CIRCUITI DINAMICI LINEARI

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1 CAPITOLO 7 CIRCUITI DINAMICI LINEARI 7.1 Circuito resistivo associato e sistema fondamentale I Capitoli 6 e 7 sono stati dedicati esclusivamente (ad eccezione del paragrafo sugli induttori accoppiati) ai circuiti costituiti da resistori e generatori. (Si noti che in quel caso resistore va inteso in senso ampio, comprendendo generatori pilotati lineari, giratori, trasformatori ideali, amplificatori operazionali). In questo Capitolo, invece, studieremo i circuiti dinamici lineari, cioè quei circuiti costituiti da elementi statici e dinamici lineari e da generatori indipendenti, con particolare riferimento a quelli costituiti da condensatori, induttori e resistori lineari tempoinvarianti. Si consideri un circuito N costituito da n C condensatori e n L induttori lineari e tempo-invarianti, da n R resistori, in generale, lineari e tempo-varianti, e da n e generatori ideali di tensione e n j generatori ideali di corrente (figura 1a). Le equazioni, che ne governano la dinamica, sono Ï Ai = 0, Ì Ó Bv = 0, C k dv k - i k = 0 k =1, 2,..., n C, (2) di L k k - v k = 0 k = n C +1,..., n C +n L, (3) v k - R k (t)i k = 0 k = n C +n L +1,..., n C +n L +n R, (4) Ï v k = e k (t) k = n C +n L + n R + 1,..., n C +n L + n R + n e, Ì Ó i k = j k (t) k = n C +n L + n R + n e + 1,..., n C +n L + n R + n e + n j, (5) dove i = (i 1,i 2,...,i b ) T e v = (v 1,v 2,...,v b ) T sono i vettori rappresentativi delle correnti e delle tensioni del circuito, b = (n C + n L + n R + n e + n j ), A e B sono, rispettivamente, una matrice di incidenza ridotta e una matrice di maglia fondamentale, C k, L k e R k = R k (t) (C k e L k sono costanti nel tempo) sono, rispettivamente, le capacità, le induttanze e le resistenze del circuito, e k = e k (t) e j k = j k (t) sono, rispettivamente, le tensioni dei generatori di tensione e le correnti dei generatori di corrente indipendenti. (1)

2 224 Il sistema di equazioni (1)-(5) è un sistema di equazioni algebriche-differenziali costituito da [2b - (n C + n L )] equazioni algebriche e (n C + n L ) equazioni differenziali del primo ordine. Un'equazione differenziale del primo ordine esprime un legame tra la derivata di almeno una delle funzioni incognite e le incognite stesse. Nel nostro caso l'operazione di derivazione è applicata alle funzioni incognite che rappresentano le tensioni dei condensatori v 1,..., v nc e le correnti negli induttori i nc +1,..., i n C +n L. Il sistema di equazioni (1)-(5) è lineare, tempo-variante e non omogeneo (perché tutte le equazioni che vi compaiono sono lineari, R k è variabile nel tempo e vi sono tensioni e correnti assegnate tramite i generatori indipendenti). Figura 1 Circuito dinamico costituito da bipoli lineari e generatori indipendenti (a) e circuito resistivo associato (b). Il sistema algebrico-differenziale (1)-(5) di dimensione 2b può essere ridotto alla forma canonica in cui compaiono soltanto le tensioni dei condensatori e le correnti degli induttori come incognite. Il sistema così ridotto consiste di sole equazioni differenziali del primo ordine. È evidente che il numero di equazioni differenziali è uguale a m = (n C + n L ). È anche evidente che conviene ridurre il sistema originario a un sistema in cui le incognite siano le tensioni dei condensatori v 1,..., v nc e le correnti negli induttori i nc +1,..., i n C +n L. Che ciò sia possibile è evidente dalle seguenti considerazioni: se supponiamo di assegnare le tensioni dei condensatori e le correnti degli induttori in un determinato istante - e cioè m variabili - il sistema complessivo di equazioni (1)-(5) può essere interpretato come un sistema di 2b equazioni in altrettante incognite nel quale, però, hanno assunto il ruolo di incognite le derivate delle tensioni dei condensatori al posto delle tensioni stesse dei condensatori e le derivate delle correnti degli induttori al posto delle correnti stesse degli induttori. Un tale sistema può essere risolto fornendo così i valori delle derivate delle tensioni dei condensatori e delle correnti degli induttori in quel determinato istante, in altri termini è possibile esprimere le derivate delle tensioni dei condensatori e delle correnti degli induttori in funzione delle tensioni dei condensatori e delle correnti degli induttori stesse, nonché dei generatori, il che costituisce il

3 sistema in forma canonica cui si faceva riferimento (sistema fondamentale del circuito dinamico). Operativamente la riduzione del sistema (1)-(5) alla forma canonica appena descritta può essere ottenuta nella maniera seguente. Attraverso le [2b - (n C + n L )] equazioni algebriche (1), (4) e (5) si esprimano le correnti nei condensatori i 1,..., i nc e le tensioni degli induttori v nc +1,..., v n C +n L in funzione delle n C tensioni v 1,..., v nc dei condensatori e delle n L correnti i nc +1,..., i n C +n L negli induttori. Ciò equivale a risolvere un circuito resistivo ottenuto dal circuito dinamico in esame sostituendo a ciascun condensatore un generatore di tensione con tensione pari a quella del condensatore e a ciascun induttore un generatore di corrente con corrente pari a quella dell'induttore (figura 1b). A questo circuito ausiliario si dà il nome di circuito resistivo (poiché costituito da soli resistori e generatori) associato al circuito dinamico. La soluzione del circuito resistivo associato (che supponiamo esistere ed essere unica), dà quella del circuito dinamico in esame, una volta note le tensioni sui condensatori e le correnti negli induttori. Il sistema di equazioni (algebriche-lineari) che descrive il circuito resistivo associato è Ï Ai = 0, Ì Ó Bv = 0, (6) v k = v k (t) k=1,..., n C, (7) i k =i k (t) k =n C +1,..., n C +n L, (8) v k - R k i k = 0 k =n C +n L +1,..., n C +n L +n R, (9) Ï v k = e k (t) k =n C +n L + n R +1,..., n C +n L + n R + n e, Ì Ó i k = j k (t) k =n C +n L + n R + n e +1,..., n C +n L + n R + n e + n j. (10) Le equazioni (6)-(10) si ottengono dal sistema (1)-(5) sostituendo all'equazione costitutiva di ogni condensatore quella di un generatore di tensione ideale con tensione uguale a quella del condensatore e all'equazione costitutiva di ogni induttore un generatore ideale di corrente con corrente uguale a quella dell'induttore Equazioni di stato e variabili di stato La soluzione del circuito resistivo associato dà le espressioni delle correnti nei condensatori e delle tensioni degli induttori in funzione delle tensioni dei condensatori e delle correnti negli induttori. Il sistema fondamentale in forma canonica di m equazioni differenziali nelle m incognite v 1,..., v nc, i nc +1,..., i n C +n L si ottiene sostituendo le espressioni delle correnti nei condensatori e delle tensioni degli induttori così ottenute, rispettivamente, nelle equazioni (2) e (3) del sistema di equazioni circuitali. Per la linearità del circuito resistivo associato, ogni tensione e ogni corrente è esprimibile attraverso una combinazione algebrica lineare delle tensioni dei generatori di tensione di sostituzione (le tensioni dei condensatori) e dei generatori di tensione effettivi e delle correnti nei generatori di corrente di sostituzione (le correnti negli induttori) e dei generatori

