pari. Nella prima pare defiiamo il moo browiao, uo degli oggei più imporai i eoria della probabilià, e e sudiamo le pricipali proprieà. Nella secoda pare mosriamo come sia possibile defiire ua eoria dell iegrazioe rispeo al moo browiao, dea iegrazioe socasica, che rivese u imporaza fodameale da u puo di visa sia eorico sia applicaivo. Prima di comiciare, cerchiamo di dare u idea eurisica del coeuo del corso. Moo browiao. Ciado liberamee Mörers e Peres [9], ua pare imporae della eoria della probabilià cosise ella descrizioe del quadro macroscopico che emerge i sisemi caraerizzai da effei microscopici aleaori. Da queso puo di visa, il moo browiao può essere viso come il processo macroscopico che descrive il moo di ua paricella sooposa a uri microscopici casuali frequei ma o roppo iesi. Più precisamee, cosideriamo il seguee modello microscopico per ua paricella vicolaa a muoversi su ua rea e sooposa a uri frequei: idicado co ε > la disaza emporale (che suppoiamo per semplicià cosae) ra ua coppia di uri successivi e co z i R lo sposameo della paricella provocao dall i-esimo uro, la posizioe s() R della paricella all isae > è daa da /ε s() =s() + z i, dove s() R idica la posizioe della paricella all isae iiziale. Suppoiamo ora che gli sposamei (z i ) i N siao variabili aleaorie idipedei e co la sessa disribuzioe, co media ulla e co variaza fiia. Soo quese sole ipoesi, idipedeemee dai deagli più fii della disribuzioe delle variabili z i,quadoε > è piccolo il processo riscalao { ε s()} [, ) è descrio da u uico processo macroscopico {B()} [, ),il moo browiao appuo. Il fao che moleplici modelli microscopici (corrispodei per esempio alle possibili scele della disribuzioe degli sposamei z i )diaoorigieallo sesso uico modello macroscopico è ua proprieà molo ieressae, che viee spesso idicaa col ome di uiversalià. Il moo browiao {B()} [, ) è u oggeo maemaico esremamee ricco, di cui aalizzeremo u cero umero di proprieà. Mosreremo ad esempio che le sue raieorie B() soo coiue ma molo irregolari: o soo differeziabili i essu puo (!) e hao variazioe ifiia, el seso che per ogi > si ha (co probabilià 1) sup N N N 1 i= B i+1 N i= B i N = +. 1 Quesa irregolarià rede problemaica la defiizioe di ua eoria dell iegrazioe rispeo alle raieorie del moo browiao. Prima di discuere queso puo, foriamo qualche moivazioe per la ecessià di ua ale eoria. Iegrale socasico. Cosideriamo ua paricella vicolaa a muoversi lugo ua rea su cui agisce u campo di forze. La posizioe della paricella all isae [, ) sarà idicaa co x() R, mere F (, x) idicherà l iesià della forza all isae el puo x R. Se la fuzioe x( ) è derivabile, il lavoro compiuo dalla forza sulla paricella ell iervallo di empo [,] è dao dall iegrale F (, x()) dx() := F (, x()) x ()d, (.1) dove x () := dx() d idica la derivaa prima di x. Lo sesso iegrale ammee alre possibili ierpreazioi. Suppoiamo ad esempio che x() idichi il valore di u cero iolo azioario all isae e che F (, x) rappresei la mia sraegia di ivesimeo, ossia la quaià di azioi che possiedo all isae se il iolo vale x. L iegrale i (.1) rappresea allora il guadago (co sego!) che oego delle azioi i mio possesso ra gli isai e. Quesi argomei spiegao l ieresse per lo sudio e la geeralizzazioe di iegrali del ipo (.1). Cosideriamo per esempio il caso i cui x( ) o sia derivabile: è possibile dare u seso all iegrale F (, x()) dx() ache i quesa circosaza? Suppoiamo per semplicià che la fuzioe F (, x) =F () o dipeda espliciamee da x e che sia coiua. Quadox( ) è derivabile co coiuià, l iegrale F ()dx() defiio i (.1) può essere espresso come limie di somme di Riema, el modo seguee: F ()dx() = N 1 lim N i= F i N x i+1 N x i N. (.) Dao che i quesa espressioe o compare la derivaa prima di x( ), si porebbe sperare di usarla come defiizioe dell iegrale F ()dx() quado la fuzioe x( ) o è derivabile. Ebbee, è possibile mosrare (eorema 56 del capiolo I i [Proer, 4]) che daa ua fuzioe x( ) coiua, o ache solo coiua a desra, il limie i (.) esise per ogi F ( ) coiua se e solao se x( ) è a variazioe fiia, cioè sup N N N 1 i= x i+1 N x i N <. Il problema è che si vorrebbe esedere la defiizioe dell iegrale F ()dx() al caso i cui la fuzioe (aleaoria) x() =B() è il moo browiao, che come abbiamo acceao più sopra ha variazioe ifiia. U risulao fodameale di Iô [1944] mosra che ua ale esesioe è effeivamee possibile, a pao di adoare u approccio probabilisico: l iegrale socasico o è ifai defiio puualmee, per ogi raieoria fissaa

4 PRELUDIO 3 4 PRELUDIO B(), ma solo come limie i probabilià; iolre gli iegradi F () ammessi, che possoo essere essi sessi aleaori, soo soggei a imporai resrizioi (devoo essere adaai al moo browiao, i u seso che preciseremo). Se le raieorie F () soo coiue, l iegrale socasico può essere defiio come limie i probabilià di somme di Riema, aalogamee a (.): F ()db() := N 1 lim N i= F i N B i+1 N B i N. (.3) Le proprieà di queso iegrale soo peculiari. Per esempio, se ella somma di Riema i (.3) si sosiuisce F ( i i+1 N ) co F ( N ) u cambio appareemee iocuo, daa la coiuià di F () il valore dell iegrale risula i geerale diverso, a differeza di quao accade per l iegrale ordiario. È imporae duque precisare quale defiizioe si usa. Noi ci cocereremo sull iegrale di Iô, defiio proprio come i (.3), che è quello più aurale per le applicazioi fiaziarie e ha iolre fodameali legami co la eoria delle equazioi differeziali alle derivae parziali del secodo ordie. Alre defiizioi risulao più coveiei i coesi diversi: acceeremo brevemee all iegrale di Sraoovich, usao elle applicazioi fisiche e ella geomeria socasica, i cui il ermie F ( i N ) è sosiuio da 1 (F ( i i+1 N )+F( N )). Se x() è ua fuzioe derivabile, segue dal eorema fodameale del calcolo che per ogi fuzioe G : R R derivabile si ha G(x( )) G(x()) = d G(x()) d =: d G (x()) dx(). Per l iegrale di Iô quesa relazioe o è più valida. Più precisamee, se x() =B() è il moo browiao e se G : R R è ua fuzioe derivabile due vole co coiuià, mosreremo che G(B( )) G(B()) = G (B()) db() + 1 che può essere riscria i forma differeziale come dg(b()) = G (B()) db() + 1 G (B()) d. G (B()) d, Quesa è la celebre formula di Iô, che cosiuisce il cuore del calcolo socasico. Come vedremo, la preseza del ermie aggiuivo coeee G è dovua precisamee al fao che le raieorie del moo browiao soo a variazioe ifiia. Noazioi. Idicheremo co N := {1,, 3,...} e co N := N {} = {, 1,,...}. Useremo gli aggeivi crescee, decrescee, posiivo e egaivo i seso debole: ua fuzioe f : R R è crescee se per ogi x, y R co x<ysi ha f(y) f(x), mere è sreamee crescee se si ha f(y) >f(x); aalogamee, f è posiiva se per ogi x R si ha f(x), mere è sreamee posiiva se si ha f(x) >. Daia, b R, useremo spesso le oazioi a b := mi{a, b} e a b := max{a, b}.

