3) impossibilità di un esatta previsione delle resistenze per l aleatorietà insita nelle caratteristiche del materiale; 4) impossibilità di un esatta

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1 Metodi di verifica Se in una verifica, definita semplicemente attraverso un confronto tra la variabile resistenza R e la variabile sollecitazione S, queste due variabili sono rappresentabili come valori deterministici, esisterebbe un solo tipo di verifica, consistente nel verificarsi della condizione R> S. In pratica però esistono tante cause che fanno sì che queste due variabili non possano essere rappresentate agevolmente da variabili deterministiche, pensando di operare sempre a vantaggio di sicurezza: 1) impossibilità di un esatta previsione delle sollecitazioni dovuta all impossibilità di prevedere esattamente i carichi sulla struttura, soprattutto per quanto riguarda i carichi variabili e le loro combinazioni; 2) impossibilità di un esatta previsione delle sollecitazioni dovuta alla non perfetta corrispondenza del modello matematico con la corrispondente struttura;

2 3) impossibilità di un esatta previsione delle resistenze per l aleatorietà insita nelle caratteristiche del materiale; 4) impossibilità di un esatta previsione delle resistenze per le inevitabili variazioni delle caratteristiche meccaniche del materiale con cui è realizzata la struttura rispetto a quello utilizzato nelle prove; 5) adeguatezza dei criteri di resistenza utilizzati per gli stati tensionali piani e tridimensionali; 6) possibili errori in fase di impostazione e di svolgimento dell analisi strutturale; 7) possibili errori in fase di montaggio e/o esecuzione.

3 Quanto detto sopra implica che R ed S debbano essere correttamente rappresentate da variabili aleatorie, definite attraverso la conoscenza delle corrispondenti densità di probabilità.

4 Un metodo di verifica è corretto se garantisce che, considerati due valori di calcolo per la resistenza ( R d ) e la sollecitazione ( S d ), la condizione di verifica positiva Rd > Sd implica che la probabilità di crisi P C sia inferiore ad una probabilità di riferimento P t, corrispondente alla condizione di crisi di cui si effettua la verifica, cioè: [ ] R > S implica P S R = P P d d C t [ ] R S implica P S R = P > P d d C t verifica positiva verifica negativa Il valore della probabilità di crisi di riferimento P t viene definito in funzione delle conseguenze che la crisi strutturale può determinare. Per esempio la normativa danese individua tre classi di sicurezza per le strutture e tre classi di tipologie di crisi, associando a ciascuna combinazione un dato valore di P t.

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6 Dato per scontato che S e R siano aleatorie, quali valori di calcolo S d e R bisogna loro assegnare affinché la condizione R d > S d implichi una d probabilità di crisi valori medi µ R e µ S? PC P? Possono tali valori coincidere coi rispettivi t Tenendo conto che, nell ipotesi comunemente accettabile che le due variabili siano indipendenti, la probabilità di crisi è rappresentata dall area in comune fra le due densità di probabilità, la risposta non può che essere negativa.

7 Questo è il motivo per cui, persino nel metodo di verifica alle tensioni ammissibili, le resistenze e le sollecitazioni vengono rappresentate attraverso i cosiddetti valori caratteristici. Per valore caratteristico della resistenza ( R k ) si intende il frattile inferiore al 5% di R, cioè quel valore di R che ha il 5% di possibilità di non essere superato da tutti i possibili valori di R. Per valore caratteristico della sollecitazione ( k S ) si intende invece il frattile superiore al 5% di S, cioè quel valore di S che ha il 5% di possibilità di essere superato da tutti i possibili valori di S.

8 Possono R k ed S k essere considerati come valori di calcolo? Sebbene la probabilità di crisi si sia notevolmente ridotta rispetto al caso precedente, si nota che la sua entità è sicuramente maggiore di quei valori che generalmente caratterizzano la probabilità di crisi di 3 riferimento (non più grande di 10 ). Se a ciò si aggiunge che solo alcune delle succitate cause che rendono aleatorie le due variabili sono prese in considerazione dai valori caratteristici, appare evidente che nemmeno questi ultimi possono essere considerati come valori di calcolo. È necessario scegliere dei valori tali che la condizione R d = S d sposti la densità di probabilità di R verso destra, ovvero la densità di probabilità di S verso sinistra, ovvero entrambi.

