Magnetostatica e induzione elettromagnetica

13 Magnetostatica e induzione elettromagnetica Questo capitolo affronta innanzitutto un tema accennato nel Capitolo 11: come le equazioni di Maxwell siano collegate alle leggi per i fenomeni magnetici che le hanno precedute (leggi di Laplace, Ampère, Faraday) e seguite (forza di Lorentz). Tratteremo dapprima il legame tra correnti stazionarie e campi magnetici: la corrispondenza tra legge di Ampère e prima legge di Laplace sarà provata in un caso particolare, e si farà uso dell una o dell altra espressione per calcoli di magnetostatica elementare. Sempre per casi particolari, si discuteranno i legami tra legge dell induzione di Faraday e forza di Lorentz, e tra forza di Lorentz e forza tra correnti (seconda legge di Laplace). Si tratteranno poi i principali dispositivi funzionanti in base alla legge dell induzione elettromagnetica (circuiti con induttanze, motori, alternatori) o alla forza di Lorentz (spettrometro di massa). fenomeni legati alla magnetizzazione della materia saranno considerati da un punto di vista microscopico, cercando di spiegare, con semplici modelli classici, il diamagnetismo e il paramagnetismo. 13.1 Qual è il vero campo magnetico? l processo che ha portato alla comprensione del magnetismo ha avuto una durata relativamente breve, ma è stato molto travagliato. Sintomo di queste difficoltà sono la varietà di nomi e unità di misura usati per descrivere i fenomeni magnetici, e il fatto che ancora oggi si parla, per esempio, del fluido magnetico di maghi e guaritori per indicare un qualcosa di misterioso. Maxwell aveva introdotto, accanto all intensità del campo elettrico (E), il vettore spostamento elettrico (D), definito mediante la relazione E D P 13.1 ε 0 dove P è la polarizzazione elettrica prodotta dai dipoli elettrici del mezzo (vedi Equazioni 1.1 e 1.). l campo elettrico E, moltiplicato per la carica elettrica, dà la forza agente sulla carica, forza che dipende sia dalle cariche che generano il campo, sia da quelle presenti nel mezzo interposto, complessivamente neutro, e descritto mediante P. Lo spostamento elettrico D (chiamato anche spostamento dielettrico) non dipende dal mezzo materiale e permette di esprimere, mediante il teorema di Gauss, il legame con la distribuzione delle cariche sorgenti in forma particolarmente semplice. nfatti dalle 11.1, 1. e 13.1 si può ricavare che la densità di carica elettrica è uguale alla divergenza dello spostamento elettrico D. n modo simmetrico, Maxwell utilizza anche due vettori magnetici: l induzione magnetica e il campo magnetico H legati dalla relazione, simile alla 13.1, ( ) µ 0 H + M 13. dove M è la magnetizzazione, che, come vedremo, svolge una funzione analoga a quella della polarizzazione e- lettrica. H svolge un ruolo simile a D poiché è indipendente dal mezzo materiale e, in regime stazionario, permette di esprimere il legame con le correnti mediante il teorema di Ampère (vedi Capitolo 11): il rotore di H è pari alla densità di corrente J, ovvero la sua circuitazione è pari alla somma delle correnti concatenate. Maxwell ritenne necessario ricorrere a due vettori e- lettrici e due vettori magnetici per poter distinguere tra parte del campo elettromagnetico dovuta alle sorgenti e parte dovuta al mezzo. Questa distinzione trae la sua motivazione profonda dalla natura continua dell elet-

70 Capitolo 13 tromagnetismo classico, ma perde la sua utilità a livello microscopico, dove il mezzo diventa una distribuzione discreta di cariche e correnti. Qui vogliamo spiegare innanzitutto perché vi sia una differenza di segno tra le e- spressioni 13.1 e 13. e, in secondo luogo, perché Maxwell diede a H, e non a, il nome di campo magnetico. La differenza di segno tra la 13.1 e 13. dipende da proprietà fondamentali di E e di che illustriamo nella figura sottostante. A sinistra è rappresentato un dipolo e- lettrico orientato parallelamente a un campo elettrico e- sterno E, ossia nella posizione di minima energia. campo magnetico H. La sua motivazione è puramente formale: mediante D e si possono riscrivere in modo indipendente dal mezzo le equazioni della divergenza: D ρ 0 13.3 mentre mediante E e H si hanno in forma particolarmente semplice le equazioni del rotore in regime stazionario: E 0 H J 13.4 E N S Tuttavia, gli effetti elettrici e magnetici si manifestano tramite forze proporzionali a E e, mentre D e H possono sembrare vettori fittizi, la cui introduzione è dettata solo, come si è detto, dal desiderio di distinguere tra sorgenti e mezzo. Quando Hertz afferma che non c è vero magnetismo intende dire che il vero vettore magnetico è e che le linee di questo campo non hanno una sorgente, come invece avviene per le linee di flusso di E, in quanto la divergenza di è sempre nulla. n pratica, i veri campi sono E e, ma le equazioni che ne descrivono proprietà e legami con le sorgenti sono incrociate : All interno del dipolo, le linee di flusso del campo elettrico dipolare vanno dalla carica positiva a quella negativa, ossia nel verso opposto a quello del campo E in cui il dipolo elettrico si orienta. All interno del dipolo, la polarizzazione P ha perciò verso opposto al campo D/ε 0 che si avrebbe nel vuoto; se si escludono casi di polarizzazione permanente (materiali ferroelettrici), il campo elettrico medio nella materia è perciò sempre minore di quello che si avrebbe nel vuoto. Nel caso della bobina percorsa da una corrente (dipolo magnetico), orientata in un campo di induzione magnetica esterno, le linee di forza del campo di induzione prodotto dalla corrente hanno lo stesso verso di all interno della bobina, in quanto è sempre 0. All interno della bobina, il valore dell induzione magnetica è perciò la somma del vettore induzione in assenza di corrente nella bobina, µ 0 H, e di un contributo proporzionale al momento magnetico (corrispondente magnetico del momento di dipolo elettrico; esso sarà definito quantitativamente nel Paragrafo 13.5) della bobina stessa. Come è evidente dai nomi, Maxwell ha istituito una corrispondenza tra i vettori spostamento elettrico D e induzione magnetica, e tra i vettori campo elettrico E e E è conservativo (rotore nullo) in condizioni stazionarie, è sempre solenoidale (divergenza nulla); l equazione della divergenza collega il vettore elettrico D e la densità di carica, quella del rotore collega il vettore magnetico H e la densità di corrente. Fisici autorevoli come Arnold Sommerfeld e ichard Feynman hanno proposto definizioni diverse per M e per H per meglio esprimere una simmetria tra elettrostatica e magnetostatica. Altri hanno suggerito di chiamare campo magnetico e di usare il reciproco della permeabilità del vuoto µ 0 come costante magnetica fondamentale; in tal modo tale costante comparirebbe, come ε 0, a denominatore nella formula di (vedi 13.1 e 13.). Nessuna di queste proposte è finora riuscita a soppiantare l impostazione originale di Maxwell, anche se sempre più spesso in fisica atomica la dizione campo magnetico viene usata per indicare il vettore induzione magnetica, anziché H. Come abbiamo evitato nei capitoli precedenti di parlare dello spostamento dielettrico D, introducendo invece la polarizzazione P e la costante dielettrica relativa ε r, così eviteremo qui di ricorrere a H, e descriveremo le proprietà magnetiche di un mezzo mediante la sua magnetizzazione M e la sua permeabilità magnetica rela-