5 6 1. RICHIAMI DI PROBABILIÀ 1. Richiami di probabilià Foriamo u compedio delle ozioi basilari di probabilià che ci sarao uili. Per maggiori deagli, si possoo cosulare i esi [Billigsley, 1995], [Williams, 1991] Spazi misurabili σ-algebre. Ua σ-algebra E su u isieme o vuoo E è ua famiglia di pari (sooisiemi) di E che coiee E e che sia chiusa per uioi umerabili e passaggio al complemeare. La coppia (E,E) è dea spazio misurabile. I due casi esremi di σ-algebre soo quella baale E = {,E} e quella discrea E = P(E). Daa ua famiglia o vuoa I P(E) di pari di E, si idica co σ(i) la più piccola σ-algebra che coega I, cioè l iersezioe di ue le σ-algebre che coegoo I. La famiglia I è dea u geeraore di σ(i). SeiolreI è chiusa per iersezioi fiie, I è dea ua base di σ(i). Dae due famiglie I,I P(E), la più piccola σ-algebra che coiee sia I sia I è σ(i I ), che idicheremo co semplicià co σ(i,i ); aalogamee, el caso si abbiao più famiglie scriviamo σ(i j,j J) o σ({i j } j J ) ivece di σ( j J I j). Esempio 1.1. Per A E si ha σ({a}) ={,A,A c,e}. Piùigeerale,se{A i} i I èuaparizioe fiia o umerabile di E (cioè i I Ai = E e Ai Aj = per i = j, dovei èuisiemefiiooumerabile), allora σ({a i} i I) ={A = j J Aj, J I}. Se (E,τ) è uo spazio opologico, si dice boreliaa la σ-algebra su E geeraa dagli isiemi aperi (equivaleemee, dagli isiemi chiusi), che idicheremo co B(E). L esempio più imporae è dao da E = R d, la cui σ-algebra boreliaa B(R d ) è geeraa dai reagoli aperi (a 1,b 1 ) (a d,b d ), che e cosiuiscoo ua base. U alro esempio imporae è la rea reale esesa R := R {, + }, i cui B(R) =B(R) {+ } { }. Iederemo sempre R d e R come spazi misurabili, muii della σ-algebra boreliaa. A differeza di quao accade per la opologia, i geerale o è possibile descrivere espliciamee gli elemei della σ-algebra σ(i) geeraa da ua famiglia I. Per quesa ragioe, è ecessario lavorare co geeraori e basi (si veda il paragrafo 1.8.1) Applicazioi misurabili. Sia X : E F ua applicazioe ra due spazi misurabili (E,E) e (F, F) (scriveremo sieicamee X :(E,E) (F, F)). L applicazioe X è dea misurabile se X 1 (B) E per ogi B F. SeJ è u geeraore di F, cioè se F = σ(j), èsufficiee richiedere che X 1 (B) E per ogi B J. Daa ua qualuque applicazioe X : E F e ua qualuque σ-algebra F su F,è auomaicamee defiia la σ-algebra σ(x) :={X 1 (B) : B F} su E, dea σ-algebra geeraa da X: si raa della più piccola σ-algebra su E che reda X misurabile. Si oi che l iersezioe di ua famiglia arbiraria di σ-algebre è ua σ-algebra, mere i geerale l uioe (ache fiia) di σ-algebre o lo è. Dae due applicazioi X, Y defiie erambe su E, a valori i spazi misurabili (ache diversi), idicheremo co σ(x,y ):=σ(σ(x), σ(y )) la σ-algebra da esse geeraa: si raa della più piccola σ-algebra su E che rede misurabili sia X sia Y. Per ua famiglia {X j } j J di applicazioi, scriveremo aalogamee σ({x j } j J ) ivece di σ( j J σ(x j)). Si verifica facilmee che σ(x) rede misurabile qualuque fuzioe di X: per ogi g :(F, F) (G, G) misurabile, la composizioe g(x) =g X è σ(x)-misurabile, cioè è misurabile come applicazioe da (E,σ(X)) i (G, G). È ieressae oare che vale u parziale viceversa, oo come lemma di misurabilià di Doob: se X : E (F, F) è ua applicazioe geerica e Y : E R d è σ(x)-misurabile, allora esise g :(F, F) R d misurabile ale che Y = g(x) (si veda il Lemma 1.18 alla fie del capiolo). Se X :(E,E) (F, F) e Y :(F, F) (G, G) soo applicazioi misurabili, lo è la loro composizioe Y X :(E,E) (G, G). SeE, F soo spazi opologici, ogi applicazioe X : E F coiua è misurabile rispeo alle σ-algebre boreliae B(E), B(F ). Segue che se X, Y :(E,B(E)) R soo applicazioi misurabili, lo soo ache X + Y, X Y, X, X + := max(x, ), ecc. Iolre soo misurabili le applicazioi (a valori i R) sup X, N if X, N lim sup X, N lim if N X, X, purché X :(E,B(E)) R sia misurabile per ogi N. Soolieiamo che per quesi risulai è fodameale che la famiglia {X } sia (al più) umerabile. La fuzioe idicarice 1 B di u isieme B è defiia da 1 B (x) =1se x B mere 1 B (x) =se x B. Chiaramee 1 B :(E,E) R è misurabile se e solo se B E. U applicazioe reale X :(E,E) R si dice semplice se si può scrivere X = ci 1B i co N, c i R e B i E per i =1,...,.OgiapplicazioemisurabileposiivaX :(E,E) R + si può scrivere come limie puuale crescee di fuzioi semplici: X(x) =lim X (x) per ogi x E, dove X (x) :=max{ X(x),}. Piùespliciamee: X (x) := 1 {x E: X(x) } + =1 N 1 1 {x E: 1 X(x)< }(x), da cui è chiaro che, per ogi x E, sihax (x) X +1(x) per ogi N e X (x) X(x) Spazi prodoo. Dai due spazi misurabili (F, F), (G, G), sul loro prodoo caresiao F G si defiisce la σ-algebra prodoo F G := σ(f G), cioè la σ-algebra geeraa dalla famiglia F G := {A B : A F,B G} (si oi che i geerale F G o è ua σ-algebra). U applicazioe X :(E,E) (F G, F G) si può sempre scrivere come X =(X 1,X ), co X 1, X avaloriif, G rispeivamee, ed èmisurabilesee solo se lo soo le sue compoei X 1 e X, perché gli isiemi della forma A G e F B al variare di A F e B G soo u geeraore di F G. Proprieà del uo aaloghe valgoo per il prodoo di u umero fiio di spazi misurabili. Il caso di ua famiglia ifiia di spazi misurabili sarà cosiderao el paragrafo.1.1. Sia f :(F G, F G) R ua fuzioe reale misurabile; allora, per ogi x F fissao, la fuzioe y f(x, y) è misurabile da (G, G) i R; aalogamee, per ogi y G fissao, la fuzioe x f(x, y) è misurabile da (F, F) i R. Soolieiamo che o vale il viceversa: per la misurabilià dell applicazioe f o è sufficiee che siao misurabili le applicazioi x f(x, y) e y f(x, y). 5

