Approssimazione di funzione continue con polinomi: i polinomi di Bernstein ed il Teorema di Stone-Weierstrass

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1 Approssimazione di funzione continue con polinomi: i polinomi di Bernstein ed il Teorema di Stone-Weierstrass In questo incontro vogliamo affrontare il problema dell approssimazione di funzioni continue con polinomi. Probabilmente, a tutti vengono subito in mente i polinomi di Taylor, ma non sempre questa è una buona scelta! Innanzitutto, i polinomi di Taylor richiedono una notevole regolarità della funzione da approssimare (perché nella definizione dei polinomi di Taylor compaiono derivate di ordine alto. Inoltre, abbiamo visto che esistono funzioni che, pur essendo regolarissime, non sono analitiche: la loro serie di Taylor non converge alla funzione da approssimare. Ancor peggio, esistono funzioni analitiche per le quali la serie di Taylor centrata in un punto x 0 converge alla funzione solo in un certo intervallo centrato in x 0, che può benissimo essere molto più piccolo di quello cui siamo interessati! Ne segue che l approssimazione deve essere fatta in qualche altro modo: è però confortante sapere che questa è sempre possibile. Il teorema di Stone- Weierstrass assicura infatti che ogni funzione continua può essere approssimata uniformemente su un intervallo chiuso e limitato con una successione di polinomi. Vediamo di capire per prima cosa che significa l avverbio uniformemente nell enunciato! Data una funzione f : [a, b] R, verrebbe spontaneo dire che una successione di funzioni f n : [a, b] R approssima la funzione f se lim n + f n(x = f(x qualunque sia x [a, b]. Questa in effetti è una legittima nozione di approssimazione (si dice in questo caso che le funzioni f n convergono puntualmente alla funzione f...ma la richiesta che abbiamo fatto è talmente debole che la convergenza può essere veramente pessima, come si vede dall esempio seguente. ESEMPIO: Consideriamo la successione di funzioni continue f n : [0, ] R definita da n 2 x se x [0, /n] f n (x = 2n n 2 x se x [/n, 2/n] 0 se x [2/n, ] Per ogni fissato x [0, ], si ha lim f n(x = 0. D altra parte, è abbastanza n + evidente che ciascuna delle funzioni f n è una pessima approssimazioni della funzione nulla: essa presenta un picco di altezza n nel punto x = /n... Una nozione di convergenza che assicura un approssimazione migliore viene dalla definizione di distanza uniforme tra due funzioni.

2 DEFINIZIONE: La distanza uniforme tra due funzioni continue (o tra due funzioni limitate f, g : [a, b] R è definita da d (f, g := sup{ f(x g(x : x [a, b]}. (Se le funzioni sono continue, il sup è in realtà un massimo. Diremo che una successione di funzioni f n : [a, b] R converge uniformente ad f : [a, b] R se lim n + d (f n, f = 0. Questo equivale a dire che per ogni ε > 0 esiste ν N tale che f n (x f(x < ε n ν, x [a, b]. In altre parole, abbiamo convergenza puntuale e la velocità di convergenza è la stessa in tutti i punti dell intervallo [a, b]. Si noti che nell esempio sopra non si ha convergenza uniforme: la distanza uniforme tra f n e la funzione nulla è n. ESERCIZI I:. Mostrare che la distanza tra funzioni d gode delle seguenti proprietà: (a d (f, g 0 per ogni coppia di funzioni continue f, g, inoltre d (f, g = 0 se e solo se f g; (b d (f, g = d (g, f per ogni coppia f, g (simmetria; (c d (f, g d (f, h+d (h, g per ogni terna f, g, h (disuguaglianza triangolare; Siccome,per definizione, una distanza sull insieme delle funzioni continue è una funzione che gode delle tre proprietà appena viste, la nostra scelta dei termini è legittima! 2. La distanza uniforme d non è la sola possibile distanza sull insieme delle funzioni continue: mostrare che anche le funzioni d e d 2 definite di seguito sono distanze tra funzioni continue nel senso dell esercizio.: d (f, g = b a ( b /2 f(x g(x dx, d 2 (f, g = f(x g(x dx La convergenza uniforme è abbastanza forte da preservare la continutà: mostrare che se una successione di funzioni continue f n : [a, b] R 2 a

