TECNICA DELLE COSTRUZIONI

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1 TECNICA DELLE COTUZIONI icurezza strutturale 1

2 icurezza strutturale equisito fondamentale in ogni operazione di: 1. progettazione 2. costruzione 3. utilizzazione delle opere strutturali Metodi di valutazione della sicurezza che consentano di verificarne la positività in tutti gli stati in cui verrà a trovarsi la struttura Misura positiva della sicurezza nei diversi stati struttura affidabile 2

3 deterministici tensioni ammissibili calcolo a rottura Metodi di misura della sicurezza nelle costruzioni di livello 3 probabilistici di livello 2 di livello 1 (semiprobabilistico) 3

4 Metodo delle tensioni ammissibili La misura della sicurezza avviene nello spazio delle tensioni. e k γ o anche e k γ 4

5 e e k k γ γ rappresenta la combinazione tensionale (tensione ideale) cui si fa riferimento nel caso di stati di sollecitazione combinati tensione puntuale nel materiale dovuta alle azioni di esercizio e valutata con analisi elastica lineare in presenza di qualunque tipo di azione (dirette e indirette) frattile 5% della distribuzione di frequenza delle resistenze it (resistenza i t caratteristica) ti ) tensione ammissibile coefficiente di sicurezza 5

6 vantaggi del metodo delle tensioni ammissibili 1. sollecitazioni valutate in modo deterministico senza considerare alcuna incertezza e/o aleatorietà 2. elasticità lineare che non consente di tener conto di fenomeni anelastici e reologici (fessurazione, fluage,...) e della eventuale non-linearità di comportamento del materiale 3. coefficienti di sicurezza necessariamente ampi perchè devono coprire tutte le cause di incertezza lato azioni e resistenze effetto psicologico pericoloso 4. misura reale della sicurezza artificiosa o impossibile 6

7 Vantaggi del metodo delle tensioni ammissibili 1. facilità di determinazione delle sollecitazioni per la possibilità di applicare il principio di sovrapposizione degli effetti 2. facilità nell individuazione id ione delle combinazioni ioni di carico più gravose (linee di influenza) 3. buona attendibilità (in campo statico) delle sollecitazioni determinate nei campi usuali di impiego 4. buon comportamento nelle numerose strutture realizzate 7

8 Metodo di calcolo a rottura La misura della sicurezza avviene nello spazio delle forze. γ u A e A u 8

9 e distinguendo le azioni permanenti G : e G e +γ u A e A u con : G e A e A u γ u azioni permanenti di esercizio azioni variabili di esercizio azioni variabili ultime coefficiente di sicurezza ultimo 9

10 vantaggi del metodo di calcolo a rottura 1. misura della sicurezza ancora deterministica 2. non valuta le condizioni di esercizio 3. coefficienti di sicurezza necessariamente ampi perchè devono coprire tutte tte le cause di incertezza lato azioni e resistenze effetto psicologico pericoloso 10

11 Vantaggi del metodo di calcolo a rottura 1. possibilità di presa in conto di fenomeni anelastici o reologici o di non-linearità di comportamento dei materiali 2. valutazione corretta degli effetti delle deformazioni impresse 3. possibilità di controllo sperimentale della sicurezza ultima In ogni caso entrambi i metodi deterministici presentano notevoli lacune nella valutazione della sicurezza strutturale 11

12 Condizione di stato limite In ambito strutturale, il concetto di stato limite legato ad uno specifico requisito è interpretabile come uno stato della struttura, raggiunto il quale, essa non è in grado di soddisfare il requisito. Il requisito di stato limite divide lo spazio n -dimensionale in un dominio di insuccesso (nel quale il requisito non è soddisfatto) e in un dominio di successo, detto anche dominio di sicurezza (nel quale il requisito è soddisfatto); il confine tra i due domini è detto stato limite. i definisce probabilità di insuccesso la probabilità di non soddisfacimento del requisito di stato limite. 12