6 1.. PROBABILIÀ E VARIABILI ALEAORIE RICHIAMI DI PROBABILIÀ 1.. Probabilià e variabili aleaorie Misure e probabilià. Dao uo spazio misurabile (E,E), ua misura µ è ua fuzioe µ : E [, + ] ale che µ( ) =e co la proprieà di σ-addiivià, cioè µ( N A )= N µ(a ) per ogi successioe {A } N di elemei di E adue aduedisgiui(a A m = per m = ). La era (E,E,µ) è dea spazio di misura o spazio misurao. Lamisuraµ è dea fiia se µ(e) < e σ-fiia se si può scrivere E = N A co A E e µ(a ) < per ogi N. U esempio classico di misura fiia è dao dalla dela di Dirac δ x,dovex E è u qualuque puo fissao, defiia da δ x (A) =1se x A e δ x (A) =alrimei. L esempio più imporae di misura σ-fiia è dao dalla misura di Lebesgue su (R d, B(R d )). Ua misura P su uo spazio misurabile (Ω, F) ale che P(Ω) =1è dea probabilià (o misura di probabilià o ache legge). La era (Ω, F, P) è dea spazio di probabilià e gli elemei di F soo dei evei. U eveo A F si dice quasi cero se P(A) =1. Ricordiamo alcue imporai proprieà che ci sarao uili. Per ogi eveo A si ha P(A c )=1 P(A). Per ogi coppia di evei A B si ha P(A) P(B) [moooia]. Per ogi successioe di evei {A } N vale la relazioe P( N A ) N P(A ) [subaddiivià]. Per ogi successioe di evei {A } N crescee (risp. decrescee), cioè ale che A A +1 (risp. A A +1 ) per ogi N, idicado l eveo limie co A = N A (risp. A = N A ), si ha che P(A ) P(A) (risp. P(A ) P(A)) [coiuià dal basso e dall alo]. Se {A } N è ua famiglia di evei quasi ceri, cioè P(A )=1per ogi N, ache N A è u eveo quasi cero. Se {B } N è q.c. ua parizioe dello spazio di probabilià, cioè se P( N B )=1 e P(B B m )=per m =, vale la relazioe P(A) = N P(A B ), per ogi eveo A [formula di disiegrazioe]. U imporae risulao di uicià è il seguee: se I è ua base di F (cioè F = σ(i) e I è chiusa per iersezioi fiie), due probabilà P, P su (Ω, F) che coicidoo su I soo ecessariamee uguali, cioè P(A) =P (A) per ogi A F (queso segue dal Lemma di Dyi, cf. il paragrafo 1.8). U risulao aalogo vale per misure σ-fiie: più precisamee, se µ, µ soo misure sullo spazio misurabile (E,E) che coicidoo su ua base I di E, esesipuòscriveree = N A co A I e µ(a )=µ (A ) < per ogi N, alloralemisureµ, µ coicidoo su ua la σ-algebra E Variabili aleaorie. Cosideriamo ua applicazioe X : Ω E, dove (Ω, F, P) è uo spazio di probabilià e (E,E) è uo spazio misurabile (scriveremo sieicamee X :(Ω, F, P) (E,E)). Se l applicazioe X è misurabile, essa è dea variabile aleaoria. Nel caso i cui lo spazio di arrivo E coicida co R ocor d,siparla rispeivamee di variabile aleaoria reale (dea ache scalare) o di veore aleaorio. Daa ua variabile aleaoria X :(Ω, F, P) (E,E) e u isieme A E, è cosueudie idicare co {X A} l eveo X assume valori i A, cioè {X A} := X 1 (A) = {ω Ω : X(ω) A}. Aalogamee, per ua variabile aleaoria reale X si poe {X a} := {X [a, )} = X 1 ([a, )), ecc. Useremo quese oazioi cosaemee. Osserviamo che 1 {X A} = 1 A X per A E (si oi che 1 {X A} è defiia su Ω mere 1 A è defiia su E). Per defiizioe, la σ-algebra σ(x) geeraa da X cosise esaamee degli evei della forma {X A} al variare di A E. Iuiivamee, σ(x) codifica l iformazioe associaa alla variabile aleaoria X: quesa σ-algebra cosa ifai degli evei che si possoo esprimere ramie X, ossia gli evei per cui si può sabilire se si siao verificai oppure o cooscedo solo il valore assuo dalla variabile aleaoria X Spazi di probabilià complei. Sebbee il coeuo di queso paragrafo si possa applicare a spazi di misura geerali, cosidereremo per semplicià solo il caso degli spazi di probabilià. Uo spazio di probabilià (Ω, F, P) si dice compleo se, per ogi eveo C F ale che P(C) =, si ha che ogi sooisieme N C è misurabile, cioè N F (i paricolare segue che P(N) =). Equivaleemee, (Ω, F, P) è compleo se, per ogi eveo A F ale che P(A) =1, si ha che ogi isieme B A è misurabile, cioè B F (i paricolare segue che P(B) =1) Se (Ω, F, P) o è compleo, è sempre possibile complearlo: più precisamee, si può cosruire uo spazio di probabilià compleo (Ω, F, P) ale che F F e P coicida co P su F. Si defiisce iaziuo la famiglia N degli isiemi rascurabili (o P-rascurabili, se si vuole efaizzare la probabilià) poedo N := N Ω : C F ale che N C e P(C) = e si esede la σ-algebra F poedo F := σ(f, N ). Si può mosrare (esercizio) che A F se e solao se esise A F ale che A A N,doveA A := (A \ A ) (A \ A) idica la differeza simmerica, e i queso caso si defiisce P(A) :=P(A ). Si verifica che ale defiizioe è be posa, cioè o dipede dalla scela di A,cheP defiisce ua probabilià su F e che (Ω, F, P) è uo spazio di probabilià compleo (esercizio). Gli isiemi di F di probabilià P ulla soo esaamee gli elemei di N.Ua applicazioe X :(Ω, F) (E,E) è misurabile se e solo se è P-q.c. uguale a ua applicazioe misurabile X :(Ω, F) (E,E), cioè se e solo se vale che {ω Ω : X (ω) = X(ω)} N. Soolieiamo che il compleameo F della σ-algebra F dipede foremee dalla probabilià P. Per esempio, se sullo spazio misurabile (R, B(R)) si sceglie la probabilià di Dirac δ,laσ-algebra compleaa è l isieme delle pari P(R), come si verifica facilmee. Osservazioe 1. (imporae). Dao uo spazio di probabilià (Ω, F, P), idichiamo geericamee co [...] ua proprieà dipedee da ω Ω (ad esempio Y (ω), oppure lim sup X (ω) =+, dovey,{x } R soo fuzioi reali defiie su Ω). Iroduciamo la oazioe, di uso molo frequee, quasi ceramee [...] (abbreviao q.c. [...] )

