La filosofia del metodo agli stati limite, il concetto di sicurezza, la probabilità degli eventi Capitolo 2 delle Norme

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Claudia Montanari
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1 La filosofia del metodo agli stati limite, il concetto di sicurezza, la probabilità degli eventi Capitolo delle Norme Prof. Franco Mola Dipartimento di Ingegneria Strutturale

2 La sicurezza strutturale STRUTTURA SEZIONE AZIONI SOLLECITAZIONI SFORZI 1 1 Analisi strutturale lineare, non lineare geometrica meccanica Nelle strutture staticamente determinate, geometricamente lineari, l analisi strutturale è sempre lineare Analisi sezionale lineare, non lineare La sezione è staticamente indeterminata. L analisi sezionale è lineare solo se lo è la legge costitutiva dei materiali che la formano

3 I criteri di misura della sicurezza strutturale 3 1. Il criterio della limitazione dello stato tensionale (criterio delle tensioni ammissibili) 1.1 Analisi strutturale in campo elastico lineare, meccanicamente lineare. La non linearità geometrica è computata all interno di un comportamento elastico lineare dei materiali e della struttura 1. Analisi sezionale Generalmente in campo elastico non lineare, quale conseguenza di ipotesi restrittive sul comportamento del calcestruzzo, assunto quale materiale non resistente a trazione 1.3 La prescrizione 1. da luogo a situazioni che possono apparire contraddittorie e non ben computabili 1.4 Diseguaglianze di misure R R σ σ= ; f ( σij) σ id = γ γ

4 Le due basi dei metodi probabilistici 4 1. Trattamento statistico del problema della sicurezza. Misura della sicurezza nei confronti di più stati limite Il problema 1 è complesso e non risolubile in maniera completa. Esso viene trattato attraverso opportune approssimazioni. Frequente la trattazione semi-probabilistica nel format EC, imposto anche dalle Norme Tecniche. Il problema è legato alla conoscenza della modellazione della struttura e della sezione in calcestruzzo armato e presollecitato. Esso richiede una sempre più avanzata cultura e approfondimento di conoscenza da parte del progettista strutturale.

5 I metodi probabilistici 5 1. I sistemi capacità C, domanda D, e la misura della sicurezza {C<D} = evento sfavorevole P {C D} = P f ; P f sufficientemente piccola. Nell ambito delle sicurezza strutturale C = R (resistenza) ; D = S (sollecitazione) P f = P {R<S} 3. Nell ambito strutturale R, S vanno definiti con riferimento a più stati di comportamento o prestazionalità. In ciascuno di questi stati la disuguaglianza di sicurezza può essere o non essere soddisfatta P fi = P i {R i <S i } Quando P fi raggiunge valori non compatibili, la struttura non soddisfa l i-esimo stato

6 La misura probabilistica della sicurezza Basi teoriche 6 R, S: Variabili aleatorie ( ) = { < + } f d dp X d b { } ( ) ( ) P a X b = f d=f b -F(a) a { } = ( ) = ( ) P X f d F f - f() F() 1 F() F(0)=P{P<0} f() F(0) +d

7 7 valore medio: varianza: mediana: = m - ( ) ( ) m - - ( moda: f'()=0 f() = σ = f d (parametro di posizione) ( ) (- ) f d (parametro di dispersione) f d=0.5 m

8 Variabile aleatoria normale 8 Variabile aleatoria normale 1 (- m ) f()= ep πσ σ ( = = m F() si ricava dalle tabelle normali

9 Variabile aleatoria stardard ridotta 9 Variabile aleatoria standard ridotta u= σ m -1 g = = uσ + m g' = 1/ σ m u 1 u f(u)= ep π ( u = u = u=0 σ = 1 y=g() f (y)dy = f ()d y f () 1 ( g ()) ( ) f (y) y = f ()d/dy = = g'() g' g 1 () f

10 Variabile aleatoria stardard ridotta 10 u ( ) f ( u) du = 1 F( u) F u = - f(u) u 1 F( u ) = + f ( u) du, u 0 0 ( ) ( ) F -u =1 F u -u u u

Variabile aleatoria normale 11 u 0.0 0.5 1.0 1.5.0.5 3.0 3.

