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1 SIT Servizio di Taratura in Italia TITOLO INTRODUZIONE AI CRITERI DI VALUTAZIONE DELLA INCERTEZZA DI MISURA NELLE TARATURE Identificazione: Doc-519 Revisione: 5 Data: Pagina 1 di 78 Inizio validità Annotazioni: Rev. 5 Completata la traduzione degli esempi. COPIA CONTROLLAT A N CONSEGNATA A: COPIA NON CONTROLLATA N CONSEGNATA A: 5 Revisione parziale F. Galliana M. Mosca. 4 Revisione parziale A. Cappa M. Mosca. 3 Revisione parziale A. Cappa M. Mosca. Revisione parziale 05/05/98 G. Bongiovanni. P. Soardo.. 1 Revisione parziale 1993 W. Bich. P. Soardo. 0 Emissione 1988 S. D Emilio... C. Egidi.. Revisione Descrizione Data Redazione Approvazione

2 SIT Servizio di Taratura in Italia TITOLO INTRODUZIONE AI CRITERI DI VALUTAZIONE DELLA INCERTEZZA DI MISURA NELLE TARATURE Identificazione: Doc-519 Revisione: 5 Data: Pagina di Scopo e campo di applicazione Il SIT adotta la guida EA-4/0 (prec. EAL-R) come documento di riferimento, che i Laboratori di taratura accreditati devono seguire nella valutazione della incertezza nelle misurazioni nei processi di taratura e nella dichiarazione dell incertezza da riportare nei certificati di taratura. Il presente documento riporta in allegato la traduzione in lingua italiana della guida in oggetto, oltre a riassumerne brevemente i punti fondamentali. Gli esempi riportati nella EA-4/0 devono essere utilizzati per la migliore comprensione della legge di propagazione dell incertezza e della sua applicazione, non sono da ritenersi cogenti nei singoli settori metrologici a cui si riferiscono, per quanto riguarda i metodi di taratura. Per questo esistono altri guide SIT, EA, EUROMET oltre che la normativa tecnica nel suo complesso.. Riferimenti.1 EA-4/0 "Expression of the uncertainty of measurement in calibration". UNI CEI ENV "Guida all espressione dell incertezza di misura" Altri riferimenti utili per la stima dell incertezza, possono essere trovati in:.3 EA-4/16 "Guidelines on the expression of uncertainty in quantitative testing".4 UNI ISO 575-1,,-6 "Accuratezza (esattezza e precisione) dei risultati e dei metodi di misurazione".5 ISS Quantificazione dell incertezza nelle misure analitiche traduzione della seconda edizione (000) di EURACHEM/CITAC Guide CG4, in 3. Concetti fondamentali della EA-4/0 La EA-4/0 è in accordo con la Guida pubblicata congiuntamente da BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAC, IUPAP ed OIML (detta sovente GUM), e la cui versione italiana è stata pubblicata a cura di UNI e CEI come norma UNI CEI ENV (.). L informazione ottenuta nel processo di misurazione di un misurando, la misura, non è completa se non è corredata da indicazioni utili ad illustrarne l affidabilità. Queste indicazioni sono: l incertezza da cui si pensa possa essere affetta la stima del misurando, il livello di fiducia che si ha nella stima che si è fatta sull incertezza. L incertezza del risultato di una misurazione indica la impossibilità di una esatta conoscenza del valore della grandezza che si vuole misurare. Secondo le raccomandazioni degli organismi internazionali competenti, le incertezze vengono classificate nelle categorie A e B in base al metodo utilizzato per stimarle. Precisamente, sono di categoria A quelle valutate per mezzo dell analisi statistica di serie di osservazioni, e di categoria B quelle valutate con mezzi diversi dall analisi statistica di serie di osservazioni. L informazione utilizzata per stimare l incertezza di categoria A proviene dallo stesso esperimento o misurazione che si sta esaminando, mentre quelle di categoria B deriva da fonti esterne, quali: dati di misurazioni precedenti,

3 SIT Servizio di Taratura in Italia TITOLO INTRODUZIONE AI CRITERI DI VALUTAZIONE DELLA INCERTEZZA DI MISURA NELLE TARATURE Identificazione: Doc-519 Revisione: 5 Data: Pagina 3 di 78 esperienza o conoscenza generale del comportamento e delle proprietà dei materiali e strumenti di interesse, specifiche tecniche dichiarate dal costruttore, dati forniti in certificati di taratura o altri, incertezze assegnate a valori di riferimento presi da manuali. Lo scopo della classificazione in categoria A e categoria B è quello di indicare le due diverse modalità di valutazione dei contributi dell incertezza e non sottintende l esistenza di differenze nella natura delle componenti risultanti dai due tipi di valutazione. Secondo l impostazione della UNI CEI ENV [.], il misurando Y viene determinato a partire dalle misure di un certo numero N di grandezze X i (i=1,, N) dalle quali lo stesso misurando dipende attraverso una opportuna relazione funzionale. Le informazioni sulle grandezze X i, ricavate sperimentalmente eseguendo la procedura di misura, sono i valori di misura x i e le incertezze di misura u(x i ), dette incertezze tipo. Il risultato della misurazione y, che descrive il valore del misurando Y, deve essere accompagnato da un intervallo di valori numerici associato ad una unità di misura, u c (y), l incertezza associata alla misurazione, detta incertezza tipo composta. L incertezza tipo composta della stima del misurando è una valutazione quantitativa dell incertezza perfettamente idonea a caratterizzare le misure effettuate. Essa viene stimata come la radice quadrata positiva della somma pesata dei quadrati delle incertezze tipo u(x i ) secondo la legge di propagazione delle incertezze. L espressione della sola incertezza tipo composta, non è solitamente sufficiente. Si richiede la specificazione di un intervallo che comprenda una frazione rilevante, e se possibile nota, dei valori attribuibili al misurando (livello di fiducia). Ad esempio, l organismo Europeo di coordinamento dei sistemi nazionali di taratura, l EA, richiede che i Laboratori di taratura accreditati specifichino nei loro certificati un intervallo di questo tipo. La valutazione quantitativa dell incertezza che risponde a questo requisito è l incertezza estesa, indicata con U(y), che si ottiene moltiplicando l incertezza tipo composta per un opportuno fattore di copertura k: U(y) = k u c (y). Il valore del fattore di copertura, in linea di principio arbitrario, dipende dall applicazione alla quale la misura è destinata e dal livello di fiducia a cui è associato, ed è tipicamente compreso tra e 3. L EA ha stabilito che, salvo diversa specificazione, il livello di fiducia a cui associare l espressione dell incertezza estesa debba essere di circa il 95 %. L espressione della stima y del risultato di un misurando Y dovrà, quindi essere Y = y ± U(y) Questa indicazione deve sempre essere accompagnata dalla grandezza fisica in cui il misurando può essere espresso. Il certificato di taratura deve inoltre riportare, a seconda della distribuzione di probabilità e del grado di affidabilità che si può associare alla variabile di uscita y, una dichiarazione d'incertezza avente uno dei seguenti contenuti: se l incertezza è legata una variabile casuale con distribuzione normale ed è sufficientemente affidabile

4 SIT Servizio di Taratura in Italia TITOLO INTRODUZIONE AI CRITERI DI VALUTAZIONE DELLA INCERTEZZA DI MISURA NELLE TARATURE Identificazione: Doc-519 Revisione: 5 Data: Pagina 4 di 78 L'incertezza estesa indicata è espressa come l'incertezza tipo moltiplicata per il fattore di copertura k=, che per una distribuzione normale corrisponde ad un livello di fiducia di circa il 95%. I casi in cui si può emettere una dichiarazione di questo genere sono illustrati nel par. 5 della EA-4/0, nella pratica dei laboratori di taratura questa è la situazione che si verifica più frequentemente. nei casi in cui non si può assumere una distribuzione di probabilità normale o la stima non è sufficientemente affidabile L'incertezza estesa indicata è espressa come l'incertezza tipo moltiplicata per un opportuno fattore di copertura k = XX che, per una certa distribuzione t di Student con gradi di libertà ν eff = YY, corrisponde ad un livello di fiducia di circa il 95%. Può essere utile, infine, ricordare che l incertezza in un processo di taratura dipende da una serie di componenti che possono essere raggruppate come segue: (l elenco non è esaustivo e dipende fortemente dalle grandezze coinvolte nel processo, si veda anche l allegato C della EA-4/0) l incertezza dovuta ai campioni ed agli strumenti usati come riferimento; l incertezza dovuta al metodo e alla procedura di taratura usati; l incertezza dovuta alle grandezze d influenza; l incertezza inerente alla definizione del misurando, cioè della particolare grandezza del sistema sottoposto a misurazione; l incertezza legata al numero delle misurazioni eseguite; l incertezza dipendente da fattori ambientali e legati alla preparazione metrologica degli operatori. A loro volta l incertezza dovuta ai campioni ed agli strumenti di riferimento nella catena metrologica sono stabiliti tenendo conto almeno dei seguenti contributi: l incertezza con cui l Istituto Metrologico Primario misura una data grandezza nel campo e nelle condizioni di misura d interesse; la componente d incertezza introdotta dalla procedura di confronto tra il campione primario ed il campione di prima linea del Laboratorio; il comportamento del campione di prima linea tra due successive tarature; le procedure ed gli strumenti usati nei successivi passaggi nella catena metrologica a partire dai campioni di prima linea interessati. APPENDICE Si riporta, qui di seguito, la traduzione della guida EA-4/0, effettuata a cura del SIT. Al lavoro di traduzione hanno collaborato parecchi colleghi, tra i quali è necessario citare espressamente A. Cappa, per la parte generale e F. Galliana per gli esempi.

5 TRADUZIONE DEL DOCUMENTO EA-4/0 (ex EAL-R) A CURA DEL SIT SERVIZIO DI TARATURA IN ITALIA Espressione dell incertezza di misura nelle tarature SCOPO Scopo di questo documento è armonizzare la valutazione dell incertezza di misura in ambito EA; stabilire, in aggiunta ai requisiti generali di EAL-R1 (EA-4/01), i criteri da seguire nell espressione dell'incertezza di misura sui certificati di taratura emessi dai laboratori accreditati; aiutare i servizi di accreditamento ad un'assegnazione coerente delle incertezze di accreditamento ai laboratori di taratura da loro accreditati. Poiché le regole stabilite in questo documento sono conformi alle raccomandazioni della Guida all'espressione dell incertezza di misura, pubblicata da sette organizzazioni internazionali di normazione e metrologia, l'attuazione della EA-4/0 favorirà la totale conformità nell accettazione dei risultati delle misure in Europa. Nota Questo documento è stato redatto dal gruppo di esperti del EAL per la revisione del doc di WECC per conto del comitato (taratura ed attività di prova) dell EAL. Contiene una revisione completa del doc di WECC, che sostituisce. Lingua ufficiale Il testo, se necessario, potrà essere tradotto in altre lingue pur restando quella in lingua inglese la versione di riferimento. Diritti I diritti di questo testo sono proprietà dell EA. Il testo non può essere copiato. Ulteriori informazioni Per ulteriori informazioni su questo documento, contattare i Membri Nazionali EA. L elenco dei membri dell EA può essere trovato in Dicembre 1999 pag. 1 di 74

6 Indice Capitolo 1 Introduzione Sommario e definizioni 3 Valutazione dell incertezza di misura delle stime d ingresso 4 Calcolo dell incertezza tipo della stima d uscita 5 Incertezza Estesa 6 Dichiarazione dell incertezza nei certificati di taratura 7 Riassunto della procedura di calcolo dell incertezza di misura 8 Riferimenti Appendice A Appendice B Appendice C Appendice D Appendice E Supplemento 1 Supplemento Pag. Dicembre 1999 pag. di 74

7 TRADUZIONE DI EA-4/0 Espressione della incertezza di misura nelle tarature 1 Introduzione 1.1 Questo documento stabilisce i principi fondamentali e le modalità per la valutazione dell incertezza di misura nelle tarature e la dichiarazione di questa incertezza nei certificati di taratura. L argomento è qui trattato ad un livello generale per adattarsi a tutti i settori di taratura. Per renderlo più facilmente applicabile, il metodo qui schematizzato potrà essere integrato da raccomandazioni specifiche per i diversi settori. Queste guide supplementari, saranno sviluppate sulla base dei principi generali stabiliti in questo documento allo scopo di assicurare l armonizzazione tra i diversi settori. 1. Questo documento è in accordo con la Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, pubblicata nel 1993 a cura di BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAC, IUPAP e OIML [rif. 1] e con la traduzione italiana UNI CEI ENV del luglio 000. Ma, mentre tale guida stabilisce per la valutazione e l espressione dell incertezza, regole generali che possono essere seguite nella maggior parte delle misure fisiche, questo documento si concentra sul metodo più appropriato per le misure nei laboratori di taratura e descrive un percorso preciso e omogeneo di valutazione ed espressione dell incertezza. Esso comprende i sequenti argomenti: definizioni di base; metodi di valutazione dell incertezza delle stime d ingresso; relazione tra l incertezza della stima di uscita e le incertezze delle stime d ingreso; incertezza estesa della grandezza di uscita; dichiarazione dell incertezza; riassunto della procedura per il calcolo dell incertezza. Nei supplementi, saranno elaborati esempi che mostrano l applicazione del metodo qui descritto a problemi specifici di misura in campi differenti. La valutazione dell incertezza di misura è anche citata in alcuni dei documenti EA che forniscono indicazioni su metodi di taratura; alcuni di questi documenti sviluppano in dettaglio esempi specifici. 1.3 In ambito EA l incertezza di accreditamento (sempre riferita ad una particolare grandezza, vale a dire al misurando) è definita come la più piccola incertezza di misura che il laboratorio può raggiungere nelle misure accreditate, quando esegua tarature più o meno correnti di campioni pressoché ideali, finalizzate a definire, realizzare, conservare o riprodurre l unità di quella grandezza o uno o più valori di essa, o quando esegua tarature più o meno correnti di pressoché ideali strumenti per la misurazione di quella grandezza. La valutazione dell incertezza limite dei laboratori di taratura accreditati deve essere basata sul metodo descritto in questo documento, ma sarà normalmente avvalorata o confermata da riscontri sperimentali. Nell Appendice A sono fornite ulteriori indicazioni a supporto degli organismi di accreditamento nella definizione dell incertezza di accreditamento. Dicembre 1999 pag. 3 di 74

8 TRADUZIONE DI EA-4/0 Espressione della incertezza di misura nelle tarature Sommario e definizioni Nota: In questo documento, i termini di particolare rilevanza sono scritti in grassetto quando appaiono per la prima volta. L Appendice B contiene un glossario di questi termini e i riferimenti da cui sono state tratte le definizioni..1 L espressione del risultato di una misurazione è completa soltanto se contiene sia il valore attribuito al misurando sia l incertezza di misura associata a questo valore. Nel presente documento tutte le grandezze non perfettamente note sono trattate come variabili casuali, incluse le grandezza di influenza che possono influenzare il valore misurato.. L incertezza di misura è un parametro, associato al risultato della misurazione, che caratterizza la dispersione del valore che può ragionevolmente essere attribuito al misurando [rif. ]. In questo documento il termine incertezza è usato generalmente per incertezza di misura se questo non da adito ad interpretazioni errate. Per le sorgenti tipiche di incertezza in una misurazione vedere la lista fornita nell Appendice C..3 I misurandi sono le grandezze oggetto della misurazione. Nella taratura normalmente si stabilisce una relazione tra un misurando o grandezza di uscita Y e un certo numero di grandezze di ingresso X i (i = 1,,, N) secondo la relazione Y = f(x 1, X,, X N ) (.1) La funzione f rappresenta la procedura di misurazione ed il metodo di valutazione. Essa permette di calcolare quali valori della grandezza di uscita Y corrispondenti ai valori delle grandezze d ingresso X i. Nella maggior parte dei casi essa sarà un espressione analitica, ma può anche essere un gruppo di tali espressioni che includono correzioni e coefficienti di correzione per effetti sistematici, e che producano una relazione assai complessa che non può essere espressa come funzione esplicita. Inoltre, f può essere determinata sperimentalmente, valutata numericamente con un algoritmo di calcolo, oppure può essere una combinazione dei casi suesposti..4 L insieme delle grandezze d ingresso X i può essere suddiviso in due categorie in funzione del metodo con cui sono stati determinati il valore e l incertezza associata: (a) Grandezze la cui stima e l incertezza associata sono determinate direttamente con la misurazione in atto. I loro valori possono essere ottenuti, per esempio, da un singola osservazione, da osservazioni ripetute, o da una valutazione basata sull esperienza. Esse possono comportare la determinazione di correzioni alle letture strumentali così come correzioni per le grandezze d influenza, quali la temperatura ambiente, la pressione atmosferica o l umidità; (b) Grandezze la cui stima e incertezza associata sono introdotte nella misurazione da una fonte esterna, come grandezze associate a campioni tarati, materiali di riferimento certificati o dati di riferimento tratti da manuali. Dicembre 1999 pag. 4 di 74

