Capitolo VI. Risposta in frequenza

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1 Capitolo VI Risposta in frequenza Nel capitolo I è stata brevemente introdotta la risposta in frequenza di un amplificatore (o, meglio, di reti a singola costante di tempo). Si è anche accennato all effetto delle capacità sul comportamento in frequenza dei dispositivi. In questo capitolo si fa un breve riferimento alla frequenza complessa s ed ai concetti associati di poli e di zeri. Vengono poi trattate le risposte in frequenza (bassa e alta) di amplificatori in BJT e MOS a singolo stadio. Le risposte in frequenza di amplificatori multistadio si ricavano con le stesse procedure di analisi presentate in questo capitolo. Sebbene si tratti di tecniche di analisi, tuttavia se ne possono dedurre criteri di progetto in quanto si considerano i limiti della risposta in frequenza ed i metodi per estendere la larghezza di banda. 6.1 Analisi nel dominio s: poli, zeri e diagrammi di Bode Il problema principale consiste nel determinare il guadagno di tensione di un amplificatore come funzione di trasferimento nella variabile complessa s. Nel dominio s una capacità C è sostituita da un ammettenza sc o, equivalentemente, da un impedenza 1/sC mentre un induttanza L è sostituita da un impedenza sl. Quindi, usando tecniche di analisi convenzionali, si può derivare la funzione di trasferimento in tensione V(s) o T(s). Si può poi passare alle frequenze fisiche sostituendo s con jω; la funzione di V(s) i trasferimento T(jω) è una quantità complessa. Al variare di ω si può rappresentare la risposta di ampiezza e la risposta di fase dell amplificatore diagrammando l ampiezza e la fase di T(jω). La forma di T(s) può fornire molte utili informazioni sul circuito in esame. In molti casi, un espressione di T(s) può essere del tipo : m m 1 m + m n n 1 s + bn 1s b0 a s a s... a T(s) = (6.1) in cui i coefficienti a i e b j sono numeri reali e l ordine m del numeratore è minore o uguale all ordine n del denominatore; quest ultimo è chiamato ordine della rete. 203

2 Per garantire la stabilità di un amplificatore in modo che esso non generi segnali, i coefficienti del denominatore b j devono essere tali che le radici del denominatore abbiano parte reale negativa. Poli e zeri Un altro modo di esprimere T(s) è T(s) = a m ( s Z1)( s Z 2)...( s Zm) ( s P )( s P )...( s P ) 1 2 n (6.2) dove a m è una costante moltiplicativa, Z i sono le radici del polinomio al numeratore e P j sono le radici del polinomio al denominatore. Z i sono detti zeri della funzione di trasferimento o zeri di trasmissione e P j sono detti poli della funzione di trasferimento o modi naturali della rete. I poli e gli zeri possono essere sia numeri reali che complessi. Poiché i coefficienti a i e b j sono numeri reali, i poli complessi (o gli zeri) devono essere coppie coniugate. Uno zero immaginario puro (± jωz) annulla T(jω) per ω = ω Z. Infatti il numeratore avrà i fattori (s+jω Z )(s-jω Z ) = s 2 + ω 2 Z che, per frequenze fisiche, vale (-ω 2 + ω 2 Z ). Perciò T(jω) è zero per ω = ω Z. Ad esempio, il circuito d ingresso di un televisore ha lo zero in corrispondenza delle frequenze di interferenza. Uno zero reale non porta a T = 0. Infine, si noti che per valori di s che sono molto più grandi di quelli dei poli e degli zeri, la funzione di trasferimento diventa a T(s)!, che ha (n m ) zeri a s =. m n m s Funzioni del primo ordine La funzione di trasferimento del primo ordine è quella di una rete STC ed assume la forma generale as+ a T(s) = s +ω (6.3) in cui ω 0 è la posizione del polo reale. La quantità ω 0, detta frequenza di polo, è pari all inverso della costante di tempo di una rete STC. Le costanti a 0 e a 1 determinano il tipo di rete STC. 204