4 226 di corrente effettivi. Pertanto, i valori delle correnti in condensatori, resistori e generatori di tensione e delle tensioni su induttori, resistori e generatori di corrente all'istante generico t dipendono solo dai valori delle tensioni dei condensatori e dei generatori di tensione e dai valori delle correnti negli induttori e nei generatori di corrente in quell'istante, attraverso relazioni algebriche lineari. In particolare per le correnti dei condensatori e per le tensioni degli induttori si ottiene: n C - i 1 = Â h 1i v i + Â h 1k i k + j * 1 (t),... i=1 n C +n L k=n C +1 (11) n C - i nc = Â h nc i v i + Â h nc k i k + j * nc (t), i=1 n C +n L k=n C +1 n C - v n C +1 = Â h n C +1i v i + h n C +1k i * Â k + e n C +1(t),... i=1 n C +n L k=n C +1 (12) n C - v n C +n L = Â h n C +n L i v i + Â h n C +n L k i k i=1 n C +n L k=n C +1 * + e n C +n L (t), dove i coefficienti h ij sono indipendenti dalle tensioni e dalle correnti (essi dipendono solo dai resistori del circuito) e le funzioni j * h (t) e e * k (t) descrivono l'effetto dei generatori indipendenti del circuito; i coefficienti h ij dipendono dal tempo se i resistori sono tempo-varianti. È evidente che i coefficienti h ij sono proprio gli elementi della matrice ibrida H del (n C + n L )-porte resistivo lineare (con la convenzione dell'utilizzatore su ogni porta) di figura 1b, quando i generatori del circuito dinamico sono spenti, e j * h (t) e e * k (t) sono, rispettivamente, la corrente di corto circuito nella porta h e la tensione a vuoto nella porta k (sempre con la convenzione dell'utilizzatore per ogni porta), quando i generatori di sostituzione sono spenti e i generatori indipendenti effettivi sono in funzione. Pertanto le (11) e (12) possono essere riscritte nella forma matriciale y =- H(t)x - g(t), (13) dove x = (v 1,...,v n C,i n C +1,...,i n C +n L ) T, y = (i 1,...,i n C,v n C +1,...,v n C +n L ) T, H(t) è la matrice ibrida del (n C + n L )-porte corrispondente al circuito resistivo associato e g(t) = (j * * * * 1 (t),..., j n C (t),e n C +1(t),...,e n C +n L (t)) T. (In generale, un circuito dinamico può essere considerato come un (n C + n L )-porte resistivo lineare, a cui sono collegati n C condensatori e n L induttori (figura 1a)). Sostituendo le (11) nelle (2) e le (12) nelle (3) si ottiene il sistema fondamentale

5 227 n C n C +n L dv C 1 1 =-Â h 1i v i - Â h 1i i k - j * 1 (t), i=1 k=n C dv n C n C +n L n C C n C =-Â h n C i v i - Â h n C k i k - j * n C (t), i=1 k=n C +1 (14) di n L C +1 n C n C * =-Â h n C +1iv i - Â h n C +1ki k - e n C +1(t), i=1 n C +n L k=n C +1 L n C +n L di n C +n L n C =-Â h n C +n L i v i - Â h n C +n L k i k i=1 n C +n L k=n C +1 * - e n C +n L (t). Se le correnti e le tensioni del circuito verificano le equazioni circuitali (1)-(5), allora le tensioni dei condensatori v 1 = v 1 (t),..., v n C = v n C (t) e le correnti negli induttori i nc +1 = i n C +1 (t),..., i n C +n L = i nc +n L (t) verificano il sistema (14). Per converso, se le tensioni nei condensatori e le correnti negli induttori verificano il sistema (14), allora esiste una e una sola soluzione del circuito in esame con queste tensioni e queste correnti. Le altre grandezze elettriche del circuito si ottengono, una volta note le tensioni dei condensatori e le correnti negli induttori, risolvendo il circuito resistivo associato. Il sistema (14) prende il nome di sistema di equazioni di statoe le tensioni dei condensatori v 1,..., v nc e le correnti negli induttori i nc +1,..., i n C +n L sono le variabili di statodel circuito. L'ordine del sistema di equazioni di stato (l' ordine del circuito) è uguale al numero di equazioni di stato e quindi al numero di elementi dinamici presenti nel circuiti m = (n c + n L ). In qualsiasi istante t, lo stato in t e i valori delle tensioni dei generatori indipendenti di tensione e delle correnti dei generatori indipendenti di corrente in quell'istante, determinano univocamente i valori delle tensioni di induttori, resistori e generatori indipendenti di corrente e i valori delle correnti in condensatori, resistori e generatori indipendenti di tensione allo stesso istante, attraverso le equazioni del circuito resistivo associato. Il risultato ottenuto è molto significativo: le grandezze non di stato sono esprimibili in ogni istante in funzione delle sole grandezze di stato e dei generatori indipendenti attraverso relazioni puramente algebriche, quindi di tipo istantaneo. Il risultato giustifica il nome di grandezze di stato dato a queste variabili; la loro conoscenza in un determinato istante infatti implica la conoscenza di tutte le altre grandezze nello stesso istante e quindi determina univocamente lo stato del circuito. Il sistema (14) può essere riscritto nella forma matriciale D «x =- H(t)x - g(t), (15) dove x = (v 1,...,v nc,i nc +1,...,i n C +n L ) T è il vettore rappresentativo delle grandezze di stato, vettore di stato, e D = diag(c 1,...,C nc,l nc +1,...,L n C +n L ) è una matrice diagonale m m. Il sistema (14) è un sistema di m equazioni differenziali ordinarie lineari del primo ordine. I sistemi di equazioni differenziali, in generale, ammettono infinite soluzioni (questa proprietà è stata già evidenziata quando abbiamo studiato la dinamica di circuiti semplici costituiti da un solo