Magnetostatica e induzione elettromagnetica 71 tiva µ r. 13. Convenzioni e unità di misura Nel Capitolo 11 si è visto che la forza di Lorentz a cui è sottoposta una carica q in moto con velocità v in un campo magnetico è (Equazione 11.5) f q v 13.5 Come discuteremo in dettaglio più avanti, questa equazione è collegata sia alla forza prodotta da su un tratto l di filo conduttore percorso da una corrente : f l 13.6 sia alla legge di induzione di Faraday: E t 13.7 Si noti che in queste tre espressioni compare un prodotto vettoriale. Questo dipende dal fatto che è un vettore assiale il cui verso viene assegnato, come per ogni prodotto vettoriale, mediante la regola della mano destra descritta nel Capitolo. Per esempio, orientando pollice, indice e medio della mano destra a 90 uno rispetto all altro, se una carica positiva si sta muovendo con velocità v verso la punta dell indice (i) in un campo diretto verso la punta del medio (j), la forza di Lorentz sulla carica è diretta verso la punta del pollice (k). Si utilizza anche la regola della mano destra che identifica con quella delle dita la direzione del campo prodotto da una corrente diretta come il pollice. [ ] Ossia: [ forza] [ carica] [ tempo] [ distanza] [ ] [ forza] [ distanza] [ tempo] [ carica] [ distanza] volt s weber tesla 13.8 m m L induzione magnetica nel Sistema nternazionale si misura in tesla (T) ma alcuni testi la esprimono mediante l unità di misura del flusso magnetico, il weber (che ha le dimensioni di volt s), o mediante una unità pratica, il gauss: 1 gauss 10 4 tesla Le dimensioni della permeabilità magnetica µ si ricavano dalla legge di Ampère ( µj): [ ] [ ] µ volt s m ohm s J 3 m ampère m e il valore della permeabilità magnetica nel vuoto è 13.9 4π ohm s µ 0 10 7 13.10 m 13.3 Campi magnetici prodotti da correnti stazionarie nel vuoto Come accennato nel Capitolo 11, quando il problema magnetostatico ha un elevato grado di simmetria, il modulo del campo magnetico è facilmente calcolato mediante il teorema della circuitazione di Ampère (vedi Equazione 11.5): l integrale di lungo un percorso chiuso (circuitazione di ) è uguale alla permeabilità del mezzo moltiplicata per la corrente concatenata con il circuito. O s s OP P Le dimensioni di si ottengono analizzando la 13.6: 13.3.1 Cavo rettilineo Un cavo rettilineo di lunghezza infinita (cioè di lunghezza molto maggiore di ogni altra dimensione considerata) e sezione circolare di raggio è percorso da una corrente 0 π J. Per la simmetria del problema, (P) giace in un piano normale all asse del cavo, è perpendicolare alla normale dal punto considerato P al cavo e il suo verso è dato dalla regola della mano destra. Le linee di forza di sono circonferenze in piani perpendicolari all asse del

7 Capitolo 13 cavo e centro sull asse del cavo. La circuitazione di lungo una tale circonferenza di raggio d, orientata secondo la regola della mano destra, è (circonferenza) µ 0 (corrente concatenata) ds π d µ 0( d) 13.11 J All esterno di un filo rettilineo indefinito percorso da corrente in regime stazionario il campo magnetico è inversamente proporzionale alla distanza dal filo (legge di iot-savart). 13.3. Lastra conduttrice con corrente uniforme 1 Consideriamo una lastra di spessore s con una densità di corrente uniforme J diretta nella direzione dell asse x. Se la piastra è sufficientemente larga e lunga da potersi considerare infinita il campo induzione magnetica sopra e sotto il piano è diretto come l asse y: perciò nel calcolo della circuitazione di lungo il percorso rettangolare tratteggiato i lati verticali danno contributo nullo. µ 0 0 π s J l J z y x 0 Per calcolare la corrente concatenata distinguiamo due casi, riferendoci alla figura precedente. 1. d. La porzione della corrente totale 0 concatenata dalla circonferenza concentrica al cavo vale (d) π d π d 0 0 e dalla legge di Ampère 13.11 si ottiene d µ πd µ 0 0 0 0 d 13.1 π. d >. L intera corrente 0 è concatenata e il teorema di circuitazione si scrive µ πd µ 0 0 0 0 13.13 π d d La circuitazione di lungo il percorso tratteggiato vale allora l, e la corrente concatenata vale in modulo slj. Segue che l µ 0 slj µ 0 sj 13.14 n questa formula non compare la distanza dal piano. Come nel caso del campo elettrico prodotto da un piano carico, il campo magnetico prodotto da un piano illimitato percorso da corrente uniforme è indipendente dalla distanza dal piano stesso. 13.3.3 l solenoide infinito Un filo conduttore percorso da una corrente è avvolto su cilindro formando una bobina (solenoide) di lunghezza infinita (cioè molto maggiore rispetto al diametro delle spire) con n spire per metro (vedi figura seguente). All interno della bobina le linee di forza di (linee continue) hanno densità praticamente uniforme e sono dirette come l asse della bobina: indichiamo con int il modulo del campo magnetico all interno del solenoide. All ester-

Magnetostatica e induzione elettromagnetica 73 no della bobina la densità delle linee di forza è tanto minore quanto più lunga è la bobina e, nel limite di bobina infinitamente lunga, deve essere est 0. noltre non vi può essere, in prossimità del centro della bobina, alcuna componente di normale all asse del solenoide, in quanto le linee di forza si incurvano solo in prossimità degli estremi della bobina. Perciò solo il tratto orizzontale all interno della bobina, di lunghezza l, contribuisce alla circuitazione di lungo il percorso, tratteggiato in figura, con int l. Nel circuito tratteggiato sono concatenate nl spire e una corrente nl. Applicando il teorema della circuitazione si ha int l µ 0 nl int µ 0 n 13.15 /µ 0 ha le dimensioni di n e si misura in num. spire ampere oppure ampere spira/m m 13.3.4 elazione tra la legge di Ampère e la prima legge di Laplace La prima legge di Laplace afferma che ogni tratto ds di un circuito percorso dalla corrente (orientato nel verso della corrente positiva) contribuisce al campo magnetico nel punto P, (P), con una quantità pari a d(p) µ 0 ds r 4π 3 r 13.16 dove r è il vettore spostamento dal centro del trattino al punto P. l campo magnetico complessivo si ottiene come somma (integrale) su tutti i trattini in cui il circuito chiuso filiforme C è stato scomposto: µ ds r ( P) 0 C 4π 3 r 13.17 Anziché dedurre la 13.17 dalle equazioni di Maxwell, verifichiamo che all esterno del filo rettilineo, di diametro trascurabile, essa porta allo stesso risultato (13.13) ricavato mediante la legge di Ampère. Sia la distanza del generico punto P dal filo e assumiamo come origine O la proiezione di P sul filo. P r d(p) dz O P ϑ dϑ O z + dz l prodotto vettoriale dz r che figura nella 13.16 ha modulo pari all area del parallelogramma, in grigio, della figura: dz r rdzcosϑ Poiché tutti i tratti del filo danno contributi al campo in P che hanno la stessa orientazione e verso (normale al piano del disegno e uscente da questo), nel calcolo del modulo (P) basta sommare tra di loro i moduli dei vettori dz r/r 3. Dal disegno inoltre si ricava r cosϑ, z tanϑ, dz dϑϑ cos Sostituendo nella 13.17 si ha: µ 0 r cosϑ dz ( P) 4π 3 r µ π / 0 cosϑ dϑ µ 0 4π π / π Questa formula coincide con la 13.13, ricavata mediante la legge di Ampère, che è la versione integrale di una delle equazioni di Maxwell per la magnetostatica. 13.3.5 l campo magnetico lungo l asse di una spira Un caso trattabile in modo elementare mediante la prima z