3 Per reti passa-basso del primo ordine si ha a0 T(s) = s +ω 0 (6.4). In questo caso il guadagno dc è a 0 /ω 0 e ω 0 è la frequenza a 3dB. Questa funzione di trasferimento ha uno zero a s =. La funzione di trasferimento di reti passa-alto del primo ordine è as 1 T(s) = s +ω 0 (6.5). Diagrammi di Bode Tali diagrammi servono a rappresentare l ampiezza e la fase di una funzione di trasferimento. Se si considera la forma della funzione di trasferimento espressa dalla (6.2) si può vedere che T(s) è un prodotto di fattori (s + a). Da questo segue che la risposta d ampiezza in db della rete può essere ottenuta sommando i termini del tipo 20log a +ω oppure ω 20 log10 1+ a 2 se si estrae a. La risposta di fase si ottiene sommando i termini della forma 1 tan ( ω / a). In entrambi i casi i termini corrispondenti ai poli si sommano con i segni negativi. Un diagramma di Bode di un tipico termine di ampiezza è riportato in figura 6.1. Figura 6.1 Diagramma di Bode di un tipico termine d ampiezza 205

4 L asintoto a bassa frequenza è una linea orizzontale a 0 db e l asintoto ad alta frequenza è una linea retta con pendenza di 6dB/ottava (o, equivalentemente, 20dB/decade). I due asintoti si intersecano in corrispondenza della frequenza ω 3dB = a che è detta corner frequency. Per ottenere il diagramma di Bode per l ampiezza di una funzione di trasferimento, si tracciano prima gli asintoti per ciascun polo e zero. La pendenza dell asintoto della curva ad alta frequenza per uno zero è +20dB/decade mentre per un polo è 20dB/decade. I diversi plot sono poi sommati e l intera curva è spostata verticalmente di una quantità determinata dalla costante moltiplicativa della funzione di trasferimento. La figura 6.2 riporta il diagramma di Bode relativo alla fase; nel caso specifico a è stato assunto negativo. Figura 6.2 Diagramma di Bode di un tipico termine di fase L andamento asintotico è costituito da tra segmenti: il primo è orizzontale a φ = 0 e si estende fino a ω= 0.1 a, il secondo ha una pendenza di 45 /decade e si estende da ω= 0.1 a fino a ω= 10 a ed il terzo ha pendenza nulla al livello φ = -90. La risposta di fase completa può essere ottenuta sommando i diagrammi asintotici della fase di tutti i poli e zeri. 6.2 Funzione di trasferimento di un amplificatore Si considerino le funzioni guadagno di tensione delle due forme mostrate in figura

5 Figura 6.3 Risposta in frequenza per (a) amplificatore dc e (b) amplificatore accoppiato capacitivamente Le tre bande di frequenza Come si può vedere dalla Fig. 6.3b, il guadagno dell amplificatore è quasi una costante su un ampio intervallo di frequenza chiamato banda intermedia. In questo intervallo di frequenze tutte le capacità (di accoppiamento, di bypass ed interne del transistore) hanno effetti trascurabili e possono essere ignorate nel calcolo del guadagno. All estremità dello spettro ad alta frequenza il guadagno si abbassa a causa dell effetto delle capacità interne del dispositivo. All estremità a bassa frequenza dello spettro le capacità di accoppiamento e di bypass non funzionano più da corto circuiti e questo provoca una caduta del guadagno. L estensione della banda intermedia è definita dalle due frequenze limite ω L e ω H. Queste sono le frequenze alle quali il guadagno scende di 3dB rispetto al valore della banda intermedia. La larghezza di banda dell amplificatore è generalmente definita come BW =ω H ω L (6.6) e, poiché, ω L << ω H, si può porre BW! ω H (6.7). Una figura di merito dell amplificatore è il suo prodotto guadagno-larghezza di banda, definito come: GB = A M ω H (6.8) 207

