Teoria della misura e teoria degli insiemi

Teoria della misura e teoria degli insiemi Samuele Maschio 1 Teoria della misura: nozioni di base Definizione 1.1. Sia X un insieme. Una σ-algebra di sottoinsiemi di X é un insieme H P(X) tale che 1. H; 2. Per ogni Y, se Y H allora X \ Y H; 3. Per ogni famiglia numerabile {X n } n N H si ha n N X n H. Proposizione 1.2. Sia X un insieme e sia X {H σ-algebre di sottoinsiemi di X}. Allora X é una σ-algebra di sottoinsiemi di X. Definizione 1.3. Sia X un insieme e sia J P(X). Si dice σ-algebra generata da J la σ-algebra H: = {I-algebre di sottoinsiemi di X J I}. Ci concentriamo ora su alcune σ-algebra di sottoinsiemi di R. seguente Richiamiamo la Definizione 1.4. Un sottoinsieme X R é aperto se per ogni x X esiste ɛ > 0 tale che (x ɛ, x + ɛ) X. Un sottoinsieme X di R é chiuso se R \ X é aperto. Proposizione 1.5. Ogni sottoinsieme aperto di R é unione al piú numerabile di intervalli aperti a due a due disgiunti. Definizione 1.6. La σ-algebra dei boreliani di R, indicata con B(R), é la σ-algebra di sottoinsiemi di R generata dalla famiglia degli aperti di R. Definizione 1.7. Sia H una σ-algebra di sottoinsiemi di X. Una misura su H é una funzione P: H R + tale che 1. P( ) = 0; 2. P( n N X n) = n N P(X n) per ogni famiglia numerabile {X n } n N tale che X i X j = per ogni i, j N tali che i j. Proposizione 1.8. Se P é una misura su una σ-algebra H e X, X H sono tali che X X, allora P(X) P(X ). 1

Definizione 1.9. Sia X R aperto tale che X = n H (x n, y n ) dove gli intervalli (x n, y n ) al variare di n H N sono a due a due disgiunti. Si definisce P (X) = n H(y n x n ). Definizione 1.10. Un sottoinsieme X di R é misurabile secondo Lebesgue se per ogni ɛ > 0 esiste un aperto H e un chiuso H di R tali che 1. H X H; 2. P (H \ H ) < ɛ. Definizione 1.11. Si denota con L(R) l insieme dei sottoinsiemi di R misurabili secono Lebesgue. Teorema 1.12. L insieme L(R) é una σ-algebra di sottoinsiemi di R. Teorema 1.13. Definita P(X): = inf P (H) X H H aperto per ogni X misurabile secondo Lebesgue, si ha che 1. P é una misura su L(R), ogni aperto di R é misurabile secondo Lebesgue e P P sugli aperti di R; 2. Per ogni X L(R) e per ogni x R si ha che X + x = {x + x x X} L(R) e P(X + x) = P(X) ( invarianza); 3. Per ogni x R si ha che P({x}) = 0 ( non banalitá). Una volta osservato che anche P(R) é banalmente una σ-algebra di sottoinsiemi di R, si ottiene, dato che tutti gli aperti sono misurabili secondo Lebesgue, il seguente Teorema 1.14. B(R) L(R) P(R). I paragrafi 3 e 4 saranno dedicati al problema di capire se le due inclusioni possano e, se sí, sotto quali condizioni essere strette. 2 Alcuni assiomi della teoria degli insiemi Assioma 2.1 (DC). Se R é una relazione binaria su un insieme non vuoto X tale che per ogni x X esiste x tale che x Rx allora esiste una successione ξ: ω X tale che per ogni n ω si ha ξ(n + 1)Rξ(n). Assioma 2.2 (ω-ac). Se X è un insieme numerabile tale che per ogni x X, x, allora esiste una funzione ψ: X X tale che ψ(x) x per ogni x X. Proposizione 2.3. In ZF si ha [DC] [ω AC]. Assioma 2.4 (AC). Se X è un insieme tale che per ogni x X, x, allora esiste una funzione ψ: X X tale che ψ(x) x per ogni x X. 2