6 228 induttore o da un solo condensatore), a differenza dei sistemi lineari puramente algebrici (come quelli che descrivono il funzionamento dei circuiti resistivi lineari). Per individuare tra tutte le soluzioni ammissibili, quella che governa il circuito in esame, bisogna assegnare ulteriori condizioni, che non sono contenute né nel sistema fondamentale, né nelle equazioni circuitali. È possibile prevedere l'andamento temporale delle tensioni e delle correnti di un circuito per t > t 0, ( t 0 è detto istante iniziale, e può essere tipicamente l'istante iniziale dell'intervallo di osservazione oppure l'istante in cui il circuito inizia a funzionare), se si conoscono all'istante t = t 0 le tensioni dei condensatori (condizioni iniziali per le tensioni sui condensatori): v 1 (t 0 ) = V 1,... (16) v nc (t 0 ) = V nc, e le correnti negli induttori (condizioni iniziali per le correnti negli induttori): i nc +1 (t 0 ) = I 1,... i nc +n L (t 0 ) = I n L. (17) Le condizioni iniziali (16) e (17) non sono contenute nel sistema (1)-(5); esse dipendono solo dalla storia del circuito precedente all'istante t = t 0. La soluzione del sistema di equazioni differenziali (14) con le condizioni iniziali (16) e (17) prende il nome di Problema di Cauchy. Dalla teoria delle equazioni differenziali ordinarie 1 si ha la seguente proprietà: Proprietà 1: esistenza e unicità della soluzione Esiste una e una sola soluzione del sistema di equazioni (14) che verifica le condizione iniziali(16) e (17). (Questa proprietà così forte è dovuta alla linearità del sistema di equazioni.) Di conseguenza una volta assegnato il valore dello stato del circuito all'istante iniziale t = t 0, lo stato per t > t 0 è univocamente determinato dalle equazioni di stato. Esempio Per rendere più chiaro il discorso è utile far riferimento ad un circuito concreto del tipo mostrato in figura 2a. Tutte le tensioni e le correnti sono state ordinate secondo la convenzione che abbiamo precedentemente adottato. Le equazioni che descrivono la dinamica del circuito sono 1 Vedi, ad esempio, in C.Miranda, Lezioni di Analisi Matematica, Liguori Editore, Napoli 1976.

7 229 Ï C dv 1 = i 1, Ì L di 2 = v 2, Ó Ï 0 = i 1 + i 2 + i 3, 0 = i 3 - i 4, 0 = v 1 - v 2, Ì 0 = v 2 - v 3 - v 4, 0 = v 3 - R 3 i 3, Ó 0 = v 4 - e(t). (18) (19) Il sistema di equazioni circuitali (18), (19) è costituito da 8 equazioni in 8 incognite: le prime due equazioni, cioè le (18), sono equazioni differenziali lineari del primo ordine e le restanti, cioè le (19), sono equazioni algebriche lineari. Le equazioni (18) esprimono, rispettivamente, le relazioni costitutive del condensatore e dell'induttore, le prime quattro del sistema (19) costituiscono l'insieme massimale di equazioni di Kirchhoff linearmente indipendenti e le restanti due equazioni sono le equazioni costitutive dei bipoli statici presenti nel circuito: resistore e generatore ideale di tensione. Figura 2 Circuito dinamico in esame (a) e circuito resistivo associato (b). Per ridurre il sistema algebrico differenziale (18), (19) alla forma canonica basta ricavare dalle (19) l'espressione della corrente i 1 del condensatore e della tensione v 2 dell'induttore in funzione delle sole grandezze di stato e del generatore, cioè in funzione di v 1, i 2 ed e(t). Allo scopo è sufficiente considerare la tensione v 1 e la corrente i 2 come assegnate e interpretare le equazioni (19) come un sistema di 6 equazioni nelle 6 incognite i 1,v 2,i 3,v 3,i 4,v 4, ovvero come la soluzione del circuito resistivo associato ottenuto sostituendo al condensatore un generatore di tensione e all'induttore un generatore di corrente (figura 2b). La soluzione del circuito resistivo associato è: i 1 (t) = e(t) - v 1 (t) - i 2 (t), R v 2 (t) = v 1 (t), i 3 (t) = i 4 (t) = v 1 (t) - e(t), R v 3 (t) = v 1 (t) - e(t). (20) (21)

8 230 Sostituendo le espressioni (20) nel sistema di equazioni differenziali (18) si ottiene il sistema di equazioni di stato Ï dv 1 =- Ì di 2 Ó = v 2 L. v 1 RC - i 2 C + e(t) RC, (22) Esempio Si consideri, ora, il circuito dinamico illustrato in figura 3a. I due resistori sono tempo-varianti. In figura 3b è illustrato il circuito resistivo associato, ottenuto sostituendo al posto dei due condensatori, due generatori di tensione ideali con tensione v 1 (t) e v 2 (t) (le tensioni dei condensatori), e al posto dell'induttore un generatore di corrente ideale con corrente i 3 (t), (la corrente nell'induttore). Il circuito resistivo associato ha una ed una sola soluzione. Risolvendolo si ottiene: i 1 =- v 1 R 4 (t) + v 2 R 4 (t) + i 3 (t), i 2 = v 1 R 4 (t) - v 2 R 4 (t), v 3 =-v 1 (t) - R 5 (t)i 3 (t) + e(t), v 4 = v 1 - v 2, v 5 = R 5 (t)i 3 (t). (23) Le relazioni algebriche (23) esprimono le grandezze circuitali in funzione delle tensioni v 1 (t) e v 2 (t) dei due condensatori, della corrente i 3 (t) nell'induttore e della tensione e(t) del generatore di tensione effettivo. Per ridurre le equazioni circuitali al sistema fondamentale possiamo ragionare anche in un altro modo. La parte statica del circuito dinamico in esame è rappresentata attraverso il 3-porte resistivo lineare N 3 : alle porte 1 e 2 sono collegati i due condensatori e alle porta 3 è collegato l'induttore. Il 3-porte N 3 è caratterizzato assegnando le tensioni v 1 (t) e v 2 (t) sulle porte 1 e 2 e la corrente i 3 (t) nella porta 3 (caratterizzazione ibrida); su ogni porta è stata fatta la convenzione del generatore. La relazione che lega le correnti i 1 (t) e i 2 (t) nei due condensatori e la tensione v 3 (t) dell'induttore alle tensioni dei due condensatori e alla corrente nell'induttore, può essere espressa tramite la matrice ibrida H del 3-porte. Si ottiene, così, i 1 v 1 i 2 =- H(t) v 2 + v 3 i 3 H =H(t) è la matrice ibrida del 3-porte quando e(t)=0 e vale 0 0. (24) e

