Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

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1 lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa Univesità degli Studi di Milano Leione n Foe sul dipolo. spansione multipolae Campo elettico di mateia polaiata Anno Accademico 6/7

2 Foe sul dipolo elettico Calcoliamo il lavoo fatto pe uotae il dipolo da una posiione paallela ad una che fa un angolo θ Il lavoo compiuto da un momento delle foe pe una otaione dθ è dw τdθ p sin θdθ Petanto pe uotae il dipolo di un angolo θ si deve compiee un lavoo W W p sin d θ θ θ p ( cosθ ) Se il campo elettico non è unifome la isultante delle foe non è nulla Calcoliamo la foa totale lungo l'asse Semplifichiamo limitandoci a un caso bidimensionale d F q ( x, x ) x + sin θ θ d d d + cosθ F q ( x, ) + sinθ + cosθ x F F x lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 5

3 Foe sul dipolo elettico Calcoliamo il lavoo fatto pe uotae il dipolo da una posiione paallela ad una che fa un angolo θ Il lavoo compiuto da un momento delle foe pe una otaione dα è dw τdα p sin αd α Petanto pe uotae il dipolo di un angolo θ si deve compiee un lavoo W W p sin αdα θ p ( cosθ ) Come al solito il lavoo fatto dalla foa estena è uguale all'enegia poteniale U del sistema In ealtà è il lavoo del momento della foa Il gafico mosta l'andamento dell'enegia U Si pefeisce definie U(θ) in modo che U(π/) U U ( θ) p cos θ p π π π π θ lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 5

4 Foe sul dipolo elettico Se il campo elettico non è unifome la isultante delle foe non è nulla Calcoliamo la foa totale lungo l'asse Semplifichiamo limitandoci a un caso bidimensionale F q ( x, ) d x x + sin θ θ d d F q ( x, ) + sinθ + cosθ d x + cosθ Analogamente, pe la foa F F q ( x, ) d d F q ( x, ) sinθ cosθ x Calcoliamo la componente della foa totale sul dipolo F F + F F (, ) d d q x + sin θ cosθ x + d d q ( x, ) sin θ cosθ x F x lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 5

5 Foe sul dipolo elettico F d d d d q sin θ + cosθ + sin θ + cosθ x x qd sin θ + qd cosθ x px + p x θ F x Genealiando a te dimensioni F p p p x y x + y + Si tovano equaioni analoghe pe le alte componenti F x x x px + py + p x y x Le equaioni possono essee iassunte in un'unica fomula vettoiale ( ) F p Sottolineiamo che la foa sul dipolo è popoionale al gadiente del campo Ribadiamo che se il campo è unifome la foa è nulla F y F F px + py + p x y y y px + py + p x y y lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 54

6 Dipoli atomici Il semplice modello "planetaio" di atomo ha le caatteistiche di un dipolo Consideiamo ad esempio un atomo di idogeno L'elettone e il nucleo costituiscono un dipolo Un dipolo uotante Il momento di dipolo mediato nel tempo saebbe nullo Tuttavia dovebbe emettee adiaione Uno dei poblemi insolubili dalla elettodinamica classica Risolto con la meccanica quantistica Utiliiamo un modello più adeente alla ealtà Lo abbiamo già visto Un nucleo positivo puntifome di caica +q Una distibuione sfeica di caica negativa q Se non lo petubiamo ha una simmetia sfeica Il momento di dipolo è nullo Tuttavia un campo elettico esteno può alteae la simmetia Spostae la caica elettica negativa veso il basso L'atomo così petubato ha un momento di dipolo Calcoliamo il momento di dipolo in funione del campo elettico esteno lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 55

7 Dipoli atomici Consideiamo il campo elettico geneato dalla distibuione sfeica e unifome di caica negativa (l'elettone) d Supponiamo che il campo esteno non modifichi la foma sfeica della distibuione di caica degli elettoni Abbiamo visto che pe effetto del campo elettico esteno il nucleo positivo si sposta ispetto al cento della sfea di elettoni Lo caica negativa attae il nucleo veso il cento della caica elettonica Il campo esteno espinge il nucleo dal cento della caica elettonica Otteniamo l'equilibio ad una distana d dal cento dove il campo esteno è uguale al campo della distibuione sfeica Abbiamo già isolto questo poblema (vedi diapositiva 85 ) Pe una sfea di aggio R e caica totale q, il campo ad una distana d dal cento della sfea è dato da La distana d è deteminata dalla condiione Otteniamo q d R e q ( d) e ( ) d d R qd R lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 56

