Prefazione Ringraziamenti xi xiv Argomento di ripasso Argomento più difficile 1 Matrici e vettori 1 1.1 Matrici 1 1.2 Esercizi 11 1.3 Vettori di R 2 14 1.4 Esercizi 20 1.5 Vettori di R 3 21 1.6 Rette 24 1.7 Piani 27 1.8 Esercizi 35 1.9 Vettori di R n 38 1.10 Piatti 40 1.11 Esercizi 43 1.12 Applicazioni (facoltativo) 45 1.12.1 Insiemi di prodotti 45 1.12.2 Modelli di produzione lineari 46 1.12.3 Vettore dei prezzi 46 1.12.4 Programmazione lineare 47 1.12.5 Problema duale 48 1.12.6 Teoria dei giochi 49 2 Funzioni di una variabile 51 2.1 Intervalli 51 2.2 Funzioni a valori reali di una variabile reale 51 2.3 Alcune funzioni elementari 52 2.3.1 Funzioni potenze 52 2.3.2 Funzioni esponenziali 53 2.3.3 Funzioni trigonometriche 53 2.4 Combinazioni di funzioni 55 2.5 Funzioni inverse 57 2.6 Inverse delle funzioni elementari 59 2.6.1 Funzioni radice 59 2.6.2 Funzione esponenziale e funzione logaritmica 60 2.7 Derivata 61 2.8 Esistenza delle derivate 63 2.9 Derivate delle funzioni inverse 64 2.10 Calcolo delle derivate 65 2.10.1 Derivate delle funzioni elementari e delle loro inverse 65 2.10.2 Derivate di combinazioni di funzioni 66 v
ISBN-88-408-1295-4 2.11 Esercizi 69 2.12 Derivate di ordine superiore 71 2.13 Serie di Taylor delle funzioni di una variabile 72 2.14 Sezioni coniche 76 2.15 Esercizi 80 3 Funzioni di pi variabili 87 3.1 Funzioni reali di due variabili 87 3.1.1 Funzioni lineari e affini 88 3.1.2 Superfici quadratiche 89 3.2 Derivate parziali 92 3.3 Piano tangente 96 3.4 Gradiente 98 3.5 Derivata 100 3.6 Derivata direzionale 100 3.7 Esercizi 106 3.8 Funzioni di pi di due variabili 110 3.8.1 Iperpiani tangenti 111 3.8.2 Derivata direzionale 114 3.9 Esercizi 115 3.10 Applicazioni (facoltativo) 120 3.10.1 Curve di indifferenza 120 3.10.2 Massimizzazione del profitto 122 3.10.3 Curva di contratto 122 4 Punti stazionari 125 4.1 Punti stazionari delle funzioni di una variabile 125 4.2 Ottimizzazione 128 4.3 Ottimizzazione vincolata 130 4.4 L utilizzo dei programmi per Personal Computer 132 4.5 Esercizi 135 4.6 Punti stazionari per funzioni di due variabili 139 4.7 Gradienti e punti stazionari 143 4.8 Punti stazionari per funzioni di più didue variabili 143 4.9 Esercizi 145 5 Funzioni vettoriali 149 5.1 Funzioni a valori vettoriali 149 5.2 Funzioni affini e piatti 153 5.3 Derivate delle funzioni vettoriali 155 5.4 Calcolo di derivate di espressioni vettoriali 162 5.5 Regola di derivazione delle funzioni composte 163 5.6 Derivate seconde 168 5.7 Serie di Taylor di una funzione scalare di n variabili 170 5.8 Esercizi 174 6 Ottimizzazione delle funzioni scalari 179 6.1 Cambiamento di base di una forma quadratica 179 6.2 Forme definite positive e definite negative 185 vi
ISBN-88-408-1295-4 Indice 6.3 Massimi e minimi 188 6.4 Funzioni convesse e concave 193 6.5 Esercizi 200 6.6 Ottimizzazione vincolata 203 6.7 Vincoli e gradienti 208 6.8 Metodo di Lagrange: ottimizzazione con un vincolo 210 6.9 Metodo di Lagrange: caso generale 217 6.10 Ottimizzazione vincolata: criteri analitici 219 6.11 Esercizi 220 6.12 Applicazioni (facoltative) 223 6.12.1 Il problema della contrattazione di Nash 223 6.12.2 Controllo dell inventario 224 6.12.3 Analisi dei minimi quadrati 227 6.12.4 Condizioni di Kuhn--Tucker 229 6.12.5 Programmazione lineare 231 6.12.6 Punti sella 233 7 Funzioni inverse 235 7.1 Inverse locali di funzioni a valore scalare 235 7.1.1 Derivabilitàdifunzioni inverse locali 237 7.1.2 Funzioni trigonometriche inverse 238 7.2 Inverse locali di funzioni a valori vettoriali 241 7.3 Sistemi di coordinate 247 7.4 Coordinate polari 254 7.5 Operatori differenziali 256 7.6 Esercizi 259 7.7 Applicazione (facoltativa): curva dei contratti 263 8 Funzioni