Ruote dentate cilindriche a denti diritti

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1 LE RUOTE DENTATE Per trasmettere potenze elevate si ricorre alle ruote dentate. In questo caso la trasmissione del moto non è affidata all aderenza tra due superfici a contatto, come avviene nelle ruote di frizione, ma alla spinta che si trasmettono reciprocamente i denti opportunamente sagomati che caratterizzano le corone delle ruote dentate. Il profilo dei denti deve essere studiato in modo tale d assicurare la continuità del moto e la costanza del rapporto di trasmissione. Il profilo, che soddisfa di più le esigenze sopra esposte, è l evolvente di cerchio. Ruote dentate cilindriche a denti diritti Con riferimento alla figura, un ingranaggio (cioè: una trasmissione costituita da una coppia di ruote dentate) può essere considerato come un accoppiamento tra due ruote di frizione le cui superfici esterne sono state sostituite da una corona di sporgenze e rientranze di forma opportuna. Ogni ingranaggio cilindrico ( formato da una coppia di ruote dentate cilindriche) costituisce una coppia cinematica il cui moto è definito dal rotolamento reciproco, senza slittamenti, di due cilindri tra loro tangenti detti «cilindri primitivi». Essi rappresentano il contorno delle ruote di frizione cilindriche aventi lo stesso rapporto di trasmissione dell'ingranaggio e, come queste, durante il funzionamento rotolano l'uno sull'altro senza slittare. Intersecando i cilindri primitivi con un piano perpendicolare ai loro assi si ottengono due circonferenze dette «circonferenze primitive» i cui diametri («diametri primitivi») sono indicati in figura con d 1 per la ruota motrice e con d 2 per la ruota condotta. Il punto C di tangenza tra le due circonferenze primitive è il «centro di istantanea rotazione». Esaminando dal punto di vista geometrico una ruota dentata cilindrica a dentatura «diritta» (i cui denti cioè si sviluppano in lunghezza nella direzione dell'asse della ruota), rileviamo che la dentatura è compresa entro due circonferenze, la «circonferenza di piede» (di raggio r p ) che la limita internamente e la «circonferenza di testa» (di raggio r t ) che la limita all'esterno. L'altezza radiale (h) dei denti sarà pertanto la differenza tra i raggi (r t e r p ) delle suddette circonferenze, ovvero: h = r t - r p La parte del dente compresa tra la circonferenza di testa e quella primitiva è detta «testa del dente»; la sua altezza radiale (ha) (chiamata «addendum») vale: ha= r t - r ove r è il raggio della circonferenza primitiva. La porzione di dente limitata dalla circonferenza primitiva e da quella di piede è detta piede del dente: la sua altezza radiale hf (dedendum) vale: Commission. 1

2 hf = r - r p Si definisce passo (p) la lunghezza dell arco di circonferenza primitiva compresa tra gli assi di due denti successivi. Le superfici laterali dei denti sono chiamate fianchi, i loro profili sono tratti di evolvente di cerchio. In ogni caso i profili, dei denti dovranno essere «coniugati», cioè tali che la «normale» (cioè la retta perpendicolare) comune alle due superfici a contatto (retta n-n), condotta nel punto ove esse si toccano (A), passi sempre per il centro d'istantanea rotazione (C), cioè per il punto di tangenza delle due circonferenze primitive. Si definisce passo il rapporto tra la lunghezza della circonferenza primitiva e il numero di denti z; Si definisce modulo m il rapporto tra il passo e π: m = p/ π = d/z Si definisce retta d azione la normale comune ai profili dei denti nel loro punto di contatto, secondo questa direzione si scambiano le forze durante l ingranamento; la retta d azione è anche tangente alle due circonferenze di base; Si definisce angolo di pressione α l angolo compreso tra la retta d azione e la tangente comune alle due circonferenze primitive (normalmente si assume α=20 ). Il numero di denti deve essere un numero intero; è opportuno che il diametro primitivo sia un numero razionale. Il dimensionamento dei denti si effettua in funzione del modulo (m): m = d / z I moduli sono unificati: Moduli da preferire: 0,5 1-1,125-1, Moduli possibili: 0,75 1 1,25 1,375 1,75-2,25 2,75 3,5 4,5 5, Moduli da evitare: 3,25 3,75 6,5 Fissato il modulo della dentatura, le dimensioni dei vari elementi costruttivi si determinano mediante le relazioni riportate nella tabella seguente: Commission. 2