9 TRADUZIONE DI EA-4/0 Espressione della incertezza di misura nelle tarature.5 Una stima del misurando Y, la stima d uscita indicata con y, si ottiene dall equazione (.1) usando le stime d ingresso x i per i valori delle grandezze d ingresso X i y = f ( x1, x,.., x N ) (.) è sottinteso che i valori d ingresso sono stime ottime, e corrette quindi per tutti gli effetti significativi per il modello. Se così non è, si dovranno introdurre le necessarie correzioni come grandezze d ingresso separate..6 Come misura della dispersione dei valori di una variabile casuale si usa la varianza della sua distribuzione, o la radice quadrata positiva della varianza, chiamata scarto tipo. L incertezza tipo composta della stima d uscita y, indicata con u(y), è lo scarto tipo di detta stima. Esso si determina dalle stime x i delle grandezze d ingresso X i e dalle loro incertezze tipo u(x i ). L incertezza tipo di una stima ha la stessa dimensione della stima. In alcuni casi può essere utile l incertezza tipo relativa ovvero l incertezza tipo di stima divisa per il modulo di quella stima. L incertezza relativa è quindi adimensionale. Questo concetto non può essere applicato se la stima è uguale a zero. 3 Valutazione dell incertezza delle stime d ingresso 3.1 Considerazioni generali Le incertezze delle stime d ingresso sono ottenute con metodi classificabili in due categoria, A e B. Il metodo di valutazione di categoria A dell incertezza tipo è basato sull analisi statistica di una serie di osservazioni. In questo caso l incertezza tipo è lo scarto tipo sperimentale della media delle osservazioni ottenuta con la media aritmetica o con un appropriata analisi di regressione. La valutazione dell incertezza tipo di categoria B non si basa sull analisi statistica di una serie di osservazioni. In questo caso la valutazione dell incertezza si basa su altre conoscenze scientifiche. Nota: Ci sono situazioni, che si incontrano raramente nelle tarature, in cui tutti i possibili valori di una grandezza stanno dalla stessa parte di un singolo valore limite. Un caso ben noto è il così detto errore del coseno. Per il trattamento di questi casi speciali, vedere rif Valutazione di categoria A dell incertezza tipo 3..1 La valutazione di categoria A dell incertezza tipo può essere applicata quando siano state fatte diverse osservazioni indipendenti della grandezza d ingresso nelle stesse condizioni di misura. Se il processo di misurazione ha sufficiente risoluzione si osserverà una dispersione dei valori ottenuti. 3.. Si assuma che la grandezza d ingresso X i misurata ripetutamente sia la grandezza Q. Con n (n > 1) osservazioni statisticamente indipendenti, la stima della grandezza Q è q, la media aritmetica dei valori delle singole osservazioni q j (j = 1,,, n) Dicembre 1999 pag. 5 di 74

10 TRADUZIONE DI EA-4/0 Espressione della incertezza di misura nelle tarature q = 1 n n j= 1 q j (3.1) L incertezza di misura associata alla stima q si valuta con uno dei metodi seguenti: (a) Una stima della varianza della distribuzione di probabilità della popolazione è la varianza sperimentale s²(q) dei valori q j che è data da s n 1 ( q) = ( qj q) n (3.) 1 j= 1 La sua radice quadrata (positiva) è definita scarto tipo sperimentale. La migliore stima della varianza della media aritmetica q è la varianza sperimentale della media data da s s ( q) ( q) = (3.3) n La sua radice quadrata (positiva) è lo scarto tipo sperimentale della media. L incertezza tipo uq ( ) associata alla grandezza d ingresso q è lo scarto tipo sperimentale della media. uq ( ) = sq ( ) (3.4) Attenzione: Generalmente, quando il numero n di misurazioni è piccolo (n < 10), l affidabilità di una valutazione dell incertezza tipo di categoria A, espressa secondo l equazione (3.4), deve essere ponderata con attenzione. Se il numero di osservazioni non può essere incrementato, bisogna considerare gli altri modi di valutazione dell incertezza tipo riportati nel testo. (b) Nel caso di una misurazione ben caratterizzata e sotto controllo statistico, può essere disponibile una stima cumulata della varianza s p che caratterizzi la dispersione meglio di una stima dello scarto tipo ottenuta da un limitato numero di osservazioni. Nei casi in cui il valore della grandezza d ingresso Q è determinato mediante la media aritmetica q di un piccolo numero n di osservazioni indipendenti, la varianza della media può essere stimata con s sp ( q) = (3.5) n L incertezza tipo si deduce da questo valore usando l equazione (3.4) 3.3 Valutazione di categoria B dell incertezza tipo La valutazione di categoria B dell incertezza tipo è quella valutazione di stima d'ingresso x i ottenuta in modo diverso rispetto al trattamento statistico di una serie Dicembre 1999 pag. 6 di 74

11 TRADUZIONE DI EA-4/0 Espressione della incertezza di misura nelle tarature di osservazioni. L incertezza tipo u(x i ) si valuta in base a un giudizio scientifico di tutte le informazioni utili sulla possibile variabilità di X i. Valori che rientrano propriamente in questa categoria possono derivare da: (c) Dati di misurazioni precedenti; (d) Esperienza o conoscenza generale del comportamento e delle proprietà di materiali o strumenti di interesse; (e) specifiche tecniche del costruttore; (f) dati forniti da certificati di taratura o di altro genere; (g) incertezze assegnate a valori di riferimento presi da manuali Il corretto uso delle informazioni disponibili per la valutazione di categoria B dell incertezza tipo richiede intuizione basata sull esperienza e sulla conoscenza generale. Questa è una capacità che può essere acquisita con la pratica. Una ben fondata valutazione di categoria B può essere attendibile quanto una di categoria A, specialmente in una situazione sperimentale in cui la valutazione di categoria A sia basata su un piccolo numero di osservazioni indipendenti. Si possono avere i seguenti casi: (a) Quando sia noto un solo valore della grandezza X i, cioè una sola misura, il risultato di una misura precedente, un valore di riferimento tratto dalla letteratura, o il valore di una correzione, questo sarà usato come x i. Quando sia nota, sarà associata a x i, l incertezza tipo u(x i ). Altrimenti essa sarà calcolata da dati di incertezza non ambigui. Se dati di questo genere non sono disponibili, l incertezza sarà valutata sulla base dell esperienza. (b) Quando per la grandezza X i, si possa assumere una distribuzione di probabilità basata sulla teoria o sull esperienza, la stima x i e l incertezza u(x i ) saranno il valore atteso della distribuzione e la radice quadrata della sua varianza rispettivamente. (c) Se per il valore di una grandezza X i si possono stimare soltanto un limite superiore ed inferiore a + ed a - (es. le specifiche tecniche di uno strumento, un intervallo di temperatura, l errore risultante da un arrotondamento o troncamento provocato da una elaborazione automatica dei dati), si dovrà assumere una densità di probabilità costante tra questi limiti (distribuzione rettangolare o uniforme) per la possibile variabilità della grandezza d ingresso X i. Conformemente al caso (b) questo significa: 1 xi = a+ + a ( ) (3.6) per la stima e 1 u ( xi ) = ( a+ a ) (3.7) 1 Dicembre 1999 pag. 7 di 74

12 TRADUZIONE DI EA-4/0 Espressione della incertezza di misura nelle tarature per il quadrato dell incertezza tipo. Se la differenza tra i valori limite è a, l equazione (3.7) diventa 1 u ( xi ) = a (3.8) 3 La distribuzione rettangolare è una descrizione ragionevole in termini di probabilità di una conoscenza inadeguata della grandezza d ingresso X i in assenza di altre informazioni oltre i suoi limiti di variabilità. Ma se è noto che i valori della grandezza in questione vicino al centro dell intervallo di variabilità sono più probabili dei valori compresi tra i limiti, una distribuzione triangolare o normale può essere un modello migliore. D altra parte se valori prossimi ai limiti sono più probabili dei valori vicini al centro dell intervallo, una distribuzione a U può essere più appropriata. 4 Calcolo dell incertezza tipo della stima d uscita 4.1 Per grandezze d ingresso non correlate il quadrato dell incertezza tipo della stima d uscita y (o incertezza tipo composta) è dato da N u ( y) = ui ( y) (4.1) i= 1 Nota: Ci sono casi, raramente presenti nelle tarature, in cui il modello della misurazione è fortemente non lineare; in altri casi alcuni coefficienti di sensibilità [vedi equazioni (4.) e (4.3)] sono molti. In questi casi devono essere inclusi nell equazione (4.1) termini di ordine superionre. Per il trattamento di questi casi speciali vedere rif. 1. Il termine u i (y) (i = 1,,, N) è il contributo all incertezza tipo composta risultante dall incertezza tipo della stima d ingresso x i, u i (y) = c i u(x i ) (4.) dove c i è il coefficiente di sensibilità della stima d ingresso x i, cioè la derivata parziale della funzione f rispetto a X i, viste per il valore x i, c i f f = = x X i i X1= x1.. XN= xn (4.3) 4. Il coefficiente di sensibilità c i rende conto di quanto la stima d uscita y è influenzata dalle variazioni della stima d ingresso x i. Esso può essere calcolato con l equazione (4.3) o usando metodi numerici, cioè calcolando la variazione della stima d uscita y dovuta ad una variazione della stima d ingresso x i di +u(x i ) e -u(x i ) e prendendo come valore di c i la risultante variazione di y divisa per u(x i ). Talvolta può essere vantaggioso ricercare la variazione della stima d uscita y attraverso un esperimento che preveda, per esempio, la ripetizione della misura ai valori di x i ± u(x i ). Dicembre 1999 pag. 8 di 74

13 TRADUZIONE DI EA-4/0 Espressione della incertezza di misura nelle tarature 4.3 Mentre u(x i ) è sempre positivo, il contributo u i (y) per la (4.) può essere positivo o negativo, in funzione del segno del coeficiente di sensibilità c i. Del segno di c i si deve tener conto nel caso di grandezze d ingresso correlate, vedere equazione (D4) dell Appendice D. 4.4 Se la funzione f è una somma o una differenza di grandezze d ingresso X i N f( X, X, K, X ) = p X (4.4) 1 N i i i= 1 la stima d uscita, secondo l equazione (.), è data dalla somma o dalla differenza delle stime d ingresso y= N i= 1 p i x i (4.5) in questo caso i coefficienti di sensibilità sono pari a p i e l equazione (4.1) diventa N u ( y) = pi u ( xi) (4.6) i= Se la funzione modello è un prodotto o un quoziente delle grandezze d ingresso X i N pi f( X1, X, K, XN) = c Xi (4.7) i= 1 la stima d uscita è il corrispondente prodotto o quoziente delle stime d ingresso N pi y= c x i i= 1 (4.8) In questo caso i coefficienti di sensibilità valgono p i y/x i e si ottiene una espressione analoga alla (4.6) dall equazione (4.1), se si usano le incertezze relative w(y) = u(y)/ y e w(x i ) = u(x i )/ x i N w ( y) = pi w ( xi) (4.9) i= Se due grandezze d ingresso sono in qualche misura correlate, cioè se sono mutuamente dipendenti, occorre considerare la loro covarianza tra i contributi all incertezza. Vedere nell Appendice D come ciò si debba fare. La capacità di tener conto dell effetto delle correlazioni dipende dalla conoscenza del processo di misura e dalla valutazione della mutua dipendenza delle grandezze d ingresso. In generale si deve considerare che trascurando la correlazione tra le grandezze Dicembre 1999 pag. 9 di 74

14 TRADUZIONE DI EA-4/0 Espressione della incertezza di misura nelle tarature d ingresso si può incorrere in una valutazione sbagliata dell incertezza tipo del misurando. 4.7 La covarianza associata alla stima di due grandezze d ingresso X i e X k può essere considerata trascurabile se (a) Le grandezze d ingresso X i e X k sono indipendenti, per esempio, perché sono state osservate in differenti esperimenti ripetutamente ma non simultaneamente o perché esse rappresentano grandezze risultanti da valutazioni fatte in modo indipendente, o se (b) una delle grandezze d ingresso X i e X k può essere considerata costante, o se (c) l indagine non fornisce indicazioni sulla presenza di correlazione tra le grandezze d ingresso X i e X k Talvolta le correlazioni possono essere eliminate con un appropriata scelta della relazione funzionale. 4.8 L analisi dell incertezza talvolta chiamata bilancio dell incertezza dovrebbe includere una lista di tutte le fonti di incertezza insieme con le incertezze tipo e i metodi di valutazione delle stesse. Per misure ripetute si dovrà specificare anche il numero n di osservazioni. Per ragioni di chiarezza si raccomanda di presentare i dati significativi di questa analisi sotto forma di tabella. In questa tabella si dovrebbe fare riferimento a tutte le grandezze X i con un simbolo fisico o con un breve identificativo. Per ciascuna di queste dovrebbero essere specificate come minimo, almeno la stima x i, l incertezza tipo u(x i ), il coefficiente di sensibilità c i e il contributo all incertezza u i (y). Di ognuna delle grandezze si dovrebbe anche indicare l unità di misura con i valori numerici assegnati. 4.9 Un esempio applicabile nel caso di grandezze d ingresso non correlate è riportato nella Tabella 4.1. L incertezza tipo composta u(y), che compare nell ultima casella in fondo a destra è la radice della somma dei quadrati di tutti i contributi all incertezza che compaiono nell ultima colonna. La parte in grigio della tabella non va compilata. Dicembre 1999 pag. 10 di 74

15 TRADUZIONE DI EA-4/0 Espressione della incertezza di misura nelle tarature Tabella 4.1 : Schema di tabulazione delle grandezze, stime, incertezze tipo, coefficienti di sensibilità e contributi di incertezza usati nel bilancio dell incertezza di una misura. Grandezza X i Stima x i Incertezza tipo u(x i ) Coefficiente di sensibilità c i Contributi alla incertezza tipo u i (y) X 1 x 1 u(x 1 ) c 1 u 1 (y) X x u(x ) c u (y) : : : : : X N x N u(x N ) c N u N (y) Y y u(y) 5 Incertezza estesa di misura 5.1 In ambito EA si è stabilito che i laboratori accreditati da membri dell EA esprimano l incertezza estesa di misura U, ottenuta moltiplicando l incertezza tipo u(y) di una stima d uscita y per un fattore di copertura k, U = k u(y) (5.1) Nei casi in cui al misurando si possa attribuire una distribuzione normale (gaussiana) e l incertezza tipo associata alla grandezza d uscita abbia sufficiente affidabilità, si potrà usare un fattore di copertura k =. L incertezza estesa così ottenuta corrisponde approssimativamente ad una livello di fiducia del 95%. Queste condizioni sono soddisfatte nella maggior parte dei casi incontrati nel lavoro di taratura. 5. L ipotesi di una distribuzione normale non può sempre essere facilmente confermata sperimentalmente. Tuttavia nei casi in cui, all incertezza tipo composta contribuiscono parecchie (cioè N 3) componenti dell incertezza, originate da ben note distribuzioni di probabilità di grandezze indipendenti, p.e. distribuzioni normali o distribuzioni rettangolari, con cintributi dello stesso ordine di grandezza, le condizioni del Teorema del Limite Centrale sono soddisfatte e si può assumere con un buon grado di approssimazione che la distribuzione della grandezza d uscita sia normale. 5.3 L affidabilità dell incertezza tipo composta è determinata dai suoi gradi di libertà effettivi (veder l Appendice E). L affidabilità è comunque sufficiente se nessuno dei contributi all incertezza è ottenuto con una valutazione di categoria A basata su un numero di osservazioni inferiore a dieci. 5.4 Se una di queste condizioni (distribuzione normale o sufficiente affidabilità) non è soddifatta, il fattore di copertura normale k = può produrre una incertezza estesa corrispondente ad un livello di fiducia sensibilmente diversa dal al 95%. In questi casi, per assicurare che l incertezza estesa sia stimata con il livello di fiducia Dicembre 1999 pag. 11 di 74

