Capitolo II I diagrammi solari

W. Grassi -Termoenergetica e isparmio Energetico in Edilizia Cap. II Le traiettorie solari 1 Capitolo II I diagrammi solari II.1 L irraggiamento solare diretto e le traiettorie solari Angolo orario ω Traiettoria giornaliera del sole α θ N n Azimut solare (90 -i) az S γ Azimut della superficie Piano orizzontale tangente alla terra in un punto Figura II-1 Angoli formati da una superficie piana comunque orientata. Esaminiamo più in dettaglio l effetto della dinamica solare su un osservatore in un punto di un piano orizzontale, rivolto a Sud. In particolare si cerchi l andamento dell angolo di altezza solare in funzione dell azimut, az (eventualmente corretto, come detto), per una latitudine di N e con riferimento al 21 Giugno. Nella figura II-1, per comodità sono indicati tutti gli angoli formati da una superficie piana comunque orientata. Si ricorda anche che, se i=0, si ha: cosθ = senδ senφ + cosδ cosφ cosω = senα In questo modo si ottiene un grafico come quello di figura II-2, in cui sono contrassegnate anche la ore del giorno (caselle bianche sul grafico). pomeriggio 13 0 12 11 mattina 14 15 50 α ( ) ( 9 1 17 7 1 19 5 0-1 -1-0 -90-0 - - -50 - - - - 0 50 0 90 0 1 1 az ( ) Figura II-2 Andamento dell altezza solare in funzione dell azimut solare il 21 Giugno ad una latitudine di N Dal grafico di figura si comprende come un osservatore rivolto a sud, non vedrebbe, se non girandosi un po ad est, la mattina, e ad ovest, il pomeriggio il sole, poiche l angolo solido della visuale normale consente di coprire valori più ridotti. 1

W. Grassi -Termoenergetica e isparmio Energetico in Edilizia Cap. II Le traiettorie solari 2 Ore Diagramma cilindrico Proiezioni delle traiettorie del sole su cilindro con asse verticale passante per il punto dell osservatore SUD Traiettorie del sole Diagramma stereografico Posizione dell osservatore Proiezioni delle traiettorie del sole sul piano orizzontale Figura II-3 Diagrammi cilindrico e stereografico delle traiettorie solari Generializziamo, ora, le considerazioni fatte, riferendoci alla figura II-3. Si consideri un osservatore posto su un piano orizzontale che segua il movimento del sole. Egli, quindi, vede delle traiettorie simile a quelle indicate in rosso in figura. Si ottengono i seguenti diagrammi di utilizzo pratico. Diagramma cilindrico Si consideri ora di porre una superficie laterale di un cilindro circolare retto, con base sul piano orizzontale, in modo che le traiettorie si possano immaginere poste fra l osservatore e la superficie cilindrica. Si proiettino le traiettorie su quest ultima. Queste proiezioni appariranno come le linee tratteggiate in rosso nella figura. In tal modo un primo diagramma ottenibile è il cosiddetto diagramma solare cilindrico, in cui per ogni giorno dell anno (valore fissato della declinazione) si ottiene una curva continua che fornisce l angolo di altezza solare in funzione dell azimut. Se, successivamente, per evidente comodità, si apre il cilindro facendolo coincidere con una superficie piana (foglio) si ottiene un grafico come quello della figura II-4. In esso, in ordinate sono posti i valori dell angolo α ed in ascisse quelli dell azimiut az. In particolare sono evidenziate le curve relative ai solstizi d estate e d inverno ed agli equinozi. Si nota immediatamente come il sole sia più alto sull orizzontale nei mesi estivi, rispetto a quelli invernali. Diagramma stereografico L altro tipo di diagramma, detto stereografico (o mappa stereografica), consente di proiettare le traiettorie solari su un piano orizzontale, seguendo un procedimento un po più complesso che discutiamo in appendice al capitolo. Esso si presenta come in figura II-5, in cui ci si riferisce ad una latitudine di 44 Nord e a giorni dell anno convenzionali. Il diagramma fornisce l angolo di altezza solare, α, sull asse verticale. Ad ogni angolo corrisponde un cerchio: ad esempio, al cerchio più esterno (corrispondente alla circonferenza interna della corona circolare colorata) corrisponde un angolo di 0, mentre al centro dei cerchi va associata un altezza solare di 90. La corona circolare riporta gli angoli di azimut solare, mentre i valori delle ore de giorno (linee orarie) sono posti in prossimità della curva di dicembre (ore 9,, 11, 12, 13, 14 e 15) e di quella di giugno (ore, 7, e 1, 17 e 1). La tabella sulla destra in alto della figura 2

