Fondamenti di Astrofisica

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1 Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Corso di Laurea Triennale in Fisica e Astrofisica A.A. 2009/2010 Fondamenti di Astrofisica Prof. Alessandro Marconi Dipartimento di Astronomia e Scienza dello Spazio Il quintetto di Stefan (Credits: NASA/HST) Dispense e presentazioni disponibili all indirizzo marconi Ultimo aggiornamento: 26 ottobre 2009

2 1 Introduzione Il Corso di Fondamenti di Astrofisica si propone di fornire un introduzione all astrofisica, attraverso una panoramica dei sistemi studiati, delle metodologie d indagine e dei processi fisici rilevanti. Durante il corso sarà dato particolare rilievo ai problemi aperti, attualmente oggetto degli sforzi della comunità internazionale ma anche stimolo per la costruzione dei grandi osservatori del futuro. Uno studio approfondito dell astrofisica richiede familiarità con il calcolo e le equazioni differenziali, con la meccanica classica e quantistica, con la relatività speciale e generale, con l elettromagnetismo, la (magneto)idrodinamica, la termodinamica e la meccanica statistica, cosa che quindi è possibile solo alla fine del primo triennio di studi. Data la collocazione temporale e la durata del corso (primo semestre del secondo anno, 3 crediti) dovremo necessariamente limitarci ad una trattazione semplificata dei vari argomenti trattati. In generale, a parte alcuni casi più semplici, eviteremo lunghe derivazioni matematiche più adeguate ai corsi della laurea magistrale e ci limiteremo a stime di ordine di grandezza, all utilizzo di semplici relazioni di scala e, dove necessario, utilizzeremo il risultato della derivazione matematicamente completa e accurata. Solitamente gli studenti non sono abituati a questo tipo di approccio che riveste una notevole importanza in Fisica. Calcoli rigorosi e completi sono ovviamente fondamentali per ottenere il risultato finale sia in Astrofisica come negli altri rami della Fisica. Ad esempio, tralasciare un fattore 2π in un calcolo può non essere importante per capire la fisica di un determinato fenomeno, ma certamente non può esser fatto al momento di confrontare le predizioni di un modello con i risultati sperimentali. Tuttavia la maggioranza dei fisici, dovendo affrontare un problema nuovo, non inizieranno con un modello rigoroso che includa tutti i fenomeni possibili, ma partiranno da una analisi semplificata (back-of-the-envelope) che porti a capire quali siano i processi fisici più importanti. Ad esempio, supponiamo di dover costruire un modello che fornisca il valore di una certa grandezza fisica X da confrontare con il risultato di un determinato esperimento. Supponiamo anche di sapere che il risultato finale dipenda dai processi fisici, A, B,C, D, E ma che sia molto complesso costruire un modello autoconsistente che tenga conto di tutti quei processi. Quasi sicuramente il modello deve essere integrato numericamente e talvolta non esistono computer in grado di completare i calcoli. Per poter andare avanti si esegue un analisi per ordini di grandezza durate la quale, ad esempio, si nota che il processo A può contribuire per un valore 100 u, alla grandezza X (u sono ovviamente opportune unità di misura), mentre i altri processi B,C, D ed E possono contribuire rispettivamente per 10 u, 0.1 u, 1 u, u. Il risultato di questa analisi semplificata suggerisce che, nell costruzione di un modello rigoroso, il processo A è fondamentale, che devo considerare il processo B, ma che posso trascurare i processi C, D e E se un accuratezza di qualche % è sufficiente. In conclusione, l approccio semplificato che utilizzeremo per la maggior parte degli argomenti trattati è in realtà molto importante per una più profonda comprensione dei processi fisici e costituisce uno strumento fondamentale per ogni fisico che lo studente deve sforzarsi di assimilare. I libri a cui mi sono ampiamente riferito per preparare questi appunti e che forniscono numerosi approfondimenti al materiale qui presentato sono Astrophysics in a Nutshell, di Dan Maoz (Princeton University Press). È un libro di introduzione all Astrofisica che presenta in modo molto compatto tutti gli argo- 1

3 menti dalle stelle alla cosmologia. Il livello è in parte adeguato a questo corso ma talvolta vengono date per scontate conoscenze non ancora acquisite a questo livello [AstroNutshell]. Universe (Eight Edition), di Roger A. Freedman e William J. Kaufmann III (W. H. Freeman and Company). È un libro che ricopre tutti i campi dell astrofisica moderna, ad un livello molto semplificato e descrittivo con una veste grafica accattivante e numerose risorse on-line [Universe] Notazione, convenzioni e unità di misura Gli astronomi utilizzano strane unità di misura, spesso solo per tradizione. In generale si utilizzano unità del sistema cgs ma molte altre come Ångstrom, km, parsec, anni luce, masse e luminosità solari, sono comunemente utilizzate negli articoli scientifici. Unità del sistema cgs e le loro conversioni in unità MKS sono riassunte in Appendice dove si mostra anche come variano le formule principali nei due sistemi. Riguardo alla notazione, saranno utilizzate le convenzioni seguenti: = il simbolo = verrà utilizzato per relazioni matematiche esatte o più accurati del 10%; talvolta per i risultati numerici con accuratezze superiori al % si potrà utilizzare anche il simbolo ; il simbolo verrà utilizzato per una relazione matematica approssimata o per risultati numerici meno accurati del 10%; il simbolo si riferisce ad una relazione di proporzionalità stretta; il simbolo si riferisce ad una dipendenza funzionale approssimata nel caso di una relazione matematica (ad esempio y = ax 2.2 può essere scritta come y x 2 ). Nel caso di una relazione numerica, indica un accuratezza come ordine di grandezza. Durate il corso le costanti fisiche e numeriche saranno utilizzati con due cifre significative (a meno di casi particolari), come indicato in tabella 1.1. Molte di queste costanti sono di uso estremamente comune in Astronomia ed è auspicabile che, almeno le più usate di queste, possano essere memorizzate a seguito del loro uso continuato. Infine una nota sul utilizzo dei termini Astronomia e Astrofisica. Durante il corso utilizzeremo questi termini indifferentemente dal momento che, al giorno d oggi, hanno perso una loro differenziazione. Prova ne è il fatto che i quattro giornali più importanti dove vengono pubblicati i risultati delle ricerche si chiamano The Astrophysical Journal (ApJ), Astronomy and Astrophysics (A&A), Monthly Notices of the Royal Astronomycal Society (MNRAS), The Astronomical Journal (AJ) ma il loro contenuto è perfettamente equivalente. 2

4 Tabella 1: Costanti e Unità di misura con 2 cifre significative (Credits: AstroNutshell) Costante gravitazionale Velocità della luce Costante di Planck Costante di Boltzmann Costante di Stefan-Boltzmann Costante di radiazione Massa del protone Massa dell elettrone Carica dell elettrone Elettron-Volt Sezione d urto Thomson Legge di Wien Angstrom Massa solare Luminosità solare Raggio solare Distanza Terra-Sole Massa di Giove Raggio di Giove Distanza Giove-Sole Massa della Terra Raggio della Terra Massa della Luna Raggio della Luna Distanza Terra-Luna Unità astronomica Parsec Anno G = erg cm g 2 c = cm s 1 h = erg s h = h/2π = erg s 1 k = erg K 1 = ev K 1 σ = erg cm 2 s 1 K 4 a =4σ/c = erg cm 3 K 4 m p = g m e = g e = esu 1 ev = erg σ T = cm 2 λ max = 2900 Å(T/10 4 K) 1 hν max =2.4eV (T/10 4 K) 1 Å = 10 8 cm M = g L = erg s 1 R = cm d = 1 AU = cm M = g R = cm d =5.2AU = cm M = g R = cm M = g R = cm d = cm 1 AU = cm 1 pc = cm = 3.3 ly 1 yr = s 3