74 Capitolo 13 legge di Laplace è quello del campo magnetico sull asse di una spira circolare di raggio percorsa da una corrente. x z y ds ϑ d(p) r ϑ P(z) dϕ O d z Nel punto P a distanza z sulla verticale dal centro O della spira, il trattino di spira di lunghezza ds dϕ(rad) produce il campo magnetico d(p) con direzione indicata nella figura, descritto dalla 13.16 con r + z l vettore d(p) è perpendicolare a ds e r e forma un angolo ϑ con la verticale alla spira (parallela all asse z) il cui coseno vale cosϑ r + z Per ragioni di simmetria il campo magnetico sull asse della spira (z) non può avere componenti lungo x e y; perciò z. L Equazione 13.18 dice che 1. il campo al centro della spira è inversamente proporzionale al raggio ;. a grande distanza dalla spira il campo magnetico è inversamente proporzionale al cubo della distanza (z) dal centro della spira e direttamente proporzionale al prodotto della corrente () per l area della spira (π ). 13.4 L induzione elettromagnetica Nel Capitolo 11 si è visto che la formulazione integrale dell Equazione 13.7 è la seguente: la circuitazione del campo elettrico lungo una linea chiusa C è uguale alla velocità di variazione del flusso del campo magnetico concatenato a C (ossia uscente da una superficie S che ha per contorno C): V ( E t) dc ( n ds) C S t ( ) 13.19 S n t n Per la corrente orientata come nel disegno, la componente di d(p) lungo z vale C t µ d r d d P 0 ϕ z ( ) cosϑ cosϑ 4π 3 r µ 0 dϕ µ 0 dϕ 4π + z + z π 4 + z 3 Sommare i contributi a z dai vari tratti ds di circuito vuol dire integrare questa espressione su un angolo giro (π). n questo caso, l integrale si ottiene semplicemente sostituendo π a dϕ. Si ricava così z : z µ 0 + z 3 z 0 µ 0 z>> µ 0 3 z 13.18 La velocità di variazione del flusso magnetico attraverso S produce una differenza di potenziale elettrico V detta forza elettromotrice (fem) indotta. Le convenzioni sui segni sono quelle indicate in figura: con C nel piano del foglio e verso di percorrenza antiorario, la normale n alla superficie S appoggiata su C va orientata nel verso uscente dal foglio. Una corrente nella direzione di percorrenza di C creerebbe all interno di C un campo d induzione magnetica nella stessa direzione di n, quindi con flusso concatenato ( n) sempre positivo. l segno meno nella 13.19 significa che, quando il flusso magnetico aumenta, il campo elettrico è diretto in senso opposto a quello di percorrenza di C. Perciò se il percorso C coincidesse con un conduttore elettrico si avrebbe in esso una corrente che produrrebbe un campo magnetico contrastante l aumento del flusso magnetico. Questa formula-

Magnetostatica e induzione elettromagnetica 75 zione della legge di induzione è nota come legge di Lenz ed è indipendente dalle convenzioni sulla orientazione di contorni e di superfici. Vogliamo ora mostrare che vi è un nesso tra legge dell induzione magnetica (terza equazione di Maxwell), seconda legge di Laplace (Equazione 11.3) e forza di Lorentz (Equazione 13.5). Consideriamo la spira rettangolare della figura immersa in un campo uniforme perpendicolare al piano della spira; supponiamo che un lato della spira, di lunghezza L, scorra verso destra con velocità v. Per la 13.18 il flusso di concatenato con la spira aumenta in un secondo di una quantità proporzionale alla variazione di area della spira nell unità di tempo, S/ t. La velocità di variazione del flusso di è pari, in valore assoluto, alla differenza di potenziale V che si genera lungo il percorso della spira: V Φ( ) t x z S t Lv y + V Se nel circuito non circola corrente (come nel caso della figura dove V è misurata da un voltmetro) ( *), non si hanno cadute di tensione dovute alla resistenza elettrica; la differenza di potenziale V si genera nella barra mobile dove è presente un campo elettrico, di modulo E, che moltiplicato per L deve dare la differenza di potenziale V (fem): EL V Lv E v Perciò una carica q nella barra è sottoposta a una forza f con modulo f qe qv (*) Un voltmetro ideale misura un voltaggio senza assorbire corrente; è perciò un dispositivo caratterizzato da resistenza infinita. Al contrario, un amperometro ideale misura una corrente senza provocare alcuna caduta di potenziale; ha perciò resistenza nulla. E v + Questa espressione corrisponde a quella per la forza di Lorentz 13.5. Notiamo però alcune differenze. Per applicare la legge dell induzione magnetica abbiamo immaginato la presenza di un circuito chiuso, per il quale ha senso parlare di flusso concatenato. La forza di Lorentz invece si produce solo sulla barra spostata nel campo magnetico, per la quale si deve parlare di flusso di tagliato dalla barra nell unità di tempo anziché di varia-zione del flusso di concatenato. Dimostriamo ora che dall espressione della forza di Lorentz si può ricavare la seconda legge di Laplace che qui riscriviamo: f L 13.0 Consideriamo un tratto L di conduttore rettilineo immobile di sezione S, percorso da una corrente e immerso in un campo magnetico. Se il conduttore contiene n cariche mobili q per unità di volume, che hanno una velocità media v nella direzione del filo, la corrente elettrica e la sua densità J sono così esprimibili: nqsv J nqv 13.1 x S z v y f L nfatti, in un secondo passano attraverso S tutte le cariche che si trovano in un tratto di conduttore di lunghezza (v 1 s), il cui numero è pari a densità volume n(sv 1 s) La corrente è, per definizione, questo numero moltiplicato per q. n modo simile si ha che la carica mobile complessiva Q che si trova nel tratto L vale Q nqs L 13.

76 Capitolo 13 Moltiplicando ambo i membri della 13.1 per L e si ottiene L nqs L v Qv 13.3 dove, a secondo membro, si ha il modulo della forza di Lorentz e a primo membro il modulo della 13.0. La conclusione è che le equazioni di Maxwell permettono di descrivere le forze di natura magnetica su correnti e cariche in moto. 13.5 Forze su correnti elettriche Le forze che si esercitano su cariche in moto e circuiti percorsi da corrente posti in un campo magnetico hanno un enorme interesse pratico perché sono alla base del funzionamento dei dispositivi che trasformano energia meccanica in energia elettrica (alternatore, dinamo) ed energia elettrica in meccanica (motore elettrico). Esaminiamo il fenomeno dell induzione magnetica nei suoi due aspetti complementari: forze agenti su correnti e forze e- lettromotrici indotte in conduttori in moto nel campo magnetico o sottoposti a campi magnetici variabili. 13.5.1 Spira in un campo Consideriamo una spira rettangolare in un campo induzione magnetica uniforme diretto lungo l asse z, percorsa da una corrente e libera di ruotare attorno all asse x. Sui lati, di lunghezza a, paralleli all asse di rotazione si esercitano due forze uguali e opposte dirette come y, perpendicolari a e all asse di rotazione, che in modulo valgono (vedi 13.0) f a a Queste due forze costituiscono una coppia, con braccio bsinϑ (vedi figura) e momento diretto lungo l asse x dato da M x f a b sinϑ (ab)sinϑ 13.4 dove ϑ è l angolo tra e la normale n al piano della spira ( *). (*) La normale al piano della spira ha verso fissato dalla corrente con la regola della mano destra; ϑ è l angolo antiorario tra e n; nel caso del disegno le due forze f a producono un momento diretto nel verso negativo dell asse x perché producono una rotazione in senso orario. f a f b n b Sui due lati di lunghezza b, le due forze f b hanno sempre la stessa retta d azione e quindi momento nullo. Calcoliamo il lavoro fatto dalle forze magnetiche nel portare la spira da una orientazione iniziale ϑ 0 90 (spira nel piano xz) a una finale ϑ: ϑ ϑ lavoro Mxdϑ ( ab) sinϑ dϑ 90 90 ( ab) cos cos ( ab) cosϑ ( ϑ 90 ) Tale lavoro cambiato di segno è l energia potenziale E p della spira nel campo magnetico E p (ab)cosϑ 13.5 Per dare una forma vettoriale alle 13.4 e 13.5 introduciamo il momento magnetico m della spira definito da m abn Sn 13.6 l momento magnetico di una spira piana è quindi un vettore che ha per modulo il prodotto corrente area (S ab) della spira e per direzione la normale al piano orientata con la regola della mano destra: dita nel verso della corrente, pollice nel verso della normale. Possiamo ora generalizzare quanto ottenuto scrivendo in forma vettoriale l espressione della coppia 13.4: M m 13.7 e della la sua energia potenziale 13.5: E p m 13.8 ϑ a x f b z f a y