9 H = G S - S T R. (25) 231 Figura 3 Circuito dinamico in esame (a) e circuito resistivo associato (b). La (25) è una matrice a blocchi. Il blocco G (2 2) è la matrice delle conduttanze vista dai due condensatori quando al posto dell'induttore c'è un circuito aperto ed e(t)=0, G = 1 / R 4 (t) - 1 / R 4 (t) - 1 / R 4 (t) 1 / R 4 (t). (26) Il blocco R (1 1) è la matrice delle resistenze vista dall'induttore (la resistenza equivalente) quando al posto dei condensatori ci sono corto circuiti ed e(t)=0, R = R 5 (t). (27) Infine il blocco S (2 1) descrive il contributo alle correnti nei condensatori dovuto alla corrente nell'induttore, S = - 1 0, (28) e il blocco - S T (1 2) descrive il contributo alla tensione sull'induttore dovuto alle tensioni sui condensatori. Le (24)-(28) si ottengono direttamente dalle prime tre equazioni dell'insieme (23). Le equazioni di stato del circuito sono Ï Ì Ó dv C 1 1 dv C 2 2 di L 3 3 v =- 1 R 4 (t) + v 2 R 4 (t) + i 3, = v 1 R 4 (t) - v 2 R 4 (t), =-v 1 (t) - R 5 (t)i 3 (t) + e(t). Il sistema di equazioni (29) può essere posto nella forma matriciale (15). (29) Osservazione: rappresentazione geometrica dell'evoluzione di un circuito dinamico

10 232 La struttura delle equazioni circuitali (1)-(5) mette chiaramente in luce che i bipoli dinamici e quelli statici giocano due ruoli diversi nel meccanismo che determina l'evoluzione temporale del circuito: in particolare le equazioni costitutive dei bipoli statici giocano un ruolo simile a quello svolto dalle equazioni di Kirchhoff. Infatti, in analogia con la meccanica, la parte algebrica delle equazioni circuitali può essere considerata come un insieme di vincoli olonomi, in generale variabili nel tempo, sulle tensioni e le correnti del circuito in esame, mentre le equazioni differenziali che esprimono le equazioni costitutive degli elementi dinamici ricordano le equazioni del moto. Per meglio approfondire questo parallelo utilizzeremo una rappresentazione geometrica. 7.3 Continuità delle variabili di stato di un circuito Le funzioni h ij (t), e h * (t) e j k * (t) possono essere generalmente continue, cioè, possono avere delle discontinuità di prima specie 2, (figura 4). Ad esempio nel circuito illustrato in figura 3a le forme d'onda delle resistenze R 4 = R 4 (t) e R 5 = R 5 (t) dei resistori tempo-varianti e della tensione del generatore di tensione e=e(t) possono avere delle discontinuità di prima specie. Utilizzando, ancora, la teoria delle equazioni differenziali ordinarie si ha: Proprietà 2: continuità delle variabili di stato Le soluzioni del sistema di equazioni (21) sono continue e limitate se h ij (t), e * h (t) e j * k (t), pur essendo generalmente continue, sono funzioni limitate 3. Questa proprietà, detta proprietà di continuità delle variabili di stato, è molto importante e per questo merita di essere approfondita. Essa può essere dimostrata attraverso un ragionamento che è allo stesso tempo semplice e rigoroso. Per fare questo abbiamo bisogno di alcuni risultati intermedi. Prima di tutto si considerino le seguenti proprietà. Proprietà 3 (a) (b) Se la forma d'onda della corrente i c = i c (t) in un condensatore lineare tempoinvariante si mantiene limitata, allora la forma d'onda della tensione v c = v c (t) del condensatore è continua: per qualsiasi istante t si ha v c ( t - ) = v c ( t + ). Dualmente, se la forma d'onda della tensione v L = v L (t) di un induttore tempoinvariante si mantiene limitata, allora la corrente i L = i L (t) nell'induttore è una funzione continua: per qualsiasi istante t si ha i L ( t - ) = i L ( t + ). 2 Una discontinuità di prima specie di una funzione reale f(t) è un punto t = t tale che f ( t + ) e f( t - ) esistono (finiti) e f( t + ) π f( t - ); la differenza f ( t + ) - f( t - ) è il salto di discontinuità di f a t = t. f(t) si dice generalmente continua in un intervallo I se e solo se f(t) è continua in I eccetto che in un numero finito di punti in cui ha discontinuità di prima specie. 3 Una funzione f=f(t) è limitata se esiste una costante positiva M finita tale che f(t) M " t.

11 Si dimostrerà soltanto (a) poiché (b) segue per dualità. Si consideri la relazione caratteristica del condensatore tempo-invariante, i c = C dv c. 233 (30) e si integrino ambo i membri della (30) sull'intervallo ( t -e, t +e), dove e è una parametro positivo e piccolo a piacere. Si ha t+e t-e v c ( t +e) = 1 Ú i c (t )+ v c ( t - e ). (31) C Se la corrente i c = i c (t) è limitata, l'integrale tende a zero per eæ0, t si ha v c ( t - ) = v c ( t + ). e quindi per ogni Figura 4 Esempi di funzioni generalmente continue. Se la tensione del condensatore e la corrente nell'induttore sono continue, allora sia l'energia elettrica immagazzinata nel condensatore W C (t) = Cv 2 C (t)/2, che l'energia magnetica immagazzinata nell'induttore W L (t) = Li 2 L (t)/2 sono funzioni continue e la potenza elettrica assorbita da questi bipoli è limitata. Osservazione Le Proprietà 3 non valgono se il condensatore (l'induttore) è tempo-variante e la funzione che descrive la forma d'onda della capacità (dell'induttanza) è una funzione generalmente continua. In generale è la carica (il flusso dell'induttore) nel condensatore che è continua se la corrente (la tensione dell'induttore) è limitata. In corrispondenza di un punto di discontinuità di prima specie della capacità (del coefficiente di autoinduzione), la tensione del condensatore (la corrente nell'induttore) è discontinua. Può mai essere discontinua la tensione del condensatore, pur essendo la capacità costante nel tempo? Si assuma che la tensione v c = v c (t) abbia all'istante t = t una discontinuità di prima specie come mostrato in figura 5a. È sempre possibile riscrivere la funzione v c = v c (t) come v C (t) = ƒv C (t) + Vu(t - t), (32) dove ƒv C (t) è una funzione ovunque continua e derivabile (figura 5b) e u=u(t) è la funzione gradino unitario (funzione di Heaviside) definita come (figura 6a)

12 234 Ï 0 t <0, u(t) = Ì non è definita in t =0, Ó 1 t > 0. (33) Figura 5 Figura 6 Funzione gradino unitario (funzione di Heaviside) (a); un approssimante della funzione gradino unitario (b); impulso rettangolare (un approssimante dell'impulso di Dirac) (c). Il limite sinistro di u(t) in t=0 è uguale a 0, mentre il limite destro è uguale a 1. In effetti la funzione gradino unitario non è una funzione derivabile nel senso classico, e pertanto, a stretto rigore, non ha significato sostituire la (33) nell'equazione (30). Tuttavia, è possibile pensare al gradino unitario come limite della successione ottenuta facendo tendere il parametro D a zero nella funzione S D (t), così definita (figura 6b) Ï 0 t -D / 2, (2t + D ) S D (t) = Ì -D / 2 t D / 2, 2D Ó 1 D / 2 t. S D (t) è una funzione approssimante il gradino unitario per DÆ0 possibile costruire un approssimante della (32) del tipo: (34). Utilizzando la (34) è v c D (t) = ƒv c (t) + XS D (t - t) per DÆ 0. (35) Sostituendo la (35) nell'equazione (30), si ottiene VP D (t - t) = 1 C i c (t) - dƒv C, (36)