13 Funzione di stato limite La funzione di stato limite è la rappresentazione analitica della condizione di stato limite. Quindi, la funzione di stato limite esprime analiticamente una condizione raggiunta la quale, la struttura non può più svolgere le funzioni o non soddisfa più le condizioni per cui è stata progettata. 13

14 Metodo probabilistico di livello 3 La misura della sicurezza nei confronti di un generico stato consiste nella determinazione della relativa probabilità di insuccesso P r e nel suo confronto con un valore di riferimento sufficientemente piccolo prefissato P * r P r * P r 14

15 rottura fragile (acciaio in trazione, cls in compressione, terreno, instabilità,...) * P r rottura duttile (acciaio o c.a. in flessione, cedimenti fondali,...) condizioni di esercizio (deformazioni, fessurazione, vibrazione, i...) 15

16 ia il vettore rappresentativo delle n variabili aleatorie che intervengono nella definizione della sicurezza; sia inoltre f la funzione di densità di probabilità congiunta delle n variabili aleatorie, tali che: f... dx ( x1, x2,..., xn ) dx1dx2 n P [( x < 1 x1 + dx1 ) ( x2 < 2 x2 + dx2 ) 1... ( x n < n xn + dxn )]... 16

17 ' e è noto il dominio di insuccesso D r, la probabilità di insuccesso P r può essere immediatamente calcolata, come la probabilità che il vettore si trovi all interno ' di : D r P r f ( x1, x2,..., xn ) dx1 dx2... dx ' D r n Ammesso di poter separare le n variabili aleatorie in favorevoli e sfavorevoli, si possono definire le due variabili aleatorie ed, tali che: g (,,..., ) ( 1 2 m g ( m + 1, m + 2,...,, n ) 17

18 Pertanto, considerata la variabile aleatoria E-, la probabilità di insuccesso è calcolata nel seguente modo: P r { E } P f ( r, s) drds 0, ' D r (1) con : ' D r f, dominio di insuccesso (insicurezza), nel quale cioè e 0 densità di probabilità congiunta delle due variabili aleatorie ed 18

19 19

20 Integrando la (1) per strisce si ha: 1. in orizzontale P, ds dr (2) + + r f ( r, s) r 2. in verticale P + s r f, ( r, s) dr ds (3) 20

21 e ed sono indipendenti, la probabilità congiunta f, ( r, s) corrisponde al prodotto delle probabilità semplici: f, ( r, s) f ( r) f ( s) quindi la (2) e la (3) diventano: P r f ( r) f ( s) ds dr f ( r) 1 F ( r) r P [ ] dr + s + f r dr ( s) f ( ) ds f ( s ) F ( s ds r ) 21

22 ed, in rappresentazione grafica: in orizzontale 22

23 in verticale 23

24 Qualora ed, oltre che indipendenti, abbiano anche distribuzione normale: ( ) N μ ; σ μ valore medio N N ( μ ; σ ) σ scarto quadratico medio anche la variabile aleatoria Z- è normale: Z ( μ ; σ ) N Z μ Z ; Z erisulta μ μ μ e Z σ σ + σ Z

25 La probabilità di esito negativo vale: P{ Z } r 0 P 0 f Z ( z ) dz Z μz Utilizzando la variabile normale standard U, σ è sostituita da N e si ottiene: Z N μ ; σ ( 0;1 ) Z ( ) Z Z + U β μ / σ N U P r f ( u) du 1 FU Z Z ( β ) P ( β ) r 25

26 Utilizzando le variabili standardizzate ridotte: ϕ μ σ ψ μ σ si ottiene ϕσ + μ, ψσ + μ, ϕσ μ + μ ψσ μ 0 o anche: ϕσ ψσ + ( μ μ ) 0 etta di distanza d dall origine con: d μ σ 2 μ + σ 2 β 26

27 d μ σ 2 μ + σ 2 β 27

28 μ Z σ Z Il coefficiente β è l indice di sicurezza e corrisponde all inverso del coefficiente di variazione della variabile σ aleatoria Z Z c Z μz μ μ μz μ μ μ μ γ 0 1 β σ Z σ + σ σ σ γ 0c + c μ μ μ con γ 0 coefficiente di sicurezza centrale μ μ isulta P P ( γ 0, c, c ) r r r, s 28