Magnetostatica e induzione elettromagnetica 77 Qui e nel seguito considereremo una sola spira; nella pratica gli avvolgimenti sono fatti in genere da centinaia, o migliaia di spire, tutte percorse dalla stessa corrente ; basterà calcolare momento magnetico, o fem indotta, per una singola spira e moltiplicare per il numero di spire. 13.5. Motore e alternatore principi di funzionamento dei motori elettrici e degli alternatori possono essere illustrati utilizzando le equazioni sviluppate per la spira percorsa da corrente in campo magnetico. Mentre può essere non banale far ruotare il campo magnetico, mettere in rotazione la spira, o fornire a questa una corrente oscillante nel tempo, è abbastanza semplice calcolare le grandezze meccaniche rilevanti se quelle elettriche e magnetiche sono note. Supporremo di conoscere come stia ruotando la spira del disegno precedente e di sapere da che corrente sia percorsa per calcolare il bilancio delle forze agenti. Supponiamo che la spira del paragrafo precedente sia in rotazione uniforme e che l angolo ϑ formato dalla sua normale con cambi nel tempo secondo la legge π ϑ ω T t t 13.9 Supponiamo inoltre che la spira sia percorsa da una corrente sinusoidale anch essa di periodo T : (t) 0 sin π t α T + 13.30 Calcoliamo su un periodo T il bilancio energetico del moto della spira. l momento delle forze agenti sulla spitra, 13.4, mediato su un periodo è πt πt M + x ( t) T 0ab sin sin α T T T 13.31 ab πt ab 0 sin T T cosα 0 cosα Secondo questa formula (*), quando α ±90 il dispositi- (*) La media su un periodo T di una funzione f(t) è T 1 f ( t) T T f ( t) d t t 0 Posto β πt/t, e indicata con < > la media su β, la media nella 13.31 diventa: <sinβ sin(β + α)> <sin β cosα + sinβ cosβ sinα> <sin β>cosα (1/)cosα vo non compie, in media, lavoro perché il momento angolare medio è nullo. Se applichiamo un momento resistente M che si oppone alla rotazione la spira ritarda l angolo α diventa maggiore di 90 cosα diventa negativo il momento medio applicato diventa positivo il dispositivo fornisce lavoro meccanico per vincere M e può essere chiamato un motore. n questo caso, l angolo di sfasamento è determinato dalla condizione che momento resistente e momento medio 13.31 siano in modulo uguali, in modo che la spira possa girare a velocità angolare costante, come ipotizzato nella 13.9: M 0ab cos 0ab α 13.3 Fintanto che il momento resistente è minore del momento medio massimo 0 ab/, il motore gira a velocità angolare costante fornendo una potenza media pari a M angolo potenza del motore tempo M π 0abω cosα T 13.33 L Equazione 13.33 con cosα 0 descrive il bilancio e- nergetico del motore sincrono, un dispositivo che è alimentato da una corrente alternata e gira alla stessa frequenza di questa fornendo lavoro meccanico: questo motore eroga automaticamente la potenza necessaria a vincere il momento resistente aggiustando lo sfasamento α tra moto e corrente. Occorrono particolari accorgimenti (a volte interi motori ausiliari) per fare acquistare al motore sincrono la sua velocità di regime; la potenza fornita dipende dallo sfasamento tra rotazione e corrente: varia da zero (per α 90 ) al valore massimo (per α 180 ). L alternatore è un dispositivo uguale al motore sincrono. La differenza è che il momento medio 13.31 è negativo, ossia cosα > 0, e sulle correnti della spira agiscono forze che, in media, si oppongono alla rotazione della stessa. Per mantenere la spira in rotazione occorre fornire lavoro meccanico, applicando un momento uguale e opposto a quello prodotto dalle forze elettriche. Mostriamo ora che il lavoro meccanico compiuto sulla spira contro le forze elettriche si traduce in potenza elettrica. Per la legge dell induzione applicata alla spira rotante in un campo magnetico fisso, la forza elettromotrice (fem) sulla spira è pari alla derivata cambiata di segno del flusso magnetico (vedi 13.9 e la figura del paragrafo precedente):

78 Capitolo 13 ( cosϑ ) d ab fem( t) dt d absinϑ ϑ abω sinωt dt 13.34 Poiché si è supposto che la corrente circolante sia descritta dalla 13.30, la potenza elettrica generata vale in media potenza dell alternatore abω fem( t) ( t) cosα T 13.35 Come atteso per la conservazione dell energia, la potenza elettrica generata è uguale alla potenza meccanica assorbita, ossia alla 13.33 cambiata di segno. Si noti che, idealmente, è possibile convertire completamente energia elettrica in energia meccanica e viceversa. fessure che interrompono gli anelli di corrente, le correnti e gli attriti prodotti dall induzione vengono grandemente ridotti. È questa la ragione per cui in molti dispositivi basati sull induzione (motori, generatori e trasformatori) si realizzano diverse parti metalliche mediante lamierini i- solati tra loro anziché mediante pezzi massicci. Uno dei pochi casi in cui le correnti parassite trovano un impiego utile è nel forno a induzione: la sostanza da scaldare è posta in un contenitore fatto da metallo a elevato punto di fusione (per esempio platino o iridio) e posta in un solenoide nel quale viene fatta circolare una corrente oscillante, tipicamente fino ad alcuni milioni di volte al secondo. Le correnti indotte portano facilmente la temperatura del metallo oltre 1000 C. 13.5.3 Correnti parassite indotte Finora abbiamo considerato conduttori filiformi nei quali la corrente elettrica può scorrere solo lungo il filo. L induzione elettromagnetica agisce anche su conduttori non filiformi producendo l effetto, di solito indesiderato, delle correnti parassite, dette anche correnti di Foucault (o eddy currents, da eddy vortice in un fluido, corrente opposta al moto principale). n un piatto metallico che entra in un campo magnetico perpendicolare con velocità v si generano linee di corrente che producono un campo di verso opposto: se il piatto fosse un conduttore perfetto (ossia con resistività nulla), le correnti sarebbero tanto grandi che il campo espellerebbe il piatto (con velocità v) proprio come un ostacolo rigido fa rimbalzare una palla di gomma. correnti parassite La ragione per cui non è consigliabile mettere metalli o altro materiale conduttore nel forno a microonde è che, per la presenza di campi magnetici oscillanti (a frequenze dell ordine del GHz), la potenza del forno, anziché distribuirsi sul cibo da cuocere, viene quasi tutta dissipata in correnti parassite sul conduttore. 13.6 Circuiti elettrici con induttanze 13.6.1 L induttanza v f a v f a Una spira percorsa da una corrente genera un campo magnetico che è proporzionale a. l flusso di questo campo concatenato con la stessa spira Φ() (flusso autoconcatenato) è anch esso proporzionale a : Φ() L 13.36 Se il piatto ha resistenza elettrica, l energia del moto del piatto produce corrente elettrica e riscaldamento per effetto Joule; il piatto è soggetto a una forza di attrito f a che si oppone al moto. Se nel piatto vengono praticate delle e la costante di proporzionalità L nella 13.36 è detta induttanza del circuito, simbolo:. Come la capacità elettrica C, l induttanza descrive una proprietà geometrica del circuito che si può in linea di principio calcolare: nel caso di C, tramite l integrale che esprime il lavoro fatto da una carica unitaria passando da una armatura all altra del condensatore; nel