16 TRADUZIONE DI EA-4/0 Espressione della incertezza di misura nelle tarature appropriato, bisogna seguire altre procedure. L uso dello stesso livello di fiducia è essenziale quando si devono confrontare i risultati di due misurazioni di una stessa grandezza, per esempio quando si debbano valutare la compatibilità dei risultati di un confronto tra laboratori o la compatibilità con una specifica. 5.5 Anche se si può assumere una distribuzione normale, può succedere che l incertezza associata alla stima di uscita non sia sufficientemente affidabilebile. Se, in questo caso, non si ha la possibilità di incrementare il numero n delle osservazioni ripetute o di usare una valutazione di categoria B invece di una valutazione di categoria A di scarsa affidabilità, si applica il metodo descritto nell Appendice E. 5-6 Per i restanti casi, cioè tutti i casi in cui l assunzione di una distribuzione normale non può essere giustificata, per ottenere un valore del fattore di copertura k che corrisponda ad un livello di fiducia di circa il 95%, si devono utilizzare le informazioni sulla distribuzione di probabilità corrente della stima d uscita. 6 Espressione dell incertezza di misura nei certificati di taratura. 6.1 Nei certificati di taratura il risultato di una misurazione deve essere composto dalla stima del misurando y e dall incertezza estesa U e deve essere espressa nella forma (y ± U). A ciò si aggiunga una nota esplicativa che nel caso generale può avere la seguente formulazione: L incertezza estesa indicata è espressa come l incertezza tipo moltiplicata per il fattore di copertura k =, che per una distribuzione normale corrisponde ad un livello di fiducia del 95% circa. L incertezza tipo è stata determinata conformemente al documento EA-4/0. 6. Tuttavia, nei casi in cui si sia seguita la procedura dell Appendice E, la nota addizionale deve essere la seguente: L incertezza estesa indicata è espressa come l incertezza tipo moltiplicata per il fattore di copertura k = XX, che per una distribuzione con gradi di libertà effettivi ν eff = YY corrisponde ad un livello di fiducia di circa il 95%. L incertezza tipo è stata determinata conformemente al documento EA-4/ Il valore numerico dell incertezza deve essere espreso al massimo con due cifre significative. Normalmente, nella sua espressione finale, il valore numerico del risultato della misurazione deve essere arrotondato all ultima cifra significativa del valore dell incertezza estesa. Per il processo di arrotandamento, si devono applicare le normali regole in uso per l arrotondamento di numeri (per maggiori dettagli sull arrotondamento vedere ISO 31-0:199, Annex B). Tuttavia, se l arrotondamento riduce il valore numerico dell incertezza di più del 5% bisogna usare il valore arrotondato per eccesso. 7 Riassunto della procedura di calcolo dell incertezza di misura 7.1 La seguente è una guida all applicazione pratica di questo documento (confrontare con gli esempi dell Appendice F e dei documenti supplementari) (a) esprimere matematicamente la dipendenza del misurando (grandezza d uscita) Y dalle grandezze d ingresso X i in accordo con l equazione (.1). nel caso di un Dicembre 1999 pag. 1 di 74

17 TRADUZIONE DI EA-4/0 Espressione della incertezza di misura nelle tarature confronto diretto tra due campioni l equazione può essere molto semplice, p.e. Y = X 1 +X. (b) Identificare e applicare tutte le correzioni significative. (c) Elencare in forma analitica tutte le sorgenti di incertezza sotto forma di un analisi dell incertezza secondo quanto previsto dalla sezione 4. (d) Calcolare l incertezza tipo uq ( ) per le grandezze misurate ripetutamente in accordo con il sottoparagrafo 3.. (e) Per i valori singoli, p.e. quesi valori provenienti da misurazioni precedenti, correzioni o valori tratti dalla letteratura, adottare lo scarto tipo quando sia noto o calcolarlo secondo quanto previsto in 3.3. (a). Prestare attenzione alla rappresentazione usata per l incertezza. Se non si dispone di dati attendibili per il calcolo dell incertezza tipo, stabilire un valore di u(x i ) sulla base dell esperienza scientifica. (f) Per le grendezze d ingresso con distribuzione di probabilità nota, calcolare il valore atteso x i e l incertezza tipo u(x i ) in accordo con il paragrafo 3.3. (b). Se sono dati o possono essere stimati soltanto i limiti superiore e inferiore, calcolare l incertezza tipo u(x i ) secondo quanto previsto dal paragrafo 3.3. (c). (g) Calcolare per ogni grandezza d ingresso X i il contributo u i (y) all incertezza tipo composta x i secondo le equazioni (4.) e (4.3) e sommare i loro quadrati come previsto dall equazione (4.1) ottenendo il quadrato dell incertezza tipo u(y) del misurando. Se le grandezze d ingresso sono correlate, applicare la procedura descritta nell Appendice D. (h) Calcolare l incertezza estesa U moltiplicando l incertezza tipo u(y) associata alla stima d uscita per il fattore di copertura k scelto in conformità al paragrafo 5. (i) Riportare il risultato della misurazione comprendente la stima del misurando y, l incertezza estesa associata U ed il fattore di copertura k come indicato nel paragrafo 6. 8 Riferimenti [1] Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, prima edizione, 1993, corretta e ristampata 1995, International Organization for Standardization (Ginevra, Svizzera). [] International Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology, seconda edizione, 1993, International Organization for Standardization (Ginevra, Svizzera). [3] International Standard ISO , Statistics - Vocabulary and symbols - Part I: Probability and General Statistical Terms, prima edizione, 1993, International Organization for Standardization (Ginevra, Svizzera). Dicembre 1999 pag. 13 di 74

18 Appendice A Commenti sull attribuzione dell incertezza di accreditamento A1 L incertezza di accreditamento (vedere Paragrafo 1 del testo principale) è uno dei parametri usati per definire le potenzialità di un laboratorio accreditato, unitamente alla grandezza fisica, al metotdo di taratura o al tipo di strumento in taratura e al campo di misura. L incertezza di accreditamento è normalmente dichiarata nella tabella di accreditamento o in altri documenti alla base della decisione di accreditamento o del certificato di accreditamento che in molti casi è rilasciato come riconoscimento formale dell accreditamento. Occasionalmente essa viene dichiarata sia nella tabella di accreditamento, sia nei documenti di supporto. L incertezza di accreditamento è una delle informazioni essenziali da ricercare negli elenchi dei laboratori accreditati che sono regolarmente pubblicati dai servizi di accreditamento ed è usata dal potenziale cliente di laboratori accreditati per giudicare l idoneità di un laboratorio nell eseguire un particolare lavoro di taratura presso il laboratorio o all esterno. A Perché sia possibile il confronto tra diversi laboratori di taratura, in particolare tra laboratori accreditati da diversi servizi di accreditamento, e necessario che la dichiarazione dell incertezza di accreditamento sia armonizzata. Per facilitare ciò, sono fornite più avanti alcune spiegazioni basate sulla definizione riportata nel testo principale del termine incertezza di accreditamento. A3 Con tarature correnti si intende che il laboratorio sarà in grado di raggiungere la potenzialità dichiarata nel normale lavoro svolto nell ambito dell accreditamento. Ovviamente ci sono situazioni in cui il laboratorio potrebbe essere in grado di fare meglio, come risultato di ulteriori indagini e di precauzioni supplementari, ma questi casi non sono compresi dalla definizione di incertezza di accreditamento, a meno che sia prassi dichiarata del laboratorio compiere ricerche scientifiche (nel qual caso queste diventano tarature consuete del laboratorio). A4 L espressione in condizioni pressochè ideali nella definizione significa che l incertezza di accreditamento non dovrebbe dipendere dalle caratteristiche del dispositivo in taratura. Inerente nel concetto di essere vicino alle condizioni ideali è che non dovrebbero esserci contributi significativi all incertezza di misura attribuibili ad effetti fisici che possano essere ascritti ad imperfezioni del dispositivo in taratura. Tuttavia, si dovrebbe capire che un dispositivo simile dovrebbe essere disponibile. Se si stabilisce che, in un caso particolare, il più ideale dispositivo disponibile contribuisce all incertezza di misura, questo contributo sarà incluso nella determinazione dell incertezza di accreditamento e sarà dichiarato che l incertezza di accreditamento si riferisce a quel tipo di dispositivo. A5 La definizione dell incertezza di accreditamento implica che nell ambito del proprio accreditamento un laboratorio non possa dichiarare un incertezza inferiore all incertezza di accreditamento. Questo significa che il laboratorio può essere costretto a dichiarare un incertezza maggiore dell incertezza di accreditamento quando il processo di taratura corrente comporti un aumento dell incertezza di misura. Tipicamente l apparecchiatura in taratura può dare un contributo. Ovviamente l incertezza di misura corrente non può mai essere Dicembre 1999 pag. 14 di 74

19 A6 A7 A8 A9 A10 inferiore all incertezza di accreditamento. Quando dichiara l incertezza corrente il laboratorio dovrà applicare i principi di questo documento. Occorre puntualizzare che in accordo con la definizione di incertezza di accreditamento il concetto è applicabile soltanto ai risultati per cui il laboratorio si avvale dell accreditamento. Perciò, a rigore il termine è di carattere amministrativo e non necessariamente riflette l effettiva capacità tecnica del laboratorio. Potrebbe accadere che un laboratorio richieda l accreditamento con un incertezza di misura maggiore della propria capacità tecnica se il laboratorio ha ragioni interne per farlo. Tali ragioni interne, normalmente, comportano casi in cui la reale capacità del laboratorio debba essere considerata riservata verso clienti esterni, p.e. nel caso di lavori di ricerca e svilupo o quando si forniscano servizi a clienti speciali. La politica del servizio di accreditamento dovrebbe accordare l accreditamento ad ogni livello applicativo se il il laboratorio è in grado di eseguire tarature a quel livello. (questa considerazione non si riferisce soltanto all incertezza di accreditamento ma a tutti i parametri che definiscono lo scopo di un laboratorio di taratura). L attribuzione dell incertezza di accreditamento è compito del servizio di accreditamento. La stima dell incertezza di misura che definisce l incertezza di accreditamento dovrà seguire la procedura illustrata in questo documento, con l eccezione del caso compreso nel precedente sottoparagrafo. L incertezza di accreditamento sarà espressa allo stesso livello richiesto per i certificati di taratura, cioè nella forma di incertezza estesa di misura, normalmente con fattore di copertura k =. (Soltanto in quei casi eccezionali in cui non si può assumere l esistenza di una distribuzione normale oppure la valutazione è basata su un numero limitato di dati, l incertezza limite deve essere espressa ad un livello di fiducia del 95%. Vedere il paragrafo 5 del testo principale.) Quando si calcola l incertezza di accreditamento si dovranno considerare tutte le componenti che contribuiscono in maniera significativa all incertezza di misura. La valutazione dei contributi variabili con il tempo o con qualsiasi altra grandezza fisica può essere basata sui limiti di variazione possibili nelle normali condizioni di lavoro. Per esempio, se si usa un campione di lavoro di cui sia nota una deriva, nella stima del contributo all incertezza del campione di lavoro, si dovrà tener conto del contributo causato dalla deriva del campione tra tarature successive. In alcuni campi l incertezza di misura può dipendere da alcuni parametri aggiuntivi, p.e. la frequanza della tensione applicata nella taratura di resistenze compione. Questi parametri aggiuntivi devono essere specificati insieme alla grandezza fisica in questione e si deve indicare l incertezza di accreditamento per i parametri aggiuntivi. Spesso questo si realizza esprimendo l incertezza di accreditamento come una funzione di questi parametri. L incertezza di accreditamento deve normalmente essere espressa numericamente. Quando l incertezza di accreditamento è funzione di una grandezza a cui si riferisce (o di un altro parametro qualsiasi) deve essere espressa in forma analitica, ma in questo caso può essere utile accompagnare l espressione con un diagramma illustrativo. Deve sempre essere inequivocabilmente chiaro se l incertezza di accreditamento è espressa in termini assoluti o relativi. (Normalmente la presenza o Dicembre 1999 pag. 15 di 74

20 A11 meno del unità di misura fornisce la spiegazione necessaria, ma nel caso di grandezze adimensionali deve essere specificata.) Benchè la valutazione sia basata sulle procedure di questo documento, nel testo principale si richiede che normalmente la valutazione sia supportata o confermata da evidenza sperimentale. Il significato di questo requisito consiste nel fatto che il servizio di accreditamento non si limita soltanto alla valutazione dell incertezza di accreditamento, ma promuove, direttamente o sotto la sua supervisione, confronti tra laboratori, che permettano di avvalorare tale valutazione. Dicembre 1999 pag. 16 di 74

21 Appendice B Glossario dei termini principali B1 media aritmetica ([rif.3] termine.6) La somma dei valori divisa per il numero dei valori B B3 incertezza di accreditamento (Paragrafo 1). L incertezza di misura più piccola che un laboratorio può raggiungere nell esecuzione delle misure accreditate, quando esegua più o meno mcorrenti tarature di campioni pressochè ideali finalizzate a definire, realizzare, conservare o riprodurre una unità di quella grandezza o uno o più valori di essa, o quando esegua più o meno correnti tarature di strumenti quasi ideali per la misura di quella grandezza. correlazione ([rif. 3] termine 1.13). La relazione tra due o più variabili casuali in una distribuzione di due o più variabili casuali. B4 coefficiente di correlazione (da [ref. 1] Paragrafo C.3.6). L espressione quantitativa della mutua interdipendenza di due variabili casuali, uguale al rapporto tra la loro covarianza e la radice quadrata positiva delle loro varianze. B5 covarianza (da [ref. 1] Paragrafo C.3.4). L espressione quantitativa della mutua dipendenza di due variabili casuali, uguale al valore atteso del prodotto delle deviazioni di due variabili casuali dai loro rispettivi valori attesi B6 fattore di copertura ([ref. 1] termine.3.6) Un fattore numerico usato come moltiplicatore dell incertezza tipo di misura per ottenere una incertezza estesa di misura. B7 probabilità di copertura o livello di fiducia(da [ref. 1] termine.3.5, NOTA 1) La frazione, normalmente grande, della distribuzione dei valori che come risultato di una misurazione possa ragionevolmente essere attribuito al misurando. B8 scarto tipo sperimentale ([ref. ] termine 3.8) La radice quadrata positiva della varianza sperimentale. B9 incertezza estesa ([ref. 1] termine.3.5) Una grandezza che definisce un intervallo intorno al risultato di una misurazione che ci si può attendere comprenda una grande frazione dei valori che possano ragionevolmente essere attribuiti al misurando. B10 varianza sperimentale (da [ref. 1] Paragrafo 4..) La grandezza che caratterizza la dispersione dei risultati di una serie di n osservazioni dello stesso misurando data dall equazione (3.). B11 stima d ingresso (da [ref. 1] Paragrafo 4.1.4) La stima di una grandezza d ingresso usata nella valutazione del risultato di una misurazione. Dicembre 1999 pag. 17 di 74

22 B1 grandezza d ingresso (da [ref. 1] Paragrafo 4.1.) Una grandezza da cui dipende il misurando, che venga considerata nel processo di valutazione del risultato di una misurazione. B13 misurando ([ref. ] termine.6) La particolare grandezza oggetto della misurazione. B14 stima d uscita (da [ref. 1] Paragrafo 4.1.4) Il risultato di una misurazione calcolato dalle stime d ingresso per mezzo di una funzionale che descrive il modello. B15 grandezza d uscita (da [ref. 1] Paragrafo 4.1.) La grandezza che rappresenta il misurando nella valutazione di una misurazione. B16 stima della varianza cumulata (da [ref. 1] Paragrafo 4..4) Una stima della varianza sperimentale ottenuta da una numerosa serie di osservazioni dello stesso misurando in misurazioni ben caratterizzate sotto controllo statistico. B17 distribuzione di probabilità ([ref. 3] termine 1.3) Una funzione che dà la probabilità che una variabile casuale assuma ogni valore dato o appartenga ad una definita serie di valori. B18 variabile casuale ([ref. 3] termine 1.) Una variabile che può assumere un qualsiasi valore compreso in un insieme specificato di valori, a cui è associata una probabilità di distribuzione.. B19 incertezza tipo relativa di misura (da [ref. 1] Paragrafo 5.1.6) L incertezza tipo di una grandezza divisa per la stima di quella grandezza. B0 coefficiente di sensibilità associato ad una stima d ingresso (da [ref. 1] Paragrafo 5.1.3) La variazione della derivata parziale della grandezza d uscita provocata dalla variazione della derivata parziale di una stima d ingresso, divisa per la variazione di quella stime d ingresso. B1 scarto tipo (da [ref. 3] termine 1.3) La radice quadrata positiva della varianza di una variabile casuale. B incertezza tipo di misura ([ref. 1] termine.3.1) L incertezza tipo di misura espressa come scarto tipo B3 metodo di valutazione di Categoria A ([ref. 1] termine.3.) Il metodo di valutazione dell incertezza di misura basato sull analisi statistica di una serie di osservazioni. B4 metodo di valutazione di Categoria B ([ref. 1] termine.3.3) Il metodo di valutazione dell incertezza di misura utilizzando metodi diversi dall analisi statistica di una serie di osservazioni. Dicembre 1999 pag. 18 di 74

23 B5 incertezza di misura ([ref. ] termine 3.9) Un parametro, associato al risultato di una misurazione, che caratterizza la dispersione dei valori che possano ragionevolmente essere attribuiti al misurando B6 varianza (da [ref. 3] termine 1.) Il valore atteso del quadrato della deviazione di una variabile casuale attorno al suo valore atteso. Dicembre 1999 pag. 19 di 74

