Capitolo 3. un suo modello, che si assume correttamente specificato (cioe` il processo soddisfa (*) per qualche valore di β ).

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1 3-Ecoomeria, a.a. 4-5 Caiolo 3 3- Prorieà asioiche egli simaori OLS: Cosiseza 3- Alcue versioi el eorema el limie cerale 3-3 Prorieà asioiche egli simaori OLS: Asioica ormalia` 3-4 Simaore cosisee ella variaza asioica i ˆβ : Lo simaore i Whie 3-5 Aeice: Covergeza er le successioi i variabili aleaorie e il eorema el ela meoo 3-6 Tes sulle ioesi: il es i Wal 3-7 Tes sulle ioesi: il meoo Boosra 3-8 Aeice: Efficieza asioica egli simaori OLS 3-9 Aeice: Lo simaore i Newey-Wes I ai ecoomici soo geeralmee molo umerosi, erao i ecoomeria assumoo grae rilievo i risulai asioici (valii cioe` i reseza i grai camioi). Si segala che al uo i visa eorico all esressioe grai camioi o e` associabile u valore (o rage) umerico i moo uivoco, mere elle alicazioi ecoomeriche u camioe i imesioe maggiore i e` soliamee rieuo grae. I uo il caiolo { y, } oolazioe) e x e` u rocesso socasico (o equivaleemee u DGP o N () y = x β + u, E( u Ω ) =, x Ω er =,, u suo moello, che si assume correamee secificao (cioe` il rocesso soisfa () er qualche valore i β ). Ω raresea il comlesso elle iformazioi che soo (o orebbero essere) isoibili i (rima che sia osservaa y ), erao er ai cross-secio Ω coiee ue le variabili esogee (ell uia` saisica ) ella reala` ecoomica cosieraa, mere er ai ime-series Ω riari ella variabile ieee. o solo coiee le variabili esogee all isae, ma ache i loro riari e i y ( ) Nella auale siuazioe, se e` u qualuque (fissao) iero aurale, se esise lo simaore i β cosruio co il meoo ei momei (che coicie co lo simaore OLS) sara` eoao co ˆβ seza evieziare la sua ieeza a (er le sue iverse rareseazioi vei il aragrafo -3). Nei rimi aragrafi soo riorae le riciali roriea` asioiche i ale simaore e le ioesi Ua esressioe iu` rigorosa e`: (la σ -algebra) Ω coiee la σ -algebra geeraa a ue le variabili esogee i.

2 3-Ecoomeria, a.a. 4-5 che e assicurao la valiià. Si segala che el seguio (i queso e ei successivi caioli) le ioesi sull esiseza ei momei elle variabili aleaorie sarao omesse; uque si assume imliciamee che ue le variabili soo oae ei momei ecessari erche` i risulai eorici ivocai siao uilizzabili. 3- Prorieà asioiche egli simaori OLS: Cosiseza I ecoomeria, la cosiseza egli simaori (cioe` la covergeza i robabilia` ello simaore verso il valore vero) ha u ruolo foameale e le ioesi che la garaiscao si icoo coizioi i ieificabilià; i al caso il moello si ice ieificao (asioicamee) ( ). Proosizioe Se er il moello soo valie le seguei ioesi a) La marice xx è iveribile er ogi = sufficieemee grae; b) La sequeza xx è limiaa i robabilià; ( 3) = c) La sequeza u x coverge a (i robabilià), = ( 4) allora lo simaore ˆβ esise er (ogi) sufficieemee e e` cosisee (cioe` βˆ β; qui β eoa il valore vero el aramero). Dimosrazioe: La coizioe a) assicura l ieificabilia` (fiia) el moello, e quii l esiseza i ˆβ, er grae. La cosiseza segue immeiaamee alla rareseazioe, β ˆ = β + u xx = x, = o aea si osserva che il rooo i ue sequeze e` covergee a, se ua e` limiaa i robabilia` e l alra covergee a. I seguei ue corollari foriscoo coizioi sufficiei er la valiià` elle receei a), b) e c), i reseza i moelli er ai el io ime-series e cross-secio riseivamee. Nel seguio si fara` riferimeo semre a ali coizioi. Corollario (ai ime-series) Se L esressioe eriva al fao che er u umero i osservazioi che ee a, il DGP è uivocamee iiviuao. 3 Ua sequeza i variabili aleaorie ( ) 4 Ua sequeza i variabili aleaorie ( ) Y si ice limiaa i robabilià (o igh) e si scrive Y () se = O er ogi δ > esise ε > ale che PY ( > ε ) < δ er ogi. er ogi ε >, Y si ice covergee a i robabilià e si scrive Y () o, se = o Y δ > esise ν N ale che ( ν P( Y > ε) < δ ).

3 3-Ecoomeria, a.a. 4-5 a') Il rocesso {(, )} b') La marice y x e` sazioario (qui basa ebolmee sazioario) e ergoico, ( 5) xx ( = Σ = Σ ) E( ) er ogi x i orie è iveribile, allora lo simaore ˆβ (esise er grae e) e` cosisee. Dimosrazioe: Dalla sazioarieà e ergoicià el rocesso segue la covergeza i robabilià elle ue successioi xx e = u x a Σ e riseivamee, oe, esseo Σ iveribile, = = xx coverge i robabilià a Σ e quii xx è iveribile, er = sufficieemee grae (coizioe i ieificabilia` fiia); xx e` limiaa. = Corollario (ai cross-secio) Se a") Le variabili el rocesso {(, )} y x soo iieei, b") Soo soisfae alcue coizioi sui momei che garaiscoo la valiià ella legge ei grai umeri er i ue rocessi { xx } e { } u x ; ( 6 ) (er semlicia` ee coizioi o soo riorae, esse o soo molo resriive elle alicazioi ecoomeriche e erao si riegoo semre valie), c") ( Σ ) = lim xx e` iveribile, = allora lo simaore ˆβ (esise er grae e) e` cosisee. Dimosrazioe. E` ovvia, o aea si osserva che E( xu ) = er ogi. 5 Defiizioe i ergoicià er rocessi sreamee sazioari: er ogi f e g misurabili e limiae si ha lime( f( x,, x ) g( x,, x )) = E( f( x,, x ))E( g( x,, x )); l + h + l + + l + h + l + + l si oi che er la sazioarieà el rocesso il secoo membro o iee a l. ( 6 ) Si segalao ue classici risulai che soo geeralmee iicai co l esressioe Legge ei grai umeri. Teorema: Sia ( X ) ua sequeza i v.a. iieei, co E( X ) σ si ha X i= i= μ. Teorema i Khichie: Sia ( X ) ua sequeza i v.a. ii... co E( X ) 3 = μ, var( X ) = σ, = μ. Allora X μ. i= μ i= μ. Se