Magnetostatica e induzione elettromagnetica 79 caso di L, tramite l integrale che esprime il flusso di attraverso una superficie appoggiata alla spira percorsa da una corrente unitaria. All aumentare della corrente elettrica nel circuito aumenta il flusso concatenato e, per la legge di Faraday 13.19, si sviluppa una forza elettromotrice che si oppone all aumento di corrente: fem L d dt 13.37 Questa equazione definisce la proprietà fondamentale dell induttanza come componente dei circuiti elettrici. L unità di misura S dell induttanza si chiama henry, H, che per la 13.37 ha le dimensioni di una resistenza elettrica per tempo, ossia 1 henry 1 Ω s. guale la corrente complessiva; per la 13.37 avranno una caduta di potenziale che è la metà di quella che si avrebbe, a parità di corrente totale, in un solo tratto. Per due induttanze generiche L 1 ed L in serie e parallelo le relazioni sono le seguenti: V 1 L 1 V L d 1 1 dt V L V L d dt serie V V1 + V (L L ) d 1 + dt L L1 + L L 1 serie L L 1 +L 13.39 13.6. l calcolo dell induttanza Come esempio di calcolo dell induttanza consideriamo un solenoide di lunghezza l nel vuoto costituito da N spire circolari di sezione πr. l campo magnetico all interno del solenoide per la 13.15 è N l µ 0 V L d 1 1 dt 1 V L d dt parallelo V d(1 + ) V V + L dt L1 L 1 1 1 + L L1 L e il flusso autoconcatenato è N volte il flusso concatenato dalla singola spira: r N Φ( ) Nπ r µ π 0 l Dal confronto con la 13.36 si ha per il solenoide r N L µ π 0 l 13.6.3 Composizione di induttanze 13.38 Se un tratto di conduttore ha una resistenza trascurabile, la sua induttanza si può determinare misurando la fem ai suoi capi quando la corrente viene fatta variare secondo una legge nota. È intuitivo che due tratti uguali di circuito posti uno di seguito all altro (ossia, collegati in serie) presentino complessivamente una caduta di potenziale doppia rispetto al tratto singolo, e abbiano perciò una induttanza che è doppia di quella del singolo tratto. Due tratti uguali di circuito con entrambi gli estremi in comune (ossia, collegati in parallelo) hanno la stessa differenza di potenziale tra gli estremi e si ripartiranno in modo u- L 1 parallelo L 1 1 1 L1 L + L1 L L1 + L 13.6.4 L energia dell induttanza 13.40 Come a un condensatore carico è associata un energia potenziale elettrostatica, così all induttanza L percorsa da corrente è associata un energia magnetica. Se all istante t 0 si chiude l interruttore della figura su un generatore a fem costante V G, la corrente comincia a circolare aumentando gradualmente. nizialmente la corrente è nulla, (0) 0; non vi è caduta di tensione sulla resistenza e si ha V G + V(0) 0 V G V(0) Dopo un tempo abbastanza lungo la corrente raggiunge un valore costante e la caduta di tensione ai capi dell induttanza si annulla, V(t) 0: VG VG + 0

80 Capitolo 13 rente asintotica è 5 A, e la costante di tempo è V G L V(t) L 5 τ 8. 33( 10 )s Questo ragionamento è analogo a quello fatto per i condensatori nel Capitolo 1: quando si applica una differenza di potenziale costante a un circuito a riposo, le induttanze al tempo iniziale possono essere considerate circuiti aperti (senza corrente); per trovare i valori finali, o stazionari, delle correnti le induttanze si devono pensare come cortocircuiti. Al tempo generico la corrente (t) è data dalla legge della maglia ( *) d V + t + V t V + t + L ( t ) G ( ) ( ) G ( ) 0 dt Questa equazione si riscrive d(t) dt L (t) G V che, con la condizione (0) 0, è risolta da 13.41 V ( t) e L t G 1 13.4 (t) 4 0 0 4 t (10 4 s) Nella figura precedente è rappresentato l andamento di nel caso in cui V G 60 V, 1 Ω e L 10 3 H; la cor- (*) Anche per il circuito della figura, illustriamo le convenzioni di segno usate per la legge della maglia. La differenza di potenziale di un bipolo è definita come potenziale del primo terminale (indicato con +) meno il potenziale del secondo terminale. Percorrendo la maglia in un senso il potenziale di un bipolo va preso con il suo segno se si incontra per primo il primo terminale, con segno cambiato in caso contrario. Per una percorrenza in senso orario V G va preso con segno cambiato e V(t) con il suo segno. noltre V(t) Ld/dt perché V(t) è positivo quando aumenta. La potenza elettrica assorbita dall induttanza è una funzione del tempo e per definizione è pari a P(t) V(t)(t) L d(t) (t) dt Perciò l energia richiesta per portare la corrente da 0 a vale t E t L d t ( ) 1 L ( ) dt Ld L t 0 dt 0 Questo risultato è valido in generale: l energia di una qualsiasi induttanza E L è pari al quadrato della corrente circolante moltiplicato per (1/)L: L E L 13.43 Troviamo ora una espressione per l energia di un solenoide percorso dalla corrente. iscriviamo per comodità le espressioni del suo campo di induzione magnetica (13.15) e della sua induttanza (13.38): N r N µ L µ π 0 0 l l L energia è perciò L r N E L µ π 0 l µ π 0 ( r l) Come nel caso del condensatore, si è ottenuto che l energia è proporzionale al quadrato del campo per il volume dello spazio interno al solenoide dove (approssimativamente) il campo è uniforme. All induzione magnetica nel vuoto si può perciò associare una densità di energia (energia E per volume V) E V µ 0 13.6.5 Circuiti in corrente alternata 13.44 Qui vengono discussi due aspetti di grande importanza pratica: la relazione tra corrente assorbita e voltaggio si-

Magnetostatica e induzione elettromagnetica 81 nusoidale applicato per un circuito con induttanze, resistenze e condensatori (circuito in corrente alternata), e la potenza assorbita dal circuito. Per una trattazione compatta bisognerebbe ricorrere alla notazione complessa, come fatto per le oscillazioni forzate nel Capitolo 7. Qui però manterremo il formalismo al livello più semplice possibile e illustreremo gli aspetti salienti dei circuiti in corrente alternata mediante un esempio. V G (t) (t) L V(t) Nel circuito dell esempio precedente abbiamo sostituito alla batteria un generatore di voltaggio sinusoidale V G (t): VG ( t) V0 sinω t 13.45 Ci aspettiamo che V(t) e (t) cambino in modo sinusoidale con la stessa pulsazione ω e che la corrente sia ( t) 0 sin( ωt + α ) 13.46 da cui (vedi 13.37) V ( t) L d ωl 0 cos( ωt + α) 13.47 dt nserendo le espressioni di (t), V(t) e V G (t) nella 13.41 si ha V0sinωt 0sin( ωt + α) + ωl0cos( ωt + α) 13.48 Per rendere il primo membro identico al secondo devono essere soddisfatte le equazioni 0 V0 cosα ωl 0 V0 sinα 13.49 come si può verificare sostituendo le 13.49 nella 13.48 e applicando le formule trigonometriche di addizione. Prima dividendo membro a membro e poi sommando membro a membro i quadrati delle 13.49 si ottengono α e 0 in forma esplicita: ωl 0 π tanα α V0 0 V0 0 0 + ( ω ) ω L L 13.50 L angolo α è lo sfasamento tra voltaggio applicato e corrente; cosα rappresenta il cosiddetto fattore di potenza del circuito L. nfatti, la potenza media fornita dal generatore è V00 < W > < VG( t) ( t) > cosα ossia proporzionale al fattore di potenza. Poiché lo sfasamento non è mai positivo la corrente è in ritardo rispetto al voltaggio: l angolo di ritardo raggiunge il valore massimo di 90 (α π/) quando 0, condizione in cui energia dissipata e fattore di potenza sono nulli. È possibile realizzare dispositivi con angolo di fase qualunque, ossia che causano il passaggio di enormi quantità di corrente pur assorbendo potenze molto modeste (cosα << 1) o che addirittura cedono energia al generatore (cosα < 0). Ambedue questi tipi di dispositivi sono vietati dai contratti che regolano l utenza elettrica per uso domestico. nfatti il contatore elettrico esegue l integrale della potenza effettivamente consumata dall utente, senza tenere conto delle perdite lungo la linea di distribuzione, che sono legate al quadrato del valore efficace della corrente e non dipendono dall angolo di fase. Un dispositivo con angolo di fase piccolo pesa poco sulla bolletta in relazione al dispendio di energia e al carico con cui grava sulle linee di distribuzione. l prodotto ωl ha le dimensioni di una resistenza e viene chiamato reattanza: più alto è il suo valore, minore è l ampiezza 0 della corrente sinusoidale. Si noti che il valore della corrente di picco si trova dividendo V 0 per la radice quadrata della somma di resistenza al quadrato e di reattanza al quadrato. A tale termine viene dato il nome di impedenza del circuito, e si indica abitualmente con la lettera Z. reattanza α Z ωl resistenza L impedenza costituisce una generalizzazione del concetto di resistenza per circuiti dotati di elementi reattivi. E- lementi resistivi e reattivi in serie si combinano secondo la regola di Pitagora : si sommano tra loro i quadrati di resistenza e reattanza e si estrae la radice quadrata. Nel diagramma cartesiano precedente, l angolo di fase del

