CONTROLLI STATISTICI

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1 CONTROLLI STATISTICI Si definisce Statistica la disciplina che si occupa della raccolta, effettuata in modo scientifico, dei dati e delle informazioni, della loro classificazione, elaborazione e rappresentazione grafica, per favorire la loro interpretazione e formulare previsioni. Scopo dell azienda è quello di realizzare un prodotto che rispetti determinati requisiti. I requisiti rappresentano le esigenze o aspettative che il cliente ha riguardo quel prodotto. Essi possono essere specificati contrattualmente dal cliente oppure possono essere stabiliti dall azienda stessa. I documenti in cui vengono stabiliti i requisiti che un dato prodotto deve possedere sono detti specifiche (o capitolati ). Per rendere i requisiti misurabili è necessario individuare un insieme di caratteristiche distintive da assegnare a quel prodotto. Le caratteristiche possono essere quantitative o qualitative. Caratteristiche quantitative sono per esempio quelle fisiche (es.: dimensioni di un pezzo); caratteristiche qualitative sono per esempio quelle funzionali (es.: chiusura corretta della portiera di un automobile o di un frigorifero). Un prodotto si dice conforme se soddisfa i relativi requisiti e le sue caratteristiche rientrano nel campo di tolleranza previsto; si dice non conforme in caso di mancato soddisfacimento anche di un solo requisito. Il mancato soddisfacimento di un requisito attinente all utilizzo del prodotto, che quindi può avere implicazioni legali, si dice difetto. I fattori che possono provocare la variabilità delle caratteristiche di un prodotto sono: - Il materiale in lavorazione (es.: incostanza della composizione, risultati inaspettati di trattamenti termici ) - Il metodo di lavoro utilizzato (es.: posizione delle macchine, flusso dei materiali ) - Le macchine e le attrezzature utilizzate (es.: usura degli organi meccanici e degli utensili ) - La mano d opera (es.: abilità degli operatori, condizioni fisiche ) - Le misurazioni effettuate (es.: fattori di disturbo durante le misurazioni, errato modo di impiego dell apparecchiatura di misura ) In una azienda meccanica è compito del Servizio Controllo e Collaudo occuparsi della verifica qualitativa delle forniture esterne, delle lavorazioni e dei montaggi; deve cioè accertare che i singoli elementi siano conformi ai disegni e che il prodotto finito abbia i requisiti funzionali fissati dalle norme di collaudo. I moderni procedimenti di controllo, fondati sull impiego di metodi statistici, indispensabili per tenere sotto controllo la variabilità delle caratteristiche misurabili dei processi e dei prodotti industriali, sono detti Metodi di controllo statistico di qualità. Distinguiamo: a) Metodi che si basano sul controllo della misura delle quote o delle caratteristiche in esame (Controllo per variabili); b) Metodi che utilizzano solo il giudizio di idoneità o conformità dei pezzi alle prescrizioni (es.: funzionamento o meno di una lampadina ). (Controllo per attributi). Prima di procedere con la spiegazione dei due metodi, diamo il significato di alcuni termini che verranno poi utilizzati. Tecnologie mecc. di proc. e prod. - Appunti dalle lezioni del prof. Di Cara Nicola - ITIS Galilei Conegliano - Pag. 1

2 Termini, simboli, definizioni - Elemento è il singolo prodotto (oggetto o parte di esso, materiale) che costituisce l ente che si sta esaminando, su cui si raccolgono le informazioni per realizzare l indagine statistica, che si concretizza con il risultato della misurazione o con una valutazione. - Popolazione è l insieme di tutti gli elementi considerati sui quali si effettua l indagine statistica per rilevarne una o più caratteristiche. - Campione è un gruppo di elementi prelevati da una popolazione. La numerosità n del campione è data dal numero di elementi che lo costituiscono (es.: campione costituito da n = 20 elementi). - Variabile x è una caratteristica misurabile rispetto ad una scala continua e che può assumere valori diversi (es.: valore numerico della misura del diametro di un elemento rilevato con un micrometro centesimale). - Attributo è una caratteristica non misurabile o che si preferisce non misurare e sulla quale viene espresso un giudizio di idoneità (es.: controllo di un alberino cilindrico mediante calibro a forcella). - Distribuzione di frequenza, rappresenta la differenziazione quantitativa o qualitativa della caratteristica nei singoli elementi della popolazione. I valori delle singole osservazioni si distribuiscono in un certo intervallo di variazione. Si può constatare che le misure sono sparse entro un campo più o meno ristretto e che sono distribuite in questo campo con una certa regola che può essere espressa nel modo seguente: a) Concentrazione dei valori intorno ad una quota centrale b) Diluizione dei valori in vicinanza dei bordi del campo c) Simmetria nella distribuzione dei valori. Nella figura a lato, ogni linea rappresenta una osservazione; con la barretta / si indica la quinta misurazione. In questo modo si facilita il conteggio. - Media aritmetica è il calcolo eseguito per determinare la posizione centrale di un insieme di osservazioni: x = x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x n / n - Scarto è la differenza, in valore e segno, tra una generica osservazione e la media di tutte le osservazioni: scarto = x i - x Tecnologie mecc. di proc. e prod. - Appunti dalle lezioni del prof. Di Cara Nicola - ITIS Galilei Conegliano - Pag. 2