4 3-Ecoomeria, a.a. 4-5 Osservazioe: Per rovare la cosiseza ello simaore ˆβ e` sufficiee la coizioe E( xu ) = e o la coizioe iu` fore E( u x ) = come qui si sa assumeo. 3- Alcue versioi el eorema el limie cerale o Nella seguee efiizioe si irouce ua ermiologia i uso frequee. Defiizioe: Se ˆβ è uo simaore el aramero β e la sequeza isribuzioe (er ) verso ua isribuzioe N(, Σ ), ( 7) allora ( βˆ β) coverge i i) La marice Σ (e quii lim var( β ˆ) se esise) ( 8) icesi variaza asioica i ˆβ e si eoa co il simbolo Avar( βˆ ) ; ii) ˆβ si ice simaore cosisee i β. Osservazioe: Se ˆβ e` uo simaore cosisee i β, allora ( βˆ β ) =O (/ ) (ricorare che la covergeza i isribuzioe imlica la limiaezza i robabilià), oe ˆβ e` uo simaore cosisee i β (e uque coverge i robabilia` a β ) e la velocia` ella covergeza e` ell orie i /. Si segalao ora alcue versioi el eorema el limie cerale, che sarao uilizzae i quese lezioi (i leeraura soo isoibili risulai iu` geerali); il rimo e` uilizzao er ai crosssecio, gli alri ue er ai ime-series seza auocorrelazioe e co auocorrelazioe riseivamee. Teorema (el limie cerale er rocessi iieei) Sia { x } ua sequeza i variabili aleaorie e si oe = x = x er ogi. i) Se { x } ii...( μσ, ), si ha ( x ) N( ; ) μ Σ e ( ) Σ = Avar( x) = lim var( x ). ii) Se le v.a. x soo (solao) iieei (e quii o equiisribuie), soo oorue ioesi sui momei (o aricolarmee resriive elle alicazioi ecoomeriche), oso 7 La covergeza i isribuzioe i x a x equivale alla covergeza i isribuzioe i λ x a λ x er ogi λ. 8 Sussise il seguee risulao: Se X X e E( r r X ) m ( R ) allora si ha E( X ) = m r. r 4

5 3-Ecoomeria, a.a. 4-5 μ = lim E( x ), si ha = ( ) N( ;Avar( Avar( x) = lim var( x) = lim var( x ) x μ x)) co ( ) Teorema (el limie cerale er iffereze marigale) Se { x } e` ua sequeza i variabili aleaorie ale che, allora { } x è sreamee sazioaria co E( x ) e var( x ) Σ, { x } è ergoica, { } x è ua iffereza marigala (cioè E( x x,, x) = er ogi ), = x N(, Σ ). Le ioesi ell`ulimo eorema el limie cerale o soo eslicie, o solo erche` o soo semlici, ma sorauo erche` elle alicazioi ecoomeriche o ci soo srumei che e assicurio la valiia`. Teorema 3 (el limie cerale er rocessi auocorrelai) Sia { x } u rocesso sreamee sazioario e ergoico co qualche forma i iieeza (iù recisamee i ebole ieeza) er variabili isai riseo all iice emorale (u esemio molo aricolare e` forio ai rocessi MA( q ), che sarao irooi i u rossimo caiolo). = = Poso μ = E( x ), si ha ( x μ) N(,Avar( x)) e Avar( x) = Γ (che e` covergee), + = Γ x x x μ x μ (cfr. 3.9, ro. ). co = cov(, ) = E ( )( ) 3-3 Prorieà asioiche egli simaori OLS: Asioica ormalia` o I risulai reseai i queso aragrafo soo i rimaria imoraza, i quao coseoo i uilizzare gli simaori OLS ella soluzioe i roblemi i ifereza saisica. Teorema (Asioica ormalià egli simaori OLS) Si assume che il rocesso { y, x } soisfa le seguei coizioi: a) È valia qualche versioe ella legge ei grai umeri er il rocesso { xx } ; 5

6 3-Ecoomeria, a.a. 4-5 b) La marice Σ = lim xx ) è iveribile; = c) Sussise ua versioe el eorema el limie cerale er il rocesso { u } x e quii Allora xu N(,Avar( )) x u. = ( βˆ β) N(,Avar( β)) ˆ e Avar( ˆ) Avar( ) β = Σ xu Σ. Dimosrazioe. L assero segue immeiaamee alla rareseazioe e alla c) i eorema i 3-5. β ˆ = β + u xx = x, = Il seguee corollario, la cui imosrazioe segue immeiaamee alle roriea` elle successioi covergei (i robabilia` o i isribuzioe), cosee i uilizzare il receee eorema ei roblemi i ifereza. Corollario Nelle sesse ioesi el eorema, se e` isoibile uo simaore cosisee i Avar( x u), i solio eoao co il simbolo Avar( x u), allora si ha / βˆ ( ) Avar( ) ˆ N (,) β β I (i breve β ˆ β N (,Avar()/ β ˆ )) co ˆ ˆ ˆ Avar( β) = Σ Avar( xu) Σ e ˆ Σ = xx. = Osservazioe : Tui i sofware ecoomerici, i aricolare grel, i ogi roceura i sima, accao a ˆi β riorao la raice quaraa ell i esimo elemeo iagoale i Avar( ˆ β) /, eomiao errore saar i ˆi β, i simboli es..( ˆ β i ), ecessario er fare ifereza sul aramero β i. I alcue circosaze sara` ecessario far riferimeo alla saisica, la cui osservazioe el camioe e` o es..( ˆ β ); er eviare ossibili equivoci, er essa si uilizzera` la oazioe ES..( ˆ β ) (e i es..( ˆ β ), come ivece si e` solii fare). i Osservazioe : Nelle seguei ue siuazioi, frequei elle alicazioi, si ossoo rieere valie le ioesi el receee eorema, mere il roblema ella cosruzioe i uo simaore cosisee i Avar( x u) sara` affroao el rossimo aragrafo. i 6