8 Capitolo 13 circuito può essere interpretato come angolo alla base del triangolo rettangolo che ha per cateti resistenza e reattanza e l impedenza come ipotenusa. Quando si ha a che fare con voltaggi e correnti variabili periodicamente nel tempo è comodo introdurre il valore efficace, pari alla radice quadrata del valore quadratico medio, detto anche valore rms (abbreviazione di root mean square ). Dal punto di vista fisico il voltaggio efficace V eff rappresenta il voltaggio di un generatore costante che dissiperebbe su una resistenza la stessa potenza media dissipata dal generatore variabile V(t): <W> V T eff 1 V ( t) dt T 0 13.51 Quando V(t) ha un andamento sinusoidale, il valore quadratico medio diventa V T 0 V0 V0 Veff sin ( ω t) dt Veff 13.5 T 0 Per esempio, la tensione di 0 V che arriva nelle nostre case è in realtà una tensione all incirca sinusoidale che oscilla tra 311 V e 311 V; 0 V è il valore efficace. 13.6.6 Circuiti oscillanti Nel circuito della figura il generatore V G viene scollegato al tempo t 0, quando nella resistenza e nell induttanza circola una corrente (0) V G / e il condensatore è scarico in quanto V(0) 0. V G C L V(t) Dopo l apertura dell interruttore la corrente inizia a circolare nella maglia LC, il condensatore si carica progressivamente e il potenziale V(t) ai suoi capi diventa negativo; questo potenziale fa diminuire la corrente nella induttanza in base alla 13.37 fino a quando si riduce a zero, V(t) raggiunge il massimo valore negativo e il condensatore la carica massima. A questo punto il condensatore i- nizia a scaricarsi attraverso l induttanza, la corrente diventa negativa rispetto al senso di percorrenza che aveva al tempo iniziale sino a raggiungere il valore iniziale cambiato di segno. Quando V(t) è massimo, o minimo, tutta l energia è immagazzinata nel condensatore; quando la corrente è massima, o minima, tutta l energia è nell induttanza. Negli istanti intermedi l energia complessiva è E tot E L + E C L ( t ) CV ( t ) 1 L V G + 13.53 La conversione di energia elettrica (nel condensatore) e magnetica (nell induttanza) è descritta da una equazione formalmente uguale a quella per il moto del pendolo: basta infatti associare x V e v. Nel caso del pendolo (vedi Equazione 6.5) energia potenziale e cinetica si trasformano continuamente l una nell altra. n questo caso l energia del condensatore si trasferisce all induttanza e viceversa. Come la posizione e la velocità del pendolo, così anche il voltaggio e la corrente hanno un andamento sinusoidale: VG 0 ( t) 0 cosωt V ( t) V0 sinωt con V0 0 1 ω LC L C 13.54 L energia è mediamente ripartita in modo uguale tra condensatore e induttanza. La frequenza propria del circuito oscillante, ν ω /π si chiama anche frequenza di risonanza. La tecnologia delle trasmissioni radio sfrutta abbondantemente le proprietà dei circuiti oscillanti LC. l dispositivo con cui Guglielmo Marconi riuscì a trasmettere i primi segnali radio era simile al circuito che abbiamo discusso: azionando un interruttore si avvia un circuito LC con una frequenza di risonanza di alcuni MHz ( *), il quale compie molte oscillazioni prima di smorzarsi. Queste oscillazioni producono onde elettromagnetiche (vedi Capitoli 11 e 15) che fanno oscillare un circuito distante caratterizzato da una uguale frequenza di risonanza. A- zionando a intervalli variabili l interruttore si realizza in questo modo la cosiddetta telegrafia senza fili. (*) È abbastanza facile avvolgere bobine con L ~ 1 µh, che con comuni condensatori da ~10 pf danno frequenze di risonanza dell ordine dei MHz.

Magnetostatica e induzione elettromagnetica 83 13.7 Moto di cariche nei campi magnetici 13.7.1 Lo spettrometro di massa Una particella di massa m e carica q in moto con velocità v in un campo magnetico è sottoposta a una forza di Lorentz (Equazione 13.5) f qv qv sinϑ dove ϑ è l angolo tra velocità e campo magnetico. La forza di Lorentz è sempre perpendicolare a v (oltre che a ) e perciò non compie lavoro. l suo effetto è quello di curvare la traiettoria, che in genere assume l aspetto di un elica cilindrica con asse parallelo a. Proiettata su un piano perpendicolare a, l elica è una circonferenza percorsa con velocità di modulo costante v vsenϑ. Nella maggior parte degli spettrometri di massa si usa il seguente metodo per ottenere un fascio di particelle con la stessa velocità. Le particelle cariche con velocità v, diretta lungo l asse y, generate da una sorgente possono accedere, attraverso una prima fenditura, a una camera in cui vi è un campo elettrico uniforme E diretto lungo l asse z e un campo magnetico uniforme ' diretto come l asse x. x z sorgente y ' E v z La particella potrà emergere da una seconda fenditura in asse con la prima solo se percorre una traiettoria rettilinea, ossia se la forza elettrica qe è uguale e opposta a quella magnetica qv ', ossia se qe qv' v E ' 13.56 x v z k ϑ v y v y j Dopo la seconda fenditura, la particella passa in una camera dove vi è solo un campo uniforme diretto lungo x. Essendo e v perpendicolari, per le 13.55 e 13.56 la particella descrive una traiettoria di raggio Nell ambito della meccanica classica (valida per velocità piccole rispetto a quella della luce) la massa moltiplicata per l accelerazione centripeta di questo moto deve uguagliare la forza centripeta di Lorentz: v m qv m v 13.55 q Questa è l equazione fondamentale per lo spettrometro di massa ( *) e per il moto di cariche in presenza di campi magnetici; particelle con uguale velocità vengono deflesse da un campo magnetico lungo traiettorie con curvatura proporzionale al rapporto carica/massa. ( * ) Lo spettrometro di massa è uno strumento utilizzato per determinare la massa di ioni (sia semplici sia formati da frammenti macromolecolari relativamente grossi) che copre un importantissimo ruolo in chimica analitica. E m ' q 13.57 in cui l unica quantità incognita è il rapporto massa su carica. oni con uguale carica e massa leggermente diversa sono raccolti in punti diversi di uno schermo fotografico; si possono così determinare accuratamente le masse e le abbondanze relative dei vari isotopi di un elemento. 13.7. Effetti del magnetismo terrestre La Terra è una grande calamita il cui polo Sud magnetico è posto in prossimità del Nord geografico. Le linee di forza di non sono regolari, ma sono schiacciate dalla parte del Sole e deformate in prossimità della Terra a causa delle variazioni di permeabilità dei materiali che

84 Capitolo 13 costituiscono il nostro pianeta. l campo magnetico alla superficie della Terra ha un valore relativamente basso, di circa (10 5 ) T. asta però questo piccolo campo, e distanze interplanetarie, per deflettere una buona parte delle cariche provenienti dal cosmo, cariche capaci di ionizzare la materia biologica e provocare alterazioni genetiche. S N Polo Nord S N Terra Polo Sud Sole Conviene distinguere i due casi limite in cui la particella si muove su un piano equatoriale, con componente della velocità nella direzione di nulla, v 0, e quello in cui la particella ha una velocità diretta prevalentemente lungo il campo magnetico terrestre. Moto sul piano equatoriale Se la particella ha una grande quantità di moto (e la velocità v 1 della figura), la forza di Lorentz ne deflette la traiettoria fino a che la particella rimane in prossimità della Terra: si può pensare in questo caso che il campo magnetico terrestre abbia un valore medio costante in una regione di spazio molto più piccola del raggio di traiettoria dato dalla 13.36, e nullo altrove. Ovest Nord v + Nella situazione opposta di quantità di moto che darebbero, in campi dell ordine di 10 5 T, traiettorie con raggi comparabili alla dimensione terrestre (velocità v ), la particella descrive archi di traiettoria con raggio di curvatura piccolo quando è più vicina alla Terra, e raggio grande quando è più lontana. La traiettoria non è più un cerchio, ma una cicloide che si sposta da Est verso Ovest per particelle cariche positivamente, e nella direzione opposta per particelle cariche negativamente. Moto nella direzione di + Se il campo fosse uniforme e la velocità avesse una componente parallela a, la traiettoria sarebbe una spirale di raggio proporzionale a v (vedi 13.36). Poiché dirigendosi verso uno dei poli l intensità del campo magnetico aumenta, ci si aspetta che la spirale diventi sempre più stretta; la forza di Lorentz f L inoltre acquista una componente che si oppone alla penetrazione della particella nelle regioni dove è più intenso. v 1 + f L Perciò una particella diretta verso il polo Nord o il polo Sud della Terra compie spirali via via più strette e diminuisce v fino a che questa velocità si annulla e poi cambia segno: è come se la particella rimbalzasse sul campo magnetico. Attorno alla Terra vi sono particelle cariche