5 2 L Astrofisica L Astrofisica è quel ramo della Fisica che studia fenomeni in sistemi fisici estesi su grande scala come il Sole, i pianeti, le stelle, le galassie o l universo nella sua interezza. Tuttavia questa definizione è chiaramente incompleta perché l Astrofisica si occupa anche di fenomeni a livello atomico o molecolare. Si potrebbe definire l Astrofisica come quella scienza che utilizza la Fisica per studiare gli oggetti distanti e l Universo nel suo insieme, ma lo studio l Astrofisica include anche lo studio della formazione della Terra e dell effetto che eventi astronomici hanno avuto sulla formazione e l evoluzione della vita sulla Terra. La difficoltà nel trovare una definizione precisa è indicazione della enorme varietà di fenomeni che si incontrano nello studio dell Astrofisica. In pratica tutti gli argomenti di fisica studiati nel corso della lauree triennale e magistrale (meccanica classica, fluidodinamica, termodinamica, elettromagnetismo, meccanica statistica, meccanica quantistica, relatività e chimica tanto per nominarne alcuni) hanno un ruolo importante nello studio dei fenomeni astrofisici. È importante rilevare che l astrofisica permette di studiare direttamente fenomeni che non possono essere ricreati in laboratorio ma che sono predetti da varie teorie fisiche (come la Relatività Generale); per esempio, fenomeni che avvengono in condizioni estreme come l emissione di righe proibite nelle nebulose (bassissime densità ambientali, vari ordini di grandezza al disotto del miglior vuoto ottenibile in laboratorio) o i processi che avvengono in prossimità di un buco nero. Come gli altri rami della Fisica, l Astrofisica è una scienza sperimentale che richiede una stretta interazione tra teoria e sperimentazione, come ben noto già dai tempi di Galileo. L Astrofisica teorica segue gli stessi metodi ed utilizza gli stessi strumenti utilizzati dai teorici degli altri rami della Fisica. Le differenze con la Fisica sono principalmente a livello sperimentale e sono soprattutto intrinseche alla natura dei sistemi studiati: L Astrofisica è una scienza osservativa: per ovvi motivi gli astronomi non possono eseguire esperimenti controllati in laboratorio in cui selezionare o mettere in evidenza l effetto fisico di interesse. L informazione dai sistemi astrofisici giunge a noi prevalentemente sotto forma di onde elettromagnetiche che viaggiano alla velocità finita di c = km s 1 (velocità della luce). Altra informazione può essere ricavata da neutrini, raggi cosmici o onde gravitazionali. I sistemi astrofisici vengono spesso chiamati sorgenti proprio perché sono sorgenti delle suddette onde o particelle. I tempi evolutivi dei sistemi astrofisici sono in genere estremamente lunghi rispetto alla vita umana. Per esempio, i tempi scala evolutivi delle stelle più massicce sono dell ordine di yr, mentre quelli delle stelle tipo Sole sono dell ordine di 1 10 Gyr. Pertanto non è possibile studiare l evoluzione del singolo sistema fisico ma si può solo effettuare uno studio statistico analizzando campioni con molti oggetti in fasi evolutive diverse, con tutti i problemi legati alla selezione dei campioni stessi ed alla possibilità di generalizzare i risultati ottenuti. Data la distanza delle sorgenti astronomiche e la velocità finita di propagazione delle radiazioni elettromagnetiche, è possibile osservare le sorgenti astronomiche indietro nel tempo (si parla infatti di look-back time). Se una sorgente si trova alla distanza D, il tempo che la radiazione e.m. impiega a giungere a noi è t = D/c. Dato che la velocità della luce nel vuoto è una costante della Fisica, spesso si utilizza 4

6 il tempo che la radiazione impiega a giungere a noi come misura della distanza di un oggetto. Per esempio, se una stella si trova alla distanza di 10 anni luce (light years, ly) significa che la luce ha impiegato t = 10 yr (years) a giungere fino a noi dal momento della sua emissione; la distanza in unità di lunghezza è pertanto D = c t = cm. Riguardo al guardare indietro nel tempo è chiaro che 10 anni corrispondono ad un istante nella vita di una stella ma, per esempio, sono osservate galassie a distanze fino oltre 10 miliardi di anni luce: in tal caso gli effetti evolutivi sono molto significativi e dal confronto con le galassie locali è possibile cercare di capire come sia avvenuta l evoluzione delle galassie stesse. L Astrofisica studia sistemi molto complessi in condizioni fisiche estreme, spesso non ricreabili in laboratorio: questo fatto, combinato con le caratteristiche di cui sopra fa si che gli errori che si ottengano sulla stima delle grandezze fisiche di interesse possano essere molto grandi. Spesso una misura accurata può avere errori dell ordine del 10-20% mentre alcune grandezze si possono stimare solo come ordine di grandezza. 2.1 Le sorgenti astrofisiche In questa parte faremo una panoramica dei sistemi astrofisici che si trovano nell universo, cominciando a familiarizzarci con dimensioni, masse e luminosità tipiche. La Terra ha un raggio medio R = 6378 km (dimensione tipica) ed una massa M = kg. La densità media della Terra è quindi ρ =M /(4/3πR ) 3 = 5.5 g cm 3. La Terra ruota attorno all asse passante per i Poli Nord e Sud in circa 24 ore (tempo scala tipico). La Luna è l unico satellite della Terra. Ha un raggio di R = 1738 km = 0.27 R ed una massa di M = kg = 0.01 M che corrispondono ad una densità ρ =3.3 g cm ρ. La distanza media Terra-Luna è pari a D = 384, 400 km ovvero a 1.28 secondi luce. Il periodo dell orbita lunare è T = 27.3 giorni, pertanto la velocità orbitale media della Luna attorno alla Terra è V = 2πD /T =1.02 km s 1. Il Sole è la stella più vicina alla Terra. Ha un raggio R = km = 109 R ed una massa M = kg = M pertanto la sua densità è ρ =1.41 g cm 3 =0.26 ρ. La distanza media Terra-Sole è D = km corrispondenti a 8.3 minuti luce; pertanto l immagine del Sole che vediamo in cielo è una fotografia vecchia di 8.3 minuti. Il periodo dell orbita terrestre è pari a 1.0 anni ( giorni) pertanto la velocità media della Terra nella sua orbita attorno al Sole è V = 29.8 km s 1. Un altra grandezza caratteristica del Sole è la Luminosità, ovvero l energia irraggiata per unità di tempo. La luminosità solare è pari a L = erg s 1. Massa ( M ), raggio ( R ) e luminosità ( L ) solari sono comunemente utilizzate come unità di misura per masse, lunghezze e luminosità caratteristiche di sorgenti astronomiche. Anche la distanza Terra-Sole è comunemente utilizzata come unità di misura delle distanze e prende il nome di Unità Astronomica (Astronomical Unit): 1 AU = cm. 5

7 Figura 1: Orbite dei pianeti del Sistema Solare (Credits: Universe) Il Sistema Solare è costituito da 8 pianeti che in ordine di distanza dal Sole sono: Mercurio, Venere, Terra e Marte (rocciosi), Giove, Saturno, Urano e Nettuno (gassosi). Plutone è stato recentemente ri-classificato come pianeta nano a seguito della scoperta di altri corpi del sistema solare con le sue stesse caratteristiche. Il pianeta più grande del sistema solare è Giove con massa M = 317 M = M e raggio R = 11.1R =0.10 R che corrispondono ad una densità media ρ =1.35 g cm 3 ρ. Il periodo orbitale di Giove è pari a 11.9 anni. Si ricordi che per i Pianeti vale la III legge di Keplero a 3 P 2 = G M 4π 2 (1) dove a è il semiasse maggiore dell orbita e P è il periodo. scalate sulla Terra si ottiene molto semplicemente Utilizzando le unità ( ) ( ) a 3 2 P = (2) 1 AU 1 yr da cui si può ad esempio ricavare che il semiasse maggiore dell orbita di Giove è ad esempio a = (11.9) 2/3 =5.2 AU = cm, come riportato in tabella 1.1. Il pianeta più esterno del Sistema Solare è Nettuno che si trova ad una distanza di 30 AU (ed ha corrispondentemente un periodo di rotazione pari a 165 anni). Si noti come il tempo impiegato dalla luce del Sole a raggiungere Nettuno sia pari a 4.16 ore e lo si confronti con quello necessario per raggiungere la Terra (8.3 minuti). 6