7 3-Ecoomeria, a.a. 4-5 ) Dai el io cross-secio: I queso caso e` ragioevole assumere che il rocesso { y, x } sia muuamee iieee e quii (soo oorue ioesi sui momei che geeralmee si riegoo valie) sussise il eorema el limie cerale er il rocesso { u } x e la legge ei grai umeri er il rocesso { xx }, mere l iveribilià i Σ, qui come el caso successivo, e cosegueza ell`ioesi i ieificazioe el moello. ) Dai el io ime-series: La siuazioe ora è molo iversa a quella escria el caso receee; er la valiià el eorema el limie cerale si ovrao fare ioesi molo resriive. Per esemio richieere che il rocesso {, } y x sia sreamee sazioario e ergoico (ioesi che assicura la valiia` ella legge ei grai umeri er il rocesso { xx }, ma che er mole imeseries o soo valie) ( ) 9 e il rocesso { u } x sia ua iffereza marigala ( ) o verifichi ua qualche oorua ioesi i ebole ieeza (vei eorema e 3 i 3-). o 3-4 Simaore cosisee ella variaza asioica i ˆβ : Lo simaore i Whie Dalla rareseazioe i Avar( βˆ ), segue che u suo simaore cosisee sara` isoibile o aea si cosruisce uo simaore cosisee i Avar( x u). A al fie si esamiao searaamee i seguei re casi; ei rimi ue la raazioe e` esauriee, el erzo qualche alro eaglio e` ao ell aeice 3.9. Si segala che le cosierazioi ei rimi ue casi soo valie sia er ai cross-secio che er ime-series, mere quelle resei ella iscussioe el erzo caso soo riferie esclusivamee alle ime-series. a) Il rocesso { u } x e` ua iffereza marigala (i aricolare iieee) e gli errori (coizioai) soo omoscheasici, (cioè E( u )( var( u )) E( u ) = σ ). Ω = Ω = σ, a cui segue che 9 Come gia` eo ale ioesi soo molo resriive, erao soo ochi i rocessi che le verificao. L aalisi relimiare ei ai (lo, auocorrelazioe emirica, ) uo` coseire i escluere co ragioevole cerezza la loro valiia` (maggiori eagli si rovao egli esercizi). A queso uo, e` imorae segalare che alcue rasformazioi sui rocessi coseoo i elimiare quelle aomalie che orao a escluere che il rocesso ossa essere sazioario e ergoico; alcue i quese soo Δ x = x x (il iffereziale) e Δ log x = log x log x (il iffereziale logarimico), ques ulima ha u ieressae sigificao ecoomico come iu` vole sara` evieziao egli esercizi. Ua coizioe sufficiee, che ha u semlice sigificao ecoomico, è E( u u, u,, x, x, ) = e i aricolare la coizioe gli errori soo iovazioi cioe` gli errori soo a meia ulla, ra loro iieei e e` iieee a er ogi. Ω Dimosrazioe: E [( ux) ( u x ),( u x ), ] E[ E(( ux) u, u,, x, x, ) ( u x ),( u x ), ] (ci soo ifai iù iformazioi i ( u, u,, x, x, ) che i (( u x ),( u x ), ) = E[ x E( u u, u,, x, x, ) ( u x ),( u x ), ] =. = = 7 u

8 3-Ecoomeria, a.a. 4-5 b) Il rocesso { u } x e` ua iffereza marigala (i aricolare iieee) e gli errori (coizioai) soo eeroscheasici (cioe` E( ) u Ω o e` cosae e erao, seza uleriori iformazioi, orebbe ieere a, a x ma ache a alro; i ogi caso o e` escluso che E( u ) sia cosae, circosaza che ceramee si verifica quao i reseza i ime series si assume che il rocesso { y, x } e` sazioario). c) Il rocesso { u } x e` auocorrelao (geeralmee cosegueza ella reseza i auocorrelazioe el rocesso egli errori; si osservi che ella coizioe i oa 9 o si ice ulla sulla reseza o meo i auocorrelazioe el rocesso { x }). Caso a): Si osserva che: esseo E( u x ) = e E( u x ) = σ si ha x x x x x x x x x var( u) = E( u ) = E E( u ) = E E( u ) = σ E( xx ) (i aleraiva si sarebbe ouo osservare che le variabili u e xx soo o correlae); esseo il rocesso { u } x o auocorrelao, alla legge ei grai umeri segue Avar( xu) = lim var( u) lim E( u ) lim σ x = xx = xx = = ; = lim uˆ lim ˆ = u σ = (cfr. oa i basso ( ) ) (e quii ˆ σ = uˆ = S = = = e`, come S, uo simaore cosisee i σ ). Dalle receei osservazioi e alla rareseazioe i Avar( βˆ ) ˆ Avar( β) = ˆ u = xx = xx = = Caso b): Esseo le variabili el rocesso { u } x o correlae, si ha: segue che u suo simarore e` Avar( xu) = lim var( u) lim E( u ) lim x = xx u = xx = = ; = e co argomei el uo simili a quelli resei ella oa, si ha lim ( uˆ ) lim u xx = xx =. = Dall uguagliaza ( ) ( ) ˆ uˆ = ( uˆ u ) + u = (( uˆ u ) + u u ( uˆ u ) = u + x ( β β) ux ( βˆ β), sommao riseo a, ivieo er e assao al limie (i robabilià) er, si ha lim uˆ = lim u = σ. 8 S = =

9 3-Ecoomeria, a.a. 4-5 Dalle receei segue immeiaamee che ˆ Avar( ) = ˆ u = = = β xx xx xx. Lo simaore ora cosruio e` eomiao iiffereemee simaore i Whie o robuso all eeroscheasicià (HC); alcue sue o sosaziali variai, qui o segalae, soo iicae co HC, HC, HC 3. Caso c): Le variabili el rocesso { x u } soo ebolmee correlae e allora la variaza asioica i x u ha ua rareseazioe che coivolge ache le covariaze elle variabili el rocesso (vei eorema 3 i 3-). U simaore cosisee i Avar( βˆ ) è sao cosruio a Newey-Wes; qualche eaglio sulla sua cosruzioe si rova i 3-9. Nei sofware ecoomerici è iicao co il ome egli auori oure co la sigla HAC (heeroseasiciy a auocorrelaio cosise). Osservazioe : La cosruzioe ello simaore i Whie o richiee alcua iformazioe su E( u Ω ), e` allora ragioevole, e se e avrà coferma iù avai, che, i reseza i oorue iformazioi sulla eeroscheasicia`, i meoi geerali er la cosruzioe egli simaori (fio a queso momeo il meoo OLS che coicie co il meoo ei momei) ossao essere aaai er oeere simaori iù efficiei. A queso uo erò è ache abbasaza aurale orre il roblema ella ricerca i buoi moelli er E( ) u Ω. L argomeo, ell ambio elle serie emorali, ha avuo receemee aricolare aezioe a are egli ecoomerisi, orao a risulai ieressai sia al uo i visa eorico che a quello alicaivo. o 3-5 Aeice: Covergeza elle successioi i variabili aleaorie e il eorema el ela meoo Il riciale risulao i queso aragrafo e` il eorema el ela meoo; il reso el aragrafo e` eicao al richiamo i alcue roriea` (seza imosrazioe ) elle successioi i variabili aleaorie covergei. Proosizioe Sia a () ua fuzioe a valori veoriali coiua. Allora ( ) ( ) a) z α a z a α ; b) z z a z a z. ( ) ( ) Ua immeiaa cosegueza ella a) ella receee roosizioe è la sabilià ella covergeza i robabilià soo le usuali oerazioi arimeiche. Più recisamee 9