13 235 dove la funzione P D (t) (impulso rettangolare) è definita come (figura 6c) Ï 1 - D P D (t) = D 2 < t < D 2 Ì 0 t <- D 2 e D Ó 2 <t = 1 D È Î Í u Ê t+ D ˆ Ë 2 - u Ê Ë t- D2 ˆ. (37) La funzione impulso rettangolare P D (t) è uguale alla derivata della funzione S D (t), P D (t) = d S D (t). (38) Prima di proseguire con la nostra analisi, ricordiamo brevemente la definizione dell'impulso di Dirac. Si consideri la successione di funzioni P D (t) quando DÆ0. È evidente che P D (t) gode delle seguenti proprietà per DÆ0 : - è nulla per qualsiasi t, eccetto che in t=0; - non ha valore finito in t=0. - Inoltre il suo integrale definito nell'intervallo (-D, D ) vale uno per ogni valore di D, quindi lim Ú P D (t )=1. (39) DÆ 0 +D -D La forma d'onda limite lim P D (t) è detta impulso unitarioo funzione impulsiva di Dirace DÆ 0 viene indicata con d (t). Più esattamente, una funzione illimitata è definito impulso unitario se, e solo se, essa soddisfa le due seguenti proprietà: Ï non limitata t = 0, d (t) = Ì (40) Ó 0 t π 0; Ú d (t ) =1 per ogni e 1 > 0 e e 2 > 0. (41) e 2 -e 1 L'impulso di Dirac viene indicato con una freccia in grassetto, come illustrato in figura 7a, perché è uguale a zero per t π 0 ed è illimitato nell'origine. Figura 7 Impulso di Dirac app licato in t=0 (a) e impulso di Dirac applicato in t=t (b). La relazione t Ú d (t ) = u(t), (42) - suggerisce la relazione inversa

14 236 d (t) = du. (43) La relazione (43) può essere considerata come il limite per DÆ0 della (38). Nella teoria dei circuiti si usa considerare adimensionale la funzione gradino unitario; di conseguenza la funzione impulsiva unitaria ha le dimensioni di [s -1 ] nel Sistema Internazionale. Una proprietà notevole dell'impulso di Dirac è la cosiddetta proprietà di campionamento, cioè per ogni funzione continua j =j (t)vale la proprietà Ú j (t )d (t -t ) =j (t). (44) - Dopo questo breve intermezzo ritorniamo all'equazione (36). Quando DÆ0, il termine a primo membro dell'equazione (36) diventa non limitato in un intorno dell'istante t = t: esso tende a un impulso di Dirac traslato di t (la derivata di ƒv C (t) è limitata). Allora, affinché la (36) sia verificata in ogni istante, deve essere necessariamente o V=0, cioè la tensione ai capi del condensatore deve essere continua, oppure la corrente nel condensatore deve contenere un impulso di Dirac applicato di ampiezza opportuna applicato all'istante in cui la tensione è discontinua. (Affinché la tensione del condensatore abbia una discontinuità di prima specie non basta che la corrente sia illimitata; si potrebbe avere una corrente non limitata e una tensione continua). Se la corrente nel condensatore è impulsiva (ad esempio, il condensatore è alimentato tramite un generatore di corrente impulsivo) i c (t) = Qd (t - t), (45) (la funzione d (t) ha le dimensioni di s -1 e quindi l'ampiezza Q dell'impulso deve essere dimensionalmente omogenea con una carica elettrica), la tensione del condensatore è data da quindi vale + t t - v c (t) = v c ( t - ) + Q C Ú d (t- t)d t, (46) v c (t) = v c ( t - ) + Q C u(t - t), (47) dove Q rappresenta la carica fornita dal generatore impulsivo di correnteal condensatore nell'intervallo infinitesimo centrato in t. In questo caso l'energia immagazzinata nel condensatore ha un salto di discontinuità e quindi il condensatore assorbe una potenza, che è anch'essa impulsiva (i generatori impulsivi possono erogare e gli interruttori possono assorbire potenze elettriche non limitate). Per l'induttore vale il duale. Se la tensione sull'induttore è v L (t) =Fd (t - t), (48)

15 (in questo caso l'ampiezza dell'impulso deve essere dimensionalmente omogenea con un flusso magnetico), la corrente nell'induttore è data da + t t - i L (t) = i L ( t - ) + F L Ú d (t- t)d t, (49) e quindi vale i L (t) = i L ( t - ) + F L u(t - t), (50) 237 dove F rappresenta il flusso fornito dal generatore impulsivo di tensioneall'induttore nell'intervallo infinitesimo centrato in t. In questo caso l'energia immagazzinata nell'induttore ha un salto di discontinuità e quindi l'induttore assorbe una potenza, che è anch'essa impulsiva. Possiamo riassumere questi risultati nel modo seguente. Proprietà 4 (a) (b) La tensione del condensatore è generalmente continua se la corrente che in esso circola contiene impulsi di Dirac; in particolare un impulso unitario di corrente (positivo) dà un incremento di tensione pari 1/C. a Dualmente, la corrente nell'induttore è generalmente continua se la tensione a esso applicata contiene impulsi di Dirac; in particolare un impulso unitario di tensione (positivo) dà un incremento di corrente pari 1/L. a Per sapere, ora, sotto quali condizioni le grandezze di stato sono continue, bisogna dare risposta alle seguenti domande: - Quando in un circuito le correnti nei condensatori e le tensioni sugli induttori sono limitate? - E quando, invece, contengono impulsi di Dirac? Dalle equazioni (11) e (12) segue immediatamente che, se le funzioni h ij (t), e h * (t) e j k * (t) e le grandezze di stato sono limitate, allora le correnti nei condensatori e le tensioni degli induttori sono anche esse limitate (le h ij (t), e * h (t) e j * k (t) possono essere generalmente continue). Ad esempio, nel circuito illustrato in figura 3a, se la forma d'onda della conduttanza 1 / R 4 (t) e della resistenza R 5 (t) dei resistori tempo-varianti e della tensione del generatore di tensione e=e(t) sono limitate, (possono presentare delle discontinuità di prima specie), allora le correnti nei condensatori e la tensione dell'induttore sono anche esse limitate, purché lo siano le grandezze di stato. Si è supposto, nel ragionamento che abbiamo sviluppato, che le grandezze di stato siano limitate, cioè, ad esempio, che non contengano esse stesse impulsi di Dirac. Questa ipotesi non è affatto limitativa. Affinché le grandezze di stato contengano degli impulsi di Dirac, le correnti nei condensatori e le tensioni degli induttori dovrebbero contenere derivate dell'impulso di Dirac 4 (le correnti nei condensatori e le tensioni degli induttori devono contenere termini più irregolari 4 La derivata dell'impulso di Dirac è una funzione (nel senso della teoria delle distribuzioni) che viene indicata con d (1) =d (1) (t). Essa vale zero per t π 0, non è limitata in t=0 e d (1) (t )= d (t). t Ú-