3 - diametro primitivo d = m z - passo p = π m - addendum a = m - dedendum a =(7/6)m - altezza del dente h = a + a = (13/6)m - spessore e vano del dente s = v = p/2 = πm/2 - lunghezza del dente b = λ m = 8 12 m - diametro di troncatura o di testa de= d + 2a = m(z+2) - diametro interno o di base di = d 2(7/6)m Rapporto di trasmissione Per rapporto di trasmissione ( τ ) di una coppia di ruote dentate si intende il rapporto fra la velocità angolare della ruota motrice e la velocità angolare della ruota condotta; essendo le velocità proporzionali ai rispettivi numeri di giri, si ha: τ = ω 1 / ω 2 = n 1 / n 2 = d 2 / d 1 = z 2 / z 1 dove : n = numero di giri; d = diametro primitivo delle ruote; z = numero di denti; = velocità angolare; 1 = indica i valori riferiti alla ruota conduttrice 2 = indica i valori riferiti alla ruota condotta. Per ottenere che il rapporto di trasmissione si mantenga rigorosamente costante è necessario che, qualunque sia la posizione del punto di contatto, la linea d azione della spinta esercitata dai denti della ruota motrice sui denti della ruota condotta passi sempre per il punto di tangenza C delle due circonferenze primitive, a distanza dai centri delle ruote inversamente proporzionale ai corrispondenti numeri di giri. I profili che soddisfano questa condizione si dicono coniugati. Profilo ad evolvente L evolvente è la curva ciclica descritta da un punto di una retta (epiciclo) che rotola senza strisciare su una circonferenza (deferente). La spinta dei denti è esercitata lungo la retta normale alle superfici di contatto, coincidente con la linea d ingranamento; ha quindi direzione costante; è detto angolo di pressione Commission. 3

4 l angolo θ che la direzione costante della spinta forma con la perpendicolare (c) alla retta dei centri O1-O2. Minimo numero di denti Per ottenere ingranaggi riduttori con rapporti di trasmissione notevolmente alti ma non troppo ingombranti, la ruota dentata minore deve avere il minimo numero di denti possibile tenendo conto che al di sotto di un certo limite si verifica il fenomeno dell interferenza. Per evitare l interferenza, indicando con (z') il numero di denti della ruota più piccola (rocchetto) e con (z") il numero di denti della ruota maggiore, il numero di denti del rocchetto non deve essere inferiore a: zmin = 2 /{ [(z"/z')2 + (1 + 2z"/z')sen2θ] (z"/z') } Proporzionamento della dentatura (metodo Reuleaux) Si considera il dente come una mensola incastrata ad un estremo e sollecitata all estremo libero da un carico concentrato F, di lunghezza uguale all altezza del dente. Sono noti la potenza P da trasmettere e i numeri di giri al minuto (n) della ruota motrice e della ruota condotta. Determinato il momento torcente, dall'equazione di stabilita a flessione si ricava: m = ³ (10,5 / λ) ³ ( Mt / K z) Il coefficiente di proporzionalità λ (λ = b / m) è normalmente 10 (può variare da 8 a 12 secondo la velocità periferica). Il modulo così calcolato, espresso in mm, non risulta in genere un numero intero; deve essere arrotondato al valore immediatamente superiore nelle serie dei moduli unificati. Il coefficiente dinamico di sicurezza alla flessione K' varia con il variare della velocità periferica. Per il carico di sicurezza le ruote si distinguono in ruote di forza e ruote di lavoro. Sono dette ruote di forza quelle utilizzate con velocità periferiche molto basse (inferiori a 1 m/s). Sono dette ruote di lavoro quelle utilizzate con velocità periferiche più elevate. Per le prime si assume K uguale al carico di sicurezza statico alla flessione; per le seconde si deve tener conto delle sollecitazioni dinamiche dovute alla velocità periferica e K si determina mediante formule: - ingranaggi lenti e scarsamente precisi: K = K [3 / (3 + v)]; - ingranaggi veloci e precisi: K = K [6 / (6 + v)]; - ingranaggi molto veloci e molto precisi : K = K [5,6 / (5,6 + v)]; Assunto un valore di tentativo per la velocità periferica, calcolato il modulo e ricavato il raggio primitivo r = m z / 2 si ricalcola il valore della velocità periferica v = 2 π r n / 60: Commission. 4

5 se risulta uguale o minore del valore ipotizzato il modulo definito si può ritenere giusto; se il valore calcolato è superiore a quello ipotizzato, si deve ripetere il calcolo del modulo, considerando una velocità periferica più elevata. Check for wear Since the wear of the teeth greatly affects the peripheral speed, the check is carried out on the wheel of smaller diameter, with the greater angular velocity, regardless of whether it is conducted or conductive. The contact pressure P CON [dan/mm 2 ], for Θ = 20, is calculated with the formula: P CON = C [2 Mt (1 + e) / b d 2 ] where: C = numerical coefficient that depends on the nature of the materials; steel / steel C = 151 steel / cast iron C = 123 cast iron / cast iron C = 107 Mt = torque [danmm] b = face width [mm] d = pitch diameter of the lesser wheel [mm] e = ratio between the number of teeth of the wheel and the smaller number of teeth of the large wheel. The maximum allowable pressure is determined with the formula: p max = 2.5 HB / 6 (n h) where: HB = Brinell hardness of the material; n = number of revolutions per minute of the lower wheel; h = hours of operation provided; you can think of the following terms: - 130, ,000 hours for continuous operation; - 10,000 to 30,000 hours for discontinuous operations; The Brinell hardness can be calculated from the table: - Steels HB 200 to Gray cast iron HB 180 to Special cast iron HB If it is not satisfied with the condition: P CON p max it must reduce P CON (increasing the width of the wheel or the pitch diameter) or increase p max (increasing the hardness of the material). Performance of spur gears The power available on the driven shaft is less than that found on the crankshaft. Performance is expressed by the formula: η = 1 / {1 + f π [(1 / z 1 ) + (1 / z 2 )]} The value of (f) normally ranges from 0.15 to Commission. 5

6 The performance of the gears is high; can be improved with effective lubrication between the teeth in mesh. Commission. 6