10 3-Ecoomeria, a.a. 4-5 x + yβ + γ x β i) xβ, yγ urchè γ y γ x y β γ ii) Y Γ, Γ marice iveribile Y Γ. U risulao aalogo, uilizzao il uo b), si ha er la covergeza i isribuzioe. Teorema (i Slusy) Siao α e A riseivamee u veore e ua marice i umeri reali. a) xx, yα x + yx + α ; b) xx, y yx; c),, iolre se x x A A A x Ax x N ( ; Σ) allora ( ; ) Ax N AΣA ; ) xx, AA, A è iveribile x A xxa ; iolre se allora x x N ( ; A ) χ xa x esseo la imesioe i x. Proosizioe 3 Se x x e { z } è ua sequeza i variabili aleaorie ale che x z (o equivaleemee z = x () + o ; quao cio` accae si ice che le ue sequeze i variabili soo ( ( ) ) asioicamee equivalei) allora z = z x + x x. Teorema 4 (el ela meoo ) Sia z N ( ; Σ) e { x } ua sequeza i veori aleaori i R ali che ( ) x β e x β z. Sia iolre a(): R R r co r, ua fuzioe coiua co le sue erivae e sia A( β) ( r ) a = ( β ) i rago massimo β r. Allora si ha ( ( )) ( ax aβ ) A( β) z N A( β) ΣA( β) ( ) ( ) ; '. Dimosrazioe. Iao al eorema i Lagrage er ogi esise y aareee al segmeo cogiugee x e β ale che

11 3-Ecoomeria, a.a. 4-5 Ora esseo ( )( ) ax ( ) aβ ( ) = A y x β. ( ) i) y β, (i quao { x } coverge i robabilia a β e aariee al segmeo cogiugee e β ); x ( ) ( ) ii) A y A β ; (esseo la fuzioe A coiua); alla c) i eorema, si ha ( ( ) ( )) ax aβ A β z ( ). y 3-6 Tes sulle ioesi: il es i Wal o Il aragrafo e` eicao ieramee alla cosruzioe (ella classe) ei es i Wal, su ioesi lieari o olieari sul aramero β, che come e` aurale hao solao valiià` asioica. Gli argomei a cui si e` fao ceo i -5 ossoo essere uilizzai er cosruire alri es (LM ( 3 ) e LR), la cui reseazioe e` riviaa. Al momeo, quesi ulimi ossoo aarire meo vaaggiosi i quao, mere i es i Wal uilizzao solao il moello o vicolao, che e` ceramee lieare, gli alri ue uilizzao il moello vicolao (il rimo solao quello, il secoo erambi) che i reseza i ioesi o lieari e` o lieare. Il es i Wal o e` comuque esee a icoveiei, uo e` segalao ella osservazioe alla fie el aragrafo. Il coeso i cui la classe i es i Wal e` uilizzabile, e` molo iu` geerale i quello ei moelli lieare, come risula chiaro a quao verra` esoso. Sia ˆβ uo simaore el aramero β (qui o e` ecessario che β sia il aramero i u moello lieare) ale che i) ( βˆ β) N(,Avar( β)), ˆ ii) e` isoibile Avar( ˆ β ) uo simaore cosisee er Avar( βˆ ), Il eorema i Lagrage vale er fuzioi a valori reali, erao è ifferee er ciascua cooriaa ella fuzioe a(), ma ciò è irrilevae; ciò che coa è che ciascu y aariee al segmeo cogiugee x e β. 3 Daa la semlicia` i realizzazioe, si escrive il es LM el caso i ioesi el io H, er il moello : β = lieare co iercea e errori omoscheasici y = x β + u e β = ( β, β ), seza forire alcua giusificazioe. Primo u la sequeza ei resiui. Secoo asso: Si sima co il meoo OLS il moello asso: Si sima il moello e sia { } ˆ ausiliario u = x γ + error e si cosiera il coefficiee i eermiazioe. Terzo asso: Si rifiua l ioesi ulla se R ˆ c, α > χ, esseo la imesioe i β. y R c

12 3-Ecoomeria, a.a. 4-5 e si cosierao le seguei ue ioesi saisiche sul aramero β : { ) (Ioesi lieari) H : Rβ = b, H : Rβ b, esseo R ua marice i orie r, co r e i rago massimo. r ) (Ioesi o lieari)) { H : a( β) =, H : a( β), esseo a: R R ( r ) c la marice a( β) A( β) = ha rago massimo. ( r ) β Cosruzioe el es i Wal co livello i sigificaivia` α : Caso Si cosiera la saisica Avar( βˆ ) R ( ˆ ) ( ˆ R W = Rβ b) Rβ b (4), eomiaa la saisica i Wal er l ioesi H (essa misura la isaza esaa i Rβˆ a b(= Rβ) quao H e` vera, co eso ari all iversa ella sima ella variaza) e er essa si ha ( Rβˆ b) N (, RAvar( βˆ) R ), Avar( ˆ β) Avar( β ˆ ) e R β ha imesioe r. Da ques ulima roriea`, alla efiizioe i W e alla roriea` ) el eorema i -5, segue che, W χ r e erao il es co livello i sigificaivià α, valio er camioi sufficieemee grai, e` Si rifiua l ioesi H se W χr, α >. Caso I queso caso, esseo ( ˆ ) a( β) a( β ) N( Aβ, ( )Avar( βˆ ) A( β )) (segue al eorema el ela meoo ); A( βˆ ) A( β) ; Avar( ˆ β) Avar( β ˆ ) ; la saisica i Wal er l ioesi H (cioe` la isaza esaa i a( βˆ ) a ) ha la seguee rareseazioe W β A β ( ˆ ) ˆ ˆ ˆ ( ˆ A( β)(avar( )) ( ) = a( β) ) a( β), 4 Nella cosruzioe i es su ioesi, sui arameri i u moello co errori eeroscheasici, grel eoa acora co F la saisica es, ma i queso caso essa e efiia all uguagliaza F = W / r..