6 dove A M è l ampiezza del guadagno nella banda intermedia. La funzione guadagno A(s) Il guadagno dell amplificatore in funzione della frequenza complessa s può essere espresso nella forma generale A(s) = A F (s)f (s) M L H (6.9) dove F L (s) e F H (s) sono funzioni che tengono conto della dipendenza del guadagno dalla frequenza, rispettivamente, nella banda a bassa frequenza e nella banda ad alta frequenza. Per ω >> ω L si ha F L (ω) 1; se ω << ω H F H (s) 1. Infine, per ω L << ω << ω H A(s) A M. A basse frequenze A(s) A M F L (s) mentre alle alte frequenze A(s) A M F H (s). Il guadagno nella banda intermedia è determinato analizzando il circuito equivalente dell amplificatore con l ipotesi che le capacità di accoppiamento e di bypass agiscano da corto circuiti e che le capacità interne del modello del transistore si comportino come circuiti aperti. La funzione di trasferimento a bassa frequenza, A L (s), è determinata dall analisi del circuito equivalente dell amplificatore includendo le capacità di accoppiamento ed di bypass ma ipotizzando che le capacità del modello del transistore si comportino come circuiti aperti. La funzione di trasferimento ad alta frequenza, A H (s), è determinata dall analisi del circuito equivalente dell amplificatore includendo le capacità del modello del transistore ma ipotizzando che le capacità di accoppiamento e di bypass si comportino come corto circuiti. In figura 6.4 è riportata una rappresentazione schematica di quanto appena detto. Figura 6.4 Le tre bande di frequenza che caratterizzano la risposta in frequenza di amplificatori accoppiati capacitivamente 208

7 Risposta a bassa frequenza La funzione di trasferimento F L (s) che caratterizza la risposta a bassa frequenza di un amplificatore assume la forma generale F(s) = L ( s+ω Z1)( s+ω Z2 )"( s+ωzn ) L ( s+ω P1)( s+ω P2 )"( s+ωpn ) L (6.10) dove ω P1, ω P2, ω PnL sono numeri positivi che rappresentano le frequenze degli n L poli a bassa frequenza e ω Z1, ω Z2, ω ZnL sono numeri positivi, negativi o nulli che rappresentano gli n L zeri. Si può notare che quando s tende a, F L (s) tende a 1. La zona di bassa frequenza di interesse per il progettista è quella intorno a ω L, che è più prossima alle frequenze intermedie, poiché nel progetto bisogna stimare e, se necessario, modificare ω L. Spesso gli zeri sono a frequenze molto più basse di ω L. E poiché di solito uno dei due poli (ω P1 ) ha una frequenza molto più elevata di quella degli altri poli, vicino alla banda intermedia, si può scrivere: s F(s) L! s +ω P1 (6.11) che è la funzione di trasferimento di una rete passa-alto del primo ordine. In questo caso ω L ω P1 perché la risposta in frequenza è dominata dal polo. Questa approssimazione detta del polo dominante è un modo semplice per determinare ω L. Diversamente è necessario considerare il diagramma di Bode completo di F( L ω ) e determinare ω L. Se non esiste un polo dominante a bassa frequenza, può essere ricavata una formula approssimata per ω L in termini di poli e zeri. Per semplicità si consideri il caso di un circuito avente due poli e due zeri nella banda a bassa frequenza; cioè: F(s) = L ( s+ω Z1 )( s+ωz2) ( s+ω )( s+ω ) P1 P2 (6.12). Sostituendo s = jω ed elevando al quadrato si ha 209

8 ( ω +ωz1)( ω +ωz2 ) ( P1)( P2 ) 2 L F(j ω ) = ω +ω ω +ω (6.13). Per definizione per ω = ω L, si ha 2 1 F( L ω ) =, quindi 2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Z1 Z2 1 1/ L Z1 Z2 1/ L Z1 Z2 1 ω +ω ω +ω + ω ω +ω + ω ω ω = = 2 ω +ω ω +ω 1+ 1/ ω ω +ω + 1/ ω ω ω P1 P2 L P1 P2 L P1 P2 (6.14). Poiché ω L è generalmente più grande delle frequenze di tutti i poli e gli zeri, si può trascurare il termine (1/ω L 4 ) e si risolve per ω L ottenendo L! P1 P2 2 Z1 2 Z2 ω ω +ω ω ω (6.15) Questa relazione può essere estesa ad un qualsiasi numero di poli e zeri. Se uno dei poli è dominante, ad esempio P 1, allora ω P1 >> ω P2, ω Z1, ω Z2 e ω L ω P1. Risposta ad alta frequenza La funzione di trasferimento F H (s) che caratterizza la risposta ad alta frequenza di un amplificatore può essere espressa nella forma generale F (s) = H ( 1+ s/ ω Z1 )( 1+ s/ ω Z2 )"( 1+ s/ ωzn ) H ( 1+ s/ ω P1)( 1+ s/ ω P2 )"( 1+ s/ ωpn ) H (6.16) dove ω P1, ω P2, ω PnH sono numeri positivi che rappresentano le frequenze degli n H poli reali ad alta frequenza e ω Z1, ω Z2, ω ZnH sono numeri positivi, negativi o infiniti che rappresentano gli n H zeri ad alta frequenza. Si può notare che quando s tende a 0, F H (s) tende a 1. La zona di alta frequenza di interesse per il progettista è quella intorno a ω H, che è più prossima alle frequenze intermedie, poiché nel progetto bisogna stimare e, se necessario, modificare ω H. Spesso gli zeri sono sia a frequenze infinite che talmente elevate da essere poco significativi 210