7 1.. PROBABILIÀ E VARIABILI ALEAORIE RICHIAMI DI PROBABILIÀ iededo co ciò esise A F co P(A) =1ale che per ogi ω A [...]. Si porebbe pesare che ciò sia equivalee a richiedere che P({ω Ω :[...]}) =1,ma queso o è correo: ifai i geerale o è deo che l isieme {ω Ω :[...]} sia u eveo, cioè apparega a F. Scrivedo q.c. [...] siafferma solao che {ω Ω :[...]} coiee u eveo di probabilià 1. Si raa uo sommao di ua soigliezza, che si risolve immediaamee se lo spazio (Ω, F, P) è compleo: ifai i queso caso gli isiemi che coegoo evei di probabilià 1 soo auomaicamee misurabili. Quesa è ua delle ragioi per cui risula spesso coveiee lavorare co spazi complei Iegrale e valore aeso. Dao uo spazio di misura (E,E,µ) e ua fuzioe misurabile posiiva g : E R +, è sempre be defiio l iegrale g dµ = g(x) µ(dx) [, + ]. Ricordiamo ua proprieà imporae: delle classi di equivaleza L p /, che co radizioale abuso di oazioe viee idicao sempre co L p (quado sarà imporae disiguere ra fuzioi e classi di equivaleza, lo soolieeremo). I queso modo (L p, p ) divea uo spazio di Baach, cioè uo spazio ormao compleo: ue le successioi di Cauchy hao limie. Dalla disuguagliaza di Jese, richiamaa più i basso, segue che per ogi p q eper ogi variabile aleaoria X si ha X q X p : di cosegueza L p L q (quesa proprieà o vale se P è ua misura o fiia) e la covergeza i L p implica quella i L q. Lo spazio più imporae è L,cheèieffei uo spazio di Hilber, poichélaorma è idoa dal prodoo scalare X, Y := E(XY ). Per X L,laquaiàVar(X) := E[(X E(X)) ]=E(X ) E(X) [, ) è dea variaza di X. Ricordiamo che Var(X) =se e solao se esise c R ale che P(X = c) =1. Per X, Y L, l operaore bilieare Cov(X, Y ):=E[(X E(X))(Y E(Y ))] = E(XY ) E(X)E(Y ) R è deo covariaza. Si verifica facilmee che se g, g dµ = se e solo se µ(g >) =, cioè g =µ-q.c.. Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y )+Cov(X, Y ) U arbiraria fuzioe misurabile reale g è dea iegrabile se g dµ < e i queso caso si defiisce g dµ := g + dµ g dµ, dovesièposog ± (x) :=max{±g(x), }, da cui g = g + g.sihache g dµ g dµ. Specializzado quese defiizioi al caso di uo spazio di probabilià (Ω, F, P), per ua variabile aleaoria reale posiiva Y :(Ω, F, P) R + è sempre be defiio il valore aeso E(Y ):= Y (ω)p(dω) [, + ] e si ha che E(Y )= se e solo se P(Y = ) = 1. Ua variabile aleaoria reale X è dea iegrabile se E( X ) <, el qual caso si defiisce E(X) :=E(X + ) E(X ) e vale la relazioe E(X) E( X ). Più i geerale, si poe E(X) :=E(X + ) E(X ) R ache quado uo solo ra E(X + ) e E(X ) è fiio Spazi L p. Per ogi variabile aleaoria reale X defiia su (Ω, F, P) si defiisce X p := (E( X p )) 1/p [, + ], per p [1, ), e si idica co L p = L p (Ω) =L p (Ω, F, P) l isieme delle variabili aleaorie reali X ali che X p <. Vale la disuguagliaza riagolare X + Y p X p + Y p (disuguagliaza di Miowsi), da cui segue che L p è uo spazio veoriale su R e p è ua semiorma su L p. Ifai X p =o implica che X =ma solao che P(X = ) = 1. Iroducedo su L p la relazioe di equivaleza X Y se P(X = Y )=1, p divea ua vera orma sull isieme Ua ragioe aaloga è la seguee: se X :(Ω, F, P) R èuavariabilealeaoriaex : Ω R èua fuzioe ale che X = X q.c. (cioè esise A F co P(A) =1ale che X(ω) =X (ω) per ogi ω A), i geerale o è deo che X sia ua fuzioe misurabile, duqueuavariabilealeaoria;ciòèverose lo spazio (Ω, F, P) ècompleo,perquaoviso. Si defiisce iaziuo 1 A dµ := µ(a) per A E esiesedeladefiizioeperlieariàalle fuzioi semplici ci1a i,perai F e ci R+.Peruafuzioemisurabileoegaivaarbiraria, si defiisce il valore aeso come il limie dei valori aesi di ua qualuque successioe crescee di fuzioi semplici che coverge alla variabile aleaoria (ua ale successioe esise sempre, e il limie dei valori aesi o dipede dalla successioe scela). e iolre Var(X) =Cov(X, X). U veore aleaorio X =(X 1,...,X d ) avaloriir d è per defiizioe i L p se e solo se lo soo ue le sue compoei. Poedo X p =(E( X p )) 1/p,dove idica la orma euclidea su R d,sihachex L p se e solo se X p <. IolreX q X p se p q, quidil p L q ache el caso veoriale. Dao u veore aleaorio X =(X 1,...,X d ) avaloriir d ale che X L 1, si defiisce il veore media poedo E(X) :=(E(X 1 ),...,E(X d )) R d.seiolrex L, si defiisce la marice delle covariaze K = K(X) daa da K ij := Cov(X i,x j ), per 1 i, j d. La marice K è simmerica e semi-defiia posiiva: per ogi u R d si ha u, Ku, dove idichiamo co Ku l ordiario prodoo marice-veore, cioè (Ku) i = d j=1 K iju j, e dove x, y := d x iy i deoa il prodoo scalare sadard per x, y R d. Si ha ifai u, Ku = = d u i (Ku) i = d K ij u i u j = i,j=1 d Cov(X i,x j )u i u j i,j=1 d Cov(u i X i,u j X j )=Cov(u, X, u, X) = Var(u, X), i,j=1 avedo usao la biliearià dell operaore Cov(, ). Vedremo el paragrafo 1.7 che ogi marice reale K simmerica e semi-defiia posiiva è la marice delle covariaze di u opporuo veore aleaorio. Ricordiamo ifie che veore media e marice delle covariaze hao u comporameo semplice soo rasformazioi affii. Sia X L u veore aleaorio a valori i R d e Y := AX + b è u veore aleaorio i R m, co A marice reale m d e b R m, cioè Y i = d j=1 A ijx j + b i per ogi i =1,...,d.AlloraacheY L e si verifica facilmee che E(Y )=AE(X), K(Y )=AK(X)A,doveA idica la rasposa della marice A.