13 3-Ecoomeria, a.a. 4-5 iolre, ell ioesi, acora alla ) i eorema i -5, segue che H, W χ r che cosee, come rima, la cosruzioe el es co valiia` asioica e co livello i sigificaivia` α. Osservazioe: E ooruo ricorare che, quao gli errori soo omoscheasici, la saisica i Wal (er ( ) ioesi lieari) coicie co rf, esseo F la saisica i Fisher, 5 mere quao gli errori soo eeroschasici la saisica F o ha l usuale sigificao, ma e` efiia come W / r. La saisica i Wal er ioesi o lieari resea il grosso icoveiee i o essere ivariae riseo alla rareseazioe ella ioesi ; i realà i valori assui alla saisica ello sesso camioe ossoo essere molo iversi i reseza i ifferei, ma equivalei rareseazioi (.es. H A B H : ββ = e H : β = er il moello y = β + βx + βx + u ). β Osservazioe (come remessa a qualche geeralizzazioe, cfr. ca. 4): Ua leura suerficiale el coeuo i queso caiolo uo` far esare che la rareseazioe aaliica ello simaore el aramero β abbia u ruolo i rimaria imoraza (come eralro accae el caio ). I reala` e` ecessario solao che lo simaore esisa er grae (ieificabilia` al fiio); le roriea` (forse) orebbero essere sabilie seza uilizzare la rareseazioe (er uo suee i maemaica ale ircosaza o ovrebbe sembrare sraa), mera la sima, i quao miimo i ua fuzioe obieivo, e` iiviuabile co meoi umerici. o 3-7 Tes sulle ioesi: Il Meoo Boosra Nella cosruzioe ei es, il roblema riciale e` quello i iiviuare la isribuzioe i robabilià, ell ioesi H, ella saisica che iiviua la classe ei es (ea brevemee saisica es ). Il roblema ciao o e` ero` i facile soluzioe. I risulai oeui ei aragrafi receei, o soo cero soisfacei er varie ragioi, ra le alre soo er il momeo valii i moelli molo semlici, hao solao valiia` asioica e allora lasciao semre seza risosa la omaa: il camioe a isosizioe e` realmee grae? Il riciio che sara` euciao iu` avai cosee i affroare il roblema a u alra 5 [( )/ ]/[ /( )] F = RSSR USSR r U SSR (cfr.-4). 3

14 3-Ecoomeria, a.a. 4-5 agolazioe e i oeere risose, quao o ci soo alre roceure e alvola ache migliori quao ci soo. La sua alicabilia` o e` limiaa alla sola cosruzioe i es, come orebbe aarire alla leura i queso aragrafo.. Defiizioe Se M e` u moello (uque u isieme i sruure) er ua oolazioe o equivaleemee er u DGP (Daa Geeraig Process) e M e` la (vera) sruura che ha geerao i ai a isosizioe (il camioe ella oolazioe), ua eveuale sruura (o DGP) ˆM el moello, iiviuaa (co meoi saisici) araverso i ai e` ea DGP-Boosra. Osservazioe: No si eve cofoere il moello M ella efiizioe co il moello ( M ( θ)) sul quale si eve fare ifereza. E abbasaza ragioevole rieere che il rimo ebba coeere il secoo, er il reso o ci soo alre limiazioi; o e ecessaria eure ua sua rareseazioe, serve solao iiviuare (i qualche moo) quello che ella efiizioe è eomiao DGP-Boosra. Solao se il moello sul quale si fa ifereza è comleamee secificao la ricerca el DGP- Boosra è i qualche seso saar; ifai se M ( θ) e la sruura caraerizzaa al aramero θ, sarà sufficiee cosierare M ( θˆ ) co ˆθ sima i θ. I ui gli alri casi si ovrao uilizzare roceure a hoc er iiviuare ˆM e o è eo che esso ebba essere ua sruura el moello sul quale si fa ifereza (vei l ulimo esemio i queso aragrafo). Il riciio el boosra ( 6 ) : Nei roblemi i ifereza, il moo reale (evieemee o oo) rareseao alla sruura M (i u moello M ) uo` essere sosiuio al moo boosra θ (oo e quii simulabile) rareseao alla sruura ˆM. ( 7) Osservazioe: Le risose ai roblemi i ifereza, oeue uilizzao il riciio el boosra, o orao che essere arossimae. Si richiama l aezioe sul ermie arossimao che o ha alcu sigificao, se o accomagao a alre iformazioi. I u file i commei alla lezioe el 9--4 e` sao escrio il meoo boosra er la cosruzioe i sime i iervallo; basa oco er covicersi che ach esso si basa sullo sesso riciio. 6 Il riciio el boosra fu formulao a Efro el Si segala che come ui i ricii, quello ora euciao e` uilizzao frequeemee seza orsi ai roblemi, (come er esemio se ci soo le coizioi er la sua valiia` e qual e` la qualia` ell arossimazioe; i risulai su ali quesioi soo comlicai e o esauriei) secialmee ei casi i cui o ci soo meoi aleraivi. Nauralmee quao si uilizzao quese roceure seza u miimo i suoro eorico, orebbe accaere che le risose siao comleamee errae. 4

15 3-Ecoomeria, a.a. 4-5 Si reseao ora alcue semlici alicazioi el riciio el boosra ella cosruzioe ei es, forse i grao i chiarire i ui rimasi oscuri ella breve irouzioe. Nella are fiale el aragrafo, si esamia u caso i cui la cosruzioe el es co il meoo boosra richiee qualche accorgimeo o el uo ovvio. Nel iolo el rimo esemio, si usa l esressioe Moe Carlo (e o boosra); i quao ella iscussioe o si uilizza il riciio el boosra, ma si eseguoo solao simulazioi. Cio` e` reso ossibile al fao che il moello aramerico M ( θ) sul quale si fa ifereza e` comleamee secificao (e uque, come segalao i ua receee osservazioe il moo boosra è la sruura M ( θˆ )); come moo-boosra si uo` erò reere u qualuque M ( θ) (o ecessariamee M ( θˆ )), ache se elle alicazioi er ragioi umeriche, e` referibile usare M ( θˆ ). L esemio comuque forisce sui su come il riciio el boosra uo` essere uilizzao.. La efiizioe che segue iiviua ue classi i es; er la rima si uo` usare il meoo i Moe Carlo (e quii solo simulazioi), er la secoa il riciio el boosra e` ceramee e efficacemee uilizzabile (la moivazioe i ques ulima affermazioe o e` rioraa, er le ragioi ee ella oa 7). Defiizioe : U es saisico si ice ivoale se, ell ioesi H, la isribuzioe ella saisica che lo efiisce è la sessa quale che sia il DGP (er ua fissaa lughezza el camioe e er assegai valori elle variabili esogee) el moello. U es si ice asioicamee ivoale se a resare ivariaa è solao la isribuzioe asioica. Osseravzioe: I es cosruii el caiolo soo ivoali, quelli cosruii el aragrafo 3.6 soo asioicamee ivoali. Il Meoo i Moe Carlo (er il calcolo el valore i u es ivoale) ( 8 ) : I queso caso si richiee ache che il moello M ( θ) sia comleamee secificao. Sia T la saisica che si uilizza er la cosruzioe el es, sia ˆ τ il valore assuo a T el camioe i lughezza a isosizioe e si suoga che la classe ei es sull ioesi sia el io Si rifiua H se T > c. Esseo il es saisico ivoale, la isribuzioe ella saisica che lo efiisce (che orebbe 8 La escrizioe el meoo uo` (forse) risulare iu` semlice se si fa riferimeo al moello lieare classico y = α + βx + γz + co u N(, σ I ) e all ioesi H γ =, er la quale il be oo es e` ivoale. Qui la classe ei es e` Si rifiua H se T u : > c co T = ˆ γ / ES..( ˆ γ ). 5