8 Dipoli atomici Se il nucleo positivo è spostato di una distana d l'atomo è equivalente ad un dipolo di due caiche ±q a distana d L'atomo è petanto equivalente ad un dipolo elettico La elaione appena tovata diventa p p α R d Il coefficiente α pende il nome di polaiabilità atomica Un calcolo esatto utiliando la meccanica quantistica dà il seguente isultato 9 α 4 πεa La tabella nella diapositiva seguente mosta le polaiabilità di alcuni atomi Spesso invece di α si definisce polaiabilità atomica il appoto Si misua in m Pe l'idogeno α p.66 m qd α α R a aggio di Boh a R.5 m.87 m lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 57

9 Dipoli atomici lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 58

10 Momenti di dipolo pemanente La tabella pecedente può essee intepetata qualitativamente con il semplice modello classico che abbiamo visto nelle diapositive pecedenti Gli elementi del I guppo (metalli alcalini) hanno un elettone esteno La distibuione di caica isulta facilmente defomabile, poco igida Gli elementi dell'ultimo guppo (i gas nobili) hanno una stuttua elettonica molto igida Poco defomabili Le molecole possono esibie dei momenti di dipolo pemanenti I legami molecolai endono le distibuioni della caica degli elettoni asimmetiche Si fomano delle egioni "positive" e egioni "negative" Nomalmente i momenti di dipolo sono oientati casualmente La somma di tutti i dipoli è in media nulla La pesena di un campo elettico esteno li allinea, in media, in una dieione Pe compendee a fondo l'allineamento occoe un modello temodinamico (lo faemo. fose) In entambi i casi la mateia viene polaiata Il mateiale ha un momento di dipolo totale non nullo lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa

11 Momenti di dipolo pemanente Le molecole delle figue pecedenti hanno momenti di dipolo elettico che, come vedemo fa poco, sono molto elevati HCl p.4 coulomb-meto H O p 6. coulomb-meto Calcoliamo pe confonto il momento di dipolo indotto in un atomo di idogeno α.66 m Se applicassimo un campo di megavolt/m ( V su mm) il momento di dipolo indotto saebbe α.66 p α Come si vede se una molecola ha un momento di dipolo pemanente questo è di solito enomemente supeioe a quello indotto un atomo simmetico Questa è la distinione fa molecole polai e molecole nomali Pe finie vale la pena notae quale vale il campo elettico di un potone a distane di cica Å lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa e coulomb-meto ( ) V/m

12 spansione multipolae Vale la pena a questo punto fae una piccola digessione pe intodue l'espansione multipolae del poteniale elettico (o del campo elettico) Il dipolo che abbiamo studiato è il multipolo di odine Abbiamo visto che il poteniale elettico di una distibuione abitaia di caica si scive come (vedi diapositiva ) φ ( ) ( ) d ρ R V V ( ) d ρ L'appossimaione di questa fomula pe distane molto maggioi delle dimensioni della distibuione di caica ci ha potato all'intoduione del dipolo saminiamo il denominatoe ( + cosθ ) / R / cos θ + + δ ( ) / δ cosθ lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 6

13 spansione multipolae Utiliiamo adesso l'espansione in seie di (+δ) / ( ) / + δ δ + δ 5 δ Utiliando questa espansione otteniamo 5 δ + δ δ cosθ Intoducendo l'espessione pe δ e accogliendo le stesse potene di '/ cos θ 5cos θ cosθ cosθ Sopendentemente (in ealtà non tanto ) i polinomi in cosθ che compaiono sono i polinomi di Legende che abbiamo incontato Intoduciamo la fomula tovata nel poteniale ρ( ) d ( ) φ cosθ ρd + cos θρd + ρd + lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 6 V δ