3 - Scarto tipo, che descrive la dispersione di un insieme di osservazioni, è la radice quadrata della varianza: s = [Σ(x i x) 2 / (n-1)] - Scarto tipo vero è lo scarto utilizzato nel caso di popolazione : σ = [Σ(x i x) 2 / n] Quando il numero di osservazioni n è maggiore o uguale a 100 può essere effettuato un raggruppamento in classi. La classe è l intervallo scelto come sottomultiplo del campo di variazione di una caratteristica, utilizzato per raggruppare le osservazioni relative alla caratteristica stessa. In pratica rappresenta la differenza tra due valori della caratteristica. I Limiti della classe sono i valori estremi della variabile che limitano la classe. Il Centro della classe è la media aritmetica calcolata tra i due limiti estremi della classe. Normalmente si usano: a) 7-8 classi per n<100 b) Fino a 10 classi per 100<n<250 c) Fino a 12 classi per 251<n<1000 La scelta del numero di classi può essere anche effettuata mediante la formula empirica 1+3,3 lg n. Esempio: Si consideri un campione di 100 alberini cilindrici prodotti con un tornio automatico ed aventi diametro nominale d = 5,00 [mm]. Le misurazioni effettuate con un micrometro centesimale sono indicate nella seguente tabella: Le osservazioni variano tra il valore minimo x min = 4,90 [mm] ed il valore massimo x max = 5,09 [mm]. L intervallo tra 4,90 [mm] e 5,09 [mm] (pari a 0,19 [mm]), come consigliato sopra, può essere suddiviso al massimo in 10 classi. Si considerino allora 10 classi con intervallo delle classi Δ = 0,02 [mm], come descritto nella seguente tabella: Tecnologie mecc. di proc. e prod. - Appunti dalle lezioni del prof. Di Cara Nicola - ITIS Galilei Conegliano - Pag. 3

4 La tabella riporta la rappresentazione tabellare di una distribuzione di frequenza in classi (e non per osservazioni come illustrato precedentemente). Nella tabella sono riportati: - Le classi - I limiti inferiori e superiori delle classi - Il centro delle classi - I valori della frequenza La Frequenza (frequenza assoluta) è il numero delle osservazioni comprese in una classe. Il Foglio per spunti è un grafico utilizzato per rappresentare una distribuzione di frequenza. Esso consente di segnare con lineette (o con crocette), in corrispondenza di ciascuna classe, le varie osservazioni. Nel foglio per spunti seguente è rappresentata la distribuzione di frequenza in classi in forma tabellare relativa al campione di 100 alberini cilindrici: La distribuzione di frequenza in classi precedente può essere rappresentata anche graficamente. Il diagramma che si ottiene è detto istogramma ed è costituito da una serie di rettangoli aventi come base l intervallo delle classi (in ascissa) e come altezza un valore proporzionale alla frequenza (in ordinata). Data la sua forma, l istogramma è anche detto diagramma a canne d organo. Tecnologie mecc. di proc. e prod. - Appunti dalle lezioni del prof. Di Cara Nicola - ITIS Galilei Conegliano - Pag. 4

