3. Metodo degli elementi finiti 3.1 GENERALITÀ Si è visto che col metodo degli spostamenti si riesce a risolvere in maniera esatta il problema della determinazione degli spostamenti e degli sforzi in una struttura reticolare con semplici operazioni di algebra matriciale. Se una struttura continua, con infiniti gradi di libertà e governata da un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali che esprimono le condizioni di equilibrio e di congruenza, si suddivide in elementi di volume di estensione finita connessi in punti chiamati nodi, con certe proprietà e caratterizzati da un numero finito di gradi di libertà, e si riescono a scrivere per ogni elemento le equazioni di equilibrio, l'applicazione del metodo degli spostamenti consente di determinare lo stato tensionale con semplici operazioni di algebra matriciale. Il metodo prende il nome di metodo degli elementi finiti (MEF) ed è utile per l'analisi di problemi per i quali non è disponibile la soluzione esatta; esso si è sviluppato inizialmente per problemi di analisi delle tensioni, ma in seguito è stato applicato ad una grande varietà di altri problemi ingegneristici.
Il MEF richiede l'utilizzazione del calcolatore; per questa ragione lo sviluppo e la diffusione del metodo si è estesa negli ultimi anni. Esso permette di rendere quasi completamente automatica l'analisi di una struttura, definita dalla sua geometria, dalle sue caratteristiche elastiche e dai carichi che la sollecitano. Il metodo si presta anche a tenere conto, attraverso reiterazioni di calcolo, di possibili non linearità.
3.2 CONCETTO DI ELEMENTO FINITO Col MEF la struttura, continua, è modellata per mezzo di linee o superfici in un numero discreto di regioni di volume, di dimensioni piccole ma finite, o 'elementi finiti', di forma opportuna (triangoli o quadrilateri per le strutture bidimensionali, tetraedri o esaedri per quelle tridimensionali). Ciascun elemento viene connesso agli elementi adiacenti in corrispondenza di alcuni punti del contorno detti, come per le strutture reticolari, nodi. Per un elemento quadrilatero, per esempio, si possono assumere come nodi i vertici oppure i vertici ed i punti medi di ciascun lato. Gli elementi interagiscono mediante forze concentrate ai nodi, che sostituiscono la distribuzione delle tensioni sul loro contorno. Con l'approccio agli spostamenti si assumono come incognite gli spostamenti dei punti nodali. Approssimando l'andamento degli spostamenti all'interno dell'elemento mediante opportune funzioni degli spostamenti nodali (funzioni di spostamento) si riesce a definire analiticamente lo stato di deformazione e, tramite le proprietà del materiale, di tensione dell'elemento.
Con l'applicazione del principio dei lavori virtuali si riesce infine ad ottenere il sistema di equazioni di equilibrio dell'elemento tra il sistema di forze esterne all elemento ed il sistema di reazioni elastiche connesse agli spostamenti nodali. A questo punto il procedimento segue quello indicato in 2.6 per le strutture reticolari. La soluzione alla quale si perviene col MEF è approssimata non tanto per aver discretizzato la struttura, ma quanto perché risulta inevitabilmente approssimata la funzione con la quale si sceglie di rappresentare l'andamento degli spostamenti all'interno dell'elemento. Per data dimensione dell'elemento, al variare della funzione degli spostamenti scelta, varia l'entità della approssimazione della soluzione; usando, per esempio, come funzione degli spostamenti una polinomiale, l'approssimazione dell'andamento reale dello spostamento u migliora, per data dimensione dell elemento, usando una polinomiale di grado più elevato. E' intuitivo inoltre che, per data funzione degli spostamenti, l'approssimazione migliora con l'infittimento della discretizzazione.
3.3 PROCEDIMENTO DI ANALISI I passi del procedimento sono: 1) discretizzazione della struttura in EF; 2) assegnazione della funzione di spostamento: dove {s} è il vettore degli spostamenti del generico punto dell'elemento e {q} è il vettore degli spostamenti nodali; 3) derivazione dell'equazione di equilibrio dei singoli elementi: {Q}=[k]{q} 4) assemblaggio e derivazione dell'equazione di equilibrio della struttura completa: {F}=[K]{d} 5) introduzione delle condizioni al contorno e soluzione: [ K ]{ d } { F } [ K ]{ d } ll l lv v 1 = { s} = f( { q} ) Si osservi che i passi 4 e 5 sono comuni al metodo degli spostamenti.
3.3.1 Discretizzazione in elementi finiti La suddivisione del continuo in elementi è un'operazione molto delicata. Non esistono criteri generali, ma si possono fornire alcune indicazioni : 1) Sono da evitare elementi di forma irregolare, come quadrilateri lunghi e sottili e triangoli appuntiti, o con angoli troppo piccoli o troppo grandi (minori di 45 o maggiori di 135 circa per elementi quadrilateri); i risultati più accurati di analisi bidimensionali si ottengono con triangoli equilateri e con quadrati. 2) Nelle zone con elevati gradienti di tensione è necessario infittire la discretizzazione, rispetto a regioni nelle quali le tensioni variano più gradualmente, al fine di disporre di un numero maggiore di elementi. 3) Dal momento che la soluzione è approssimata, è necessario valutare l'accuratezza dei risultati; questo generalmente si fa eseguendo diverse analisi su modelli della struttura caratterizzati da discretizzazioni via via più fitte; in tal modo si può ottenere una misura della convergenza al valore esatto. E' inoltre opportuno controllare i risultati dal punto di vista statico e ripetere eventualmente l'analisi impiegando diversi tipi di elementi e diverse discretizzazioni.