16 238 degli stessi impulsi di Dirac) e quindi, a maggior ragione, le funzioni h ij (t), e h * (t) e j k * (t) devono essere non limitate. Si dimostra che le funzioni h ij (t) sono limitate se non ci sono maglie costituite da soli condensatori, generatori di tensione e interruttori che si chiudono e insiemi di taglio costituiti da soli induttori, generatori di corrente e interruttori che si aprono. Le funzioni e * h (t) e j * k (t) sono limitate se le tensioni dei generatori di tensione e le correnti dei generatori di corrente sono limitate (generatori limitati). Nell'esempio riportato in figura 3a, R 4 = R 4 (t) deve essere sempre maggiore di zero (non deve mai diventare un corto circuito), R 5 = R 5 (t) deve essere limitata (non deve mai diventare un circuito aperto) e e=e(t) non deve contenere impulsi di Dirac. Le correnti nei condensatori e le tensioni negli induttori possono contenere impulsi di Dirac se: (a) i generatori del circuito dinamico contengono impulsi di Dirac (nel circuito ci sono generatori impulsivi); (b) ci sono interruttori che si chiudono in parallelo ai condensatori e interruttori che si aprono in serie a induttori e più in generale maglie costituite da soli condensatori, generatori di tensione e interruttori che si chiudono e insiemi di taglio costituiti da soli induttori, generatori di corrente ideali e interruttori che si aprono. Ad esempio, nell'istante in cui un interruttore in serie a un induttore si apre, la corrente nell'induttore è forzata a annullarsi istantaneamente, e quindi nasce una tensione impulsiva sia sull'induttore che sull'interruttore; dualmente per il condensatore. Ricapitolando, le proprietà delle grandezze di statoin un circuito con condensatori e induttori lineari e tempo-invarianti sono: (i) (ii) Per qualsiasi istante t 0, lo stato in t 0 e gli andamenti delle tensioni dei generatori di tensione e delle correnti dei generatori di corrente (supposti noti dall'istante t 0 in poi) determinano univocamente lo stato per ogni t > t 0, attraverso le equazioni di stato. Lo stato all'istante t, e le tensioni dei generatori di tensione e le correnti dei generatori di corrente, determinano univocamente il valore all'istante t di ogni variabile del circuito attraverso un legame di tipo algebrico. (iii) In un circuito dinamico con induttori e condensatori tempo-invarianti le grandezze di stato sono funzioni continue se: (a) i generatori sono limitati; (b) non ci sono maglie costituite da soli condensatori, generatori di tensione e interruttori che si chiudono e insiemi di taglio costituiti da soli induttori, generatori di corrente e interruttori che si aprono. Osservazioni Non è necessario scegliere come variabili di stato le correnti negli induttori e le tensioni dei condensatori; si potrebbero anche scegliere i flussi degli induttori e le cariche dei condensatori. In effetti, per il caso di induttori e condensatori non lineari e/o tempo-varianti, procedere in questo modo presenta il vantaggio che continua a essere valida la proprietà di continuità

17 239 (precedentemente è stato messo in evidenza che sono, rispettivamente, le cariche e i flussi che sono sempre continui, se le correnti nei condensatori e le tensioni degli induttori sono limitate). Anche altre grandezze circuitali potrebbero essere utilizzate per ridurre le equazioni circuitali, ad esempio, le correnti nei condensatori, le tensioni degli induttori e le tensioni dei resistori. Per esse sarebbero ancora verificate le proprietà (i) e (ii) appena enunciate. Invece la proprietà di continuità non sarebbe verificata, in generale. Infatti se le forme d'onda dei generatori e delle resistenze dei resistori tempo-varianti sono generalmente continue, le correnti nei condensatori, le tensioni degli induttori e le tensioni dei resistori possono essere discontinue. Questa è la ragione fondamentale della scelta fatta per le variabili di stato. Come poi vedremo, la proprietà di continuità dello stato è molto utile nello studio dei circuiti dinamici tempo-varianti. Tutti i risultati che abbiamo ottenuto valgono anche quando il circuito contiene anche altri elementi lineari (come, ad esempio, amplificatori operazionali, giratori, trasformatori ideali, generatori controllati, induttori accoppiati). 7.4 Circuiti del primo ordine I circuiti costituiti da un solo condensatore (o da un solo induttore) e da elementi statici (resistori, trasformatori ideali, amplificatori operazionali, generatori controllati, generatori indipendenti, etc) sono circuiti del primo ordine. Per determinare l'equazione di stato di un circuito siffatto, può essere conveniente rappresentarlo come illustrato in figura 8, dove con il bipolo N S è rappresentata la parte del circuito costituita da soli elementi statici lineari e generatori indipendenti Circuito RC del primo ordine: equazione di stato Applicando il teorema di Norton al bipolo statico lineare N S e usando l'equazione caratteristica del condensatore, si ottiene : C dv = i, (51) i =-G eq v + j * (t), (52) dove G eq è la conduttanza equivalente del bipolo statico quando i generatori al suo interno sono stati spenti e j * = j * (t) è la corrente di corto circuito (si sta assumendo che il bipolo N S è controllabile in tensione). La corrente di corto circuito dipende dalle forme d'onda dei generatori indipendenti presenti all'interno del circuito: per la linearità j * = j * (t) è una combinazione lineare delle tensioni dei generatori di tensione e delle correnti dei generatori di corrente indipendenti. Le equazioni (51) e (52) sono le equazioni del circuito equivalente RC illustrato in figura 9a.