24 Appendice C Sorgenti di incertezza di misura C1 L incertezza del risultato di una misurazione indica la mancanza di una completa conoscenza del valore di un misurando. Una conoscenza completa richiede una infinita somma di informazioni. I fenomeni che contribuiscono all incertezza e fanno sì che il risultato di una misurazione non possa essere caratterizzato da un solo valore, sono chiamati sorgenti di incertezza. In pratica ci sono molte possibili sorgenti di incertezza in una misurazione [ref. 1], comprendenti: (a) incompleta definizione del misurando; (b) realizzazione imperfetta della definizione del misurando; (c) campionamento non rappresentativo l elemento del campionamento misurato può non rappresentare il misurando definito; (d) conoscenza inadeguata degli effetti delle condizioni ambientali o una loro misurazione imperfetta; (e) inclinazioni personali nella lettura di strumenti analogici; (f) risoluzione o soglia di discriminazione finita; (g) valori inesatti dei campioni di misura e dei materiali di riferimento; (h) valori inesatti di costanti e di altri parametri ottenuti da fonti esterne e usati negli algoritmi di calcolo; (i) approssimazioni e ipotesi contenute nel metodo e nella procedura di misurazione; (j) variazioni tra osservazioni ripetute del misurando in condizioni apparentemente identiche. C Queste sorgenti non sono necessariamente indipendenti. Ognuna delle sorgenti da (a) a (i) può contribuire a (j). Dicembre 1999 pag. 0 di 74

25 Appendice D Grandezze d ingresso correlate D1 Se si sa che due grandezze d ingresso X i e X k sono correlate cioè sono in qualche modo dipendenti l una dall altra si deve considerare come un contributo aggiuntivo all incertezza la covarianza associata alle due stime x i e x k u( x, x ) = u( x ) u( x ) r( x, x ) ( i k) (D.1) i k i k i k D Il grado di correlazione è caratterizzato dal coefficiente di correlazione r(x i, x k ) (dove i k e r 1). nel caso di n coppie indipendenti di osservazioni ripetute simultaneamente di due grendezze P e Q la covarianza associata alle medie aritmetiche p e q è data da 1 spq (, ) = nn ( ) n 1 j= 1 ( p p)( q q) j j (D.) D3 e per sostituzione r può essere calcolata dall equazione (D.1). Per le grandezze d influenza il grado di correlazione deve essere basato sull esperienza. Quando ci sia correlazione, l equazione (4.1) deve essere sostituita da N N 1 u ( y) = c u ( x ) + c c u( x, x ) (D.3) i= 1 i i i k i k i= 1 k= i+ 1 N dove c i e c k sono i coefficienti di sensibilità definiti dall equazione (4.3) o N N 1 u ( y) = ui ( y) + ui( y) uk( y) r( xi, xk) (D.4) i= 1 i= 1 k= i+ 1 N D4 in cui i contributi u i (y) si ottengono dall incertezza tipo delle stime d ingresso x i secondo l equazione (4.). Si noti che il secondo termine delle (D.3) e (D.4) può essere negativo. In pratica, le grandezze d ingresso sono spesso correlate perché lo stesso campione fisico, strumento di misura, dato di riferimento o lo stesso metodo di misura avente un incertezza significativa è usato nella valutazione dei loro valori. Generalmente, supposto che due grandezze d ingresso X 1 e X stimate da x 1 e x dipendano da una serie di variabili indipendenti Q l (l = 1,,,L), sarà: X = g ( Q, Q,.., Q ) X = g ( Q, Q,.., Q ) 1 L L (D.5) sebbene alcune di queste variabili non appaiano necessariamente in tutte le funzioni. Le stime x 1 e x delle grandezze d ingresso saranno correlate in qualche modo, anche se le stime q l (l = 1,,,L) non sono correlate. In questo caso, la covarianza u(x 1,x ) associata alle stime x 1 e x è data da Dicembre 1999 pag. 1 di 74

26 L ux (, x) = cc u( q) (D.6) 1 1l l l l= 1 D5 dove c 1 l e c l sono i coefficienti di sensibilità derivati dalle funzioni g 1 e g in analogia all equazione (4.3). Poiché contribuiscono alla somma soltanto quei termini per cui il coefficiente di sensibilità non si annulla, la covarianza è zero se non ci sono variabili comuni alle funzioni g 1 e g. Il coefficiente di correlazione r(x 1,x ) associato alle stime x 1 e x si determina con le equazioni (D.6) e (D.1). L esempio seguente dimostra le correlazioni esistenti tra i valori attribuiti a due campioni materiali che siano stati tarati rispetto ad uno stesso campione di riferimento. Problemi di Misura I due campioni X 1 e X vengono confrontati con il campione di riferimento Q S per mezzo di un sistema di misura in grado di determinare una differenza z del loro valore con un incertezza tipo u(z). Il valore q S del campione di riferimento è noto con incertezza tipo u(q S ). Modello Matematico Le stime x 1 e x dipendono dal valore q S del campione di riferimento e dalle differenze osservate z 1 e z secondo le equazioni x = q z 1 S 1 x = q z S (D.7) Incertezza tipo e covarianza Le stime z 1, z e q S si suppongono non correlate perché determinate in misurazioni diverse. Le incertezze tipo sono calcolate con l equazione (4.4) e la covarianza associata alle stime x 1 e x è calcolata dall equazione (D.6), assumendo che u(z 1 ) = u(z ) = u(z), u ( x ) = u ( q ) + u ( z) 1 u ( x ) = u ( q ) + u ( z) ux (, x) = u( q) 1 S S S (D.8) Il coefficiente di correlazione che se ne ricava è u ( qs ) rx ( 1, x) = u ( q ) + u ( z) S (D.9) D6 Il suo valore è compreso tra 0 e +1 in funzione del rapporto tra le incertezze tipo u(q S ) e u(z). Il caso descritto dall equazione (D.5) è un caso in cui si può evitare l introduzione della correlazione nella valutazione dell incertezza tipo del misurando con una Dicembre 1999 pag. di 74

27 scelta appropriata della funzione di modello. Introducendo direttamente le variabili indipendenti Q l in sostituzione delle variabili originali X 1 e X nella relazione funzionale f secondo le equazioni (D.5) si ottiene una nuova relazione funzionale che non contiene le variabili correlate X 1 e X indesiderate. D7 Ci sono casi tuttavia, in cui la correlazione tra due grandezze d ingresso X 1 e X non può essere evitata, p.es. quando si usi lo stesso strumento di misura o lo stesso campione di riferimento per la determinazione delle stime d ingresso x 1 e x ma non sono disponibili equazioni di trasformazione per definire nuove variabili indipendenti. Inoltre, se non è esattamente noto il grado di correlazione, può essere utile assegnare la massima influenza che questa correlazione può avere con una stima al limite superiore dell incertezza tipo del misurando, così che, nel caso che altre correlazioni non siano state considerate prendono la forma ( 1 ) u ( y) u ( y) + u ( y) + u ( y) (D.10) r essendo u r (y) il contributo all incertezza tipo di tutte le rimanenti grandezze d ingresso assunte come non correlate Nota: L equazione (D.10) si può estendere facilmente a casi di uno o più gruppi con due o più grandezze d ingresso correlate. In questo caso, per ogni gruppo di grandezze correlate, bisogna introdurre nell equazione (D.10) la somma più pessimistica. Dicembre 1999 pag. 3 di 74

28 Appendice E Fattore di copertura calcolato con i gradi di libertà effettivi. E1 Per stimare il valore di un fattore di copertura k corrispondente ad un livello di fiducia data si richiede che sia presa in considerazione l affidabilità dell incertezza tipo u(y) di una stima d uscita y. Questo significa valutare quanto bene u(y) stimi lo scarto tipo associato al risultato della misurazione. Per una stima dello scarto tipo di una distribuzione normale, una espressione quantitativa dell affidabilità sono i gradi di libertà di questa stima, che dipendono dalla dimensione del campione su cui essa è basata. Allo stesso modo, un adeguata misura dell affidabilità dell incertezza tipo composta di una stima d uscita è rappresentata dai gradi di libertà effettivi ν eff, che sono approssimati da una opportuna combinazione dei gradi di libertà dei diversi contributi u i (y) all incertezza. E La procedura di calcolo di un fattore di copertura k quando si rientri nelle condizioni del Teorema del Limite Centrale si sviluppa nei tre punti seguenti: (a) Calcolare l incertezza tipo composta della stima d uscita secondo quanto previsto dalla procedura della Sezione 7. (b) Stimare i gradi di libertà effettivi ν eff dell incertezza tipo u(y) della stima d uscita y con la formula di Welch-Satterthwaite ν eff = N 4 u ( y) 4 ui ( y) ν i= 1 i, (E.1) (c) dove le u i (y) (i=1,,,n), definite nell equazione (4.), sono i contributi all incertezza tipo composta risultanti dalle incertezze d ingresso assunte come statisticamente indipendenti, e ν i è il numero di gradi di libertà effettivi del contributo u i (y) all incertezza tipo. Per una incertezza tipo u(q) ottenuta da una valutazione di categoria A come si è visto nel suttoparagrafo 3.1, il numero dei gradi di libertà è dato da ν i = n-1. Più problematico è associare un numero di gradi di libertà ad un incertezza tipo u(x i ) ottenuta da una valutazione di categoria B. Tuttavia, è pratica comune eseguire questa valutazione in modo da evitare ogni possibilità di sottostima. Se, per esempio, sono dati i limiti inferiore e superiore a e a +, questi sono di solito noti sufficientemente bene da poter presumere che la probabilità che la grandezza in questione cada al di fuori di questi limiti sia estremamente bassa. Se si presume valido questo ragionamento, i gradi di libertà dell incertezza tipo u(x i ) ottenuta da una valutazione di categoria B può essere considerata ν i. ricavare il fattore di copertura k con l aiuto dei valori della Tabella E.1 di questa appendice. Questa tabella è basata su una distributione t di Student valutata per un livello di fiducia del 95,45%. Se ν eff non è un intero, caso piuttosto frequente, arrotondare ν eff all intero immediatamente inferiore. Tabella E.1: Fattore di copertura k corrispondente a diversi numeri di gradi di libertà effettivi ν eff. Dicembre 1999 pag. 4 di 74

29 ν eff k 13,97 4,53 3,31,87,65,5,43,37,8,13,05,00 Dicembre 1999 pag. 5 di 74

30 SUPPLEMENTO 1 Esempi S1 INTRODUZIONE S TARATURA DI UNA MASSA CAMPIONE DI VALORE NOMINALE 10 kg S3 TARATURA DI UN RESISTORE CAMPIONE DI VALORE NOMINALE 10 kω S4 TARATURA DI UN BLOCCHETTO PIANO PARALLELO DI LUNGHEZZA NOMINALE 50 mm S5 TARATURA DI UNA TERMOCOPPIA DI TIPO N A 1000 C S6 TARATURA DI UN SENSORE DI POTENZA ALLA FREQUENZA DI 19 GHZ S7 TARATURA DI UN ATTENUATORE COASSIALE AD UNA IMPOSTAZIONE DI 30 DB (PERDITE INCREMENTALI) Dicembre 1999 pag. 6 di 74

31 S1 INTRODUZIONE S1.1 Gli esempi seguenti sono stati scelti per illustrate il metodo per effettuare la valutazione delle incertezze di misura. Esempi più tipici e rappresentativi basati su modelli appropriati devono essere sviluppati da speciali gruppi di lavoro nelle diverse aree. Tuttavia, gli esempi qui riportati forniscono una guida generale su come procedere. S1. Gli esempi sono basati su bozze preparate da Gruppi di Esperti EA. Queste bozze sono state semplificate ed armonizzate al fine di renderle comprensibili agli operatori di laboratorio in tutti i campi di taratura. E auspicabile che questo gruppo di esempi contribuirà ad una migliore comprensione dei dettagli dell impostazione del modello di valutazione e dell armonizzazione del processo di valutazione dell incertezza di misura, indipendentemente dal settore di taratura. S1.3 I contributi ed i valori forniti non rappresentano valori o contributi preferenziali. I laboratori dovrebbero determinare i contributi d incertezza sulla base del modello utilizzato nella valutazione della particolare taratura che svolgono e riportare l incertezza di misura valutata nel certificato di taratura che emettono. In tutti gli esempi forniti, le condizioni stabilite nella sez. 5 per l uso del fattore di copertura k = sono rispettate. S1.4 La presentazione degli esempi segue, in accordo con la procedura passo a passo di sez. 7 del doc EA-4/0, uno schema contenente: un titolo breve e descrittivo; una descrizione generale del processo di misura; il modello di valutazione con una lista dei simboli usati; un elenco delle grandezze d ingresso con una breve descrizione di come sono state ottenute; l elenco delle letture (osservazioni) e la valutazione dei parametri statistici; un computo delle incertezze in forma di tabella; l incertezza estesa di misura; il risultato di misura completo S1.5 Questo primo supplemento al doc EA-4/0 sarà seguito da ulteriori esempi di valutazione delle incertezze di misura relativi alla taratura di strumenti di misura. Esempi possono essere trovati in documenti guida EA inerenti la taratura di specifici tipi di strumenti di misura. Dicembre 1999 pag. 7 di 74

32 S TARATURA DI UNA MASSA CAMPIONE DI VALORE NOMINALE 10kg S.1 La taratura di una massa di valore nominale 10 kg di classe OIML M1 è eseguita per confronto con un campione di riferimento (OIML classe F) dello stesso valore nominale usando un comparatore di masse le cui caratteristiche prestazionali erano state precedentemente determinate. S. La massa incognita m x è ottenuta da: m x = m S + δm D + δm+ δm C + δb dove: - m S è la massa convenzionale della massa campione, - δm D è la deriva del valore della massa campione dall ultima taratura, - δm è la differenza di massa osservata fra la massa in taratura e la massa campione, - δm C è una correzione dovuta all eccentricità e alla presenza di fenomeni magnetici, - δb è una correzione dovuta alla spinta dell aria. S.3 Massa campione (m S ): Il certificato di taratura della massa campione fornisce un valore di ,005 g con un incertezza estesa associata di 45 mg (fattore di copertura k = ). S.4 Deriva del valore della massa campione (δm D ): Analizzando le precedenti tarature la deriva è stata stimata pari a zero entro ± 15 mg. S.5 Comparatore (δm, δm C ): Una precedente valutazione della ripetibilità della differenza di massa tra due masse di uguale valore nominale fornisce una stima dello scarto tipo di 5 mg. Non viene applicata alcuna correzione per il comparatore, mentre le variazioni dovute all eccentricità e agli effetti magnetici sono stimate avere una distribuzione rettangolare entro i limiti di ± 10 mg. S.6 Spinta dell aria δ: Non viene applicata alcuna correzione per l effetto della spinta dell aria, i limiti di deviazione si stimano essere ± del valore nominale. S.7 Correlazione: le grandezze d ingresso possono considerarsi non correlate. S.8 Misure: si sono ottenute tre determinazioni della differenza in massa tra la massa incognita e quella campione usando il metodo di sostituzione e lo schema di sostituzione ABBA ABBA ABBA: Dicembre 1999 pag. 8 di 74

33 n. Massa convenzionale lettura Differenza osservata 1 campione + 0,010 g incognita + 0,00 g incognita + 0,05 g campione + 0,015 g + 0,01 g campione + 0,05 g incognita + 0,050 g incognita + 0,055 g 3 campione + 0,00 g + 0,03 g campione + 0,05 g incognita + 0,045 g incognita + 0,040 g campione + 0,00 g 0,0 g Media aritmetica Stima della deviazione standard: (ottenuta da una precedente valutazione) Incertezza tipo: δ m = 0,00 g s p (δm) = 5 mg u(δm) = s( δ m ) = 5mg = 14,4 mg 3 S.9 Bilancio delle incertezze (m x ): Grandezza X i Stima x i Incertezza tipo u(x i ) Distrib. di probabilità Coeffic. di sensibilità c i Contributo d incertezza u i (y) m s ,005 g,5 mg normale 1,0,5 mg + δm D 0,000 g 8,95 mg rettangolare 1,0 8,95 mg δm 0,00 g 14,4 mg normale 1,0 14,4 mg δm C 0,000 g 5,77 mg rettangolare 1,0 5,77 mg δb 0,000 g 5,77 mg rettangolare 1,0 5,77 mg m x ,05 g 9,3 mg S.10 Incertezza estesa U = k u( m X ) = 9,3 mg 59 mg S.11 Risultato di misura La massa misurata di valore nominale 10 kg è pari a 10, kg ± 59 mg. L incertezza estesa riportata è stata determinata come incertezza tipo composta moltiplicata per il fattore di copertura k = che per una distribuzione normale corrisponde ad un livello di fiducia di circa il 95 %. Dicembre 1999 pag. 9 di 74