9 Metodo alle tensioni ammissibili È noto che tale metodo considera i carichi sulle strutture con il loro valore caratteristico, per cui assume S d = S k. Mentre, considerando come resistenza di calcolo le tensioni ammissibili σ amm = σ 0 / s (s= coefficiente di sicurezza), si assume che Rd = Rk / s. Per cui, applicando il metodo delle tensioni ammissibili sostanzialmente si sposta verso destra la densità di probabilità di R. La verifica alle tensioni ammissibili ha il pregio evidente della semplicità e della chiarezza. Presenta però tanti difetti. Oltre a quello evidente di effettuare la verifica nel punto più sollecitato della struttura, presenta l inconveniente di concentrare tutte le incertezze non incluse nei valori caratteristici in un unico coefficiente di sicurezza s, determinato tra l altro tramite procedure empiriche. Ciò fa sì che, in alcuni casi, s sia insufficiente, mentre in altri sia eccessivamente grande. Inoltre tale tipo di verifica non consente di associare un corrispondente valore di affidabilità.

10 Metodo semiprobabilistico Spesso questo metodo è impropriamente denominato metodo agli stati limite, sebbene quello di considerare vari stati limite, cioè varie condizioni di crisi, non è una caratteristica peculiare di questo metodo. Generalmente gli stati limite si differenziano in stato limite ultimo (SLU) e stati limite di esercizio (SLE). Lo SLU definisce quella condizione della struttura in cui la struttura stessa non è in grado di sopportare ulteriori incrementi di carico senza precluderne la stabilità. Ad esempio, nell Ordinanza PCM 3274 relative alle strutture in zona sismica lo SLU viene definito come quella condizione nella quale sotto l effetto dell azione sismica di progetto definita al successivo punto 3, caratterizzata da una probabilità di superamento non maggiore del 10% in 50 anni, le strutture degli edifici, ivi compresi gli eventuali dispositivi antisismici di isolamento e/o dissipazione, pur subendo danni di grave entità agli elementi strutturali e non strutturali, devono mantenere una residua resistenza e rigidezza nei

11 confronti delle azioni orizzontali e l intera capacità portante nei confronti dei carichi verticali. Gli SLE sono legati ad una data funzionalità della struttura, definiscono, cioè, quelle condizioni nelle quali ulteriori incrementi di carico inficiano una data funzione per la quale la struttura è stata progettata. Per esempio, tra gli SLE è da annoverare lo stato limite di danno (SLD) considerato nell Ordinanza 3274, definito come quella condizione nella quale Le costruzioni nel loro complesso, includendo gli elementi strutturali e quelli non strutturali, ivi comprese le apparecchiature rilevanti alla funzione dell edificio, non devono subire danni gravi ed interruzioni d uso in conseguenza di eventi sismici che abbiano una probabilità di occorrenza più elevata di quella della azione sismica di progetto, ma non maggiore del 50% in 50 anni, e che hanno quindi una significativa probabilità di verificarsi più di una volta nel corso della durata utile dell opera; i danni strutturali sono di entità trascurabile.

12 Come già detto, comunque, la considerazione di varie condizioni di crisi non è una caratteristica esclusiva del metodo semiprobabilistico, la cui caratteristica peculiare è invece quella di considerare dei coefficienti di sicurezza parziali sia per le sollecitazioni, che vengono amplificate rispetto ai loro valori caratteristici, che per le resistenze, che invece vengono ridotte rispetto al loro valore caratteristico. Ciò implica un contemporaneo spostamento delle densità di probabilità della resistenza (verso destra) e della sollecitazione (verso sinistra). Tali coefficienti vengono esplicitamente fissati dalle normative, in funzione innanzi tutto dello stato limite in considerazione, in modo tale che l intersezione delle due densità determini una probabilità di crisi più piccola di quella di riferimento P t.

13 In particolare, per le resistenze il valore di calcolo R d viene definito come: Rk Rd = γ R dove il coefficiente parziale γ R è fissato dalle norme, oltre che in funzione dello stato limite, anche del materiale con cui è realizzata la struttura e dalla tipologia strutturale. Per esempio, negli SLE viene generalmente posto γ R = 1.