8 Figura 2: Ricostruzione della Via Lattea con la posizione del Sole rispetto al centro della Galassia (Credits: Universe) Oltre Nettuno esistono altri corpi più piccoli detti oggetti Trans-Nettuniani come i Pianeti Nani di cui fa parte Plutone (massa 0.002M e raggio 0.19R ovvero ben più piccolo e leggero rispetto alla Luna). Il Sistema Solare propriamente detto è immerso nella Nube di Oort, probabile residuo della nube di gas primordiale da cui si formato il Sole, e luogo di origine delle comete a lungo periodo (p.e. la cometa di Halley). Si stima che la Nube di Oort possa estendersi fino a 100, 000 AU dal Sole che corrispondono a 1.6 anni luce. Stelle. Oltre la Nube di Oort si trova solo del gas a bassissima densità (il mezzo interstellare) fino a giungere alla stella più vicina Proxima Centauri situata a 4.2 anni luce di distanza dal Sole. Si ricorda che un anno luce corrisponde alla distanza percorsa dalla luce del vuoto in 1 anno ovvero 1 anno luce ( ly) = cm= AU. In effetti le distanze tra le stelle sono molto grandi e si stima che nei dintorni del Sole la distanza media tra le stelle sia pari a 3 ly (vedremo tra poco come giungere a questa stima). Il Sole è una stella abbastanza tipica ma in generale le stelle variano molto nelle loro proprietà fisiche caratterizzabili in prima approssimazione da Età (valori tipici osservati yr), Massa ( M ), Luminosità ( L ), Raggio ( R ) e Temperatura superficiale ( K) che, come vedremo più avanti, è legata al colore della luce della stella. Via Lattea. Il Sole è solo uno dei circa 200 miliardi di stelle che formano la galassia della Via Lattea (Milky Way) visibile come una banda luminosa che attraversa tutto 7

9 il cielo notturno (ovviamente senza nubi e lontano dalle luci della città). Circa 400 anni fa, Galileo fu il primo a rendersi conto che la Via Lattea era costituita da una miriade di stelle non risolvibili singolarmente dall occhio umano. La Via Lattea è una galassia a disco con diametro pari a circa ly e spessore di ly. La sua massa totale è M di cui possiamo vedere solo il 20% sotto forma di gas e stelle (materia visibile ). Il disco della Via Lattea è caratterizzato dalla presenza di bracci a spirale; il Sole si trova in uno di questi bracci alla distanza di circa ly dal centro. La luminosità totale della Via Lattea è pari a circa L. Possiamo adesso cercare di stimare la distanza media tra le stelle della Via Lattea. Supponiamo che si osservino N stelle in un volume V. Ciascuna stella occuperà in media un volume pari a V/N. Siccome ad un volume V corrisponde una dimensione lineare L V 1/3, la distanza media tra due stelle vicine sarà pari a ( ) V 1/3 L = = N ( π/4 ( ly) ) 1/3 ly 6.9 ly (3) dove il volume V è stato calcolato come quello di un cilindro con diametro ed altezza pari a diametro e spessore del disco della Via Lattea. Il valore ottenuto è più grande di quello medio in prossimità del Sole per il fatto che in realtà gran parte delle stelle sono concentrate a distanze minori del diametro totale. Inoltre la densità di stelle è ovviamente una funzione della distanza dal centro della Via Lattea. Questo metodo per stimare la distanza media tra particelle distribuite all interno di un volume dato è ovviamente di utilizzo generale, e non limitato alle sole stelle. Nella Via Lattea esistono sotto-sistemi di stelle (ammassi) tra cui, ad esempio, si possono menzionare gli Ammassi Globulari. In un ammasso globulare sono contenute circa stelle, tenute insieme dal campo gravitazionale generato dall ammasso stesso. Un ammasso ha una forma sferoidale con un raggio tipico di 30 ly; la distanza media tra le stelle è pertanto dell ordine di d =0.5 1 ly. Si noti che questa distanza può essere molto più alta nelle regioni esterne e molto più bassa in quelle centrali. I circa 200 ammassi globulari della Via Lattea sono costituiti da stelle molto vecchie, probabilmente la prima generazione di stelle che si è formata nella galassia. Lo spazio tra le stelle non è vuoto ma è costituito dal Mezzo Interstellare (Inter- Stellar Medium, ISM), un misto di gas e polvere con densità media n ISM 1 cm 3 ; in genere n ISM si riferisce al gas e con quel numero si intende una particella in un volume di 1 cm 3. Siccome l elemento più abbondante è l idrogeno, H, quella densità corrisponde a g cm 3. Per confronto la densità dell aria a 25 C ed 1 atmosfera di pressione è g cm 3. In laboratorio si possono ottenere vuoti con densità di quella atmosferica, comunque circa 10 6 volte più alte di quelle dell ISM. La Via Lattea contiene circa M di gas. Il gas si trova generalmente stati fisici diversi con temperature che vanno da 10 a 10 6 K. Si ricorda che la Temperatura assoluta è misurata in gradi Kelvin (K) e che T (K) =T ( C) Nel mezzo interstellare esistono anche le nubi molecolari giganti, nubi relativamente dense di gas molecolare e polvere con masse tipiche > 10 5 M e diametro 150 ly 8

10 Figura 3: Il Gruppo Locale (Credits: Universe) (questo corrisponderebbe a densità medie di 10 cm 3, ma nelle condensazioni più interne si può arrivare oltre 10 9 cm 3 ) che sono i luoghi in cui si formano le stelle. La Via Lattea è parte di un piccolo ammasso di galassie detto Gruppo Locale. Il Gruppo Locale, che ha un diametro di circa ly è costituito da due galassie a spirale giganti (Via Lattea e M31, la Galassia di Andromeda), una spirale media M33 ed oltre 30 galassie nane. La Galassia di Andromeda (Messier 31 o M31) e situata ad una distanza di ly, ha un diametro del disco di ly, una massa totale di M ed una luminosità di L. Ovviamente, la maggior parte delle galassie si trova oltre il Gruppo Locale. Esistono tre tipi di galassie: Spirali (a disco), Ellittiche e Irregolari. Le proprietà fisiche delle galassie sono molto variabili in termini di dimensioni ( ly), masse ( M ), luminosità ( L ) ed età media delle stelle che le costituiscono (da < 1 Gyr fino a poco meno dell età dell universo, 14 Gyr). Circa il 10% di tutte le galassie è caratterizzata dall avere un Nucleo Attivo (Active Galactic Nucleus, AGN) ovvero un nucleo dove i meccanismi di produzione di energia non sono riconducibili a processi stellari. I nuclei attivi hanno luminosità L prodotte in regioni di dimensioni inferiori a < 1 ly. Nei casi più estremi il nucleo attivo può arrivare ad emettere più di 100 volte il totale della galassia in un volume volte più piccolo. La maggior parte delle galassie non è isolata ma vive in Ammassi di Galassie, raggruppamenti di galassie legati gravitazionalmente. Il Gruppo Locale è un esempio di ammasso povero. Ammassi ricchi contengono > 1000 galassie. Un esempio tipico è l Ammasso della Vergine che contiene 2500 galassie, ha un diametro di 10 7 ly e si trova ad una distanza di ly da noi. 9