5 Di seguito è rappresentato l istogramma di frequenza relativo ai dati considerati nelle tabelle precedenti: Sull asse delle ascisse sono riportati i diametri degli alberini cilindrici (in particolare i centri delle classi individuati nella tabella precedente). I segmenti hanno ampiezza pari all intervallo di classe Δ. Le osservazioni contenute in una classe, anche se diverse tra loro, assumono il valore del centro della classe. Come detto in precedenza, le osservazioni si distribuiscono secondo la seguente regola: a) Concentrazione dei valori intorno ad una quota centrale b) Diluizione dei valori in vicinanza dei bordi del campo c) Simmetria nella distribuzione dei valori. E anche possibile rappresentare graficamente la distribuzione di frequenza in classi mediante il cosiddetto poligono delle frequenze, ottenuto collegando tra loro, con diversi segmenti, i punti, con ascisse in corrispondenza dei centri delle classi e con ordinate pari alla frequenza per ogni classe presa in esame. Per consentire di chiudere il poligono, nella figura a lato, sono state introdotte, sull asse delle ascisse, due classi fittizie di frequenza nulla, una per lato. - Distribuzione normale o gaussiana La distribuzione di frequenza teorica alla quale tendono le osservazioni della caratteristica di una popolazione, quando tali osservazioni sono influenzate dall azione di varie cause accidentali di errore, segue una legge di probabilità rappresentata matematicamente dalla curva di Gauss detta anche a campana per il suo andamento. La distribuzione gaussiana è caratteristica di tutti i fenomeni le cui variazioni sono dovute al sovrapporsi casuale di numerose piccole cause accidentali di Tecnologie mecc. di proc. e prod. - Appunti dalle lezioni del prof. Di Cara Nicola - ITIS Galilei Conegliano - Pag. 5

6 variazione, ciascuna delle quali agisce indipendentemente dalle altre e con effetto molto piccolo in rapporto alla somma di tutti gli effetti. Per una macchina utensile, tali cause accidentali possono essere: - giochi sugli elementi mobili - eccentricità di parti rotanti - usura di un utensile - allentamento di un perno - irregolarità nella materia prima -.. I difetti suddetti possono determinare errori nei pezzi lavorati, con distribuzione di frequenza simile a quella sopra descritta. La corrispondente Curva di frequenza presenta la forma a campana simmetrica e si estende tra - e + ; l area compresa tra la curva e l asse delle ascisse rappresenta la totalità delle osservazioni. In particolare si ha: da σ a + σ = 68,3 % delle osservazioni da 2σ a + 2σ = 95,5 % delle osservazioni da 3σ a + 3σ = 99,7 % delle osservazioni dove σ è lo scarto tipo vero. Se X è la Media di n valori X 1, X 2, X 3. X n, il valore dello scarto tipo vero σ (detto anche indice di variabilità o deviazione standard ) è dato dalla radice quadrata positiva della media aritmetica della somma dei quadrati di tutte le differenze (scarti) tra le osservazioni e la media vera: σ = ( X 1 X) 2 + ( X 1 X) 2 + ( X 3 X) 2 +. ( X n X) 2 / n Considerando la cosiddetta regola del tre sigma, si può affermare che tutte le osservazioni siano comprese in tale intervallo, escludendo la probabilità che x cada all esterno. Tecnologie mecc. di proc. e prod. - Appunti dalle lezioni del prof. Di Cara Nicola - ITIS Galilei Conegliano - Pag. 6

7 Con riferimento a quanto detto anche in precedenza, la distribuzione di frequenza normale presenta: a) Concentrazione dei valori intorno ad una quota centrale b) Diluizione dei valori in vicinanza dei bordi del campo c) Simmetria nella distribuzione dei valori d) Punti di flesso della curva e) Asintoti alle estremità, per cui la frequenza non si annulla. L aspetto della curva normale può variare pur conservando sempre le proprie qualità specifiche. In particolare, nel caso di valori distribuiti in un campo molto ampio (grande dispersione) la campana si allarga e si appiattisce (curva 2); viceversa, nel caso di valori molto concentrati (piccola dispersione) la curva si restringe e si innalza (curva 1). La presenza di errori sistematici nel procedimento di misurazione può portare a distribuzioni irregolari che determinano un cambiamento vistoso della forma della curva di Gauss, come illustrato nella figura a lato. Presenza di giuochi nella movimentazione delle tavole può causare la dissimetria della curva a; lavorazioni eseguite con due utensili registrati diversamente possono causare le due mode della curva b; l usura dell utensile durante la lavorazione è causa della forma piatta della curva c. Tecnologie mecc. di proc. e prod. - Appunti dalle lezioni del prof. Di Cara Nicola - ITIS Galilei Conegliano - Pag. 7