Magnetostatica e induzione elettromagnetica 85 intrappolate nelle fasce di Van Allen, regioni che si e- stendono dal polo Nord al polo Sud (a distanza di ~1.5 e ~5 raggi terrestri) nelle quali le cariche provenienti dal cosmo rimangono intrappolate e spiraleggiano in continuazione avanti e indietro tra i due poli. l moto di queste particelle nelle fasce di Van Allen causa tempeste magnetiche e le cosiddette aurore polari. l campo magnetico terrestre non è costante nel tempo, presentando anche inversioni di polarità con varie (non precise) periodicità, di centinaia di migliaia di anni e oltre. Ciò comporta intervalli di decine di migliaia di anni, in cui i valori del campo sono prossimi allo zero, molto inferiori a quelli attuali. Le oscillazioni del campo terrestre sono rivelate da rocce la cui magnetizzazione dipende dal valore del campo terrestre al momento della loro formazione. Sembra che l evoluzione delle specie non proceda in modo regolare, ma che subisca forti accelerazioni proprio nei periodi in cui il campo magnetico terrestre è minimo, e offre una ridotta protezione dalle particelle cariche provenienti dal cosmo. 13.8 La magnetizzazione della materia Svolgiamo qui una trattazione analoga a quella della polarizzazione elettrica, il cui scopo è quello di descrivere come un campo magnetico venga modificato dalla presenza della materia. La trattazione del problema nella sua generalità è complicata: a differenza del caso elettrico, è abbastanza comune trovare sostanze (per esempio i materiali ferromagnetici che costituiscono le calamite) che non rispondono in modo lineare neppure a campi esterni applicati relativamente deboli. n un primo tempo, dovremo escludere esplicitamente questi materiali dalla nostra considerazione. Sia un magnete permanente sia una spira percorsa da corrente sono dei dipoli magnetici, o momenti magnetici che tendono a orientarsi in un campo magnetico (vedi 13.7 13.8). l momento magnetico è un vettore che ha le dimensioni di corrente area. Come nel caso della polarizzazione elettrica, si definisce magnetizzazione M la somma vettoriale dei dipoli magnetici nell unità di volume. Applicando l operatore rotore alla 13. si ottiene l equivalente della 1.0b: µ 0 (J + M) µ 0 µ r J 13.58 dove la seconda uguaglianza, valida solo in un mezzo omogeneo e lineare, consente di definire la permeabilità magnetica relativa µ r. Per visualizzare questa relazione si pensi a un solenoide infinito riempito con un materiale omogeneo non ferromagnetico in cui vi siano momenti magnetici elementari, orientati come l asse del solenoide, di entità proporzionale a, e rappresentati da anelli di corrente. n prossimità di ogni punto interno al materiale non ferromagnetico vi sono correnti circolanti in senso inverso, dovuti a momenti magnetici adiacenti, i cui effetti si annullano. Solo ai bordi le correnti elementari compongono un intero anello di corrente, concentrico alle spire di cui si immagina costituito il solenoide, che contribuirà, al pari delle correnti nelle spire, al campo magnetico complessivo. Corrispondentemente, il rotore della magnetizzazione è diverso da zero solo ai bordi; infatti l operatore rotore coinvolge derivate spaziali ed è identicamente nullo all interno del materiale, dove la magnetizzazione è, nelle nostre ipotesi, uniforme. Si può ripetere per la magnetizzazione molto di quanto si è detto per la polarizzazione elettrica: in particolare la prima dipenderà da dipoli magnetici indotti o naturalmente presenti nel mezzo. Prima di discutere le proprietà magnetiche dei materiali stimiamo l ordine di grandezza dei dipoli magnetici elementari presenti nella materia e dei campi magnetici da questi generati. mmaginiamo che un elettrone (carica e 1.6 10 19 C) si trovi in un orbita circolare, appartenente al piano del disegno, attorno a un protone (carica +e). Se trascuriamo l irraggiamento elettromagnetico (vedi Capitolo 15), si ha un orbita stabile quando la forza d attrazione coulombiana protone-elettrone egua-glia il prodotto massa dell elettrone accelerazione centripeta: e f c 4πε 0 r r me v 13.59 r f c v e, m e +e, m p m

86 Capitolo 13 Per un orbita di raggio pari a quello dell atomo di idrogeno, r 5.3(10 11 ) m, la velocità è v.18(10 6 ) m/s e il periodo di rotazione è 1 πr ν v 1.53(10 16 ) s 13.60 Poiché l elettrone passa ν volte al secondo da ogni punto dell orbita, questa può essere pensata come una spira di raggio r con una corrente eν. l momento di dipolo magnetico dell elettrone dell idrogeno è il prodotto di questa corrente per l area dell orbita: µ e evr 9.4(10 4 ) A m 13.61 l campo magnetico che l elettrone orbitante genera nella posizione del protone è (vedi 13.18) µ 0 µ 0e ν 1.4 T 13.6 r r Ci si aspetta che nella materia condensata i momenti magnetici siano dell ordine di grandezza di µ e stimato dalla 13.61 e che i campi d induzione magnetica da loro generati, su distanze atomiche, siano dell ordine di 10 1 T. Anche se un tale campo può sembrare enorme rispetto a quello terrestre, l energia potenziale magnetica di µ e in questo campo (vedi 13.8) è piccolissima rispetto all energia potenziale elettrica dell elettrone nel campo elettrico del protone: energia magnetica µ e 10 J 13.63 energia elettrica e 5(10 18 ) J 13.64 4πε o r Le proprietà chimiche della materia dipendono dai legami elettronici tra gli atomi la cui energia è quasi interamente determinata dalla interazione elettrica. Le proprietà magnetiche hanno perciò un effetto diretto del tutto trascurabile sulle proprietà chimiche. Per le stime di ordine di grandezza abbiamo utilizzato un modello elementare di atomo che sembrerebbe avere molti difetti. Non c è ragione per cui l elettrone dell idrogeno occupi un particolare piano orbitale: se tutte le orbite di un dato raggio hanno uguale probabilità, il momento magnetico non può puntare in alcuna direzione e deve essere nullo. Mentre in meccanica classica si possono avere orbite di raggio qualsiasi (che dipendono dall energia cinetica del pianeta), gli atomi sembrano mantenere circa le stesse dimensioni al variare della temperatura. Per superare queste difficoltà, Niels ohr nel 1913 ipotizzò che l elettrone potesse occupare solo orbite caratterizzate da un momento della quantità di moto m e vr nh 13.65 dove n è un intero e h ( acca-tagliato ) è h h π con h 6.63(10 34 ) J s 13.66 dove h è una costante fondamentale, detta costante di Planck. ohr utilizzò la 13.65 con n 1 per introdurre il cosiddetto magnetone di ohr, µ : µ e h 9.74(10 m 4 ) A m 13.67a e che risulta praticamente uguale alla stima del momento magnetico µ e dell elettrone dell'idrogeno ( 13.61). Oltre al momento della quantità di moto dovuto al moto lungo l orbita (momento angolare orbitale), si è trovato che l elettrone ha anche un momento angolare intrinseco, o di spin, ( to spin ruotare) pari a (1/)h, a cui è associato un momento magnetico pari a µ. Anche i nuclei atomici hanno momenti di spin che sono multipli di (1/)h ; a essi sono associati momenti magnetici che sono dell ordine di un millesimo di µ. Qualitativamente, questo dipende dal fatto che, per la 13.67, il momento magnetico è inversamente proporzionale alla massa e che un protone pesa circa duemila volte più dell elettrone. l magnetone nucleare è riferito alla massa del protone m p : µ N e h m 5.05(10 7 ) A m 13.67b p 13.8.1 Diamagnetismo La maggior parte di atomi e molecole hanno un momento magnetico complessivo che è una piccolissima frazione del magnetone di ohr: le interazioni interatomiche tendono ad annullare i momenti angolari orbitali e gli elettroni amano viaggiare in coppie con spin elettronici (e momenti magnetici intrinseci a questi associati) orientati in versi opposti. Queste sostanze esibiscono un debole diamagnetismo, un effetto per cui un campo magnetico