14 spansione multipolae cosθ φ( ) ρd + cos θρd + ρd + Petanto otteniamo il seguente sviluppo del poteniale φ ( ) K K K Le quantità K n sono gli integali della densità di caica ( cos θ) ρ( ) n K P d n n n ( ) + L'espansione scitta si chiama espansione multipolae del poteniale I coefficienti K n sono i momenti di multipolo della distibuione di caica Il momento K è detto momento di monopolo Il momento K è detto momento di dipolo Il momento K è detto momento di quadupolo ottupolo. φ n K n lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 6

15 spansione multipolae φ n ( ) + L'utilità di questa espansione sta nel fatto che a gandi distane il poteniale è completamente deteminato dal pimo momento non nullo dello sviluppo I temini successivi vanno a eo più apidamente con potene di / maggioi Se K il poteniale ha un andamento di monopolo Il poteniale di una caica puntifome nell'oigine Se K alloa il possimo temine impotante è K K ( ) d Il temine impotante è K, il dipolo che abbiamo studiato Se anche K alloa si va ai temini supeioi, ad esempio il quadupolo I momenti di multipolo dipendono dalle simmetie (o asimmetie) della distibuione di caica n ρ Il sistema è neuto K ( cos θ) ρ( ) n K P d n n n lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 64

16 Campo elettico della mateia polaiata Calcoliamo adesso il campo elettico podotto dalla mateia polaiata Supponiamo di avee un blocco di mateia polaiata Pe il momento non chiediamoci come sia stata polaiata Immaginiamo che i dipoli siano allineati in una ceta dieione, supponiamo lungo l'asse Supponiamo che ci siano N dipoli pe unità di volume Supponiamo che ogni dipolo abbia intensità p dv Intoduciamo il vettoe densità di polaiaione P Np Le sue dimensioni sono momento di dipolo/m C-m/m C/m : Coulomb pe m P N (e quindi P) possono essee funioni della posiione Supponiamo che N sia tanto gande che in un volume dv (infinitesimo pe la geometia del poblema ma macoscopico su scala atomica) ci sia un enome numeo di dipoli Diciamo alloa che un elemento di volume dv del blocco di mateia ha un momento di dipolo dp Pdv x y lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 65

17 Campo elettico della mateia polaiata Pe calcolae il campo elettico geneato all'esteno del mateiale suddividiamo il blocco in tante "colonne" veticali Calcoliamo il campo elettico geneato da una "colonna" Consideiamo un elemento della colonna dv dad dp Pdv Il poteniale geneato da questo dipolo è dato da (vedi diapositiva ) dφ d ˆ p ( ) dp cos θ dp da θ d dφ ( ) Pdad cos θ dφ ( ) Pda d cos θ x y lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 66

18 Campo elettico della mateia polaiata Pe calcolae l'integale osseviamo la elaione fa d e d Osseviamo che quando vaia da a vaia da a e diminuisce Abbiamo petanto d d cosθ d θ d Inseiamo nella fomula del poteniale dφ ( ) Pda dφ ( ) d cos θ Pda d Pda Questa fomula è identica a quella del poteniale geneato da una caica +Pda posta a e una caica Pda posta a Il calcolo viene concluso integando sulla supeficie del blocco di dielettico φ ( ) Pda S dp da θ d y lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 67

19 Campo elettico della mateia polaiata φ ( ) Pda S Petanto il isultato del calcolo è che il blocco di mateiale polaiato genea un poteniale elettico identico a quello di due densità di caica supeficiale poste sulle supefici estene del blocco Attenione Pe calcolae il campo elettico all'esteno si usano SOLAMNT i due piani di caica La densità supeficiale di caica è data dal modulo del vettoe densità di polaiaione σ P Sottolineiamo che abbiamo fatto molte assunioni Polaiaione unifome Dietta lungo l'asse lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 68

20 Campo elettico della mateia polaiata Abbiamo visto che una colonna di mateiale polaiato genea un campo equivalente a quello di due piccoli stati di caica +Pda e Pda posti sulle facce supeioe e infeioe del cilindo Possiamo convinceci del isultato pecedente in un modo meno matematico e più fisico, più intuitivo Suddividiamo la colonna in tanti cilindetti infinitesimi Il singolo cilindetto ha un volume dv da d Il suo momento di dipolo è p Pdv Ai fini del campo geneato all'esteno del cilindetto possiamo sostituilo con due stati cicolai di caica positiva e negativa dq ± ±Pda Il cilindetto e i due stati hanno lo stesso momento di dipolo p dqd Pdad Pdv p +Pda d Pda +Pda Pda Geneano lo stesso campo all'esteno Se facciamo lo stesso con tutti i cilindetti otteniamo la condiione in figua Tutti gli stati di caica intemedi si cancellano Rimangono solo i due stati sulla faccia supeioe e quello sulla faccia infeioe lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 69