34 S3 TARATURA DI UN RESISTORE CAMPIONE DI VALORE NOMINALE 10 kω S3.1 La resistenza di un resistore a quattro terminali viene determinata per sostituzione diretta usando un multimetro digitale (7 1/ digit DMM) impostato sulla funzione resistenza, e un resistore a quattro terminali tarato dello stesso valore nominale del resistore in taratura utilizzato come riferimento. I resistori sono immersi in un bagno d olio in movimento operante alla temperatura di 3 controllata mediante un termometro al mercurio posto al centro del bagno d olio. I resistori vengono lasciati stabilizzare prima della misura. I connettori a quattro terminali di ogni resistore sono collegati in successione ai morsetti del multimetro. Si determina che la corrente di misura nel campo di misura del multimetro pari a 100 µa è sufficientemente bassa da non produrre un apprezzabile auto-riscaldamento dei resistori. La procedura di misura assicura anche che gli effetti delle resistenze di dispersione possono essere considerati trascurabili sul risultato della misura. S3. La resistenza R X del resistore in taratura è ottenuta dalla relazione: R X = (R S + δr D + δr TS ) r C r - δr TX dove: - R S è la resistenza del campione di riferimento; - δr D è la deriva del valore di resistenza del campione dall ultima taratura; - δr TS è la variazione del valore del resistore campione connessa con la variazione della temperatura; - r = R ix /R is è il rapporto del valore di resistenza indicato per i resistori incognito e in taratura; - r C è un fattore di correzione dovuto alle tensioni parassite e alla risoluzione del multimetro. δr TX è la variazione del valore del resistore in taratura connessa con la variazione della temperatura. S3.3 Campione di riferimento (R S ): il certificato di taratura del resistore campione utilizzato come riferimento fornisce un valore di ,053 Ω ± 5 mω (fattore di copertura k = ) alla temperatura di riferimento di 3 C. S3.4 Deriva del valore del campione (δr D ): la deriva di resistenza del resistore campione di riferimento dall ultima taratura è stimata analizzando l andamento delle precedenti tarature e pari a 0 mω con variazioni entro ± 10 mω. S3.5 Correzioni dovute alla temperatura (δr TS, δr TX ): la temperatura del bagno d olio è misurata utilizzando un termometro tarato a 3,00 C. Tenendo in considerazione le caratteristiche metrologiche del termometro usato e i gradienti di temperatura all interno del bagno d olio, si stima che la temperatura coincida con quella monitorata entro ± 0,055 K. Così il valore noto ( K -1 ) del coefficiente di temperatura (TC) del resistore campione fornisce i valori limite di ±,75 mω per la deviazione dal suo valore di taratura dovuta a una possibile variazione dalla temperatura operativa di 3 C. Dalla letteratura del costruttore si stima che il TC del resistore in taratura non superi K -1, così che la variazione di resistenza Dicembre 1999 pag. 30 di 74

35 del resistore in taratura dovuta ad una variazione della temperatura si stima essere contenuta entro ± 5,5 mω. S3.6 Misure di resistenza (r C ): siccome viene utilizzato lo stesso multimetro per misurare sia R ix sia R is i contributi d incertezza sono correlati, ma l effetto è di ridurre l incertezza ed è solo necessario considerare la differenza relativa nelle letture di resistenza dovuta a effetti sistematici quali le tensioni parassite e la risoluzione dello strumento (vedi la nota matematica al par. S3.1), che si stima avere limiti di ± 0, per ogni lettura. La distribuzione risultante per il rapporto r C è triangolare con valore atteso 1, e limiti di ± 1, S3.7 Correlazione: le grandezze d ingresso si possono considerare non correlate. S3.8 Misure (r): si fanno 5 osservazioni del rapporto r: n. Rapporto determinato 1 1, , , , , Media aritmetica: scarto tipo sperimentale: (ottenuta da una precedente valutazione): Incertezza tipo: r = 1, s(r) = 0, , u(r) = s( r ) = 5-6 = 0, S3.9 Bilancio delle incertezze (R X ): Grandezza X i Stima x i Incertezza tipo u(x i ) Distrib. di probabilità Coeffic. di sensibilità c i Contributo d incertezza u i (y) R S ,053 Ω,5 mω normale 1,0,5 mω δr D 0,00 Ω 5,8 mω rettangolare 1,0 5,8 mω δr TS 0,000 Ω 1,6 mω rettangolare 1,0 1,6 mω δr TX 0,000 Ω 3, mω rettangolare 1,0 3, mω r C 1, , triangolare Ω 4,1 mω r 1, , normale Ω 0,7 mω R x ,178 Ω 8,33 mω Dicembre 1999 pag. 31 di 74

36 S3.10 Incertezza estesa U = k u( R X ) = 8,33 mω 17 mω S3.11 Risultato di misura Il valore misurato di un resistore di valore nominale 10 kω ad una temperatura di misura di 3 C e ad una corrente di misura di 100 µa, è: (10 000,178 ± 0,017) Ω. L incertezza estesa riportata è stata determinata come l incertezza tipo composta moltiplicata per il fattore di copertura k =, che per una distribuzione normale corrisponde ad un livello di fiducia di circa il 95 %. S3.1 Nota matematica sull incertezza tipo di misura del rapporto dei valori di resistenza indicati: i resistori campione ed incognito hanno pressappoco lo stesso valore di resistenza. Entro la solita approssimazione lineare nelle deviazioni i valori che provocano le indicazioni del multimetro R ix e R is sono date da: ' δr R X = R ix (1 + X ) R ' δr R S = R is (1 + S ) (S3.) R Essendo R il valore nominale dei resistori e δr X e δr S le deviazioni incognite. Il rapporto di resistenza dedotto da queste espressioni è: ' δrx = rr ' C (S3.3) RS con il rapporto della resistenza indicata per il resistori campione ed incognito: δrix r = (S3.4) RiS e il fattore di correzione (approssimazione lineare nelle deviazioni) ' ' δrx δrs r C = 1 + (S3.5) R A causa del fatto che la differenza delle deviazioni entra nell eq. (S3.5), i contributi correlati degli effetti sistematici risultanti dalla scala interna del multimetro non influenzano il risultato. L incertezza tipo del fattore di correzione è determinata solo da deviazioni scorrelate risultanti da effetti parassiti e dalla risoluzione del multimetro. Assumendo che u(r X ) = u(r S ) = u(δr ), è dato dall espressione: u u ( δr') (r C ) = R (S3.6) Dicembre 1999 pag. 3 di 74

37 S4 TARATURA DI UN BLOCCHETTO PIANO PARALLELO DI LUNGHEZZA NOMINALE 50 mm S4.1 La taratura di un blocchetto di misura di grado 0 (ISO3650) di lunghezza nominale 50 mm viene eseguita per confronto con un comparatore ed un blocchetto di misura tarato della stessa lunghezza nominale e dello stesso materiale quale campione. La differenza nella lunghezza centrale viene determinata nella posizione verticale dei due blocchetti usando due indicatori di lunghezza che vanno a contatto delle facce di misura superiore ed inferiore. La lunghezza l X del blocchetto in taratura è legata alla lunghezza l S del blocchetto campione dall equazione: l X = l S + δl (S4.1) dove δl è la differenza di lunghezza misurata. l X e l S sono le lunghezze dei blocchetti di misura in determinate condizioni di misura, in particolare ad una temperatura che, tenendo conto dell incertezza di misura della temperatura del laboratorio, potrebbe non essere identica alla temperatura di riferimento per misure di lunghezza. S4. La lunghezza l X del blocchetto in taratura alla temperatura di riferimento è dato dalla relazione: l X = l S + δl D + δl+ δl C L(α δt + δα t ) - δl V dove: l S δl D δl δl C L (S4.) - lunghezza del blocchetto di misura campione alla temperatura di riferimento t 0 = 0 C come riportato nel suo certificato di taratura; - cambiamento della lunghezza del blocchetto di misura campione dall ultima taratura dovuto alla deriva; - differenza osservata in lunghezza tra il blocchetto di misura in taratura e quello campione; - correzione per la non-linearità e l offset del comparatore; - lunghezza nominale dei blocchetti considerati; α = (α X + α S )/ - media dei coefficienti di espansione termica del blocchetto di misura in taratura e di quello campione; δt = (t X - t S ) - differenza di temperatura tra il blocchetto di misura in taratura e quello campione; δα = (α X - α S ) - differenza dei coefficienti di espansione termica del blocchetto di misura in taratura e di quello campione; t = (t X + t S )/- t 0 - deviazione della temperatura media del blocchetto di misura in taratura e di quello campione dalla temperatura di riferimento; δl V - correzione dovuta alla non perfetta centratura del contatto delle facce di Dicembre 1999 pag. 33 di 74

38 misura del blocchetto in taratura. S4.3 Blocchetto di riferimento (l S ): La lunghezza del blocchetto di misura campione, associato all incertezza estesa di misura, è data nel certificato di taratura di un gruppo di blocchetti di misura ed è pari a 50,000 0 mm ± 30nm (fattore di copertura k = ) S4.4 Deriva del campione (δl D ): La deriva temporale della lunghezza del blocchetto campione viene stimata, analizzando precedenti tarature, essere zero con limiti ± 30nm. L esperienza con blocchetti di questo tipo suggerisce che una deriva pari a 0 è verosimile e può essere assunta una distribuzione di probabilità triangolare. S4.5 Comparatore (δl C ): E stato verificato che il comparatore soddisfa le specifiche riportate in EA-10/0. Da tale documento ci si può accertare che per differenze di lunghezza D fino a ± 10 µm, le correzioni alla differenza di lunghezza indicata sono contenute entro ± (30nm + 0,0 D ) Tenendo conto delle tolleranze del blocchetto di misura di grado 0 in taratura e di quello di grado K del blocchetto di riferimento, la massima differenza di lunghezza sarà compresa entro ± 1 µm producendo limiti di ± 3 nm per le correzioni dovute alla non-linearità e all offset del comparatore usato. S4.6 Correzioni di temperatura ((α, δt, δα, t ): Prima della taratura, si ha cura di assicurare che i blocchetti di misura assumano la temperatura dell ambiente in cui si svolge la taratura. La rimanente differenza in temperatura tra il blocchetto campione e quello in taratura si stima sia contenuta entro ± 0,05 K. Basandosi sul certificato di taratura del blocchetto di riferimento e sui dati forniti dal costruttore relativi al blocchetto in taratura, la parte lineare del coefficiente di espansione termica dei blocchetti di acciaio si assume esser compresa nell intervallo (11,5 ± 1,0) 10-6 C -1. Combinando le due distribuzioni rettangolari la differenza nel coefficiente lineare di espansione termica è distribuita triangolarmente entro i limiti di ± 10-6 C -1 La deviazione della temperatura media di misura dalla temperatura di riferimento t 0 = 0 C si stima essere compresa entro ± 0,5 C. Le migliori stime della differenza nei coefficienti di espansione lineare e le deviazioni della temperatura media da quella di riferimento sono zero. Quindi si deve tenere conto dei termini del secondo ordine nella valutazione del loro contributo d incertezza che risulta nel prodotto delle incertezze tipo associate con i fattori del termine di prodotto δα t nell equazione (S.4.) (vedi la nota matematica al paragrafo S.4.13 eq. (S.4.5)). L incertezza tipo finale è u(δα t ) = 0, S4.7 Variazione in lunghezza (δl V ): per blocchetti di misura di grado 0 la variazione in lunghezza la variazione in lunghezza determinata dalle misure al centro e ai quattro angoli deve essere entro ± 0,1 µm (ISO 3650). Assumendo che questa variazione si riscontra sulle facce di misura lungo il bordo corto di lunghezza 9 mm e che la lunghezza centrale viene determinata all interno di un cerchio di raggio 0,5 mm, la correzione dovuta al disallineamento centrale del punto di contatto si stima essere compresa entro ± 6,7nm S4.8 Correlazione: : le grandezze d ingresso si possono considerare scorrelate. Dicembre 1999 pag. 34 di 74

39 S4.9 Misure(δl): si sono ottenute le seguenti osservazioni della differenza tra il blocchetto in taratura e quello campione eseguendo il reset del comparatore, usando il blocchetto campione, dopo ogni lettura. Media aritmetica δ l = -94 nm deviazione standard sperimentale: s p (δl) = 1 nm (ottenuta da una precedente valutazione) n. osserv. Valore nm -90 nm 3-80 nm 4-90 nm nm Media aritmetica δ l = -94 nm Scarto tipo sperimentale: s p (δl) = 1 nm (ottenuto da una precedente valutazione) Incertezza tipo: u(δl)=s( δ l )= 1nm = 5,37 nm 5 La stima della deviazione standard è stata ottenuta eseguendo delle prove per confermare la conformità del comparatore usato con i requisiti del doc EA-10/0. S4.10 Bilancio delle incertezze (l X ): Grandezza X i Stima x i Incertezza tipo u(x i ) Distrib. di probabilità Coeffic. di sensibilità c i Contributo d incertezza u i (y) l S 50, mm 15 nm normale 1,0 15,0 nm δl D 0 mm 17,3 nm triangolare 1,0 17,3 nm δl -0, mm 5,37 nm normale 1,0 5,37 nm δl C 0 mm 18,5 nm rettangolare 1,0 18,5 nm δt 0 C 0,089 C rettangolare -575 nm C -1-16,6 nm δα t 0 0, speciale 50 mm -11,8 nm (δl V 0 mm 3,87 nm rettangolare -1,0-3,87 nm l X 49, mm 36,4 nm Dicembre 1999 pag. 35 di 74

40 S4.11 Incertezza estesa U = k u( l X ) = 36,4nm 73nm S4.1 Risultato di misura Il valore misurato di un blocchetto di misura di valore nominale 50mm è: 49, mm ± 73nm. L incertezza estesa riportata è stata determinata come incertezza tipo composta moltiplicata per il fattore di copertura k =, che per una distribuzione normale corrisponde ad un livello di fiducia di circa il 95 %. S4.13 Nota matematica sull incertezza tipo di misura del rapporto del prodotto di due grandezze con valore atteso pari a 0: Se si considera il prodotto di due grandezze, il metodo usuale di valutazione dei contributi d incertezza basato sulla linearizzazione della funzione modello deve essere modificato se uno o entrambi i valori attesi nel prodotto sono nulli. Se i fattori nel prodotto sono statisticamente indipendenti con valori attesi non nulli, la radice quadrata dell incertezza tipo di misura (varianza relativa) associata al prodotto può essere espressa senza alcuna linearizzazione con le radici quadrate delle incertezze tipo relative associate con le stime dei fattori: w (x 1 x ) = w (x 1 ) + w (x ) + w (x 1 ) w (x ) (S4.). Usando la definizione dell incertezza tipo relativa di misura questa relazione si può facilmente trasformare nella relazione generale: u (x 1 x ) =x u (x 1 ) + x 1 u (x ) + u (x 1 ) u (x ) (S4.3). Se le incertezze tipo u(x 1 ) e u(x ) associate con i valori attesi x 1 e x sono molto più piccole che i moduli dei rispettivi valori attesi, il terzo termine della parte destra della (S4.3) può essere trascurato. L equazione risultante rappresenta il caso descritto dal metodo usuale basato sulla linearizzazione della funzione modello. Se invece uno dei moduli dei valori attesi, per esempio x è molto più piccolo che l incertezza tipo u(x ) associata a questo valore atteso o perfino 0, il termine di prodotto comprendente questo valore atteso può essere trascurato nella parte destra della (S4.3) ma non il terzo termine. L equazione risultante è: u (x 1 x ) x 1 u (x ) + u (x 1 ) u (x ) (S4.4). Se entrambi i moduli dei valori attesi sono molto più piccoli delle loro incertezze tipo associate o perfino 0, solo il terzo termine della (S4.3) fornisce un contributo significativo: u (x 1 x ) u (x 1 ) u (x ) (S4.5). S5 TARATURA DI UNA TERMOCOPPIA DI TIPO N A 1000 C S5.1 Una termocoppia di tipo N viene tarata per confronto con due termocoppie campione di tipo R in un forno orizzontale alla temperatura di 1000 C. Le forze elettromotrici (emf) generate dalle termocoppie sono misurate con un multimetro digitale per mezzo di un interruttore per selezionare le polarità diretta ed inversa. Dicembre 1999 pag. 36 di 74

41 Tutte le termocoppie hanno la giunzione di riferimento a 0 C. La termocoppia in taratura è connessa al punto di riferimento usando dei cavi di compensazione. I valori di temperatura sono dati nella scala di temperatura t 90. S5. La temperatura t X della giunzione calda della termocoppia in taratura è: t X = t S (V is + δv is1 + δv is + δv R - δ C t 0S S 0 ) + δ t D + δ t F t S (V is ) + C S δv is1 + C S δv is + C S δv R - CS δt0s + δt D + δt F (S5.1) S5.3 La tensione V X ai capi degli adduttori della termocoppia con la giunzione fredda a 0 C durante la taratura è: t δt0 X t δt0 X V X (t) V X (t X ) + = V ix + δv ix1 + δv ix + δv R + δv LX + C X C X 0 C X C X 0 (S5.) Dove: t S (V) - temperatura del termometro di riferimento in termini di tensione con la giunzione fredda a 0 C. La funzione è data nel certificato di taratura; V is, V ix - indicazione del voltmetro; δv is1, δvi X1 - correzioni di tensione ottenute dalla taratura del voltmetro; δv is1, δvi X1 - correzioni di tensione dovute alla limitata risoluzione del multimetro; δv R - correzione di tensione dovuta agli effetti di contatto dell interruttore per l inversione di polarità; δt 0S, δt 0X = correzioni di temperatura dovute alla deviazione delle temperature di riferimento da 0 C; C X, C S = - sensibilità delle termocoppie in tensione alla temperatura di misura di 1000 C; C X0, C S0 = - sensibilità delle termocoppie in tensione alla temperatura di riferimento di 0 C; δt D = - cambiamento dei valori dei termometri di riferimento dall ultima taratura dovuto alla deriva; δt F = - correzione di temperatura dovuta alla non uniformità della temperatura del forno; t temperatura alla quale la termocoppia deve essere tarata (punto di taratura); t = t - t X - deviazione della temperatura del punto di taratura dalla temperatura del forno; δv LX correzione di tensione dovuta ai cavi di compensazione. S5.4 Il risultato riportato è la forza elettromotrice (emf) di uscita alla temperatura della sua giunzione calda. Questo perché il procedimento di misura consiste di due fasi Dicembre 1999 pag. 37 di 74 C S 0