11 Figura 4: Galassia Ellittica M87 (sinistra), Spirale M83 (centro) e Irregolare Grande Nube di Magellano (destra) (Credits: Astronomical Picture Of the Day (APOD)) Figura 5: Struttura a grande scale dell Universo (simulazione) (Credits: Millennium Run) 10

12 Tabella 2: Dimensioni e distanze tipiche dei sistemi astrofisici 1.5 m cm Dimensione tipica dell uomo km cm Diametro della Terra km cm Diametro del Sole 1 AU cm Distanza Terra-Sole 60 AU cm Diametro dell orbita di Nettuno AU cm Distanza di Proxima Centauri dal Sole ly cm Distanza del Sole dal centro della Via Lattea 10 5 ly cm Diametro della Via Lattea ly cm Distanza della Galassia di Andromeda 10 7 ly cm Diametro dell Ammasso della Vergine ly cm Distanza dell Ammasso della Vergine ly cm Diametro tipico di un Superammasso ly cm Oggetto più distante noto al 2009 (Quasar) Gli ammassi di galassie sono a loro volta raggruppati in Super Ammassi, strutture legate gravitazionalmente con diametri dell ordine di ly. I superammassi formano filamenti e muri attorno a regioni più vuote dell universo. Questi filamenti, con dimensioni tipiche di oltre ly, sono le strutture più grandi note. Come ordine di grandezza, l universo visibile contiene dell ordine di galassie. Ad esempio nell Hubble Ultra-Deep Field, una parte di cielo apparentemente vuota con diametro pari a dim 1/10 di quello della luna piena sono state rivelate galassie con una esposizione del Telescopio Hubble pari a 400 ore. Vedremo tra poco come estrapolare da questo la stima del numero di galassie a noi visibili. Gli oggetti più distanti a noi noti sono dei nuclei attivi estremamente luminosi detti Quasar. Quello più distante si trova a 13 miliardi di anni luce ed adesso stiamo ricevendo la sua luce partita quando l universo aveva il 5% dell età attuale. Per sorgenti visibili si intendono ovviamente quelle sufficientemente brillanti da poter essere rivelate dalla strumentazione a nostra disposizione, ma anche quelle sorgenti sufficientemente vicine tali che la luce abbia avuto un tempo sufficiente a giungere fino a noi. Infatti si stima che l età dell universo sia dell ordine 13.5 Gyr. Pertanto il fatto che la luce abbia una velocità finita c ha come conseguenza che non possiamo vedere le sorgenti più distanti di ly, in quanto la luce non ha ancora fatto in tempo a raggiungerci. Come abbiamo visto, esiste una vera e propria gerarchia di strutture, dalle più piccole come i pianeti alle più grandi come i superammassi o i filamenti. Un riassunto delle dimensioni tipiche delle sorgenti astronomiche indicativo di questa gerarchia è riportato in tabella 2.1 dove si può notare come ci siano quasi 20 ordini di grandezza nel passare dalla dimensione della Terra alla distanza dell oggetto più lontano noto. 11

13 3 La Sfera Celeste Il primo passo verso lo studio delle sorgenti astronomiche è la loro localizzazione spaziale, fondamentale per sapere dove puntare gli strumenti di osservazione come i telescopi. Consideriamo un sistema di riferimento xyz centrato sull osservatore; utilizzando coordinate sferiche la posizione di una sorgente celeste (supposta puntiforme) è individuata da tre coordinate r, θ, ϕ ovvero una distanza dall osservatore (r) e due angoli (θ, ϕ; figura 6a). I due angoli θ, ϕ individuano la direzione della retta passante per l osservatore e la sorgente stessa, detta anche linea di vista (line of sight), e sono le uniche grandezza necessarie per puntare il telescopio verso la sorgente. Mentre è molto facile determinare θ e φ (o le analoghe coordinate angolari utilizzate nel sistema di riferimento scelto), è ben più complesso determinare r che, a parte alcune eccezioni, è sempre molto maggiore del raggio terrestre. Si assume che tutte le sorgenti astronomiche siano collocate sulla superficie di una sfera, detta Sfera Celeste, di raggio infinito e centrata sulla posizione dell osservatore (coincidente a seconda dei casi con il centro della Terra o del Sole, supposti puntiformi). In pratica si sceglie una sfera di raggio molto maggiore di quello terrestre e si proiettano su di essa le sorgenti astronomiche, la cui posizione apparente è pertanto data dall intersezione tra la linea di vista e la sfera stessa (figura 6b). Pertanto posizioni, dimensioni e distanze relative tra le sorgenti astronomiche sono riconducibili ad angoli e si possono utilizzare le relazioni della trigonometria sferica. Tutte le misure effettuate in questo modo di riferiscono a dimensioni angolari (apparenti) in cielo; per poter passare alle dimensioni reali è necessario conoscere le distanze delle sorgenti. Posizioni, distanze relative e dimensioni apparenti delle sorgenti sulla sfera celeste corrispondono ad angoli mentre porzioni (aree) della sfera celeste sono individuate da angoli solidi. Gli angoli solitamente vengono misurati in gradi, minuti d arco e secondi d arco per cui 1 = 60 arcmin = 60 = π rad = rad = 60 arcsec = 60 = rad 1 1 = 3600 deg = rad mentre per un angolo solido di 1 sterad = 1 rad 2 = (180/π) 2 deg 2. Poiché le dimensioni apparenti delle sorgenti astronomiche sono sempre molto piccole è possibile operare delle semplificazioni quando si devono stimare le dimensioni reali delle sorgenti stesse. Consideriamo una stella posta alla d dall osservatore (figura 7). Se l angolo α rappresenta il suo diametro apparente, il suo diametro reale è pari a ( ) ( α α D =2d tan =2d ( )3 [(α ) ]) α 5 + O dα dα3 (4) ovvero se α 1 è possibile confondere la corda con l arco ottenendo D = dα con un errore dell ordine di D =1/12 dα 3. In genere le dimensioni angolari delle sorgenti astronomiche sono molto piccole, spesso dell ordine di qualche arcsec e comunque inferiori a 1 arcmin. Dato che 1 = rad l approssimazione α 1 è sempre ottimamente verificata e l errore relativo che si commette nel confondere corda con arco 12

14 Figura 6: Sistema di riferimento sferico centrato sull osservatore (O) e Sfera Celeste. I simboli vuoti che rappresentano le stelle indicano le proiezioni delle stelle stesse sulla Sfera Celeste. Figura 7: Relazione tra dimensioni apparenti (angolari) e dimensioni reali di una sorgente astronomica(credits: Universe) 13