Assioma 2.5 (ZL). Se (X, ) é un ordine parziale tale che ogni catena Y X ha un maggiorante y X, allora X ha un elemento massimale. Assioma 2.6 (WO). Ogni insieme puó essere ben ordinato. Proposizione 2.7. In ZF si ha [AC] [ω-ac] Proposizione 2.8. In ZF sono equivalenti [AC] [ZL] [WO] Supponiamo ora di lavorare in ZF C = ZF + [AC]. Dato che [AC] [WO] si ha che possiamo definire la cardinalitá di ogni insieme e formulare il seguente Assioma 2.9 (CH). X((X R X infinito) ( X = N X = R )). Infine terremo in considerazione il seguente Assioma 2.10 (WIC). Esiste un cardinale debolmente inacessibile RIcordiamo la seguente Definizione 2.11. Un cardinale debolmente inacessibile é un cardinale limite e regolare. 3 Insiemi non misurabili 3.1 La costruzione di Vitali Teorema 3.1 (Vitali). Se vale ZF C allora esiste un sottoinsieme di R non misurabile (cioé in ZF [AC] (L(R) P(R))). Dimostrazione. Sia X = [0, 1] e sia la relazione definita su X da x x se e solo se x x Q. Questa relazione é una relazione di equivalenza infatti 1. per ogni x R si ha x x Q; 2. se x y Q allora y x = (x y) Q; 3. se x y Q e y z Q allora x z = (x y) + (y z) Q. Sia X : = X/ l insieme delle classi di equivalenza rispetto alla relazione ovvero degli insiemi della forma [x] : = {x X x x}. Per [AC] esiste H R tale che H Y = 1 per ogni Y X, ovvero H contiene uno e un solo elemento per ogni classe di equivalenza. Siano ora q, q Q tali che q q. Abbiamo H + q H + q = dato che se y H + q H + q si ha che esistono h, h H tali che y = h + q = h + q 3

da cui e quindi h = h + q q h h da cui h = h e q = q. Inoltre [0, 1] q Q [ 1,1] (H + q) [ 1, 2]. Supponiamo ora che H sia misurabile; dato che Q [ 1, 1] é numerabile, per la monotonia della misura e per il fatto che P é invariante per traslazione si ha che H + q é misurabile secondo Lebesgue e P(H + q) = P(H) per ogni q Q [ 1, 1]si ha che P([0, 1]) P(H + q) = P(H) P([ 1, 2]) da cui q Q [ 1,1] 1 n N [ 1,1] q Q [ 1,1] P(H) 3 Dato che abbiamo supposto che H sia misurabile allora P(H) = 0 o P(H) > 0. Nel primo caso peró si ottiene che 1 0, mentre nel secondo + 3. Dunque H é un sottoinsieme di R non misurabile. 3.2 Altre costruzioni di insiemi non misurabili Innanzitutto vediamo la costruzione di Bernstein che fa uso dell assioma [WO]. Iniziamo con la seguente Definizione 3.2. Un insieme X R si dice perfetto se é un insieme chiuso non vuoto senza punti isolati. Si possono facilmente dimostrare i seguenti fatti in ZF Proposizione 3.3 (regolaritá). Se X L(R) e P(X) > 0 allora esiste un chiuso H X tale che P(H) > 0. Proposizione 3.4. Ogni sottoinsieme chiuso X di R infinito non numerabile contiene un insieme perfetto. Proposizione 3.5. Per ogni insieme perfetto P, P = R. da cui segue il Corollario 3.6. Ogni sottoinsieme chiuso di R é finito, numerabile o continuo. Possiamo ora passare alla seguente Definizione 3.7. Un insieme di Bernstein é un sottoinsieme X di R tale che per ogni insieme perfetto P, P X e P (R \ X). Osservazione 3.8. Si noti che se X é un insieme di Bernstein, anche R lo é. 4