42 determinazione della temperatura del forno e determinazione della emf della termocoppia in taratura la valutazione dell incertezza è divisa in due parti. S5.5 Campioni di riferimento (t S (V)): Le termocoppie di riferimento sono dotate di certificati di taratura che correlano la temperatura della giunzione calda con la giunzione fredda a 0 C alla tensione ai capi dei loro avvolgimenti. L incertezza estesa di misura a 1000 C è U = 0,3 C (fattore di copertura k = ). S5.6 Taratura del voltmetro (δv is1, δvi X1 ): Il voltmetro è stato tarato. Sono apportate correzioni alle tensioni misurate a tutti i risultati. Il certificato di taratura fornisce un incertezza estesa di misura costante per tensioni inferiori a 50 mv di U =,0 µv (fattore di copertura k = ). S5.7 Risoluzione del voltmetro (δv is, δvi X ): E stato usato un microvoltmetro digitale a 4 ½ cifre, nella portata 10 mv, che presenta dei limiti di risoluzione di ± 0,5 µv ad ogni indicazione. S5.8 Tensioni parassite (δv R ): Tensioni parassite residue di offset dovute ai contatti dell interruttore sono state stimate 0 con limiti ± µv. S5.9 Temperature di riferimento (δt 0S, δt 0X ): La temperatura del punto di riferimento di ogni termocoppia è nota essere 0 C con limiti ± 0,1 C. S5.10 Sensibilità di tensione (C S, C X, C S0, C X0 ): Le sensibilità alla tensione delle termocoppie sono state desunte dalle tabelle di riferimento: 1000 C 0 C termocoppia di riferimento: C S = 0,77 C/µV C S0 = 0,189 C/µV termocoppia in taratura: C X0 = 0,06 C/µV C X0 = 0,039 C/µV S5.11 Deriva del campione (δt D ): Da precedenti tarature la deriva dei campioni di riferimento sono stimate pari a 0 con limiti ± 0,3 C. S5.1 Gradienti di temperatura (δt F ): Sono stati misurati i gradienti di temperatura dentro il forno. A 1000 C, le deviazioni dalla non uniformità di temperatura nella regione di misura sono entro i limiti di ±1 C. S5.13 Cavi di compensazione (δv LX ): I cavi di compensazione sono stati studiati nel campo da 0 C a 40 C. Da ciò, le differenze di tensione tra i cavi e gli adduttori della termocoppia si stimano essere compresi entro ± 5 µv. S5.14 Misure (V is, t S (V is ), V ix ): Le indicazioni del voltmetro sono registrate nella seguente procedura operativa che fornice quattro letture per ogni termocoppia e riduce gli effetti di deriva di temperatura nella sorgente termica e delle tensioni parassite di origine termica nel circuito di misura: 1 ciclo: 1 campione, termocoppia incognita, campione, campione, termocoppia incognita, 1 campione. Inversione della polarità. ciclo: Dicembre 1999 pag. 38 di 74

43 1 campione, termocoppia incognita, campione, campione, termocoppia incognita, 1 campione. S5.15 La procedura richiede che la differenza fra le due termocoppie campione non deve superare ± 0,3 C. Se la differenza non è all interno di tali limiti le osservazioni devono essere ripetute e/o le ragioni di una tale differenza devono essere cercate. termocoppia 1 campione incognita campione Tensione indicata, corretta µv µv µv µv µv µv µv µv µv µv µv µv Tensione media ,5 µv µv µv Temperatura della giunzione calda 1000,4 C 1000,6 C Temperatura del forno 1000,5 C S5.16 Dalle quattro letture per ogni termocoppia fornite nella tabella soprastante, si deduce il valore medio delle tensioni di ogni termocoppia. I valori di tensione delle termocoppie di riferimento sono convertiti in valori di temperatura grazie alle relazioni temperatura-tensione definite nei loro certificati di taratura. I valori di temperatura osservati sono altamente correlati (fattore di correlazione prossimo a 1). Quindi, prendendo il loro valore medio esse sono composte in una singola osservazione che è la temperatura del forno nel luogo della termocoppia in taratura. In modo analogo, è stata estrapolata un osservazione della tensione della termocoppia in taratura. Per valutare l incertezza di misura associata con queste osservazioni, è stata eseguita precedentemente una serie di dieci misure alla stessa temperatura di operazione. Ciò ha fornito una stima della deviazione standard per la temperatura del forno e la tensione della termocoppia in taratura. Le rispettive incertezze tipo di misura delle grandezze osservate sono: stima dello scarto tipo composto: s p (t S ) = 0,10 C incertezza tipo: u(t S ) = s p (t S 1 ) = 0,10 C stima dello scarto tipo composto: s p (V ix ) = 1,6 µv incertezza tipo: u(v ix ) = s p ( V ix ) 1 = 1,6 µv Dicembre 1999 pag. 39 di 74

44 S5.17 Bilancio delle incertezze (temperatura t X del forno ): Grandezza X i Stima x i Incertezza tipo u(x i ) Distrib. di probabilità Coeffic. di sensibilità c i Contributo d incertezza u i (y) t S 1000,5 C 0,10 C normale 1,0 0,10 C δv is1 0 µv 1,00 µv normale 0,077 C/µV 0,077 C δv is 0 µv 0,9 µv rettangolare 0,077 C/µV 0,0 C δv R 0 µv 1,15 µv rettangolare 0,077 C/µV 0,0809 C δt 0S 0 C 0,058 C rettangolare -0,407-0,04 C δt S 0 C 0,15 C normale 1,0 0,15 C δt D 0 C 0,173 C rettangolare 1,0 0,173 C δt F 0 C 0,577 C rettangolare 1,0 0,577 C t X 1000,5 C 0,641 C S5.18 Bilancio delle incertezze (emf V X della termocoppia in taratura): L incertezza tipo di misura associata con la deviazione di temperatura del punto di taratura dalla temperatura del forno è l incertezza tipo di misura associata alla temperatura del forno perché il punto di temperatura è un valore definito (noto esattamente). Grandezza X i Stima x i Incertezza tipo u(x i ) Distrib. di probabilità Coeffic. di sensibilità c i Contributo d incertezza u i (y) V ix µv 1,60 µv normale 1,0 1,60 µv δv ix1 0 µv 1,00 µv normale 1,0 1,00 µv δv ix 0 µv 0,9 µv rettangolare 1,0 0,9 µv δv R 0 µv 1,15 µv rettangolare 1,0 1,15 µv δv LX 0 µv,9 µv rettangolare 1,0,9 µv t 0,5 C 0,0641 C normale 38,5µV/ C 4,5 µv δt 0X 0 C 0,058 C rettangolare -5,6µV/ C -1,48 µv V X 36 9 µv 5,0 µv S5.19 Incertezze estese L incertezza estesa associata con la misura di temperatura del forno è: U = k u(t X ) = 0,641 C 1.3 C L incertezza estesa associata con la misura del valore di emf della termocoppia in Dicembre 1999 pag. 40 di 74

45 taratura è: U = k u(v X ) = 5,0µV 50 µv S5.0 Risultato riportato La termocoppia di tipo N presenta, alla temperatura di 1000,0 C, con la sua giunzione fredda a 0 C, una emf di µv ± 50 µv. L incertezza estesa riportata è stata determinata come incertezza tipo composta moltiplicata per il fattore di copertura k =, che per una distribuzione normale corrisponde ad un livello di fiducia di circa il 95 %. S6 TARATURA DI UN SENSORE DI POTENZA ALLA FREQUENZA DI 19 GHz. S6.1 La taratura consiste di un sensore di potenza incognito rispetto ad un sensore di potenza campione per sostituzione su un campione di trasferimento (transfer standard) stabile di piccolo e noto coefficiente di riflessione. La misura è fatta in termini di fattore di taratura, che è definito come rapporto della potenza incidente alla frequenza di riferimento di 50 MHz con la potenza incidente alla frequenza di taratura con la condizione che entrambe le potenze incidenti danno uguale risposta del sensore di potenza. Ad ogni frequenza, si determina il rapporto (indicato) della potenza per il sensore in taratura, rispettivamente il sensore di riferimento ed il sensore interno che costituisce parte del campione di trasferimento, usando un misuratore di potenza duale con l opzione rapporto. S6. Schema del sistema di misura S6.3 La grandezza K, detta fattore di taratura da alcuni costruttori è definita come: Pr (1 + Γ ) PAr K = = (S6.1) P c (1 + Γ ) P r c Ac per l uguale indicazione del misuratore di potenza (power meter) dove: P - potenza incidente alla frequenza di riferimento (50 MHz); r Dicembre 1999 pag. 41 di 74

46 P - potenza incidente alla frequenza di taratura; c Γ r - coefficiente di riflessione di tensione del sensore alla frequenza di riferimento; Γ c - coefficiente di riflessione di tensione del sensore alla frequenza di taratura; P Ar - potenza assorbita dal sensore alla frequenza di riferimento; P Ac - potenza assorbita dal sensore alla frequenza di taratura; S6.4 Il fattore di taratura del sensore incognito si ottiene dalla relazione: M K X = (K S + δk D ) M dove: Sr Sc M M Xc Xr p Cr p Cc p (S6.) K S - fattore di taratura del sensore di potenza di riferimento; δk D - cambiamento del fattore di taratura del sensore di potenza di riferimento dall ultima taratura dovuto alla deriva; M Sr - fattore di disadattamento del sensore di potenza di riferimento alla frequenza di riferimento; M Sc - fattore di disadattamento del sensore di potenza di riferimento alla frequenza di taratura; M Xr - fattore di disadattamento del sensore di potenza in taratura alla frequenza di riferimento; M Xc - fattore di disadattamento del sensore di potenza in taratura alla frequenza di taratura; p Cr - correzione del rapporto osservato per la non linearità e per la limitata risoluzione del misuratore di potenza al livello di rapporto di potenza della frequenza di riferimento; p Cc - correzione del rapporto osservato per la non linearità e per la limitata risoluzione del misuratore di potenza al livello di rapporto di potenza della frequenza di taratura; p = p p Sr Sc p p Xc Xr - rapporto osservato dei rapporti di potenza derivato da: - p Sr rapporto di potenza indicato per il sensore di riferimento alla frequenza di riferimento; - p Sc rapporto di potenza indicato per il sensore di riferimento alla frequenza di taratura; - p Xr rapporto di potenza indicato per il sensore in taratura alla frequenza di riferimento; - p Xc rapporto di potenza indicato per il sensore in taratura alla frequenza di taratura. S6.5 Sensore di riferimento (K S ): Il sensore di riferimento è stato tarato sei mesi prima della taratura del sensore di potenza incognito. Il valore del fattore di taratura, dato Dicembre 1999 pag. 4 di 74

47 nel certificato di taratura è (95,7 ± 1,1) % (fattore di copertura k = ), che può essere anche espresso come 0,957 ± 0,011. S6.6 Deriva del campione (δk D ): La deriva del fattore di taratura del campione di riferimento è stimata dalle tarature annuali pari a 0,00 /anno con deviazioni comprese entro ± 0,004. Da questi valori, la deriva del sensore di riferimento, che è stato tarato sei mesi prima, viene stimata pari a 0,001 con deviazioni comprese entro ± 0,00. S6.7 Linearità e risoluzione del misuratore di potenza (p Cr, p Cc ): L incertezza estesa di 0,00 (fattore di copertura k = ) è assegnata alle letture del misuratore di potenza al livello di rapporto di potenza della frequenza di riferimento e di 0,000 (fattore di copertura k = ) al livello di rapporto di potenza della frequenza di taratura dovuta alla non linearità del misuratore usato. Questi valori sono stati ottenuti da precedenti misure. Siccome è stato usato lo stesso misuratore per determinare sia ps sia p X, i contributi d incertezza alla frequenza di riferimento e a quella di taratura sono correlati. Siccome si considerano i rapporti di potenza ad entrambe le frequenze, l effetto delle correlazioni è di ridurre l incertezza. Così, dovrebbe essere considerata solo la differenza relativa dovuta agli effetti sistematici (vedi la nota matematica al paragrafo S3.1), che porta ad un incertezza tipo di 0,0014 associata con il fattore di correzione p Cr e 0,00014 associata con il fattore di correzione p Cc. L incertezza estesa di misura definita per le letture del misuratore di potenza contiene gli effetti di linearità e della risoluzione. Gli effetti di linearità sono correlati mentre gli effetti della risoluzione sono scorrelati. Come mostrato in S3.1, il rapporto di potenza cancella l influenza delle correlazioni e fornisce un incertezza tipo ridotta da associare con il rapporto. Nei calcoli precedenti, comunque, i contributi separati correlati e scorrelati sono rapporti non noti e i valori dati sono i limiti superiori per l incertezza tipo di misura associata coi rapporti. Il computo dell incertezza alla fine mostra che i contributi che originano da questi rapporti sono trascura bili per cui le approssimazioni sono giustificate. S6.8 Fattori di disadattamento (M Sr, M Sc, M Xr, M Xc ): Siccome il sistema di trasferimento campione non è perfettamente accordato e la fase dei coefficienti di riflessione del campione di trasferimento, dei sensori campione e in taratura non sono noti, ci sarà un incertezza dovuta al disadattamento per ogni sensore alla frequenza di riferimento e alla frequenza di taratura. I corrispondenti limiti di deviazione devono essere calcolati per le frequenze di riferimento e di taratura dalla relazione: M S, X = 1 ± Γ Γ (S6.3) G S, X Dove le ampiezze dei coefficienti di riflessione del campione di trasferimento, dei sensori campione e in taratura sono: 50 MHz 18 GHz Γ 0,0 0,07 G Γ S 0,0 0,10 Γ X 0,0 0,1 La distribuzione di probabilità dei contributi individuali è a forma di U. Di ciò viene tenuto conto sostituendo il fattore 1/3 per una distribuzione rettangolare con 1/ nel calcolare la varianza dalla radice quadrata della semi-ampiezza determinata Dicembre 1999 pag. 43 di 74

48 dai limiti. L incertezza tipo dovuta al disadattamento si ottiene quindi da: Γ G ΓS u(m S, X ) = (S6.4) Nota: i valori dei coefficienti di riflessione sono risultati di misura soggetti a loro volta ad incertezza. Di ciò si tiene conto aggiungendo la radice quadrata della somma dell incertezza di misura al quadrato e il valore di misura. S6.9 Correlazione: Le grandezze d ingresso sono scorrelate S6.10 Misure (p): Tre misure separate sono state eseguite, ciò prevede la disconnessione e riconnessione di entrambi i sensori di riferimento e in taratura sul campione di trasferimento per tenere conto della ripetibilità del connettore. Le letture del misuratore di potenza usate per calcolare il rapporto di potenza p sono: n. osserv. p Sr p Sc p Xr p Xc p 1 1,0001 0,994 1,0001 0,9698 0,977 1,0000 0,994 1,0000 0,9615 0, ,9999 0,9953 1,0001 0,979 0,9836 Media aritmetica p = 0,9760 scarto tipo sperimentale: s(p) = 0,0083 (ottenuta da una precedente valutazione) Incertezza tipo: S6.11 Bilancio delle incertezze (K X ): u(p)=s( p )= 0,0083 = 0, Grandezza X i Stima x i Incertezza tipo u(x i ) Distrib. di probabilità Coeffic. di sensibilità c i Contributo d incertezza u i (y) K S 0,957 0,0055 normale 0,976 0,00537 δk D -0,001 0,001 rettangolare 0,976 0,00113 M Sr 1,000 0,0006 U 0,933 0,00053 M Sc 1,000 0,0099 U 0,933 0,0094 M Xr 1,000 0,0006 U 0,933-0,00053 M Xc 1,000 0,0119 U 0,933 0,01110 P Cr 1,000 0,0014 normale 0,933 0,0013 P Cc 1,000 0,0001 normale 0,933 0,00013 p 0,976 0,0048 normale 0,956 0,00459 K X 0,933 0,0163 S6.1 Incertezza estesa Dicembre 1999 pag. 44 di 74