15 ovvero nel trascurare la curvatura della sfera celeste è quindi molto piccolo D D 1 ( ) ( ) 12 α2 = α = α 1 arcmin 1 arcsec Consideriamo ad esempio il Sole: un raggio R = cm visto alla distanza d = cm corrisponde ad una dimensione apparente sul cielo di α = R d = rad = 0.27 = 16 (6) come ben noto, le dimensioni apparenti del Sole in cielo non sono affatto trascurabili ma anche in questo caso l errore che si commetterebbe calcolando le dimensioni reali come α d è dell ordine di D/D cioè quasi 1 parte su 100,000. Se poi il Sole si trovasse alla distanza di 4.2 ly, la distanza di Proxima Centauri ovvero la stella più vicina, le sue dimensioni apparenti (raggio) sarebbero α = rad = arcsec = 3.6 mas, dove mas significa milli secondi d arco. Come vedremo più avanti questo angolo è così piccolo da non essere misurabile con le tecniche tradizionali di osservazione. Per le dimensioni apparenti delle stelle in genere si può ricordare questa utile relazione di scala: ( )( ) 1 R d α = arcsec (7) R 1 ly In generale, quando una sorgente ha una dimensione apparente così piccola da non essere misurabile, questa sorgente viene detta puntiforme. In conclusione si può affermare che, per tutte le sorgenti astrofisiche, gli angoli corrispondono direttamente alla grandezze lineari a patto di conoscere la distanza della sorgente. É poi ovvio notare come due sorgenti possano avere le stesse dimensioni apparenti ma dimensioni reali diverse se poste a distanze diverse (figura 7). Siamo ora in grado di cominciare a capire cosa rappresenta una immagine astronomica come quella riportata in figura 8 che rappresenta il cosiddetto Hubble Ultra Deep Field (HUDF) una delle immagini più profonde mai fatte, corrispondente ad una esposizione di oltre 400 ore da parte della Advances Camera for Surveys (ACS) montata sul Telescopio Spaziale Hubble (Hubble Space Telescope, HST). L immagine in esame, come ogni altra immagine astronomica, rappresenta una porzione di sfera celeste sottesa da un dato angolo solido. Ogni dimensione lineare misurata sull immagine corrisponde ad un angolo e, per esempio, le dimensioni delle sorgenti sono soltanto apparenti. Nel caso dell immagine in figura, le sue dimensioni sono di che corrispondono ad un campo di vista (Field of View) di arcsec 2 = 11.1 arcmin 2. La galassia indicata in figura ha una dimensione angolare di 10. Se la sua distanza fosse, per esempio, d = 10 9 ly, la sua dimensione reale sarebbe D( ) d D = rad 1 = ly rad 1 = ly (8) Un altro semplice esempio consiste nella stima del numero di galassie esistenti nell universo e che sarei in grado di vedere se facessi una mappatura del cielo con esposizioni come quella dell HUDF. L immagine HUDF contiene circa 10 4 galassie (le stelle presenti nel campo sono 10). Se il suo campo di vista è arcsec 2 la densità di galassie osservate sulla sfera celeste (supposta costante) è φ gal = (5) 10 4 gal arcsec 2 =0.25 gal arcsec 2 (9) 14

16 Figura 8: Hubble Ultra Deep Field: esposizione profonda (400 ore) ottenuta con la Advanced Camera for Surveys sull Hubble Space Telescope. Le immagini astronomiche rappresentano porzioni della Sfera Celeste. (Credits: NASA/HST) 15

17 ovvero una galassia in media ogni 2 2. Tutto il cielo corrisponde ad un angolo solido di 4π steradianti e, dato che 1 sterad = 1 rad 2 si ottiene Ω sky =4π sterad = 4π rad 2 =4π ovvero in tutto il cielo si osserverebbero ( ) deg = deg 2 = arcsec 2 (10) π N gal =Ω sky φ gal gal (11) pari a circa 134 miliardi di galassie. + sono ovviamente solo quelle a noi visibili con esposizioni oltre 400 ore da parte di HST e la cui distanza è inferiore all età dell universo (vedi sezione precedente). Da notare che occorrerebbero circa arcsec 2 / arcsec 2 = esposizioni tipo HUDF, cosa ovviamente non realizzabile con la tecnologia attuale. 16

18 4 La radiazione elettromagnetica 4.1 Onde elettromagnetiche e Fotoni Gran parte dell informazione proveniente dalle sorgenti astrofisiche è ricavata dalle onde elettromagnetiche che esse emettono e che giungono fino a noi. Non entreremo in dettaglio sulle onde elettromagnetiche, argomento che verrà affrontato e ampiamente coperto nel corso di Fisica II nel secondo semestre di quest anno ma ci limiteremo ad alcuni concetti che saranno utili per il prosieguo del corso. Durante il corso di Fisica I è stato visto come la massa generi un campo gravitazionale; in modo analogo le cariche sono sorgenti del campo elettrico E e le cariche in moto generano il campo magnetico B. Si trova che campo elettrico e magnetico sono intimamente legati ed il loro comportamento è regolato dalle Equazioni di Maxwell, le cui soluzioni sono rappresentate da onde elettromagnetiche che si propagano nello spazio con velocità finita; nel seguito considereremo soltanto la propagazione delle onde e.m. nel vuoto, dove la velocità di propagazione è la velocità della luce c = cm s 1. Più in dettaglio si può mostrare come una generica soluzione delle equazioni di Maxwell è rappresentabile dalla sovrapposizione di funzioni del tipo con E 0 perpendicolare a k ed il campo magnetico dato da E( r, t) = E 0 cos(2πνt k r) (12) B( r, t) =ˆk E( r, t) (13) dove ˆk = k/k è il versore della direzione di propagazione. Questa relazione tra E e B e tutte quelle riportate di seguito valgono nel sistema cgs. L equazione 12 descrive un campo elettrico E che, in un dato punto dello spazio r, esegue una oscillazione periodica con periodo T = 1/ν; analogamente, per t fissato il campo elettrico ha un andamento oscillatorio nello spazio lungo la direzione k con periodo (spaziale) L =2π/k, dove k è il modulo del vettore k, detto vettore d onda. Si definisce la lunghezza d onda, λ = 2π/k, che quindi rappresenta il periodo spaziale delle oscillazioni. Le oscillazioni del campo elettrico (e quindi del campo magnetico) si propagano nello spazio con velocità c = λν (nel vuoto). Infatti, consideriamo per semplicità un sistema di riferimento con la coordinata z lungo la direzione definita da k; il campo elettrico è esprimibile come E(z, t) = E 0 cos[2π(t z/c)] (14) da cui si vede facilmente che E(z + c t, t + t) = E(z, t) (15) ovvero l oscillazione del campo elettrico si è propagata nello spazio lungo la direzione di k con velocità c. Il luogo dei punti nello spazio che si trovano nelle stesse condizioni di oscillazione è detto fronte d onda e, nel semplice caso in esame, è definito dalla condizione k r = cost che rappresenta l equazione di un piano nello spazio. Dato che un oscillazione (periodica o meno) che si propaga nello spazio è un onda e che i fronti d onda sono piani l equazione 12 rappresenta una onda piana. 17

19 Figura 9: Propagazione di un onda elettromagnetica piana. Al campo elettrico e magnetico è associata un energia per unità di volume E = 1 8π (E2 + B 2 ) (16) pertanto la propagazione nello spazio del campo elettrico e magnetico corrisponde ad una propagazione di energia. Durante il corso di Fisica II sarà mostrato come l energia trasportata dal campo e.m. è esprimibile col vettore di Poynting S = c/4π ( E B) il cui modulo è il flusso di energia (vedi più avanti) e la cui direzione è la direzione di propagazione (ovvero, nel caso di un onda piana, quella di k). Il comportamento ondulatorio della radiazione e.m. è ampiamente verificato dal fatto che esse danno luogo a fenomeni di interferenza e diffrazione, caratteristici dei fenomeni ondulatori. Tuttavia, la fine dell 800 e l inizio del 900, Max Planck e Albert Einstein scoprirono che la radiazione e.m. mostra anche un comportamento corpuscolare (questo argomento sarà affrontato in dettaglio durante il corso di Meccanica Quantistica, III anno). L energia trasportata dalla radiazione e.m. non ha una distribuzione continua ma in pacchetti (quanti) detti fotoni; ciascun fotone si comporta come una particella di massa nulla con energia e momento (quantità di moto) E = hν = hc λ (17) p = E c ˆk = hν c ˆk (18) dove ˆk rappresenta il versore della direzione di propagazione. h è detta costante di Planck e vale h = erg s (ha quindi le dimensioni di una azione). Nell ambito del trattamento della radiazione e.m. con i fotoni, il fronte d onda può essere interpretato come il luogo dello spazio definito da tutti quei fotoni che sono stati emessi dalla sorgente nello stesso istante. Consideriamo ad esempio una sorgente puntiforme che emetta radiazione e.m. in modo isotropo (cioè indipendente dalla direzione nello spazio). I fotoni partiti all istante 0, si troveranno all istante t alla distanza r = ct dalla sorgente per cui il fronte d onda da loro definito è una superficie sferica. Il caso di una sorgente puntiforme che emette radiazione è più generale di quanto sembri, infatti se la distanza d tra un punto dello spazio e la sorgente di emissione è molto maggiore della dimensione D della sorgente stessa, d D, si può considerare la sorgente come puntiforme rispetto al punto in cui si riceve la radiazione. Inoltre, se l area investita 18