Teorema 3.9. Se X é un insieme di Bernstein, allora non é misurabile secondo Lebesgue. Dimostrazione. Supponiamo che X sia misurabile secondo Lebesgue, allora possiamo supporre che P(X) > 0 (altrimenti possiamo consideriamo R \ X). Dato che X ha misura positiva esiste un chiuso H di misura positiva tale che H X; inoltre essendo H di misura positiva é infinito non numerabile, da cui si ottiene che deve contenere un insieme perfetto P, da cui si ottiene che P X e dunque (R \ X) P = e quindi che X non é di Bernstein. Prima di passare al prossimo teorema si ha questo risultato Proposizione 3.10. Se P é l insieme degli insiemi perfetti si ha che P = R. Teorema 3.11. In ZF si ha [WO] [Esiste un insieme di Bernstein]. Dimostrazione. Per [WO] esiste un buon ordinamento di P e quindi possiamo costruire una successione transfinita di insiemi perfetti dove π = min {ξ ON π = R } tale che {P ξ } ξ<π {P ξ ξ < π, ξ pari} = {P ξ ξ < π, ξ dispari} = P. Definiamo quindi una successione {x ξ } ξ<π tale che 1. per ogni ξ < π, x ξ P ξ ; 2. per ogni ξ < π, x ξ x ξ per ogni ξ < ξ. Tale successione si pu øcostruire perché [WO] implica [AC] e inoltre per ogni ξ < π e per ogni insieme perfetto P si ha che ξ < R = P. A questo punto si considera X: = {x ξ ξ < π, ξ dispari} che é perfetto per costruzione. Vediamo ora un altra costruzione che fa uso del lemma di Zorn Proposizione 3.12. I numeri reali R formano uno spazio vettoriale sul campo Q. Definizione 3.13. Una base di Hamel é una base di R su Q. Prima di passare al teorema principale enunciamo questo Lemma 3.14 (Bernstein). Se X L(R) ha misura positiva allora esiste ɛ > 0 tale che per ogni 0 < r < ɛ si ha (X + r) X. Possiamo quindi passare al seguente Teorema 3.15. Se {p j } j J é un base di Hamel e j J, allora X = span({p j } j J\{ j} ) é un insieme non misurabile secondo Lebesgue. 5

Dimostrazione. Ovviamente si ha che q Q X + qp j = R e inoltre (X + qp j) X = perché altrimenti p j sarebbe esprimibile come combinazione lineare finita di elementi di {p j } j J\{ j}. Supponiamo che X sia misurabile, dalla prima delle due espressioni si ottiene grazie all invarianza che P(X) > 0. In particolare per il lemma di Bernstein esiste ɛ tale che per ogni 0 < r < ɛ si ha X (X + r). In particolare esiste q Q tale che 0 < p j q < r, da cui X (X + qp j). Abbiamo dunque una contraddizione con la seconda espressione. Il seguente risultato é noto Proposizione 3.16. In ZF si ha che [ZL] [Ogni spazio vettoriale ha una base]. 3.3 La necessitá dell assioma di scelta Abbiamo visto nelle sottosezioni precedenti come si possa costruire un nonmisurabile disponendo dell assioma della scelta o di un suo equivalente. Ma é veramente indispensabile utilizzarlo? Se non fosse indispensabile si dovrebbe riuscire a costruire in ZF o almeno in ZF +[ω AC] un insieme non misurabile. Viceversa per provare la necessitá dell assioma di scelta, basterebbe costruire un modello di ZF o meglio ZF + [ω AC] (dato che per sviluppare buona parte dell analisi matematica é sufficiente disporre della scelta numerabile) in cui L()(R) = P(R). In tal senso Solovay riuscí ad ottenere il seguente risultato Teorema 3.17 (Solovay). Se é consistente ZF +[WIC] allora si puó costruire un modello di ZF +[DC]+[L(R) = P(R)]. Il problema di questo risultato é la presenza dell ipotesi di esistenza di un cardinale debolmente inaccessibile. Il fatto spiacevole é che questo fatto non puó essere eliminato a causa del seguente risultato Teorema 3.18 (Shelah). Se é consistente ZF +[DC]+[L(R) = P(R)] allora si puó costruire un modello di ZF +[WIC]. Infatti se avessimo che Cons(ZF ) Cons(ZF + [DC] + (L(R) = P(R))), dato che come é noto ZF + [WIC] Cons(ZF ) si avrebbe da cui ZF + [WIC] Cons(ZF + [DC] + (L(R) = P(R))) ZF + [WIC] Cons(ZF + [WIC]) il che contraddice il secondo teorema di Godel. 4 Insiemi misurabili non boreliani Innanzitutto si ha il seguente fatto Proposizione 4.1. L(R) = P(R). 6