8 METODI DI COLLAUDO, CRITERI E PIANI DI CAMPIONAMENTO Controlli statistici di processo Per tenere sotto controllo il processo produttivo è necessario esaminare gli elementi durante la loro realizzazione. Poiché il numero di pezzi e quindi la popolazione è in pratica infinita finché non cessa il processo produttivo, in ambiente industriale si introduce il concetto di lotto, cioè di un gruppo definito di elementi prodotti. Dal lotto si preleva il campione di un certo numero di elementi sui quali si eseguono le misurazioni che forniscono i dati che poi vengono analizzati ed elaborati. Il prelevamento di un campione da un lotto può essere eseguito con vari metodi, che prevedono, comunque, un prelevamento casuale. 1) Metodo di controllo per variabili Secondo la norma UNI 4723 P, variabile è una caratteristica misurabile rispetto ad una scala continua e suscettibile di assumere valori diversi. Con questo metodo, quindi, si esegue l esatta misura della caratteristica da controllare. Il numero k di dei campioni da impiegare per sottoporre a controllo una lavorazione in serie non deve essere minore di 25 in modo che si abbia una corretta valutazione. Il numero n degli elementi di un campione può variare da 2 a 100. Solitamente è n = 4 5. Tale valore deve rimanere costante per tutti i campioni. - Carte di controllo x ed R Le carte di controllo si usano per controllare l andamento nel tempo di un processo produttivo. Sono utilizzate quando il numero n degli elementi di un campione è 10. Per valutare la precisione ottenibile con un determinato mezzo di lavoro, si costruiscono le Carte di controllo. Esse rappresentano graficamente gli andamenti della Media delle misure (x) e della Dispersione o Ampiezza (R o W). Le carte di controllo, oltre a fornire la qualità della produzione, danno un avvertimento di quando il procedimento tende a peggiorare o sta producendo pezzi difettosi. E quindi opportuno che la compilazione delle carte x ed R proceda sempre mentre la lavorazione è in atto. Ad intervalli regolari, ad esempio ogni ora, si prelevano alcuni pezzi, di solito 4 o 5 (campione) e si misurano le quote che interessano. Effettuata la misurazione, i valori si registrano in un apposito tracciato tabellare e si calcolano per ogni campione la Media delle misure x segnato e la differenza in valore assoluto tra la misura massima e la misura minima dei pezzi che formano il campione (Ampiezza di variazione W o Escursione R). Tecnologie mecc. di proc. e prod. - Appunti dalle lezioni del prof. Di Cara Nicola - ITIS Galilei Conegliano - Pag. 8

9 I valori così determinati si riportano nelle due zone in cui è diviso il diagramma, collegando fra loro i valori x segnato con una spezzata e mettendo in evidenza i valori R con un trattino verticale: Tecnologie mecc. di proc. e prod. - Appunti dalle lezioni del prof. Di Cara Nicola - ITIS Galilei Conegliano - Pag. 9

10 La linea centrale rappresenta la media o il valore atteso della serie di valori riportati. I limiti di controllo superiore ed inferiore, posti sopra e sotto la linea centrale, servono per giudicare le variazioni fra i campioni in modo da intervenire qualora ci fossero delle anomalie nel processo produttivo, cioè quando i valori riportati escono fuori dal campo individuato. Vediamo allora come si individuano tali limiti. Determinazione dei limiti superiore ed inferiore della carta x ed R (o W) Attorno alla media delle medie x segnata due volte, oscillano le quote dei pezzi lavorati. I limiti superiore ed inferiore di controllo si possono calcolare con le seguenti formule: LSC X = Limite superiore di controllo di x = x segnato due volte + A 2 R segnato LIC X = Limite inferiore di controllo di x = x segnato due volte - A 2 R segnato R segnato (o W segnato) rappresenta la media dei valori dell escursione R ricavati: R segnato = (R 1 + R 2 + R R 20 ) / 20 Il coefficiente A 2 si ricava dalla tabella UNI 4728 in funzione della numerosità del campione controllato. Per esempio: per n = 5 si ha A 2 = 0,577 per n = 6 A 2 = 0,486 per n = 7 si ha A 2 = 0,419. Tecnologie mecc. di proc. e prod. - Appunti dalle lezioni del prof. Di Cara Nicola - ITIS Galilei Conegliano -Pag. 10