18 240 Figura 8 Circuito RC del primo ordine lineare (a) e circuito RL del primo ordine lineare (b). Figura 9 Circuito equivalente del circuito di figura 8a (a) e del circuito di figura 8b (b). L'equazione caratteristica del condensatore (51), impone tra la tensione v e la corrente i una relazione di tipo dinamico, invece l'equazione caratteristica del bipolo N S (52) impone una relazione di tipo algebrico, (sul bipolo N S è stata fatta la convenzione del generatore). Dunque il bipolo statico impone attraverso la (52) che la corrente nel condensatore all'istante generico t dipenda solo dai valori che la tensione v e la corrente di corto circuito j* assumono in quell'istante. Combinando le equazioni (51) e (52), si ottiene dv + G eq (t) C v = j* (t) C. (53) La (53) è l'equazione di stato per il generico circuito RC del primo ordine. Assegnata un'arbitraria condizione iniziale v(t = t 0 ) = V, (54) esiste una ed una sola soluzione che verifica l'equazione (53) e la condizione iniziale (54). Una volta determinata la tensione v, è possibile determinare le altre variabili del circuito risolvendo il circuito resistivo associato ottenuto sostituendo il condensatore con un generatore di tensione ideale con tensione v=v(t). Per il circuito RC la corrente di corto circuito j * (t) è limitata se le tensioni dei generatori di tensione e le correnti dei generatori di corrente sono limitate e se non ci sono generatori di tensione in parallelo al condensatore. La conduttanza equivalente G eq (t) si mantiene limitata se in parallelo al condensatore non c'è né un interruttore che si chiude, né un generatore di tensione. In queste condizioni la tensione del condensatore è una funzione continua del tempo, pur potendo essere la conduttanza equivalente G eq (t) e la corrente di corto circuito j * (t) funzioni generalmente continue (ma limitate).

19 241 Anche se abbiamo già discusso abbondantemente la proprietà della continuità delle grandezze di stato, è utile rivederla quando i circuiti sono particolarmente semplici, per capirne meglio il significato. A tale scopo ne viene proposta un'altra dimostrazione, che si basa su un ragionamento per assurdo. Si assuma che la tensione del condensatore sia limitata, ma possa essere discontinua all'istante t. È possibile, allora, rappresentarla come v(t) = ƒv(t) + Vu(t - t), (55) dove ƒv(t) è una funzione limitata e derivabile e V è il salto di discontinuità. Sostituendo la (55) nella (53), si ottiene Vd (t - t) =- dƒv - G eq (t) C [ƒv + Vu(t - t)] + j* (t) C. (56) Se G eq (t) e j * (t) sono limitate nell'intorno dell'istante t, l'equazione (56) può essere verificata se e solo se il salto di discontinuità V è uguale a zero. In questo caso la corrente nel condensatore si mantiene limitata. Esempio Si consideri il circuito del primo ordine rappresentato in figura 10a e si scriva l'equazione di stato per la tensione del condensatore v, utilizzando il teorema di Norton. In figura 10b è rappresentato il circuito equivalente di Norton. Bisogna determinare la corrente di corto circuito j * = j * (t) (figura 11b), e la conduttanza equivalente (figura 11c), G eq del bipolo statico N S. La corrente di corto circuito e la conduttanza equivalente valgono L'equazione di stato è G eq = 3 16, j* (t) = E + j(t). (57) 8 dv v = 106 È E ÎÍ 8 + I sin(w t). (58) Essa deve essere risolta con la condizione iniziale v(0)=v0. Una volta che è stata determinata la tensione v=v(t) per t>0, per determinare tutte le altre grandezze del circuito bisogna risolvere il circuito resistivo associato illustrato in figura 11a.

20 242 Figura 10 Circuito dinamico in esame (a) e circuito equivalente di Norton (b). Figura 11 Circuito resistivo associato del circuito dinamico illustrato in figura 10a (a) e caratterizzazione i-v del bipolo NS tramite il teorema di Norton (b) e (c). Esempio Si consideri il circuito del primo ordine rappresentato in figura 12a e si scriva l'equazione di stato per la tensione del condensatore v utilizzando il teorema di Norton. L'interruttore si apre all'istante t=0. Il grafico dell'andamento temporale della corrente di corto circuito j * = j * (t) è rappresentato in figura 12b, e il grafico dell'andamento temporale della conduttanza equivalente G eq è rappresentato in figura 12c. Figura 12 Circuito dinamico tempo-variante (l'interruttore si apre all'istante t=0) Circuito RL del primo ordine: equazioni di stato

21 243 Applicando il teorema di Thévenin al bipolo statico lineare N S (figura 8b) e usando l'equazione caratteristica dell'induttore, si ottiene: L di = v, (59) v =-R eq i + e * (t), (60) dove R eq è la resistenza equivalente del bipolo statico quando i generatori al suo interno sono stati spenti e e * = e * (t) è la tensione a vuoto (si sta assumendo che sia possibile caratterizzare il bipolo N S su base corrente). Le (59) e (60) sono le equazioni del circuito equivalente RL illustrato in figura 9b. L'equazione caratteristica dell'induttore (59) impone tra la tensione v(t) e la corrente i(t) una relazione di tipo dinamico, invece l'equazione caratteristica del bipolo statico N S (60) impone una relazione di tipo statico. Dunque il bipolo statico impone attraverso la (60) che la tensione dell'induttore all'istante generico t dipenda solo dai valori che la corrente i e la tensione a vuoto e* assumono in quell'istante. Combinando le equazioni (59) e (60), si ottiene di + R eq (t) L i = e* (t) L. (61) La (61) è l'equazione di stato per il circuito RL. Assegnata un'arbitraria condizione iniziale i(t = t 0 ) = I, (62) si deve determinare la soluzione dell'equazione (61) che verifica la condizione (62). Essa esiste ed è unica. Una volta determinata tale soluzione, è possibile determinare le altre variabili del circuito risolvendo il circuito resistivo associato, ottenuto sostituendo all'induttore un generatore di corrente con corrente i=i(t). Nel circuito RL la resistenza equivalente R eq (t) si mantiene limitata se non c'è in serie all'induttore un interruttore che si apre in un istante assegnato. La tensione a vuoto e * (t) è limitata se le tensioni dei generatori di tensione e le correnti dei generatori di corrente sono limitate. In queste condizioni la corrente nell'induttore è una funzione continua del tempo, anche quando la resistenza equivalente e la tensione a vuoto sono generalmente continue (il lettore provi ad applicare il ragionamento sviluppato per il circuito RC per dimostrare la continuità della corrente nell'induttore). Si osservi, anche, che in questi casi la tensione dell'induttore si mantiene limitata Circuiti del primo ordine tempo-invarianti In questo paragrafo vengono discussi e risolti i due circuiti equivalenti rappresentati in figura 9, quando la conduttanza e la resistenza equivalenti sono costanti nel tempo. Le equazioni di stato (53) e (61) sono del tipo dx +a x = b(t). (63)