29 Utilizzando le precedenti relazioni i per coppie di valori ( c r, c s ) si possono disegnare le curve P r P r ( ) γ 0 i può notare come per valori elevati di cr (curve 9 16 ) anche un sensibile aumento di γ 0 non riesca a confinare P entro valori sufficientemente bassi P r 29

30 Per valori bassi di cr (curve 1 8 ) risulta invece significa - tiva la variabilità di. Il coefficiente di sicurezza centrale non è pertanto un buon indice per la misura della sicurezza. 30

31 i possono definire ulteriori coefficienti di sicurezza: p k k k γ coefficiente di sicurezza caratteristico k d ffi i di i di l l k d d γ coefficiente di sicurezza di calcolo k k c k c k k k γ 0 μ μ μ μ σ μ σ μ γ k c k k μ μ σ μ d d 1 k d d c k c d k d γ 0 μ μ μ μ σ μ σ μ γ 31

32 k e d individuano id i frattili Per distribuzione normale: k k k d

33 Utilizzando le espressioni precedenti è possibile tracciare la probabilità P in funzione di γ e γ al variare di c e c s r k d r 33

34 i può osservare che utilizzando, il fascio di curve è ancora molto aperto, quindi valgono, anche se in modo ridotto, le osservazioni già fatte per. γ k γ 0 γ k Pertanto non è un buon indice per misurare la sicurezza a collasso. 34

35 γ Nel caso di d, si osserva che con i valori usuali di (curve 9 12 ) un valore di γ d 1. 5 comporta una 4 probabilità di rottura compresa tra 5 10 e 10 5, quindi sensibilmente costante. cr 35

36 γ d Pertanto può essere utilizzato come parametro per la valutazione della sicurezza. Il metodo di livello 3 risulta però di difficile applicabilità per la mancata conoscenza delle leggi di distribuzione di frequenza delle variabili aleatorie da prendere in conto. i utilizza per scopi scientifici e di taratura dei metodi approssimati di livello inferiore. 36

37 Metodo probabilistico di livello 2 1. difficoltà operative del livello 3 superate con il livello 2 2. la funzione di. L. g(s, r)0 è approssimata: a) g(s, r)0 lineare o linearizzata FOM b) g(s, r)0 non lineare e approssimata con funzione di secondo ordine OM FOM (First Order econd Moment) (MVFOM) FOM AFOM (Advanced First Order econd Moment) 37

38 - FOM ignora la legge di distribuzione delle variabili casuali - AFOM considera la legge di distribuzione delle variabili casuali a1) FOM (MVFOM): basato su una approssimazione di primo ordine in serie di Taylor della funzione di. L. linearizzata ai valori medi ed usa solo medie e covarianze delle variabili casuali (normali e lognormali) Z g( ) g(, 2,..., 1 n ) 38

39 viluppando in serie di Taylor nell intorno dei valori medi: Z n g g( μ + ( )+ ) i μ i i 1 i 1 2 n n + i 1 j 1 2 g i j ( μ )( μ ) +... i j i j da cui: μ Z g μ, μ,..., μ σ ( 1 2 n n n 2 g Z i 1 j 1 i g cov ( ) i, j j ) 39

40 La covarianza di due variabili casuali, è il momento j del 2 ordine rispetto alle rispettive medie e e le variabili sono indipendenti: d n g 2 i 2 σ Z Var ( i ) i 1 μ i σ Valutati e si ottiene β Z Z μ Z σ Z i μ i μ j β r P r ( β ) P 1 1,282 2,326 3,090 3,719 4,265 4,753 5,

41 a2) AFOM (Hasofer-Lind per variabili normali): usa le variabili bl normali standard d i μ ' i i i1 1, 2,, n σ i ' i ha media nulla e deviazione i standard d unitaria i β HL L indice di sicurezza è definito it come distanza minima dall origine degli assi rispetto alla superficie di.l. 41