implicite 265 8.1 Differenziazione implicita 265 8.2 Funzioni implicite 266 8.3 Teorema della funzione implicita 268 8.4 Esercizi 275 8.5 Applicazione (facoltativa): prezzi ombra 277 9 Differenziali 281 9.1 Algebra matriciale e sistemi lineari 281 9.2 Differenziali 282 9.3 Punti stazionari 287 9.4 Piccole variazioni 289 9.5 Esercizi 290 9.6 Applicazione (facoltativa): le equazioni di Slutsky 292 10 Somme e integrali 295 10.1 Somme 295 10.2 Integrali 297 10.3 Teorema fondamentale del calcolo differenziale 298 10.4 Notazione 300 10.5 Integrali standard 302 vii
ISBN-88-408-1295-4 10.6 Decomposizione in frazioni parziali 304 10.7 Completamento del quadrato 308 10.8 Cambio di variabile 309 10.9 Integrazione per parti 311 10.10 Esercizi 313 10.11 Somme e integrali infiniti 316 10.12 Convergenza dominata 320 10.13 Derivazione di integrali 323 10.14 Serie di potenze 325 10.15 Esercizi 326 10.16 Applicazioni (facoltative) 328 10.16.1 Probabilità 328 10.16.2 Funzioni densitàdiprobabilità 329 10.16.3 Distribuzione binomiale 330 10.16.4 Distribuzione di Poisson 331 10.16.5 Media 333 10.16.6 Varianza 334 10.16.7 Variabili aleatorie standardizzate 335 10.16.8 Distribuzione normale 336 10.16.9 Somme di variabili aleatorie 339 10.16.10Distribuzione di Cauchy 341 10.16.11Aste 341 11 Integrali multipli 345 11.1 Introduzione 345 11.2 Integrali ripetuti 347 11.3 Cambio di variabili negli integrali multipli 353 11.4 Regioni d integrazione illimitate 360 11.5 Somme e serie multiple 361 11.6 Esercizi 363 11.7 Applicazioni (opzionale) 366 11.7.1 Distribuzioni di probabilità congiunte 366 11.7.2 Distribuzioni di probabilità marginali 366 11.7.3 Valori attesi, varianza e covarianza 367 11.7.4 Variabili aleatorie indipendenti 368 11.7.5 Funzioni generatrici 369 11.7.6 Distribuzioni normali multivariate 370 12 Equazioni differenziali del primo ordine 373 12.1 Equazioni differenziali 373 12.2 Soluzioni generali delle equazioni differenziali ordinarie 374 12.3 Condizioni al contorno 375 12.4 Equazioni a variabili separabili 376 12.5 Equazioni in forma esatta 382 12.6 Equazioni differenziali di primo ordine lineari 384 12.7 Equazioni omogenee 387 12.8 Cambio di variabile 389 12.9 Identificazione del tipo di equazione del primo ordine 392 12.10 Equazioni differenziali alle derivate parziali 393 viii
ISBN-88-408-1295-4 Indice 12.11 Equazioni differenziali esatte e alle derivate parziali 395 12.12 Cambio di variabile in equazioni alle derivate parziali 397 12.13 Esercizi 399 13 Numeri complessi 405 13.1 Equazioni quadratiche 405 13.2 Numeri complessi 406 13.3 Modulo e argomento 407 13.4 Esercizi 409 13.5 Radici complesse 410 13.6 Polinomi 412 13.7 Funzioni elementari 414 13.8 Esercizi 416 13.9 Applicazioni (opzionale) 417 13.9.1 Funzioni caratteristiche 417 13.9.2 Teorema centrale del limite 419 14 Equazioni differenziali e alle differenze lineari 421 14.1 L operatore P(D) 421 14.2 Equazioni alle differenze e l operatore di spostamento E 423 14.3 Operatori lineari 425 14.4 Equazioni differenziali lineari omogenee 426 14.5 Radici complesse dell equazione ausiliaria 429 14.6 Equazioni alle differenze lineari omogenee 431 14.7 Equazioni non omogenee 434 14.7.1 Equazioni differenziali non omogenee 435 14.7.2 Equazioni alle differenze non omogenee 441 14.8 Convergenza e divergenza 444 14.9 Sistemi di equazioni lineari 447 14.10 Cambio di variabile 453 14.11 Esercizi 454 14.12 L operatore di differenza (opzionale) 458 14.13 Esercizi 461 14.14 Applicazioni (facoltative) 462 14.14.1 I modelli a ragnatela (cobweb) 462 14.14.2 La rovina del giocatore d azzardo 467 Risposte e soluzione degli esercizi con la stella e alcuni consigli 471 Appendice 549 Indice analitico 550 ix