W. Grassi -Termoenergetica e isparmio Energetico in Edilizia Cap. II Le traiettorie solari 3 OVEST 21 giugno 0 12 EST 14 1 21 marzo 50 21 settembre 1 21 dicembre 0-1 -5-90 -75 - -45 - -15 0 15 45 75 90 5 1 21-gen 21-feb 21-mar 21-apr 21-mag 21-giu 21-lug 21-ago 21-set 21-ott 21-nov 21-dic SUD Figura II-4 Diagramma cilindrico delle posizioni del sole per una latitudine di Nord. O -90-1 -0-0 -1 1 17-3,5-3,5 4,5 1 0 50 0 7 1 0 11 GIUGNO +23 05 17 LUGLIO +21 11 15 MAGGIO +1 47 1 AGOSTO +13 27 15 APILE +09 24 15 SETTEMBE +02 13 1 MAZO 02 25 15 OTTOBE -09 3 1 FEBBAIO 12 57 14 NOVEMBE 1 54 17 GENNAIO - 25 DICEMBE -23 03 90 E - - -50-15 - 14-13 - 4,5 12 s 11 9 50 LAT 44 N Figura II-5 Diagramma stereografico: nella tabella a destra in alto sono indicati i giorni dell anno, con i relativi valori della declinazione, in corrispondenza dei quali sono tracciate, nell ordine, le proiezioni delle traiettorie solari. Sull asse verticale sono posti i valori dell altezza solare, mentre sul bordo (corona circolare) sono dati gli fornisce il giorno dell anno e la rispettiva declinazione a cui sono tracciate le proiezioni sul piano orizzontale delle traiettorie solari. 3

W. Grassi -Termoenergetica e isparmio Energetico in Edilizia Cap. II Le traiettorie solari 4 Ad esempio: alle ore 14 del 15 Ottobre l angolo di altezza solare è pari ad α=, mentre, alle del 15 Settembre o 1 Marzo, esso vale. Col metodo esposto in appendice al capitolo è possibile costruire una mappa (o diagramma) stereografica per ogni latitudine, per esempio usando un semplice programma excel, con cui è stato realizzato il diagramma di figura. 4

W. Grassi -Termoenergetica e isparmio Energetico in Edilizia Cap. II Le traiettorie solari 5 Appendice al Capitolo II La costruzione del diagramma stereografico Alla base di questo tipo di diagramma vi è il cosiddetto metodo della proiezione radiale che ha il vantaggio, ad esempio, di ottenere sul piano orizzontale delle traiettorie circolari equidistanti i corrispondenza di ciascun angolo di altezza solare, a differenza di altri possibili sistemi di proiezione. Per meglio chiarire quanto detto, mostriamo proprio come si procede per ottenere queste traiettorie, mentre per l ottenimento degli altri tipi di curve daremo unicamente le formule che devono essere utilizzate. Con riferimento alla figura A.1 si consideri il cerchio dell orizzonte (in basso a sinistra) di raggio, pari al valore attribuito anche ad un ipotetica volta celeste. Sia P il punto in cui è posto l osservatore ed α il generico angolo di Volta celeste A O P P α B B A A α AA =senα; PA =P A =cosα AA =OP= O PB=A B =r α A B :A B=A A:A A r Piano α :A B=: senα orizzontale Figura A.1 Metodo della proiezione radiale per ottenere, sul piano orizzontale, la proiezione corrispondente agli angoli di altezza solare come cerchi equidistanti. altezza solare. Il centro di proiezione, O, viene preso su una retta passante per P ed ortogonale al piano orizzontale ad una distanza da P. Da O si traccia una retta che interseca la volta celeste nel punto A, che coincide col punto d intersezione della retta che passa per il punto P, con pendenza pari ad α, e la volta celeste. Il segmento PB (in cui B è è l intersezione del segmento OA con l orizzontale) definisce il raggio, r α, del cerchio corrispondente alla corrispondente altezza del sole sul piano orizzontale. Ad esempio, costruendo, come in figura A.1, il parallelogramma OPAA e riferendoci ai triangoli simili B AA e BAA si ottiene il valore del segmento BA e, ricordando che PB=PA -BA si ottiene il valore del raggio r α come: r α cosα = 1+ senα (A.1) Evidentemente per l individuazione degli angoli di azimut basterà costruire una serie di raggi di un fascio avente per centro il punto P. Passiamo, quindi, a mostrare la costruzione delle proiezioni delle altre curve. 5