Dimostrazione. Tutti i sottoinsiemi di ogni sottoinsieme di misura nulla sono misurabili; in particolare lo sono tutti quelli dell insieme di Cantor che ha cardinalitá continua. Definizione 4.2. Si definiscono gli insiemi Σ ξ e Π ξ per ξ < ω 1 tramite le seguenti Σ 0 = {aperti di R} Π 0 = {chiusi di R} Σ ξ = X n X n Π ξ, n N. n N ξ <ξ Π ξ = {R \ X X Σ ξ } = X n X n Σ ξ, n N.. Proposizione 4.3. Valgono le seguenti 1. ξ < ξ Σ ξ Σ ξ ; 2. ξ < ξ Σ ξ Π ξ ; 3. ξ < ξ Π ξ Π ξ ; 4. ξ < ξ Π ξ Σ ξ ; 5. ξ<ω 1 Σ ξ = ξ<ω 1 Π ξ ; 6. ξ<ω 1 Σ ξ B(R). n N ξ <ξ Definizione 4.4. Proposizione 4.5. B(R): = ξ<ω 1 Σ ξ. B costr (R) = R. Proposizione 4.6. In ZF +ω AC la famiglia dei boreliani costruibili é una σ-algebra e dunque B(R) = B costr (R). Corollario 4.7. In ZF + ω AC si puó dimostrare l esistenza di misurabili secondo Lebesgue non boreliani. Utilizzando AC riusciamo a produrre un esempio esplicito di insieme misurabile non boreliano. Esempio 4.8 (AC). Si consideri la funzione singolare di Vitali ψ: [0, 1] R. definisca una funzione ψ tramite Si ψ (x) = ψ(x)+x se x [0, 1], ψ (x) = x se x (, 0), ψ (x) = x+2 se x (1, + ). Si vede facilmente che ψ é continua, strettamente crescente e ha come immagine R. In particolare esiste ψ 1 l inversa che é essa stessa continua e strettamente crescente. 7