11 Variabile aleatoria normale 11 u F(u)

12 Il problema fondamentale della sicurezza 1 R,S variabili indipendenti ; (a), (b) eventi disgiunti f { } { } P = R<S dp <S + d,r = f ()F ()d P = f F d ( ) ( ) f s R - s R f R,f S f S f R { } dp <R + d,s> = f ()(1 F ())d R S +d ( ) = ( )( ( )) ( ) ( ) P = f 1-F d 1 f F d f R S R S - -

13 Il calcolo di P f per variabili aleatorie normali indipendenti 13 Z= R S (margine di sicurezza) P = P(R S) = P(Z 0) f Z = R S σ =σ +σ m m m z R S Z-Z m U= Pf P(Z 0) P U σz Z R S { Z } = = { } m m m β= = Pf = P U β σ z σ R +σs σ m z f(u) R σ σ γ =, c =, c = m R S 0 R S Sm Rm Sm γ 1 0 β= γ 0cR + cs β P = P u β = 1 P(u β ) = F ( β ) = 1 F ( β) { } Fu(-β)=Pf f u u β 1-Fu(β)=Pf u

14 Il calcolo di P f per variabili aleatorie normali indipendenti 14 5 Fu = 10 β=4.7 = β 3 Fu 10 =3.09 Fu = 10 β= F 1, F F 1 F β γ 1 0 β= γ 0cR + cs ( ) =β γ 0 R + S = γ0 = 1 F c c 1 F R = R ( c ) k m R S = S ( c ) k m S γ 0 F 1, F F 1 F c S 0 1 γ 0

15 Calibrazione delle probabilità di crisi 15 C = C d +C c C = Costo totale C d = Costo dei danni C c = Costo di costruzione

16 Il calcolo di P f attraverso l eguaglianza di frattili di ordine prefissato 16 R k =R m ( c R ) k=frattile 5% inferiore S k =S m ( c S ) k=frattile 5% superiore R k =S k γ 0 =( c S )/( c R ) (1) R d =R m (1-.576c R ) d=frattile inferiore S d =S m (1+.576c S ) d=frattile superiore R d =S d γ 0 =(1+.576c S )/1-.576c R ) I valori dei frattili proposti per la calibrazione della misura della sicurezza agli stati limite ultimi S d =1.5S k S d =1.5S m ( c S ) R d =R m (1-.576c R ) S d =R d γ 0 =1.5( c S )/(1-.576c R ) ()

17 Il calcolo di P f attraverso l eguaglianza di frattili di ordine prefissato 17 Le (1),() possono utilizzarsi per il calcolo di β e quindi della P f per gli stati limite di esercizio e ultimi. Ad esempio per c R =c S =0.0 Dalla (1) γ 0 =1.98 β=.1 P f 10 - Dalla () γ 0 =4.11 β=3.68 P f 10-5

18 Il metodo semiprobabilistico 18 R=R(f c,f s,c i ) S=S(A j,d j ) R k =R(f ck,f sk,c i ) S k =S(A kj,d j ) R d =R(f cd, f sd, C i ) S d =S(A dj,d j ) F cd =f ck /γ c f sd =f yk /γ s A dj =γ fj A kj

19 Il metodo semiprobabilistico 19 La misura della sicurezza allo stato limite agli stati limite di esercizio e ultimi sono soddisfatte se lo sono rispettivamente le diseguaglianze R(f ck,f yk,c i ) S(A kj,d j ) R(f ck /γ c f yk /γ s,d j ) S(Σγ fj A kj, D j ) Per il modo con cui sono stati valutati i frattili della resistenza e della sollecitazione, le diseguaglianze precedenti non sono direttamente associate ad un probabilità di crisi, la ci valutazione non può essere perseguita all interno del metodo semiprobabilistico.