9 nella determinazione di ω H. E poiché di solito uno dei poli (ω P1 ) ha una frequenza molto più elevata di quella degli altri poli, la risposta ad alta frequenza dell amplificatore sarà determinata da quel polo: 1 F H(s)! 1+ s/ ω P1 (6.17) che è la funzione di trasferimento di una rete passa-basso del primo ordine. Se esiste un polo dominante ad alta frequenza si ha ω H ω P1. Se non esiste un polo dominante ad alta frequenza, ω H può essere determinata dal diagramma di F H ( ω ). Alternativamente si considera una formula approssimata per ω H in termini di poli e zeri in modo analogo a quanto fatto nel caso di bassa frequenza. La formula per ω H è ω! 1 + " " (6.18) H ωp1 ωp2 ωz1 ωz2 Se uno dei poli è dominante, ad esempio P 1, allora ω P1 << ω P2, ω P3,, ω Z1, ω Z2,.e ω H ω P1. Determinazione di ω L e di ω H con le costanti di tempo a circuito aperto e in corto circuito Questa tecnica si usa quando non è facile esprimere la T(s) in termini di poli e zeri. Si può dimostrare che, in presenza di un polo dominante: ω 1! CR H n H i i io (6.19) R io è la resistenza vista da C i con tutti gli altri condensatori aperti ed n H è il numero dei poli in alta frequenza. Analogamente ω L n L 1! CR i i is (6.20) 211

10 Per valutare il contributo di C i tutti gli altri condensatori sono in corto circuito, R is è la resistenza vista da C i ; n L è il numero di poli in bassa frequenza. 6.3 Risposta in bassa frequenza di amplificatori ad emettitore comune La figura 6.5 mostra un amplificatore ad emettitore comune accoppiato capacitivamente. Figura 6.5 Stadio amplificatore ad emettitore comune L analisi della risposta a bassa frequenza dell amplificatore ad emettitore comune è complicata dal fatto che il BJT ha un valore di β finito. Nello specifico, si noti che a basse frequenze l impedenza d ingresso dell amplificatore include l effetto di C E e, quindi, C C1 e C E interagiscono. La figura 6.6 mostra il circuito equivalente a bassa frequenza dell amplificatore ad emettitore comune, che comprende condensatori di accoppiamento e di bypass. Usando il metodo delle costanti di tempo di corto circuito si può ottenere la frequenza ω L. La procedura per determinare ω L è la seguente. Si pone V s = 0 e C E = C C2 = si determina la resistenza R C1 vista da C C1. Dal circuito equivalente di Fig. 6.6 con C E pari a si trova ( ) RC1 = Rs + R B // rx + r π (6.21) 212

11 Figura 6.6 Circuito equivalente dell amplificatore di Fig. 6.5 a bassa frequenza Poi si pongono C C1 e C C2 a e si determina la resistenza R E vista da C E. Dal circuito equivalente in Fig. 6.6 si ottiene ( ) rπ r R //R R' E = R E // + + β + 1 x B s 0 con r o = (6.22). Infine, si pongono C C1 e C E a e si ottiene la resistenza vista da C C2 : ( ) R = R + R //r C2 L C o (6.23) Un valore approssimato per la frequenza a 3dB può essere determinato dall equazione (6.20): ω L! + + C R C R' C R C1 C1 E E C2 C2 (6.24). Nota la desiderata ω L, poiché generalmente R E è la più piccola delle tre resistenze R C1, R C2, R E si sceglie C E in modo 1/C E R E sia il termine dominante, 1/C E R E 0.8 ω L cioè C E è il polo dominante a bassa frequenza. Il rimanente 20% è diviso equamente sugli altri due termini. Valori tipici sono: C C1 3µF; C C2 2µF; C E 50µF; R C1, R C1, R E dell ordine dei KΩ. 213