Magnetostatica e induzione elettromagnetica 87 produce una magnetizzazione, proporzionale al campo applicato, di verso opposto a. l fenomeno del diamagnetismo è interpretabile solo nell ambito della meccanica quantistica, ma potrebbe ingenuamente venire compreso con il modello classico di atomo che abbiamo utilizzato in precedenza. mmaginiamo che un atomo abbia due elettroni sulla stessa orbita piana i quali circolino in senso inverso con la stessa velocità angolare ω in modo che i due momenti magnetici, m + e m siano uguali e opposti. m δm m + f L δm + Quando applichiamo un campo magnetico normale al piano dell orbita, l elettrone che gira in senso antiorario per un osservatore diretto come, e ha momento magnetico m, avverte una forza di Lorentz f L, di modulo ev, diretta verso il nucleo mentre l altro elettrone avverte una forza di verso opposto. Supponiamo che il campo magnetico abbia un effetto trascurabile sul raggio dell orbita e produca un cambio di velocità angolare δω in modo che si ristabilisca l equilibrio tra forza centripeta (f c f E + f L ) e accelerazione angolare. Poiché f L causa un cambio molto piccolo di f c per l elettrone antiorario si può scrivere ( *) δf c erω δ (m e ω r) m e rω δω 13.68 o anche δω e m e 13.69 Poiché la velocità aumenta di rδω, vi è un aumento del momento angolare e un corrispondente aumento del modulo del momento magnetico m : δm e er e r 13.70 me 4m e (*) La variazione della forza è proporzionale al differenziale dell accelerazione rispetto a ω ; si usa il simbolo δ anziché quello di differenziale, d, per indicare che la variazione è piccola ma non infinitesima. f L Nell orbita antioraria si sviluppa perciò un momento magnetico addizionale δm diretto in verso opposto a. Nel caso dell elettrone che gira in senso orario, la velocità angolare e i moduli di f c e µ + diminuiscono; perciò anche in questo caso il momento magnetico aggiuntivo indotto dal campo magnetico ha verso contrario a quello di. Calcoliamo per un mezzo diamagnetico l ordine di grandezza della suscettività magnetica: χ m µ r 1 13.71 ossia del numero puro che rappresenta il rapporto tra µ 0 M e (vedi 13.). La magnetizzazione è la somma dei momenti elettronici indotti per unità di volume, che è pari alla 13.70 diviso per il volume occupato in media dal singolo elettrone ~r 3. Dalla 13.70 segue µ 0e µ 0M ( 10 4m r 4 ) e La suscettività magnetica di una sostanza diamagnetica è praticamente indipendente dalla temperatura, e di solito ancora più piccola, in valore assoluto, del valore 10 4 che abbiamo stimato. Quasi tutte le sostanze organiche e la maggior parte di quelle inorganiche sono diamagnetiche. 13.8. Paramagnetismo l diamagnetismo, per quanto visto, è un fenomeno che si dovrebbe verificare in ogni sostanza. Tuttavia talvolta esso è cancellato (e pertanto risulta non rilevabile) dal paramagnetismo. n una sostanza paramagnetica vi sono a- tomi o molecole che hanno un momento magnetico m e- lettronico diverso da zero. Questo momento è parallelo al momento della quantità di moto dell elettrone: m γ 13.7 dove γ è detto rapporto giromagnetico, ed è dell ordine di e/m e per gli elettroni (e di e/m p per i nuclei). n presenza di un campo d induzione magnetica uniforme sul dipolo magnetico agisce una coppia (vedi 13.7) m γ La legge di Newton per un corpo in rotazione attorno a un punto perciò si scrive

88 Capitolo 13 d dt γ 14.73 Questa equazione è formalmente simile a quella che descrive il moto di una carica q di massa m in un campo magnetico uniforme (vedi 13.0 e 13.36): dv q v dt m per la quale si è mostrato che la forza a secondo membro non compie lavoro e muta la direzione, ma non il modulo, della velocità. n modo del tutto analogo, la coppia a secondo membro della 13.73 non compie lavoro e fa cambiare nel tempo solo la direzione della componente di perpendicolare a. Si dice per questo che il momento angolare precede (come una trottola) attorno a ; la sua velocità angolare ω γ 13.74 è detta velocità di precessione di Larmor. Questa equazione è alla base del fenomeno della risonanza magnetica nucleare (NM nuclear magnetic resonance) ed e- lettronica (EP electron paramagnetic resonance): la magnetizzazione dovuta ai momenti magnetici di un tipo di particella (nucleo o elettrone) precede con una velocità angolare proporzionale al campo magnetico e al rapporto giromagnetico della particella. l moto di precessione può essere rivelato grazie alla differenza di potenziale che la magnetizzazione rotante induce in un solenoide con asse perpendicolare a. Lo studio di questo moto fornisce informazioni sui disturbi alla precessione prodotti dalle interazioni della specie atomica con le particelle circostanti. Da circa 50 anni la risonanza magnetica affianca le spettroscopie ottiche e la diffrattometria a raggi X (vedi Capitolo 15) nello studio della materia condensata. A partire dagli anni Settanta si sono sviluppate tecniche capaci di ottenere informazioni sulla presenza di vari tipi di nuclei (in particolare, di quelli di idrogeno) in diverse regioni dello spazio. È nata la tomografia NM, o M (magnetic resonance imaging), che, fornendo mappe di densità dei protoni nei tessuti biologici, si è affermata come potente e sofisticato strumento medico-diagnostico. l suo fondamento è l equazione di risonanza 13.74, che stabilisce una proporzionalità tra campo applicato e frequenza. asta fare in modo che parti diverse del corpo siano esposte a campi magnetici leggermente diversi perché i momenti magnetici di una specie chimica emettano segnali con frequenza dipendente dalla posizione; si può così risalire alla quantità della specie chimica presente in una data regione e se ne possono studiare alcune proprietà. Oltre che precedere, i momenti magnetici nella materia possono cambiare la loro orientazione rispetto al campo. Per fare questo deve essere scambiata una energia il cui ordine di grandezza è µ per gli elettroni e µ N per i nuclei (vedi 13.67a e b). La meccanica quantistica stabilisce che questi scambi di energia possono avvenire solo per multipli interi della quantità hγ n un campo di 1 T questa energia è dell ordine di 10 3 J per un elettrone e di 5 10 7 J per un nucleo di idrogeno (protone): a temperatura ambiente (T 300 K) le energie magnetiche di nuclei ed elettroni sono perciò di diversi ordini di grandezza inferiori all energia termica (k T 4 10 1 J) che il principio di equipartizione associa a ogni particella o grado di libertà. n queste condizioni l agitazione termica riesce perciò a mantenere un disordine quasi completo nelle orientazioni dei momenti magnetici microscopici: solo una frazione dei momenti magnetici, dell ordine di hγ / k T, è diretta nello stesso verso di e aumenta il campo magnetico che si avrebbe nel vuoto. Gli altri momenti magnetici hanno uguale probabilità di essere paralleli e antiparalleli e non contribuiscono al valor medio di. Ci si aspetta perciò che una sostanza con momenti magnetici intrinseci, lontana dallo zero assoluto e in un campo magnetico moderato abbia una componente paramagnetica, ossia acquisti una debole magnetizzazione diretta nel verso di, proporzionale a e inversamente proporzionale a T (legge del paramagnetismo, detta anche di Curie in onore di Pierre Curie). Se il campo magnetico nella sostanza è superiore a quello che si avrebbe nel vuoto, la componente paramagnetica della magnetizzazione supera quella diamagnetica e la sostanza si dice essere paramagnetica. La magnetizzazione dovuta ai momenti magnetici nucleari è di solito molto minore di quella, di segno opposto, associata al diamagnetismo; è invece abbastanza comune che sostanze metalliche o con elettroni disaccoppiati abbiano µ r leggermente superiore all unità e siano perciò sostanze paramagnetiche. 13.8.3 Ferromagnetismo