20 La caratterizzazione delle azioni 0 1. Azioni di tipo permanente G Valore caratteristico G k. Azioni variabili Q Valore caratteristico Q k, frattile 5% superiore Valore di combinazione ψ 0 Q k ψ 0 =fattore di non contemporaneità 3. Valore frequente ψ 1 Q k 4. Valore quasi permanente ψ Q k La definizione dei coefficienti ψ 1, ψ ψ 1 è associato al rapporto Σa 1 /a=0.10 ψ è associato al rapporto Σb i /b=0.50

21 Esempi di ricerca delle diseguaglianze della misura della sicurezza SLU di punzonamento di una base fondale 1 π d Φ NS,d =σsoilb σsoil Φ c + a =σsoilb 1 π soilb g1 4 + ξ 4B d =σ ξ 0 d 0 Φc π 0 NR,d = τ d( Φ c + a) π =τ d d g ( ) a + ξ d = πτ ξ ξ ξ= a /d d c 1 π Φ + ξ N 4B d S,d σsoil B f g ( ξ ) = = (ξ) 0 NR,d τ d π Φc + ξ ξ d ( ) f ξ = 0 ξ ( ) f ξ 1 d c [ ] ( ) σ soil Φ c N E,d a BB ξ f(ξ) ξ g 1 (ξ)

22 La misura della sicurezza allo stato limite ultimo per taglio ν sd (ω ss =1) 1 ν sl (ω sl =0.43) ν sl (ω sl =0.5) ω ss ctgϑ=ν sd ν s,ν c ω ss 1 sin ϑ=νcd ω tg ϑ=ν / sl sl 0.5 ν cd ν sd (ω ss =0.5) ν sd (ω ss =1) 0 ν sd (ω ss =0.138) 0 θ min = θ 1.57

23 D.M.14/1/008 3 Azioni sulle costruzioni Classificazione delle azioni secondo la variazione della loro intensità nel tempo a) permanenti (G ) G 1 peso proprio elementi strutturali G peso proprio elementi non strutturali P presollecitazione b) variabili (Q ) c) eccezionali (A ) d) sismiche ( E )

24 D.M.14/1/008 Combinazione delle azioni 4 -Combinazione fondamentale(slu): γ G1 G 1 + γ G G + γ P P + γ Q1 Q k1 + γ Q ψ 0 Q k + g Q3 ψ 03 Q k3 + - Combinazione caratteristica (rara), (SLE) irreversibili - verifiche alle tensioni ammissibili: G 1 + G + P + Q k1 + ψ 0 Q k + ψ 03 Q k3 + - Combinazione frequente, (SLE) reversibili: G 1 + G +P+ ψ 11 Q k1 + ψ Q k + ψ 3 Q k3 + - Combinazione quasi permanente (SLE): G 1 + G + P + ψ 1 Q k1 + ψ Q k + ψ 3 Q k3 + -Combinazione sismica, (SLE), (SLU) E + G 1 + G + P + ψ 1 Q k1 + ψ Q k + -Combinazione eccezionale(slu) connessi a azioni eccezionali A d G 1 + G + P + A d + ψ 1 Q k1 + ψ Q k + Nelle combinazioni per SLE, si intende che vengono omessi i carichi Q kj che danno un contributo favorevole ai fini delle verifiche e, se del caso, i carichi G.

25 D.M.14/1/008 Coefficienti di combinazione 5

26 D.M.14/1/008 Coefficienti di combinazione per SLU 6 - Stato Limite di equilibrio come corpo rigido: EQU - Stato limite di resistenza della struttura compresi gli elementi di fondazione STR - Stato limite di resistenza del terreno GEO

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