3 converge uniformemente ad una funzione limitata f : [a, b] R, allora la funzione limite f è continua (Sugg.: si deve usare l uniforme continuità delle funzioni f n. Questo è falso per la convergenza puntuale: è facile costruire una successione di funzioni continue che convergono puntualmente ad una funzione discontinua! 4. Lo spazio delle funzioni continue dotato della distanza d è completo nel senso che tutte le successioni di Cauchy convergono. Le successioni di Cauchy si definiscono esattamente come in R: una successione di funzioni continue f n : [a, b] R si dice di Cauchy se per ogni ε > 0 esiste ν N tale che, per ogni m, n ν si abbia d (f m, f n < ε. Mostrare che una successione di Cauchy di funzioni continue converge uniformemente ad una funzione continua. 5. Lo spazio delle funzioni continue non è invece completo rispetto alle distanze d e d 2 definite nell esercizio 2. Si provi a costruire una successione di funzioni continue che sia di Cauchy rispetto alle distanze d e d 2, ma converga (rispetto a quelle distanze! verso una funzione discontinua. 6. (Polinomi interpolatori di Lagrange Data una funzione continua f : [a, b] R e n punti a x < x 2 <... < x n b, mostrare che il polinomio di grado minore o uguale a n dato da P (x = f(x (x x h (x x h h = interpola f nei punti x, nel senso che P (x = f(x, =,..., n. Siamo ora in grado di enunciare il teorema di Stone-Weierstrass: TEOREMA (Stone-Weierstrass: Data una funzione continua f : [a, b] R è possibile trovare una successione di polinomi P n : [a, b] R in modo tale che P n f uniformemente. Esistono vari modi di costruire una successione di polinomi che godono di questa proprietà. Un idea ingenua potrebbe essere quella di suddividere l intervallo [a, b] in n parti uguali, e poi di costruire un polinomio che interpoli f nei punti di suddivisione: questo si realizza facilmente, per esempio tramite il metodo visto nell ultimo esercizio. Questa sarebbe però una pessima idea a causa di noti fenomeni di instabilità dei polinomi interpolatori. 3

4 Per esempio, si consideri la funzione (regolarissima! f(x = /( + x 2 sull intervallo [ P i, P i]. Le tre figure che seguono mostrano i polinomi interpolatori di grado 5, 0 e 20 ottenuti usando punti di interpolazione equispaziati. Come si vede, aumentando il numero di punti di interpolazione, l approssimazione anziché migliorare peggiora! y y y x x x L approssimazione riesce meglio se anziché prendendere un polinomio interpolatore se ne sceglie uno che smussi un po le oscillazioni di f grazie ad opportune medie pesate. Un modo elegante di realizzare quest idea è quello di scegliere i polinomi di Bernstein associati a f. Se supponiamo, senza perdita di generalità, che [a, b] = [0, ], essi sono definiti nel modo seguente: P n (x = B f n(x = =0 f(/n x ( x n. Cosa sta succedendo? Come si vede, la funzione da approssimare f è calcolata nei punti di suddivisione /n, ottenuti suddividendo l intervallo [0, ] in n parti uguali. Sostanzialmente, in un punto x [a, b] il polinomio di Bernstein Bn(x f realizza una media pesata dei valori di f nei punti di suddivisione, utilizzando come pesi i polinomi p n, (x = x ( x n. Come vedremo tra poco, questi pesi hanno la proprietà di privilegiare molto i valori di f nei punti di suddivisione vicini a x, ignorando quasi i valori nei punti lontani. Vedremo anche come di questo fatto possa essere data un interpretazione probabilistica in termini della legge dei grandi numeri... il che costituisce un ulteriore attrattiva dei polinomi di Bernstein! Verifichiamo pre prima cosa che la somma dei valori assunti da f nei punti del tipo /n, pesati con i polinomi p n,, è proprio una media pesata di tali valori. Perché questo sia vero, occorre che i pesi siano positivi (il che è 4