8 1.. PROBABILIÀ E VARIABILI ALEAORIE RICHIAMI DI PROBABILIÀ eoremi di covergeza. Richiamiamo di seguio i pricipali risulai di covergeza (validi i realà ache per ua misura P o di probabilià). eorema 1.3 (Covergeza moooa). Sia {X } N ua successioe q.c. crescee di variabili aleaorie reali posiive, defiie sullo sesso spazio di probabilià (Ω, F, P), che coverge q.c. verso la variabile aleaoria X; suppoiamo cioè che X (ω) X(ω) per q.o. ω Ω. AlloraE(X ) E(X). eorema 1.4 (Lemma di Faou). Sia {X } N ua successioe di variabili aleaorie reali, defiie sullo sesso spazio di probabilià (Ω, F, P), alichex (ω) per q.o. ω Ω (o più i geerale X (ω) Y (ω), coy variabile aleaoria reale iegrabile). Allora E(lim if X ) lim if E(X ). eorema 1.5 (Covergeza domiaa). Siao {X } N, X variabili aleaorie reali, defiie sullo sesso spazio di probabilià (Ω, F, P), alichex (ω) X(ω) per q.o. ω Ω. Suppoiamo che esisa ua variabile aleaoria posiiva Y iegrabile, ale cioè che E(Y ) <, chesoddisfi X (ω) Y (ω) per ogi N e per q.o. ω Ω. Allora E( X X ), cioè X X i L 1 ; i paricolare E(X ) E(X) Disuguagliaze. Ricordiamo la disuguagliaza di Marov: per ogi variabile aleaoria posiiva X e per ogi δ > si ha che P(X δ) E(X), (1.1) δ da cui segue la disuguagliaza di Chebychev: per ogi variabile aleaoria X L e per ogi δ > si ha che P( X E(X) > δ) Var(X) δ. (1.) La disuguagliaza di Jese afferma che per ogi variabile aleaoria reale X L 1 e per ogi fuzioe covessa ϕ : R R {+ } ale che ϕ(x) L 1 si ha ϕ(e(x)) E(ϕ(X)). (1.3) Dae due variabili aleaorie X L p e Y L q,co 1 p + 1 q =1,ladisuguagliaza di Hölder afferma che XY L 1 e si ha XY 1 X p Y q, o più espliciamee E( XY ) E( X p ) 1/p E( Y q ) 1/q. (1.4) Nel caso speciale p = q = 1 si ha la disuguagliaza di Cauchy-Schwarz Legge di ua variabile aleaoria Defiizioe di legge. Ua variabile aleaoria X :(Ω, F, P) (E,E) iduce su (E,E) ua probabilià µ X, dea legge (o misura immagie) di X, defiiada µ X (A) := P(X 1 (A)) = P(X A). La legge µ X descrive la probabilià co cui i possibili valori di X vegoo assui ed è alvola idicaa co P X 1. Si oi che, daa ua probabilià µ sullo spazio misurabile (E,E), la fuzioe ideià id :(E,E,µ) (E,E) èuavariabilealeaoriadileggeµ. Quesoèilprocedimeocaoicopercosruireuavariabile aleaoria a valori i (E,E) di legge µ assegaa. I paricolare, daa ua variabile aleaoria X :(Ω, F, P) (E,E), la fuzioe ideià id :(E,E,µ X) (E,E) èuavariabilealeaoriachehalasessaleggedix. Se le variabili aleaorie X, Y :(Ω, F, P) (E,E) soo q.c. uguali, cioè P(X = Y )=1, allora hao la sessa legge: ifai da X = Y q.c. segue che 1 {X A} = 1 {Y A} q.c. e duque µ X (A) =E(1 {X A} )=E(1 {Y A} )=µ Y (A), per ogi A E. Fodameale è il seguee eorema, oo come formula del cambio di variabili (o passaggio alla misura immagie). eorema 1.6 (Cambio di variabili). Sia X :(Ω, F, P) (E,E) ua variabile aleaoria e f :(E,E) R u applicazioe misurabile. La variabile aleaoria f(x) : (Ω, F, P) R è iegrabile se e solo se lo è la variabile aleaoria f :(E,E,µ X ) R, el qual caso si ha E(f(X)) = f(x(ω)) P(dω) = f(x) µ X (dx). Quesa formula è sempre valida se f. Ω Assolua coiuià. Dae due misure µ, ν sullo sesso spazio misurabile (E,E), si dice che µ è assoluamee coiua rispeo a ν se esise ua fuzioe misurabile posiiva f :(E,E) [, ), dea desià (o derivaa di Rado-Niodym), ale che µ(a) = E 1 A(x) f(x) ν(dx) per ogi A E, o equivaleemee ale che E g(x) µ(dx) = E g(x) f(x) ν(dx) per ogi g :(E,E) R+ misurabile posiiva. L assolua coiuià di µ rispeo a ν si idica co la oazioe µ ν; se si vuole idicare espliciamee la desià, si scrive µ = f ν, dµ = f dν oache dµ dν = f. Chiaramee se µ ν allora per ogi A ale che ν(a) =si ha µ(a) =. Il celebre eorema di Rado-Niodym afferma che ache il viceversa è vero Leggi su R d. Il caso che a oi ieressa di più è dao dalle leggi su R d che soo assoluamee coiue rispeo alla misura di Lebesgue, dee leggi assoluamee coiue ou cour. Per ua ale legge µ esise cioè ua desià f : R d [, ) ale che µ(a) = R d 1 A (x) f(x)dx per ogi A B(R), dovedx idica la misura di Lebesgue su R d. U veore aleaorio X avaloriir d è deo assoluamee coiuo se la sua legge µ X lo è. Idicado co f X la sua desià, dalla formula del cambio di variabili si oiee E(g(X)) = R d g(x) f X (x)dx, per ogi fuzioe misurabile e limiaa g : R d R. E

9 1.4. INDIPENDENZA E MISURA PRODOO RICHIAMI DI PROBABILIÀ Ua legge µ su R d (o, più i geerale, su u isieme arbirario) è dea discrea se è ua sovrapposizioe di misure di Dirac, cioè se esisoo {x i} i N, {p i} i N, cox i R d e p i [, 1], alicheµ = i N pi δx i (chiaramee i N pi =1). U veore aleaorio X avaloriird èdeodiscreoseloèlasualeggeµ X. I queso caso la formula del cambio di variabili divea E(g(X)) = g(x) µ R X(dx) = d i N pi g(xi) per ogi g : R d R +. La fuzioe p X : R [, 1] defiia da p X(x) := i N pi 1 {x i}(x) (cioè p X(x) =p i se x = x i per qualche i N e p X(x) =alrimei) è dea desià discrea o fuzioe di massa. Sia X u veore aleaorio d-dimesioale assoluamee coiuo, co desià f X.Se A è ua marice d d iveribile e b R d, il veore aleaorio Y := AX + b è acora assoluamee coiuo, co desià f Y (y) := de A 1 f X (A 1 (y b)). Quesa formula si può geeralizzare al caso i cui la rasformazioe affie x Ax + b sia sosiuia da u diffeomorfismo, ma o e avremo bisogo. Ricordiamo ifie che le misure di probabilià µ su R soo i corrispodeza biuivoca co le fuzioi F : R [, 1] crescei, coiue a desra e ali che lim x F (x) =e lim x + F (x) =1: la corrispodeza è semplicemee quella che associa a ua probabilià µ la sua fuzioe di riparizioe F (x) :=µ((,x]) Idipedeza e misura prodoo Probabilià codizioaa e idipedeza. Fissiamo uo spazio di probabilià (Ω, F, P). Dai due evei A, B F co P(B) >, si defiisce probabilià codizioaa di A dao B la quaià P(A B) :=P(A B)/ P(B). Iuiivamee, se si ha P(A B) =P(A), l eveo A si dice idipedee dall eveo B. Si oi che la codizioe P(A B) =P(A) si può riscrivere come P(A B) =P(A) P(B), che ha il vaaggio di essere simmerica i A e B e be posa ache se P(B) =. Si preferisce quidi dire che due evei A e B soo idipedei se e solo se P(A B) =P(A)P(B). Normalmee il passo successivo è di esedere quesa ozioe a più di due evei e successivamee di defiire l idipedeza di variabili aleaorie. Da u puo di visa coceuale risula però più coveiee defiire iaziuo l idipedeza di σ- algebre, perché l idipedeza di evei e di variabili aleaorie segue come caso paricolare. Procediamo duque i queso modo. Dae le σ-algebre F 1,...,F coeue i F, esse si dicoo idipedei se per ogi scela di evei A 1 F 1,...,A F,sihache P(A 1 A ) = P(A j ). (1.5) Dae le variabili aleaorie X 1,...,X, defiie su Ω a valori rispeivamee egli spazi (E 1, E 1 ),...,(E, E ), esse si dicoo idipedei se lo soo le σ-algebre da loro geerae σ(x 1 ),...,σ(x ). Ricordado che σ(x) ={{X B}, B E}, ciò sigifica che per ogi scela di evei B 1 E 1,...,B E si deve avere P(X 1 B 1,...,X B ) = j=1 P(X j B j ). j=1 Dai gli evei A 1,...,A di F, essi si dicoo idipedei se lo soo le σ-algebre σ({a 1 }),...,σ({a }) da essi geerae (o, equivaleemee, se lo soo le variabili aleaorie 1 A1,...,1 A ). Ricordado che σ({a}) ={, A, A c, Ω}, queso equivale a richiedere che per ogi scela di σ 1,...,σ {1,c} P(A σ1 1 Aσ ) = j=1 P(A σj j ), dove poiamo A 1 i := A i. Si può mosrare che ciò corrispode alla defiizioe classica di idipedeza di evei, cioè che per ogi sooisieme J {1,...,} si abbia P A j = P(A j ). j J j J Soo ache possibili euciai misi, sempre riducedosi alle σ-algebre: per esempio, ua variabile aleaoria X e ua σ-algebra G si dicoo idipedei se soo idipedei le σ-algebre {σ(x), G}, ecc. U osservazioe molo uile i praica è la seguee: dae le σ-algebre F 1,...,F,e daa, per ogi 1 i, uabase J i di F i,leσ-algebre F 1,...,F soo idipedei se e solo vale la relazioe (1.5) per A 1 J 1,...,A J (queso segue dal Lemma di Dyi; si veda la sezioe 1.8.1). Abbiamo defiio l idipedeza per u umero fiio di di σ-algebre F 1,...,F. L esesioe a ua famiglia ifiia è immediaa: le σ-algebre {F i } i I, co I isieme arbirario, si dicoo idipedei se lo è ogi soofamiglia fiia, cioè se le σ-algebre F i1,..., F i soo idipedei per ogi N e per ogi scela di i 1,...,i I. Imodo aalogo si defiisce l idipedeza di famiglie arbirarie di variabili aleaorie {X i } i I ed evei {A i } i I. Se le σ-algebre {F i } i I soo idipedei e se, per ogi i I, si cosidera ua σ- algebra G i F i,èchiarocheacheleσ-algebre {G i } i I soo idipedei. Ricordado che ua variabile aleaoria X i è F i -misurabile se e solo se σ(x i ) F i,sihaalloral uile osservazioe seguee: se le σ-algebre {F i } i I soo idipedei e se X i è ua variabile aleaoria F i -misurabile, per ogi i I, le variabili aleaorie {X i } i I soo idipedei. Cocludiamo euciado u risulao iuiivo (di frequee uso implicio): se le σ- algebre {F i } i I soo idipedei e se {I } K è ua parizioe dell isieme di idici I (cioè K I = I e I I = per = ), allora le σ-algebre {H := σ(f i,i I )} K soo idipedei Idipedeza e scorrelazioe. Se X e Y soo variabili aleaorie reali iegrabili idipedei, allora il prodoo XY è iegrabile e si ha E(XY ) =E(X) E(Y ); duque Cov(X, Y )=, cioè le variabili soo scorrelae. I paricolare, se X, Y L soo idipedei si ha che Var(X + Y )=Var(X)+Var(Y ). Il viceversa è falso i geerale. Soolieiamo che se X e Y soo variabili aleaorie reali iegrabili o idipedei, o è deo che XY sia iegrabile. Èsufficiee cosiderare Y = X co X L 1 \ L.

10 1.4. INDIPENDENZA E MISURA PRODOO RICHIAMI DI PROBABILIÀ Noiamo ache che se X e Y soo variabili aleaorie idipedei, lo soo ache ϕ(x) e ψ(y ), qualuque siao le applicazioi misurabili ϕ, ψ. I paricolare, se ϕ, ψ soo fuzioi reali misurabili e limiae, si ha E(ϕ(X)ψ(Y )) = E(ϕ(X)) E(ψ(Y )) Misura prodoo e eorema di Fubii. Dai due spazi di misura (E 1, E 1,µ 1 ), (E, E,µ ) fiii o σ-fiii, esise u uica misura µ = µ 1 µ sullo spazio prodoo (E 1 E, E 1 E ), dea misura prodoo, co la proprieà µ(a B) =µ 1 (A)µ (B) per ogi A E 1 e B E. Se E 1 = E = R e le misure µ 1, µ soo assoluamee coiue, co desià rispeive f 1, f, la misura prodoo è ach essa assoluamee coiua, co desià f(x 1,x ):=f 1 (x 1 ) f (x ). Quesi risulai si esedoo al prodoo di u umero fiio di spazi. Richiamiamo ora il eorema di Fubii. Siao µ 1 e µ misure σ-fiie su (E 1, E 1 ) e (E, E ) rispeivamee e sia µ := µ 1 µ la misura prodoo. Sia f :(E 1 E, E 1 E ) R ua fuzioe reale misurabile. Se f è µ-iegrabile (cioè E 1 E f dµ < ), oppure se f, valeche f dµ = f(x 1,x ) µ (dx ) µ 1 (dx 1 ) E 1 E E 1 E (1.6) = f(x 1,x ) µ 1 (dx 1 ) µ (dx ). E 1 E Esercizio 1.7. Si dimosri la formula E(Y )= P(Y > )d, valida per ogi variabile aleaoria reale posiiva Y. [Sugg.: SioicheY (ω) = 1 {<Y (ω)} d.] Dae due variabili aleaorie X 1, X defiie su (Ω, F, P) a valori rispeivamee i (E 1, E 1 ), (E, E ), idichiamo le loro leggi co µ X1, µ X. La coppia X =(X 1,X ) è ua variabile aleaoria a valori i (E 1 E, E 1 E ), la cui legge idichiamo co µ X. È facile vedere che X 1 e X soo idipedei se e solao se µ X = µ X1 µ X. Lo sesso vale per u umero fiio di variabili aleaorie X 1,...,X a valori egli spazi (E i, E i ):levariabili soo idipedei se e solao se la loro legge cogiua su ( E i, E i) è daa dal prodoo delle leggi margiali Successioi idipedei. È oo che, assegaa u arbiraria successioe di probabilià {µ } N su R, esise u opporuo spazio di probabilià (Ω, F, P) su cui è defiia ua successioe {X } N di variabili aleaorie reali idipedei ali che la legge di X sia µ. Ua cosruzioe ipica è richiamaa ella sezioe Lemma di Borel-Caelli. Daa ua successioe di evei {A } N di uo spazio di probabilià (Ω, F, P), si defiisce l eveo lim sup A := A = {ω Ω : ω A per ifiii } = 1 A =. N N Si ha allora l uilissimo L uicià segue dal fao che gli isiemi della forma A B, alvariaredia E 1 e B E,cosiuiscoo ua base di E 1 E. Lemma 1.8 (Borel-Caelli). Sia {A } N ua successioe di evei di uo spazio di probabilià (Ω, F, P). Se N P(A ) <, allorap(lim sup A )=. Se N P(A )= e iolre se A i e A j soo idipedei per ogi i = j, allora P(lim sup A )=1. Esercizio 1.9. Se {X } N soo variabili aleaorie i.i.d. co X Exp(λ), allora q.c. si ha lim sup X / log = λ Covoluzioe. Dae due probabilià µ, ν su R d eduevariabilialeaoriex e Y idipedei, le cui leggi siao rispeivamee µ e ν, lacovoluzioe di µ e ν, idicaacoµ ν, èperdefiizioelalegge della variabile aleaoria X + Y.PerogiisiemeA boreliao di R d si ha µ ν(a) = R d µ(a y)ν(dy) = R d ν(a y)µ(dy), chemosraral alrocomeµ ν dipeda solo da µ e ν eodallevariabilix e Y. Il caso più imporae è quello i cui le leggi µ e ν siao assoluamee coiue, co desià rispeivamee f e g. Iquesocasolaleggediµ ν èach essaassoluameecoiua,codesià h(x) = R d f(x y)g(y)dy = R d g(x y)f(y)dy, deacovoluzioedif e g eidicaacoh = f g Nozioi di covergeza Covergeza di misure. Sia (E,B(E)) uo spazio merico, co disaza d(, ), muio della σ-algebra boreliaa. Il caso ipico è dao da R d, co la disaza d idoa dalla orma euclidea: d(x, y) = x y = (x i y i ). Daa ua successioe di probabilià {µ } N su E, si dice che essa coverge debolmee verso la probabilià µ su E se per ogi fuzioe f : E R coiua e limiaa si ha che f dµ f dµ. Sebbee esisao alre ozioi di covergeza per successioi di misure, quesa è la più imporae e sarà l uica che cosidereremo Covergeza di variabili aleaorie. Cosideriamo ua famiglia di variabili aleaorie X :(Ω, F, P ) (E,B(E)), per N,eX :(Ω, F, P) (E,B(E)), defiie o ecessariamee sullo sesso spazio di probabilià, ma ue a valori ello sesso spazio merico E. Diremo che la successioe {X } N coverge i legge (o i disribuzioe) verso X se la successioe delle leggi µ X di X coverge debolmee verso la legge µ X di X. Usado la formula del cambio di variabili (eorema 1.6), ciò è equivalee a richiedere che E (f(x )) E(f(X)) per ogi fuzioe f : E R coiua e limiaa. Suppoiamo ora che le variabili aleaorie {X } N, X siao ue defiie sullo sesso spazio di probabilià (Ω, F, P) e assumao valori ello spazio merico (E,B(E)). Diremo che la successioe {X } N coverge i probabilià verso X se per ogi ε > si ha che P(d(X,X) > ε).