49 U = k u(k X ) = 0,0163 0,03 S6.13 Risultato di misura S7 S7.1 Il fattore di taratura di un sensore di potenza a 18 GHz è 0,933 ± 0,03 che può anche essere espressa come (93,3 ± 3,)% L incertezza estesa riportata è stata determinata come incertezza tipo composta moltiplicata per il fattore di copertura k =, che per una distribuzione normale corrisponde ad un livello di fiducia di circa il 95 %. TARATURA DI UN ATTENUATORE COASSIALE AD UNA IMPOSTAZIONE DI 30 DB (PERDITA INCREMENTALE) La misura prevede la taratura di un attenuatore coassiale a passo a 10 GHz usando un sistema di misura di attenuazione contenente un attenuatore coassiale a passo (step attenuator) tarato che funge da riferimento di attenuazione. Il metodo di misura comprende la determinazione dell attenuazione tra la sorgente adattata ed il carico adattato. In questo caso l attenuatore in taratura può essere alternato tra le impostazioni di 0 db e 30 db e questo cambiamento (detto perdita incrementale) viene determinato nel processo di taratura. Il sistema di misura di attenuazione a RF (RF attenuation measuring system) ha una visualizzazione digitale e un rivelatore di zero di tipo analogico che viene usato per indicare la condizione di equilibrio S7. Schema del sistema di misura S7.3 L attenuazione L X dell attenuatore in taratura si ottiene dalla relazione: L X = L S + δl S + δl D + δl M + δl K + δl ib - δl ia + δl 0b - δl 0a (S7.1) dove: L S = L ib - L ia - differenza di attenuazione dell attenuatore di riferimento derivata da: L ia - attenuazione indicata con l attenuatore in taratura impostato a 0 db; L ib - attenuazione indicata con l attenuatore in taratura impostato a 30 db; δl S - correzione ottenuta dalla taratura dell attenuatore di riferimento; δl D - cambiamento dell attenuazione dell attenuatore di riferimento dall ultima taratura dovuto alla deriva; Dicembre 1999 pag. 45 di 74

50 δl M - correzione dovuta alla perdita per il disadattamento; δl K - correzione per i segnali di dispersione tra l ingresso e l uscita dell attenuatore in taratura dovuta al non perfetto isolamento; δl ia,δl ib - correzioni dovute alla limitata risoluzione dell attenuatore campione alle impostazioni di 0 db e 30 db; δl 0a,δL 0b - correzioni dovute alla limitata risoluzione del rivelatore di zero alle impostazioni di 0 db e 30 db. S7.4 Attenuatore di riferimento (δl S ): Il certificato di taratura per l attenuatore campione fornisce un valore di attenuazione per l impostazione 30,000 db a 10 GHz di 30,003 db con un incertezza estesa associata di 0,005 db (fattore di copertura k = ). La correzione di + 0,003 db con un incertezza estesa associata di 0,005 db (fattore di copertura k = ) è considerata valida per impostazioni di attenuazione dell attenuatore di riferimento che non differiscano più di ± 0,1 db dall impostazione tarata di 30,000 db. S7.5 Deriva del riferimento (δl D ): La deriva di attenuazione dell attenuatore di riferimento dall ultima taratura è stimata dalla sua storia di taratura pari a 0 con limiti ± 0,00 db. S7.6 Perdita per disadattamento (δl M ): I coefficienti di riflessione della sorgente e del carico nel punto d inserzione dell attenuatore in taratura sono stati ottimizzati adattando l impedenza a valori più bassi possibile. I loro valori e i valori dei coefficienti di dispersione dell attenuatore in taratura sono stati misurati ma la loro fase rimane incognita. Senza alcuna informazione sulla fase, non può essere apportata correzione per l errore di disadattamento, ma l incertezza tipo (in db) dovuta all incompleta conoscenza dell adattamento si stima dalla relazione [1]: 8, u(δl M )= ΓS ( S 11a + S11 b ) + ΓL ( S a + Sb ) + ΓS ΓS ΓL ( S1 a + S1 b ) (S7.) con i coefficienti di riflessione Γ L = 0,03 e Γ S = 0,03 e i coefficienti di dispersione dell attenuatore in taratura a 10 GHz 0dB 30dB S 11 0,05 0,09 S 0,01 0,01 S 1 0,95 0,031 per cui u(δl M )= 0,0 db. Nota: I valori dei coefficienti di dispersione e riflessione sono risultati di misura soggetti a loro volta ad incertezza. Di ciò si tiene conto aggiungendo la radice quadrata della somma dell incertezza di misura al quadrato e il valore di misura al quadrato. S7.7 Correzione per la dispersione (δl K ): I segnali di dispersione attraverso l attenuatore in taratura sono stati stimati dalle misure ad una impostazione di 0 db essere almeno 100 db al di sotto il segnale di misura. La correzione per i segnali di dispersione è stimata essere compresa tra ± 0,003 db all impostazione di 30 db. S7.8 Risoluzione dell impostazione dell attenuatore di riferimento (δl ia,δl ib ): Il display di it l d ll tt t i h i l i db d i l i Dicembre 1999 pag. 46 di 74

51 digitale dell attenuatore campione ha una risoluzione 0,001 db da cui la correzione per la risoluzione viene stimata entro ± 0,0005 db. S7.9 Risoluzione del rivelatore di zero (δl i0a,δl 0b ): La risoluzione del rivelatore è stata determinata precedentemente avente una deviazione standard di 0,00 db ad ogni lettura assumendo una distribuzione di probabilità normale. S7.10 Correlazione: Le grandezze d ingresso sono scorrelate. S7.11 Misure (L S ): Sono state eseguite quattro misure di perdita incrementale dell attenuatore in taratura fra le impostazioni di 0 db e 30 db: n. osserv. Valori a Impost. 0 db Impost. 30 db 1 0,000 db 30,033 db 0,000 db 30,058 db 3 0,000 db 30,018 db 4 0,000 db 30,05 db Media aritmetica scarto tipo sperimentale: Incertezza tipo: S7.1 Bilancio delle incertezze (L X ): Grandezza X i Stima x i Incertezza tipo u(x i ) L S = 30,040 db s(l S ) = 0,18 db 0,18 db u(l S )=s( L S )= = 0, 009 db 4 Distrib. di probabilità Coeffic. di sensibilità c i Contributo d incertezza u i (y) L S 30,040 db 0,0090 db normale 1,0 0,0090 db δl D 0,003 db 0,005 db rettangolare 1,0 0,005 db δl S 0 db 0,0011 db a forma di U 1,0 0,0011 db δl M 0 db 0,000 db a forma di U 1,0 0,000 db δl K 0 db 0,0017 db a forma di U 1,0 0,0017 db δl ia 0 db 0,0003 db a forma di U - 1,0-0,0003 db δl ib 0 db 0,0003 db rettangolare 1,0 0,0019 db δl i0a 0 db 0,000 db rettangolare - 1,0 0,000 db δl 0b 0 db 0,000 db normale 1,0-0,000 db L X 30,043 db 0,04 db S7.13 Incertezza estesa U = k u(l X ) = 0,04 db 0,045 db Dicembre 1999 pag. 47 di 74

52 S7.14 Risultato di misura Il valore misurato dell attenuatore a passo ad un impostazione di 30 db a 10 GHz è (30,043 ± 0,045) db. L incertezza estesa riportata è stata determinata come incertezza tipo composta moltiplicata per il fattore di copertura k =, che per una distribuzione normale corrisponde ad un livello di fiducia di circa il 95 %. S7.15 Bibliografia [1] Harris, I.A. ;Warner, F. L. :Re-examination of mismatch uncertainty when measuring microwave power and attenuation. In IEE Proc., Vol. 18, Pt H,No 1, Febr Dicembre 1999 pag. 48 di 74

53 SUPPLEMENTO Esempi S8 INTRODUZIONE S9 TARATURA DI UN MULTIMETRO PALMARE ALLA TENSIONE CONTINUA DI 100 V S10 TARATURA DI UN CALIBRO A NONIO S11 TARATURA DI UN CALIBRATORE DI TEMPERATURA A BLOCCO ALLA TEMPERATURA DI 180 C S1 TARATURA DI UN MISURATORE DI ACQUA DOMESTICO S13 TARATURA DI UN ANELLO CAMPIONE CON UN DIAMETRO NOMINALE DI 50 mm Dicembre 1999 pag. 49 di 74

54 S8 INTRODUZIONE S8.1 Gli esempi seguenti sono scelti per mostrare ulteriormente il metodo di valutazione dell incertezza di misura. Essi si aggiungono agli esempi presentati nel Supplemento 1 del doc EA-4/0. La presente serie di esempi si focalizza su situazioni dove ci sono uno o due termini dominanti nella propagazione dell incertezza o dove il numero di misure ripetute è piccolo. S8. Gli esempi sono scelti per illustrare situazioni incontrate nella pratica. Dovrebbe essere comunque enfatizzato che in applicazioni pratiche non è necessario effettuare le derivate matematiche presentate in questi esempi, in particolare nelle note matematiche in appendice ad alcuni esempi. Piuttosto, l utilizzatore è incoraggiato ad utilizzare delle presentazioni teoriche dopo che egli stesso abbia familiarizzato con le condizioni a cui si deve attenere. Per esempio, se viene accertato che in una data situazione il risultato di misura ha una distribuzione rettangolare (come sarebbe quando c è un solo termine, distribuito rettangolarmente, che è necessario considerare nella propagazione), si può immediatamente arrivare alla conclusione che il fattore di copertura da usare per arrivare ad un livello di fiducia del 95% è k = 1,65 (vedi S9.14). S8.3 Una conclusione generale che può essere ottenuta dalla propagazione dell incertezza è che nel caso di un solo contributo prevalente il tipo di distribuzione di questo contributo si applica anche al risultato di misura. Comunque, per valutare l incertezza di misura, deve essere deve essere utilizzato il coefficiente di sensibilità appropriato. S8.4 Bisognerebbe aggiungere che la situazione in cui ci sono uno o pochi termini dominanti nell incertezza di misura viene spesso incontrata in connessione con strumenti di misura meno complicati, dove il termine prevalente spesso è dovuto alla limitata risoluzione dello strumento. Ciò potrebbe apparire un paradosso che il trattamento dell incertezza di misura per strumenti di misura meno complicati, come mostrato dagli esempi di questo Supplemento, è più complesso del trattamento dei più avanzati esempi nel Supplemento 1. Comunque bisognerebbe considerare che le derivate matematiche, che potrebbero essere sentite come delle complicazioni, sono inserite per ragioni pedagogiche nelle situazioni in cui sono necessarie invece di presentarle nel documento principale. S8.5 Gli esempi sono basati su bozze preparate da Gruppi di Esperti EA. Queste bozze sono state semplificate e armonizzate per renderle comprensibili per gli operatori di laboratorio in tutti i campi di applicazione. Si spera così che questo gruppo di esempi, come i precedenti pubblicati come Supplemento 1, contribuiranno a una migliore comprensione dei dettagli dell impostazione di un modello di valutazione e all armonizzazione del processo di valutazione dell incertezza di misura, indipendentemente dal settore di misura. S8.6 I contributi e i valori dati negli esempi non rappresentano requisiti prescrittivi o preferenziali. I laboratori dovrebbero determinare i contributi d incertezza sulla base del modello che usano nella valutazione della particolare taratura effettuata e riportare l incertezza di misura valutata nel certificato di taratura che emettono. S8.7 La presentazione degli esempi segue lo schema comune presentato e applicato nel primo supplemento. Per i dettagli il lettore è rimandato al punto S1.4 di quel Dicembre 1999 pag. 50 di 74

55 documento S8.8 L analisi dell incertezza degli esempi intende rappresentare i fondamenti dello specifico processo di misura e il metodo di valutazione del risultato di misura e l incertezza di misura associata. Per rendere l analisi trasparente, anche per coloro che non sono esperti nel campo di misura pertinente, è stato scelto un metodo uniforme per la scelta dei simboli delle grandezze, basato più sull esperienza fisica che sulla pratica corrente in diversi campi. S8.9 Ci sono parecchie grandezze ricorrenti considerate in tutti i casi. Una di esse è il misurando, vale a dire la grandezza da misurare, un altra è la grandezza rappresentata dal campione di lavoro che realizza l unità locale; il misurando viene confrontato con questa grandezza. Oltre a queste due grandezze ce ne sono parecchie altre, in tutti i casi, che assumono il ruolo di grandezze locali addizionali o di correzioni. S8.10 Le correzioni descrivono l imperfetta uguaglianza tra un misurando e il risultato di una misura. Alcune delle correzioni sono date da completi risultati di misura, vale a dire un valore di misura e l incertezza di misura ad esso associata. Per altre la distribuzione dei valori si deduce da una maggiore o minore conoscenza della loro natura. Nella maggioranza dei casi ciò porterà ad una stima dei limiti per le deviazioni incognite. S8.11 In certi casi la grandezza rappresentata da un campione di lavoro è caratterizzata dal valore nominale del campione. Così i valori nominali, che generalmente caratterizzano o identificano gli artefatti di taratura, spesso entrano nell analisi dell incertezza. S8.1 Per distinguere i modelli matematici di valutazione da questi concetti, gli esempi sono stati definiti seguendo le regole di scrittura fornite più avanti. E evidente comunque, che non è possibile seguire tali regole strettamente perché la prassi concernente l uso di simboli è diversa nei diversi settori metrologici. S8.13 La notazione applicata in questa sede distingue tra valori principali, valori nominali, valori di correzione e valori di limiti: I valori principali sono valori misurati od osservati che contribuiscono in modo essenziale al valore del misurando. Sono rappresentati da lettere minuscole in corsivo; saranno preceduti da una delta greca maiuscola se la grandezza costituisce una differenza. ESEMPIO: t ix - temperatura indicata da un termometro X in taratura (l indice i significa indicata), l - differenza osservata nello spostamento di un alberino di misura. I valori nominali sono valori assegnati della realizzazione di una grandezza da un campione od uno strumento di misura. Sono valori approssimati che forniscono la parte principale del valore realizzato. Sono rappresentati da lettere maiuscole in corsivo. ESEMPIO: L - lunghezza nominale di un blocchetto di misura in taratura. Dicembre 1999 pag. 51 di 74

56 I valori di correzione forniscono piccole deviazioni dai valori principali che sono noti o devono essere stimati. Nella maggior parte dei casi sono termini addizionali. Sono rappresentati dal simbolo scelto per la grandezza in considerazione, preceduti da una delta greca minuscola. ESEMPIO: δm D - possibile deviazione dovuta alla deriva di una massa campione dall ultima taratura; δm C - correzione per l eccentricità del carico e per gli effetti magnetici nella taratura di una massa. I valori dei limiti sono fissi, valori stimati di possibili variazioni dei valori incogniti di una grandezza. Sono rappresentati dal simbolo scelto per la grandezza in considerazione, preceduti da una delta greca maiuscola ESEMPIO: α X - semi-ampiezza stimata dell intervallo di possibili deviazioni di un coefficiente lineare di resistività termica dato nella specifica del costruttore per un resistore in taratura. La differenziazione tra diverse grandezze dello stesso tipo viene effettuata con indici come mostrato negli esempi. Sono state seguite le regole accettate internazionalmente per le grandezze fisiche: gli indici che rappresentano le grandezze fisiche sono fornite in corsivo mentre gli indici che simboleggiano gli artefatti, strumenti e così via sono scritti con lettere normali, non in corsivo. S8.14 Valori di riferimento sono rappresentati da un simbolo di quantità con l indice zero. ESEMPIO: p 0 - pressione di riferimento, ed es. di 1000 mbar. S8.15 I rapporti delle grandezze dello stesso tipo (rapporti adimensionali) sono rappresentati da lettere minuscole in corsivo. ESEMPIO: r = R ix / R in - rapporto della resistenza indicata di un resistore incognito e di quello in taratura (l indice i significa indicato). S8.16 Se si usano parecchi indici, la sequenza degli indici è scelta in modo che l indice che rappresenta il concetto più generale è posto a sinistra mentre che l indice che rappresenta il concetto più specifico è posto a destra. ESEMPIO: V i1, V i - tensione indicata dal voltmetro 1 e rispettivamente. S8.17 Si intende che gli esempi in questo secondo Supplemento al doc EA-4/0 siano seguiti da altri, che illustrino i diversi aspetti connessi alla taratura di strumenti di 1 Dicembre 1999 pag. 5 di 74