5 evidentemente vero, e che la loro somma sia : quest ultimo fatto si verifica subito grazie alla formula del binomio di Newton, in quanto p n, (x = =0 =0 x ( x n = (x + ( x n =. Gli esercizi che seguono consentono di ricavare alcune altre importanti proprietà dei polinomi di Bernstein. Il terzo esercizio ci sarà assai utile nel seguito: ESERCIZI II:. Il polinomio p n, (x è massimo nel punto x = /n (Questo è un primissimo indizio del fatto che il nostro peso prvilegerà i valori di f vicino a /n. 2. Si ha, per ogni = 0,..., n, 0 p n,(x dx = /(n +. (Sugg.: il calcolo è facile per = 0 o per = n. Se n, con con un integrazione per parti si riesce a esprimere l integrale di p n, in termini di quello di p n,... Il significato morale di questo esercizio è quello di mostrare come i nostri pesi siano equidistribuiti, nel senso che la loro somma è, e si dividono equamente l area disponibile Si provino le identità p n, (x = nx, = ( p n, (x = n(n x 2. =2 Generalizzando opportunamente, si mostri che i polinomi p n, (x formano una base dello spazio vettoriale dei polinomi di grado n. Nella figura che segue si possono vedere i grafici dei polinomi p 6, : 5

6 (-x**6 6*x*(-x**5 5*x**2*(-x**4 20*x**3*(-x**3 5*x**4*(-x**2 6*x**5*(-x x** Le identità provate nell ultimo esercizio ci permettono di provare il seguente lemma, che mostra come i nostri pesi privilegino nella media gli indici tali che /n è vicino a x: LEMMA: Per ogni δ > 0 e per ogni x [0, ] si ha n x >δ p n, (x 4δ 2 n, dove la somma si intende fatta sugli indici tali che x > δ. Prendendo n n abbastanza grande, questa somma si può rendere arbitrariamente piccola in maniera indipendente da x. DIM.: Si ha n x >δ p n, (x δ 2 =0 ( n x2 p n, (x = n 2 δ 2 ( nx 2 p n, (x. Se nell ultima somma scriviamo ( nx 2 = ( (2nx + n 2 x 2 ed usiamo le due identità provate nell ultimo esercizio, si ha che l ultima espressione è maggiorata da x( x. La tesi segue perché il massimo della nδ 2 funzione x( x sull intervallo [0, ] è proprio /4. Q.E.D. Siamo in grado di dimostrare il nostro risultato principale: DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA DI STONE-WEIERSTRASS: Sia f : [0, ] R una data funzione continua, e denotiamo con P n (x i suoi polinomi di Bernstein. Fissiamo ε > 0: per l uniforme continuità di f esiste δ > 0 tale 6 =0

7 che se x, y [0, ], x y δ allora f(x f(y < ε.denotiamo poi con M il massimo di f(x sull intervallo [0, ]. Si ha allora f(x P n (x = =0 f(x f(/n n x δ f(x f(/n n x >δ f(x f(/n x ( x n = x ( x n + x ( x n ε + M 2δ 2 n. L ultima espressione può essere resa minore di 2ε a patto di prendere n abbastanza grande. Q.E.D. OSSERVAZIONE: Il Lemma che abbiamo utilizzato per dimostrare il teorema di Stone-Weierstrass ha un interessante interpretazione probabilistica. Supponiamo che x rappresenti la probabilità che si verifichi un certo evento (per esempio, x = /6 potrebbe rappresentare la probabilità che esca 6 lanciando un dado. Se facciamo n prove indipendenti per il nostro evento (p.es. se lanciamo n volte il dado..., allora p n, (x rappresenta la probabilità che il nostro evento si verifichi esattamente volte. Il nostro lemma ci dice che, a patto di prendere n abbastanza grande, possiamo rendere arbitrariamente grande la probabilità che la frequenza /n del verificarsi dell evento sia vicina (più di delta alla sua probabilità x.questa non è altro che la legge dei grandi numeri. 7