14 Nello SLU si distingue il caso del calcestruzzo, per il quale: f ck Rbk f = cd ; γ c γ = γ = 1.4 (se rigorosamente dosato e controllato) c c dal caso dell acciaio, per il quale: 1.3 (per c.a.) f yk f yd = ; γ s = 1.2 (per c.a.p.) γ s 1.15 (se controllato) Per quanto riguarda le sollecitazioni di calcolo, ciascuna delle azioni di calcolo F viene amplificata da un opportuno coefficiente parziale γ, i dipendente, oltre che dallo stato limite, anche dal tipo di azione (per esempio permanente o variabile) e dall importanza della struttura (ospedale, civile abitazione, etc.). Se sulla struttura agiscono più azioni, la sollecitazione di calcolo verrà valutata considerando: 1) la combinazione più gravosa; 2) la non contemporaneità dei carichi variabili. Fi

15 La seconda condizione viene tenuta in conto attraverso l applicazione di opportuni coefficienti riduttivi ψ, definiti coefficienti di combinazione, Fi che dipendono dallo stato limite e dal tipo di carico. Ad esempio, l applicazione dell analisi allo stato limite ultimo per carichi verticali secondo quanto previsto dal DM 16/1/96 prevede la seguente combinazione dei carichi: N q γ ggk + γq Qjk + ψ0iqik dove i j= 1 G è il valore caratteristico del carico permanente e k γ g il corrispondente coefficiente di amplificazione che vale 1.5 o 1.0 secondo che la presenza del carico sia sfavorevole o meno; Q ik è il valore caratteristico del generico carico variabile; Q jk è il valore caratteristico del carico variabile primario della j-esima combinazione (fra le N q che devono essere considerate); ψ 0i è il coefficiente di combinazione relativo a Q ik; γ q è il coefficiente di amplificazione che vale 1.5 o 0 secondo che la presenza dei carichi variabili sia sfavorevole o meno.

16 Nell ipotesi in cui la struttura ha comportamento lineare e su di essa agisce un solo carico F i, è evidente che qualunque sollecitazione risulta proporzionale al carico, per cui: S = γ S d Fi k essendo S k il valore della sollecitazione corrispondente al valore caratteristico dell azione. La verifica effettuata sui valori di calcolo impone: Rk Rk R > S γ S S i γ > γ γ > d d F k k R R F dalla quale si evince che il coefficiente di sicurezza risulta dalla combinazione di più coefficienti parziali. i

17 L avere frazionato il coefficiente di sicurezza, anche se apparentemente sembra un operazione che appesantisce inutilmente la verifica, presenta nella realtà il grande vantaggio di 1) avere un maggiore controllo sulle variabili del problema; 2) potere differenziare il coefficiente di sicurezza in funzione dello stato limite, del tipo del materiale, della tipologia strutturale, dell importanza della struttura, del tipo di carichi, etc.

18 Metodo beta (o del secondo ordine) Si tratta di un vero e proprio metodo probabilistico. Risulta comunque approssimato in quanto le variabili di resistenza e di sollecitazione vengono approssimate come variabili aleatorie gaussiane, anche se in generale non lo sono. Viene definita una variabile esito gaussiana definita come: Z = R S per cui è possibile valutare la probabilità di crisi P C come segue: dove si è posto β µ P C È facile verificare che imporre 1 µ Z 1 = erf erf 2 σ = Z 2 ( β ) Z =. Da tale coefficiente deriva il nome del metodo. σ Z PC t P, che è la condizione soddisfatta la quale la verifica è positiva, implica imporre che β β t dove il valore di β t è strettamente connesso al valore di P t.

19 Nelle norme in cui è ammesso questo tipo di verifica, per esempio in quella danese, i valori di β t sono assegnati corrispondentemente ai valori di P t, in funzione del tipo di crisi (tipo di stato limite) e dell importanza della struttura. In particolare, per gli SLU si hanno valori di β t compresi tra 4.5 e 5, mentre per gli SLE compresi tra 2.5 e 3. La verifica quindi si semplifica nel soddisfacimento della condizione µ Z β β t µ Z βσ t Z σ = Z cioè che il valor medio della variabile esito si più grande di zero di una quantità almeno pari al prodotto della sua deviazione standard per il valore di riferimento di β. Il metodo beta di verifica è anche chiamato metodo del secondo ordine perché si basa sulla conoscenza delle statistiche fino al secondo ordine delle variabili R ed S.

20 Metodi di ordine superiore Il metodo di verifica del terzo ordine si basa sulla valutazione esatta della probabilità di crisi P C e quindi dal confronto diretto PC P t. È evidente che se la variabile esito è effettivamente gaussiana i metodi del secondo e del terzo ordine conducono ai medesimi risultati. Esiste, infine, anche un metodo di verifica del quarto ordine nel quale interviene un altra variabile fondamentale, soprattutto nei problemi di progetto, che è la variabile costo. Per cui l applicazione di questo metodo consente di individuare la scelta progettuale, fra quelle caratterizzate dalla medesima probabilità di crisi P C, come quella che presenta il minor costo.