Dato l insieme di Cantor H, si vede facilmente che ψ (H) = 1. In particolare, generalizzando la costruzione di Vitali, si puó construire un sottoinsieme non misurabile di H (questo perché H ha misura positiva). Si chiami questo insieme X. In particolare X non é boreliano. Consideriamo ora X : = ψ 1 (X). Innanzitutto X H e dunque, essendo sottoinsieme di un insieme di misura nulla, X é misurabile. Tuttavia X non puó essere boreliano. Infatti dato che ogni funzione continua é anche misurabile rispetto ai boreliani, si dovrebbe avere che X é boreliano. Dunque X é l insieme misurabile non boreliano. Esempio 4.9 (ω AC). Gli insiemi analitici sono le immagini tramite funzioni continue di boreliani in spazi polacchi. Gli insiemi coanalitici sono i complementari di insiemi analitici. Si ha che gli insiemi boreliani sono esattamente tutti gli insiemi allo stesso tempo analitici e coanalitici. Inoltre ogni insieme analitico (e quindi anche coanalitico) é misurabile secondo Lebesgue. Un esempio di misurabile non boreliano si puó quindi ottenere costruendo un insieme coanalitico che non sia analitico. Un esempio di insieme coanalitico non analitico é W O, l insieme delle codifiche dei buoni ordinamenti su N. La codifica di una relazione R sui numeri naturali é il numero reale [R] ottenuto in questo modo: [R]: = 10 2n 3 m. L insieme W O é definito da n,m N nrm W O: = {x R esiste R buon ordine in N(x = [R])}. Nei prossimi paragrafi assumiamo sempre di trovarci in ZF C. 5 Estensioni invarianti della misura di Lebesgue La prossima domanda é la seguente: La misura di Lebesgue ammette estensioni invarianti su σ-algebre che estendono L(R)?. Ovvero esiste una σ-algebra H di sottoinsiemi di R e una misura P su H tale che: 1. L(R) H; 2. P H P; 3. X H x R (X + x) H; 4. X H x R P(X + x) = P(X). Inoltre esiste un estensione massimale? Ovvero esiste (H, P) estensione invariante che non ammette estensioni invarianti? I seguenti teoremi di Kharazishvili e Ciesielski danno una risposta al problema Teorema 5.1. La misura di Lebesgue ammette estensioni invarianti, ma non esiste alcuna estensione massimale. Il teorema é una conseguenza immediata del seguente Lemma 5.2. Esiste una famiglia numerabile {X n } n N di sottoinsiemi di R tali che 8

1. n N X n = R; 2. X i X j = per ogni i, j N tali che i j; 3. Per ogni n N, se X n appartiene alla σ-algebra su cui é definita un estensione invariante della misura di Lebesgue P allora P(X n ) = 0; 4. Per ogni n N, se X n / L(R) allora esiste un estensione invariante (H, P) tale che X n H. 6 Estensioni universali della misura di Lebesgue Una volta appurato che non esiste una estensione invariante privilegiata per la misura di Lebesgue, passiamo al problema dell esistenza di un estensione universale della misura di Lebesgue (che non sia necessariamente invariante), ovvero ci chiediamo se esista una misura P su P(R) tale che P(X) = P(X) per ogni X L(R). Questo problema viene risolto dal Teorema 6.1 (ULAM). Se c é una misura non banale su P(X) allora si verifica uno dei seguenti fatti: 1. c é una misura a due valori su P(X) e X é maggiore del piú piccolo cardinale debolmente inaccessibile; 2. c é una misura senza atomi in P(R) e R é maggiore del piú piccolo cardinale debolmente inacessibile. Per chiarire il significato del teorema, si ricorda che una misura é a due valori se assume solo i valori 0 e 1; inoltre una misura é senza atomi se ogni insieme di misura positiva puó essere ripartito in due insiemi di misura positiva. Abbiamo dunque il seguente: Corollario 6.2. Se esiste una estensione universale della misura di Lebesgue sui reali allora esiste un cardinale debolemente inacessibile e la cardinalitá del continuo é maggiore del piú piccolo cardinale debolmente inacessibile. Dunque [Esiste un estensione universale della misura di Lebesgue] [W IC] Inoltre dato che in tal caso la cardinalitá del continuo é maggiore del piú piccolo cardinale inaccessibile e dato che ogni cardinale debolmente inaccessibile é per definizione un cardinale limite non numerabile, si ha che [Esiste un estensione universale della misura di Lebesgue] [CH] In particolare in ZF C + [CH] la misura di Lebesgue sui reali non ammette estensioni universali. 9

Riferimenti bibliografici [1] K. Ciesielski. How good is Lebesgue measure? [2] K. Ciesielski. Isometrically invariant extensions of Lebesgue measure. [3] K. Ciesielski. Set theoretical real analysis. [4] Doob. Measure theory. [5] T.J. Jech. Set Theory. The 3rd millennium edition. [6] A.B.Kharazishvili. Nonmeasurable sets and functions. [7] K.Kunen. Set Theory. [8] R.M.Solovay. A model of set theory in which every set of reals is Lebesgue measurable. [9] Villani. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. 10