16 3-Ecoomeria, a.a. 4-5 eveualmee ieere alle variabili esogee resei el moello), rimae la sessa quale che sia il DGP el moello che verifica l ioesi H. Si escrivoo i assi che coseoo i cosruire la isribuzioe emirica i T (quao l ioesi H e` vera), e il -valore el camioe. Sarà omessa la cosruzioe el valore criico er u fissao livello i sigificaivia`, che er la veria` o resea aricolari ifficolà aggiuive. Se Si sima il moello uilizzao i ai a isosizioe e si calcola il valore ˆ τ ella saisica T el camioe. Se Si fissa ua (qualuque) sruura M ( θ) che verifica l ioesi H, ea DGP-Moe Carlo ( 9 ). Se 3 Cosruzioe i ( τ,, τ B ), B simulazioi ella variabile T, co B u fissao iero. ( ) E` sufficiee escrivere la cosruzioe i τ : Si cosierao simulazioi el DGP-Moe Carlo (o imeicare che il moello e` comleamee secificao), co esse si sima il moello M ( θ) e si calcola τ (il valore ella saisica T el camioe uilizzao ella sima). Qualche uleriore eaglio è forio ella oa i basso ( ). Se 4 (calcolo el -valore ) Per la classe i es cosierai, il -valore (relaivo al camioe a siosizioe) o è alro che PT ( ˆ τ H), allora ua sua sima è aa al suo valore emirico e uque alla frazioe ei τ che soo maggiori i ˆ τ ; i simboli ˆ- valore = I( > ) = I( B B B τ ˆ τ τ = B = τ ˆ), ove è I( τ ˆ τ) = quao τ ˆ τ, alrimei è uguale a. 9 Se si fa riferimeo al moello e all ioesi ella receee oa, baserà cosierare ua sruura el moello che ha γ = e valori arbirari er gli alri arameri α, β e σ ; er esemio α =, β = e σ =. I realà, qualche recauzioe ella scela ei valori ei arameri va resa, er eviare roblemi i caraere umerico; orebbe allora essere coveiee cosierare le sime OLS ˆ, α ˆ β e ˆ σ cosruie i se (o valori a a essi umericamee vicii); i al caso si oiee quello che e` sao eomiao DGP-Boosra.. Sulla scela i B, al uo i visa eorico, è richieso solao che sia sufficieemee grae. Dal uo i visa umerico si rova che er eviare uleriori arossimazioi, er es co livelli i sigificaivià saar, buoe scele soo 99, 99, 99,.; e` ooruo che ( B + ) α sia u iero. Daviso e MacKio suggeriscoo i rieere la roceura er iversi valori i B crescei e i fermarsi quao er il fissao livello i sigificaivià la ecisioe suggeria al es è chiara. Cosruzioe i simulazioi el DGP-Moe Carlo: Si effeuao simulazioi i ua ormale co meia e variaza ˆ σ, siao ( u, e si oe er,, u ) y α β x u = ˆ + ˆ + =,,. Calcolo i τ : Co il camioe ( y, x, z) er =,, si sima il moello o risreo y = α + βx + γz + u e si eoa co τ il valore ella saisica T el camioe. 6

17 3-Ecoomeria, a.a. 4-5 Il meoo boosra (o Boosraig) (er u es o ivoale): Ora la saisica es orebbe essere, oure o, asioicamee ivoale (come già segala, el caso la saisica sia asioicamee ivoale ci soo alcui risulai eorici sulla qualia` ell arossimazioe), iolre il moello orebbe essere a) comleamee secificao (il geerico DGP (o sruura) el moello è caraerizzao solao a arameri reali); b) arzialmee secificao (i arameri el moello o caraerizzao il geerico DGP). Nell alicazioe el ricio el boosra o ci soo roceure saar, e allora o si ora` che roceere co egli esemi. Iizialmee si cosierao ue semlici moelli lieari, successivamee si cosiera u moello leggermee iu` comlesso, ove l alicazioe el meoo richiee qualche aricolare accorgimeo. Il Meoo Boosra el caso i moelli comleamee secificai: Si cosiera il moello y x β z γ δ y u u i σ (co β R, γ R, = + ) = + + +,.. (, ) e l ioesi saisica H γ =. : Si osserva relimiarmee: y La reseza i ra i regressori ree il veore ei regressori o sreamee esogeo (ma solao reeermiao o esogeo); Le sime OLS ei arameri soo cosisei e la saisica W( F) cosruzioe el es e` asioicamee ivoale; W ha isribuzioe asioica χ ; Nella roceura i sima la rima osservazioe (,, ) moello i ; y = che si uilizza er la y x z è iuilizzabile er la reseza el Se l ioesi H è vera (uque γ = ), e si eoa y = x β + δ y + u, u i.. (, σ ) co M ( θ) ; il moo reale e` allora M ( θ ), aveo eoao co il veore ei valori veri ei arameri. Cosruzioe el es-boosra: Se Si sima il moello origiario (o risreo) e sia ˆϕ il valore ella saisica ( SSR SSR) F = R U USSR /( ( + )) uilizzabile la rima osservazioe. / el camioe a isosizioe i imesioe θ ; ricorare che o e` Se (Cosruzioe el DGP-Boosra o moo boosra) Si sima (co il meoo OLS) il 7