Figura 3.2 Tabella 3.1 Eseguita la discretizzazione si numerano gli elementi ed i nodi e nella "tavola delle connessioni" si elencano per ogni elemento i nodi. E opportuno elencare i nodi secondo un verso prefissato come indicato nei manuali del programma di calcolo utilizzato. In figura 3.2 si riporta la discretizzazione di una lastra; si sono utilizzati elementi rettangolari disposti lungo la sua superficie media con nodi posizionati nei vertici. In tabella 3.1 è riportata la tavola delle connessioni, nella quale i nodi sono elencati in senso antiorario. I moderni codici di calcolo basati sul metodo degli EF sono in grado di eseguire la connessione automaticamente. E' necessario definire inoltre le caratteristiche del materiale, che possono variare da elemento ad elemento.
3.3.2 Funzione di spostamento La funzione di spostamento è assegnata con lo scopo di scrivere le relazioni di equilibrio negli elementi. La sua espressione è funzione degli spostamenti ai nodi. Ogni nodo è caratterizzato da un certo numero di gradi di libertà (o spostamenti generalizzati). Questi sono parametri nodali incogniti, scelti in relazione al tipo di problema da trattare e possono rappresentare non solo spostamenti, ma anche rotazioni, temperature, ecc. In ogni caso il numero e il tipo di spostamenti generalizzati da definire dipende dal problema. a) Figura 3.3 b)
METODO DEGLI ELEMENTI FINITI Per esempio per i nodi di elementi da impiegare per l'analisi di problemi tensionali bidimensionali si assumono le due componenti di spostamento nel piano (elemento lastra o membrana - fig.3.3a), per l'analisi di piastre inflesse si possono assumere lo spostamento trasversale e le due rotazioni della normale alla superficie media (elemento piastra - fig. 3.3b); combinando i due elementi si ottiene un elemento col quale si è in grado di analizzare stati tensionali dovuti a carichi nel piano e ortogonali ad esso (elemento guscio). Nel caso tridimensionale si assumono le componenti di spostamento secondo tre direzioni di riferimento. Si osservi che il termine nodo ha il solo significato di individuare il punto di connessione tra due o più elementi, i quali assumono in tale punto gli stessi valori dei gradi di libertà. Pertanto se gli elementi sono monodimensionali e per i nodi sono definiti gli spostamenti nel piano (due gradi di libertà), i nodi rappresentano delle cerniere; se per i nodi sono definiti gli spostamenti nel piano ed una rotazione intorno ad un asse perpendicolare a questo, detti nodi rappresentano degli incastri. Definendo con {q} i il vettore degli spostamenti del nodo i, si ha nel caso tridimensionale:
Definendo con {q} i il vettore degli spostamenti del nodo i, si ha nel caso tridimensionale: qr { q} = q i s q t essendo q r, q s e q t le componenti dello spostamento nel nodo i secondo tre direzioni. Per un elemento di volume con n nodi il vettore {q} degli spostamenti nodali dell'elemento si scrive: { q} 1 { q} 2 { q} =. { q} n L'espressione degli spostamenti {s} dei punti interni all'elemento in funzione degli spostamenti dei nodi: ( ) { s} = f { q} costituisce la funzione di spostamento dell'elemento. Il punto critico del MEF è proprio la scelta del modello di spostamento, cioè la scelta della forma della funzione f.
3.3.2.1 Elemento monodimensionale a due gradi di libertà Si consideri un elemento monodimensionale orientato secondo l asse x i cui nodi estremi siano soggetti a spostamenti assiali (figura 3.4) e se ne ricerchi la funzione degli spostamenti. Si scelga per gli spostamenti u, come è ovvio, una dipendenza lineare dalla ascissa: u=α 1 + α 2 x (3.1) I valori di α 1 e α 2 si ricavano imponendo che nei nodi 1 e 2 gli spostamenti assumano i valori assegnati: Si ottiene: Figura 3.4 q 1 =α 1 +α 2 x 1 q 2 =α 1 +α 2 x 2
α 2 1 q1 1 q2 q = = 1 x1 x 1 x 2 q x α 1 1 1 2 2 Sostituendo nella (3.1) si ha: = q q x x x x = q ( x x ) ( q q ) x x x 1 1 q = q1 x q x x q q q q x x x x u = q x + x = q + q 1 1 1 2 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 (3.2) che rappresenta la funzione di spostamento dell'elemento asta di fig. 3.3 in funzione degli spostamenti ai nodi, quando u è funzione lineare della ascissa. I coefficienti degli spostamenti dei nodi 1 e 2: x x x x N x = N x = ( ) ( ) 1 2 x2 x1 x2 x1 (3.3) prendono il nome di funzioni di forma dell'elemento, che in questo caso sono lineari. 1
Esse forniscono il peso degli spostamenti nodali nel calcolo dello spostamento del punto interno allo elemento; per x = x 1 nella (3.2) risulta u= q 1 (cioè N 1 =1 ed N 2 =0) e per x = x 2 risulta u= q 2 (N 1 =0 ed N 2 =1). La 3.2 in forma matriciale può scriversi: q1 u= [ N (3.3) 1 N2] q 2 che si può generalizzare per un elemento qualunque e scrivere in forma contratta ponendo u = {s}, vettore delle componenti dello spostamento dei punti interni all'elemento, {q 1 q 2 } T = {q}, vettore degli spostamenti nodali ed [N 1 N 2 ]=[N], matrice delle funzioni di forma dell'elemento: { } { } ( ) [ ]{ } s = f q = N q (3.4)