22 244 La (63) è una equazione differenziale ordinaria, del primo ordine, lineare, a coefficienti costanti e non omogenea. Essa ha infinite soluzioni. Per determinare quella che si realizza nel circuito in esame, bisogna imporre la condizione iniziale x(t 0 ) = X 0. (64) La soluzione generale dell'equazione (63) (la soluzione generale, per definizione, contiene tutte le possibili soluzioni dell'equazione) è uguale alla somma della soluzione generale x o = x o (t) dell'equazione omogenea associata, (cioè l'equazione che si ottiene ponendo b(t)=0 nella (63)), dx o +a x o = 0, (65) e di una soluzione particolare x p (t) dell'equazione completa (63), x(t)= x o (t)+ x p (t). (66) La soluzione generale dell'equazione (65) è x o (t) = A exp [ l (t - t 0 )], (67) dove A è una costante arbitraria e l è la soluzione dell'equazione caratteristica l+a= 0 (68) associata all'equazione differenziale omogenea (65). L'equazione algebrica (65) è ottenuta costruendo il polinomio caratteristico p(l ) =l+a, (69) associato alla (65) e poi imponendo che sia uguale a zero. In questo caso il polinomio p( l ) è costituito dalla somma di due monomi in l : al termine della (65) in cui compare la derivata prima corrisponde il monomio in l di grado uno, con lo stesso coefficiente della derivata prima, cioè 1, e al termine senza derivate corrisponde il monomio di grado zero, con lo stesso coefficiente che moltiplica la funzione incognita, cioè a. Un circuito del primo ordine è descritto da una equazione di stato del primo ordine e quindi il polinomio caratteristico corrispondente è di primo grado. Le radici del polinomio caratteristico prendono il nome di frequenze naturalidel circuito: un circuito del primo ordine ha una sola frequenza naturale. Allora l'integrale generale dell'equazione (63) è x(t) = Aexp[ - (t - t 0 )/t]+ x p (t), (70) dove la costante di tempo t=1/l e vale t= C / G eq = R eq C (71) per il circuito RC e

23 t= L / R eq = G eq L (72) 245 per il circuito RL. La costante di integrazione A deve essere determinata imponendo la condizione iniziale (64). Così facendo si ottiene A = X 0 - x p (t 0 ), (73) quindi la soluzione è x(t)= [X 0 - x p (t 0 )]exp[- (t - t 0 )/t ]+ x p (t). (74) La funzione che descrive la soluzione particolare dipende dalla forma della funzione b=b(t) e quindi dalla forma d'onda dei generatori indipendenti Evoluzione libera ed evoluzione forzata Nella (74) c'è un termine dipendente unicamente dalla condizione iniziale (indipendente dall'integrale particolare e quindi dai generatori) e due termini dipendenti solo dall'integrale particolare e quindi dai generatori (indipendenti dalla condizione iniziale). Il termine dipendente unicamente dalla condizione iniziale prende il nome di termine di evoluzione libera del circuito e il termine dipendente unicamente dai generatori prende il nome di termine di evoluzione forzata del circuito. x(t)= X 0 exp[ - (t - t 0 )/t ] + {- x p (t 0 )exp[- (t - t 0 )/t ]+ x p (t)} termine di evoluzione libera termine di evoluzione forzata Per la linearità del circuito è sempre possibile decomporre qualsiasi soluzione in un termine di evoluzione libera e in uno di evoluzione forzata. Il termine di evoluzione libera è la soluzione che si avrebbe se tutti i generatori fossero spenti; esso rappresenta il contributo dovuto al valore iniziale dello stato. Si dice che un circuito è in evoluzione liberase i generatori indipendenti che contiene sono tutti spenti (o se ne è privo). Nel circuito RC (nel circuito RL) con tensione iniziale V (con corrente iniziale I), un'energia uguale a CV 2 / 2 (uguale a LI 2 / 2) è immagazzinata nel condensatore (nell'induttore). È questa l'energia che viene messa in gioco nell'evoluzione libera. Il termine di evoluzione forzata è la soluzione che si avrebbe se il valore dello stato iniziale del circuito fosse uguale a zero (V=0 nel circuito RC e I=0 nel circuito RL). Si dice che un circuito è in evoluzione forzata se le grandezze di stato del circuito all'istante iniziale sono tutte nulle. È evidente che in questo caso c'è bisogno di generatori indipendenti per sollecitare il circuito Circuito dissipativo; termine transitorio e regime permanente

24 246 Siccome le frequenze naturali di un circuito non dipendono dai generatori indipendenti, ma solo dagli elementi lineari presenti in esso, tutte le loro proprietà possono essere messe in evidenza considerando il circuito in evoluzione libera. La frequenza naturale di un circuito del primo ordine è una grandezza reale e può essere, come vedremo, positiva, uguale a zero o negativa. Quando la frequenza naturale è negativa, la costante di tempo è positiva, e lo stato del circuito in evoluzione libera tende a zero con legge esponenziale per tæ+. Se la frequenza naturale è zero, l'evoluzione libera è una costante uguale al valore iniziale della grandezza di stato. L'evoluzione libera diverge esponenzialmente se la frequenza naturale è maggiore di zero (costante di tempo negativa). Da queste considerazioni risulta evidente che il segno della frequenza naturale caratterizza fortemente la dinamica di un circuito. Sarebbe interessante poterne prevedere il segno senza dover risolvere il circuito. Analizziamo un attimo questa questione. Consideriamo un circuito RC del primo ordine (considerazioni analoghe possono essere svolte per il circuito RL). Siccome la capacità del condensatore è positiva (stiamo evidentemente considerando un condensatore passivo), la frequenza naturale è minore di zero quando la conduttanza equivalente è positiva, G eq > 0, ed è maggiore di zero quando G eq < 0 ; la frequenza naturale è nulla quando G eq = 0. Allora, quando G eq > 0 la tensione del condensatore decresce nel tempo, quando G eq = 0 la tensione resta costante, invece quando G eq < 0 la tensione del condensatore cresce nel tempo. Queste proprietà possono essere dedotte anche a partire dal bilancio energetico per il circuito in evoluzione libera t 1 2 Cv2 (t) =-G eq Ú v 2 (t ) Cv2 (t 0 ), (75) che, nel caso del circuito RL diventa t t Li2 (t) =-R eq Ú i 2 (t ) Li2 (t 0 ). (76) t 0 In entrambe le equazioni il termine integrale rappresenta la potenza assorbita dalla parte statica del circuito. Quando il circuito RC è costituito da soli elementi strettamente passivi, la potenza assorbita dalla parte statica del circuito è strettamente maggiore di zero e quindi anche la conduttanza equivalente vista dal condensatore (nei circuiti RL la resistenza equivalente vista dall'induttore) è strettamente maggiore di zero. In un circuito siffatto l'energia immagazzinata inizialmente nel condensatore (nell'induttore) viene completamente dissipata dagli elementi statici durante l'evoluzione libera. La potenza assorbita dalla parte statica e quindi la conduttanza equivalente vista dal condensatore nel circuito RC (dall'induttore nel circuito RL) può essere nulla quando gli elementi statici non sono tutti strettamente passivi. Ciò accade, ad esempio, quando il condensatore è collegato in serie a un circuito aperto (l'induttore è collegato in parallelo a un corto circuito). Il circuito aperto e il corto circuito sono elementi passivi ma non strettamente passivi. In questo caso