20 Figura 10: Fronti d onda sferici e piani da sorgenti astrofisiche. dalla radiazione sottende un angolo solido dω 4π come visto dalla sorgente, si può considerare il fronte d onda piano sostituendo la superficie sferica con il piano tangente. Ricordando le dimensioni apparenti del Sole e quelle che avrebbe se fosse alla distanza della stella più vicina (vedi la sezione precedente), è facile comprendere come per un osservatore a Terra, le sorgenti astronomiche si possono considerare come sorgenti puntiformi (che emettono quindi onde sferiche), poste ad una distanza infinita ovvero tale che la radiazione che giunge a Terra è approssimabile con onde piane (figura 10). 4.2 Lo spettro della radiazione em e la trasmissione atmosferica In generale un onda elettromagnetica sarà data dalla sovrapposizione di onde con frequenze (o lunghezze d onda) diverse. A seconda del processo di emissione della radiazione, varierà l energia associata a ciascuna frequenza, definendo lo spettro della radiazione; se de rappresenta l energia associata alle onde e.m. con frequenze nell intervallo ν, ν + dν, de = E ν dν (19) con E ν che rappresenta lo spettro della radiazione e.m., ovvero l energia trasportata per unità di banda (frequenza). In base a quanto detto nella sezione precedente, si può calcolare il numero di fotoni nell intervallo ν, ν + dν che vale dn = N ν dν = E ν dν (20) hν Benché la natura fisica delle onde em sia la stessa qualsiasi sia la frequenza e quindi l energia dei fotoni in gioco, è tradizione dare nomi diversi alla radiazione nei vari intervalli di frequenza considerati. La radiazione (luce) visibile è definita dall intervallo di lunghezza d onda a cui il nostro occhio è sensibile, circa Å, corrispondenti a Hz. Come mostrato in figura 11 i colori della luce corrispondono a diverse lunghezze d onda/frequenze/energie dei fotoni, con il violetto ed il rosso per i fotoni 19

21 Figura 11: Spettro della radiazione elettromagnetica. (Credits: Universe) 20

22 Figura 12: Trasparenza atmosferica. (Credits: NASA) rispettivamente più e meno energetici. L energia tipica di un fotone nel visibile, calcolata per esempio a 5500 Å è pari a E vis = hc = erg s cm s 1 λ vis cm = erg = 2.2 ev (21) dove l elettron-volt (1 ev = erg) è un unità di misura comunemente usata per esprimere le energie dei processi atomici. Per confronto le energie tipiche dei raggi X sono dell ordine di kev mentre quelle dei raggi γ sono 1 MeV ed oltre. La radiazione infrarossa ed a λ più lunga ha ovviamente fotoni con energia minore. In generale a parità di energia, il numero di fotoni trasportati dalla radiazione em varia con la frequenza. Per esempio, supponiamo di ricevere da una sorgente astronomica un energia di 10 8 erg (con una determinata combinazione di telescopio, rivelatore ed un dato tempo di esposizione, come vedremo più avanti). Se osservassimo nei raggi X ad 1 kev, il nostro rivelatore riceverebbe 62 fotoni, ciascuno con l energia di 1 kev. Viceversa se osservassimo nel radio con λ = 1 m (E = ev), il nostro rivelatore riceverebbe ben fotoni. È chiaro che nel primo caso gli effetti di quantizzazione della radiazione em, ovvero dell esistenza dei fotoni, sarebbero ben più facilmente rivelabili che nell ultimo caso dove il numero di fotoni è così elevato che la natura corpuscolare della radiazione em è difficilmente percepibile. Un fatto particolarmente rilevante per quanto riguarda le osservazioni della radiazione em emessa dalle sorgenti astronomiche riguarda la trasmissione atmosferica ovvero il fatto che l atmosfera assorbe in parte o del tutto la radiazione em (figura 12). In figura 12 21

23 per Atmospheric Opacity si intende la frazione della radiazione che arriva dalle sorgenti assorbita dall atmosfera. Per esempio, un opacità atmosferica del 100% nei raggi γ, X, nell UV, in parte di IR, microonde e radio, significa che l atmosfera assorbe il 100% della radiazione di quel tipo incidente, ovvero a terra non arriva nessun fotone a quelle λ. Il visibile è una finestra molto stretta in cui l opacità atmosferica è molto bassa (< 10%). Non a caso corrisponde all intervallo di lunghezze d onda a cui il nostro occhio è sensibile. Alle lunghezze d onda con bassa trasparenza atmosferica, le osservazioni possono essere condotte solo dallo spazio. 22

24 4.3 Luminosità, flusso ed intensità della radiazione em In questa parte caratterizzeremo il trasporto dell energia effettuato tramite la radiazione elettromagnetica. In generale, si dovrebbero risolvere le equazioni di Maxwell con le opportune condizioni al contorno, tuttavia nel caso in cui le lunghezze scala del sistema siano molto più grandi della lunghezza d onda della radiazione (approssimazione iconale) e ampiezza e direzione dell onda siano costanti su distanze >λ (limite dell ottica geometrica) si può effettuare una notevole semplificazione: in tali limiti si può assumere che la radiazione, e quindi l energia, viaggi lungo dei raggi; questi sono curve le cui tangenti, punto per punto, corrispondono alla direzione di propagazione dell onda ( k). Nel caso di onde piane, i raggi sono delle rette parallele tra loro, mentre nel caso delle onde sferiche sono delle rette passanti per il centro di emissione. Queste condizioni sono ben verificate nelle sorgenti astrofisiche le cui dimensioni sono certamente molto maggiori delle lunghezze d onda della radiazione em ma, ovviamente, non sono valide se si vuol considerare l interazione tra materia e radiazione a livello atomico e/o molecolare. Consideriamo una sorgente astrofisica che emette una quantità di energia de nel tempo dt; posso allora definire la Luminosità L = de dt ovvero la quantità di energia irraggiata nell unità di tempo. Unità di misura della luminosità sono ad esempio [L] = erg s 1, oppure L. Per le sorgenti astrofisiche la quantità caratterizzante non è di solito l energia ma la luminosità, spesso mantenuta costante su tempi scala molto lunghi. Ad esempio, il Sole ha una luminosità costante da circa 5 miliardi di anni. Infine, molti processi non dipendono direttamente dall energia ma dalla luminosità della radiazione incidente. Consideriamo adesso un elemento di superficie infinitesimo da, attraversato da dei raggi; la quantità più semplice che posso considerare relativamente al trasporto della radiazione è il Flusso, ovvero la quantità di energia de che attraversa la superficie da nel tempo dt, F = de (23) da dt l unità di misura di F è di solito [F ] = erg cm 2 s 1. Per vedere come si possono collegare Flusso e Luminosità, consideriamo una sorgente puntiforme che emette radiazione in modo isotropo ed è quindi una sorgente di onde sferiche (per esempio una stella). Se questa sorgente ha luminosità L, l energia irraggiata nel tempo t è E = L t. Questa energia viaggia lungo direzioni radiali, formando dei fronti d onda sferici per cui, ad una data distanza r dalla stella, il flusso dovuto all energia E che attraversa la superficie sferica S corrispondente è F (r) = E 4πr 2 t per definizione di Flusso come energia per unità di superficie e di tempo. Analogamente se considero una sfera S di raggio r, F (r )= E/(4πr 2 t). Poiché l energia che attraversa la superficie S deve essere la stessa che attraversa la superficie S (22) (24) E = L t = F (r)4πr 2 t = F (r )4πr 2 t (25) 23