11 LSC R = Limite superiore di controllo di R = D 4 R segnato LIC R = Limite superiore di controllo di R = D 3 R segnato I coefficienti D 3 e D 4 si ricavano dalla tabella UNI 4728 in funzione della numerosità del campione. Per esempio: per n = 5 si ha D 3 = 0 e D 4 = 2,115 per n = 6 si ha D 3 = 0 e D 4 = 2,004 per n = 7 si ha D 3 = 0,076 e D 4 = 1,924 Se tutti i punti del diagramma x segnato ed R sono compresi tra i limiti di controllo, tutto procede bene. Se invece uno o più punti cadono fuori, la lavorazione o la macchina sono da ritenere fuori controllo, cioè la qualità sta peggiorando. Occorre in tal caso prendere immediati provvedimenti o fermare la produzione. Per questo è opportuno che i diagrammi vengano compilati mentre i pezzi sono prodotti. 2) Metodo di controllo per attributi Secondo la norma UNI 4723 P, attributo è la caratteristica non misurabile o che si preferisce non misurare sulla quale viene dato unicamente il giudizio di appartenenza ad una o più categorie. Con questo metodo non si esegue l esatta misura della caratteristica da controllare. Si dà un giudizio di idoneità riguardo ad una intera partita di oggetti (lotto) mediante l esame di un piccolo numero di pezzi (campione) estratti a caso dalla partita. Il controllo può essere fatto per esempio mediante calibri fissi o con esami visivi. Il giudizio sull accettabilità del pezzo è dato mediante l indicazione di pezzo conforme o di pezzo non conforme. Tecnologie mecc. di proc. e prod. - Appunti dalle lezioni del prof. Di Cara Nicola - ITIS Galilei Conegliano -Pag. 11

12 - Piano di campionamento e grado di severità L attuazione del Piano di campionamento è abbastanza facile: 1) dal lotto in esame si preleva a caso un campione formato da un numero ben definito di pezzi; 2) si effettua il collaudo dei pezzi campione, determinando il numero dei pezzi difettosi; 3) si accetta il lotto se il numero dei pezzi difettosi nel campione non supera un valore prefissato, si scarta il lotto in caso contrario. Le tabelle UNI 4842 individuano 3 coppie di piani di campionamento relative a tre gradi di severità. I tre gradi di severità considerati, ai quali corrispondono diverse grandezze n del campione, sono: - ridotto (collaudo ridotto) - normale (collaudo ordinario) - rinforzato (collaudo rinforzato) Per ogni grado di severità si può adottare un campionamento semplice oppure un campionamento doppio. 1) Campionamento semplice: si estrae dal lotto un solo campione in base al quale sono perse decisioni sull intero lotto. 2) Campionamento doppio: secondo i risultati di un primo campione, può essere estratto un secondo campione; in tal caso, le decisioni sul lotto dipendono dai risultati assommati del collaudo dei due campioni. Generalmente si usa un controllo con grado di severità normale. Però durante il prolungato uso di un piano di campionamento è possibile passare ad un grado di severità superiore o inferiore quando si è riscontrato in precedenza un livello di qualità rispettivamente basso o alto. Tecnologie mecc. di proc. e prod. - Appunti dalle lezioni del prof. Di Cara Nicola - ITIS Galilei Conegliano -Pag. 12

13 Vediamo in particolare il caso di un piano di campionamento semplice per il collaudo ordinario. Noto il livello di qualità accettabile (LQA), le operazioni da eseguire sono le seguenti: - Determinare la lettera-codice in base alla numerosità del lotto (vedi tabella) - Determinare la grandezza del campione in base alla lettera-codice (vedi prospetto seguente): Tecnologie mecc. di proc. e prod. - Appunti dalle lezioni del prof. Di Cara Nicola - ITIS Galilei Conegliano -Pag. 13

14 - Individuare sul prospetto precedente il numero di accettazione N a ed il numero di rifiuto N r in base al livello di qualità accettabile LQA scelto - Eseguire il collaudo dei pezzi - Decidere sul lotto: se il numero di pezzi non conformi individuati nel campione è minore o uguale a N a si accetta il lotto; se il numero di pezzi non conformi è uguale o maggiore di N r si rifiuta l intero lotto. ESEMPIO: Con un Piano di campionamento semplice e con grado di severità normale (collaudo ordinario) si vuole controllare una caratteristica di un lotto costituito da N = 5000 elementi. Il livello di qualità accettabile sia LQA = 1 %. Per un collaudo corrente di II livello, la lettera-codice è L (vedi tabella). Dal prospetto su riportato si deduce che la numerosità del campione da controllare è pari a 200 (cioè si dovranno estrarre casualmente, secondo il prospetto, n = 200 pezzi). Per giudicare il lotto conforme, è quindi accettarlo, è necessario che il numero di elementi difettosi sia N a 5. Per giudicare il lotto non conforme, è necessario che il numero di elementi difettosi sia N r 6. In questo caso si deve scartare l intero lotto di 5000 pezzi. Tecnologie mecc. di proc. e prod. - Appunti dalle lezioni del prof. Di Cara Nicola - ITIS Galilei Conegliano -Pag. 14