57 misura. Si possono trovare esempi anche nei documenti guida EA 1 riferiscono alla taratura di specifici tipi di strumenti di misura. che si S9 TARATURA DI UN MULTIMETRO NUMERALE DI TIPO PALMARE ALLA TENSIONE CONTINUA DI 100 V S9.1 Come parte di una taratura generale, un multimetro numerale di tipo palmare (DMM) viene tarato sul punto 100V in tensione continua usando un calibratore multifunzione come campione di lavoro. Viene usata la seguente procedura di misura: (1) i morsetti di uscita del calibratore sono connessi ai morsetti d ingresso del multimetro usando opportuni cavi di misura: () il calibratore viene impostato a 100 V e, dopo un adeguato periodo di stabilizzazione, viene annotata la lettura del multimetro; l errore di indicazione del multimetro si calcola utilizzando le letture del multimetro e le impostazioni del calibratore. S9. Bisogna notare che l errore di indicazione del multimetro che si ottiene usando questa procedura di misura include gli effetti di offset e le deviazioni dalla linearità. S9.3 L errore di indicazione E X del multimetro in taratura si ottiene da: E X = V ix - V S + δv ix - δv S dove: V ix - tensione, indicata dal multimetro (l indice i significa indicazione); V S - tensione generata dal calibratore; δv ix - correzione della tensione indicata dovuta alla risoluzione del multimetro; (S9.1) δv S correzione della tensione del calibratore dovuta a: (1) deriva dall ultima taratura; () deviazioni risultanti dall effetto combinato dell offset, della non linearità e delle differenze nel guadagno; (3) deviazioni dovute alle variazioni della temperatura ambiente; (4) deviazioni dovute alle variazioni della alimentazione di rete; effetti di carico dovuti al fatto che l impedenza d ingresso del multimetro in taratura ha un valore non infinito. S9.4 A causa della limitata risoluzione dell indicazione del multimetro non si osserva dispersione dei valori indicati. 1 EA-10/0 Calibration of pressure balances (ex EAL-G6), EA-10/08 Calibration of thermocouples (ex EAL-G31), EA-10/09 Measurement and generation of small ac voltage with inductive voltage dividers (ex EAL-G3), EA-10/10: Guidelines on the Determination of Pitch Diameter of Parallel Thread gauges by Mechanical Probing. Dicembre 1999 pag. 53 di 74

58 S9.5 Letture del multimetro(v ix ): Il multimetro indica una tensione di 100,1 V con l impostazione del calibratore a 100 V. Si assume che la lettura del multimetro sia esatta (vedi S9.4). S9.6 Campione di lavoro (V S ): Il certificato di taratura del calibratore multifunzione definisce che la tensione generata è il valore indicato dall impostazione del calibratore e che l incertezza estesa relativa associata è W = 0,000 0 (fattore di copertura k = ), ne risulta che essere l incertezza estesa, associata all impostazione 100 V, è di U = 0,00 V (fattore di copertura k = ). S9.7 Risoluzione del multimetro in taratura (δv ix ): La cifra meno significativa del display del multimetro corrisponde a 0,1 V. Ogni lettura del multimetro ha una correzione che si stima essere 0,0 V con limiti ± 0,05 V (che è la metà della grandezza della cifra meno significativa). S9.8 Altre correzioni (δv S ): Per il fatto che non sono disponibili i comportamenti individuali, l incertezza di misura associata con le diverse sorgenti viene ottenuta dalla specifica di accuratezza date dal costruttore del calibratore. Queste specifiche indicano che la tensione generata dal calibratore coincide con l impostazione entro ± (0,000 1 V S + 1 mv) nelle condizioni di misura: (1) la temperatura ambiente nel campo da 18 C a 3 C () la tensione di rete che alimenta il calibratore è nel campo da 10 V a 50 V, (3) il carico resistivo ai morsetti del calibratore è superiore a 100 kω, (4) il calibratore è stato tarato nell ultimo anno. Siccome sono soddisfatte queste condizioni di misura e la storia di taratura del calibratore mostra che la specifica del costruttore può essere ritenuta affidabile, si assume che la correzione da applicare alla tensione generata dal calibratore sia 0,0 V ± 0,011 V. S9.9 Le grandezze d ingresso sono scorrelate. S9.10 Bilancio delle incertezze (E X ): Grandezza X i Stima x i Incertezza tipo u(x i ) Distrib. di probabilità Coeffic. di sensibilità c i Contributo d incertezza u i (y) V ix 100,1 V - normale - - V S 100,0 V 0,001 V - 1,0-0,001 V δv ix 0,0 V 0,09 V rettangolare 1,0 0,09 V δv S 0,0 V 0,0064 V rettangolare - 1,0-0,0064 V E X 0,1 V 0,030 V S9.11 Incertezza estesa L incertezza tipo di misura associata con il risultato è chiaramente dominata dall effetto della risoluzione del multimetro. La distribuzione finale non è normale ma essenzialmente rettangolare. Quindi, il metodo dei gradi di libertà effettivi descritto nell allegato E del doc EA-4/0 non è applicabile. Il fattore di copertura appropriato per una distribuzione rettangolare si calcola dalla relazione data in eq. Dicembre 1999 pag. 54 di 74

59 (S9.8) nella nota matematica S9.14. U = k u(e X ) = 1,65 0,030 V 0,05 V. S9.1 Risultato di misura L errore di indicazione misurato del un multimetro numerale di tipo palmare a 100 V è (0,10 ± 0,05) V. L incertezza estesa riportata è stata determinata come incertezza tipo composta moltiplicata per il fattore di copertura k = 1,65 che è stato derivato dalla distribuzione rettangolare per un livello di fiducia di circa il 95 %. S9.13 Considerazione addizionale Il metodo usato per calcolare il fattore di copertura è chiaramente legato al fatto che l incertezza di misura associata al risultato è dominata dall effetto della risoluzione del multimetro. Ciò sarà vero per la taratura di strumenti di misura ad indicazione purché la risoluzione finita sia la sola sorgente prevalente nel bilancio delle incertezze. S9.14 Nota matematica: se la situazione di misura è tale che uno dei contributi d incertezza nel bilancio può essere indicato come termine prevalente, per esempio il termine con indice 1, l incertezza tipo associata con il risultato di misura y può essere scritta come: u(y) = u ( y) + u ( ). (S9.3) Il termine: 1 R y u R N ( y) = u ( y) indica il contributo totale all incertezza dei termini t= t non prevalenti. Fino a che il rapporto dell incertezza totale dovuta ai termini non prevalenti e del contributo d incertezza totale u 1 (y) del termine prevalente non è maggiore di 0,3, (eq. S9.) può essere approssimata da: 1 u R ( y) u( y) u1( y) [1 + ( ) ]. (S9.4) u ( y) 1 L errore relativo di approssimazione è inferiore a Il massimo cambiamento relativo nell incertezza tipo che risulta dal fattore tra parentesi in (S9.4) non è superiore al 5 %. Questo valore è entro la tolleranza accettata per l arrotondamento matematico dei valori d incertezza. Con queste supposizioni, la distribuzione dei valori che possono essere ragionevolmente attribuiti al misurando è essenzialmente identica alla distribuzione risultante dal contributo noto prevalente. Da questa distribuzione di probabilità ϕ(y) la probabilità di copertura p può essere determinata per ogni valore dell incertezza estesa di misura U dalla relazione integrale: y + U y U p ( U ) = ϕ ( y' dy' (S9.5) L inversione di questa relazione per una data probabilità di copertura risulta nella relazione tra l incertezza estesa di misura e la probabilità di copertura U = U(p) per Dicembre 1999 pag. 55 di 74

60 la data distribuzione ϕ(y). Usando questa relazione, il fattore di copertura può essere alla fine espresso come: U ( p) k ( p) = (S9.6) u( y) Nel caso del voltmetro numerale di tipo palmare il contributo prevalente d incertezza che risulta dalla risoluzione dell indicazione è u δvx (E X ) = 0,09 V mentre l incertezza totale dei termini non dominanti è u R (E X ) = = 0,0064 V. Il corrispondente rapporto è u R (E X ) / u δvx (E X ) = 0,. Così la distribuzione risultante dei valori che possono essere ragionevolmente attribuiti come errori di indicazione è sostanzialmente rettangolare. La probabilità di copertura per una distribuzione rettangolare è linearmente correlata all incertezza estesa di misura (essendo a la semi-ampiezza della distribuzione). U p = (S9.7) a Risolvendo questa relazione per l incertezza estesa U e inserendo il risultato insieme all espressione dell incertezza tipo di misura relativa ad una distribuzione rettangolare è data dall eq. (3.8) del documento EA-4/0 alla fine si ha la relazione: k(p) = p 3 (S9.8) Per una probabilità di copertura p = 95% applicata in ambito EA, il fattore di copertura pertinente è così k = 1,65. S10 TARATURA DI UN CALIBRO A NONIO S10.1 Un calibro a nonio fatto d acciaio è tarato contro dei blocchetti piano paralleli di misura in acciaio, di grado I, usati come campioni di lavoro. Il campo di misura del calibro è 150 mm. L intervallo di lettura del calibro è 0,05 mm (la scala principale è 1 mm mentre l intervallo di scala del nonio è 1/0 mm). Si usano nella taratura parecchi blocchetti di misura con lunghezze nominali nel campo 0,5 150 mm. Sono scelti in modo che i punti di misura siano spaziati pressappoco a distanze uguali (es. 0,0 mm, 50 mm, 100 mm, 150 mm) ma diano valori diversi sulla scala del nonio(es. 0,0 mm, 0,3 mm, 0,6 mm, 0,9 mm). L esempio riguarda il punto di taratura a 150 mm per misure di dimensioni esterne. Prima della taratura vengono eseguite parecchie prove della condizione del calibro. Queste includono la dipendenza del risultato di misura dalla distanza dell oggetto misurato dall asse dello strumento (errore di Abbe), qualità delle facce di misura delle ganasce (piattezza, parallelismo, quadratura), e funzione del meccanismo di blocco. S10. L errore di indicazione E X del calibro alla temperatura di riferimento t 0 = 0 C si ottiene dalla relazione: E X = l ix - l S +L S α t + δl ix + δl M dove: l ix - indicazione del calibro; Dicembre 1999 pag. 56 di 74

61 l S L S - lunghezza dell attuale blocchetto di misura; - lunghezza nominale dell attuale blocchetto di misura; α - coefficiente medio di espansione termica del calibro e del blocchetto di misura; t - differenza di temperatura tra il calibro e il blocchetto di misura; δl ix - correzione dovuta alla risoluzione finita del calibro; δl M - correzione dovuta ad effetti meccanici, come la forza di misura applicata, gli errori di Abbe, gli errori di piattezza e parallelismo delle facce di misura. S10.3 Campioni di lavoro (l S, L S ): Le lunghezze dei blocchetti di misura di riferimento usati come campioni di lavoro, con le loro incertezze estese di misura associate sono date nel certificato di taratura. Questo certificato conferma che i blocchetti di misura soddisfano i requisiti per i blocchetti di grado I previsti dalla ISO 3650, vale a dire che la lunghezza centrale dei blocchetti di misura coincide entro ± 0,8 µm con la lunghezza nominale. Per le effettive lunghezze dei blocchetti si usano le loro lunghezze nominali senza correzione, assumendo i limiti di tolleranza come limiti superiore ed inferiore di variabilità. S10.4 Temperatura (α, t): Dopo un opportuno tempo di stabilizzazione, le temperature del calibro e del blocchetto sono uguali entro ± C. Il coefficiente medio di espansione termica è 11, C -1. (l incertezza nel coefficiente medio di espansione termica e nella differenza dei coefficienti di espansione termica non è stata presa in considerazione; la sua influenza è considerata trascurabile per il caso presente. (Cf. EA-4/0-S1, esempio S4.) S10.5 Risoluzione del calibro (δl ix ): L intervallo della scala del nonio è 0,05 mm. Così si stima che le variazioni dovute alla risoluzione abbiano limiti rettangolari di ± 5 µm. S10.6 Effetti meccanici (δl M ): Questi effetti includono la forza di misura applicata, l errore di Abbe e il gioco tra il braccio orizzontale e le ganasce di scorrimento. Effetti addizionali possono essere causati dal fatto che le facce di misura delle ganasce non sono perfettamente piatte, non parallele l un l altra e non perpendicolari al braccio. Per minimizzare lo sforzo, si considera solo il campo della variazione totale pari a ± 50 µm. S10.7 Correlazione: Le grandezze d ingresso sono scorrelate. S10.8 Misure (li X ): La misura viene ripetuta parecchie volte senza rilevare dispersione nelle osservazioni. Così l incertezza dovuta alla limitata ripetibilità non fornisce contributo. Il risultato di misura per il blocchetto da 150 mm è 150,10 mm. Dicembre 1999 pag. 57 di 74

62 S10.9 Bilancio delle incertezze (E X ): Grandezza X i Stima x i Incertezza tipo u(x i ) Distrib. di probabilità Coeffic. di sensibilità c i Contributo d incertezza u i (y) li X 150,10 mm l S 150,00 mm 0,46 µm rettangolare - 1,0-0,46 µm t 0 1,15 K rettangolare 1,7 µm K -1,0 µm δli X 0 15 µm rettangolare 1,0 15 µm δl M 0 9 µm rettangolare 1,0 9 µm E X 0,10 mm 33 µm S10.10 Incertezza estesa L incertezza di misura associata con il risultato è chiaramente dominata dall effetto combinato della forza di misura e della risoluzione del nonio. La distribuzione finale non è normale ma essenzialmente trapezoidale con un rapporto β = 0,33 della semi-ampiezza della zona di plateau rispetto la semiampiezza dell intervallo di variabilità. Quindi il metodo dei gradi di libertà effettivi descritto in EA-4/0, Allegato E, non è applicabile. Il fattore di copertura k = 1,83 appropriato per questa distribuzione trapezoidale di valori si calcola dall eq. (S10.10) della nota matematica S Così: U = k u(e X ) = 1,83 0,033 mm 0,06 mm S10.11 Risultato di misura A 150 mm l errore di indicazione misurato del calibro è (0,10 ± 0,06) mm. L incertezza estesa riportata è stata determinata come incertezza tipo composta moltiplicata per il fattore di copertura k = 1,83 che è stato derivato dalla supposta distribuzione trapezoidale per un livello di fiducia di circa il 95 %. S10.1 Considerazione addizionale Il metodo usato per calcolare il fattore di copertura è chiaramente legato al fatto che l incertezza di misura associata con il risultato è dominato da due influenze: gli effetti meccanici e la risoluzione della scala del nonio. Per cui l assunzione di una distribuzione normale per la grandezza d uscita non è giustificata e si applicano le condizioni di EA-4/0, paragrafo 5.6. Nel senso che le probabilità e le densità di probabilità in pratica possono essere determinate entro il 3 % 5%, la distribuzione è essenzialmente trapezoidale, ottenuta dalla composizione di due distribuzioni rettangolari associate ai contributi dominanti. Le semi-ampiezze della base e della sommità del trapezoide simmetrico risultante sono 75 µm e 5 µm, rispettivamente. Il 95% dell area del trapezoide è attorniata da un intervallo di ± 60 µm attorno al suo asse di simmetria, corrispondente a k = 1,83. Dicembre 1999 pag. 58 di 74

63 S10.13 Nota matematica Se la situazione di misura è tale che due dei contributi d incertezza nel bilancio possono essere identificati come termini dominanti, si può applicare il metodo presentato in S9.14 quando i due contributi prevalenti, per esempio i termini con indici 1 e, sono combinati in un unico termine dominante. L incertezza tipo da associare al risultato di misura y può essere scritta in questo caso come u( y) = u ( y) + u ( ) (S10.) 0 R y dove: u ( y) = u ( y) + u ( ) (S10.3) 0 1 y indica il contributo composto di queste due termini prevalenti e u R N ( y) = u ( y) (S10.4) i= 3 i il contributo totale d incertezza dei termini rimanenti non prevalenti. Se i due contributi prevalenti originano da distribuzioni rettangolari di valori con semiampiezze a 1 e a, la distribuzione che risulta componendole è una distribuzione simmetrica trapezoidale con semi-ampiezze: a = a 1 + a e b = a1 a (S10.5) della base e della sommità, rispettivamente (vedi esempio in fig. 1). La distribuzione può essere convenientemente espressa nella forma unificata: 1 y < β a 1 1 y ϕ( y) = (1 ) β a y a (S10.6) a(1 + β) 1 β a 0 a < y con il parametro di margine b a1 a β = = (S10.7) a a1 + a La radice quadrata dell incertezza tipo di misura dedotta dalla distribuzione trapezoidale di eq. (S10.6) è u ( y) = a (1 + β ) (S10.8) 6 Usando la distribuzione eq. (S10.6) la dipendenza del fattore di copertura sulla probabilità di copertura si deriva secondo il metodo abbozzato in S9.14. Dicembre 1999 pag. 59 di 74

64 Fig.1: Distribuzione di probabilità unificata simmetrica trapezoidale con il valore β = 0,33 del parametro di margine risultante dalla composizione di due distribuzioni rettangolari k( p) = 1 1+ β 6 1 p(1 + β) (1 p)(1 β p < β p p β p (S10.9) La fig. mostra la dipendenza del fattore di copertura k nel valore del parametro di margine β per un livello di fiducia del 95%. Fig.: dipendenza del fattore di copertura k sul valore del parametro di margine β di una distribuzione trapezoidale per un livello di fiducia del 95%. Il fattore di copertura per un livello di fiducia del 95% appropriato per una distribuzione trapezoidale con un parametro di margine β < 0,95 si calcola dalla Dicembre 1999 pag. 60 di 74