11 1.5. NOZIONI DI CONVERGENZA RICHIAMI DI PROBABILIÀ Diremo che la successioe {X } N coverge quasi ceramee (q.c.) verso X se esise A F co P(A) =1ale che per ogi ω A si ha X (ω) X(ω), cioè d(x (ω),x(ω)). Cosideriamo ifie il caso i cui le variabili aleaorie {X } N, X siao defiie sullo sesso spazio (Ω, F, P) e assumao valori i R d. Diremo che la successioe {X } N coverge verso X i L p se X X p, cioè se E( X X p ), dove idica la orma euclidea su R d. Si oi che, essedo X X q X X p se p q (Jese), la covergeza di X verso X i L p implica quella i L q. Dalla disuguagliaza riagolare si ha iolre che X p X p X X p, da cui si ricava che la covergeza i L p implica quella del momeo p-esimo. I defiiiva, X X i L p = E( X q ) E( X q ), per ogi 1 q p. (1.7) Proposizioe 1.1. Dae le variabili aleaorie X,X a valori i uo spazio merico E, valgoo le seguei relazioi: se X X q.c., allora X X i probabilià; se X X i L p,allorax X i probabilià; se X X i probabilià, allora esise ua soosuccessioe { } N ale che X X q.c.; se X X i probabilià, allora X X i legge. Dimosrazioe. Se X X q.c., si ha d(x,x) q.c. e duque 1 {d(x,x)>ε} q.c., per ogi ε >. Per covergeza domiaa si oiee duque P(d(X,X) > ε) = E(1 {d(x,x)>ε}), poiché 1 {d(x,x)>ε} 1. Di cosegueza X X i probabilià. Suppoiamo ora che X X i L p. I queso caso E = R d e d(x, y) = x y. Applicado la disuguagliaza di Marov, si ha P(d(X,X) > ε) =P( X X > ε) ε p E( X X p ) per ogi ε >, duquex X i probabilià. Facciamo ora l ipoesi che X X i probabilià. Fissiamo arbirariamee ua successioe {ε } N posiiva e ifiiesima, per esempio ε := 1. Per ogi fissao si ha P(d(X,X) > ε ) per, quidi possiamo defiire come il più piccolo valore di N per cui P(d(X,X) > ε ) 1. Per cosruzioe N P(d(X,X) > ε ) N 1 <, quidi per il Lemma di Borel-Caelli si ha che q.c. d(x,x) ε = 1 per grade, da cui segue che d(x,x) q.c. per.abbiamoduque deermiao ua successioe ( ) N per cui X X q.c.. Suppoiamo ifie che X X i probabilià e sia f : E R ua qualuque fuzioe coiua e limiaa. Vogliamo mosrare che E(f(X )) E(f(X)), da cui segue che X X i legge. Per u argomeo classico (vedi Lemma 1.11 più giù), è sufficiee mosrare che per ogi soosuccessioe { } N esise ua soo-soosuccessioe { } N ale che E(f(X )) E(f(X)). Viso che per ipoesi X X i probabilià, ache X X i probabilià. Per quao viso sopra, possiamo duque esrarre ua soosuccessioe { } N di { } N ale che X X q.c.. Di cosegueza ache f(x ) f(x) q.c., perché f è coiua, e la covergeza E(f(X )) E(f(X)) segue dal eorema di covergeza domiaa, poiché f è limiaa. Lemma Sia {x } N ua successioe i uo spazio opologico E. Suppoiamo esisa x E co la seguee proprieà: per ogi soosuccessioe {x } N esise ua soo-soosuccessioe {x } N di {x } N che coverge verso x. Allora la successioe complea {x } N coverge verso x. Dimosrazioe. La covergeza di {x } N verso x sigifica per defiizioe che per ogi apero A x esise < ale che x A per ogi. Da ciò segue che, se {x } N o covergesse verso x, esiserebbe u apero A x ale che x A per u isieme ifiio di idici { } N, che possiamo supporre crescee; ma allora dalla soosuccessioe {x } N o si porebbe esrarre essua soo-soosuccessioe che coverge a x, coro l ipoesi. Corollario 1.1. Siao X, {X } N variabili aleaorie reali ali che, per ogi soosuccessioe di {X } N, è possible esrarre ua soo-soosuccessioe che coverge a X i L p (risp. i probabilià). Allora {X } N coverge a X i L p (risp. i probabilià). Dimosrazioe. Èsufficiee applicare il Lemma 1.11 alla successioe {X } N L p, oppure alla successioe reale X X p (risp. alla successioe reale P(d(X,X) > ε), per ε > fissao). Osservazioe Cosideriamo uo spazio di probabilià (Ω, F, P) per cui le ozioi di covergeza i probabilià e covergeza q.c. siao disie, su cui si possa cioè defiire ua successioe di variabili aleaorie {X } N che coverge i probabilià ma o coverge q.c. (è il caso ipico di uo spazio di probabilià seza aomi). La Proposizioe 1.1 e il Lemma 1.11 mosrao che i queso caso o esise essua opologia sullo spazio delle variabili aleaorie defiie su (Ω, F, P) che iduca la ozioe di covergeza quasi cera. Ifai, grazie alla Proposizioe 1.1, sappiamo che da ogi soosuccessioe di {X } N si può esrarre ua soo-soosuccessioe che coverge q.c.; se la covergeza q.c. fosse idoa da ua opologia, per il Lemma 1.11 si dovrebbe avere che l iera successioe {X } N coverge q.c., cosa che abbiamo escluso per ipoesi. La covergeza i probabilià è ivece idoa da ua opologia, azi da ua pseudomerica: iroducedo la pseudodisaza δ(x, Y ):=E( X Y /(1 + X Y )) ra variabili aleaorie, o è difficile vedere che X X i probabilià se e solo se δ(x,x) Uleriori osservazioi. Se X X i legge e lo spazio d arrivo è polacco (cioè merico compleo e separabile), è possibile defiire su u opporuo spazio di probabilià (Ω, F, P) variabili aleaorie { X } { N} e X,colasessaleggerispeivameediX e X, aliche X X q.c. (eorema di Sorood). Dae leggi µ, µ su R co fuzioi di riparizioe rispeivamee F ( ), F ( ), lacovergezadebole di µ verso µ èequivaleeallacovergezadif (x) verso F (x) per ogi x R i cui F ( ) ècoiua. Ricordiamo ifie l euciao del eorema Limie Cerale: se {X } N èuasuccessioei.i.d.di variabili aleaorie reali co E(X )=, E(X )=1,alloraP(X X x ) Φ(x) per ogi Se (Ω, F, P) èuospaziodiprobabiliàicuiω èuisiemeumerabile,èfacilevederecheogi successioe covergee i probabilià coverge ache q.c.. Per la defiizioe di spazio pseudomerico, si veda il paragrafo 5.1 del capiolo 5.