18 3-Ecoomeria, a.a. 4-5 moello M ( θ) (cioe` = + + x β ) uilizzao i ai isoibili { y,, } =,, y δ y u x z ; siao β,δ e σ la sima ei arameri. Il DGP-Boosra (moo boosra) ˆM e` allora la sruura M ( θ ): y = x β + y + u u i, co coizioe iiziale. δ,.. (, σ ) I successivi ue se riroucoo esaamee gli Se 3 e 4 escrii receeemee; il DGP- Moe Carlo è qui sosiuio al DGP-Boosra. Se 3 Cosruzioe i ( ϕ,, ϕ ), camioe-boosra ella saisica F ( ), i imesioe B. Proceura er il calcolo i ϕ : B Si cosiera u camioe ( u,, u ) i lughezza a ua isribuzioe cosruiscoo (er ricorreza) le y ( = y ) ; y = osservazioi ( ),, y =,, y N(, σ ) e si al DGP y = x β + δ y +, Si cosiera il camioe (, x, z ), eomiao camioe-boosra, e sia ella saisica F i esso. u ϕ il valore Se 4 (il calcolo el -valore ) Si rocee come i se 4 ella escrizioe el Meoo i Moe Carlo. Osservazioe: Il meoo boosra ora escrio si ice aramerico, i quao la cosruzioe el DGP-boosra e` faa uilizzao solao sime arameriche Il Meoo Boosra el caso i moelli arzialmee secificai: Si fa acora riferimeo al receee moello y = x β + z γ + δ y + u, ma ora si suoe che...(, ) e si u ii σ cosiera acora l ioesi H : γ =. Gli se er la cosruzioe el camioe boosra i F soo esaamee gli sessi escrii receeemee, si eve solao sosiuire i Se 3 l esressioe co Si cosiera u camioe Si cosiera u camioe i lughezza ( u,, u ) i lughezza a ua isribuzioe alla oolazioe { u u },, N(, σ ) ove ( ) u =,, soo i resiui ella sima OLS i se. (Per realizzare la roceura ora escria co grel vei User s guie all Hel, ag. 34, esemio 5.). Osservazioe: i) Il meoo boosra ora escrio si ice o aramerico, i quao ella cosruzioe el Qui si simula la isribuzioe che ha la saisica F el moo boosra, mere el receee esemio si simula la isribuzioe che ha la saisica F i u qualuque moo e quii ache i quello reale. 8

19 3-Ecoomeria, a.a. 4-5 DGP-boosra si uilizza la isribuzioe emirica ei resiui. ii) Per ua giusificazioe iformale ell uilizzo ella isribuzioe emirica ei resiui, si osserva che er ua variabile aleaoria la cui isribuzioe o è oa (el caso i esame la variabile errore (u )) se soo isoibili sue osservazioi, ua simulazioe ella sua isribuzioe emirica si oiee effeuao esrazioi co resiuzioe alle osservazioi; esseo le sime OLS cosisei, le osservazioi ella variabile u che o soo isoibili ossoo essere sosiuie ai resiui. Alre roceure Boosra: Nei receei esemi sembra esseziale l ioesi i omoscheasicia` egli errori el moello. Se cosi` fosse il meoo avrebbe avuo u limiao camo i alicazioe (i ecoomeria e` molo resriiva l ioesi i omoscheasicia`), ma o e` cosi; i leeraura si rovao vari meoi che coseoo la reseza egli errori ella eeroscheasicia` e/o ella auocorrelazioe. Qui e` cosruio u es boosra, rooso a Freema el 98, su u ioesi lieare er u moello i regressioe lieare co errori eeroscheasici e co ai el io cross-secio. Siao (, x, z ) ai el io cross-secio, y = x β + z γ + u, E( u x, z ) = u moello y =,, (er i ai a isosizioe) correamee secificao e ieificao co errori eveualmee eeroscheasici. Cosruzioe el es boosra (calcolo el -value) er l ioesi saisica { H γ =. Se Si sima il moello co errori eeroscheasici co il meoo OLS, siao ˆβ e ˆγ le sime ei arameri e sia il valore ella saisica W (i Wal) er l ioesi H, el camioe; ŵ ( 3) y =,, Se (Cosruzioe el DGP-boosra) Si cosiera come moo boosra (o DGPboosra) la oolazioe (fiia) ei ai (, x, z ). Osservazioe: Si aicia che le iverse le i simulazioi el moo boosra o verificherao l ioesi (come ivece sembra che sia ecessario, se si guarai i receei esemi), sara` erao ecessario qualche aggiusameo alle receei roceure che oevao sembrare saar. H Se 3 Cosruzioe i ( w,, w B ), camioe-boosra ella saisica W, i imesioe B. Proceura er il calcolo i w : : 3 Noare che ache i queso caso, la scela faa è coeree co la efiizioe, si è cosierao come moello quello baale cosiuio alla oalià elle sruure 9 M

20 3-Ecoomeria, a.a. 4-5 Per cosruire osservazioi (, x, z ) al DGP-boosra, si effeuao esrazioi y =,, co resiuzioe all isieme {,, }, siao ( i,, i ) e si oe ( y, x, z) = ( yi, xi, zi ) er =,,. Come gia` osservao il camioe boosra (, x, z ) o verifica l ioesi H e allora si y =,, usa il seguee accorgimeo: si cosiera w, il valore ella saisica (i Wal) W er l ioesi { H ˆ : γ = γ, ove ˆγ e` la sima i γ oeua i se. Se 4 (il calcolo el -valore er il es sull ioesi { H : γ = ) Si rocee come ei casi receei uilizzao il valore ella saisica ŵ e il camioe boosra ( w,, w B ) er W. Osservazioe: I u aricolo el 999, Flachaire roose la seguee moifica al receee se : Se (Cosruzioe el DGP-boosra) Sia ( u ˆ ),, = il veore ei resiui ella sima OLS el moello o risreo e β la sima OLS el moello risreo (alla coizioe γ = ). Allora il DGP-boosra e` ao alla oolazioe fiia (, x, z ) co y = x β + ˆ e verifica ovviamee l ioesi ulla. y =,, Gli alri assi rimagoo ialerai, co la sola moifica che quesa vola DGP-boosra verifica l ioesi H u 3-8 Aeice: Efficieza asioica egli simaori OLS o Lo scoo eslicio i queso aragrafo è quello i rovare l asioica efficieza (il cui sigificao sarà chiario el eorema che segue) egli simaori OLS ei moelli lieari co errori omoscheasici. I reala` l aseo iu` ieressae e` mosrare come cosruire alri simaori i β che o richieoo l aareeza i x a Ω. Maggiori eegli su queso aseo si rovao el caiolo 7. Si fa semre riferimeo al moello lieare resee all iizio el caiolo e si suoe che sussisao le ioesi che reao lo simaore ˆ( = ˆOLS ) β β asioicamee ormale. La classe egli simaori cosruii co il meoo ei momei. Il meoo ei momei escrio el caiolo suggerisce la seguee roceura er la cosruzioe i alri simaori i β. Sia ifai { w } u rocesso i imesioe ale che i) w Ω er ogi (e quii E( w u ) = ),