42 β HL μ σ 2 μ + σ 2 ' μ ' μ σ σ 42

43 ' ' La funzione di. L. è: σ σ + μ μ 0 AFOM e FOM danno valori coincidenti se ed sono normali e la funzione di. L. è lineare Per funzioni di. L. non lineari, la determinazione di β diventa un problema di ottimizzazione. i può utilizzare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. β HL 43

44 * * n g x 2 * 1 n i i i HL x β 1 n i i g 44

45 b) OM (econd Order eliability Method) 45

46 Entrambe le approssimazioni i i delle funzioni i di. L. hanno la stessa distanza β e l approccio di FOM fornisce lo stesso livello di sicurezza. In realtà la probabilità di rottura dell approssimazione non lineare della funzione dovrebbe essere minore per via della sua forma. FOM ignora la curvatura della funzione di. L. perchè usa un approssimazione di solo 1 ordine. 46

47 OM migliora l approccio di FOM includendo informazioni sulla curvatura della funzione di. L. Lo sviluppo in serie di Taylor di una funzione non lineare g ( ) g(,,..., ) nell intorno del valore 1 2 ( n * * * x ) vale: 1, x2,..., xn g ( * * * ) + ( * x, x x x x ) + g( 1, 2,..., n) g 1 2,..., n n i 1 n n 2 1 g i i j j x x + ( *)( * x x x x ) +... i 1 j 1 i x j OM tiene conto delle derivate di secondo ordine mentrefomsifermaaquelladi1 a ordine i i i 47

48 econdo Breitung, la probabilità di insuccesso può essere calcolata come: P n 1 1 Φ( ) ( + ) 2 f β 1 β k i i 1 dove k i sono le curvature principali nel punto di minima distanza e è valutato tramite FOM. β 48

49 Tecniche c e di simulazione Le tecniche di simulazione consentono di valutare la probabilità di insuccesso nel caso di funzioni di. L. esplicite ed implicite. La tecnica di simulazione più nota è il Metodo Montecarlo; consiste nei seguenti passi: - definizione del problema considerando tutte le variabili casuali - quantificazione ione di tutte tte le variabili casuali ali tramite le PDF - generazione dei valori delle variabili casuali - valutazione deterministica per ogni insieme di valori delle variabili casuali (sperimentazione numerica) - valutazione di informazioni probabilistiche da N valutazioni - valutazione dell accuratezza ed efficienza della simulazione 49

50 La generazione dei valori delle variabili casuali avviene tramite un generatore di numeri casuali, compresi tra 0 e 1. Il numero casuale generato viene eguagliato al corrispondente valore della CDF della variabile considerata e tramite questa si perviene al valore della variabile casuale tramite la PDF. La probabilità di insuccesso si calcola come: P f N f N casi sfavorevoli (g < 0) casi totali investigati 50

51 e si valuta una probabilità di insuccesso pari a 10-5 solo 1/10-5 casi sarà sfavorevole, si raccomanda quindi di utilizzare almeno 10x simulazioni per ogni variabile casuale. 51

52 Metodo probabilistico di livello 1 La misura della sicurezza in un generico stato si effettua confrontando due valori significativi di ed (anziché le leggi complete di n variabili aleatorie) detti valori di calcolo. g ( x x x ),..., d g 1, 2,, d ET ET m ET ( x x x ) g,..., m+1, m+ 2 ET ET verificando che risulti: n ET d d 52

53 La scelta dei valori estremi, in linea di principio, si effettua maggiorando le n-m variabili () e minorando le m variabili (). 53

54 Per le resistenze si assumono i frattili 0.05: F x ( ) i i E T. INF. Per le sollecitazioni si assumono i frattili 0.95: F ( x ) i i ET.UP. 54

55 Il metodo, detto dei valori estremi, non tiene conto delle aleatorietà ed incertezze dei legami funzionali g (...) e... g ( ) L utilizzazione ad litteram della procedura può talvolta comportare dei problemi di coerenza, ad esempio quando un azione interviene nello stesso tempo lato sollecitazioni e lato resistenze, in quanto dovrebbe essere, allo stesso tempo maggiorata e minorata! Il problema si risolve in tali casi assumendo per tale azione un valore deterministico anzichè due valori estremi. 55