12 1.6. FUNZIONI CARAERISICHE RICHIAMI DI PROBABILIÀ x R, doveφ( ) idica la fuzioe di riparizioe della legge ormale sadard (si oi che Φ( ) ècoiua i ogi x R). Possiamo duque riformulare il eorema Limie Cerale el modo seguee: la legge della variabile aleaoria (X X )/ coverge debolmee verso la legge ormale sadard Fuzioi caraerisiche Daa ua veore aleaorio X i R d e dea µ la sua legge, la fuzioe caraerisica (o rasformaa di Fourier) di µ (o, per esesioe, di X) è la fuzioe ˆµ : R d C defiia da ˆµ(ϑ) := E(e iϑ,x ) = e iϑ,x µ(dx), R d dove ricordiamo che a, b := d a ib i idica il prodoo scalare sadard su R d. È facile verificare che ˆµ( ) è ua fuzioe uiformemee coiua su R d e che ˆµ( ) 1. Le proprieà fodameali delle fuzioi caraerisiche soo le seguei: La fuzioe caraerisica ideifica la legge, cioè se due leggi µ, ν su R d soo ali che ˆµ(ϑ) =ˆν(ϑ) per ogi ϑ R d,alloraµ = ν. Siao X 1,...,X d variabili casuali reali, co legge rispeivamee µ 1,...,µ d ;idichiamo co µ la legge del veore aleaorio (X 1,...,X d ) su R d.alloralevariabili X 1,...,X d soo idipedei se e solo se ˆµ(ϑ) =ˆµ 1 (ϑ 1 ) ˆµ (ϑ d ) per ogi ϑ =(ϑ 1,...,ϑ d ) R d. Se ua successioe {µ } N di leggi su R d coverge debolmee verso la legge µ, si ha auralmee ˆµ (ϑ) ˆµ(ϑ) per ogi ϑ R d. Viceversa, se ˆµ (ϑ) ψ(ϑ) per ogi ϑ R d eseψ( ) ècoiuaizero,alloraψ( ) è la fuzioe caraerisica di ua probabilià µ su R d e µ µ debolmee (eorema di covergeza di Lévy) Leggi ormali Leggi ormali uivariae. Dai µ R e σ (, ), la legge ormale (o gaussiaa) di media µ e variaza σ, idicaa co N (µ, σ ),èlaprobabiliàsur assoluamee coiua co desià f(x) = 1 πσ e (x µ) σ. Si verifica che effeivamee la media e la variaza di quesa legge valgoo rispeivamee µ e σ, mere la fuzioe caraerisica vale e iϑx f(x)dx = e iϑµ 1 σ ϑ. R Se X 1,...,X d soo idipedei, è immediao verificare che ˆµ(ϑ) =ˆµ 1(ϑ 1) ˆµ (ϑ d) per ogi ϑ R d : queso mosra che ˆµ 1(ϑ 1) ˆµ (ϑ d) è la fuzioe caraerisica della legge prodoo µ 1 µ d.viceversa, se suppoiamo che ˆµ(ϑ) =ˆµ 1(ϑ 1) ˆµ (ϑ d) per ogi ϑ R d, dal fao che la fuzioe caraerisica ideifica la legge segue che µ = µ 1 µ d,duquex 1,...,X d soo idipedei. Ua variabile aleaoria reale X è dea ormale di media µ R e variaza σ, e scriveremo X N (µ, σ ), se lo è la sua legge, cioè se E(e iϑx ) = e iϑµ 1 σ ϑ. (1.8) Per esesioe, quado σ =defiiremo la legge N (µ, ) come la misura di Dirac coceraa el puo µ. Aalogamee, per ua variabile aleaoria X scriviamo X N (µ, ) se P(X = µ) =1. Si oi che media, variaza e fuzioe caraerisica soo cosisei co la oazioe. Quado µ =e σ =1parleremo di legge ormale sadard. Se X N (µ, σ ),alloraax + b N (aµ + b, a σ ), come si verifica facilmee. Se X N (µ x, σ x) e Y N (µ y, σ y) soo variabili aleaorie idipedei, per u, v R si calcola facilmee usado (1.8) E(e iϑ(ux+vy ) )=E(e iϑux )E(e iϑvy )=e iϑuµx 1 ϑ u σ x e iϑvµy 1 ϑ v σ y, da cui segue che ux +vy N (uµ x +vµ y,u σx+v σy). Aalogamee, se X 1,...,X soo variabili aleaorie idipedei co X i N (µ i, σi ), per ogi u R si ha che u ix i N ( u iµ i, u i σ i ). Queso mosra i paricolare che ogi combiazioe lieare di variabili ormali idipedei è ormale Leggi ormali mulivariae. U veore aleaorio X = (X 1,...,X d ) avaloriir d è deo ormale (o gaussiao) se ogi combiazioe lieare u, X := d u ix i delle sue compoei, dove u R d, è ua variabile aleaoria reale ormale. Ua probabilià su R d è dea ormale se è la legge di u veore aleaorio ormale. U esempio imporae: se X 1,...,X d soo variabili aleaorie reali ormali idipedei, allora X =(X 1,...,X d ) è u veore aleaorio ormale: ifai, come abbiamo viso, ogi combiazioe lieare delle variabili X 1,...,X d è ormale. I geerale, se X =(X 1,...,X d ) è u veore aleaorio ormale, segue dalla defiizioe che ciascua compoee X i è ua variabile aleaoria reale ormale. I paricolare, X i L e soo duque be defiii il veore media µ = E(X) =(E(X 1 ),...,E(X d )) e la marice delle covariaze K ij = K(X) ij := Cov(X i,x j ) di X. Diremo allora che il veore aleaorio X su R d (e, per esesioe, la sua legge) è ormale di media µ emarice delle covariaze K e scriveremo X N (µ, K). La fuzioe caraerisica di X si calcola facilmee: per defiizioe ϑ,x è ua variabile aleaoria reale ormale, per ogi ϑ R d, per cui applicado (1.8) si oiee E(e iϑ,x ) = e i E(ϑ,X) 1 Var(ϑ,X) = e iϑ,µ 1 ϑ,kϑ, (1.9) poiché E(ϑ,X) =ϑ,µ e Var(ϑ,X) =ϑ,kϑ. Queso mosra che, se u veore aleaorio X è ormale, la sua fuzioe caraerisica (e duque la sua legge) è deermiaa dal veore media µ e dalla marice delle covariaze K. Il viceversa o è vero. Ad esempio, se X e σ soo variabili aleaorie reali idipedei co X N (, 1) e P(σ =+1)=P(σ = 1) = 1,alloraY := σx N (, 1) ma (X, Y ) o è u veore ormale, perché X + Y =(1+σ)X o è ormale (ifai P(X + Y =)=P(σ = 1) = 1 ). Di cosegueza, X e Y o soo idipedei, ma Cov(X, Y )=(cf. il Lemma 1.14).