25 si ottiene, F (r) = L (26) 4πr 2 per qualsiasi r. Questa è la cosiddetta legge dell inverso del quadrato che mette in relazione la luminosità al flusso di radiazione per una sorgente puntiforme che emette in modo isotropo. L e F si riferiscono a tutto lo spettro delle onde em sono ovvero quantità integrate su tutto lo spettro em. Molte volte è però più utile considerare le quantità specifiche ovvero l energia trasportata ad una determina frequenza. Si parla allora di luminosità e flusso specifico tali che L ν = de (27) dt dν ovvero de è la quantità di energia emessa dalla sorgente nel tempo dt con frequenza nell intervallo ν, ν + dν. Analogamente F ν = de da dt dν ovvero de è la quantità di energia che attraversa la superficie da nel tempo dt con frequenza nell intervallo ν, ν + dν. Evidentemente L = F = ed anche la legge dell inverso del quadrato assume la forma 0 F ν (r) = (28) L ν dν (29) F ν dν (30) L ν 4πr 2 (31) Analogamente alle quantità per unità di banda di frequenza si possono definire le quantità per unità di banda di lunghezza d onda ovvero L λ = de dt dλ F λ = de (33) da dt dλ Le relazioni con F ν e L ν si possono facilmente ritrovare imponendo la conservazione dell energia. La banda λ, λ + dλ corrisponderà a ν, ν + dν dato che λ = c/ν; imponendo che l energia sia la stessa in entrambe le formulazioni si ottiene semplicemente Ovvero, considerando ad esempio il flusso, si può scrivere (32) F λ dλ = F ν dν (34) L λ dλ = L ν dν (35) dν F λ = F ν dλ = F ν(c/λ) c (36) λ 2 24

26 Figura 13: Geometria per la definizione dell intensità specifica o brillanza nel caso in cui la superficia da sia perpendicolare (sinistra) o meno (destra) alla direzione di propagazione considerata. Si noti come λf λ e νf ν siano dimensionalmente dei flussi integrati e come risulti λf λ = νf ν (37) ovvero posso calcolare indifferentemente il membro di destra o di sinistra. Il flusso F è una misura dell energia trasportata da tutti i raggi che attraversano la superficie da indipendentemente dalla direzione da cui provengono. Per una descrizione più accurata della radiazione è necessario sapere la quantità di energia trasportata lungo ciascun raggio, ovvero lungo una determinata direzione. Il singolo raggio trasporta una quantità infinitesima di energia, per cui è necessario considerare la quantità di energia trasportata da un insieme di raggi la cui direzione di propagazione differisce in modo infinitesimo da quella in esame. Consideriamo la superficie da la cui normale è rappresentata dal versore ˆn e consideriamo tutti i raggi che attraversano la superficie da e la cui direzione di propagazione è contenuta all interno dell angolo solido dω attorno alla normale ˆn (figura 13). Si definisce l intensità specifica o brillanza la quantità I ν tale che, data la superficie da perpendicolare alla direzione di propagazione del raggio, si possa scrivere de = I ν da dt dω dν (38) ovvero la brillanza è un energia per unità di tempo, superficie, angolo solido e banda di frequenza. Le sue unità di misura sono tipicamente [I ν ] = erg cm 2 s 1 Hz 1 sterad 1, con sterad che può essere sostituito, per esempio, da arcsec 2. Si ricorda che 38 vale solo se da è perpendicolare alla direzione di propagazione. In generale, se da non è perpendicolare alla direzione di propagazione l energia che la attraversa è data da de = I ν cos θ da dt dω dν (39) 25

27 dove θ è l angolo tra la normale e la direzione di propagazione (figura 13). Il termine cos θ si spiega facilmente col fatto che la superficie che viene vista dalla radiazione durante la propagazione lungo una direzione è proprio la componente della superficie perpendicolare alla direzione di propagazione stessa. Si noti che nel caso in cui θ = π/2, la quantità di energia che attraversa la superficie vista di taglio dalla radiazione è nulla. Vogliamo adesso trovare il legame esistente tra intensità specifica e flusso. Come detto in precedenza, il flusso rappresenta tutta l energia che attraversa la superficie da indipendentemente dalla direzione di propagazione. Se consideriamo una qualsiasi direzione di propagazione, e chiamiamo come df ν il flusso dovuto alla sola direzione considerata deve valere per definizione di flusso ed intensità specifica ovvero de = I ν cos θ da dt dω dν = df ν da dt dν (40) df ν = I ν cos θdω (41) Il flusso di energia complessivo che attraversa la superficie da si ottiene integrando su tutte le direzioni possibili, ovvero su tutto l angolo solido: F ν = I ν (Ω) cos θdω (42) 4π F ν rappresenta il flusso netto attraverso la superficie da. Si è scritto I ν = I ν (Ω) per evidenziare che l intensità specifica dipende dalla direzione considerata. Se il campo di radiazione è isotropo, ovvero I ν (Ω) = cost. allora F ν = 0 in quanto F ν = I ν Ω cos θdω = 2π 0 π dφ dθ cos θ sin θ = 0 (43) 0 ricordando che in un sistema di coordinate sferiche (figura ) dω = sin θ dθ dφ. Se I ν (Ω) = cost. ma la radiazione proviene da un solo lato della superficie da allora F ν = I ν Ω cos θdω = 2π 0 π/2 dφ dθ cos θ sin θ = πi ν (44) 0 dove stavolta θ è limitato all intervallo [0, π/2]. Questo caso si applica, per esempio, alla superficie di una stella dove ovviamente la radiazione proviene solo dall interno della stella stessa. Una proprietà notevole della brillanza è la sua conservazione lungo i raggi se non avvengono processi di emissione o assorbimento della radiazione. Consideriamo la propagazione lungo un raggio come in figura 14. L energia che si propaga lungo la direzione in esame e che attraversa la superficie da 1 è mentre quella che attraversa la superficie da 2 è de 1 = I ν1 da 1 dt dω 1 dν (45) de 2 = I ν2 da 2 dt dω 2 dν (46) evidentemente l energia trasportata lungo il raggio si deve conservare se non intervengono processi di emissione ed assorbimento tra 1 e 2 per cui de 1 = de 2. Inoltre, i raggi che 26

28 Figura 14: Geometria per dimostrare la conservazione della brillanza lungo i raggi, in assenza di fenomeni di assorbimento o emissione. attraversano la superficie da 1 attraverseranno da 2 solo se dω 1 è l angolo solido sotto cui vedo la superficie da 2 da da 1 ovvero dω 1 = da 2 /R 2. Analogamente, i raggi che attraversano la superficie da 2 provengono da da 1 solo se dω 2 è l angolo solido sotto cui vedo la superficie da 1 da 2 ovvero dω 2 = da 1 /R 2. Imponendo la conservazione dell energia e sostituendo le espressione trovate per gli angoli solidi si ottiene I ν1 = I ν2 (47) ovvero la conservazione della brillanza. Sia s una coordinata lungo la direzione di propagazione (figura 14). La conservazione della brillanza si può esprimere come di ν ds = 0 (48) questa è la forma più semplice della cosiddetta equazione del trasporto radiativo. Vedremo più avanti come questa si complica tenedo conto dei processi di emissione ed assorbimento lungo la direzione di propagazione. Un ultima quantità di interesse è la densità di energia specifica u ν, definita come la densità di energia elettromagnetica per unità di volume e banda di frequenza tale che de = u ν dν dv (49) Per capire il suo legame con I ν, consideriamo la densità di energia per unità di angolo solido u ν (Ω), ovvero la densità di energia associata alla radiazione trasportata lungo un determinato raggio de = u ν (Ω) dν dω dv (50) Consideriamo il cilindro di figura 15 il cui asse è posto lungo la direzione di propagazione, con superficie di base da e altezza ds = c dt. L energia contenuta è pertanto de = u ν (Ω) dν dω c da dt (51) con dv = c da dt. Siccome la radiazione si muove alla velocità c, nel tempo dt tutta la radiazione attraverserà la superficie da, pertanto è possibile scrivere de = I ν da dν dω dt (52) 27