21 Campo elettico della mateia polaiata La sostituione del blocco di dielettico con due stati di caica è adeguato pe il calcolo del campo all'esteno del mateiale In paticolae pemette di calcolae l'integale fa due punti qualunque puché esteni al blocco di dielettico È sufficiente infatti calcolae l'integale utiliando il campo geneato dai due stati di caica A B d l A B dl Abbiamo dimostato che i due sistemi sono equivalenti pe il campo esteno B Questa semplice e banale ossevaione ci pemette di fane un'alta, pe nulla banale Anche se il campo all'inteno del mateiale è molto complicato sappiamo calcolae il suo integale fa due punti sulla supeficie d l A B L A lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 7 dl + dl d l d l L L B B A A L B A A L L L B

22 Campo all'inteno del dielettico Supponiamo adesso che lo spessoe del blocco che stiamo studiando sia sottile Stiamo inolte supponendo che la polaiaione sia unifome: P costante Rimaniamo comunque lontani dai bodi In queste condiioni il campo fa i due stati è σ ε ˆ P ˆ ε La diffeena di poteniale P ε φ A φ B ε All'inteno del dielettico il campo è estemamente complicato B Vicino ad un atomo il campo elettico aggiunge valoi dell'odine di V/m Vicino ad una molecola polae (diciamo a Å di distana) il campo aggiunge valoi dell'odine di 7 8 V/m p p 6 C-m lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 7 P t 9 7 t A 9 m V/m P

23 Campo all'inteno del dielettico Tuttavia, nonostante la complessità del campo elettico all'inteno del mateiale abbiamo visto una sua popietà sopendente L'integale di linea fa due punti A e B t è uguale a quello del campo podotto da due stati di caica σ ±P A B d l σ ε t P t ε Ovviamente è anche indipendente dal paticolae cammino Infatti, pe quanto si tatti di un campo molto complesso si tatta comunque di un campo elettostatico che obbedisce alle leggi dell'elettostatica In paticolae la cicuitaione di è nulla d l Lungo una linea si incontano campi di enome intensità con gandi vaiaioni In un millesimo di millimeto ( μm 6 m) si incontano cica 4 dipoli Gan pate dei contibuti all'integale si elidono Se il mateiale non fosse polaiato il isultato saebbe nullo È natuale suppoe che queste cancellaioni avvengano anche se si sommano i campi pesenti in moltissimi punti adiacenti lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 7 A B P

24 Campo all'inteno del dielettico Significa che se consideiamo un volumetto infinitesimo Δv Gande a livello micoscopico Che contiene tanti atomi o dipoli Δv Se sommiamo il campo misuato in punti divesi all'inteno del volumetto molti contibuti si elidono Questo isultato induce a pensae che si possa definie un valo medio di La media è calcolata in volumi infinitesimi su scala macoscopica ma gandi abbastana da contenee un gande numeo di dipoli In questo modo si eliminano le vaiaioni dovute a possibili fluttuaioni nelle cancellaioni dei campi micoscopici Nel sistema che stiamo analiando (il blocco di dielettico polaiato) il valoe di questa media è molto semplice È un sistema molto semplice La polaiaione è unifome Δ V ΔV P ε dv lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 7

25 Campo all'inteno del dielettico Allo stesso modo si possono calcolae le medie di alte gandee finoa definite solo a livello micoscopico ρ Δ V Δ V ρdv Δ V Δ Queste definiioni isulteanno utili solo se le leggi dell'elettostatica valgano anche pe le quantità mediate Si veifica che valgono! d a Q ε d l A questo punto possiamo anche ossevae che una volta veificato che le cose funionano possiamo abbandonae questa notaione "pesante" In pesena di dielettici si lavoa sempe ad una scala macoscopica Le gandee fisiche sono sempe medie di gandee micoscopiche Si elimina il simbolo di media <X> che viene sottinteso φ ρ ε V φ φdv φ ρ ε lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 74