8 DIMOSTRAZIONE ALTERNATIVA DEL TEOREMA DI STONE-WEIERSTRASS: REGOLARIZZAZIONE PER CONVOLUZIONE. Per concludere questo incontro, vediamo un altra interessante dimostrazione del Teorema di Stone-Weierstrass. Quella che abbiamo visto utilizzava i polinomi p n,ν (x per realizzare una media pesata dei valori di f in certi punti campione del tipo /n: si trattava dunque di una media discreta. Se sostituiamo questa media discreta con una media integrale (pesata ancora in modo opportuno, otteniamo un altra dimostrazione del nostro teorema, basata sulla cosiddetta regolarizzazione per convoluzione. L interesse di questo secondo metodo risiede nel fatto che, facendo scelte diverse per le funzioni Q n (x che useremo sotto, lo stesso procedimento si adatta efficacemente per approssimare funzioni irregolari con funzioni infinitamente derivabili. Supponiamo come prima che f : [0, ] R sia una data funzione continua. Sottraendo un polinomio di primo grado, possiamo anche supporre senza perdita di generalità che si abbia f(0 = f( = 0. Porremo poi f(x = 0 per x [0, ], in modo che la funzione sia definita e continua su tutta la retta reale. Definiamo ora la seguente successione di polinomi: Q n (x = c n ( x 2 n, dove c n è una costante positiva scelta in modo che Q n (x dx =. Alcuni dei polinomi Q n sono rappresentati nel grafico che segue: precisamente, in ordine crescente di altezza possiamo vedere i grafici di Q 3, Q 0, Q 25 e Q 50 sull intervallo [, ]. 8

9 Tra il grafico delle funzioni Q n e l asse delle x c è sempre area, ma quest area si concentra sempre più vicino all origine man mano che n cresce. Definiamo i polinomi P n che approssimano la funzione f nel modo seguente: P n (x = f(x + y Q n (y dy. Prima di dimostrare la convergenza di P n a f, dobbiamo mostrare che le nostre funzioni sono effettivamente dei polinomi, cosa che non è subito evidente dalla definizione. Siccome f si annulla fuori dall intervallo [0, ], abbiamo P n (x = x x f(x + y Q n (y dy. Con il cambio di variabile u = x + y, quest ultimo integrale diventa P n (x = 0 f(u Q n (u x du, ed è facile verificare che questo è un polinomio in x. L ultima formula rende anche plausibile la convergenza dei polinomi approssimanti P n alla funzione f: per calcolare P n (x, stiamo facendo una media della funzione f, pesata con il polinomio Q n centrato in x. Questo polinomio assume valori molto alti vicino ad x, mentre vale praticamente 0 se si ci allontana un po : nella media vengono privilegiati i valori di u vicini ad x, e questo effetto aumenta al crescere di n. Queso ci fa capire, almeno in modo euristico, che P n (x tenderà a f(x quando n +. 9

10 Per dimostrarlo in modo rigoroso, è necessario dare una stima dei coefficienti c n che intervengono nella definizione dei polinomi Q n. Usando la disuguaglianza di Bernoulli otteniamo: ( x 2 n dx = 2 0 n ( x 2 n dx 2 ( nx 2 dx = n, n da cui c n n. Fissiamo ora ɛ > 0, e dimostriamo che per n abbastanza grande si ha P n (x f(x < ɛ per ogni x [0, ]. Visto che i polinomi Q n (x hanno integrale sull intervallo [, ], possiamo scrivere P n (x f(x = [f(x + y f(x]q n (y dy f(x + y f(x Q n (y dy. Per l uniforme continuità di f, è possibile trovare δ > 0 tale che se y < δ si abbia f(x + y f(x < ɛ/3 per ogni x, e riprendendo la stima appena ottenuta possiamo scrivere P n (x f(x δ + δ f(x + y f(x Q n (y dy + f(x + y f(x Q n (y dy. f(x + y f(x Q n (y dy = δ δ f(x + y f(x Q n (y dy + Per la nostra scelta di δ, il secondo integrale dell ultima formula è minore di ɛ/3. Il primo e il terzo integrale si stimano allo stesso modo: se chiamiamo M il massimo di f su [0, ], abbiamo δ f(x + y f(x Q n (y dy 2M max{q n (y : y [δ, ]} = 2Mc n ( δ 2 n 2M n( δ 2 n. Siccome l ultima espressione tende a 0 per n +, essa sarà minore di ɛ/3 per n abbastanza grande, e la tesi è dimostrata. 0