W. Grassi -Termoenergetica e isparmio Energetico in Edilizia Cap. II Le traiettorie solari Si descrive, nel seguito, la costruzione del diagramma stereografico riferendosi ad un esempio numerico eseguito interamente con un programma Excel. Anzitutto si provvede a disegnare disegnare un cerchio di raggio arbitrario. Normalmente si ricorre ad un raggio di 7,5 o 15 cm. Nell esempio considereremo il primo valore (7,5 cm). Si prendono due diametri fra loro ortogonali, che indicano i punti cardinali. Il diametro Nord Sud si prolunga verso il Nord e, su tale prolungamento giacciono i centri degli archi delle proiezioni delle traiettorie solari sul piano orizzontale. Il raggio, r, di questi archi e la distanza, d, dei loro centri dal centro della circonferenza di raggio sono dati rispettivamente da: cosδ cosφ r = ; d =. (A.2) senφ + senδ senφ + senδ Per una latitudine di 44 Nord (e con =7,5 cm) si ottengono gli andamenti dei due parametri riportati nel grafico di figura A.2, da cui si vede come entrambe le grandezze diminuiscano all aumentare della declinazione. In figura A.3 si riportano gli archi corrispondenti rispettivamente (dall alto verso il basso) alle declinazioni di 23,45 (22 dicembre), 0 (21 settembre e 21 marzo) e 23,45 (22 giugno). Essi sono stati costruiti utilizzando le coordinate: x = rsen( aus) y = r cos( aus) d r, d (cm) LA T. 4 4 N o rd 2 24 22 1 1 14 12 4 2 0-24 -22 - -1-1 -14-12 - - - -4-2 0 2 4 12 14 1 1 22 24 declinazione ( ) Figura A.2 - Andamento di r e d con la declinazione 4,5-3,5 4,5-3,5 r r (A.3) d r (cm) d (cm) d essendo (aus) l angolo ausiliario formato fra il raggio r e la retta verticale. All interno del cerchio e concentriche con esso, si costruiscono le circonferenze che corrispondono all angolo di altezza solare con raggio r α. Infine si disegnano una serie di raggi (nel caso in esame con distanza angolare di ), che rappresentano gli angoli di azimut, con lo 0 in corrispondenza del Sud e valutando positivamente gli angoli di azimut verso Est e negativamente quelli ad Ovest. In tal modo si giunge alla figura A.4. A questo punto non resta altro che tracciare le linee orarie, cioè quelle curve che collegano i punti delle proiezioni delle traiettorie solari corrispondenti ad una data ora del giorno. Ancora si utilizza un metodo che le approssima ad archi di cerchio. Si traccia un segmento parallelo all asse Est Ovest ad una distanza, h, dal centro del cerchio di raggio data da: h = tanφ (A.4) Questo segmento costituisce il luogo dei centri degli archi, che rappresentano le linee orarie. Il centro si trova a destra o a sinistra del punto O di intersezione del segmento con la perpendicolare ad esso passante per il centro della circonferenza di raggio, a seconda che si considerino le ore del pomeriggio o della mattina. Figura A.3 - Costruzione degli archi, proiezione delle traiettorie solari. Dal basso verso l alto δ= 23,45, 0 e 23,45. Polo sud sull asse verticale, in alto.

-7,5-5,5-3,5-1,5 0,5 2,5 4,5,5 W. Grassi -Termoenergetica e isparmio Energetico in Edilizia Cap. II Le traiettorie solari 7 Con riferimento alla figura A.4 si hanno le seguenti relazioni: SUD 0 - l aus y o dicembre r 4,5 - marzo e settembre giugno h EST Figura A.4 A sinistra diagramma solare completo di angoli di altezza solare e di azimut. A destra costruzione delle linee orarie (in figura è mostrato il tracciamento delle linee orarie pomeridiane). l = cosφ tanω r ' = cosφsenω Calcoliamo, ad esempio, la linea dell ora corrispondente alle 14 ( =- ). Le coordinate x ed y dei punti della linea oraria in questo caso (il centro dell arco corrispondente si trova sulla sinistra dell asse verticale) sono: x = ± r 'cos( aus) l y = h r 'sen( aus) 90-90 OVEST 1 0 50-3,5-1 In cui aus è l angolo ausiliario fra il raggio r e la retta orizzontale e per la x il + vale per le ore pomeridiane (caso dell esempio) ed il per quelle mattutine. Si hanno i seguenti valori (in cm): h l r' 7,24 1,0,51 e aus ( ) x y 0,00 2,79 7,24 5,00 2,71 5,42,00 2,47 3,2 15,00 2,0 1,4,00 1,53 0,11 25,00 0,4 7,00 0,00-3,19 Da cui si ottiene la curva mostrata in figura A.5. Con procedimento simile si ottengono le altre linee orarie. 4,5-3,5 4,5-3,5 x (A.5) (A.) 7

W. Grassi -Termoenergetica e isparmio Energetico in Edilizia Cap. II Le traiettorie solari y 4,5 Ore 15-3,5 4,5 x -3,5 Figura A.5 Linea oraria tracciata sul diagramma stereometrico