12 6.4 Risposta in alta frequenza di amplificatori common-source (CS) e common emitter (CE) La figura 6.7 mostra un amplificatore MOSFET a CS ed un amplificatore BJT a CE. Figura 6.7 (a) Amplificatore MOSFET CS; (b) amplificatore BJT CE Si possono fare le seguenti osservazioni. - La presenza di un generatore a corrente costante agevola lo studio del comportamento del circuito. - La messa a terra del segnale (al source o all emettitore) è ottenuta mediante una grande capacità di by-pass. Questo condensatore non c è se il circuito rappresenta la metà di un amplificatore differenziale. - La sorgente di segnale V s (con R s ) può rappresentare la sorgente o l equivalente di Thévenin del circuito all ingresso, compreso l eventuale circuito di polarizzazione e l uscita del circuito che precede. - R L è la resistenza complessiva tra il drain (o il collettore) e la massa e quindi include R D (R C nel circuito CE) Circuiti equivalenti per l analisi in alta frequenza Sostituendo il FET in Fig. 6.7a con il suo modello circuitale equivalente in alta frequenza si ottiene il circuito equivalente riportato nella figura seguente. 214

13 Figura 6.8 (a)circuito equivalente per l analisi in alta frequenza del circuito di Fig. 6.7a; (b) circuito semplificato Un ulteriore semplificazione si ottiene combinando R L e r o in un unica resistenza R L = R L //r o come è mostrato in Fig. 6.8b; tale rappresentazione circuitale può essere usata anche per determinare la risposta in alta frequenza del circuito di Fig. 6.7b. A tal fine si sostituisce il BJT con il suo modello circuitale equivalente a π ibrido in alta frequenza, ottenendo così il circuito di figura 6.9. Figura 6.9 (a)circuito equivalente per l analisi in alta frequenza del circuito di Fig. 6.7b; (b) circuito semplificato Si applica il teorema di Thévenin all ingresso per sostituire V s, R s, r π con la sorgente equivalente V s e R s : π V' s = Vs R s + r x + r π e r (6.25) 215

14 ( ) R s' Rs r x //r π = + (6.26) e si combinano R L e r o nell unica resistenza R L = R L //r o. Il circuito equivalente è quello mostrato in Fig. 6.9b che è identico nella struttura a quello dell amplificatore CS riportato in Fig. 6.8b. Quindi è sufficiente analizzare il circuito CS e poi cambiare i parametri per riportare i risultati anche nel caso CE. Teorema di Miller Si consideri la situazione mostrata in figura Figura 6.10 Teorema di Miller Si identificano i nodi 1 e 2, insieme con il terminale di terra di una particolare rete. Tra i nodi 1 e 2 è presente un ammettenza Y. I nodi 1 e 2 possono essere connessi ad altri componenti ad altri nodi della rete. Il teorema di Miller fornisce i mezzi per sostituire l ammettenza Y di ponte con due ammettenze: Y 1 tra il nodo 1 e la massa e Y 2 tra il nodo 2 e la massa, come mostrato in Fig. 6.10b. Tale sostituzione è basata sulla premessa che sia possibile determinare il guadagno di tensione tra il V2 nodo 1 ed il nodo 2, indicato con K, dove K. Se K è noto, i valori di Y 1 e di Y 2 possono V 1 essere determinati come segue. Facendo riferimento al circuito in Fig. 6.10a: V2 I1 = Y( V1 V2) = YV1 1 = YV1( 1 K). V1 Per il circuito di Fig. 6.10b: YV 1 1 = I1. Combinando le relazioni precedenti si ha: 216