56 Metodo semi-probabilistico agli stati limite Con tale metodo, alcune delle variabili aleatorie da cui dipende la misura della sicurezza, vengono assunte come deterministiche i ti e l effetto della loro aleatorietà tà ed incertezza è coperto dall introduzione di un coefficiente di sicurezza γ (ne esistono di 3 tipi) γ m γ f γ n lato resistenze (mmateriale) lato sollecitazioni (fforze) fattore di comportamento 56

57 Il metodo deriva in principio p da quello di livello 1 ed è quindi definito semi-probabilistico. Il termini stati limite sottolinea la necessità di effettuare la verifica nei riguardi di tuttitti gli stati ti che possono portare a comportamento insoddisfacente la struttura. In particolare si assumono: - le dimensioni geometriche come deterministiche - il legame funzionale g (... ) come deterministico,,per la vasta messe di risultati sperimentali disponibili. In alcuni meccanismi complessi si introduce γ n γ d a valle del calcolo l 1 d d (incertezza di modello) γ d γ m con opportuna graduazione (riduzione) del coefficiente m 57

58 - lato resistenza le variabili aleatorie considerate sono le resistenze a rottura dei materiali ( f ) cui si applica c, f y il coefficiente γ m - il legame funzionale g (...) è assunto deterministico, i ti per cui si rende necessaria l introduzione dei coefficienti γ f che ne tengano conto. Anche in questo caso è possibile introdurre l incertezza di modello con γ n γ d d γ d d e γ f viene graduato di conseguenza 58

59 - lato sollecitazioni le uniche variabili aleatorie considerate sono le azioni (A) di cui si considera la statistica dei massimi, per cui è necessaria l introduzione i dei coefficienti i γ, nonchè di ulteriori i f coefficienti ψ (coefficienti di combinazione) che tengono conto del riferimento unitario alla statistica dei massimi Per le uniche variabili aleatorie considerate (f ed A) si assumono i valori caratteristici f k (frattile 5%), A (frattile 95%). A k 59

60 Per le altre cause di aleatorietà si introducono: - esistenze f d f γ k γ m - ollecitazioni A γ f i ψ i k i i Formulazioni pratiche per costruzioni in c.a., c.a.p., acciaio 60

61 Calcolo dei frattili per distribuzione normale e log-normale I valori caratteristici (k) e di progetto (d) sono valutati come frattili delle distribuzioni: ib i i - frattile 5% per resistenza caratteristica - frattile 0.1% per resistenza di calcolo 61

62 Per distribuzione normale: k d μ 1. 64σ μ 3. 09σ Per distribuzione log-normale (asimmetrica) occorre valutare il coefficiente di skewness (obliquità) : α α 3 3V + V con V σ μ coefficiente di variazione 62

63 Il valore caratteristico o di calcolo si valutano quindi con le espressioni: [ 2 2 ( )] k ln 1+ V / V μ exp + ik oppure d i p, 0 1 dove k p,0 0 è il coefficiente della distribuzione normale per lo stesso frattile (1.64 o 3.09) V μ exp ( k V ) con < 0. 2 i p, 0 63

64 Esempio: calcestruzzo con μ 30 MPa, V < 0.20 σ 5 MPa Log-normale k 30 exp ( ) 22.8 MPa (scelta consigliata) 30 exp ( ) 17.9 MPa d Normale k d MPa MPa 64

65 appresentazione unitaria dei metodi di verifica della sicurezza (A. Migliacci) 65

66 Livello 3: P r f, ( r, s ) ' 2 D drds * Livello 2: ηe β σ E P P { E 0 } Livello 1: punto M 1 Tensioni ammissibili: punto M isulta << d perchè la sicurezza sulle azioni è trasferita sulle resistenze. e η P r quindi M è più prossimo all origine di M1 66