29 Figura 15: Geometria per dimostrare la conservazione della brillanza lungo i raggi, in assenza di fenomeni di assorbimento o emissione. ovvero u ν (Ω) = I ν /c (53) Integrando sull angolo solido, si giunge infine alla relazione tra I ν e u ν, cioè tra intensità e densità di energia: u ν = 1 I ν dω (54) c 4π Si noti come u ν non è direttamente legata a F ν, infatti F ν = 4π I ν cos θdω (55) Chiudiamo questa parte mostrando il legame tra la l energia trasportata nel caso della trattazione ondulatoria e quella trattata con l equazione del trasporto radiativo. Se S è la media temporale (su tempi 1/ν) del modulo del vettore di Poynting, in particolari condizioni valide per i sistemi astrofisici risulta S = ed inoltre I ν dν = I (56) u ν dν = E = 1 S (57) c 28

30 Figura 16: Lente convergente con sorgenti vicine (sinistra) e all infinito (sinistra) 5 L osservazione delle sorgenti astronomiche In ultima analisi le quantità che ci interessano di una sorgente astrofisica sono L ν ma anche I ν, in quanto la brillanza si conserva lungo i raggi. Vediamo adesso in modo molto semplice come si possono stimare misurare o dedurre queste quantità dalle immagini astronomiche. Un sistema ottico costituito da un telescopio e da uno strumento ad esso associato (camera per immagini o spettrografo) può essere descritto in prima approssimazione con una lente convergente avente: lunghezza focale f, pari alla lunghezza focale del sistema telescopio+strumento; diametro D, pari al diametro della pupilla d ingresso (supposta circolare) che in genere corrisponde allo specchio primario del telescopio, ovvero la superficie che raccoglie effettivamente la radiazione. Ricordando i concetti di ottica geometrica applicati alle lenti, detta f la distanza focale della lente, o la posizione dell oggetto e i la posizione dell immagine, si ha 1 i + 1 o = 1 f (58) dove f>0per una lente convergente, ed i, o sono positivi se la loro posizione rispetto alla lente è come in figura 16. Se la sorgente (O) si trova all infinito, come nel caso di un sistema astrofisico, i raggi sono paralleli e formano un immagine puntiforme sul piano focale. Consideriamo ad esempio due sorgenti all infinito O e O 2, la prima allineata con l asse ottico, la seconda che forma un angolo θ con l asse ottico; l immagine di O si formerà sul piano focale nel punto F, mentre l immagine di O 2 si formerà nel punto F 2 posto a distanza l = θ f da F. È chiaro quindi che, conoscendo la distanza focale del sistema f, è possibile convertire le distanze misurate sul piano focale, ovvero sull immagine, in angoli secondo la relazione θ = l/f. In conclusione, sorgenti all infinito (stelle) formeranno sul piano focale immagini puntiformi. Le dimensioni angolari delle sorgenti estese o le distanze apparenti sulle immagini possono essere facilmente misurate conoscendo la distanza focale del sistema. In figura 17 si mostra come l occhio sia equivalente al sistema ottico appena descritto: il cristallino è la lente che forma le immagini delle sorgenti sulla retina posta sul piano 29

31 Figura 17: Configurazione schematica dell occhio (sinistra) e di un telescopio rifrattore (destra) ovvero che utilizza la rifrazione della luce tramite lenti per formare immagini. Figura 18: Semplici configurazioni per un telescopio riflettore ovvero che utilizza la riflessione della luce per formare immagini. La figura di sinistra indica la configurazione con Fuoco Primario, mentre quella di destra indica la configurazione con Fuoco Cassegrain. 30

32 focale. Il cristallino ha la capacità di variare la sua lunghezza focale in modo da riuscire a formare sempre le immagini sulla retina al variare della distanza delle sorgenti. L iride è un diaframma che regola le dimensioni dell apertura di raccolta della luce (pupilla di ingresso). Il telescopio rifrattore, utilizzato da Galileo nella sua forma più semplice schematizzata in figura, serve principalmente ad aumentare la superficie di raccolta della radiazione ed è costituito da una lente obiettivo e da un oculare con il fuoco in comune. Le dimensioni della lente obiettivo determinano l area di raccolta della radiazione, mentre la lunghezza focale della lente oculare determina l ingrandimento dell immagine finale. Si noti che la presenza della lente oculare è richiesta soltanto nel caso in cui si voglia osservare con l occhio al telescopio altrimenti si può direttamente registrare l immagine formata sul piano focale della lente obiettivo. In figura 18 sono schematizzate due semplici configurazioni per un telescopio riflettore. Nel primo caso, uno specchio concavo (es. un paraboloide), forma l immagine di una sorgente all infinito nel fuoco, dove è posto direttamente il rivelatore. Nel secondo caso allo specchio primario è associato un specchio secondario convesso (es. un iperboloide) avente il fuoco in comune. In tal caso l immagine di una sorgente puntiforme viene formata nel secondo fuoco dell iperboloide. Questa configurazione, comunemente utilizzata per i telescopi riflettori, prende il nome di Cassegrain. Vi sono notevoli vantaggi nell utilizzo dei telescopi riflettori rispetto ai rifrattori (alta efficienza di riflessione, possibilità di costruire specchi di oltre 10m di diametro, strutture compatte e più economiche, ecc.) per cui i grandi telescopi utilizzati al giorno d oggi per la ricerca sono tutti riflettori. Le dimensioni finite dei telescopi rispetto ai fronti d onda causano un fenomeno di diffrazione per cui una sorgente all infinito genererà una immagine non puntiforme ma con dimensione apparente pari a circa θ lim λ ( ) ( ) λ D 1 D =0.013 (59) 5000 Å 8m θ lim, costituisce il cosiddetto limite di diffrazione per un telescopio. La minima dimensione angolare misurabile in un immagine prende anche il nome di risoluzione spaziale. In realtà, con osservazioni da Terra, non si osservano mai dimensioni apparenti così piccole per le sorgenti puntiformi. A causa della rifrazione e della turbolenza atmosferica le immagini delle sorgenti puntiformi hanno dimensioni ben più grandi. La dimensione di una sorgente puntiforme a seguito della turbolenza atmosferica è detta seeing. Un valore tipico per il seeing è 1 ; nei momenti peggiori o nei siti non idonei si può arrivare a seeing ben oltre 5 ed in tal caso si interrompono le osservazioni; nelle condizioni migliori si possono avere anche valori più bassi dell ordine di θ seeing In ogni caso la risoluzione spaziale ottenibile è oltre un fattore 20 superiore al limite di diffrazione. Il seeing dipende dalla lunghezza d onda a cui si effettuano le osservazioni secondo la relazione θ seeing λ 1/5. Per esempio, se il seeing è 1 a 5000 Å, nel vicino infrarosso a Å=2µm sarà pari a 1 (20000 Å/5000 Å) 1/ Per rivelare i fotoni sul piano focale e registrare l immagine si utilizzano di solito dei rivelatori costituiti da matrici di n m elementi fotosensibili, ciascuno dei quali conta i fotoni che cadono sulla sua superficie di raccolta (in genere rettangolare o quadrata). In pratica per ottenere un immagine astronomica divido il piano focale in tanti elementi di superficie detti picture elements (pixels) ed associo a ciascuno di essi il numero di fotoni incidenti (figura 19). Un immagine è pertanto una matrice di numeri n m, ciascuno dei quali è direttamente proporzionale il numero di fotoni caduto sul dato pixel i, j. È chiaro 31

33 Figura 19: Immagine astronomica come matrice di pixels. Figura 20: Immagini dello stesso campo di vista campionate con un numero diverso di pixels. 32