15 1 ( ) Y = Y 1 K (6.27). In modo analogo si ha: V1 1 I2 = Y( V2 V1) = YV2 1 = YV2 1. V2 K Dal circuito di Fig. 6.10b: YV = I Le due relazioni precedenti portano a: 1 Y2 = Y 1 K (6.28). Le due relazioni (6.27) e (6.28) sono le due condizioni necessarie e sufficienti affinché la rete di Fig. 6.10b si equivalente a quella di Fig. 6.10a. Il teorema di Miller è usato per determinare l impedenza di ingresso o il guadagno di un amplificatore. Esso non può essere usato per determinare l impedenza d uscita perché è valido purché le condizioni del circuito non cambino passando dal circuito di Fig. 6.10a a quello di fig. 6.10b. Analisi della risposta in alta frequenza Il circuito riportato in Fig. 6.8b è ridisegnato nella forma in figura 6.11a, usata per determinare la frequenza ω H. La piccola capacità C gd dà origine ad una capacità di ingresso tra gate e massa nella forma 1 gd ( ) C = C 1 K ; questa capacità ha una valore piuttosto elevato che sicuramente limiterà la risposta dell amplificatore. L effetto di moltiplicazione di C gd è noto come effetto di Miller. La capacità C gd è piccola quindi la corrente in essa è molto più piccola di quella del generatore controllato g m V gs. Perciò, trascurando la corrente attraverso C gd si ha: V! g V R ' o m gs L (6.29). 217

16 Figura 6.11 Circuiti equivalenti per la valutazione della risposta in alta frequenza di un amplificatore CS Usando il rapporto delle tensioni ai due lati di C gd, (V o /V gs ), si può sostituire C gd con la capacità equivalente di Miller data da ( ) C = C 1+ g R ' eq gd m L (6.30) come mostrato in Fig. 6.11b. Il circuito sul lato d ingresso è un filtro passa-basso del primo ordine la cui costante di tempo è determinata dalla capacità totale di ingresso ( ) C = C + C 1+ g R ' T gs gd m L (6.31) e dalla resistenza del generatore di segnale R s. Questo circuito del primo ordine determina la risposta in alta frequenza dell amplificatore CS, introducendo un polo ad alta frequenza. Quindi la frequenza superiore a 3dB ω H è data da 218

17 1 ω H = (6.32) C R T s ed il guadagno in alta frequenza può essere espressa come 1 + ω A H(s) = AM 1 s/ H (6.33) in cui A M rappresenta il guadagno nella banda intermedia. La piccola capacità C gd gioca un ruolo importante nella determinazione della risposta in alta frequenza dell amplificatore CS. g m R L è numericamente grande (praticamente uguale ad A M ) perciò la capacità equivalente di Miller è grande. Per aumentare ω H si può ridurre g m R L oppure ridurre R s e ciò non è sempre possibile. Un altro modo sarebbe quello di usare configurazioni circuitali che non soffrono effetto Miller, come per esempio la configurazione cascode. 6.5 Risposta ad alta frequenza di amplificatori CB La figura 6.12 mostra un amplificatore a base comune in cui il generatore di segnale è accoppiato all emettitore per mezzo di un condensatore di capacità elevata. Figura 6.12 Stadio amplificatore a base comune 219

18 Analogamente a quanto visto nel caso di un amplificatore CE, V s e R s rappresentano i parametri equivalenti di Thévenin del circuito che alimenta l amplificatore CB e può includere resistori di polarizzazione del transistore Q. R L rappresenta la resistenza totale tra il collettore e la massa. Il circuito equivalente ad alta frequenza dell amplificatore a base comune è mostrato in figura 6.13; per semplicità r o e r x sono state omesse. Figura 6.13 (a) Circuito equivalente dell amplificatore CB di Fig. 6.12; (b) versione semplificata Nel circuito di Fig. 6.13a si osservi che la tensione al terminale di emettitore V e è pari a V π. Scrivendo l equazione di nodo all emettitore si può esprimere la corrente di emettitore I e come 1 1 Ie = V π + sc gmv Ve gm sc r π π = + + r π. π π Quindi, l ammettenza d ingresso all emettitore è: Ie 1 1 = + gm + scπ = + scπ (6.34). V r r e π e 220