21 3-Ecoomeria, a.a. 4-5 ii) Il rocesso {,, } orie, y x w e` sreamee sazioario e ergoico e iolre la marice quaraa i ef Σ E( ) lim wx = wx = wx, e` iveribile, ( ) = iii) Il rocesso { u } w e` ua iffereza marigala, allora, cosierao la versioe emirica ell`uguagliaza i i), si oiee l`equazioe (veoriale) che er la ii) ha u`uica soluzioe (er β ˆ w e` eo simaore i esogee). Prorieà e osservazioi: wu ( y ) = w xβ = =, = gae) ˆ β y w = wx u w = β + = wx = w ; = = β co il meoo ei momei relaivo a { w } (rocesso elle variabili ) Solao er ragioi i semlicià formale si fa riferimeo a rocessi el io ime-series, ma quao si ira` e valio ache er ai el io cross secio. Nauralmee si assume che siao valii (quao ecessario) la legge ei grai umeri e il eorema el limie cerale. ) La cosruzioe i ˆ w o richiee l esogeeià el rocesso β { x } legame ra w e x che assicuri l iveribilià i E( wx ) ; 3) βˆ w e` uo simaore cosisee i β ; 4) ( ˆ ) N(,Avar( ˆ β β β )) co ˆ = ( ) ( ) w w Avar( βw) Σwx Σuw Σ wx, ove Σu lim var u E( u ) lim u w = w = w w = w = w =., ma solao u qualche Per la valiia` elle seguei roriea` 5) e 6) si eve suorre che gli errori el moello siao omoscheasici, cioe` E( u Ω ) = σ. ef 5) Σu E( u ) σ E( w = ww = ww ) = σ Σw co Σ lim w = ww, = W ( ) 6) Per ogi, eoaa co la marice elle osservazioi i elle osservazioi i ( x ) ( ), si ha WX WW Σ wx = lim, w = lim w e co X la marice Σ Avar( βˆ ) = σ lim ( WX ) ( WW )( XW ) w

22 3-Ecoomeria, a.a ) Per ogi si ha WX WW XW XX o equivaleemee (cfr. iv) i -3) ( ) ( )( ) ( ) ( ( W ) ) ( )( ) ( ) ( ) ( I P ) XW WW WX XX X X. W L ulima isuguagliaza, cioè che la marice X ( I P ) X è semiefiia osiiva, si rova immeiaamee. Ifai esseo ( I P W ) ua roiezioe orogoale si ha ( ) = ( ) quii er ogi z R, si ha z X Xz z X Xz Xz. ( I P ) = ( I P ) ( I P ) = ( I P ) W W W W Dalle receei segue immeiaamee I P I P e W W Teorema: Se il rocesso { w } verifica le receei coizioi i), ii) e iii) e gli errori soo omoscheasici, allora si ha ( ˆ OLS ) Avar( βˆ) = Avar( β ) Avar( β ˆ w ). Il coeuo el eorema si uò riassumere brevemee el moo seguee: I reseza i omoscheasicià egli errori, lo simaore ra ui gli simaori cosruii co il meoo ei momei. OLS è il iù efficiee (asioicamee) 3-9 Aeice: Lo simaore i Newey-Wes (o HAC) Si remee il seguee semlice risulao sulle successioi umeriche, che sara` uilizzao er forire ua rareseazioe ella variaza asioica ella meia arimeica i u rocesso socasico auocorrelao. Lemma : Sia ( a ) ua successioe umerica. i) a a, = ii) = a coverge a. = Dimosrazioe ii) Iao sussisoo le seguei: a) a = a+ a + + a = ( a+ + a) + + ( a + a) + a = a, = = = b) er N fissao, N si ha N a = a a + a = = = = = = N+ =. Ora si osserva che alla covergeza ella serie seguoo le seguei ue rorieà

23 3-Ecoomeria, a.a. 4-5 c) Esise M > ale che covergei) a a + a M er ogi, (limiaezza elle serie = = = ) Fissao ε > esise N ale che m a < ε er N l m = l < < (crierio i Cauchy), ha I efiiiva a b), c) e ) segue che er u fissao ε e u fissao N come i ) e er > N si NM ( N )ε a + = e quii l assero. Dimosrazioe i i): Si rocee sosazialmee come ella rova i ii) (uilizzao la ovvia isuguagliaza N a a + a ). = = = N+ Proosizioe Sia { x } u rocesso veoriale (ebolmee) sazioario. Poso se la serie Γ = cov( x, x ) = E( xx ) = E( ) x x =Γ er ogi Z, + + Γ e` covergee, allora si ha Avar( x) ( = lim var( x ) = Γ. = = Dimosrazioe: Iao si ha var( x) = var( x+ + x) = cov [( x+ + x),( x+ + x) ] = = ( ) ( ) ( Γ + +Γ + + Γ +Γ + +Γ Γ + +Γ ) = = Γ = Γ Γ. = + = + = + L assero segue alla ii) el lemma, o aea si assa al limie er. Lo simaore i Newey-Wes. Dalla receee roosizioe, oso Γ = cov( ux, u x ) = E( uu x x ), si ha + Avar( x u) = Γ =Γ + ( Γ +Γ ), = = iolre uo simaore cosisee i Γ e` evieemee ˆ Γ = uu ˆˆ xx (er ogi ); si oi = + che er ale cosruzioe soo uilizzae solao osservazioi. 3

24 3-Ecoomeria, a.a. 4-5 La ifficolà ella cosruzioe ella sima cosisee i Avar( x u) sembra ieere alla sua rareseazioe come somma i ua serie. La ifficolà erò è solo aaree el caso i cui sia oo che esise q > ale che Γ = er > q ; i queso caso evieemee si ha Avar( x u) = Γ ˆ ˆ + ( Γ +Γˆ ). q = Per affroare il caso geerale, uo` sembrare ragioevole riurre la somma ella serie a ua somma fiia (la successioe Γ e` ifiiesima e quii i Γ soo umericamee rascurabili a u cero iice i oi), ma si e` osservao che co quesa roceura sesso si oiee ua sima i Avar( x u) che o e` efiia osiiva (circosaza che crea umerosi icoveiei). Newey-Wes esaroo allora o solo i riurre la serie a ua somma fiia, ma i esare i vari aei, ao maggior eso a quelli la cui sima uilizza iu` osservazioi. Piu` recisamee essi rovaroo che er ua oorua scela i q( = q( ) ) (che qui o e` rioraa, comuque crescee co ) + + q Avar( x ˆ ) ˆ ˆ ˆ u =Γ ˆ + ( Γ +Γ ) =Γ + ( Γ ˆ +Γ) = q = q. e` uo simaore cosisee i Avar( x u), la cui cosruzioe o resea aricolari roblemi i aura umerica e è resee i ui i sofware ecoomerici. Per cocluere si segala che oo Newey-Wes soo sai uilizzai alri esi ella cosruzioe ello simaore i Avar( x u). o 4