19 Quindi all ingresso del circuito il transistore può essere sostituito dalla sua ammettenza d ingresso, come mostrato in Fig. 6.13b. La tensione V o è determinata dal generatore di corrente g m V π che alimenta (R L //C µ ); questo porta alla semplificazione della parte d uscita del circuito in Fig. 6.13b. Il circuito semplificato in Fig. 6.13b mostra un importante caratteristica della configurazione CB: l assenza di una capacità interna di retroazione (non c è effetto Miller). Perciò la frequenza superiore di cutoff sarà maggiore di quella della configurazione CE. I poli ad alta frequenza possono essere determinati direttamente dal circuito equivalente di Fig. 6.13b. All ingresso si ha un polo la cui frequenza è ω P1 = C π ( r //R ) e 1 s (6.35) Poiché r e generalmente è piccola la frequenza ω P1 è abbastanza alta. All uscita si avrà un polo di frequenza 1 ω P2 = CR µ L (6.36). Poiché C µ è abbastanza piccola la frequenza ω P2 è abbastanza alta. I poli per un amplificatore CG possono essere determinati usando le due relazioni precedenti in cui C π è sostituita da C gs, r e è sostituita da 1/g m e C µ è sostituita da C gd. 6.6 Risposta in frequenza di amplificatori inseguitore di emettitore(cc) ed inseguitore di source (CD) Si consideri il circuito inseguitore di emettitore riportato in figura 6.14a, in cui R s rappresenta la resistenza del generatore e R E rappresenta la combinazione della resistenza di polarizzazione dell emettitore e della resistenza di carico. Il circuito equivalente in alta frequenza è mostrato in Fig. 6.14b ed è ridisegnato in Fig. 6.14c. 221

20 Figura 6.14 Analisi in alta frequenza dell inseguitore di emettitore 222

21 Dall analisi del circuito si trova che la funzione di trasferimento ha due poli ed uno zero reale: V(s) 1+ s/ ω V (s) 1+ s/ 1+ s/ o Z = AM i P1 P2 ( ω )( ω ) (6.37) Questo tipo di analisi, però, non rivela la presenza di un polo dominante. Si può procedere in modo alternativo. Dalla Fig. 6.14c si ha V = (g + y )V R (6.38) o m π π E dove y π 1 = +scπ. r π Quindi V o sarà nulla in corrispondenza del valore di s che rende V π = 0 e del valore di s per cui (g m + y π ) = 0. A sua volta V π sarà nulla in corrispondenza del valore di s che rende z π = 0 o, equivalentemente, y π =, quindi s =. Questo è uno zero di trasmissione. L altro zero di trasmissione si ottiene da g m + yπ = 0 cioè 1 g m + + szcπ = 0 r π che porta a gm + 1/rπ 1 s= z - = - C C r π π e! ω (6.39). T Poiché la frequenza di questo zero è piuttosto alta, esso gioca un ruolo minore nella determinazione della risposta dell inseguitore di emettitore. Nella maggior parte delle applicazioni R s è elevata e con la capacità di ingresso costituisce un polo dominante. Per vedere questo più chiaramente si consideri il circuito di figura 7.14c e si invochi il teorema di source-absorption. In tal caso la parte di circuito sotto la linea tratteggiata può essere sostituito dalla sua impedenza equivalente Quindi: Z eq V. o yv π π 223

22 Z eq = ( + ) g y R m y π π E (6.40). Si noti che Z eq è semplicemente R E riflessa dalla parte della base attraverso l uso di una forma generalizzata della regola di riflessione: R E è moltiplicata per (h fe + 1). L impedenza totale tra B e la massa è 1 1+ g R Z = + Z = + R. m E b' eq E yπ yπ Come mostrato in Fig. 6.15d, questa impedenza può essere rappresentata da una resistenza R E in serie ad una rete RC che consiste di una resistenza (1 + g m R E )r π in parallelo con una capacità Cπ/(1 + g m R E ). Poiché l impedenza del circuito parallelo RC è generalmente molto più grande di R E, si può trascurare quest ultima impedenza ottenendo una rete STC passa-basso, che ha un polo espresso da: Cπ ω P = Cµ + R s'// ( 1+ gmre) rπ 1 gmr + E 1 (6.41). La frequenza associata a questo polo è molto alta per cui l inseguitore di emettitore ha una grande larghezza di banda. Gli stessi risultati valgono per il MOSFET sostituendo R s con R s, r π con, C µ con C gd e C π con C gs. 224